用双线性变换法设计IIR

双线性变换法设计IIR 数字滤波器一、 实验目的1) 熟悉用双线性变换法设计IIR 数字滤波器的原理和方法。

2) 掌握数字滤波器设计的计算机仿真方法。

3) 观察对心电 图信号的实际滤波作用，获得数字滤波的感性认识。

二、 实验原理在滤波器的设计过程中，逼近是一个重要的环节，所谓逼近就是根据性能指标的要求，对理想特性进行逼近，以求得一个因果、稳定且可实现的传递函数。

目前模拟滤波器的频域设计理论已经发展的相当成熟，它不仅具有简单而严格的设计公式，而且设计参数已经表格化了。

借助模拟滤波器的逼近方法，用模拟域到数字域的某种变换,完成数字滤波器的逼进,这是一类简单而行之有效的方法。

双线性变换法采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T~/T 之间，再用z=e 转换Z 平面上。

也就是说，第一步先将整个S 平面压缩映射到S1平面的-/T~/T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=e 将此横带变换到整个Z 平面上去。

这样就使S 平面与Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，影射关系如图7-1所示。

图 7-1 双线性变换的映射关系为了将S 平面的整个虚轴j Ω压缩到S1平面j Ω1轴上的-π/T 到π/T 段上，可以通过以下的正切实现) 2tan(21T T Ω=Ω （7-1）式中T 仍是采样间隔。

当Ω1由-π/T 经过0变化到-π/T 时，Ω由-∞+∞-变化到经过0,也即映射了整个j Ω轴。

将式（7-1）写成Tj T j T j T j eee e T j 11112/2/2Ω-ΩΩ-Ω+-=Ω (7-2)将此关系到解析延拓到整个S 平面和S1平面，令j Ω=s ，j Ω1=s1，则得T s Ts ee T Ts Teee e T s T s T s T s T s 111111112)2tanh(2212/2/2/2/--+-⋅==+-⋅=-- (7-3) 再将s1平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面： Ts e1z =(7-4)从而得到S 平面和Z 平面的单值映射关系为11112--+-⋅=z z T s (7-5) sTsT s T s T z -+=-+=222121 (7-6)式（7-5）与式（7-6）是s 平面与z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双母性变换。

用双线性变换法设计IIR数字滤波器[实验目的]熟悉模拟巴特沃茨滤波器设计和用双线性变换法设计IIR数字滤波器的方法。

[实验原理]利用双线性变换设计IIR数字滤波器，首先要设计出满足指标要求的模拟滤波器的传递函数Ha(S),然后由Ha(S)通过双线性可得所要设计的IIR数字滤波器的系统函数H(Z)。

[实验内容及要求]用双线性变换法设计IIR滤波器是IIR滤波器设计的经典方法，首先根据模拟滤波器的指标设计出来相应的模拟滤波器，然后将设计好的模拟滤波器转换为满足给定技术指标的数字滤波器。

在MATLAB的数字信号处理工具箱中提供了相应的设计函数，常用的有：1、butterworth数字和模拟2、零极点增益模型到传递函数模型的转换函数3、低通到低通模拟滤波器的转换函数4、双线性变换函数5、Butterworth数字和模拟滤波器设计函数6、计算butterworth低通原型模拟滤波器的极点和增益函数7、计算离散时间系统的频率响应函数用双线性变换法设计BUTTERWORTH低通IIR数字滤波器，要求使用buttord，butter，biliner。

