2017年12月山东省普通高中学业水平考试数学试题

2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）（理科数学)第一部分（选择题共50分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，则AB=（）A．B．C．D．2．若复数满足，其中i为虚数为单位，则（）．A．B．C．D．3．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（）．A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D向右平移个单位4．已知菱形的边长为，,则（）．A．B．C．D.5．不等式的解集是（）A．B．C．D.6.已知x,y满足约束条件，若的最大值为，则（）．A．B.C．D.7.在梯形中，，.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D.8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N，则，A．B．C．D．9．一条光纤从点射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或B.．或C．或D．或10.设函数则满足的a取值范围是（）A． B．C D.第二部分（非选择题共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（观察下列各式：；；；；……照此规律，当时，_________．12．若“”是真命题，则实数m的最小值为 .13．执行右边的程序框图，输出的的值为_________14．已知函数的定义域和值域都是，则_________15．平面直角坐标系中，双曲线：（,b>0）的渐近线与抛物线，交于，若的垂心为C2的焦点，则的离心率为__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题满分12分）设（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为若求面积的最大值.17．（本题满分12分）如图，在三棱台中，分别为的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若,求平面与平面所成的角（锐角）的大小.18．（本小题满分12分）设数列的前n项和为.已知（I）求的通项公式；（II）若数列满足，求的前项和.19．（本小题满分12分）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被整除，参加者得分；若能被整除，但不能被整除，得分；若能被整除，得分.（I）写出所有个位数字是的“三位递增数”；（II）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望.20．（本小题满分13分）平面直角坐标系中，已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别是F1、F2.以为圆心以为半径的圆与以为圆心为半径的圆相交，且交点在椭圆上.(Ⅰ)求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆为椭圆上任意一点，过点P的直线交椭圆E于两点，射线交椭圆于点.(i)求的值（ii）求面积的最大值.21．（本小题满分4分）设函数，其中。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设函数24y x =-的定义域为A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则AB =（A ）（1,2） （B ）(1,2] （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D【解析】试题分析：由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故{|22}{|1}{|21}A B x x x x x x =-≤≤<=-≤< ，选D.【考点】 1.集合的运算；2.函数的定义域；3.简单不等式的解法【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应把集合先化简再计算，常借助数轴或韦恩图进行求解. （2）已知a ∈R ,i 是虚数单位.若3i,4z a z z =+⋅=，则a =（A ）1或-1 （B ）7-7或 （C ）-3 （D ）3 【答案】A【解析】试题分析：由3i,4z a z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A. 【考点】1.复数的概念；2.复数的运算【名师点睛】复数i(,)a b a b +∈R 的共轭复数是i(,)a b a b -∈R ，据此结合已知条件，求得a 的值. （3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ）∧p q （B ）⌝∧p q （C ）⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q 【答案】B【考点】常用逻辑用语【名师点睛】解答有关逻辑联结词的相关问题，首先要明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.（4）已知x,y 满足约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ）2 （C ）5 （D ）6 【答案】C【解析】试题分析：约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数z=x+2y ，即122z y x =-+，平移直线122z y x =-+，可知当直线122zy x =-+经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+取得最大值，为max 3245z =-+⨯=，选C.【考点】简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 【答案】C【解析】试题分析：由已知得22.5,160,x y ==则 160422.570,a=-⨯=当24x =时，ˆ42470y=⨯+166=,选C. 【考点】线性相关与线性回归方程的求解与应用【名师点睛】判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 的公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时，在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．（6）执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0 【答案】D【考点】程序框图【名师点睛】识别程序框图和完善程序框图是高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确程序框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要理解程序框图解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对程序框图的考查常与函数和数列等相结合，进一步强化框图问题的实际背景． （7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+（C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】试题分析：因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 21,2aba b a b ab ><<∴<+>= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B. 【考点】1.指数函数与对数函数的性质；2.基本不等式【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.（8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．学/科网则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【答案】C【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题. （9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A B = （D ）2B A = 【答案】A【解析】试题分析：由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A. 【考点】1.三角函数的和差角公式；2.正弦定理【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. （10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y x m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()0,223,⎤⎡+∞⎦⎣（D ）([)0,23,⎤+∞⎦【答案】B【考点】函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .【答案】4【解析】试题分析：()13nx +的展开式的通项公式为1C (3)C 3r r r r rr n n T x x +==⋅，令2r =，得22C 354n ⋅=，解得4n =． 【考点】二项式定理【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.（12）已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是 .【答案】33【考点】1.平面向量的数量积；2.平面向量的夹角；3.单位向量 【名师点睛】1.平面向量a 与b 的数量积为||||cos θ⋅=a b a b ，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒.2.由向量的数量积的性质有||=⋅a a a ，cos ||||θ⋅=a ba b ，0⋅=⇔⊥a b a b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立关于λ的方程求解. （13）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .