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第二章 典型环节的数学模型(2-1)讲解

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第二章数学模型-simple讲述

第二章数学模型-simple讲述


d 2 d dM L JLa 2 （JRa fLa） （fRa C M C e） C M U a La Ra M L dt dt dt 若以为输出量，则根据关系 d 可得相应运动方程。 dt
§2-2 非线性运动方程的线性化
• 定义：将非线性微分方程在一定的条件 下转化为线性微分方程的方法。 • 小偏差线性化： 基本假设——变量偏离其预期工作点的 偏差甚小，这种线性化通常称为小偏差 线性化。
划分环节
恒温箱自动控制系统
由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。 系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用 与相互制约的关系。
t

u2

u

t
ua
n
v

u
写出每个环节(元件) 运动方程式 找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反 映这种内在联系的物理规律。列写运动方程的关 键要了解元件或系统所属学科领域的有关规律， 而不是数学本身。 例如：机械运动——牛顿定理、能量守恒定理 电学——欧姆定理、基尔霍夫定律 热学——传热定理、热平衡定律 数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化， 考虑忽略一些次要因素；参数时变）。 注：数学模型的准确性和简化的矛盾。
线性定常系统的微分方程一般表达式为
设描述系统的微分方程 为: (p n a0 p m n 1 a1 p n2 a n 1 p a n ) x 2 ( t )
( b0 p
b1 p
m 1
bm 1 p bm ) x1 ( t )
其中，
x2(t )为输出量， x1(t )为输入量
ky
m
f
dy dt
0
y
第2章系统的数学模型02精选全文完整版

第2章系统的数学模型02精选全文完整版

的传递函数。
图2-13 油缸－负载系统
解：液压缸的作用力F
F pA
式中p—进油压力
A—液压缸工作面积
该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即
dx
F Bc
kx
dt
式中x —液压缸输出位移
Bc—阻尼系数
K —弹簧刚度
合并以上两式，得液压缸的运动方程式：
dx
Bc
kx Ap
dt
传递函数为
A
4
dt
dt
dt
dt
解：按（2-53）式，则传递函数为
Y ( s)
6s 7
（１） G ( s )
3
X ( s) 5s 2s 2 s 2
（２） G ( s )
Y (பைடு நூலகம்s)
4
4
X ( s) s 2s 3 6s 2 3s 2
二、典型环节的传递函数
bm s m bm 1 s m 1 ...... b1 s b0
dt
dx
b1
b0 x
dt
（2-51）
式中，n≥m; an、bm均为系统结构参数所决定的定
常数 。（n，m=0、1、2、3…）
如果变量及其各阶导数初值为零，取等式两边拉
氏变换后得
an s nY ( s ) an1 s n1Y ( s ) a1 sY ( s ) a0Y ( s )
X(s)=0 系统的特征方程，→ 特征根。
特征方程决定着系统的动态特性。
X(s) 中s的最高阶次等于系统的阶次。
b0
当s=0时 G (0) K 系统的放大系数或增益
a0
！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导
自动控制原理第二章数学模型精选全文完整版

自动控制原理第二章数学模型精选全文完整版

第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
基本要求
§ 2-1 引言 § 2-2 系统微分方程的建立 § 2-3 非线性微分方程的线性化 § 2-4 传递函数 (Transfer Function) § 2-6 典型环节及其传递函数 § 2-7 系统的动态结构图 § 2-8 信号流图和梅逊公式
Ea —
基尔霍夫
电枢反电势： Ea ke
— 楞次定律
电磁力矩： M D kmia
— 安培定律
力矩平衡：
d
J dt M D M L
— 牛顿定律
其中 ke (V/rad/s)为反电势系数， km (N •rad/s)为电磁转矩
系数。
消去中间变量 ia , Mm , Ea 可得：
La J
d 2 (t)
di(t ) ur (t) L dt Ri(t) uc (t)
i(t) C duc (t) dt
LC
d
2uc (t ) dt 2
RC
duc (t) dt
uc
(t)
LC
d
2uc (t) dt 2
RC
duc (t) dt
uc
(t)
ur
(t)
返回子目录
力-电压相似量
机械 电气
阻尼 f 电阻 R
力 F 电压 U
dt 2 Ra J
d(t)
dt
k m ke (t )
kmua (t)
La
dM L (t) dt
RaM L (t)
在工程应用中，由于电枢电感La很小，通常忽略不计。则：
Tm
d(t)
dt
(t)
K1ua (t)
K2M L (t)
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型

