最新2003年浙江大学数学分析试题答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷）数 学（理工农医类)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2。

每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长。

)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式:334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0)，54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D)724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D)2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ,若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-,1） （B ）(1-，∞+）（C ）（∞-,2-)⋃(0,∞+） (D ）（∞-,1-）⋃(1，∞+)4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）（A)21+ （B ）12- （C)2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） (A)2 （B ）22- (C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R,高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( )（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列,则=-||n m （ ）（A ）1 (B ）43 （C)21 （D)838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0)，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） (A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x (D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=,]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ )（A ）x arcsin - 1[-∈x ,1］ （B ）x arcsin --π 1[-∈x ,1］ （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D)x arcsin -π 1[-∈x ，1］10．已知长方形的四个顶点A （0,0），B （2，0）,C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角)，设4P 的坐标为（4x ,0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） (B ）(31,32) （C ）（52，21） (D ）（52,32） 11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C ( ）（A ）3 （B ）31 (C)61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） (A ）π3 (B)π4 （C)π33 （D)π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷)数 学（理工农医类)第Ⅱ卷(非选择题共90分）二.填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线,点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点,能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．(本小题满分12分)已知复数z 的辐角为︒60,且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项,求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ,D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点,点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （II ）求点1A 到平面AED 的距离 19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q:不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确,求c 的取值范围D E KBC 1A 1B 1AFCG20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P处,并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？东O21．（本小题满分14分)已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=,O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==,P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值;若不存在，请说明理由22．（本小题满分12分，附加题4 分）(I ）设}{n a 是集合|22{ts + t s <≤0且Z t s ∈,｝中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ,52=a ,63=a ，94=a ，105=a ，126=a ,…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 6 9 10 12 — — — -…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）(本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{,且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k 。

2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2。

每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3。

考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷(选择题共60分）一。

选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ,0），54cos =x ,则2tg x = （ ） （A)247 (B)247- (C)724 （D)724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 ( ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D)2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ,若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 ( ） （A ）（1-,1） （B ）（1-,∞+）（C)（∞-，2-）⋃(0，∞+） （D ）（∞-，1-)⋃（1，∞+）4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D)25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ) （A)2 （B)22- （C ）12- (D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ )（A)22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π 7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列,则=-||n m ( ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ) （A ）14322=-y x (B)13422=-y x （C ）12522=-y x (D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=,]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ )（A)x arcsin - 1[-∈x ,1］ （B)x arcsin --π 1[-∈x ,1］ (C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1］ （D)x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0,0），B （2，0),C （2,1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后,依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0),若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）(31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） (D ）(52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D)6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ) （A ）π3 (B ）π4 （C)π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷)数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分)二。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1。

答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2。

每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案,不能答在试题卷上．3。

考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式:三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长,l 表示斜高或母线长。

)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一。

选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （ ） (A)247 （B)247- （C ）724 (D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ (B ）2cos =θρ (C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ,则0x 的取值范围是 （ ) （A ）（1-,1） (B ）（1-,∞+）（C ）（∞-，2-)⋃(0，∞+） (D)(∞-，1-)⋃（1，∞+）4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）（A)21+ （B)12- (C ）2 (D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x (0>a )及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时,则a ( ) （A)2 （B ）22- （C ）12- （D)12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ )（A)22R π (B ）249R π (C ）238R π （D)223R π 7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D)838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7，0）,直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-,则此双曲线的方程是 （ ） (A ）14322=-y x (B)13422=-y x （C)12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=,]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ )（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1］ （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D)x arcsin -π 1[-∈x ,1］10．已知长方形的四个顶点A （0,0），B(2，0），C （2，1）和D(0,1）,一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后,依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P (入射角等于反射角）,设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 ( ) (A)(31，1） (B ）（31，32） （C ）（52，21) （D ）(52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 (B)31 (C ）61(D)6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为( ) (A ）π3 （B ）π4 (C)π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类)第Ⅱ卷(非选择题共90分）二。

