台州市2013-2014学年高二学年第一学期级期末数学试题及答案质量评估

台州市2013学年第一学期高二年级期末质量评估试题

数 学 2014.01

一、选择题(本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.直线125yx和坐标轴所围成的三角形的面积是

A.2 B.5 C. 7 D.10

2.已知(1,2,0),(,2,3)ABCDx，若CDAB，则x

A.1 B.4 C.-1 D.-4

3.已知Rba,，则“0ba”是“0ab”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的底面直径与高的比是

A．π21 B.π1 C.1 D.π

5.已知变量,xy满足约束条件,2,2,xyxxy则2zxy的最大值为

A．3 B．4 C．6 D．7

6.若P是平面外一点，A为平面内一点，n为平面的一个法向量，则点P到平面的距离是

A．nPA B．PAnPA C．nnPA D．nPAnPA

7.如图，在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，则OG等于

A.OCOBOA B.OCOBOA212121

C.OCOBOA613121 D.OCOBOA313131

8.右图是边长相等的两个正方形．给定下列三个命题：

①存在三棱柱，其正视图、侧视图如右图；

②存在四棱柱，其正视图、侧视图如右图；

③存在圆柱，其正视图、侧视图如右图．

其中真命题的个数是 GCABO第7题图

第8题图 侧视图正视图

A. 3 B.2 C.1 D.0

9.已知点),(nmP是直线052yx上的任意一点，则22nm的最小值为

A.5 B.10 C.5 D.10

10.设nm,为两条直线，,为两个平面，下列四个命题中正确的是

A.若nm,与所成的角相等，则nm// B.若//,//nm，∥，则nm//

C.若nmnm//,,，则∥ D.若,,nm，则nm

11.如图，正方体DCBAABCD中，E是棱BC的中点，G是棱DD的中点，则异面直线GB与EB所成的角为

A. 120 B.90

C. 60 D.30

12.已知两点)1,1(M，)9,7(N，点P在x轴或y轴上，若90MPN，则这样的点P的个数为

A. 1 B.2 C.3 D.4

13.如图，空间直角坐标系Oxyz中，正三角形ABC的顶点A，B分别在xOy平面和z轴上移动．若2AB，则点C到原点O的最远距离为

A．31 B．2 C．31 D．3

14.已知圆O：2240xy，圆C： 222150xyx，若圆O 的切线l交圆C于,AB两点，则OAB面积的取值范围是

A.]152,72[ B.]8,72[

C.]152,32[ D.]8,32[

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

15.命题“0,2xxxR ”的否定是_ ▲ ．

16.两条平行直线0yx与04yx间的距离为 ▲ .

17.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 ▲ .

OxACzyB第13题第11题图 EGBCDB'D'C'A'A

18.在平面直角坐标系中，不等式组xyax2,表示的平面区域的面积为4，则实数a的值是 ▲ .

19.已知三棱锥ABCO，侧棱OCOBOA,,两两互相垂直，且2OCOBOA，则以O为球心且1为半径的球与三棱锥ABCO重叠部分的体积是 ▲ .

20.已知点00,Pxy在直线02yx上，若圆1:22yxO (O为坐标原点)上存在点Q使得30OPQ，则0x的取值范围为 ▲ .

三、解答题（本大题共 5 小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21.（本小题满分为8分）已知函数aaxxxf2)(．设:p方程0)(xf有实数根；:q函数)(xf在区间]2,1[上是增函数.若p和q有且只有一个正确，求实数a的取值范围．

22.（本小题满分为8分）如图，边长为2的菱形ABCD中，60ABC，点FE,分别是BCAB,的中点，将DCFAED,分别沿DFDE,折起，使CA,两点重合于点A.

（1）求证:EFDA；

（2）求二面角DEFA的余弦值.

23.（本小题满分为10分）已知ABC的顶点2,3A，C的平分线CD所在直线方程为01y，AC边上的高BH所在直线方程为0924yx．

（1）求顶点C的坐标；

（2）求ABC的面积． 2aa正视图 2aa侧视图 Ra俯视图

第17题图

第22题图 EFBADDEFBA'C

24.（本小题满分为10分）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，12PAABBCDC，点E在棱PB上，且EBPE．

（1）当2时，求证：PD∥面EAC；

（2）若直线PA与平面EAC所成角为30，求实数的值．

25.（本小题满分为10分）已知圆心为点)1,2(C的圆与直线03543yx相切．

（1）求圆C的标准方程；

（2）对于圆C上的任一点P，是否存在定点A (不同于原点O)使得POPA恒为常数？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

台州市2013学年第一学期高二年级期末质量评估试题参考答案

数 学 2014.01 第24题图 ACDBPE第23题图 xyHABCODyxCO第25题图

一、选择题(本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

BDABC CDAAD BCCA

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

15.0,0200xxxR 16.22 17.3aπ37

18.2 19.π61 20.]2,0[

三、解答题（本大题共 5 小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21．（本小题满分为8分）

解:4,004:2aaaap或； 2分

212:aaq.3分

若p真q假,则4,2,4,0aaaa或；

若p假q真,则20,2,40aaa. 7分

所求实数a的取值范围为,42,0 8分

22.（本小题满分为8分）

EFBADDEFBA'C

(1)证明:取EF的中点O,连结AOOD,,因FAEADFDE,,则

ODEFAOEF,,OODAO,

则ODAEF平面, 3分 ODEFBA'

因EFADA平面, 所以EFDA 4分

(2)由已知, ODEFAOEF,,

所以ODA是二面角DEFA的平面角.  5分

2,23,233DAAOOD .

则97cosODA.

所求角的余弦值为97. 8分

23. （本小题满分为10分）

解:(1)直线ACBH,则21ACk,

直线AC的方程为2121xy, 2分

由.1,101,2121yxyxy

所以点C的坐标1,1C．. 4分

(2)21ACBCkk,所以直线BC的方程为2321xy,  5分

21,2,2321,0924yxxyyx,即)21,2(B．. 7分

51213||22AC,8分

点B到直线AC:012yx的距离为52d. 9分

则121dACSABC．. 10分 第23题图 xyHABCOD

24．（本小题满分为10分）

（Ⅰ）证明:连接BD交AC于点M,连结ME,

因AB∥DC

21||||||||CDABMDMB,当2时21||||EPBE,

||||||||EPBEMDMB

PDEM//.

EACEMEACPD平面平面,

则PD∥面EAC． 4分

（Ⅱ）由已知可以A为坐标原点,分别以AB,AP为y轴,Z轴建立空间直角坐标系,设DC=2,则)1,0,0(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,0(PBCA,

由EBPE,可得E点的坐标为11,1,0 6分

所以AEAC),0,1,1(11,1,0.

设平面EAC的一个法向量为),,(zyxn,则0111,0zyyx,设z,则1y,1x,所以,1,1n 8分

若直线PA与平面EAC所成角为30,

则2260cos, 9分

解得36 10分 MABCDPzyxE