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第二章 函数§1 函数概念1．证明下列不等式： (1) y x y x -≥-；(2) n n x x x x x x +++≤+++ 2121；(3) )(2121n n x x x x x x x x +++-≥++++ ． 证明（1）由 y y x y y x x +-≤+-=)(，得到y x y x -≤-，在该式中用x 与y 互换，得到 x y x y -≤-，即y x y x --≥-，由此即得，y x y x -≥-．（2）当2,1=n 时，不等式分别为212111,x x x x x x +≤+≤，显然成立． 假设当k n =时，不等式成立，即 k k x x x x x x +++≤+++ 2121，则当1+=k n 时，有121121121121121)()(+++++++++=++++≤++++≤++++=++++k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x有数学归纳法原理，原不等式成立．（3）n n n x x x x x x x x x x x x +++-≥++++=++++ 212121)( )(21n x x x x +++-≥ ． 2．求证bb aa ba b a +++≤+++111．证明 由不等式 b a b a +≤+，两边加上)(b a b a ++后分别提取公因式得，)1()()1(b a b a b a b a +++≤+++，即bb aa ba b ba a ba b a ba b a +++≤+++++=+++≤+++111111．3．求证22),max(ba b a b a -++=； 22),min(ba b a b a --+=． 证明 若b a ≥，则由于b a b a -=-，故有22),max(b a b a a b a -++==，22),min(b a b a b b a --+==， 若b a <，则由于)(b a b a --=-，故亦有22),max(b a b a b b a -++==，22),min(ba b a a b a --+==， 因此两等式均成立．4．已知三角形的两条边分别为a 和b ，它们之间的夹角为θ，试求此三角形的面积)(θs ，并求其定义域．解 θθsin 21)(ab s =，定义域为开区间),0(π． 5．在半径为r 的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域．解 设内接圆柱高为x ，则地面半径为422x r r -='，因而体积)4(222x r x x r V -='=ππ，定义域为开区间)2,0(r ．6．某公共汽车路线全长为km 20，票价规定如下：乘坐km 5以下（包括km 5）者收费1元；超过km 5但在km 15以下（包括km 15）者收费2元；其余收费2元5角. 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形．解 设路程为x ，票价为y ，则⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<≤<=．2015,5.2,155,2,50,1x x x y函数图形见右图．7．一脉冲发生器产生一个三角波．若记它随时间t 的变化规律为)(t f ，且三个角分别有对应关系0)0(=f ，20)10(=f ，0)20(=f ，求)200()(≤≤t t f ，并作出函数的图形．解 ⎩⎨⎧≤<-≤≤=．2010,240,100,2)(t t t t t f函数图形如右图所示．8．判别下列函数的奇偶性：（1）12)(24-+=x x x f ； （2）x x x f sin )(+=； （3）22)(x e x x f -=；（4）)1lg()(2x x x f ++=．解（1）定义域为),(∞+-∞，由于),(∞+-∞∈∀x ，有),(∞+-∞∈-x ，且有)(121)(2)()(2424x f x x x x x f =-+=--+-=-，即得12)(24-+=x x x f 是偶函数． （2）定义域为),(∞+-∞，由于),(∞+-∞∈∀x ，有),(∞+-∞∈-x ，且有)()sin (sin )sin()()(x f x x x x x x x f -=+-=--=-+-=-，因此，x x x f sin )(+=是奇函数．（3）定义域为),(∞+-∞，由于),(∞+-∞∈∀x ，有),(∞+-∞∈-x ，且有)()()(222)(2x f e x e x x f x x ==-=----，即22)(x e x x f -=是偶函数．（4）定义域为),(∞+-∞，由于),(∞+-∞∈∀x ，有),(∞+-∞∈-x ，且有，)()1lg(11lg)1lg())(1lg()(2222x f x x x x x x x x x f -=++-=++=++-=-++-=-因此，)1lg()(2x x x f ++=是奇函数．9．判别下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期： （1）2cos )(x x f =； （2）3sin 22cos )(x x x f +=； （3）x x f 4cos )(π=；（4）x x f tan )(=．解（1）不是．若为周期函数，设周期为T ，则R x ∈∀，有)()(x f T x f =+，即22cos )cos(x T x =+，移项并使用三角公式化简得，0)2sin()2sin(222=+++T Tx T Tx x ，由R x ∈的任意性知道这是不可能的，故2cos )(x x f =不是周期函数．（2）是．周期为ππ4212=和ππ6312=的最小公倍数π12． （3）是．周期是842=ππ．（4）定义域是使0tan ≥x 的一切x 的取值，即},2{)(Z k k x k x f D ∈+<≤=πππ，由于)(f D x ∈∀，必有)(f D x ∈+π，且)(tan )tan()(x f x x x f ==+=+ππ，因此x x f tan )(=是周期函数，周期为π．10．证明21)(xxx f +=在),(∞+-∞有界． 证明 实际上，),(∞+-∞∈∀x ，都有21112111)(2222=++⋅≤+=+=xx x x x x x f ， 由定义，21)(xxx f +=在),(∞+-∞有界． 11．用肯定语气叙述函数无界，并证明21)(x x f =在)1,0(无界． 解 叙述：若X x M M ∈∃>∀,0，使得M x f M >)(，则称函数)(x f 在X 无界．0>∀M ，要使M x x f >=21)(，只须Mx 1<，取)1,0(11∈+=M x M ，则有M M x x f MM >+==11)(2，所以21)(x x f =在)1,0(无界． 12．试证两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数．证明 设)(,)(x g x f 是定义于X 偶函数，)(,)(x x h ϕ是定义于X 奇函数．则由于以下事实)()()()(x g x f x g x f =--，)()()]()][([)()(x x h x x h x x h ϕϕϕ=--=--， )()()]()[()()(x h x f x h x f x h x f -=-=--，知两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数．13．设)(x f 为定义在),(∞+-∞内的任何函数，证明)(x f 可分解成奇函数和偶函数之和．证明 由于)(x f 的定义域为),(∞+-∞，故)(,),(x f x -∞+-∞∈∀有意义． 令2)()()(x f x f x g -+=，2)()()(x f x f x h --=，则)(x g 是偶函数，)(x h 是奇函数，且有)()()(x h x g x f +=．14．用肯定语气叙述：在),(∞+-∞上 (1) )(x f 不是奇函数； (2) )(x f 不是单调上升函数； (3) )(x f 无零点； (4) )(x f 无上界．解 （1）),(0∞+-∞∈∃x ，使得)()(00x f x f -≠-，则)(x f 在),(∞+-∞不是奇函数；（2）),(,21∞+-∞∈∃x x ，虽然21x x <，但)()(21x f x f >，则)(x f 在),(∞+-∞不是单调上升函数；（3）),(∞+-∞∈∀x ，均有0)(≠x f ，则)(x f 在),(∞+-∞无零点；（4）),(,),(∞+-∞∈∃∞+-∞∈∀b x b ，使得b x f b >)(，则)(x f 在),(∞+-∞无上界．§2 复合函数与反函数1．设xxx f +-=11)(，求证x x f f =))((． 证明 ()x f 定义域为1-≠x 的一切实数，因此1-≠∀x ，有()()()()x xx x x xx x x x x x f x f x f f =+-++++-+=+-++--=+-=11111111111111．2．求下列函数的反函数及其定义域： (1) +∞<<⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x y 1,121； (2) ()+∞<<∞--=-x e e y x x,21； (3) ⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<∞-=．x x x x x y x 4,2,41,,1,2解（1）变形为0122=+-yx x ，解得12-+=y y x ，由于()+∞∈∀=⋅⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,1,11221121x xx x x y 成立，因此函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 121，+∞<<x 1的反函数为()∞+∈-+=,1,12x x x y ．（2）变形得，0122=--xxye e，解出1244222++=++=y y y y e x，即()1ln 2++=y y x ，因此原来函数的反函数为()∞+∞-∈++=,,)1ln(2x x x y ．（3）当1<<∞-x 时，1,<<∞-=y y x ，当41≤≤x 时，161,≤≤=y y x ，而当+∞<<x 4时，16,log 2>=y y x ．所以反函数为⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<∞-=．x x x x x x y 16,log ,161,,1,2定义域为()+∞∞-,．3．设()x f ，()x g 为实轴上的单调函数，求证))((x g f 也是实轴上的单调函数． 证明 设()x f ，()x g 为实轴上的单调增函数，即()2,1,,=+∞∞-∈∀i x i ，且,21x x < 有()()()()2121,x g x g x f x f ≤≤，因此))(())((21x g f x g f ≤，即))((x g f 也是单调增函数．同理可证：当()x f ，()x g 为实轴上的单调减函数时，))((x g f 也是单调增函数；当()x f 为增函数，而()x g 为减函数或()x f 为减函数，而()x g 为增函数时，))((x g f 均为减函数．因此，()x f ，()x g 为实轴上的单调函数时，))((x g f 也是实轴上的单调函数． 4．设()⎩⎨⎧>≤--=．0,,0,1x x x x x f ()⎩⎨⎧>-≤=．0,,0,2x x x x x g ， 求复合函数))((x g f ，))((x f g ．解 有复合函数的定义，立即可得⎩⎨⎧>-≤--=,0,1,0,1))((2x x x x x g f ()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤----<<∞-+-=．0,,01,1,1,1))((22x x x x x x x f g5．设21)(xx x f +=，求))((x f f f n次．解 2222221111)(1)())((xx x xx xx f x f x f f +=+++=+=，归纳法假设21))((kx xx f f f k +=次， 则有222)1(111)1()))((())((kx x kx xkx xf x f f f f x f f f k k +++=+==+ 次次2)1(1xk x ++=，依归纳法原理，知21))((nxx x f f f n +=次．6．设x x x f --+=11)(，试求))((x f f f n次．解 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=1,2,11,2,1,2)(x x x x x f ， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=21,2,2121,4,21,2))((x x x x x f f ，归纳法假设 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-<-=----111121,2,2121,2,21,2))((k k k kk k x x x x x f f f 次，则当1+=k n 时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-<-==++,21,2,2121,2,21,2)))((())((1)1(kk k k k k k x x x x x f f f f x f f f 次次 所以，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-<-=----．