2002年浙江高考普通高等学校招生全国统一考试（理科数学）理及答案数学注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式1 1sin cos [sin( ) sin( )] S (c c)l台侧2 2其中c 、c 分别表示1cos 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.sin [sin( ) sin( )]21cos 球体的体积公式：cos [cos( ) cos( )]24V球 3 ，其中RR31sin 表示球的半径.sin [cos( ) cos( )]2本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60 分）一. 选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．已知x ( ，0），24s x ，则tg2x （）5（A ）7 （B）24724（C）24 （D）72472．圆锥曲线8 sin2cos的准线方程是（）（A）cos 2 （B）cos 2 （C）sin 2 （D）sin 23．设函数f (x) 2xx121 xx，若 f ( x ) 1，则x0 的取值范围是（）01（A）（1，1）（B）（1，）（C）（， 2 ）（0，）（D）（，1）（1，）4．函数y 2 sin x(sin x cos x) 的最大值为（）（A）1 2 （B） 2 1 （C） 2 （D） 2x 2 y 2 （a 0）及直线l ：x y 3 0，当直线l 被C 截得5．已知圆C：( a) ( 2) 4的弦长为2 3时，则a （）（A） 2 （B）2 2 （C） 2 1 （D） 2 16．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A） 22 R （B）942R （C）832R （D）322R2 x m x2 x n7．已知方程(x 2 )( 2 ) 0的四个根组成一个首项为1 的的等差数列，则4| m n | （）（A）1 （B）3（C）4 1（D）2388．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7 ，0），直线y x 1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为23，则此双曲线的方程是（）2 y 2x（A） 13 42 y2x（B） 14 32 y2x（C） 15 22 y 2x（D） 12 531 xx 的反函数 f ( ) （）9．函数 f (x) sin x ，[ , ]2 2（A）arcsin x x [ 1，1] （B）arcsin x x [ 1，1]（C）arcsin x x [ 1，1] （D）arcsin x x [ 1，1]10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB 的中点P0 沿与AB 的夹角的方向射到BC 上的点P1 后，依次反射到CD、DA 和AB 上的点P、P3 和P4（入射角等于反射角），设P4 的坐标为（x4 ，0），若1 x4 2，则tg 2的取值范围是（）2（A）（ 1 ，1）（B）（3 13， 2 ）（C）（325，12）（D）（2，523）11．2 222C CCC2 34nlim1 111n n(C CC C2 34n)（）（A）3（B）13（C）16（D）612．一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A）3 （B）4 （C）3 3 （D） 62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90 分）二. 填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共16 分把答案填在题中横线上113．x2 )9 的展开式中(2x9x 系数是14．使log 2 ( x) x 1成立的x的取值范围是15．如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 24 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）315416．下列 5 个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出l 面MNP 的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）P PMP N lN Nl lllNMMM P MNP①②③④⑤三、解答题：本大题共 6 小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤317．（本小题满分12 分）已知复数z的辐角为60 ，且| z 1|是| z |和| z 2 |的等比中项，求| z |18．（本小题满分12 分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，ACB 90 ，侧棱AA 2 ，D、E 分别是CC1与A1B 的中点，点 E 在平面ABD 上的射影是△ABD的重心G 1（I ）求A1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II ）求点A1 到平面AED的距离C1B1A 1 DECGKBA F419．（本小题满分12 分）已知c 0 ，设P：函数xy c 在R 上单调递减Q：不等式x | x 2c | 1的解集为R如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c的取值范围520．（本小题满分12 分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南2( ）方向300km 的海面P 处，arccos10 y北并以20km/h 的速度向西偏北45 方向移动，东台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为O60km，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？岸海Ox O线Pr(t)45P 621．