25与圆有关的比例线段

与圆有关的概念有：
1.圆的基本性质：圆的定义、有关概念（弦、直径；弧、等弧、
优弧、劣弧、半圆；弦心距；等圆、同圆、同心圆）、“三点定圆”
定理。

2.直线与圆、圆与圆的位置关系：相交、相切、相离。

3.与圆有关的角的定理：圆心角、弦心角。

4.与圆有关的比例线段定理：垂径定理、平分弦（不是直径）的
直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

5.同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

6.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是
等圆。

7.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

第2讲圆幂定理理，圆中⽐比例例线段圆幂定理理是初中平⾯面⼏几何中重要定理理之⼀一，在有关计算和证明中应⽤用⾮非常多，尤其是在证明圆中线段⽐比例例式（或等积式）时，能有效地考查学⽣生综合运⽤用相似形和圆的有关知识分析、解决问题的能⼒力力，因⽽而成为全国各省市中考及数学竞赛命题的⼀一个热点，切实加强这⽅方⾯面知识的复习与训练，全⾯面掌握这类问题的证明思路路和⽅方法，对每⼀一个同学都⾮非常重要.此外，证明圆中线段⽐比例例式（或等积式）的基本思路路有(1)利利⽤用平⾏行行线分线段成⽐比例例定理理；(2)利利⽤用相似三⻆角形给出证明；(3)利利⽤用圆幂定理理给出证明；(4)利利⽤用⾯面积或三⻆角函数给出证明.⼀一、基础知识1、相交弦定理理如果圆内两条弦AB和CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD（如下图1）；2、割线定理理如果从圆外⼀一点P向圆引割线P AB和PCD，那么PA·PB＝PC·PD（如下图2）；3、切割线定理理如果从圆外⼀一点P向圆引割线P AB和切线PC，那么PA·PB＝PC2（如下图3）；上述三个定理理统称为圆幂定理理.实际上，可以把切割线定理理看作是割线定理理的极限情形，于是上述三个结论可以合并为：如果交点为P的两条直线与圆O相交于A、B与C、D，那么就有PA·PB＝PC·PD，这⾥里里P、A、B共线及P、C、D共线；⼆二、例例题例例1．已知，如图AB是⊙O的弦，P是AB上⼀一点，AB＝10cm，P A＝4cm，OP＝5cm，求：⊙O的半径.例例2．如图，已知⊙O1和⊙O2相交于CD两点，其外公切线AB分别切⊙O1、⊙O2于点AB，求证：直线CD 平分线段AB.例例3．如图，E是圆内弦AC、BD的交点，直线EF∥CB，交AD的延⻓长线于F，FG切圆于G，连结EG，求证：∠FEG＝∠FGE.例例4．如图，P A切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，M是P A的中点，MC交⊙O于N，PN的延⻓长线交⊙O于D，连结BD，求证：P A∥BD;例例5．如图，已知B是线段AC上任⼀一点，在AC同侧分别以AB、AC为直径作两个半圆、，若CD切半圆于点D，EB⊥AC，B为垂⾜足，且交半圆于E，M是DE的中点，求证：CM⊥DE.例例6．如图，在⊿ABC中，AB>AC，如果⊿ABC的内切圆把BC边上的中线AD三等分，求证：BC＝2AC；例例7．图中，AB是⊙O的直径，直线MN切⊙O于点C，AD⊥MN于D，AD交⊙O于E，AB的延⻓长线交MN于点P，求证：AC2＝AE·AP；例例8．如图，⊿ABC中，∠A的平分线AD交BC于D，⊙O过点A，且和BC切于点D，和AB、AC分别相交于E、F，AD与EF相交于G，求证：BD·EG＝BE·EA；例例9．如图，已知BC是圆中⼀一条弦，EF切圆于A，AD⊥BC于D，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，求证：AD2＝BE·CF；例例10（2002年年东城区中考）如图，P是⊙O的直径AB延⻓长线上⼀一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于H，CF交AB于点E，求证：P A·PB＝PO·PE；例例11．如图，已知P A、PB是⊙O的切线，切点为A、B，PCD是割线，求证：AC·BD＝AD·BC例例12．如图，BC是圆的直径，O是圆⼼心，P是BC延⻓长线上⼀一点，P A切半圆于点A，AD⊥BC于点D，求证：PD·PO＝PC·PB例例13．如图，过⊿ABC的顶点A作外接圆的切线交BC的延⻓长线于D，求证：例例14（托勒勒密定理理）求证：在圆的内接四边形ABCD中，AB·CD＋BC·AD＝AC·BD三、练习题1．如图，P A为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，P A＝10cm，PB＝5cm，求⊙O的半径.2．过⊙O外⼀一点P作⊙O的两条切线P A、PB，连结OP与AB交于D，与⊙O交于C，过C作AP的垂线，垂⾜足为E，若P A＝10cm，PC＝5cm，则CE＝_____；3．如图A、B、C、D四点在同⼀一个圆周上，且BC＝CD＝4，AE＝6，线段BE和DE的⻓长都是正整数，则BD的⻓长等于________；4．在平⾏行行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB＝4，BE＝5，则DE＝_________；5．已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平⾏行行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC与DE交于点P，求证：EP＝PD；。