次111121,2,2121,2,21,2))((n n n n n n x x x x x f f f 7．设x x f -=11)(，求))((x f f ，)))(((x f f f ，))(1(x f f ． 解 x x f -=11)(定义域1≠x 的一切实数，)(11))((x f x f f -=要求1)(≠x f 且1≠x ，因此xxxx f x f f -=--=-=11111)(11))((，0≠x 且1≠x ； ))((11)))(((x f f x f f f -=要求1))((≠x f f 且0≠x ，1≠x ，因此x xx x f f x f f f =--=-=111))((11)))(((，21≠x ，0≠x 且1≠x ； )(111))(1(x f x f f -=要求1≠x 且1)(1≠x f ，因此 xx x f x f f 1)1(11)(111))(1(=--=-=，0≠x 且1≠x ．§3 初等函数1．对下列函数分别讨论函数的定义域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函数的图形：(1) x y =；(2) ][x x y -=；(3) x y tan =； (4) )2(x x y -=；(5) x y 2sin =；(6) x x y cos sin +=．解（1）定义域),(∞+-∞=D ，值域),0[)(∞+=X f ，是偶函数，无界非周期函数； （2）定义域),(∞+-∞=D ，值域)1,0[)(=X f ，既非奇函数也非偶函数，是周期为1的有界周期函数；（1）题图 （2）题图（3）定义域),(∞+-∞=D ，值域),()(∞+-∞=X f ，是偶函数，无界非周期函数； （4）定义域]2,0[=D ，值域]1,0[)(=X f ，既非奇函数也非偶函数，是有界非周期函数；（3）题图 （4）题图（5）定义域),(∞+-∞=D ，值域]1,0[)(=X f ，是偶函数，是周期为π的有界周期函数；（6）定义域),(∞+-∞=D ，是偶函数．由于x x x x x y 2sin 1cos sin 2cos sin 222+=++=，所以212≤≤y ，并注意到0≥y ，得到函数的值域]2,1[)(=X f ，因而是有界函数．因为)(cos sin sin cos )2cos()2sin()2(x y x x x x x x x y =+=-+=+++=+πππ，所以函数x x y cos sin +=是周期为2π的周期函数．2．若已知函数)(x f y =的图形，作函数)(1x f y =，)(2x f y -=，)(3x f y --=的图形，并说明321,,y y y 的图形与y 的图形的关系．解 由于⎩⎨⎧<-≥==0)(,)(,0)(,)()(1x f x f x f x f x f y ，故其图形是将函数)(x f y =的图形在x轴上方部分的不动，在x 轴下方的部分绕x 轴旋转180后即得；)(2x f y -=的图形是将函数)(x f y =的图形绕y 轴旋转 180后得到的；)(3x f y --=的图形是将函数)(x f y =的图形在坐标平面内绕坐标原点旋转 180后得到的．3．若已知函数)(x f ，)(x g 的图形，试作函数])()()()([21x g x f x g x f y -±+=的图形，并说明y 的图形与)(x f 、)(x g 图形的关系．解 由于)}(),(max{)()(,)(,)()(,)(])()()()([21x g x f x g x f x g x g x f x f x g x f x g x f =⎩⎨⎧<≥=-++，)}(),(min{)()(,)(,)()(,)(])()()()([21x g x f x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f =⎩⎨⎧<≥=--+， 因而极易由函数)(x f ，)(x g 的图形作出两函数])()()()([21x g x f x g x f y -±+=的图形，也知其关系．4． 作出下列函数的图形：(1) x x y sin =；(2) xy 1sin=． 解 图形如下．（1）题图 （2）题图5．符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==,0,1,0,0,0,1sgn x x x x y试分别作出x sgn ，)2sgn(x ，)2sgn(-x 的图形．解x sgn )2sgn(x)2sgn(-x6．作出下列函数的图形： (1) x y cos sgn =；(2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22][x x y ．解（1）（2）数学分析续论A 卷复习资料一. 计算题1. 求函数3311(,)f x y x y y x=+在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解： 333311(,)sinf x y x y x y y x ==，因此二重极限为0. 因为33011x x y y x →+与33011y x y y x→+均不存在，故二次极限均不存在。
第十三章 幂级数§13.1 幂级数的收敛半径与收敛域1．求下列各幂级数的收敛域：（1）∑∞=1!)2(n nn x ；（2）∑∞=+++111)1ln(n n x n n ； （3）∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n nn x n n ；（4）∑∞=122n n nx ；（5）∑∞=-+1))1(3(n nn n x n ； （6）()()∑∞=+-+1123n n nn x n ； （7）()()n n x n n ∑∞=+1!!12!!2；（8）∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211n n n x n ；（9）()n n nn x nn∑∞=-11；（10）∑∞=+175n nn nx ； （11）()()nn x n n ∑∞=12!2!；（12）n n x n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++11211 ； （13）∑∞nnx；（14）()()∑∞=---112!122n n n x ； （15）()10,12<<∑∞=a x a n n n ；（16）∑∞=1n p nnx ．解（1）由012lim !2)1(2lim 1=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→+∞→n n n n n n n ，故收敛半径+∞=R ,收敛域为)(∞+∞-,．（2）由 121)2ln()2ln(lim 1)1ln(2)2ln(lim =++⋅++=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→∞→n n n n n n n n n n ，故收敛半径1R =． 在1=x ，级数为∑∞=++11)1ln(n n n ，发散；在1-=x ，级数为∑∞=+++-111)1ln()1(n n n n ，由交错级数的Leibniz 判别法，知其收敛，因而收敛域为)[1,1-．（3）e n n n nn n nn n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→11lim 1lim ，所以收敛半径e R 1=．由于()∞→≠→⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+n e e n nn 01111， 故在e x 1±=级数发散，因此收敛域为)1,1(ee -．（4）由121lim 21limlim 2===∞→∞→∞→n n n n n n n n a ，知收敛半径1=R ． 在1=x ，级数为∑∞=±12)1(2n nn绝对收敛，故收敛域为]1,1[-. （5）由()413limlim =-+=∞→∞→nnn n n n na ，故收敛半径41=R ． 在41=x ，级数()[]∑∞=-+1413n n nn n ，将其奇偶项分开，拆成两个部分，分别为∑∞=121k k 和()∑∞=--1122121k k k ，前一项级数发散，后一项级数收敛，因此级数()[]∑∞=-+1413n n nn n 发散；同样，41-=x 时，级数为()[]()∑∞=--+11413n nn nn n ，也可拆成两部分，前一部分为∑∞=121k k ，另一部分()()∑∞=-----112122121k k k k ，前者发散，后者绝对收敛，因此级数()[]()∑∞=--+11413n nn nn n 发散，所以收敛区域是)41,41(-． （6）()()()332132231lim 23123lim 11=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+∞→++∞→n nn n nn n n n n n n ，所以级数的收敛半径是31=R ． 当311=+x 时，级数为()∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+1132113123n n n n n n n n n 发散；当311-=+x 时，级数为()()∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+1132113123n n n n n n n n n n 收敛． 因此，收敛域为31131≤+≤-x 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,43. （7） ()()()()()13212lim !!12!!2!!32!!12lim =++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++∞→∞→n n n n n n n n ，所以收敛半径1=R ．当1=x 时，级数为()()∑∞=+1!!12!!2n n n ，由于12132lim 12232lim <=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→∞→n n n n n n n ，故由Raabe 判别法，知级数发散；当1-=x 时，级数为()()()n n n n 1!!12!!21-+∑∞=（实际上，由其绝对收敛立知其收敛），这是交错级数，由于()()()()()()!!12!!2!!12!!23222!!32!!22+<+++=++n n n n n n n n ，故()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+!!12!!2n n 单调下降，且由n n n 2112254320<+< （用数学归纳法证之）及夹迫性知()()0!!12!!2lim =+∞→n n n ，由Leibniz 判别法，知()()()n n n n 1!!12!!21-+∑∞=收敛，所以收敛域为)1,1[-． （8）111lim 11lim 2--∞→-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+e n n nn n n n ，所以收敛半径e R =．由于()()∞→≠→±⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n e e n n n 0112，故级数在e x ±=发散，因而收敛域为),(e e -．（9）()()11111lim11=-++-++∞→nnn n n nn n n ，所以1=R ．在1=x ，级数为()∑∞=-11n nn nn，由Leibniz 判别法，知其收敛；在1-=x ，级数为∑∞=11n nnn发散，故收敛域]1,1(-．（10）71751751lim 11=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→nn n n n ，所以7=R ． 在71±=x ，由于()()∞→→+±n n n n1757，即级数()∑∞=+±1757n nn n一般项()n n n757+±当n ∞→时不趋于0，因此级数发散，故收敛域()7,7-．（11）()[]()[]()()()()()4112121lim !2!!12!1lim 222=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∞→∞→n n n n n n n n n ，因此4=R ． 在4±=x ，级数为21(!)(4)(2)!n n n n ∞=±∑，因为级数一般项的绝对值为 1!)!12(!)!2()4()!2()!(2>-=±n n n n n 对一切n 成立，所以0)4()!2()!(lim2≠±∞→nn n n ，即级数21(!)(4)(2)!n n n n ∞=±∑发散，因此收敛域为)4,4(-．（12） 因为1)1211()11211(lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n ，所以1=R ．而在1±=x ，由于()011211lim ≠∞=±⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→nn n ，故级数在1±=x 均发散，因而收敛区间为)1,1(-．（13）因为11lim=+∞→nn n ，所以1=R ．又在1±=x ，显然级数()∑∞=±11n nn 均发散，故收敛域为)1,1(-．