（本小题满分14 分）已知常数 a 0 ，在矩形ABCD 中，AB 4 ，BC 4a ，O 为AB 的中点，点E、F、G 分别在BC、CD、DA 上移动，且B E CF DGBC CD DA，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由yCD FEPGA OB x722．（本小题满分12 分，附加题4分）s t 0 s t 且s,t Z }中所有的数从小到大排列成的数列，（I）设{a n} 是集合{ 2 2 |即a 3，a2 5，a3 6，a4 9，a5 10，a6 12，⋯1将数列{a n} 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12————⋯⋯⋯⋯⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求a100分不超过150 分）（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加 4 分，但全卷总r 2s 2 | 0t{b n} 是集合r s t设{ 2 ，且r , s,t Z} 中所有的数从小到大排列成的数列，已知 b 1160，求k .k8不等式x | x 2c| 1的解集为R 函数y x | x 2c | 在R上恒大于1.x | x 2c| 2x 2c, x 2c, 2c, x 2c,函数在上的最小值为y x | x 2c | R 2c.1不等式| x x 2c| 1的解集为R 2c 1 c .21如果P正确,且Q不正确,则0 c .21如果P不正确,且Q正确,则c 1 .所以c的取值范围为(0, ] [1, ).2（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法）20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P（x, y ）的坐标为x3002102022t ,y 300 72102022t.此时台风侵袭的区域是(x x) ( ) [ ( )] ,2 y y r t 2其中r(t) 10t 60,若在t 时刻城市O受到台风的侵袭，则有(0 2 y t 22x) (0 ) (10 60) .即2 2 7 2 22 )2 (300 20 t) ( 300 20 t10 2 10 22 t2 t t(10t 60) ,即36 288 0,解得1224答：12 小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设BE CF DGBC CD DAk(0 k 1)由此有E（2，4a k），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为： 2 a x (2k 1)y 0①直线GE的方程为：a(2k 1) x y 2a 0②2x2 y2 ay 从①，②消去参数k，得点P（x,y ）坐标满足方程2a 2 0102 2x (y a)整理得 11 2a2 当 2 1a时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.2当 2 1a时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长2当11 2 1 22a时，点P到椭圆两个焦点（ a , ) 的距离之和为定值2, a), ( a a 22 2当11 2 12a时，点P 到椭圆两个焦点（0，a 2 a a ) 的距离之和为定a ), (0,22 2值2a .22．（本小题满分12 分，附加题4分）t s（Ⅰ）解：用(t,s)表示2 2 ，下表的规律为3（(0,1)= 0 12 2 ）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)————⋯⋯⋯⋯（i ）第四行17(0,4) 18 (1,4) 20 (2,4) 24 (3,4)第五行33 (0,5) 34 (1,5) 36 (2,5) 40 (3,5) 48 (4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+⋯⋯+13）+9，所以 a (8,14) ＝1008 142 2 ＝16640s t解法二：设a100 2 0 2 0 ，只须确定正整数s0 ,t0.数列{a } 中小于nt 的项构成的子集为{2 2 | 0 }, 0t s s t t 20 t (t0 1) t0 (t0 1) 其元素个数为100.2 0C t 依题意,0 22满足等式的最大整数t为14，所以取t0 14.2 14 8100－C14 s 1,由此解得s 8, a 2 2 16640.因为0 0 100（Ⅱ）解：1160 2 2 2 ,10 7 3bk令{ | 1160} ( ,B{2 2 2 | 0 }r s r s ttM c B C 其中1110 c Bc c B c 10 10 7 10 7 10 7 3因 M {c B |c 2 } { |22 2 } { | 2 2 2 2 2 }.10 r tr s t s 现在求 M 的元素个数： {c B | c 2 } {22 2 | 0 10},310 c 10 7 10 s r r s 其元素个数为C ： {|2 2 2 } {2 2 2 |0 7}. c B10 2 10 7 10 7 3 10 7 r 某元素个数为C 7 :{c B | 22c 2 2 2 } {2 2 2 | 0 r 3} 7 3 2 2 某元素个数为C 10 : k C CC 1 145. 10 7 3r t s 另法 ：规定 22 2 （r,t,s ）， b 01 73 ＝（ 3,7,10 ） 1 60 2 2 2 k 0 1 2 则b 1 2 2 2 ＝ （0,1,2 ） 2C 2 依次为（0,1,3 ） （0,2,3 ） （1,2,3 ）2 C 3（0,1,4 ） （0,2,4 ）（1,2,4 ）（0,3,4 ） （1,3,4 ）（2,3,4 ） 24 C⋯ ⋯ ⋯ ⋯（0,1,9 ） （0,2,9 ）⋯ ⋯ ⋯ ⋯ （ 6,8,9 ）（7,8,9 ） 2C9 （0,1,10 ）（0,2,10 ） ⋯ ⋯ ⋯ （0,7,10 ）（ 1,7,10 ）（2,7,10 ）（3,7,10 ）⋯ ⋯ 2C +47 2 2 22 k (C C C ) C 4 145.2 3 9 712。