【答案】π22+【解析】试题分析：由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以2π1π21121242V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+.【考点】1.三视图；2.几何体的体积【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】22y x =±【考点】1.双曲线的几何性质；2.抛物线的定义及其几何性质【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数. 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为122=+By Ax 的形式，当0>A ，0>B ，B A ≠时为椭圆，当0<AB 时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理．（15）若函数e ()xf x （e 2.71828= 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -= ②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+【答案】①④【解析】试题分析：①e e ()e 2()2x x x x f x -=⋅=在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；②e e ()e 3()3x x x x f x -=⋅=在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③3e ()e xxf x x =⋅，令3()e xg x x =⋅，则322()e 3e e (3)xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，∴当3x >-时，()0g x '>，当3x <-时，()0g x '<，∴3e ()e x x f x x =⋅在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④2e ()e (2)x x f x x =+，令2()e (2)x g x x =+，则22()e (2)2e e [(1)1]0x x x g x x x x '=++=++>，∴2e ()e (2)x x f x x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．【考点】1.新定义问题；2.利用导数研究函数的单调性 【名师点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．2.求可导函数单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．(4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．3.由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围的问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．三、解答题：本大题共6小题,共75分.（16）(本小题满分12分)设函数ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中03ω<<.已知π()06f =. （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在π3π[,]44-上的最小值. 【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）最小值为32-.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =π3sin()3x ω=-. 由题设知()06f π=及03ω<<可得ω.（Ⅱ）由（Ⅰ）得()3sin(2)3f x x π=-，从而()3sin()3sin()4312g x x x πππ=+-=-.根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求()g x 的最小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）得()3sin(2)3f x x π=-.所以()3sin()3sin()4312g x x x πππ=+-=-. 因为3[,]44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-. 【考点】1.两角和与差的三角函数；2.三角函数图象的变换与性质【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽略设定角的范围.难度不大，能较好地考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. （17）（本小题满分12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是 DF的中点. （Ⅰ）设P 是 CE上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （Ⅱ）当3AB =，2AD =时，求二面角E AG C --的大小.【答案】（Ⅰ）30CBP ∠=︒.（Ⅱ）60︒.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用AP BE ⊥，AB BE ⊥，证得BE ⊥平面ABP ， 利用BP ⊂平面ABP ，得到BE BP ⊥，结合120EBC ∠=︒可得CBP ∠. （Ⅱ）两种思路，一是几何法，二是空间向量方法，其中思路一：取 EC的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 得四边形BEHC 为菱形，得到223213AE GE AC GC ====+=. 取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC . 得到EM AG ⊥，CM AG ⊥， 从而EMC ∠为所求二面角的平面角. 根据相关数据即得所求的角. 思路二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.写出相关点的坐标，求平面AEG 的一个法向量111(,,)m x y z =，平面ACG 的一个法向量222(,,)n x y z =，计算1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅即得二面角E AG C --的大小.试题解析：（Ⅰ）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB AP A = ，所以BE ⊥平面ABP ， 又BP ⊂平面ABP ，所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒， 因此30CBP ∠=︒ （Ⅱ）解法一：取 EC的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 因为120EBC ∠=︒， 所以四边形BEHC 为菱形，所以223213AE GE AC GC ====+=. 取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC . 则EM AG ⊥，CM AG ⊥， 所以EMC ∠为所求二面角的平面角.又1AM =，所以13123EM CM ==-=. 在BEC △中，由于120EBC ∠=︒，由余弦定理得22222222cos12012EC =+-⨯⨯⨯︒=，所以23EC =，因此EMC △为等边三角形， 故所求的角为60︒.解法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E ，(1,3,3)G ，(1,3,0)C -，故(2,0,3)AE =- ，(1,3,0)AG =，(2,0,3)CG =，所以1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅.因此所求的角为60︒.【考点】1.垂直关系；2. 空间角的计算【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.立体几何中角的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等. （18）（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含1B 的概率；（II ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX . 【答案】（I ）5.18(II)X 的分布列为 X 01234P142 521 1021 521 142X 的数学期望是2EX =.【解析】试题分析：（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，计算即得()P M ；(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.利用超几何分布的概率计算公式得X 的分布列，进一步计算X 的数学期望.试题解析：（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，则485105().18C P M C ==(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.则565101(0),42C P X C ===41645105(1),21C C P X C ===326451010(2),21C C P X C ===23645105(3),21C C P X C ===14645101(4),42C C P X C ===因此X 的分布列为 X 01234P142 521 1021 521 142X 的数学期望是0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯= =151******** 2.4221212142⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【考点】1.古典概型；2.