（14）由于()()()()()()101222lim !122!122lim 21212<=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-∞→--∞→n n x n x n x n n n n ，故()∞∞-∈∀,x ，()()∑∞=---112!122n n n x 均绝对收敛，因而收敛半径+∞=R ，收敛域()∞∞-,．（15）因为0lim lim 2==∞→∞→n n n n n a a （10<<a ），所以+∞=R ，收敛域为()+∞∞-,．（16）()1111lim 111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→p n ppn n n n ，所以1=R ． 在1±=x ，级数变为()∑∞=±11n pn n ，故当1>p 时都收敛；10≤<p 时，()∑∞=-11n pn n 收敛，而∑∞=11n p n 发散，0≤p 时一般项不趋于0，均发散．因此，当1>p 时，收敛域]1,1[-； 10≤<p 时，收敛域为)1,1[-；而当0≤p 时, 收敛域为)1,1(-．2．设幂级数nn nx a∑∞=1的收敛半径为R , n n n x b ∑∞=1的收敛半径为Q ，讨论下列级数的收敛半径：（1）∑∞=12n n nx a；（2）()∑∞=+1n n n nx b a；（3）()∑∞=1n nnn xb a ．解（1）由题设R a a nn n 1lim 1=+∞→，所以()221211lim x R x a x a n n n n n =++∞→，故当112<x R ,即R x <时，级数nn n x a 21∑∞=绝对收敛，而当112>x R ，即R x >时，级数nn n x a 21∑∞=发散，因此级数nn nx a21∑∞=的收敛半径为R ． （2）收敛半径必{}Q R ,m in ≥，而不定，需给出n a ，n b 的具体表达式才可确定，可以举出例子．（3）RQ b a b a nn n n n 1lim11=++∞→，所以收敛半径为RQ ，只有当Q R ,中一个为0，另一个为∞+时，不能确定，需看具体n a ，n b 来确定，可以是[)+∞,0中任一数．3．设()0,,2,1101>=≤∑∞=x n M x ak kk ，求证：当10x x <<时，有（1）n n nx a∑∞=0收敛；（2）M x an n n≤∑∞=0．证明（1）nn n x a ∑∞=0=n n n n x x x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=111，而由于10x x <<，故数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nx x 1单调递减趋于0，级数n n n x a11∑∞=的部分和数列M x a n nn ≤∑∞=0有界，由Dirichlet 判别法，级数nn n x a ∑∞=0收敛．(2) 设n n nx a∑∞=0的部分和为)(x s n ，则由Abel 变换，有knk k k nk k k n x x x a x a x s ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑==1111)(∑∑∑=-==+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n k kk nn k k i i i k k x a x x x a x x x x 1111111111M x x M x x x x x x M nn k k k <=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑-=+1111111， 所以，M x s x s x an n n n n n n≤=∞→∞→∞=∑)(lim )(lim 0．§13.2 幂级数的性质1．设nn n x a x f ∑∞==)(当r x <时收敛，那么当11+∞=∑+n n n r n a 收敛时有 11)(+∞=∑⎰+=n n n rr n a dx x f ， 不论nn n xa ∑∞=0当r x =时是否收敛．证明 由于幂级数11+∞=∑+n n n r n a 的收敛半径至少不小于r ，且该幂级数在r x =收敛，因而该幂级数在[]r ,0一致收敛（Abel 第二定理），因此该幂级数的和函数)(x s 在r x =连续，即()101lim +∞=→∑+=-n n n rx r n a x s ．又r x <<∀0，由于n n n x a ∑∞=0当r x <时收敛，故可逐项积分，即)(1100x s r n a dx x a dx x a n n n n xnn x n nn =+==+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑，即)(lim )(0x s dt t f rx x -→=⎰，令-→r x 取极限即有11)(lim )(+∞=→∑⎰+==-n n n rx r r n a x s dx x f ． 2．利用上题证明()∑⎰∞=-=-121011ln n ndx x x ． 证明 ()()1,11)1ln(111<-=--=-∑∑∞=∞=-x x nx nx n nn n n ，故()∑∞=--=-1111ln n n x n x x ，1<x ，而级数∑∑∞=∞=-=+-⋅-12111)1(11n n nn n 是收敛的，利用上题结论，就有()∑⎰∞=-=-121011ln n n dx xx ．3. 用逐项微分或逐项积分求下列级数的和：（1）∑∞=1n nnx ；（2）∑∞=1n nnx；（3）()∑∞=+11n nxn n ；（4）()()∑∞=---121121n n n x n n ； （5）∑∞=+122!1n nnx n n ； （6）()()nn n x n n ∑∞=+-13!11；（7）∑∞=-+11414n n n x ；（8）()∑∞=+-0112n n n x ；（9）∑∞=-112n n x n；（10）()∑∞=++1122!12n n x n n ．解（1）因为1,1111<=-∑∞=-x x x n n ，所以当1<x 时，⎰∑⎰-=∞=-x n x n dt t dt t 000111,即()x n x n n --=∑∞=1ln 1，且当1-=x 时，级数()∑∞=-11n nn 收敛，由Abel 第二定理，有()11,1ln 1<≤---=∑∞=x x n x n n． （2）设∑∞==1)(n nnx x s ，则1,)(11<=∑∞=-x nx x x s n n ，逐项积分，有1,1)(1101<-===∑∑⎰⎰∞=∞=-x x x x dt t n dt t t s n n n x n x，所以，()2111)(x x x x x s -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，即()1,1)(2<-=x x x x s ． （3）设()∑∞=+=11)(n nxn n x s ，1<x ，则有()()1,11)(221111<-===+=∑∑∑⎰⎰∞=∞=+∞=x x x nx x nxdt t n n dt t s n nn n n xnx，所以，322)1(2)1()(x xx x x s -='⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，1<x ． （4）设()()∑∞=--=12121)(n n nx n n x s ，1≤x ，则 ()()∑∞=----='11211221)(n n n x n x s ，11≤<-x ， ()()()211212211212121)(xx x x s n n n n n +=-=-=''∑∑∞=-∞=--，1<x ， 所以，()x dt tx s xarctan 21121)(02=+='⎰，11≤<-x ， )1ln(41arctan 21arctan 21)(20x x x tdt x s x+-==⎰，1≤x ． （5） 设 1)(2!12!2!1)(211212-+=+=+=∑∑∑∞=∞=∞=xnn n n n n n n ne x x n x n n x n n x s σ，+∞<x ． 由于()211101222!1122!)(2!)(xn n n n n x n n n e xx n x x n n dt t t x n n x =⎪⎭⎫⎝⎛-==⇒=∑∑⎰∑∞=-∞=∞=σσ，所以， 222412)(x x e x e x x +=σ，故 112141)(22-⎪⎭⎫⎝⎛++=xe x x x s ．（6）设()()∑∞=+-=13!11)(n n n x n n x s ，+∞<x ，则[]()∑∞=-='13!)(n nx n n x xs ，所以，[]()()[]()13)(!)(12220+--='⇒-=-='--∞∑⎰x x xe x xs e x x x n n dx t ts t x x n x，()11)(3-++=-x e x x x xs ，则()xe ex x s x x11)(2-++=--（在0=x 理解为极限值）．（7）令∑∞=-+=11414)(n n n x x s , 则1,14)(1142<+=∑∞=+x n x x s x n n ，所以， []()44141421)(xx xxx s x n nn n-==='∑∑∞=∞=， 故x x x x x s x -+-+=arctan 2111ln 41)(2，因此2222arctan 11ln 41)(xxx x x x x s -+-+=（在0=x 理解为极限值）．（8）22122lim 12lim1=-=-∞→+∞→n n n nn n ，收敛半径21=R ，在21±=x ，有 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±-∑∑∞=∞=+nn n n nn 212121121， 由于()02121lim ≠⎪⎭⎫⎝⎛-±∞→nnn ，故级数发散．可得 ()()∑∑∑∞=∞=∞=+-=-=012212)(n n n nn nn x x x x s()()x x x x 2111112112--=---=，21<x ． （9）设1,)(112<=∑∞=-x x nx s n n ，则有x x x dx dt t s u nx dt t s n n xu n nx-==⎪⎭⎫⎝⎛⇒=∑⎰⎰∑⎰∞=∞=1)(1)(10010，所以，20)1(11)(1x x x dt t s x x -='⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰， 即20)1()(x x dt t s x-=⎰，所以32)1(1)1()(x xx x x s -+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，1<x ． （10）设()+∞<+=∑∞+x x n n x s n ,!12)(122，则有（逐项积分），()1!1)(1!12)(2121001120-==⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒+=+∞=∞=+∑⎰⎰∑⎰x n n x t n n xe x x n dt du u u s t x n n dt t t s所以，()()x e x x du uu s e x du u u s x x x x x -+=-+=⎰⎰2230202)(,112)(1， ()11624)(224-+++=x e x x x xx s ， 则()x e x x x x x s x -+++=2235624)(．4.求下列级数的和： （1）∑∞=-1212n nn ； （2）()∑∞=+1121n n n ． 解 （1）考虑级数())(1212x s xn n n=-∑∞=，1<x ．由于()∑∞=--=122212)(n n x n x x s ，逐项积分，()2112112021)(xxx x x dt t t s n n n n x-===∑∑⎰∞==∞=-，所以， ()()()2222222211)(11)(x x x x s x x x x s -+=⇒-+=，1<x ． 故有()3222112212121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑∞=∞=s n n n nn n ． （2）设()∑∞=++=112121)(n n x nn x s ，则级数在1≤x 绝对收敛，所以， ∑∞=='121)(n n x n x s ，2112122)(x xx x s n n -==''∑∞=-，1<x ． 因此，)1ln(12)(202x dt t t x s x--=-='⎰，xxx x x dx x x s x +-++--=--=⎰11ln 2)1ln()1ln()(202，1≤x ．())(lim )1(12111x s s nn x n -→∞===+∑[]2ln 22)1ln()1(2)1ln()1(lim 1-=++-+--=-→x x x x x x ．5．证明：(1) ∑∞=04)!4(n n n x 满足方程y y =)4(；(2) ∑∞=02)!(n nn x 满足方程0=-'+''y y y x ． 解（1）对级数∑∞=04)!4(n n n x ，由0)!4(1)]!1(4[1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→n n n ，故收敛半径+∞=R ，收敛域为()+∞∞-,，而采取用逐项求导得，∑∑∑∞=∞=-∞==-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛041)1(4)4(04)!4()]!1(4[)!4(n nn n n n n x n x n x ，即∑∞=04)!4(n n n x 满足方程y y =)4(． （2）级数∑∞=02)!