浙江大学2003年研究生数学分析试题1．（15分）叙述数列的柯西（Cauchy ）收敛原理，并证明之。

2．（15分）设()f x 在[,]a ∞上一致连续，()x ϕ在[,]a ∞上连续，且lim[()()]0x f x x ϕ→∞-=。

证明：()x ϕ在[,]a ∞上一致连续。

3．（15分）设()f x 在[,]a ∞上有二阶连续导数，且()0,'()0f a f a ><，当x a >时''()0f x ≤。

证明：在[,]a ∞内，方程()0f x =有且只有一个实根。

4．（20分）设()f x 连续，10()()d x f xt t ϕ=⎰，且0()lim x f x A x→=（常数），求'()x ϕ，并讨论'()x ϕ 在0x =处的连续性。

5．（10分）定义()n P x 为21d (1)()2!d n nn n n x P x n x -=，1,2,n=0()1P x = 证明：110()()d 221m k m k P x P x x m k m -≠⎧⎪=⎨=⎪+⎩⎰。

6．（10分）给出Riemann 积分()d ba f x x ⎰的定义，并确定实数s 的范围使下列极限收敛11lim ()n s n i i n n -→∞=∑。

7．（20分）证明： 1）函数项级数121(1)n n n x -∞=-+∑在(,)-∞∞上一致收敛，但是对任意(,)x ∈-∞∞非绝对收敛； 2）函数项级数221(1)n n x x ∞=+∑对任意(,)x ∈-∞∞都绝对收敛，但在(,)-∞∞上非一致收敛。

8．（45分）计算1）（15分）1001max ln d s s t t ≤≤-⎰；2）（15分）23D 3d d x x y y xy+⎰⎰，其中D 为平面曲线221,3,,3xy xy y x y x ====所围成的有界闭区域。

2003年浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)*2002/12/7一、 计算题（每小题12分，共60分）1、求极限205sin()limxx xt dt x→⎰.解: 令u xt =原式220501sin lim x x u du x x →=⎰22060sin lim x x u du x→=⎰04050sin 21lim 63x x x x →⋅==.2、设31()sin xG x t t dt =⎰，求21()G x dx ⎰. 解: 222111()()()x G x dx xG x xG x dx ''==-⎰⎰22312(2)(1)sin G G x x dx =--⎰233112(2)sin 3G x dx =-⎰ 23112(2)cos 3G x =+ 12(2)(cos8cos1)3G =+-.3、求241x dx x∞+⎰. 解: 令1t x=, 则2dt dx t =-,代入241x dx x ∞+⎰得:244400011111x dx dt dx x t x ∞∞∞==+++⎰⎰⎰, 直接计算411dx x ∞+⎰比较困难!*周晖杰 2008/11/122444000111211x x dx dx dx x x x ∞∞∞⎡⎤⇒=+⎢⎥+++⎣⎦⎰⎰⎰ 2401121x dx x ∞+=+⎰202211112x dx x x ∞+=+⎰02111()12()2d x x x x ∞=--+⎰2011()421()12d x x x x ∞=-⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰1)42x x ∞=-4=. 求不定积分、定积分、广义积分，用代换是不错的方法，主要有： ① 三角代换；②根式代换；③倒代换；④指数代换；⑤1x x +或1x x-代 换.4、求21lim nn k n kn k →∞=++∑. 解: 求无穷项的极限问题，主要有如下方法：①通过等比、等差等方法转化为有限项，但适用性不强；②夹逼定理；③转化为定积分1()lim ()nban k b a b a f x dx f a k n n →∞=--=+∑⎰，尤其当0,1a b ==时，1011()lim ()n n k kf x dx f nn →∞==∑⎰. 2222112lim lim 12nn n k n k n n n n n kn n n n →∞→∞=++++⎛⎫=+++ ⎪++++⎝⎭∑ 令2221212n n n n n x n n n n +++=++++++ ，22212n n n n ny n n n n n n +++=++++++ 22212111n n n n nz n n n +++=++++++显然，n n n y x z ≤≤，且3lim lim 2n n n n y z →∞→∞==由夹逼定理得：213lim 2nn k n k n k→∞=+=+∑. 二、(20分)求满足下列性质的曲线C : 设000(,)P x y 为曲线22y x =上任一点,则由曲线0x x =,22y x =,2y x =所围成区域的面积A 与曲线0y y =,22y x =和C 所围成区域的面积B 相等.解: 0223001(2)3x A x x dx x =-=⎰设C : ()x f y =,则03200()3y f y dy y =-⎰03320001()33y x f y dy y ⇒=-⎰, 即:3332200001()3y f y dy x y y ==⎰则()f y x ==,也即: 23225y x =.03200()3y y f y dy =-⎰03320001()33y x y f y dy ⇒=-⎰ 即:3332200001()3y f y dy y x y =-=⎰则()f y x ==, 也即: 2329y x =. ③ ……………………2三、(20分) 求22Lydx xdy x y -+⎰,其中22(1):19x L y -+=的上半平面内部分,从点(2,0)-到(4,0).解: 令22(,)y P x y x y =+, 22(,)xQ x y x y-=+ ()()22222222222()2P x y y x y y x y x y ∂+--==∂++, 同理: ()22222Q x y x x y ∂-=∂+, 即Q P x y ∂∂=∂∂ 故22Lydx xdyx y -+⎰与积分路径无关, 但不能取直线段AD , 因为被积函数在原点不可导, 取如图的路径,则:22222222LAB BC CD ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdyx y x y x y x y----=++++⎰⎰⎰⎰140222021244116dy dxdy y x y --=+++++⎰⎰⎰ 114200arctan arctan arctan24y y x -=++11arctan arctan 4arctan 2arctan 24π=+++=.四、(15分) 证明:2004220031sin 2003t dt <⎰. 证明: ①为了把2004去掉,而存在2003, 令2003x t =-则20041222003sin sin(2003)t dt x dx =+⎰⎰,而由积分中值定理:101120032003dx x <+⎰, 只需证明: 112001sin(2003)2003x dx dx x+<+⎰⎰绝对值很讨厌!!! 看来需要用一次绝对值三角不等式了. ……112001sin(2003)2003x dx dx x+<+⎰⎰② 令2x t =,22222004200420042200320032003sin t dt xdx xdx '==⎰⎰⎰2222200432003211cos 4xdx x =+⎰2222200432003211cos 4xdx x≤+⎰ 2220041220031111400622003x≤+⋅≤. 五、(15分)设()x ϕ在[0,1]上连续, (0,1)内可导,且(0)0ϕ=,(1)1ϕ=.证明:存在(0,1)内的两个数,ξη,使123()()ϕξϕη+=''. 证明：令,0a b >则由介值定理得: (0,1)c ∃∈, 使得()a c a bϕ=+, 在[0,]c 与[,1]c 上用拉格朗日中值定理得:()(0)()0()c a c a b c ϕϕϕξ-'==-+,1(1)()()11()(1)ac b a b cc a b c ϕϕϕη--+'===--+-()()(1)()()()a ba b c a b c a b ϕξϕη+=+++-=+'', 故取1,2a b ==即可. 六、(15分)从正方形四个顶点1234(0,1),(1,1),(1,0),(0,0)P P P P 开始构造56,,P P , 使得5P 位12PP 的中点, 6P 位23P P 的中点, 7P 位34P P 的中点,…,这样,我们得到点列{}n P 收敛于正方形内部一点0P ,试求0P 的坐标.解： 00lim 0n n n P P P P →∞→⇔-=,即0lim 0n n P P →∞=猜测011(,)22P =15910261112371314481516113(0,1),(,1),(,1)(,1),244131(1,1),(1,),(1,)(1,),244131(1,0),(,0),(,0)(,0),244113(0,0),(0,),(0,)(0,),244P P P P P P P P P P P P P P P P则, 0111{,}22P P =- ,0211{,}22P P = ,0311{,}22P P =- ,0411{,}22P P =--051{0,}2P P = , 061{,0}2P P = ,071{0,}2P P =- , 081{,0}2P P =-0911{,}42P P =- ,01011{,}42P P =,01111{,}24P P = , 01211{,}24P P =- 01311{,}42P P =- ,01411{,}42P P =-- ,01511{,}24P P =-- , 01611{,}24P P =- 6P斜子列: 8(1)1{}n P -+,8(1)2{}n P -+,8(1)3{}n P -+,8(1)4{}n P -+ 直子列: 8(1)5{}n P -+,8(1)6{}n P -+,8(1)7{}n P -+,8(1)8{}n P -+对子列8(1)1{}n P -+, 012P P =,092P P =。