和圆有关的比例线段难题一．知识点在圆中，有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理统称圆幂定理。

1.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。

推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。

2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。

3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用圆幂定理；(2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。

圆幂定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系，它们之间有着密切的联系，我们应当熟悉以下基本图形。

例题精讲例1：如图，已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，过点A 作⊙1O 的切线，交⊙2O 于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P .当AD 与⊙2O 相切，且PA = 6，PC =2，PD =12时，求AD 的长。

【解析】连结AB .因为CA 切⊙1O ；于点A ，所以∠1 =∠D ．又∠1=∠E ，所以∠D =∠E .又∠2=∠3，所以△APD ∽△CPE ，所以PA PDPC PE=， 即PA ·PE = PC ·PD ．因为PA =6，PC =2，PD =12，得6×PE =2×12，得PE =4.由相交弦定理得PE ·PB =PA ·PC ，所以4PB =6×2，得PB =3.所以BD = PD －PB =9，DE =DP ＋PE =12＋4=16.因为DA 切⊙2O 于点A ，所以DA 2= DB ·DE ，即AD 2=9×16，得AD ＝12.例2：如图，已知圆内接四边形ABCD ，延长AB 、DC 交于E ，延长AD 、BC 交于F ，EM 、FN 为圆的切线，分别以E 和F 为圆心、EM 和FN 为半径作弧，两弧交于K ，求证：EK ⊥FK ．证明 连结EF ，过B 、C 、E 三点作圆交EF 于H ，连结CH .因为B 、C 、H 、E 共圆，所以∠1=∠2.因为A 、B 、C 、D 共圆，所以∠1=∠3，于是∠2 =∠3，故D 、C 、H 、F 共圆．由切割线定理得EM 2=EC ·ED =EH ·EF ，FN 2= FC ·FB=FH ·FE ，所以EM 2＋FN 2=(EH ＋FH )·EF =EF 2．又因为EM=EK ，FN=FK ，所以EK 2＋FK 2=EF 2．故△EKF 为直角三角形，且∠EKF =90°，即EK ⊥FK .例3：如图，⊙1O 与⊙2O 相交于P 、Q 两点，在公共弦QP 延长线上取一点M ，过M 作两圆割线分别交两圆于A 、B 、C 、D . 求证：.AD BD DMAC CB CM=证明 由切割线定理得MA ·MB = MP ·MQ =MC ·MD ，所以A 、B 、D 、C 四点共圆，可得∠ADB =∠ACB .又11sin ,sin 22ADB ACB S AD BD ADB S AC BC ACB ∆∆=∠=∠，所以.ADB ACB S AD BDS AC BC∆∆=过C 作CG ⊥MB ，垂足为G ，过D 作DH ⊥MB ，垂足为H .所以CG ∥DH ，得△MGC ∽△MHD ，得.ADB ACB S DH DM S CG CM ∆∆==所以AD BD AC BC =.DMCM例4：如图，两个同心圆的圆心为O ，大圆的弦AD 交小圆于B 、C ，大 圆的弦AF 切小圆于E ，经过B 、E 的直线交大圆于M 、N ，求证：(1) AE 2= BN ·EN ；(2)若AD 经过圆心O ，且AE = EC ，求 ∠AFC 的度数。