(n n n x 收敛域为()+∞∞-,，设∑∞==02)!(n nn x y ，通过逐项求导得， ()()∑∑∞=-∞=='⎥⎦⎤⎢⎣⎡='12102!!n n n n n nxn x y ， ()()()∑∑∞=-∞=-="⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=''22202!1!n n n n n x n n n x y ， 所以，()()()∑∑∑∞=∞=-∞=--+-=-'+''02121222!!!)1(n nn n n n n x n nx n x n n x y y y x()()[]()()[]()0!!11!11020212=-+++++=∑∑∑∞=∞=∞=n nn n n nn x n x n n x n n ，即∑∞=02)!(n nn x 满足方程0=-'+''y y y x ． 6．设)(x f 是幂级数∑∞=0n n nx a在()R R ,-上的和函数，若)(x f 为奇函数，则级数中仅出现奇次幂的项；若)(x f 为偶函数，则级数中仅出现偶次幂的项．证明 由于∑∞==)(n n nx ax f ，()R R x ,-∈．()R R x ,-∈∀，由)(x f 是奇函数，即)()(x f x f -=-，得0]1)1[()(0=+-⇒-=-∑∑∑∞=∞=∞=n n n nn nn n nnx a x a x a，故{}N n ⋃∈∀0，有0]1)1[(=+-n na ，故当n 为偶数时002=⇒=n n a a ，即级数中偶次幂系数均为0，因此级数中仅出现奇次幂的项．同样，若)(x f 为偶函数，即)()(x f x f =-，得0]1)1[(0=--∑∞=n n n nx a ，故n ∀，有0]1)1[(=--n n a ，当n 为奇数时，有002=⇒=-n n a a ，即级数中奇次幂的系数均为0，因此级数中仅出现偶次幂的项．7．设∑∞=+=12)1ln()(n nn n x x f ．求证：（1）)(x f 在]1,1[-连续，)(x f '在)1,1(-内连续； （2）)(x f 在点1-=x 可导； （3）+∞='-→)(lim 1x f x ；（4）)(x f 在点1=x 不可导；证明（1）由于1,)1ln(1)1ln(22≤+≤+x n n n n x n ，而级数∑∞=+12)1ln(1n n n 收敛，由M判别法，知级数∑∞=+12)1ln(n nn n x 在]1,1[-一致收敛，而级数的每一项为幂函数在]1,1[-连续，故和函数∑∞=+=12)1ln()(n nn n x x f 在]1,1[-连续．又级数∑∑∞=-∞=+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1112)1ln()1ln(n n n n n n x n n x 的收敛半径为1=R ，因此在)1,1(-内，其和函数)(x f '连续．（2）幂级数∑∞=-+11)1ln(n n n n x 在1-=x 成为∑∞=-+-11)1ln()1(n n n n ，由Leibniz 判别法，知级数收敛，由Abel 第二定理，幂级数在]0,1[-一致收敛，因而其和函数)(x f '在1-=x 右连续，因此)(lim 1x f x '+-→存在，且)(lim )1(1x f f x '=-'+-→．（3）+∞=+='∑∞=→-11)1ln(1)(lim n x n n x f ． （4）因为∑∞=→→+--=----1211)1ln()1()1(lim 1)1()(lim n n x x n n x x x f x f ()+∞=+=++++=∑∑∞=∞=--→-1122111ln 1)1ln(1lim n n n n x n n n n x x ， 故)(x f 在点1=x 不可导．§13.3函数的幂级数展式1．利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为Maclaurin 级数，并说明收敛区间． （1）0,1≠-a xa ； （2）()211x +；（3）()311x +；（4）x 2cos ； （5）x 3sin ； （6）xx 31-；（7）()xex -+1；（8）()21ln x x ++；（9）22311x x +-； （10）x arcsin ；（11）()21ln xx ++；（12）21ln arctan x x x +-；（13）⎰xdt tt0sin ； （14）dt t x⎰2cos ．解（1）nn a x a ax ax a ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛=-=-111111 （1<a x ） ∑∞=+=11n n n x a（a x <）．（2）()()22111-+=+x x()()()()()∑∑∞=∞=+-=+----+=0111!12321n n nn nx n x n n ，1<x ．（3）()()()()()∑∞=-+----+=+=+133!13431111n n x n n x x()()()∑∞=++-=22121n n x n n ，1<x ．（4）∑∞=-+=+=022)2()!2()1(212122cos 1cos n n n x n x x ∑∞=--+=1212)!2(2)1(1n nn n x n ，+∞<x ． （5）()()()()()!123141!1214343sin sin 3sin 1201203+--+-=-=+∞=+∞=∑∑k x k x x x x k kk k kk ()()()∑∞=++--=0122!1231143k k kk k x ，+∞<x ．（6）()213131--=-x x xx()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑∞=13!12123211n n x n n x （13<x ）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑∞=123!!!121n n n x n n x ，31<x ． （7）()()()∑∞=--+=+0!111n n xx n x ex （+∞<-x ） ()()∑∞=-+=0!11n n n x n x （+∞<x ）()()∑∑∞=+∞=-+-=10!1!1n n nn nnx n x n （+∞<x ）()()∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=111!1!111n nn x n n ，+∞<x ． （8）()()()212211ln -+='++x xx()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12!21223211n n x n n （12<x ）()()∑∞=--+=12!2!!1211n n n n x n n ，1<x ，所以，()()()()()∑⎰∞=++--+='++1120212!2!!1211ln n n nn xx n n n x dx xx ，1≤x ， 即()()()()∑∞=++--+=++112212!2!!1211ln n n nn x n n n x xx ． （9）xx x x x x ---=--=+-11212)21)(1(123112∑∑∞=∞=-=0)2(2n nn nxx （12<x 且1<x ）()∑∞=+-=112n n n x ，21<x ． （10）()()∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+='122!2122321111arcsin n nx n n x x （12<-x ）()∑∞=-+=12!2!!121n n nx n n ，1<x ，所以，()()∑∞=++-+=11212!2!!12arcsin n n nx n n n x x ，1<x ． 在1±=x ，由于()()()()()123132!12!!1212!2!!12lim 1>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++-+∞→n n n n n n n n n n ， 用Raabe 判别法知右端级数收敛，因而收敛区间为]1,1[-．（11）()()()x x xx xx ---=--=++1ln 1ln 11ln 1ln 332()()()()x nnx n n n nn -----=∑∑∞=-∞=-1113111∑∑∞=∞=-=13111n nn n x nx n ，11<≤-x ． （12）dx x xdx x dxxx x x x x ⎰⎰+-+=+-02022111ln arctan ()()⎰∑⎰∑∞=∞=---=xn nx n x x dx x x 0202()()220120121121+∞=+∞=∑∑+--+-=n n n n n n x n x n x()()()()∑∞=+++-=01211221n n n x n n ，1≤x ．（13）()()()()⎰∑⎰∑⎰∞=∞=++-=--=x k k kx k k kxdt t k dt t k t dt t t 02000120!121!1211sin ()()()∑∞=+++-=012!12121k k kx k k ，+∞<x ．（14）()()()()()⎰∑⎰∑⎰∞=∞=-=-=x k k kx k kk xdt t k dt t k dt t004002202!21!21cos()()()∑∞=++-=01414!21k k kx k k ，+∞<x ．2．利用幂级数相乘求下列函数的Maclaurin 展开式： （1）()xx ++11ln ； （2）()2arctan x ； （3）()x -1ln 2．解（1）()()()()∑∑∞=∞=---=++=++011111ln 11ln n nn nn x xnn x x x x ()()()∑∑∑∑∞=∞=-∞==---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111111111n n k n n n k k n k n k k x k x x k ，1<x ．（2）()()20022022111arctan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰∑⎰∞=x n nn x dt t dt t x ()()()()121200121121+--+∞==+--+-=∑∑k n kn k n n k k x k n x k()()()()∑∑∞=+=+-+-=0120121211n n nk nx k n k ()()∑∑∞=+=++-=012012111n n nk nx k n ，1≤x ． （3）()()()∑∑∑∑∞==-+∞=∞=--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-111212112111ln n nk k n k n n n n n k n x k x n x x n x()()∑∑∑∑∞=+=∞=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11111111211n n n k n n n k x k n x k n k ，11≤≤-x ． 3．将下列函数在指定点0x 展开为Taylor 级数：（1）)(,10a b x xa ≠=-； （2）1,221ln 02-=++x xx ； （3）2,ln 0=x x ； （4）1,0=x e x．解（1）()()()ba bx b a b x b a x a ----=---=-11111()()∑∑∞=-∞=--=⎪⎭⎫⎝⎛---=0101n n nn nb a b x b a b x b a ，b a b x -<-． （2）()[]2211ln 221ln++-=++x xx ()()[]()()∑∑∞∞=-+-=+--=nn n n n n x nx n21211111，02≤≤-x ．（3）()()∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎪⎭⎫⎝⎛-++=-+=112212ln 221ln 2ln 22ln ln n nn x n x x x （1221≤-<-x ） ()()∑∞=---+=112212ln n n nn x n ，40≤<x ．（4）()()()∑∑∞=∞=--+-=-===001111!1!1n nn n x x xx n e x n e eeee ，+∞<<∞-x ． 4．展开 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x e dx d x 1为x 的幂级数，并推出()∑∞=+=1!11n n n ． 解 ∑∑∑∞=-∞=-∞=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22110!1!11!111n n n n n n x x n n x n dx d x n x dx d x e dx d ()∑∞==+=11!1n n x n n，+∞<x ， 所以，()()1111!11211=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+==∞=∑x x x x n x x e x e dx d n n ． 5．试将()x x f ln =展开成11+-x x 的幂级数． 解 令11+-=x x t ，则 ttx -+=11，因而有()()()()()()∑∑∞=-∞=-----=--+=-+==1101111ln 1ln 11ln ln n n n n nn t nt n t t t tx x f()∑∑∞=-∞=-⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=112111112211n n n n n x x n t n，0>x ．6．函数()x f 在区间),(b a 内的各阶导数一致有界，即0>∃M ，对一切()b a x ,∈，有() ,2,1,)(=≤n M x f n ，证明：对()b a ,内任意点x 与0x ，有()()()()∑∞=-=000!n n n x x n x f x f ． 证明 由Taylor 公式，()b a x ,∈∀，()b a x ,0∈，有()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=00)(200000!!2 ， 其中()()()()()()∞→→-+≤-+=+++n x x n Mx x n f x R n n n n 0!1!1101)1(ξ，()b a x ,∈∀，其中ξ在x 与0x 之间．故()x f 在区间()b a ,可以展成()0x x -的幂级数，即()b a x ,∈∀，()b a x ,0∈，()()()∑∞=-=000)(!n n n x x n x fx f ．。