200３年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数 学（理工农医类)注意事项:1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案，不能答在试题卷上.３． 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式: 正棱台、圆台的侧面积公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示 )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长. )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分第Ⅰ卷（选择题共60分)一.选择题:本大题共1２小题,每小题５分,共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的1.已知2(π-∈x ，0），54cos =x ,则2tg x =（ )（A ）247 （B ）247- （C)724 (Ｄ）724- ２.圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是（ )（A ）2cos -=θρ (B)2cos =θρ (C)2sin =θρ (D)2sin -=θρ 3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ,则0x 的取值范围是 （ ）（A ）(1-,1） （B)(1-，∞+） (Ｃ）（∞-,2-)⋃（0,∞+) （D ）(∞-，1-)⋃(1,∞+）4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ )(Ａ）21+ (Ｂ）12- (C)2 （D ）25.已知圆Ｃ:4)2()(22=-+-y a x （0>a )及直线l :03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时,则a ( ）(Ａ）2 (B ）22- (C)12- （D)12+6.已知圆锥的底面半径为R,高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ )（A ）22R π （B)249R π (Ｃ)238R π （D ）223R π 7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m( ） （A ）1 （B)43 (C)21 （Ｄ)83 8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为Ｆ（7，0），直线1-=x y 与其相交于Ｍ、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） (A)14322=-y x (B)13422=-y x （C ）12522=-y x (Ｄ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=,]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f（ ）（A)x arcsin - 1[-∈x ，1] (B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1](C)x arcsin +π 1[-∈x ，１] (D)x arcsin -π 1[-∈x ,1] 1０．已知长方形的四个顶点A （0,０)，B （2，０)，Ｃ（2，1)和Ｄ(０,1),一质点从A Ｂ的中点0P 沿与ＡB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后,依次反射到ＣD 、ＤA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角),设4P 的坐标为（4x ，0）,若214<<x ，则ｔg θ的取值范围是 ( )（A ）(31，1) （B)(31，32） (Ｃ）(52,21） (D ）(52，32）。