滤波器技术指标：取样频率1HZ，通带内临界频率0.2HZ，通带内衰减小于1db，阻带临界频率0.3HZ，阻带内衰减大于25DB。

解：wp=0.2*2*pi;ws=0.3*2*pi;rp=1;rs=25;fs=1;ts=1/fs;wp2=2*fs*tan(wp/2*ts);ws2=2*fs*tan(ws/2*ts);[n,wn]=buttord(wp2,ws2,rp,rs,'s')[z,p,k]=buttap(n)[bap,aap]=zp2tf(z,p,k)[b,a]=lp2lp(bap,aap,wn)[bz,az]=bilinear(b,a,fs);[h,w]=freqz(bz,az);subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(h));grid onxlabel('频率');ylabel('幅度');subplot(2,1,2);plot(w/pi,20*log10(abs(h)));grid onxlabel('频率');ylabel('幅度');n = 6wn = 1.7043z =[]p =-0.2588 + 0.9659i-0.2588 - 0.9659i-0.7071 + 0.7071i-0.7071 - 0.7071i-0.9659 + 0.2588i-0.9659 - 0.2588ik =1bap =0 0 0 0 0 0 1 aap =1.0000 3.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637 1.0000 b =24.5076a =1.0000 6.5850 21.6809 45.2558 62.976555.5591 24.5076频率幅度频率幅度。

实验三：用双线性变换法设计IIR 数字滤波器（设计性 4学时）一.实验目的：(1）熟悉用双线性变换法设计IIR 数字滤波器的原理与方法。

(2）掌握数字滤波器的计算机仿真方法。

(3）通过观察对实际心电图信号的滤波作用，获得数字滤波的感性知识。

二.实验内容及步骤:(1) 用双线性变换法设计一个巴特沃斯低通IIR 数字滤波器，设计指标参数为：在通带内频率低于0.2pi 时,最大衰减小于1dB;在阻带内[0.3pi , pi] 频率区间上，,最小衰减大于15dB ；(2) 以 0.02pi 为采样间隔，打印出数字滤波器在频率区间[ 0, 0.5pi]上的幅频响应特性曲线；(3) 用所设计的滤波器对实际心电图信号采样序列(在本实验后面给出)进行仿真滤波处理，并分别打印出滤波前后的心电图波形图，观察总结滤波作用与效果。

（4）采用不同阶数的Butterworth 低通滤波器，比较滤波效果。

三.实验步骤：（1）复习有关巴特沃斯模拟滤波器设计和用双线性变换法设计IIR 数字滤波器的内容，按照教材例6.4.2，用双线性变换法设计数字滤波器系统函数H （z ）。

方法一：教材例6.4.2种已求出满足本实验要求的数字滤波器系统函数：方法二：根据设计指标，调用MATLAB 信号处理工具箱函数buttord 和butter ，也可得到H （z ）。

（2）编写滤波器仿真程序，计算H(z)对心电图信号采样序列x(n)的相应序列y(n)。

（3）在通过计算机上运行仿真滤波程序，并调用通用绘图子程序，完成实验内容（2）和（3）。

本实验要用的MATLAB 绘图函数参阅教材。

四.,思考题:用双线性变换法设计数字滤波器过程中,变换公式： s=11z1z 1T 2--+-中T 的取值,对设计结果有无影响? 为什么? 五.实验报告要求（1）简述实验目的及原理；（2）由所打印的特性曲线及设计过程简述双线性变换法的特点；（3）对比滤波前后的心电图信号波形,说明数字滤波器的滤波过程与滤波作用；(4) 简要回答思考题.六:心电图信号采样序列 x(n)：人体心电图信号在测量过程中往往受到工业高频干扰，所以必须经过低通滤波处理后，才能作为判断心脏功能的有用信息。

目录一、摘要 (3)二、设计思想 (3)2.1 IIR数字滤波器设计思路 (3)2.2设计IIR数字滤波器的两种方法 (4)2.3双线性变换法的基本原理 (5)2.4用双线性变换法设计IIR数字滤波器的步骤 (6)三、程序源代码和运行结果 (6)3.1低通滤波器 (6)3.2高通滤波器 (9)3.3带通滤波器 (12)3.4带阻滤波器 (14)四、网络结构图 (17)五、心得体会 (19)参考文献 (19)一、摘要数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。

它的基本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换,改变输入序列的频谱或信号波形,让有用频率的信号分量通过,抑制无用的信号分量输出。

数字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念,根据其频率响应特性可分为低通、高通、带通、带阻等类型,与模拟滤波器相比,数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高(与系统字长有关)、稳定性好(仅运行在0与l两个电平状态)、灵活性强等优点。