第十九章 含参变量的积分§1 含参变量的正常积分1．求下列极限： （1）⎰-→+11220lim dx x αα； （2）⎰→220cos lim xdx x αα；（3）⎰+→++αααα122011limdx x ．解（1）由于22),(αα+=x x f 在]1,1[]1,1[-⨯-上连续，故⎰-+=1122)(dx x I αα在]1,1[-连续，所以，12)0()(lim lim 1112011220=====+⎰⎰⎰-→-→xdx dx x I I dx x αααα．（2）由于x x x f ααcos ),(2=在]2,0[]2,0[⨯上连续，故⎰=22cos )(xdx x I αα在]2,0[连续，所以，38)0()(lim cos lim 2202020====⎰⎰→→dx x I I xdx x αααα． （3）⎰⎰⎰⎰+++++++-++=++αααααααα11222212212211111111dx x dx x dx x dx x ，由于2211),(αα++=x x f 在]1,0[]1,0[⨯上连续，故⎰++=102211)(dx xI αα在]1,0[连续，所以，411)0()(lim 11lim 10201220παααα=+===++⎰⎰→→dx x I I dx x ．而对R ∈∀α，R x ∈有，ααα≤++⎰2211dx x ，ααα≤++⎰+112211dx x ，因此 011lim 0220=++⎰→αααdx x ，011lim 11220=++⎰+→αααdx x ， 因而，⎰⎰⎰++-++=++→→+→ααααααααα2201220122011lim 11lim 11lim dx x dx x dx x411lim 11220πααα=++-⎰+→dx x2．求)(x F '，其中： （1）⎰-=22)(x xxy dy e x F ； （2）⎰-=xxy xdy e x F cos sin 12)(；（3）⎰++=xb x a dy y xy x F )sin()(；（4）⎰⎰=xx t dt ds s t f x F 0]),([)(22．解（1）35222222222)(2)(2x x x xxy xx x x x xxy e xe dy y e ex edy y ex F -------+-=-⋅+-='⎰⎰．（2）)(sin )(cos 1)(222sin 1cos 1cos sin 21'-'+-='---⎰x e x e dy y e x F xxxx xxy xx e x edy y e xx xx xxy xcos sin 1cos sin cos sin 212---=⎰-．（3）)())(sin()())(sin()cos()('+++-'++++='⎰++x a xz x a x x b x b x b x dy xy x F xb xa=)](sin[)11()](sin[)11(a x x x a xb x x x b x +++-+++． （4）⎰⎰⎰⎰=+∂∂='xx x x x t dt x t xf ds s x f dt ds s t f x x F 020),(2),()),(()(2222．3．设)(x f 为连续函数，⎰⎰++=xxd d x f h x F 02])([1)(ξηηξ，求)(x F ''．解 由于⎰⎰⎰⎰++=++=xx x x x du u f d h d x f d h x F 022002)(1)(1)(ξξξηηξξ，所以， ]))(()([1)(02322⎰⎰⎰++∂∂+='x x x xx d du u f x du u f hx F ξξξ})]()2(2[)({10322⎰⎰+-++=x xxd x f x f du u f h ξξξ，)]2(3)3(5[1)]2()3(2)2(2)3(3[1)(22x f x f hx f x f x f x f h x F -=-+-=''．注记 该题的函数应为⎰⎰++=h hd d x f hx F 002])([1)(ξηηξ（这从该教材第二版亦可得到印证），则⎰⎰⎰⎰+++=++=xhx x hhdu u f d h d x f d h x F 022)(1)(1)(ξξξηηξξ，所以，⎰⎰⎰+-++=∂∂='+++hx h x x d x f h x f hd du u f x h x F 0202)]()([1])([1)(ξξξξξξ ])()([122⎰⎰+++-=h x x hx hx du u f du u f h ， )]()()2([1)]()()()2([1)(22x f h x f h x f hx f h x f h x f h x f h x F ++-+=++-+-+=''．4．研究函数⎰+=122)()(dx y x x yf y F 的连续性，其中)(x f 是]1,0[上连续且为正的函数．解 当0≠y 时，被积函数在相应的闭矩形上是连续的，因此)(y F 在0≠y 连续．当0=y 时，0)0(=F ．而0>y 时，设m 为)(x f 在]1,0[上的最小值，则0>m ．由于y m dx yx y m y F 1arctan )(122=+≥⎰，而21arctan lim 0π=+→y y ， 故有)(lim 0y F y +→若存在，必然)0(02)(lim 0F m y F y =>≥+→π或不存在，因而)(y F 在0=y 时间断． 5．应用积分号下求导法求下列积分：（1）⎰-222)sin ln(πdx x a （1>a ）；（2）)1()cos 21ln(02<+-⎰a dx a x a π；（3）)0,()cos sin ln(202222≠+⎰b a dx x b x a π；（4）)1(tan )tan arctan(20<⎰a dx xx a π．解（1）设⎰-=2022)sin ln()(πdx x a a I ，则有⎰⎰-=-∂∂='20222022sin 2)]sin ln([)(ππdx x a a dx x a xa I)11arctan 11(arctan 12)sin 1sin 1(22220--+-+-=-++=⎰a a a a a dx x a x a π12-=a π，即c a a da a a I +-+=-=⎰)1ln(1)(22ππ．c 的确定较为困难，可如下进行．)1ln()sin ln()1ln()(220222-+--=-+-=⎰a a dx x a a a a I c πππ)1ln()]sin 1ln([ln 220222-+--+=⎰a a dx axa ππa a a dx ax 1ln)sin 1ln(22022-+--=⎰ππ， 令+∞→a ，2ln 1ln 2ππ→-+aa a ，又1sin 1110222≤-<-<a x a ，所以， 0)sin 1ln()11ln(222≤-≤-a xa ，)(0)11ln(2)11ln()sin 1ln()sin 1ln(22022022222+∞→→-=-≤-≤-⎰⎰⎰a adx a dx a x dx a x ππππ，2ln π=⇒c ，即21ln 2ln )1ln()(22-+=--+=a a a a a I πππ．（2）设⎰+-=π2)cos 21ln()(dx a x a a I ，则⎰⎰+--=+--='ππ02202cos 2111cos 21)cos (2)(dx ax a a a dx a x a x a a I ⎰⎰+-+--=-+--=ππππ0222022cos 1211)1(1cos 2)1(11dx x aa a a a a dx xa a aa a222022212)1(2)11arctan()1()1()1(2)1(1a a a a a x a a a a a a a a a +=+-=-++--+--=πππππ，所以，)1ln(21)0()()(202a da a a I a I a I a+=+=-=⎰ππ． （3）将a 看作参变量，b 认为是常数，记⎰+=202222)cos sin ln()(πdx x b x a a I ．可先设0>a ，0>b ，则⎰⎰+=+∂∂='2020222222222cos sin sin 2)]cos sin ln([)(ππdx xb x a x a dx x b x a a a I ． 若b a =，则bxdx b a I 2sin 2)(202ππ=='⎰，若b a ≠作代换x t tan =，得⎰⎰∞+∞+++=++='022222022222))(1(212)(a b t t dt t a t dt b t a at a Iba ))(111(2222202222222222+=---=+--+-=⎰∞+πππba bba adt a bt b a b t b a a a ，所以，c b a πda b a πa I ++=+=⎰)ln()(，而c b b b I +==)2ln(ln )(ππ2ln π-=⇒c ，于是2ln 2ln )ln()(ba b a πa I +=-+=ππ．若0<a 或0<b ，则可以a -或b -代替a 或b ，因而总有2ln)()(b a a I a I +==π．（4）记⎰=20tan )tan arctan()(πdx xx a a I ，令x x a a x f tan )tan arctan(),(=，当2,0π=x 时，f 无定义，但a a x f x =+→),(lim 0，0),(lim 2=-→a x f x π，故补充定义a a f =),0(，0),2(=a f π，则f 在],[]2,0[b b -⨯π连续（10<<b ），从而)(a I 在)1,1(-连续．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∈+=,2,0 ,0,)2,0( ,tan 11),(22ππx x x a a x f a显然)0,(x f a 在2π=x 点不连续，但),(a x f a 分别在)0,1(]2,0[-⨯π和)1,0(]2,0[⨯π连续，故有⎰⎰+=='2222tan 11),()(ππdx xa dx a x f a I a ，)0,1(-∈a 或)1,0(∈a ．令t x =tan ，⎰⎰∞+∞+++--+-=++='0222222222222)1)(1(111)1)(1(1)(dt t a t a t a t a a dt t a t a I)1(2])1()1(1[11022222a dt t a a t a +=+-+-=⎰∞+π，)0,1(-∈a 或)1,0(∈a ． 积分之1)1ln(2)(c a a I ++=π，)1,0(∈a ；2)1l n (2)(c a a I +--=π，)0,1(-∈a ．因为)(a I 在)1,1(-连续，故)(lim 0)(lim )0(0a I a I I a a -+→→===，得021==c c ，从而得|)|1ln(sgn 2)(a a a I +=π，1||<a ．6．应用积分交换次序求下列积分： （1）)0,0(ln 1>>-⎰b a dx xx x ab ； （2）)0,0(ln )1sin(ln 10>>-⎰b a dx xx x x ab ． 解（1）b a b a b a yb a y a b y dy y dx x dx dy x dx dx xx x |)1ln(11ln 10101+=+===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰aba b ++=+-+=11ln)1ln()1ln(． （2）⎰⎰⎰⎰⎰==-b a y b a y a b dx xx dy dx dy x x dx x x x x 101010)1sin(ln ])1[sin(ln ln )1sin(ln ． 记⎰=1)1sin(ln )(dx x xy I y，则 ])1()1cos(ln )1sin(ln [11)1sin(ln 11)(10111101⎰⎰--+=+=+++dx x x x x x y dx x y y I y y y ])1()1sin(ln ()1cos(ln [)1(1)1cos(ln 11101101210⎰⎰---+=+=++dx x x x x x y dx x x y y y y ))(1()1(1))1sin(ln 1()1(12102y I y dx x x y y -+=-+=⎰， 所以，1)1(1)(2++=y y I ，因此， )1)(1(1arctan 1)1(1)(ln )1sin(ln 210b a ab dy y dy y I dx x x x x b a b a a b +++-=++==-⎰⎰⎰． 7．