2002年浙江高考普通高等学校招生全国统一考试（理科数学）理及答案数 学注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ）（A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+） （C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ）（A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （II ）求点1A 到平面AED 的距离D E KBC 1A 1B 1AFCG19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos(=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？东O21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts+ t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． 解：设)60sin 60cosr r z +=，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+ 22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值. 按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DG k k BC CD DA===≤≤ 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ） 直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a 整理得1)(21222=-+aa y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值2 当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）解：用(t,s)表示22t s +，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)— — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s 数列}{n a 中小于02t 的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s++=（r,t,s ），10731160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝ （0,1,2） 22C 依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） 23C（0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）…… 27C +422222397()4145.k C C C C =+++++=。

2003年一．计算题1．求205sin()lim xx xt dt x→⎰。

2．设31()sin xG x t t dt =⎰，求21()G x dx ⎰。

3．求241x dx x∞+⎰。

4．求212lim (1)n n k n n k k n n C -→∞=∙+∑。

二．求满足下列性质的曲线C ：设000(,)p x y 为曲线22yx =上任一点，则由曲线220,2,x x y x y x ===所围成区域的面积A 与曲线20,2y y y x ==和C 所围成区域的面积B 相等。

三． 证明：锐角三角形内一点到三顶点联线成等角时，该点到三顶点距离之和为最小。

四． 证明：2004220031|sin |2003t dt <⎰。

五．设()x ϕ在[0,1]上可导，且(0)0,(1)1ϕϕ==。

证明：对任意正数,a b ，必存在(0,1)内的两个数ξ与η，使()()a ba b ϕξϕη+=+''。

六．求使得下列不等式对所有的自然数n 都成立的最小的数β：β++≤n ne )11( 。

2003年浙江省高等数学竞赛试题及解答一、计算题 1．求()25sin limxx xt dt x→⎰.解：()25sin limxx xt dt x →⎰22051sin limx x u dux x →⋅=⎰2206s i n l i mx x u d u x →=⎰450s i n 2l i m 6x x x x→⋅=4401s i n 1l i m 33x x x →==. 2、设()31sin xG x t tdt =⎰，求()21G x dx ⎰.解：()3sin G x x x'=，()10G=，()2312sin G t t dt =⎰，()()()222111G x dx xG x xG x dx '=-⎰⎰ ()223122sin G x x dx =-⎰()231122cos 3G x dx '⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰()()122cos8cos13G =+-.3、计算（1）24011x dx x +∞++⎰，（2）4011dx x +∞+⎰，（3）2401x dx x+∞+⎰ . 解（1）24011x dx x +∞++⎰2022111x dx x x+∞+=+⎰ 0211()1()2d x x x x+∞=--+⎰212dy y +∞-∞=+⎰∞+∞-=|2arctan 21y 2π=， （2）由于411I dx x +∞=+⎰12401x yy dy y=+∞=+⎰2401x dx x +∞=+⎰，240121x I dx x +∞+=+⎰2π=，所以4011dx x +∞+⎰22π= (3)241x dx x +∞+⎰22π= .4、 求212lim .(1)n nk n n k C k n n -→∞=+∑ 解 1(1)1,nnkknk x Cx =+=+∑ 121nkn nk C==-∑，111(1)nn k k nk n x C kx--=+=∑，112nk n nk C k n -==⋅∑，221(1)(1)(1),nn kk n k n n x C k k x --=-+=-∑ 21(1)2(1),nn kn k n n C k k -=-=-∑ 2211(1)2nnkn knn k k C kn n C k -===-+∑∑ 21(1)22n n n n n --=-+⋅2(1)2n n n -=+.所以212lim (1)n nk nn k C k n n -→∞=+∑22lim (1)2(1)n n n n n n n --→∞=⋅++14=.四、设2()sin x axf x t dt +=⎰，0a >，求证：对0x >，成立1()f x x<. 证明 令t u =， 由22()1()sin 2x a x f x u du u+=⋅⎰2222()3()2cos 1()cos 42x a x a xx u u udu u ++-=--⎰， 得223()21111()()24x a xf x u du x x a +-<+++⎰22(1)121111()()212x x u x x +-=++-+111111()()22x x a x x a =++-++1x=.21|sin |x ax t dt x +<⎰，21|sin |x t dt x+∞<⎰， 同理有 21|c o s |x a x t dt x +<⎰，21|cos |x t dt x+∞<⎰，五、设()f x 在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且(0)0f =, (1)1f =. 