数字滤波器按单位脉冲响应的性质可分为无限长单位脉冲响应滤波器IIR和有限长单位脉冲响应滤波器(FIR)两种。

本文介绍IIR数字滤波器的设计。

二、设计思想2.1 IIR数字滤波器设计思路IIR 数字滤波器可用一个n阶差分方程表示y(n)=Σb r x(n-r)+Σa k y(n-k)或用它的Z域系统函数:对照模拟滤波器的传递函数:不难看出,数字滤波器与模拟滤波器的设计思路相仿,其设计实质也是寻找一组系数{b,a},去逼近所要求的频率响应,使其在性能上满足预定的技术要求;不同的是模拟滤波器的设计是在S平面上用数学逼近法去寻找近似的所需特性H(S),而数字滤波器则是在Z平面寻找合适的H(z)。

IIR数字滤波器的单位响应是无限长的,而模拟滤波器一般都具有无限长的单位脉冲响应,因此与模拟滤波器相匹配。

实验四双线性变换法设计IIR数字滤波器一、实验目的1.掌握利用双线性变换法设计IIR数字滤波器的原理和具体方法。

2.深入理解利用双线性变换法设计IIR数字滤波器的优缺点及使用范围。

二、实验内容1.利用巴特沃思模拟滤波器,通过双线性变换法设计巴特沃思数字滤波器,数字滤波器的技术指标为采样周期为T=1。

程序代码T=2; %设置采样周期为2fs=1/T; %采样频率为周期倒数Wp=0.25*pi/T;Ws=0.35*pi/T; %设置归一化通带和阻带截止频率Ap=20*log10(1/0.9);As=20*log10(1/0.18); %设置通带最大和最小衰减[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s'); %调用butter函数确定巴特沃斯滤波器阶数[B,A]=butter(N,Wc,'s'); %调用butter函数设计巴特沃斯滤波器W=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段频率值hf=freqs(B,A,W); %计算模拟滤波器的幅频响应subplot(2,1,1);plot(W/pi,abs(hf)/abs(hf(1))); %绘出巴特沃斯模拟滤波器的幅频特性曲线grid on;title('巴特沃斯模拟滤波器');xlabel('Frequency/Hz');ylabel('Magnitude');[D,C]= bilinear (B,A,fs); %调用双线性变换法Hz=freqz(D,C,W); %返回频率响应subplot(2,1,2);plot(W/pi,abs(Hz)/abs(Hz(1))); %绘出巴特沃斯数字低通滤波器的幅频特性曲线grid on;title('巴特沃斯数字滤波器');xlabel('Frequency/Hz');ylabel('Magnitude');进行试验输出图像：实验分析通过查workspace 可以得出脉冲响应为：滤波器幅度响应： 滤波器相位响应：2. 利用巴特沃思模拟滤波器，通过双线性变换法设计数字带阻滤波器，数字滤波器的技术指标为00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.51巴特沃斯模拟滤波器Frequency/HzM a g n i t u d e00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.511.5巴特沃斯数字滤波器Frequency/HzM a g n i t u d e采样周期为T=1。

实验三 用双线性变换法设计IIR 滤波器一、实验目的1、了解两种工程上最常用的变换方法：脉冲响应不变法和双线性变换法。

2、掌握双线性变换法设计IIR 滤波器的原理及具体设计方法，熟悉双线性法设计低通、带通和高通IIR 滤波器的计算机程序。

3、观察用双线性变换法设计的滤波器的品与特性，并与脉冲响应不变法相比较，了解双线性变换法的特点。

4、熟悉用双线性变换法涉及数字Butterworth 和Chebyshev 滤波器的全过程。

5、了解多项式呈几何多项式乘方运算的计算机变成方法。

二、实验原理与方法从模拟滤波器设计IIR 数字滤波器具有四种方法：微分—差分变换法、脉冲响应不变法、双线性变换法、匹配Z 变换法：在工程上常用的是其中两种：脉冲响应不变法、双线性变换法。

脉冲响应不变法需要经历如下步骤：由已知系统传输函数)(s H 计算系统冲激响应)(t h ：对)(t h 进行等间隔取样得到)()(nT h t h =,由)(t h 获得数字滤波器的系统响应)(z H 。