设f 为可微函数，试求下列函数的二阶导数： （1）⎰+=xdy y f y x x F 0)()()(； （2）)()()(b a dy y x y f x F ba<-=⎰．解（1）)(2)()(0x xf dy y f x F x+='⎰，)(2)(3)(x f x x f x F '+=''．（2）⎰-=bady y x y f x F )()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤-=⎰⎰⎰⎰,,))((,,))(())((,,))((b x dy y x y f b x a dy x y y f dy y x y f a x dy x y y f ba b x xa b a⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-≤-='⎰⎰⎰⎰,,)(,,)()(,,)()(b x dy y f b x a dy y f dy y f a x dy y f x F bab x xa b a⎩⎨⎧≥≤<<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=''．b x or a x b x a x f b x b x a x f a x x F ,0,,)(2,0,,)(2,,0)(8．证明：⎰⎰⎰⎰+-≠+-101022222101022222)()(dx y x y x dy dy y x y x dx ．证明 ⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+-101022102222101022222]1)(12[)(dy y x dy y x x dx dy y x y x dx 4|arctan 11112π==+=⎰x dx x ， ⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+-10102221022101022222]121[)(dx y x y dx y x dy dx y x y x dy 4|arctan 11112π-=-=+-=⎰y dy y ， 所以，⎰⎰⎰⎰+-≠+-101022222101022222)()(dx y x y x dy dy y x y x dx ．9．设⎰+=122ln )(dx y x y F ，问是否成立⎰=+∂∂='10022ln )0(dx y x yF y ．解 1ln ln )0(110-===⎰⎰xdx dx x F ，所以，]11[ln 1)1ln (1)0()(101022221022+-+++=++=-⎰⎰⎰dx dx yx y y y dy y x y y F y F)0(21arctan 2)1ln(]arctan 1[ln 12102+→→++=++=y y y y y x y y y π， 即2)0(π='+F ，同样2)0(π-='-F ，因此)0(F '不存在，而00ln 112210022==+=+∂∂⎰⎰⎰==dx dx y x y dx yx y y y ，因此，⎰=+∂∂='10022ln )0(dx y x yF y 不成立．10．设⎰=πθθθ20cos )sin cos()(d x e x F x ，求证π2)(≡x F ．证明 R x ∈∀0，函数)sin cos(),(cos θθθx e x f x =在矩形域]2,0[]1,)1([00π⨯++-x x 连续，θθθθθθθsin )]sin sin([)sin cos(cos ),(cos cos x e x e x f x x x -+=亦在矩形域]2,0[]1,)1([00π⨯++-x x 连续，故由积分号下求导数可得⎰⎰==-=∂∂='πθθπθθθθθθθ20cos cos 20000]sin )sin sin()sin cos(cos [),()(d x e x e d x f x x F x x x x x x⎰⎰-=πθπθθθθθ200c o s 200c o ss i n )s i n s i n ()s i n s i n (100d x e x d ex x x （00≠x ）⎰-⋅-=πθπθθθθθ200cos 00200cos 0)sin ()sin sin(1|)sin sin(100d x e x x x e x x x⎰-πθθθθ200cos sin )sin sin(0d x e x0=，当00=x 时，显然0sin cos )0(2020==='⎰ππθθθd F ．由R x ∈0的任意性，0)(='x F ，因此，C x F ≡)(，而πθπ2)0(20===⎰d F C ，所以，π2)(≡x F ．11．设)(x f 为两次可微函数，)(x ϕ为可微函数，证明函数⎰+-+++-=atx atx dz z a at x f at x f t x u )(21)]()([21),(ϕ满足弦振动方程22222xu a t u ∂∂=∂∂ 及初始条件)()0,(x f x u =，)()0,(x x u t ϕ=．证明)]()([21)]()([21at x at x aat x f at x f x u --+++'+-'=∂∂ϕϕ， )]()([21)]()([2122at x at x a at x f at x f xu -'-+'++''+-''=∂∂ϕϕ， )]()([21)]()([21at x a at x a aat x f a at x f a t u -++++'+-'-=∂∂ϕϕ )]()([21)]()([2at x at x at x f at x f a -++++'+-'-=ϕϕ，)]()([2)]()([2222at x at x aat x f at x f a tu -'-+'++''+-''=∂∂ϕϕ 所以，)]()([2)]()([2222at x at x aat x f at x f a tu -'-+'++''+-''=∂∂ϕϕ 2222)]}()([21)]()([21{x u a at x at x a at x f at x f a ∂∂=-'-+'++''+-''=ϕϕ， 即满足弦振动方程．又)()(21)]()([21)0,(x f dz z ax f x f x u xx =++=⎰ϕ， )()]()([21)]()([2)0,(x x x x f x f a x u t ϕϕϕ=++'+'-=，即满足初始条件．§2 含参变量的广义积分1．证明下列积分在指定的区间内一致收敛：（1）⎰+∞+022)cos(dy yx xy （0>≥a x ）； （2）)(1)cos(02+∞<<-∞+⎰+∞x dy y xy ；（3）)(1b x a dy e y y x ≤≤⎰+∞-；（4）⎰+∞-1cos dy y ye pxy（0>p ，0≥x ）； （5）)0(1sin 02≥+⎰∞+p dx xx p． 证明（1）因为当0>≥a x 时，],0[+∞∈∀y ，有22222211)cos(ya y x y x xy +≤+≤+， 而dy ya ⎰+∞+0221收敛，由M 判别法，⎰+∞+022)cos(dy y x xy 在0>≥a x 是一致收敛的． （2）因为，),(+∞-∞∈∀x ，),0[+∞∈y 成立22111)cos(y y xy +≤+，而⎰+∞+0211dy y 收敛，由M 判别法，⎰+∞+021)cos(dy y xy 在+∞<<∞-x 一致收敛．（3）因为],[b a x ∈∀，),1[+∞∈y ，成立{}y M yb a y x e y eye y ---≤≤,max ，其中{}0,max ≥=b a M ， 而⎰+∞-1dy e y yM 收敛，所以⎰+∞-1dy e y y x 在b x a ≤≤一致收敛．（4）用Abel 判别法．已知⎰+∞1cos dy yyp收敛（见第十一章§3习题3（3）），又对每一个),0[+∞∈x ，函数xye-关于y 是单调函数，且),0[+∞∈∀x ，),1[+∞∈y ，有1≤-xye，由Abel 判别法知 ⎰+∞-1cos dy y ye pxy在),0[+∞一致收敛．（5）由于⎰+∞2sin dx x 收敛（见p56-§11.1-例10），又对每一个),0[+∞∈p ，函数px +11是单调减函数，且),0[+∞∈∀x ，),0[+∞∈p ，有111≤+p x，由Abel 判别法，)0(1sin 02≥+⎰∞+p dx x x p 在),0[+∞一致收敛．2．讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性： （1）)0(2+∞<<-+∞⎰αααdx e x ；（2）⎰+∞-0dy xe xy ，（i ）)0(],[>∈a b a x ， （ii ）],0[b x ∈； （3）⎰+∞∞---dx e x 2)(α，（i ）b a <<α， （ii ）+∞<<∞-α； （4）)0(sin 0)1(22+∞<<⎰+∞+-x xdy e y x．解（1）)0(2)(0)(0222>===⎰⎰⎰∞+-∞+--∞+απαααααdu e ux x d e dx e u x x ，当0=α时积分为0．0>∀A ，由于2lim lim 0222πααααα===⎰⎰⎰∞+-∞+-→∞+-→++du e du e dx e u Au o Ax o，故0ε∃：200πε<<，00>∃α，使得有0020εαα>⎰+∞-Ax dx e ，因此积分非一致收敛．（2）积分对于每一个定值0≥x 是收敛的．当0=x 时，00=⎰+∞-dy xe xy ；当0>x 时1|0=-=∞+-+∞-⎰xy xy e dy xe ． （i ）)0(],[>∈a b a x ，由于aA xA Axy e e dy xe --+∞-≤=<⎰0，故εε1ln 1,00a A =∃>∀，使当0A A >时，就有ε=<-+∞-⎰0aA Axy e dy xe ，于是，在区间)0(],[>∈a b a x 上积分一致收敛．（ii ）由于+→0x 时，1→-Axe ，故10:00<<∃εε，对于足够小的0x 值，00ε>-Axe ，故在],0[b 上，积分⎰+∞-0dy xe xy 不一致收敛．（3）对任意固定的α，积分⎰+∞∞---dx ex 2)(α都收敛，且（作代换t x =-α）πα==⎰⎰+∞∞--+∞∞---dt e dx e t x 22)(．（i ）取正数R 充分大，使得R b a R <<<-，显然，当R x ≥时，对一切b a <<α，有22)()(0R x x ee----<<α，而积分⎰⎰+∞--+∞∞---=0)()(222dx e dx eR x R x 收敛，由M 判别法，积分⎰+∞∞---dx e x 2)(α在b a <<α一致收敛．（ii ）0>∀A ，有παααα===⎰⎰⎰+∞∞--+∞--+∞→+∞--+∞→dt e dt e dx e t A t Ax 222limlim)(，故当α充分大时，0)(22επα=>⎰∞+--Ax dx e ，由此可知⎰+∞--0)(2dx e x α在+∞<<∞-α非一致收敛，因而⎰+∞∞---dx e x 2)(α在+∞<<∞-α更非一致收敛．（4）0>∀A ，有)0(sin sin 0)1(22222++∞-+∞--+∞+-→→=⎰⎰⎰x dt e dt e e xx xdy e t Ax t x Ay x，因此，积分⎰+∞+-0)1(sin 22xdy e y x在+∞<<x 0非一致收敛．3．设)(t f 在0>t 连续，⎰+∞)(dt t f t λ当a =λ，b =λ时皆收敛，且b a <．求证：⎰+∞)(dtt f t λ关于λ在],[b a 一致收敛．证明 ⎰⎰⎰+∞--+∞+=110)()()(dt t f t t dt t f t t dt t f t b b a a λλλ．由于⎰1)(dt t f t a 收敛，因而，对],[b a ∈λ一致收敛，αλ-t 当λ固定时，对t 在]1,0[单调，且1≤-αλt ，因此，由Abel 判别法，积分⎰⎰=-11)()(dt t f t dt t f t t a a λλ在],[b a 一致收敛．又因为⎰+∞1)(dt t f t b 收敛，故对],[b a ∈λ亦一致收敛，b t -λ当λ固定时，对t 在],1[+∞单调递减，且1≤-btλ，由Abel 判别法，积分⎰⎰+∞+∞-=11)()(dt t f t dt t f t t b b λλ在],[b a 一致收敛．因此，⎰+∞0)(dt t f t λ在],[b a 上一致收敛．4．讨论下列函数在指定区间上的连续性： （1）⎰+∞+=22)(dy yx xx F ，),(+∞-∞∈x ； （2）⎰∞++=21)(dy yy x F x，3>x ； （3）⎰--=ππ02)(sin )(dy y y yx F xx ，)2,0(∈x ．解（1）当0≠x 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-==+=+=∞+∞+∞+⎰⎰,0,2,0,2arctan )()(11)(0222x x x yx y d xy dy y x xx F ππ而0)0(=F ，因此，)(x F 在0≠x 连续，在0=x 间断（第一类间断点）．（2）因为)1(,1112222≥<+=+---y yy y y y x x x ， 而当3>x 时，无穷积分⎰+∞-121dx y x 收敛，⎰+=1021)(dy y y x F x在3>x 是常义积分，因而)(x F 在3>x 有意义．30>∀x ，03x b <<∃，当1≥y 时， ),[+∞∈∀b x ，有222221111----≤<+=+b x x x y y y y y y ， 而⎰+∞-121dy yb 收敛，因而⎰∞++021dy yy x 在),[+∞b 一致收敛，因此，⎰∞++=021)(dx y y x F x 在),[0+∞∈b x 连续，由),3(0+∞∈x 的任意性可知，)(x F 在3>x 连续．