试证：对任意给定的正数,a b 在(0,1)内存在不同的ξ, η, 使得()()a ba b f f ξη+=+'' 证明： 因为,a b 均为正数, 所以01aa b<<+ 又因为()f x 在[0,1]上连续, 由介值定理(0,1)τ∃∈, 使()af a bτ=+ ()f x 在[0,]τ, [,1]τ上分别应用拉格朗日中值定理()(0)()(0),f f f τξτ'-=-(0,)ξτ∈ (1)()()(1),f f f τητ'-=-(,1)ητ∈ 注意到(0)0f =, (1)1f =, 于是上二式又化为()()()af a b f f ττξξ+=='', 且()0f ξ'≠, 1()1()()bf a bf f ττηη-+-=='', 且()0f η'≠ （2）（1）＋（2）得1()()a ba b a b f f ξη++=+''.即()()a ba b f f ξη+=+''六、证明：集合10,1x A x e x αα+⎧⎫⎪⎪⎛⎫=∀>+>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭有最小值，并求最小值. 证明：（1）不等式11x e x α+⎛⎫+> ⎪⎝⎭等价于()1ln 11x x α⎛⎫++> ⎪⎝⎭，亦即11ln 1x x α>-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()0x >，所以A α∈等价于α为()11ln 1f x x x =-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()0x >的上界，按照确界的定义，即()0min supx A f x >=.（2）利用已得结果，可知()()2111011ln 1f x x x x '=⋅->+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，于是()()0suplim x x f x f x →+∞>=，（3）()()()1ln 1ln lim limln 1ln x x x x x f x x x→+∞→+∞-+-⎡⎤⎣⎦=+-()11ln 1ln 1lim 111x x x x x x x x→+∞⎛⎫-+---⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭=-+()()1ln 1ln 1lim1x x x x x→+∞++--⎡⎤⎣⎦=()()211ln 1ln 11lim 1x x x x x x x→+∞⎛⎫+-++- ⎪+⎝⎭=-()21ln 1ln lim1x x x x x→+∞+--=-231111lim 12x x x x x→+∞-++=()()()32211lim 21x x x x x x x x→+∞⎡⎤-+++⎣⎦=+11lim 212x x x →+∞==+， 故1min 2A =.。

浙江大学1999年研究生数学分析试题一．求极限)(ln )1(∞→-n nn n Limn 二．在xy 平面上求一点,使它到三条直线0,0==y x 及0162=-+y x 的距离平方和最小三．计算二重积分⎰⎰Dxydxdy ,其中D 由曲线 y x y x +=+22 所围城的区域四．设)(x f 在>x 时连续,3)1(=f ，并且⎰⎰⎰+=x yxydt t f y dt t f x dt t f 111)()()(,)0,0(>>y x ，试求函数)(x f五．设函数),()(b a t f 在连续，若有数列)),(,(,b a y x a y a x n n n n ∈→→使)()()()(∞→=∞→=n B y Limf n A x Limf n n 及,则对A,B 之间的任意数μ，可找到数列a x n →,使得μ=)(n z Limf六．设∑===<≤nk k n k a s n k a a 1,....,2,1,0令，证明不等式n nnk kk s n ns a a -≥-∑=11 七．设函数f 在nab v a f f f b a n n vn -=+=>δδ),(,0],[记上连续，且，试证明：)}()(ln 1exp{∞→-=⎰n dx x f a b ba并利用上述等式证明下式r dx r x r ln 2)cos 21ln(21202=+-⎰ππ )1(>r 八．从调和级数 +++++n131211中去掉所有在分母的十进表示中含数码9的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的浙江大学2000年研究生数学分析试题一．(共10分）（1）求极限10(1)limxx e x x →-+（2）设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-====求二．（共10分）1．设Kab a f b f K f b a =--=+-→→)()(lim ,)0(00试证明‘2．设()f x 在[,]a b 上连续,()f x ''在(,)a b 内存在,试证明存在(,)a b ξ∈，使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f a f b f ''-=+-+三．(共15分）1．求数项级数∑∞=12n nn的和S2．试证明∑∞==11)(n xn x s 在),1(∞上的连续函数 四．（共15分)1．设方程组⎩⎨⎧=+=+++0sin sin 0v y u x v u y x ，确定了可微函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u ，试求y vx v du ∂∂∂∂,, 2．设2)()d yx y F y x x =,求)1(F '五．(共30分)1．计算定积分2sin cos 1cos x xI dx x π=+⎰2．求以曲面22y x e z --=为顶,以平面0=z 为底，以柱面122=+y x 为侧面的曲顶柱体的体积V 3．设∑+表示半球面)1(12222≤+--=y x y x z 的上侧,求第二类曲面积分⎰⎰∑++-++=+dxdy y z x dzdx z y x dydz z y x J 222)2()2()(六．（共20分）1．将函数x x f =)( )(ππ≤≤-x 展开成Fourier 级数2．求级数∑∞=121n n 的和 3．计算广义积分⎰-10)1ln(dx xx浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）（1)求极限10(1)limxx e x x →-+解：原式=12(1)ln(1)2(1)lim(1)xx x xe x x x x ++-+→+=(2)设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-====求解：)(21211-----=-n n n n x x x x ,这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛,以下求解就按照}{1--n n x x 这个数列来进行即可。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学(理工农医类）注意事项：1。