自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型




c(t ) e
dt Leabharlann t

c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0





0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
自动控制理论_哈尔滨工业大学_2 第2章线性系统的数学模型_(2.4.1) 典型环节的传递函数PPT

自动控制理论_哈尔滨工业大学_2 第2章线性系统的数学模型_(2.4.1) 典型环节的传递函数PPT


0
t
积分环节在单位阶跃输入下的响应
例：积分器
i2
C
ui R
_
i1
uo
+i1 i2Fra bibliotek1 Rui
(t)

C
d dt
u0
(t )
uo
(t)


1 RC
ui (t)dt
G(s) Uo (s) 1 1 Ui (s) RC s
二、几种典型环节的数学模型
4.微分环节
c(t) d r(t)
斜率1/T
0τ
t
例： • 汽车加速、火箭升空； ——作用力和输出速度
• 加热系统； ——加热量和温度变化
• 励磁回路； ——输入电压和励磁电流
惯性大小用τ来量度。 ——τ越大，接近目标值越慢 ，惯性越大；τ越小，接近 目标值越快，惯性越小。
几乎任何物理系统都包含 大大小小的惯性。
二、几种典型环节的数学模型
滞后环节
二、几种典型环节的数学模型
1.比例环节
y(t) Ku(t)
G(s) Y(s) K U (s)
K——称为比例系数或放大系数，也称为环节的增益，有量纲。
输出量无失真、无滞后、成比例地复现输入。
• 无弹性变形的杠杆；
——作用力和输出力
• 忽略非线性和时间迟后的运算放大器；
——比例放大器的输入电压和输出电压
τ＝RC—时间常数
当 r(t) 1(t) 时， R(s) 1
s
Y(s) s 1 1 s 1 s s 1
t
y(t) e
t=0时，输出幅值为1；
t→∞时，指数衰减至0。
二、几种典型环节的数学模型
微分环节微分方程传递函数变化曲线方框图

微分环节微分方程传递函数变化曲线方框图

出量有关的各项放在方程的左边；
各导数项按降幂排列； 将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有
一定物理意义的系数。
例1 设有由电感L，电容C 和电阻R组 成的电路，如图所示. 试求出以输出电 压U2为输出变量和以输入电 压U1为输 入变量的运动方程。
R
L
U1 i
U2 C
解：根据基n 霍夫定律有
对数学模型进行近似而得到的。以后各章所讨 论的系统，均指线性化的系统。
一、数学模型
数学模型是描述系统动态特性的数学表
达式；可有多种形式。在经典理论中， 常用的数学模型是微（差）分方程，结 构图，信号流图等；在现代控制理论中， 采用的是状态空间表达式。结构图，信 号流图，状态图是数学模型的图形表达 形式。
式的次数N大于等于分子多项式的次数
M ，N M 。
传递函数写成
G(S)

k
(S - Z1)(S (S - P1)(S
Z2)......(S P2)......(S

Zm) Pn )
的形式，则 Z1, Z2 , Z3 Zm和
为G(S)的零点和极点。
P1,
P2
,
P3
Pn
不同物理结构的系统可以有相同的传递函数。
性微分方程的方法，称非线性微分方程的线 性化。
小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一
个基本假设上是变量偏离其预期工作点的偏差甚小， 这种线性化通常称为小偏差线性化。
§2-3 传递函数 一、定义
初始条件为零时，线性定常系统或元件输出
信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比， 称为该系统或元件的传递函数。
三、传递函数的求法
工程上，通常采用拉普拉斯变换来求解
自动控制原理：第二章 控制系统数学模型