和圆有关的比例线段(三)一、引言在之前的两篇文档中，我们探讨了和圆有关的比例线段的含义以及相关的性质。

本文是本系列的第三篇，将继续深入研究这一主题。

二、线段比例定理的回顾回顾一下前两篇文档中提到的线段比例定理：给定一个三角形ABC，D是AB上的一点，E是AC上的一点，那么线段DE与线段BC的比例等于线段AD与线段AB的比例：DE / BC = AD / AB这个定理的一个特殊情况是当D为A点时，即D与A重合，那么有：AE / AC = AD / AB这个比例关系在和圆有关的问题中经常出现，接下来我们将进一步探讨。

三、和圆切线的线段比例考虑一个圆O，以及一条过圆外一点P的直线L，我们要求从点P向圆作两条切线，分别与圆相交于点A和点B，并且直线L与线段AB的比例为k。

根据线段比例定理，我们有：PL / PK = PA / PB而直线L与线段AB的比例为k，即 PL / PK = k。

从而我们得到：k = PA / PB这意味着点P到圆切线上的两个交点A和B的距离比例等于直线L与线段AB的比例。

四、从线段比例计算半径比例根据刚刚的推导，我们知道了直线L与线段AB的比例为k，它们满足如下关系：k = PA / PB接下来，我们将从这个比例关系中计算圆的半径比例。

设圆O的半径为r₁，点A和点B到圆心O的距离分别为d₁和d₂。

根据勾股定理，我们有：r₁² = d₁² + PA²r₂² = d₂² + PB²将刚刚得到的线段比例带入上述公式，我们得到：r₁² = d₁² + (k * PB)²r₂² = d₂² + PB²进一步化简得到：r₁² = k² * PB² + d₁²r₂² = PB² + d₂²将这两个等式相除，我们得到半径比例的平方：(r₁ / r₂)² = (k² * PB² + d₁²) / (PB² + d₂²)由于我们已知线段比例k，可以将PB用k来表示，进一步化简得到：(r₁ / r₂)² = (k² * r₂² + d₁²) / (r₂² + d₂²)这个公式给出了直线L与圆O的半径比例的平方，通过计算，我们可以得到r₁ / r₂的具体值。

