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数学分析复旦答案【篇一：复旦《数学分析》答案第四章1、2节】题 4.1 微分和导数⒈半径为1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜，试用求微分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9g/cm3。
）解球体积v?43?r3，每只球镀铜所需要铜的质量为2m???v?4??r?r?1.12g。
?0⒉用定义证明，函数y点之外都是可微的。
证当x?0时，?y?微。
当x?0时，?y???3x2在它的整个定义域中，除了x这一?x2是?x的低阶无穷小，所以y?x2在x?0不可?x?x?o(?x),所以y?x2在x?0是可微的。
习题 4.2 导数的意义和性质1．设f?(x0)存在，求下列各式的值：⑴⑵⑶lim?x?0f(x0??x)?f(x0) ?x；limx?x0f(x)?f(x0)x?x0；。
f(x0?(??x))?f(x0) (??x)??f(x0)。
limh?0f(x0?h)?f(x0?h) h解 (1)lim⑵⑶f(x0??x)?f(x0) ?xf(x)?f(x0)x?x0?x?0??lim?x?0x?x0lim?limf(x0?(x?x0))?f(x0) x?x0x?x0?0?f(x0)。
limf(x0?h)?f(x0?h) hf(x0?h)?f(x0)hh?0f(x0?h)?f(x0)hh?0?limh?0?lim?2f(x0)。
2．⑴用定义求抛物线y?2x2?3x?1的导函数；⑵求该抛物线上过点(?1,?2)处的切线方程；⑶求该抛物线上过点(?2,1)处的法线方程；⑷问该抛物线上是否有(a,b)，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？解 (1)因为?y?x?2(x??x)?3(x??x)?1?(2x?3x?1)?xf(x)?lim?y?x?4x?3。
22?4x?3?2?x，所以?x?0(2)由于(3)由于f(?1)??1，切线方程为y??1?[x?(?1)]?(?2)??x?3。
f(?2)??5，法线方程为y??1?5[x?(?2)]?1?x?75。
第二章 数列极限习 题 2.1 实数系的连续性1. (1) 证明6不是有理数；(2) 3+2是不是有理数?证（1）反证法。
若6是有理数，则可写成既约分数nm=6。
由，可知是偶数，设，于是有，从而得到是偶数，这与226n m =m k m 2=2223k n =n nm是既约分数矛盾。
（2）3+2不是有理数。
若3+2是有理数，则可写成既约分数32+n m=，于是222623nm =++，252622−=n m ，即6是有理数，与（1）的结论矛盾。
2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： ； A x x =≥{|}0 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=320|sin πx x B ； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<∈=+m n n m m n C 并且N ,。
解 ；因为，有0min =A A x ∈∀A x ∈+1，x x >+1，所以不存在。
A max 12sin max ==πB ；因为B x ∈∀，⎦⎤⎜⎝⎛∈∃2,0πα，使得αsin =x ，于是有B ∈2sinα，x <2sinα，所以B min 不存在。
C max 与都不存在，因为C min C m n ∈∀，有C m n ∈+1，C m n ∈++11， 111++<<+m n m n m n ，所以与都不存在。
C max C min 3. A B ,是两个有界集，证明： (1) 是有界集；A B ∪(2) 也是有界集。
S x y x A y B =+∈∈{|,}证 （1）设A x ∈∀，有1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则B A x ∪∈∀，有{}21,max M M x ≤。
（2）设，有A x ∈∀1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则S x ∈∀，有21M M x +≤。
4. 设数集S 有上界，则数集T x x S =−∈{|}有下界，且sup S =T inf −。
证 设数集S 的上确界为，则对任意S sup ∈x T x x S =−∈{|}，有，即；同时对任意S x sup ≤−S x sup −≥0>ε，存在S y ∈，使得ε−>S y sup ，于是，且T y ∈−ε+−<−S y sup 。
数学分析复旦大学第四版答案实数基本定理【篇一：数学分析(4)复习提纲(全部版)】>第一部分实数理论1实数的完备性公理一、实数的定义在集合r内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称r为实数域或实数空间。
（1）域公理：（2）全序公理：则或a中有最大元而a中无最小元，或a中无最大元而a中有最小元。
评注域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。
二、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。
主要有如下几个公理：确界原理：单调有界定理：区间套定理：有限覆盖定理：（heine-borel）聚点定理：(weierstrass)致密性定理：(bolzano-weierstrass)柯西收敛准则：(cauchy)习题1证明dedekind分割原理与确界原理的等价性。
习题2用区间套定理证明有限覆盖定理。
习题3用有限覆盖定理证明聚点定理。
评注以上定理哪些能够推广到欧氏空间r？如何叙述？n2闭区间上连续函数的性质有界性定理：上册p168；下册p102,th16.8；下册p312,th23.4最值定理：上册p169；下册下册p102,th16.8介值定理与零点存在定理：上册p169；下册p103,th16.10一致连续性定理（cantor定理）：上册p171；下册p103,th16.9；下册p312,th23.7 习题4用有限覆盖定理证明有界性定理习题5用致密性定理证明一致连续性定理3数列的上(下)极限三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）n定义评注确界定义易于理解；聚点定义易于计算；n定义易于理论证明习题6用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。