随机变量的分布列与数学期望；3.超几何分布【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率的计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好地考查考生数学的应用意识、基本运算求解能力等. （19）（本小题满分12分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2. （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n+1(x n+1, n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T .【答案】(I)12.n n x -=（II ）(21)21.2n n n T -⨯+=【解析】试题分析：(I)依题意布列关于1x 和公比q 的方程组求解. （II ）利用梯形的面积公式，记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b ，求得12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 应用错位相减法计算得到(21)21.2n n n T -⨯+=试题解析：(I)设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >. 由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=， 因为0q >,所以12,1q x ==， 因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=①-②得121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯- 所以(21)21.2n n n T -⨯+=【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.错位相减法求和【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的错位相减法.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生的计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好地考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.（20）（本小题满分13分）已知函数()22cos f x x x =+，()e (cos sin 22)x g x x x x =-+-，其中e 2.71828= 是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a =-∈R ，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）222y x ππ=--.（Ⅱ）见解析试题解析：（Ⅰ）由题意()22f ππ=-，又()22sin f x x x '=-，所以()2f ππ'=，因此 曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x πππ--=-，即222y x ππ=--.（Ⅱ）由题意得2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+，因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x x '=-≥，所以()m x 在R 上单调递增.因为(0)0,m =所以 当0x >时，()0,m x >当0x <时，()0m x <，(1)当0a ≤时，x e a -0>，当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以 当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；(2)当0a >时，()()()ln 2sin x ah x e e x x '=--，由 ()0h x '=得 1ln x a =，2=0x .①当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0x a e e h x '-<>，()h x 单调递增；当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0x a e e h x '-><，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0x a e e h x '->>，()h x 单调递增.所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =，所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；③当1a >时，ln 0a >，所以 当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增；当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增.所以 当0x =时()h x 取到极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取到极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--，极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【考点】1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、极值；3.分类讨论思想【名师点睛】1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或复杂式子变形能力差.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等. （21）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为22，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：132y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.【答案】（I ）2212x y +=.（Ⅱ）SOT ∠的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为122k =±.试题解析：（I ）由题意知 22c e a ==，22c =， 所以 2,1a b ==，因此 椭圆E 的方程为2212x y +=. （Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程2211,23,2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2211424310k x k x +--=，由题意知0∆>， 且()112122211231,21221k x x x x k k +==-++，所以 22112112211181221k k AB k x x k ++=+-=+.由题意可知圆M 的半径r 为22112111822321k k r k ++=+ 由题设知1224k k =， 所以2124k k =，因此直线OC 的方程为124y x k =. 联立方程2211,22,4x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得2221221181,1414k x y k k ==++，因此 2221211814k OC x y k +=+=+.由题意可知 1sin 21SOT r OC r OC r∠==++， 而2121221121181411822321k OCk r k kk ++=+++21221112324141k k k +=++， 令2112t k =+， 则()11,0,1t t>∈， 因此 2223313112221121119224OCt r t t t t t ===≥+-⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭，学科网 当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时122k =±， 所以 1sin 22SOT ∠≤， 因此26SOT π∠≤， 所以 SOT ∠最大值为π3. 综上所述：SOT ∠的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为122k =±. 【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）的方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程得到的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题及解决问题的能力等.。