2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案五与圆有关的比例线段[对应学生用书P31]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，弦AB与CD相交于P点，则P A·PB＝PC·PD.2．割线有关定理(1)割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．②图形表示：如图，⊙O的割线P AB与PCD，则有：P A·PB＝PC·PD.(2)切割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；②图形表示：如图，⊙O的切线P A，切点为A，割线PBC，则有P A2＝PB·PC.3．切线长定理(1)文字叙述：从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(2)图形表示：如图：⊙O的切线P A，PB，则P A＝PB，∠OP A＝∠OPB.[对应学生用书P32]相交弦定理求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨]由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，∴PC·PD＝AP2.在Rt△P AO中再使用射影定理即可．[证明]连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝P A·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.(1)相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．(2)由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为()A．4B．5C．8 D．10解析：设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.答案：B2.如图，已知AB是⊙O的直径，OM＝ON，P是⊙O上的点，PM、PN的延长线分别交⊙O于Q、R.求证：PM·MQ＝PN·NR.证明：⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫OM ＝ON OA ＝OB ⇒⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝BNBM ＝ANPM ·MQ ＝AM ·MB PN ·NR ＝BN ·AN⇒PM ·MQ ＝PN ·NR.割线定理、切割线定理[例2] 如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O的割线，已知AC ＝AB .证明：(1)AD ·AE ＝AC 2； (2)FG ∥AC .[思路点拨] (1)利用切割线定理； (2)证△ADC ∽△ACE .[证明] (1)∵AB 是⊙O 的一条切线， ADE 是⊙O 的割线，∴由切割线定理得AD ·AE ＝AB 2. 又AC ＝AB ，∴AD ·AE ＝AC 2. (2)由(1)得AD AC ＝ACAE，又∠EAC ＝∠DAC ，∴△ADC ∽△ACE. ∴∠ADC ＝∠ACE .又∠ADC ＝∠EGF ，∴∠EGF＝∠ACE . ∴FG ∥AC .(1)割线定理、切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形知识结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．(2)切割线定理可以看成是割线定理的特殊情况，当两条割线中的一条变成切线时，即为切割线定理．3．如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D .若P A ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________；AB ＝________.解析：∵PD ∶DB ＝9∶16，不妨设PD ＝9a ，DB ＝16a (a >0)，∴PB ＝25a . 由切割线定理知P A 2＝PD ·PB ， 即9＝9a ×25a ，∴a ＝15.∴PD ＝95.在直角三角形P AB 中，P A ＝3，PB ＝5，可知AB ＝4. 答案：9544.如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2.求：(1)BC 的长； (2)⊙O 的半径r .解：(1)不妨设BM ＝MN ＝NC ＝x .根据切割线定理，得AB 2＝BM ·BN ，即22＝x (x ＋x )， 解得x ＝2，∴BC ＝3x ＝3 2. (2)在Rt △ABC 中， AC ＝BC 2－AB 2＝14，由割线定理，得CD ·AC ＝CN ·CM ，由(1)可知，CN ＝2，BC ＝32，CM ＝BC －BM ＝32－2＝22，AC ＝14， ∴CD ＝CN ·CM AC ＝2147，∴r ＝12(AC －CD )＝12⎝⎛⎭⎫14－2147＝51414.切线长定理[例3] 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的切线与过A 、B 两点的切线分别交于点E 、F ，AF 与BE 交于点P .求证：∠EPC ＝∠EBF . [思路点拨] 切线长定理→EA ＝EC ，FC ＝FB →EC FC ＝EP PB→CP ∥FB→结论[证明] ∵EA ，EF ，FB 是⊙O 的切线， ∴EA ＝EC ，FC ＝FB .∵EA ，FB 切⊙O 于A ，B ，AB 是直径， ∴EA ⊥AB ，FB ⊥AB .∴EA ∥FB .∴EA BF ＝EP BP .∴EC FC ＝EPPB .∴CP ∥FB .∴∠EPC ＝∠EBF .运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．5．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB ＝( ) A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°解析：如图，连接OO ′，O ′A . ∵OA 为⊙O ′的切线， ∴∠OAO ′＝90°.又∵⊙O 与⊙O ′为等圆且外切， ∴OO ′＝2O ′A . ∴sin ∠AOO ′＝AO ′OO ′＝12.∴∠AOO ′＝30°.