自动控制原理：第二章 控制系统数学模型


TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
y = Kx
式中， K f 'x0 是比例系数，它是函数f(x)在A点
的切线斜率。
18
对于有两个自变量x1,x2的非线性函数f(x1,x2)，同样 可以工作在某工作点(x10,x20)附近进行线性化。
这种小偏差线性化对控制系统大多数工作状态是可 行的。事实上，自动控制系统在正常情况下都处于 一个稳定的工作状态，即平衡状态，这时被控量与 期望值保持一直，控制系统也不进行控制动作。一 旦被控量偏离期望值产生偏差时，控制系统便开始 控制动作，以便减小这个偏差。因此控制系统中被 控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。
RC传网0 递络函的数阶G跃(响s)确应立曲了线t 电路输入
典型环节的数学模型

典型环节的数学模型

任何一个复杂的系统，总可以看成由一些典型环节组合而成的。

掌握这些典
型环节的特点，可以更方便地分析较复杂系统内部各单元的联系。

典型环节有比较环节、积分环节、惯性环节、微分环节、振荡环节等，分别介绍如下。

一、比例环节
二、积分环节
三、理想微分环节
四、惯性环节
五、振荡环节
特别注意：当0〈§〈1时称为振荡环节若§≥1认为是两个惯性环节
七、延迟环节（又称纯滞后环节）
τ0：纯延迟时间
在延迟时间很小的情况下，延迟环节可用一个小惯性环节来代替。

21时域数学模型-PPT课件

21时域数学模型-PPT课件


实验法－: 基于系统辨识的建模方法
输 入 （ 已 知 ）
输 出 （ 已 知 ）
黑 匣 子
• 已知知识和辨识目的 • 实验设计--选择实验条件 • 模型阶次--适合于应用的适当阶次 • 参数估计--最小二乘法 • 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统
模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近
（2）严重非线性情况下，在工作点附近，可以局部 的线性化。
局部线性化－切线法（小偏差法）
连续变化的非线性函数：
y f(x)
设 在 平 衡 状 态 工 作 点 A ( x o ， y o ) 处 连 续 可 微 , 则
在该点附近用泰勒级数展开
y f(x ) f(x o ) d d (x ) f x x o(x - x o ) 2 1 ! d 2 d f( 2 x ) x x o(x - x o 实现的系统来模拟 相对复杂的系统，实现仿真研究。
二、线性系统的特性
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。
如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称 该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线 性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输 出叠加得到。
略去增量符号，便得到函数 y = f (x) 在工作点A附近的 线性化方程：
y = Kx
显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。 为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。
16
对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近 展开。设双变量非线性方程为：yf(x1,x2)，工作点为
y0f(x10,x20)。则可近似为： yK 1 x1K 2 x2
1、线性系统的性质
2-1 控制系统的数学模型(典型环节)

2-1 控制系统的数学模型(典型环节)

Tk k 为扭簧力矩，T为输入力矩， T f 为阻尼力矩。
设作用量为 T (t ) ，输出量为 (t )
d (t ) TK K (t ) dt ，T f f (t ) T J ， 其中 J dt
fs J
T
Tf
由力矩平衡原理有：
J d (t ) K (t )dt f (t ) T (t ) dt
d 2 x(t ) dx(t ) m f Kx(t ) F (t ) dt dt 2
dv (t ) m K v(t )dt fv(t ) F (t ) dt
d (t ) J K (t )dt f (t ) T (t ) dt
d 2 (t ) d (t ) J f K (t ) T (t ) dt dt 2
ak [
B( s) ( s p k )]s pk A( s)
23
b.F(s) 含有共扼复数极点时，可展开为 a a a sa
F ( s)
1 2
Tf
由力矩平衡原理有：
d 2 (t ) d (t ) J f K (t ) T (t ) 2 dt dt
9
di (t ) 1 L i (t )dt Ri (t ) u r (t ) dt C
d 2 q(t ) dq(t ) q(t ) L R u r (t ) dt C dt 2
建立系统微分方程（数学模型）的目的就是用 数学的方法定量研究控制系统的工作特性。分为：
• 经典法 • 拉氏变换法 • 计算机数值解法
21
数学工具ห้องสมุดไป่ตู้拉普拉斯变换与反变换
⑴ 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 ①t<0时 f(t)=0
第2章线性系统的数学模型new课件