山东省2017年夏季普通高中学业水平考试 学生姓名： 考试成绩 ： 满分：100分 考试时间：90分钟一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分）1．已知集合{}4,2,1=A ，{}84,2，=B ，则=B A （ ） A ．{4} B ．{2} C ．{2,4} D ．{1,2,4,8}2．周期为π的函数是（ ）A ．y =sinxB ．y =cosxC ．y =tan 2xD ．y =sin 2x3．在区间()∞+，0上为减函数的是（ ） A ．2x y =B ．21x y =C ．xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21D ．x y ln = 4．若角α的终边经过点()2,1-，则=αcos （ ）A ．55-B ．55C ．552-D ．552 5．把红、黄两张纸牌随机分给甲、乙两个人，每人分得一张，设事件P 为“甲分得黄牌”，设事 件Q 为“乙分得黄牌”，则（ ）A ．P 是必然事件B ．Q 是不可能事件C ．P 与Q 是互斥但是不对立事件D ．P 与Q 是互斥且对立事件6．在数列{}n a 中，若n n a a 31=+，21=a ，则=4a （ ）A ．108B ．54C ．36D ．187．采用系统抽样的方法，从编号为1～50的50件产品中随机抽取5件进行检验，则所选取的5件 产品的编号可以是（ ）A ．1，2，3，4，5B ．2，4，8，16，32C ．3，13，23，33，43D ．5，10，15，20，258．已知()+∞∈,0,y x ，1=+y x ，则xy 的最大值为（ ）A ．1B ．21C ．31D ．41 9．在等差数列{}n a 中，若95=a ，则=+64a a （ ）A ．9B ．10C ．18D ．2010．在A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，若︒=60A ，︒=30B ，3=a ，则=b （ ）A ．3B ．233C ．32D ．33 11．已知向量()3,2-=，()6,4-=，则与（ ）A ．垂直B ．平行且同向C ．平行且反向D ．不垂直也不平行12．直线012=+-y ax 与直线012=-+y x 垂直，则=a （ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－213．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，若222c bc b a +-=，则角A 为（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．3π或32π 14．在学校组织的一次知识竞赛中，某班学生考试成绩的频率分布直方图如图所示，若低于60分 的有12人，则该班学生人数是（ ）A ．35B ．40C ．45D ．5015．已知△ABC 的面积为1，在边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于的概率是（ ）A ．41B ．21C ．43D ．32 16．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+1142y x y x ，则y x z -=的最小值是（ ）A ．－1B ．21-C ．0D ．1 17．下列结论正确的是（ ）A ．平行于同一个平面的两条直线平行B ．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行C ．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D ．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行18．若圆柱的底面半径是1，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是（ ）A ．24πB ．23πC ．22πD ．2π19．方程x x -=33的根所在区间是（ ）A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）20．运行如图所示的程序框图，如果输入的x 值是－5，那么输出的结果是（ ）A ．－5B ．0C ．1D ．2二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分）21．函数)1lg()(-=x x f 的定义域为．22．已知向量，2=，与的夹角θ为32π，若1-=⋅，=．23．从集合{}3,2=A ，{}3,21，=B 中各任取一个数，则这两个数之和等于4的概率是． 24．已知数列{n a }的前n 项和为n n S n 22+=，则该数列的通项公式=n a ．25．已知三棱锥P -ABC 的底面是直角三角形，侧棱⊥PA 底面ABC ，P A =AB =AC =1，D 是BC 的中点， PD 的长度为．三、解答题（本大题共3个小题，共25分）26．（本小题满分8分）已知函数1cos sin )(+=x x x f ．求：（1）)4(πf 的值；（2）函数)(x f 的最大值．27．（本小题满分8分）已知n mx x x f ++=22)(（m ，n 为常数）是偶函数，且f (1)=4．（1）求)(x f 的解析式；（2）若关于x 的方程kx x f =)(有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围．28．（本小题满分9分）已知直线l :y =kx +b ，(0<b <1)和圆O ：122=+y x 相交于A ，B 两点．（1）当k =0时，过点A ，B 分别作圆O 的两条切线，求两条切线的交点坐标；（2）对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点N ，满足ONB ONA ∠=∠？若存在，请求出此 点坐标；若不存在，说明理由．山东省2017年夏季普通高中学业水平考试 参考答案：1-20BDCADBCDCACABBCBDABC21、()∞+，122、123、3124、2n+125、26 26、（1）23；（2）最大值为23． 27、（1）22)(2+=x x f ；（2）22>k 或22-<k ．28、（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛b 10，；（2）存在；⎪⎭⎫ ⎝⎛b 10，．山东省2017年冬季普通高中学业水平考试数学试题第I卷（共60分）一、选择题：本大题共20个小题，每小题3分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.l. 已知集合{}U=-，则U C A=1,11,0,1A=-，全集{}A. 0B. {}0C. {}-1,0,1- D. {}1,12. 六位同学参加知识竞赛，将每位同学答对题目的个数制成如图所示的茎叶图，则这组数据的众数是A. 19B. 20 1 8 9 9C. 21D. 22 2 0 1 23. 函数ln(1)=-的定义域是y xA. {|1}x x> D. {|1}x x≥x x≠ C. {|1}x x< B. {|1}4. 过点(1,0)且与直线y x=平行的直线方程为A. 1y x=-+ C. 1=-- B. 1y x=+y x=- D. 1y x5. 某班有42名同学，其中女生30人，在该班中用分层抽样的方法抽取141名同学，应该取男生的人数为A. 4B. 6C. 8D. 106. 与向量(3,2)=-a垂直的向量是A. (3,2)- B. (23)-， C. (2,3) D. (3,2)7. 0000+sin72cos48cos72sin48=1A.B. C. 12- D. 128. 为得到函数3sin()12=-y x π的图象，只需将函数3sin =y x 的图象上所有的点 A. 向左平移4π个单位 B. 向右平移4π个单位C. 向左平移12π个单位D. 向右平移12π个单位 9. 已知向量a 与b 满足||3a =，||4b =，a 与b 的夹角为23π，则a b = A. 6- B. 6C. -D. 10. 函数2cos 1([0,2])=+∈y x x π的单调递减区间为A. [0,2]πB. [0,]πC. [,2]ππD. 3[,]22ππ11. 已知,(0,)16∈+∞=，x y xy ，若+x y 的最小值为A. 4B. 8C. 16D. 3212. 已知()f x 为R 上的奇函数，当0>x 时，()1=+f x x ，则(1)-=fA. 2B. 1C. 0D. 2-13. 某人连续投篮两次，事件“至少投中一次”的互斥事件是A. 恰有一次投中B. 至多投中一次C. 两次都中D. 两次都不中14. 已知tan 2=θ，则tan 2θ的值是 A.43 B.45C. 23-D. 43- 15. 在长度为4米的笔直竹竿上，随机选取一点挂一盏灯笼，该点与竹竿两端的距离都大于1米的概率A. 12B. 132C. 14D. 1616. 在∆ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为5,4==c A π，则b 的值为A.2B. C. 4D. 17. 设,x y 满足约束条件1,0,10,≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩x y x y 则2=+z x y 的最大值为A. 4B.2C. 1-D. 2-18. 在ABC ∆中，角,,A B C的对边分别是,,,1,cos 7===-a b c b c A .则a 的值为A. 6B. C. 10D.19. 执行右图所示的程序框图，则输出S 的值是值为A. 4B. 7C. 9D. 1620. 在等差数列{}n a 中，37=20=4-，a a ，则前11项和为A. 22B. 44C. 66D. 88第II 卷（共40分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共1 5分.21. 函数sin 3=x y 的最小正周期为_______.22. 底面半径为1，母线长为4的圆柱的体积等于_______.23. 随机抛掷一枚骰子，则掷出的点数大于4的概率是_______.24. 等比数列1,2,4,,-从第3项到第9项的和为_______.25. 设函数2,0,()3,0,⎧<=⎨+≥⎩x x f x x x 若(())4=f f a ，则实数=a _______.三、解答题：本大题共3个小题，共25分.26.（本小题满分8分）如图，在三棱锥-A BCD 中，,==AE EB AF FD .求证：//BD 平面EFC .27.（本小题满分8分）已知圆心为(2,1)C 的圆经过原点，且与直线10-+=x y 相交于,A B 两点，求AB 的长.28.（本小题满分9分）已知定义在R 上的二次函数2()3=++f x x ax ，且()f x 在[1,2]上的最小值是8.(1)求实数a 的值；(2)设函数()=x g x a ，若方程()()=g x f x 在(,0)-∞上的两个不等实根为12,x x ，证明：12()162+>x x g。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设函数24y x =-的定义域为A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则AB =（A ）（1,2） （B ）(1,2] （C ）（-2,1） （D ）[-2,1)【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故{|22}{|1}{|21}A B x x x x x x =-≤≤<=-≤<，选D.（2）已知a ∈R ,i 是虚数单位.若3i,4z a z z =+⋅=，则a = （A ）1或-1 （B ）7-7或 （C ）-3 （D ）3【答案】A【解析】由3i,4z a z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.