这种方法非常直观，其算法宗旨是保证所设计的IIR 滤波器的脉冲响应和响应模拟滤波器的冲激响应在采样个点上完全一致。

而双线性变换法的设计准则是使数字滤波器的频率响应与参考模拟滤波器的频率响应相似。

脉冲响应不变法一个重要的特点是频率坐标的变换式现行的，其缺点是有频谱的周期延拓效应，存在频谱混淆的现象。

为了克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混淆，提出了双线性变换法，它依靠双线性变换式：ss z z z s -+=+-=--11,1111 其中，jwre z j s =Ω+=,σ 建立起s 平面和z 平面的单值映射关系，数字频域和模拟频域之间的关系：Ω==Ωarctg w w tg 2),2( （3—1）由上面的关系式可知,当∞>-Ω时，w 中止在折叠频率π=w 处，整个Ωj 周单值的对应于单位圆的一周。

因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法，不存在频谱混淆的问题。

实验六用双线性变换法设计IIR数字滤波器一、实验目的学会运用MATLAB设计数字低通、带通、高通、带阻滤波器的设计方法。

二、实验涉及的matlab子函数bilinear功能：双线性变换——将s域映射到z域。

调用格式：[numd,dend]= bilinear (num,den,Fs)，将模拟域系统函数转换为数字域的系统函数，Fs为采样频率。

三、实验原理下面举例说明用双线性变换法设计各种数字滤波器的过程。

例1、采用双线性变换法设计一个巴特沃斯数字低通滤波器，要求：wp=0.25*pi，rp=1db，ws=0.4*pi，as=15db，滤波器采样频率Fs=100hz。

MATLAB源程序为：%数字滤波器指标wpd=0.25*pi; %滤波器的通带截止频率wsd=0.4*pi; %滤波器的阻带截止频率Rp=1;As=15; %输入滤波器的通阻带衰减指标%转换为模拟原型滤波器指标Fs=100;T=1/Fs;wp=(2/T)*tan(wpd/2);ws=(2/T)*tan(wsd/2);%模拟原型滤波器计算[n,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s') %计算阶数n和截止频率[z0,p0,k0]=buttap(n); %归一化切比雪夫1型原型设计ba=k0*poly(z0); %求原型滤波器系数baa=poly(p0); %求原型滤波器系数a[ba1,aa1]=lp2lp(ba,aa,wc);%变换为模拟低通滤波器%用双线性变换法计算数字滤波器系数[bd,ad]=bilinear(ba1,aa1,Fs) %双线性变换%求数字系统的频率特性[H,w]=freqz(bd,ad);dbH=20*log10(abs(H)/max(abs(H))); %化为分贝值subplot(2,2,1),plot(w,abs(H));ylabel('|H|');title('幅度响应');axis([0,pi,0,1.1]);grid subplot(2,2,2),plot(w,angle(H));ylabel('\phi');title('相位响应');axis([0,pi,-4,4]);grid subplot(2,2,3),plot(w,dbH);title('幅度响应(dB)'); ylabel('dB');xlabel('频率');axis([0,pi,-40,5]);grid subplot(2,2,4),zplane(bd,ad); axis([-1.1,1.1,-1.1,1.1]);title('零极图');运行结果为： n = 5wc = 103.2016bd = 0.0072 0.0362 0.0725 0.0725 0.0362 0.0072 ad = 1.0000 -1.9434 1.9680 -1.0702 0.3166 -0.0392 则所求滤波器的系统函数为54321-5432-10.0392z 166z 3.01.0702z z 68.911.9434z 1z 072.00z 362.00z 725.00z 725.000.0362z 0.0072H(z)---------+-+-+++++=|H |幅度响应φ相位响应幅度响应(dB)d B频率-1-0.500.51Real PartI m a g i n a r y P a r t零极图例2、采用双线性变换法设计一个椭圆数字高通滤波器，要求通带250hz ，1db ，阻带150hz ，20db ，滤波器采样频率为Fs=1000hz 。