第2章线性系统的数学模型new课件


R(s)
G(S)
C(s)
2.2.2 传递函数的特点
1.作为一种数学模型，传递函数只适用于线性 定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变 换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。
2.传递函数是以系统本身的参数描述的线性定 常系统输入量与输出量的关系式，它表达了系 统内在的固有特性，只与系统的结构、参数有 关，而与输入量或输入函数的形式无关。
(i1 (t) i2 (t))dt
R2i2
(t)
1 C2
i2 (t)dt
u0 (t) C2 i2 (t)dt
整理得：
R1 R2 C1C 2
d 2u0 (t) dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2 )
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 则得
3.传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的， 视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量 与输出量所必须的单位，它不能表明系统的物理特 性和物理结构。许多物理性质不同的系统，有着相 同的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用相 同的微分方程描述一样。
4.传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关
数学模型:描述控制系统输入、输出变量 以及内部各变量之间关系的数学表达式， 称为系统的数学模型。
常用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、 脉冲传递函数和状态空间表达式等。建立合理的数学模型， 对于系统的分析研究是至关重要的。
动态数学模型 静态数学模型
线性系统 非线性系统
时变系统 时不变系统(定常系统)
零点； 有确定的零
极点分布
6.传递函数是系统单位脉冲响应的Laplace变换

第二章 典型环节的数学模型(2-1)

18
电机运动方程
1） T(t)=Ki(t) 2） e (t) K d (t)
b b
dt
T(t)——转矩 K——力矩系数 eb(t)——反电势 Kb——反电势常数 ea(t)——电枢两端的电压
i a (t )
R
3） L di(t) Ri(t) e (t) e (t) b a
dt
4）
2
传递函数：
R(s)
1 T 2 s 2 2 Ts 1
C ( s)
式中：——阻尼比， T——振荡环节的时间常数。 频率特性： C ( j ) 1
G ( j ) R ( j ) (1 T 2 2 ) j 2 T
16
R
L
+
i (t )
+
例：RLC电路
r(t)
_
C
传递函数：
I(s) s 1 （R=1 U(s)
RC= ）
频率特性：
G jω 1 jω
一阶微分环节可看成一个微分环节与一个比例环节 的并联，其传递函数和频率特性是惯性环节的倒数。
24
7、二阶微分环节
特点：输出量与输入量及输入量的一阶、二阶导数都有关 运动方程： 2
d r(t ) dr(t ) c(t ) T 2ζ T r(t ) 2 dt dt
+ _
D
J
B
19
消去中间变量Eb(s)、T(s)和I(s)
θ (s) K E a (s) s[LJs2 (LB RJ)s (RB KK b )]
如果输入量Ea(s)，输出量转速(s)，则又可得到：
(s) K E a (s) LJs 2 (LB RJ)s (RB KK b )