高等数学上（复旦大学出版社，第四版）教材习题答案第四章，一元函数积分学。
第三节 不定积分与原函数求法，习题4-3，答案5.0 用分部积分，求下列不定积分。
东风冷雪1.0=-=--=--=-+-=-+++⎰⎰⎰⎰⎰222222x sinxdxx dcosx (x cosx 2xcosxdx)(x cosx 2xdsinx)x cosx 2xsinx 2sinxdx x cosx 2xsinx 2cosx c2.0------=-=--=--+⎰⎰⎰x x x x x x xe dx xde (xe e dx)xe e c3.0==-=-+⎰⎰⎰22222111ln xdx (x ln x x *dx)22x11x ln x x c 24x ln xdx4.0==-++-=-+=--+=-+++⎰⎰⎰⎰23332232322322x arctanxdx111x arctanxdx x arctanx 3331x 11x(1x )x x arctanx dx 331x 1111x arctanx (x ln |1x |)3322111x arctanx x ln |1x |c 3665.0=+=-=-+⎰2arccosxdxx *arccosx x *arccosx x *arccosx c6.0=-=-=--=+-=+-+⎰⎰⎰⎰⎰222222x tan xdx1x(sec x 1)dx xdtanx x 21dcos x 1x tanx tanxdx x x tanx x 2cos x 21x tanx ln |cos x |x c 2 7.0------------==-=--=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x x x x x x x x x e cos xdxe dsinx e sinx e dcos xe sinx e cos x cos xe dx2e cos xdx e sinx e cos x1e cos xdx e (sinx cos x)c 28.0==-=--=-++⎰⎰⎰⎰xsinxcosxdx11xsin2xdx xdcos2x 24111(xcos2x cos2xdx)xcos2x sin2x c 4489.0=-=--=-+=--+=---=---+=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰323233223232232232(lnx)dxx 1ln x 3ln x ln x 1ln xd ()(3ln xd )x x x x xln x 3ln x 6lnx ln x 3ln x 1dx 6lnxd x x x x x xln x 3ln x 6lnx 6dx x x x x 1(ln x 3ln x 6lnx 6)c x10.0===-=--=++-=+++=+=++⎰⎰⎰⎰⎰222222222atant,a sec tdtant a sec t tant a tan tsec tdta (sec t tant (sec t 1)sec tdta (sec t tant ln |sec t tant |sec tdtant)1a (sec t tant ln |sec t tant |)21x x a (*ln ||2a a a 1ln |x 2+|c6.0 求下列不定积分；1.0++-+=+++-+-+-+-+++=+==-=+=-++-+-+=-+++⎰⎰⎰222222222222x 1dx(x 1)(x 1)x 1a b c x 1x 1(x 1)(x 1)(x 1)a(x 1)b(x 1)c(x 2x 1)x 111a ,b 1,c 2211x 1122dx ()dx x 1x 1(x 1)(x 1)(x 1)11ln |x 1|c 2x 12.0++=+++-+-+-++++===-=-==-++-+-+--=+--+=+--++-+=+⎰⎰⎰⎰⎰3222222223dx x 13a bx c x 1(x 1)(x x 1)x x 1a(x x 1)(bx c)(x 1)3a 1,b 1,c 23dx 1x 2dx ()dx x 1(x 1)(x x 1)x x 112x 13ln |x 1|2x x 1131ln |x 1|ln |x x 1|1322(x )24ln |+2c3.0 （这道题，有些坑人，没有意思）+--+-+-++-=----=++++---=+++-+-+-=++-+-+-=-+++-==-=-⎰⎰⎰⎰5423332332233323222x x 8x (x x)x(x x)x x x x 8dx dx x x x x 123x x 33(x x 1)dx x x x x 23x 1113x x x ln |x x |dx 323x(x 1)(x 1)23x a b c 3x(x 1)(x 1)x x 1x 123x a(x 1)b(x x)c(x x)323101a ,b ,c 33-=---+-+=---++++-+---+=---++--=+++--⎰⎰⎰543323323x 12310133dx ()x(x 1)(x 1)3x x 1x 1231013ln |x |ln |x 1|ln |x 1|3331(ln |x |ln |x 1|ln |x 1|23ln |x |10ln |x 1|13ln |x 1|31ln(24ln |x |9ln |x 1|12ln |x 1|)3x x 8dxx x 11x x x 8ln |x |3ln |x 1|32-++4ln |x 1|c 4.0+==++⎰⎰263332x dxx 11dx 1arctanx c 33(x )15.0+-==-=--=-++⎰⎰⎰⎰222sinx dx1sinx sinx(1sinx)dx (tanxsecx tan x)dx cos xsecx (sec x 1)dx secx tanx x c6.0++==+--+==+-++++++-==-=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰222222222cot x dxsinx cos x 1x 2t tan ,dx dt 21t 1t 21t 1t 22t *dt **dt 2t 22t 2t 1t 1t 1t 11t 1t 11t 1111()dt (1)dt lnt t 2t 2t 221x 1x ln |tan |tan c 22227.0=====+=++⎰⎰⎰2sect 2sec t tant dt 2sectdt sect tant 2ln |sect tant |2ln ||c8.0==-===-=-+=-+++=-+++⎰⎰⎰(1t,2tdt12(1)2t2ln|1t|2ln|1t11tx4ln|1|c记住口诀，反，对，幂，指，三。