（3）⎰⎰----+-=ππππππ2222)()sin()(sin )(dy y y y dy y y yx F x x x x ， 所以，)2,0(0∈∀x ，0>∃δ，使得δδ-<<<200x ，当]2,[δδ-∈x 时，有δδδδπππππ)2(1)2(1)(1)(sin 11212-----=-≤-≤-y y y y y y y xx x x ，]1,0(∈y ，δδπππππ-----≤-≤--1212)()2(1)(1)()sin(y y y y y y xx x x ，),1[ππ-∈y ，⎰-11)2(1dy y δδ及⎰----ππδδπ112)()2(1dy y 均收敛，所以⎰--22)(sin ππdx y y yxx 及⎰--πππ22)(sin dx y y y x x 均在]2,[δδ-∈x 一致收敛，因而⎰--ππ02)(sin dy y y yxx 在]2,[δδ-∈x 一致收敛． 因此，)(x F 在]2,[δδ-∈x 连续，因而在δδ-<<<200x 连续，由)2,0(0∈x 的任意性，知)(x F 在)2,0(连续．5．若),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 上连续，含参变量广义积分⎰+∞=cdy y x f x Ι),()(在),[b a 收敛，在b x =时发散，证明)(x I 在),[b a 不一致收敛．证明 目的在于证明：00>∃ε，c A >∀0，0'''A A A >>∃及],[b a x ∈，使得0'''),(ε≥⎰A A dy y x f ． （1）因为⎰⎰⎰+-='''''''''),()],(),([),(A AA A A A dy y b f dy y b f y x f dy y x f⎰⎰--≥'''''')],(),([),(A A A A dy y b f y x f dy y b f ，因此，若能证明00>∃ε，c A >∀0，0'''A A A >>∃及],[b a x ∈，02),('''ε≥⎰A A dy y b f ，0'''),(),([ε<-⎰A A dy y b f y x f ， （2）则（1）式即可得到．剩下的问题在于证明（2）．01 因⎰+∞cdy y b f ),(发散，故00>∃ε，c A >∀0，0'''A A A >>∃，使得02),('''ε≥⎰A A dy y b f ．02 但),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 连续，从而在有界闭区域b x a ≤≤，A y A ''≤≤'上一致连续，于是对上述01中00>ε，0>∃δ，当 δ<''-'x x ，δ<''-'y y 且],[,b a x x ∈'''，],[,A A y y '''∈'''时，有A A y x f y x f '-''<''''-''0),(),(ε，从而δ<-b x 时，有A A y b f y x f '-''<-0),(),(ε，由此推得0'''),(),([ε<-⎰A A dy y b f y x f ．6．含参变量的广义积分⎰+∞=cdy y x f x Ι),()(在],[b a 一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数∑∑⎰∞=∞==+11)(),(1n n n A A x u dy y x f n n在],[b a 上一致收敛．证明 必要性．⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 一致收敛，故0>∀ε，c A >∃0，当0A A >时，有ε<⎰+∞Ady y x f ),(，对],[b a x ∈一致地成立．对任意递增数列{}n A ：)(1c A A n =∞→，首先，∑⎰∑⎰∑=∞→∞=∞=++==nk A A n n A A n n k kn ndy y x f dy y x f x u 11111),(lim ),()()(),(),(lim 1x I dy y x f dy y x f cA cn n ===⎰⎰+∞∞→+，],[b a x ∈∀成立．其次，由于{}n A 单调递减趋于∞+，故对上述c A >0，N ∃满足0A A N ≥，因此当N n >时，0A A A N n ≥>，因此，有ε<==⎰∑⎰∑∞+∞=∞=+nk kA n k A A nk kdy y x f dy y x f x u),(),()(1，],[b a x ∈∀一致地成立，因此级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上一致收敛于)(x I ．充分性．采用反证法．若不然，设对任一趋于∞+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数∑⎰∑∞=∞=+=111),()(n A A n nn ndy y x f x u在],[b a 上一致收敛，但广义积分⎰+∞=cdy y x f x Ι),()(在],[b a 不一致收敛，因此00>∃ε，c A >∀0，0A A >∃，],[0b a x ∈∃，使得00),(ε≥⎰+∞Ady y x f ．取01][)1(0>+=c A ，)1(02A A >∃，],[1b a x ∈∃，使得012),(ε≥⎰+∞A dy y x f ；取11)2(0+=A A，)2(03AA >∃，],[2b a x ∈∃，使得023),(ε≥⎰+∞A dy y x f ； 取12)3(0+=A A ，)3(04A A >∃，],[3b a x ∈∃，使得034),(ε≥⎰+∞A dy y x f ；如此一直下去．得到一列单调递增序列{}n A （令C A =1），且)(∞→+∞→n A n 和一列{}],[b a x n ⊂，使得01),(ε≥⎰+∞+n A n dy y x f ，即函数项级数∑⎰∑∞=∞=+=111),()(n A A n nn ndy y x f x u在],[b a 非一致收敛，矛盾！因此，⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 一致收敛．7．用上题的结论证明含参变量广义积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 的积分交换次序定理（定理19．12）和积分号下求导数定理（定理19．13）．证明 积分交换次序定理 设),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 上连续，且含参变量的广义积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 上一致收敛，则⎰⎰⎰+∞=cbabadx y x f dy dx x I ),()(，即⎰⎰⎰⎰+∞+∞=cbab a cdx y x f dy dy y x f dx ),(),(．由于⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 一致收敛⇒对任意递增趋于∞+的数列{}n A （c A =1），函数项级数∑∑⎰∞=∞==+11)(),(1n n n A A x u dy y x f n n在],[b a 一致收敛于)(x I ，由已知条件，),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 上连续，因而亦在],[],[1+⨯n n A A b a 上连续，故⎰+=1),()(n nA A n dy y x f x u 在],[b a 连续，因此利用函数项级数和函数的逐项积分定理，有∑⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∞=∞=∞=++===11111),(),()()(n A A ban baA A n ban ban nn ndx y x f dy dy y x f dx dx x u dx x I⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰+∞∞→=∞→===++cbaA cban nk A A ban dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy n k k),(),(lim ),(lim111．积分号下求导数定理 设),(y x f 和),(y x f x 都在),[],[+∞⨯c b a 上连续，若⎰+∞cdy y x f ),(在],[b a 上收敛，⎰+∞cx dy y x f ),(在],[b a 上一致收敛，则⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在],[b a 可导，且⎰+∞='cx dy y x f x I ),()(，即⎰⎰+∞+∞∂∂=c c x dy y x f xdy y x f dx d ),(),(． 由于⎰+∞cdy y x f ),(在],[b a 上收敛，故对任意趋于∞+的递增函数列{}n A （C A =1），级数∑∑⎰∞=∞==+11)(),(1n n n A A x u dy y x f n n在],[b a 上收敛于)(x I ，又⎰+∞cx dy y x f ),(在],[b a 上一致收敛，故函数项级数∑∑⎰∞=∞='=+11)(),(1n nn A A x x u dy y x f n n在],[b a 上一致收敛，用函数项级数和函数的逐项求导定理，知 ⎰∑⎰∑+∞∞=∞==='='+cx n A A x n ndy y x f dy y x f x u x I n n),(),()()(111．8．利用微分交换次序计算下列积分： （1）⎰+∞++=12)()(n n a x dxa I （n 为正整数，0>a ）； （2）⎰∞+---0sin mxdx xe e bxax （0>a ，0>b ）； （3）⎰+∞-0sin 2bxdx xe ax (0>a )．解（1）由于积分⎰+∞+02ax dx对一切00>a 在0a a ≥上一致收敛，得)()()1(10220202a I a x dx dx ax a a x dx da d -=+-=+∂∂=+⎰⎰⎰+∞+∞+∞， 由00>a 的任意性，知上式对一切0>a 成立．同理对积分⎰+∞+02ax dx逐次求导，得)(!)1()(!)1(01202a I n a x dx n a x dx da d n nn n nn -=+-=+⎰⎰∞++∞+， 但320212)2(aa da d a x dx da d ππ-==+⎰+∞，5323202221231)1()12(aada d ax dx da d ππ⋅-=-=+⎰∞+，用数学归纳法，可得121212!)!12()1(++∞+--=+⎰n n n nn an a x dx da d π，所以，)21()21(1!)!2(!)!12(2!2!)!12()(+-+-+-⋅=⋅⋅-=n n n n a n n a n n a I ππ．（2）当0=m 时，0sin 0=-⎰∞+--mxdx xe e bxax ，下设0≠m ． 由于0sin lim0=---→+mx xe e bxax x ，因此0=x 不是瑕点，从而当0>a ，0>b 时，被积函数在+∞<≤x 0内连续（0=x 的函数值理解为极限值0），又由于)0(sin >-≤-----x xe e mx x e e bxax bx ax ， 而积分⎰∞+---1dx x e e bx ax 收敛，由比较判别法，积分⎰∞+---0sin mxdx xe e bxax收敛．当00>≥a a 时，积分⎰⎰∞+-∞+---=-∂∂00sin )sin (mxdx e dx mx xe e a ax bxax 是一致收敛的．事实上，由)0(sin 0≥≤--x emx exa ax立即得到此结论．于是⎰∞+---=0sin )(mxdx xe e a I bxax 在00>≥a a 时可以在积分号下求导数，得220sin )(ma mmxdx e a I ax +-=-='⎰+∞-， 由00>a 的任意性知，上式对一切0>a 均成立，从而c m ada m a m a I +-=+-=⎰arctan )(22，其中c 为待定常数，令b a =，则得c m b b I +-==arctan 0)(mbc arctan =⇒．所以， )0()(arctan arctan arctan sin 20≠+-=-=-⎰∞+--m abm a b m m a m b mxdx x e e bx ax ． （3）⎰⎰⎰+∞-+∞-+∞-+∞-+-=-=0000cos 2sin 21)(sin 21sin 2222bxdx e a b bx e a e bxd a bxdx xeax ax ax ax ⎰+∞-=0cos 22bxdx e ab ax 设⎰+∞-=0cos )(2bxdx eb I ax ，由于bx e ax cos 2-与bx xe bx e bax ax sin )cos (22---=∂∂都是0≥x ，+∞<<∞-b 上的连续函数，且此时22cos ax ax e bx e --≤，22sin ax ax xe bx xe --≤，而积分⎰+∞-02dx e ax 与⎰+∞-02dx xe ax 都收敛，因此积分⎰+∞-0cos 2bxdx e ax 与⎰+∞-0sin 2bxdx xe ax 均在),(+∞-∞上一致收敛，从而可以在积分号下求导数．所以，)(2sin )(02b I abbxdx xe b I ax -=-='⎰+∞-， 解得，ab ceb I 42)(-=，其中c 是待定常数．但21)0(02πa dx e I ax ==⎰∞+-，得ab a b axe aa b e a a b b I a b bxdx xe 42402224212)(2sin --∞+-===⎰ππ． 9．