（3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是 （A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q【答案】B（4）已知x,y 满足约束条件x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ）2 （C ）5 （D ）6【答案】C【解析】约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数z=x+2y ，即122z y x =-+，平移直线122z y x =-+，可知当直线122zy x =-+经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+取得最大值，为max 3245z =-+⨯=，选C.（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170【答案】C【解析】由已知得22.5,160,x y ==则160422.570,a =-⨯=当24x =时，ˆ42470y=⨯+166=,选C.（6）执行两次下图所示的程序框图，学科网若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0【答案】D【解析】第一次输入27,27,x =<否，否，23,37b =>，是，1a =；第二次输入29,29,x =< 否，否，23,39b ==，否，是，0a =，选D.（7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 21,2aba b a b ab ><<∴<+>= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B. （8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【答案】C（9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A B = （D ）2B A = 【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A. （10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y x m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()0,223,⎤⎡+∞⎦⎣（D ）([)0,23,⎤+∞⎦【答案】B【解析】当01m <≤时，211,(1)y mx m≥=-在[]0,1x ∈上单调递减，且22(1)[(1),1],y mx m y x m =-∈-=+在[]0,1x ∈上单调递增，且[,1]y x m m m =+∈+，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m <<，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥.选B.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .【答案】4【解析】()13nx +的展开式的通项公式为1C (3)C 3r r r r r r n n T x x +==⋅，令2r =，得22C 354n ⋅=，解得4n =．（12）已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是 .【答案】33（13）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为 .【答案】π22+【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以2π1π21121242V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+.（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】22y x =±【解析】由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=, 因为22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩,所以2222A B pb y y p a b a +==⇒=⇒渐近线方程为22y x =±. （15）若函数e ()x f x （e 2.71828=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -= ②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+【答案】①④【解析】①e e ()e 2()2x x x x f x -=⋅=在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；②e e ()e 3()3x x x x f x -=⋅=在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③3e ()e xxf x x =⋅，令3()e xg x x =⋅，则322()e 3e e (3)xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，∴当3x >-时，()0g x '>，当3x <-时，()0g x '<，∴3e ()e x x f x x =⋅在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④2e ()e (2)x x f x x =+，令2()e (2)x g x x =+，则22()e (2)2e e [(1)1]0x x x g x x x x '=++=++>，∴2e ()e (2)x x f x x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．三、解答题：本大题共6小题,共75分.（16）(本小题满分12分)设函数ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中03ω<<.已知π()06f =. （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在π3π[,]44-上的最小值. 【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）最小值为32-.（Ⅱ）由（Ⅰ）得()3sin(2)3f x x π=-.所以()3sin()3sin()4312g x x x πππ=+-=-. 因为3[,]44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-. （17）（本小题满分12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是DF 的中点.（Ⅰ）设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （Ⅱ）当3AB =，2AD =时，求二面角E AG C --的大小.【答案】（Ⅰ）30CBP ∠=︒.（Ⅱ）60︒.【解析】（Ⅰ）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AB ，AP ⊂平面ABP ，ABAP A =，所以BE ⊥平面ABP ， 又BP ⊂平面ABP ，所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒， 因此30CBP ∠=︒ （Ⅱ）解法一：取EC 的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 因为120EBC ∠=︒， 所以四边形BEHC 为菱形，所以223213AE GE AC GC ====+=. 取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC . 则EM AG ⊥，CM AG ⊥， 所以EMC ∠为所求二面角的平面角.又1AM =，所以13123EM CM ==-=. 在BEC △中，由于120EBC ∠=︒，由余弦定理得22222222cos12012EC =+-⨯⨯⨯︒=，所以23EC =，因此EMC △为等边三角形， 故所求的角为60︒. 解法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E ，(1,3,3)G ，(1,3,0)C -，故(2,0,3)AE =-，(1,3,0)AG =，(2,0,3)CG =，设111(,,)m x y z =是平面AEG 的一个法向量.由00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得1111230,30,x z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取12z =，可得平面AEG 的一个法向量(3,3,2)=-m .设222(,,)n x y z =是平面ACG 的一个法向量.由00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得222230,230,x y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取22z =-，可得平面ACG 的一个法向量(3,3,2)n =--. 所以1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅.因此所求的角为60︒. （18）（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含1B 的概率；（II ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX . 【答案】（I ）5.18(II)X 的分布列为 X 01234P142 521 1021 521 142X 的数学期望是2EX =.【解析】（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，则485105().18C P M C ==(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.