自动控制理论 2-1 控制系统的数学模型


i (t ) =
uc (t ) R
运动方程： 运动方程： 传递函数： 传递函数：
u r (t) =
G(s) =
1 RC
∫u
c
(t)dt + u c (t)
U c (s) Tc s = U r (s) Tc s + 1
（Tc=RC）
G(s) = U c (s) = Tc s U r (s)
当Tc<<1时，又可表示成：
传递函数
36
例：直流电机
输入量: ud ——电枢电压 输出量： id ——电枢电流 动态方程如下：
第二章 控制系统的数学模型
第二次课 1
1.引言
系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部其他变 量之间关系的数学表达式。 控制系统中常见的二种数学模型形式： 1、外部描述：把系统的输出量与输入量之间的关系用数 外部描述：把系统的输出量与输入量之间的关系用数 学方式表达出来，称之为输入— 学方式表达出来，称之为输入—输出描述，或外部描述， 例如微分方程、传递函数、框图和差分方程。适用于单输 例如微分方程、传递函数、框图和差分方程。适用于单输 入、单输出系统。
L C
u r(t)
2
uc(t)
d uc du c LC + RC + uc = ur 2 dt dt
二阶微分方程
9
例2-3 阻尼器系统 (P15)
d 2 y (t ) dy (t ) m + f + ky (t ) = F (t ) 二阶微分方程 2 dt dt
10
本节重点：
控制系统微分方程的建立的方法 两种典型控制系统微分方程的建立。 两种典型控制系统微分方程的建立

自动控制原理2控制系统的时域数学模型

第二章 控制系统的数学模型
• 2-1 控制系统的时域数学模型(2) • 2-2 控制系统的复域数学模型(2) • 2-3 控制系统的结构图(4)
2-1 控制系统的时域数学模型
• 1.线性元件的微分方程 • 2.控制系统微分方程的建立 • 3.线性系统的特性 • 4.线性定常微分方程的求解 • 5.非线性元件微分方程的线性化 • －－切线法或小偏差法
uo (t )
ui (t )
uo (t)
1.线性元件的微分方程(2)
例：图示弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力F(t)作用下位移x(t)的运动方程。 解：由牛顿运动定律有
d 2 x(t)
m dt 2
F (t) F1 (t) F2 (t)
F (t) f dx(t) Kx(t) dt
2.控制系统微分方程的建立(1)
步骤：
① 原理图
方块图；
② 分别列写各元件的微分方程；
③ 消去中间变量，得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。
注意：
1）信号传递的单向性。即前一个元件的输出量是后一个元件的输入，一级一级地单向 传递。
2）前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应。如齿轮系统对电动机转动惯量的 影响等。
当增量(
x )很x0小时，略去其d高f (次x)幂项，则有
令 y y0 f (x) f (x0 ) ( dx )x0 (x x0 )
则线性y 化 方y 程y可0 简f记(x为) f (x0) x x x0 K (df (x) / dx)x0
略去增量符号 ，便得函数y=f(x)y在工K作点xA附近的线性化方程
式中F1（t）是阻尼器阻力，F2（t）是弹簧弹力
比较:
LC

第二章(典型环节和方框图的等效变换)


方框图的组成要素
1信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的
传递方向，直线旁标记信号的时间函 数或象函数。
2信号引出点（线）/测量点 表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，
其性质、大小完全一样。
二、方框图的组成和建立
1. 由四种基本图形符号组成。
（1）函数方块 (2) 信号线
R(s) r(t) G(s)
R(s)
r(t)
C(s) c(t)
R(s) R(s)
(3) 分支点(引出点)
r(t) r(t) R(s)
r(t)
（4)综合点(比较点或相加点)
R(s)
R(s)±B(s)
r(t) ± r(t)±b(t)
B(s) b(t)
(1)函数块（传递方框）：方框内为具体环 节的传递函数。
(2)信号线： 表示输入、输出通道，箭头代 表信号的传递方向。
(3)信号相加点（综合点、比较点）：表示 几个信号相加减。
(4)信号分支点（引出点）：表示同一信号 输出到几个地方。
2 系统方框图的绘制 系统方框图的绘制步骤如下： (1)根据信号传递过程，将系统划分为若干
个环节或部件。 (2)确定各环节的输入量与输出量，求出各
环节的传递函数。 (3)绘出各环节的方框图。 (4)将各环节相同的量依次连接，得到系统
G2(s)
E(s) G1(s)
N(s)=0时系统的等效图
c(t) d 1(t) (t)
dt
几个实际微分的例子
C
i
u(t)
R
y(t)
RC串联电路
Y (s) R RCs U (s) 1 sC R RCs 1
G(s) Y(s) s U (s) s 1