答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式: 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长。

)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一。

选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0)，54cos =x ，则2tg x = ( ) （A ）247 （B ）247- (C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ (D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-,1） (B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D)（∞-，1-)⋃(1,∞+)4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）（A ）21+ （B ）12- (C)2 （D)25．已知圆C:4)2()(22=-+-y a x （0>a )及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时,则a （ ） (A)2 （B ）22- （C)12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R,在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ )（A)22R π （B ）249R π （C)238R π （D ）223R π 7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7,0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-,则此双曲线的方程是 （ ） （A)14322=-y x （B ）13422=-y x （C)12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f ( ）（A)x arcsin - 1[-∈x ，1］ （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] (C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1］ （D)x arcsin -π 1[-∈x ，1］10．已知长方形的四个顶点A(0，0），B （2，0），C(2,1)和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31,1） （B)（31，32) （C ）（52，21） (D ）(52，32)11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A)3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上,则些球的表面积为（ ) (A)π3 （B)π4 （C ）π33 （D)π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷)数 学(理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分)二.填空题：本大题共4小题,每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图,一个地区分为5个行政区域，现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种(以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线,点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 (写出所有符合要求的图形序号)① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．(本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60,且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项,求||z18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111C B A ABC -中,底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示） （II ）求点1A 到平面AED 的距离 19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设P:函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围D E KBC 1A 1B 1AFCG20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大，问几东O小时后该城市开始受到台风的侵袭? 21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值;若不存在，请说明理由22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts+ t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ,…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a(II ）（本小题为附加题,如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分)设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k 。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学(理工农医类）注意事项：1。

答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2。

每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3。

考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式: 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分第Ⅰ卷(选择题共60分）一。

选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ,则2tg x = （ ） （A)247 （B ）247- （C)724 (D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B)2cos =θρ （C ）2sin =θρ (D)2sin -=θρ3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C)(∞-,2-)⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 ( )（A)21+ （B ）12- (C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时,则a （ ) （A)2 (B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）(A)22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B)43 (C)21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-,则此双曲线的方程是 （ ) (A ）14322=-y x (B ）13422=-y x (C ）12522=-y x (D)15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f ( )（A ）x arcsin - 1[-∈x ,1］ (B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1］ （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0,0)，B （2，0)，C （2，1）和D （0，1）,一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角)，设4P 的坐标为（4x ，0),若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32) （C ）(52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A)3 (B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D)π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54c o s =x ，则2tg x = （ ）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （II ）求点1A 到平面AED 的距离 19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 D E KBC 1A 1B 1AFCG20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos(=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？东O21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts+ t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． 解：设)60sin 60cosr r z +=，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值. 按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DG k k BC CD DA===≤≤ 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ） 直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值2 当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）解：用(t,s)表示22t s+，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)— — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640 解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s数列}{n a 中小于02t 的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C 另法：规定222r t s++=（r,t,s ），10731160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝ （0,1,2） 22C 依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） 23C（0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）…… 27C +422222397()4145.k C C C C =+++++=。