则565101(0),42C P X C ===41645105(1),21C C P X C ===326451010(2),21C C P X C ===23645105(3),21C C P X C === 14645101(4),42C C P X C ===因此X 的分布列为 X0 1 2 3 4 P 142521 1021 521 142 X 的数学期望是0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯= =151******** 2.4221212142⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （19）（本小题满分12分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2.（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；学科网（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n+1(x n+1, n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T .【答案】(I)12.n n x -=（II ）(21)21.2n n n T -⨯+= 【解析】(I)设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >.由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=， 因为0q >,所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=（II ）过123,,,P P P …，1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,QQ Q …，1n Q +, 由(I)得111222.n n n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所以 123n T b b b =+++…+n b=101325272-⨯+⨯+⨯+…+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ①，又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+…+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②，①-②得121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯ =1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯- 所以(21)21.2n n n T -⨯+= （20）（本小题满分13分）已知函数()22cos f x x x =+，()e (cos sin 22)x g x x x x =-+-，其中e 2.71828=是自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a =-∈R ，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）222y x ππ=--.（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由题意()22f ππ=-，又()22sin f x x x '=-，所以()2f ππ'=，因此 曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x πππ--=-，即222y x ππ=--.（Ⅱ）由题意得2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+，因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+-- ()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x x '=-≥，所以()m x 在R 上单调递增.因为(0)0,m =所以 当0x >时，()0,m x >当0x <时，()0m x <，(1)当0a ≤时，x e a -0>，当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以 当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =，所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； ③当1a >时，ln 0a >，所以 当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增；当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增. 所以 当0x =时()h x 取到极大值，极大值是()021h a =--； 当ln x a =时()h x 取到极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； 当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增， 在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()021h a =--，极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.（21）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为22，焦距为2. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：132y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.【答案】（I ）2212x y +=.（Ⅱ）SOT ∠的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为122k =±. 【解析】（I ）由题意知 22c e a ==，22c =， 所以 2,1a b ==，因此 椭圆E 的方程为2212x y +=. （Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ， 联立方程2211,23,2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2211424310k x k x +--=，由题意知0∆>，且()112122211231,21221k x x x x k k +==-++， 所以 22112112211181221k k AB k x x k ++=+-=+.由题意可知圆M 的半径r 为22112111822321k k r k ++=+ 由题设知1224k k =， 所以2124k k =， 因此直线OC 的方程为124y x k =. 联立方程2211,22,4x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得2221221181,1414k x y k k ==++， 因此 2221211814k OC x y k +=+=+. 由题意可知 1sin 21SOT r OC r OC r∠==++， 而2121221121181411822321k OCk r k kk ++=+++21221112324141k k k +=++，令2112t k =+， 则()11,0,1t t>∈， 因此 2223313112221121119224OCt r t t t t t ===≥+-⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭， 当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时122k =±， 所以 1sin 22SOT ∠≤， 因此26SOT π∠≤， 所以 SOT ∠最大值为π3. 综上所述：SOT ∠的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为122k =±.。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（山东卷）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)；如果事件A 、B 独立，那么P （AB ）=P(A)﹒P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数的定义域，函数的定义域为,则【D 】 （A ）（1,2） （B ） （C ）（-2,1） （D ）[-2,1)A y=ln(1-x)B A B ⋂=⎤⎦(1,2（2）已知,i 是虚数单位，若，则a=【A 】 （A ）1或-1 （B（C ）（D （3）已知命题p:；命题q ：若a ＞b ，则，下列命题为真命题的是【B 】 （A ） （B ） （C ） （D ） （4）已知x,y 满足，则z=x+2y 的最大值是【C 】（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6（5）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为【C 】（A ） （B ） （C ） （D ）（6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的的值为，第二次输入的的值为，则第一次、第二次输出的的值分别为【D 】（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0a R ∈,4z a z z =⋅=()x x ∀+＞0,ln 1＞0ab 22＞∧p q ⌝∧p q ⌝∧p q ⌝⌝∧p q x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x x y y x ˆˆˆybx a =+101225i i x ==∑1011600i i y ==∑ˆ4b =160163166170x 7x 9a（7）若，且，则下列不等式成立的是【B 】 （A ） （B ） （C ） （D ） （8）从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是【C 】（A ）（B ） （C ） （D ）（9）在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是【A 】（A ） （B ） （C ） （D ）（10）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是【B 】0a b >>1ab =()21log 2a b a a b b +<<+()21log 2a b a b a b<+<+()21log 2a b a a b b +<+<()21log 2a b a b a b +<+<12⋅⋅⋅99518495979C ∆AB A B C a b c C ∆AB ()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A 2a b =2b a =2A =B 2B =A []0,1x ∈()21y mx =-y m =m（A ） （B ） （C ） （D ）第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知的展开式中含有项的系数是，则 4 .