简要 控制系统的数学模型 2-1 典型环节

， e pt
e δt sin ω t，
e δt cos ω t
其中， 和 其中，p和 δ + jω 是系统传递函数的极点，也就是系统微分方程 是系统传递函数的极点，也就是系统微分方程 的特征根。 的特征根。
δ 假定所有的极点是负数或具有负实部的复数， 假定所有的极点是负数或具有负实部的复数，即 p < 0 ， < 0 上述分量将趋近于零，瞬态响应是收敛的 敛的。 当 t → ∞ 时，上述分量将趋近于零，瞬态响应是收敛的。在这 种情况下，称系统是稳定的，也就是说系统是否稳定由系统的 种情况下，称系统是稳定的，也就是说系统是否稳定由系统的 极点性质所决定。 极点性质所决定。
c(t) = [C(s)]-1 = L-1[R(s)G(s)]
3
推广到一般情况，系统时域数学模型 微分方程： 推广到一般情况，系统时域数学模型——微分方程： 微分方程
d n c(t) d n -1c(t) dc(t) + a n -1 + LL + a 1 + a 0 c(t) an n n -1 dt dt dt d m r(t) d m-1 r(t) dr(t) = bm + bm-1 + LL + b1 + b 0 r(t) m m -1 dt dt dt
；
c. 表示成零点、极点式： 表示成零点 极点式： 零点、
K ( s − z1 )( s − z 2 ) L ( s − z m ) G (s) = ( s − p1 )( s − p 2 ) L ( s − p n )
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B. 传递函数的零点、极点和放大系数 传递函数的零点、
是以复变量s作为自变量的函数 作为自变量的函数。 系统的传递函数G(s)是以复变量 作为自变量的函数。通过因式 分解后， 可以写成如下的一般形式： 分解后，传递函数G(s)可以写成如下的一般形式：
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频率特性： G(j ) C(j ) K
R(j ) jT
11
其它举例
n(t) D
x (t )
N (s)
D
X (s)
s
i (t ) u(t)
I (s)
1
U (s)
Cs
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4、惯性环节(又叫非周期环节)
特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输 入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。
6
例 RC电路
i (t )
C
ur (t)
R
uc (t)
设：输入——ur(t) 输出——uc(t)
u r
(t)

1 c
i(t)dt i(t)R
i(t) uc (t) R
消去i(t)，得到运动方程：
ur (t)
1 RC
uc (t)dt uc (t)
传递函数： G(s) Uc (s) Tcs
R(s)
1
C(s)
Ts 1
运动方程： T dc(t) c(t) Kr(t)
dt
传递函数： 频率特性：
G(s) K Ts 1
G(jω ) K jTω 1
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例：直流电机
输入量: ud ——电枢电压 输出量： id ——电枢电流 动态方程如下：
Ld
d dt
id
Rd id
ud
第二章 物理系统的数学模型
第一节 控制工程的数学方法 （Laplace变换）
第二节 物理系统的数学模型 第三节 非线性数学模型的线性化
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第四节 典型环节及其传递函数
1、比例环节（又叫放大环节）
R(s)
特 点：输出量按一定比例复现输入量， 无滞后、失真现象。
C(s)
K
运动方程 : c(t)=Kr(t) K——放大系数，通常都是有量纲的。
r (t )
c (t )
R3
ic (t)

i1 (t)

r(t) R1
R(s)
1
R1Cs
C(s)
运动方程：

传递函数：
c(t)