利用对参数的积分法计算下列积分：（1）⎰∞+---022dx xeebx ax （0>a ，0>b ）； （2）⎰∞+---0sin mxdx xe e bxax （0>a ，0>b ）． 解（1）⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+--=-=-b atx abtx bx ax dx xedt dt exdx dx xe e2222⎰⎰⎰+∞-+∞--=--=b a tx ba tx dt e t tx d e dt t 0022221)(21ab a b t dt t b a b a ln 21)ln (ln 21ln 2121=-===⎰． （2）⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+--==-b a tx b a tx bxax mxdx e dt dt e mxdx mxdx xe e 000sin sin sinabm a b m m a m b m t dt m t m ba ba+-=-==+=⎰222)(arctanarctan arctan arctan （)0≠m ， 而0=m 时，0sin 0=-⎰∞+--mxdx xe e bxax ，这也可以归结到前面最终答案中0=m 的情形，所以， abm a b m mxdx x e e bx ax +-=-⎰∞+--20)(arctan sin ． 10．利用⎰+∞+-=+0)1(2211dy e xx y 计算Laplace 积分 ⎰+∞+=021cos dx x x L α和 ⎰+∞+=0211sin dx xx x L α． 解 先计算⎰+∞+=021cos dx xxL α． 若0=α，则2arctan 111cos 00202πα==+=+=∞++∞+∞⎰⎰x dx x dx x x L ，故下设0≠α．⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞--+∞+∞+-+∞==+=0000)1(02cos cos )(1cos 22xdx e dy e xdx dy e dx xx L yx y x y ααα ⎰⎰⎰∞++-∞++-∞+--==⋅=0)2(0)4(04222221dt eedt ety dy e yett tt yyααααπππ，其中第四个等号应用了8（3）中)(b I 的结果．下面计算⎰∞++-=0)2(2dt eI tt α．设u tt =-2α，则+∞<<t 0时，+∞<<∞-u ，αα222+=+u tt )2(212α++=⇒u u t ， 从而有du u u u du u u dt ααα2221)2221(21222+++=++=，代入得⎰⎰∞+∞-+-∞++-+++==du u u u e dt eI u tt αααα222122)2(0)2(22)2222(21022)2(022)2(22⎰⎰∞++-∞-+-+++++++=du u u u e du u u u e u u αααααα)2222(21022)2(022)2(22⎰⎰∞++-∞++-+++++-+=du u u u e du u uu e u u αααααα（前者作负代换）ααααπ2020)2(0)2(2221222-∞+--∞++-∞++-====⎰⎰⎰edu e e du e du e u u u ，所以，αααααππππ--∞++-=⋅=⋅=⎰eeedt eeL tt 2220)2(2．再计算⎰+∞+=0211sin dx x xx L α．显然 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+∞+∞==+=+=ααααππ000020021221cos 1cos du e du e dx x ux du du x ux dx L uu απαπαπααπαααααsgn )1(20,)1(2,0,)1(20,,0,200----=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎰⎰e e e du e du e u u ． 11．利用)0(2102>=⎰+∞-x dy e xxy π计算Fresnel 积分⎰⎰+∞+∞==002sin 21sin dx xxdx x F ，和 ⎰⎰+∞+∞==0021cos 21cos dx xxdx x F ． 解 在积分⎰+∞-=221dy e xxy π的两端乘以x sin ，再在100x x x ≤≤<上积分，则得⎰⎰⎰+∞-=121sin 2sin x x xy x x dy xe dx dx xx π.由于202sin y x xy e ex --≤⋅，而⎰+∞-020dy e y x 收敛，故积分⎰+∞-02sin dy xe xy 对10x x x ≤≤一致收敛，从而可以进行积分顺序的交换，得⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-++-=⋅=420102121]1)cos sin ([2sin 2sin dy yx x y e dx e x dy dx xx x x xy x x xy x x ππ⎰⎰∞+-∞+-+++=04004201cos 21sin 22020dy y e x dy y y e x y x y x ππ⎰⎰∞+-∞+-+-+-04104211cos 21sin 22121dy y e x dy y y e x y x y x ππ， 上述等式右端的诸积分分别对+∞<≤00x ，+∞<≤10x 都是一致收敛的(120≤-y x e，121≤-y x e ，且⎰∞++0421dy yy 及⎰+∞+041y dy 均收敛)．于是，它们分别是10,x x (+∞<≤00x ，+∞<≤10x )的连续函数，从而令+→00x ，可在积分号下取极限，得⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞++-+-+=04104210401cos 21sin 212sin 21211dy y e x dy y y e x y dy dx xx y x y x x πππ， 且由于上式右端后两个积分均不超过积分)(0211121+∞→→=⎰∞+-x x dy e y x π．故0104221→+⎰∞+-dy y y e y x ，)(0110421+∞→→+⎰∞+-x dy y e y x ，令+∞→1x 取极限，222212sin 04ππππ=⋅=+=⎰⎰∞+∞+y dy dx xx ，。
数学分析复旦答案【篇一：复旦《数学分析》答案第四章1、2节】题 4.1 微分和导数⒈半径为1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜，试用求微分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9g/cm3。
）解球体积v?43?r3，每只球镀铜所需要铜的质量为2m???v?4??r?r?1.12g。
?0⒉用定义证明，函数y点之外都是可微的。
证当x?0时，?y?微。
当x?0时，?y???3x2在它的整个定义域中，除了x这一?x2是?x的低阶无穷小，所以y?x2在x?0不可?x?x?o(?x),所以y?x2在x?0是可微的。
习题 4.2 导数的意义和性质1．设f?(x0)存在，求下列各式的值：⑴⑵⑶lim?x?0f(x0??x)?f(x0) ?x；limx?x0f(x)?f(x0)x?x0；。
f(x0?(??x))?f(x0) (??x)??f(x0)。
limh?0f(x0?h)?f(x0?h) h解 (1)lim⑵⑶f(x0??x)?f(x0) ?xf(x)?f(x0)x?x0?x?0??lim?x?0x?x0lim?limf(x0?(x?x0))?f(x0) x?x0x?x0?0?f(x0)。
limf(x0?h)?f(x0?h) hf(x0?h)?f(x0)hh?0f(x0?h)?f(x0)hh?0?limh?0?lim?2f(x0)。
2．⑴用定义求抛物线y?2x2?3x?1的导函数；⑵求该抛物线上过点(?1,?2)处的切线方程；⑶求该抛物线上过点(?2,1)处的法线方程；⑷问该抛物线上是否有(a,b)，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？解 (1)因为?y?x?2(x??x)?3(x??x)?1?(2x?3x?1)?xf(x)?lim?y?x?4x?3。
22?4x?3?2?x，所以?x?0(2)由于(3)由于f(?1)??1，切线方程为y??1?[x?(?1)]?(?2)??x?3。
f(?2)??5，法线方程为y??1?5[x?(?2)]?1?x?75。
第二章 数列极限习 题 2.1 实数系的连续性1. (1) 证明6不是有理数；(2) 3+2是不是有理数?证（1）反证法。
若6是有理数，则可写成既约分数nm=6。
由，可知是偶数，设，于是有，从而得到是偶数，这与226n m =m k m 2=2223k n =n nm是既约分数矛盾。
（2）3+2不是有理数。
若3+2是有理数，则可写成既约分数32+n m=，于是222623nm =++，252622−=n m ，即6是有理数，与（1）的结论矛盾。
2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： ； A x x =≥{|}0 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=320|sin πx x B ； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<∈=+m n n m m n C 并且N ,。
解 ；因为，有0min =A A x ∈∀A x ∈+1，x x >+1，所以不存在。
A max 12sin max ==πB ；因为B x ∈∀，⎦⎤⎜⎝⎛∈∃2,0πα，使得αsin =x ，于是有B ∈2sinα，x <2sinα，所以B min 不存在。
C max 与都不存在，因为C min C m n ∈∀，有C m n ∈+1，C m n ∈++11， 111++<<+m n m n m n ，所以与都不存在。
C max C min 3. A B ,是两个有界集，证明： (1) 是有界集；A B ∪(2) 也是有界集。
S x y x A y B =+∈∈{|,}证 （1）设A x ∈∀，有1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则B A x ∪∈∀，有{}21,max M M x ≤。
（2）设，有A x ∈∀1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则S x ∈∀，有21M M x +≤。
4. 设数集S 有上界，则数集T x x S =−∈{|}有下界，且sup S =T inf −。
证 设数集S 的上确界为，则对任意S sup ∈x T x x S =−∈{|}，有，即；同时对任意S x sup ≤−S x sup −≥0>ε，存在S y ∈，使得ε−>S y sup ，于是，且T y ∈−ε+−<−S y sup 。
数学分析讲义答案【篇一：学习数学分析的一些建议和书籍】本帖最后由 ke.xigui 于 2009-5-21 21:49 编辑首先，只是觉得这篇东西写得很好，对学习数学分析的人可能有帮助，所以粘上来。
希望作者莫见怪。
旧版网站里许多有用的东西，但是现在找不到了，实在很可惜。
数学专业参考书整理推荐学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理：从数学分析开始讲起：数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。
也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。
当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。
数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。
将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。
记住以下几点：1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。
2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。
3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。
4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。
5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。
6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。
7，经常回头看看自己走过的路以上几点请在学其他课程时参考。
数学分析书：初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。
我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。
另外建议看一下当不了教材的16，20。
中国人自己写的：1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。
我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。