（12）已知与的夹角为，则实数的值是.(13)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为.（14）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为.（15）若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 ①④.①②③④(])0,123,⎡+∞⎣(][)0,13,+∞()23,⎡+∞⎣([)3,+∞()13nx +2x 54n =12,e e 12-e 12λ+e e 60λ1422π+xOy ()222210,0x y a b a b-=>>F ()220x px p =>,A B 4AF BF OF +=2y x=±()x e f x 2.71828e =()f x ()f x M M ()2x f x -=()3x f x -=()3f x x =()22f x x =+三、解答题：本大题共6小题，共75分。

1．设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则AB =A ．（1,2）B ．(1,2]C ．（-2,1）D ．[-2,1)2．已知a ∈R ,i是虚数单位．若4z a z z =+⋅=，则a = A ．1或-1BC ．D3．已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是 A ．∧p qB ．⌝∧p qC ．⌝∧p qD ．⌝⌝∧p q4．已知x,y 满足约束条件x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则y x z 2+=的最大值是A ．0B ．2C ．5D ．65．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 A ．160B ．163C ．166D ．1706．执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为A ．0，0B ．1，1C ．0，1D ．1，07．若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是A ．()21log 2a ba ab b +<<+ B ．()21log 2a b a b a b<+<+ C ．()21log 2aba ab b +<+<D ．()21log 2a ba b a b +<+<8．从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A ．185 B ．94 C ．95 D ．97 9．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．b a 2=B ．a b 2=C ．B A 2=D ．2A =B10．已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y x m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 A ．(])0,123,⎡+∞⎣B ．(][)0,13,+∞C ．()223,⎡+∞⎣D ．([)23,+∞11．已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = ．12．已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是 ． 13．由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 ．15．若函数e ()xf x （e 2.71828=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 ．①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+16．设函数ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中03ω<<．已知π()06f =． （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在π3π[,]44-上的最小值．17．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是⋂DF 的中点． （Ⅰ）设P 是⋂CE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小；（Ⅱ）当3AB =，2AD =时，求二面角E AG C --的大小．18．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含1B 的概率；（Ⅱ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX ． 19．已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2．（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n+1(x n+1,n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T ．20．已知函数()22cos f x x x =+，()e (cos sin 22)xg x x x x =-+-，其中e 2.71828=是自然对数的底数。

22017年山东省普通高中学业水平考试（真题及答案）已知集合A 1,2,4 , B 2,4,8，则 A B( )A . {4}B . {2}C . {2,4}D. .{1,248}周期为 的函数是（A . y=sinxB . y=cosxC . y=tan2xD . y=sin2x在区间 0, 上为减函数的是（）A . y12 2x B . y x 2C . y l x2D . y 若角 的终边经过点 1,2 ，则 cos ( )2. 3.4. In x一、选择题（本大题共 20个小题，每小题3分，共60分）产品的编号 可以疋（)A . 1, 2, 3, 4, 5B .2, 4, 8, 16, 32C . 3, 13,23,258. 已知x, y0,,x y 1,则 xy的I 最大值为（ ）111A . 1B.-CD .2349. 在等差数列 a n 中, 若 a 59，则 a 4 a 6( )A . 9B . 10C.18D .2033, 43 D . 5, 10, 15, 20,5. 事V5A . 一5B .C .把红、黄两张纸牌随机分给甲、乙两个人, 25 5每人分得一张，设事件P 为“甲分得黄牌”，设件Q 为“乙分得黄牌”，则（ A. P 是必然事件C. P 与Q 是互斥但是不对立事件B. Q 是不可能事件D . P 与Q 是互斥且对立事件 6. 在数列a n 中，若a n 1 3a n ,a i则a 4 (7. 5件A . 108B . 54采用系统抽样的方C . 从编号为361〜50 D . 18的50件产品中随机抽取5件进行检验，则所选取的260 ,B 30 , a 3，则b (A. B. 33C. 2 311.已知向量2,3 , b 4, 6 ,A.垂直B.平行且同向C.平行且反向 D .不垂直也不平行12 .直线ax 2y 1 0与直线2x y 1 0垂直，则a （A. 1B.—1C. 2的有12人，则该班学生人数是（）A . 35B . 40C . 45D . 501A . — 1B .—C . 0D . 12下列结论正确的是（）A .平行于同一个平面的两条直线平行B. 一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行C. 与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D. 平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行21.函数f(x) lg(x 1)的定义域为 _________________ .—•-*■=*—*—FO—F —■22 .已知向量a , b 满足a 2 , a 与b 的夹角 为——，若a b3则 |b| _________ . 23•从集合A2,3 , B 1,2,3中各任取一个数，则这两个数之和等于 4的概率是 _______________ .24.______________________________________________________________________ 已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n n 2 2n ，则该数列的通项公式 a n __________________________ 25. 已知三棱锥 P-ABC 的底面是直角三角形，侧棱 PA 底面ABC , FA=AB=AC=1, D 是BC 的 中占 I 八、、’PD 的长度为 __________ .三、解答题(本大题共 3个小题，共25分)26. (本小题满分8分)已知函数f(x) sin xcosx 1 .求: (1) f(—)的值；(2)函数f(x)的最大值.A .舌 B. -C . —D .-或—333 3)14 •在学校组织的一次知识竞赛中，某班学生考试成绩的频率分布直方图如图所示，若低于60分已知△ ABC 的面积为 1，在边AB 上任取一点 戸，则厶FBC 的面积大于的概率是1 132A .B.-C .D . —424 3x 2y 4设x , y 满足约束条件x 1 ，则z x y 的最小值是（)15.16.y 12 2 213•在△ ABC 中，角A , B , C 的对边分别是a, b, c ,若a b bc c ,则角A 为（17. 