1 C
ic (t)dt


1 R1C

r(t)dt


1 T

r(t)dt
G(s) C(s) 1 K R(s) Ts s
（T=R1C）
EL (s)
Ls
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3、积分环节
特点：输出量的变化速度和输入量成正比。
R(s)
1
C(s)
s
运动方程： dc(t) Kr(t )
dt
传递函数：
G(s) K s
频率特性：
G(jω ) K jω
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例：积分电路
输入为r(t)，输出为c(t)
ic (t) C
i1(t ) R1
-
+K
传递函数： G(s) C(s) K
R(s)
C(j )
频率特性：
G(j )
K
R(j )
2
例： 输入：(t)——角度 输出：u(t)——电压
E——恒定电压
+ E
-
u(t)
+
(t)
(s)
U (s)
K
运动方程： u(t)=K(t) 传递函数： G(s) U(s) K
(s)
K——比例系数，量纲为伏/弧度。
频率特性： G（j）=K
3
例：输入：n1(t)——转速 输出：n2(t)——转速
Z1
n1 (t )
n2 (t) Z2
Z1——主动轮的齿数 Z2——从动轮的齿数
N1 s
z1
N2 s
z2
运动方程： 传递函数：
n 2 (t)

z1 z2
n1 (t)
即
d
d dt idud源自Rdid+
d

Ld Rd
ud
D
传递函数:
1 G(s) Id (s) Rd
Ud (s) ds 1
式中 Ld ——电枢回路电感； Rd ——电枢回路电阻； τd ——电枢绕组的时间常数；
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其他一些例子
L
r(t)
R c(t)
R(s)
1
C(s)
L s 1
R
f (t)
v (t )
M
B
1
F (s)
V (s)
B
J s 1 B
B
T (t)
(t)
J
T (s)
1
(s)
B
J s 1 B
15
5、振荡环节
特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个 储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。
R(s)
1
C(s)
T 2s2 2 Ts 1
运动方程：
T2
R
L
+
r(t)
i(t)
C
+ c(t)
_
__
解：
r(t) L di(t) ri(t) 1 i(t)dt
dt
C
c(t)

1 C
i(t)dt
消去中间变量i(t)得到运动方程： LC d2c(t) RC dc(t) c(t) r(t)
dt 2
dt
传递函数：
G(s)
1
LCs2 RCs 1
G(s) N 2 (s) z1 K N1(s) z 2
频率特性：
G(jω ) N2 (jω ) z1 K N1(jω ) z2
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其它一些比例环节
R2
R1 -
r (t )
r1
r2
r (t )
c (t )
+K
c (t ) R3
+ Ec
R
ic (t)
ib (t)
R(s)
r2
Cs
频率特性：
G(j ω)
输 出： uf(t)——测速发电机的电枢电压 运动方程：
uf
(t)

K
d (t)
dt
传递函数： G（s）=Ks 频率特性： G（j）=jK
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其他举例
i(t) C uc (t)
U c (s)
I (s)
Cs
i(t) C
u(t)
R
U (s)
Cs
+ I(s)
1
+
R
i (t )
L
eL (t)
I (s)
r1 r2
R(s)
R2
R1
Cs
Ib (s)
Ic (s)
5
2、微分环节
特 点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。
R(s)
S
C(s)
运动方程：
C(t) K dr(t) dt
传递函数： 频率特性：
G(s) C(s) KS R(s)
G(jω ) C(jω ) jKω R(jω )
d 2c(t) dt2

2ζT
dc(t) dt

c(t)

Kr(t)
传递函数：
R(s)
1
C(s)
T 2s2 2 Ts 1
式中：——阻尼比， T——振荡环节的时间常数。
频率特性：
G( j ) C( j )
1
R( j ) (1 T 2 2 ) j2 T
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例：RLC电路
U r (s) Tcs 1
（Tc=RC）
当Tc<<1时，传递函数又可表示成： G(s)

Uc (s) U r (s)

Tcs
频率特性：G（j）=jTc——此时可近似为纯微分环节。
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例：测速发电机CF的数学描述
ud (t)
(t)
D
F
u f (t)
输 入： (t)——电动机D转子（与测速发电机同轴）的转角