18. 19. 20. 若圆柱的底面半径是1，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是（A . 4 2B . 3 2C . 2 2方程3x 3 x 的根所在区间是（ ） A . （— 1, 0） B . （0, 1） C . （ 1,2）5, D . （2, 3 那么输出的结果是（ A .— 5)B . 0C . 1D . 2 填空题（本大题共 5个小题，每题3分，共15分）/谕否27. (本小题满分8分)已知f(x) 2x2 mx n (m, n为常数)是偶函数，且f(1)=4.(1)求f (x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x) kx有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围.28. (本小题满分9分)已知直线l:y=kx+b, (0<b<1)和圆O: x2 y2 1相交于A, B两点.(1)当k=0时，过点A, B分别作圆O的两条切线，求两条切线的交点坐标；(2)对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点N,满足ONA ONB ?若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由.参考答案：1-20 BDCAD BCDCA CABBC BDABC1,6 21、1,22、1 23、一24、2n+125、323 326、( 1) ； (2 )最大值为2227、( 1) f(X) 2x2 2 ； (2) k 2、2或k 2 2 .c 128、( 1) 0,，， c 1；(2)存在；0,,.b b。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数x 2y=4-的定义域A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A B I =（A ）（1,2）（B ）⎤⎦(1,2（C ）（-2,1）（D ）[-2,1) 【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<I ，选D.（2）已知a R ∈,i 是虚数单位，若3,4z a i z z =+⋅=，则a= （A ）1或-1（B ）7-7或（C ）-3（D ）3 【答案】A【解析】由3,4z a i z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.（3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧（C ）p q ⌝∧（D ）p q ⌝⌝∧【答案】B（4）已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0（B ）2（C ）5（D ）6 【答案】C【解析】由3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩画出可行域及直线20x y +=如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线350x y ++=与x -3=的交点(3,4)-时，2z x y =+最大为3245z =-+⨯=，选C.（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160（B ）163（C ）166（D ）170 【答案】C【解析】$22.5,160,160422.570,42470166x y ay ==∴=-⨯==⨯+=,选C. （6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为 （A ）0，0（B ）1，1（C ）0，1（D ）1，0 【答案】D【解析】第一次227,27,3,37,1x b a =<=>=；第二次229,29,3,39,0x b a =<===，选D.（7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+（B ）()21log 2a b a b a b <+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+<（D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B. （8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518（B ）49（C ）59（D ）79【答案】C【解析】125425989C C =⨯,选C. （9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是 （A ）2a b =（B ）2b a =（C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（A ）(])0,1⎡+∞⎣U （B ）(][)0,13,+∞U（C ）()⎡+∞⎣U （D ）([)3,+∞U【答案】B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 （11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n =. 【答案】4【解析】()1C 3C 3rr r r rr n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．（12）已知12,e e 是互相垂直的单位向量，123-e e 与12λ+e e 的夹角为60o ，则实数λ的值是. 3【解析】)()2212121121223333e e e e e e e e λλλλ-⋅+=+⋅-⋅-=r u u r u r u u r r u r u u r u r u u r u u r ，()22212121122333232e e e e e e e e -=-=-⋅+=u r u u r u r u u r u r u r u u r u u r ，()222221212112221e e e e e e e e λλλλλ+=+=+⋅+=+u r u u r u r u u r u r u r u u r u u r∴22321cos601λλλ=+=+o ，解得：3λ=． (13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为. 【答案】22π+【解析】该几何体的体积为21V 112211242ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+． （14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为.【答案】2y x =±（15）若函数()x e f x （ 2.71828e =L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为.①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+【答案】①④【解析】①()22xx x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质；②()33xxxxe ef x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质；③()3x x e f x e x =⋅，令()3x g x e x =⋅，则()()32232x x x g x e x e x x e x '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质； ④()()22x x e f x e x =+，令()()22x g x e x =+， 则()()()2222110xx x g x exe x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质． 三、解答题：本大题共6小题，共75分。

2017年高考山东卷理数试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.(1)设函数的定义域，函数的定义域为,则(A)(1,2) (B) (C)(-2,1) (D)[-2,1)(2)已知,i是虚数单位，若，则a=(A)1或-1 (B) (C)- (D)(3)已知命题p:;命题q：若a>b，则，下列命题为真命题的是(A) (B) (C) (D)(4)已知x,y满足，则z=x+2y的最大值是(A)0 (B) 2 (C) 5 (D)6(5)为了研究某班学生的脚长(单位：厘米)和身高(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为.已知，，.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为(A) (B) (C) (D)(6)执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的的值为，第二次输入的的值为，则第一次、第二次输出的的值分别为(A)0，0 (B)1，1 (C)0，1 (D)1，0(7)若，且，则下列不等式成立的是(A) (B)(C) (D)(8)从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(A) (B) (C) (D)(9)在中，角，，的对边分别为，，.若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是(A) (B) (C) (D)(10)已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是(A) (B)(C) (D)第II卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分(11)已知的展开式中含有项的系数是，则 .(12)已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .(13)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .(14)在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .(15)若函数(是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 .② ③ ④三、解答题：本大题共6小题，共75分。