又由切线长定理知∠AOB ＝2∠AOO ′＝60°.答案：B6.已知：如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于L，M，N，P.求证：AD＋BC＝AB＋CD.证明：由圆的切线长定理得CM＝CN，BL＝BM，AP＝AL，DP＝DN，∵AB＝AL＋LB，BC＝BM＋MC，CD＝CN＋ND，AD＝AP＋PD，∴AD＋BC＝(AP＋PD)＋(BM＋MC)＝(AL＋ND)＋(BL＋CN)＝(AL＋BL)＋(ND＋CN)＝AB＋CD，即AD＋BC＝AB＋CD.[对应学生用书P33]一、选择题1．自圆外一点所作过圆心的割线长是12 cm，圆的半径为4 cm，则过此点所引的切线长为()A．16 cm B．4 3 cmC．4 2 cm D．以上答案都不对解析：设切线长为x cm，由切割线定理得x2＝(12－2×4)×12，故x＝4 3.答案：B2．点C在⊙O的弦AB上，P为⊙O上一点，且OC⊥CP，则()A．OC2＝CA·CB B．OC2＝P A·PBC．PC2＝P A·PB D．PC2＝CA·CB解析：根据OC⊥CP，可知C为过PC点弦的中点，再由相交弦定理即有PC2＝CA·CB.答案：D3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析：在直角三角形ABC 中，根据直角三角形射影定理可得CD 2＝AD ·DB ，再根据切割线定理可得CD 2＝CE ·CB ，所以CE ·CB ＝AD ·DB .答案：A4.已知PT 切⊙O 于点T ，TC 是⊙O 的直径，割线PBA 交TC 于点D ，交⊙O 于B 、A (B 在PD 上)，DA ＝3，DB ＝4，DC ＝2，则PB 等于( )A ．20B ．10C ．5D ．8 5解析：∵DA ＝3，DB ＝4，DC ＝2， ∴由相交弦定理得DB ·DA ＝DC ·DT ， 即DT ＝DB ·DA DC ＝4×32＝6；因为TC 为⊙O 的直径，所以PT ⊥DT . 设PB ＝x ， 则在Rt △PDT 中，PT 2＝PD 2－DT 2＝(4＋x )2－36.由切割线定理得PT 2＝PB ·P A ＝x (x ＋7)， 所以(4＋x )2－36＝x (x ＋7)， 解得x ＝20，即PB ＝20. 答案：A 二、填空题5．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，AM ＝4，BM ＝9，则弦CD 的长为________． 解析：根据相交弦定理，AM ·BM ＝(CD2)2，所以CD2＝6，CD ＝12.答案： 126.如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA .若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝________.解析：因为直线PB 是圆的切线，所以∠ABP ＝∠C ，又因为∠ABP＝∠ABD ，所以∠ABD ＝∠C ，又因为∠A ＝∠A ，所以△ABD ∽△ACB ，所以AD AB ＝ABAC，所以AB ＝AD ·AC ＝mn .答案：mn7.如图，P A，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A，B，P A＝7，在劣弧AB上任取一点C，过C作⊙O的切线，分别交P A，PB于D，E，则△PDE的周长是________．解析：由切线长定理知，PB＝P A＝7，且DA＝DC，EC＝EB，所以△PDE的周长为PD＋PE＋DE＝PD＋DC＋CE＋PE＝P A＋PB＝14.答案：14三、解答题8.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，求EF的长．解：因为CD⊥AB于G，F为CG的中点，所以G为CD的中点，即CD＝8，FD＝6.又因为AF·FE＝CF·FD，即3×EF＝2×6，所以EF＝4.9.已知：如图，P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，PO＝13 cm，⊙O半径r＝5 cm，求△PDE的周长．解：∵P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，∴DA＝DC，EB＝EC.∴△PDE的周长为P A＋PB＝2P A.连接OA，则OA⊥P A.∴P A＝PO2－OA2＝132－52＝12 cm.∴△PDE的周长为24 cm.10．如图，已知⊙O1和⊙O2相交于点A，B，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且P A＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．解：(1)证明：连接AB.∵AC为⊙O1的切线，∴∠BAC ＝∠D .又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E . ∴AD ∥EC .(2)设PB ＝x ，PE ＝y ，由相交弦定理，得PB ·PE ＝P A ·PC ， 则x ·y ＝6×2，∴xy ＝12.① ∵AD ∥EC ，∴DP PE ＝AP PC ，即9＋x y ＝62.∴9＋x ＝3y .②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－1(舍去)．∴DE ＝9＋3＋4＝16. ∵AD 为⊙O 2的切线，∴由切割线定理，得AD 2＝DB ·DE ＝9×16. ∴AD ＝12.。

和圆有关的比例线段练习题（一）计算1．如图7-197，已知圆O中弦CD垂直于直径AB于P点，AP=4cm，PD=2cm．求OP的长．2．已知：圆内两条弦相交，一条弦被分成5cm，15cm两段，另一条弦被二等分．求另一条弦长．3．已知：如图7-198，C为半圆上的一点，直径AB=10cm，E4．圆内相交的两条弦，一条弦被交点所内分成的两条线段的长为4cm和7cm，另一条弦全长为16cm，求这条弦被分成的两条线段的长．5．已知：如图7-199，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，弦BD过OC的中点E．若⊙O的半径为4cm，求BD的长．6．圆的一条弦分直径为3cm和7cm两部分，且此弦和这条直径相交成30°角．求弦心距和弦长．7．已知：如图7-200，在⊙O中，弦AB与CD相交于E，AE=4cm，EB=12cm，CD被E所分成的两线段的长度比为1∶2．求CD的长．8．已知：如图7-201，直径为AB的半圆O交⊙O'于C和B两，且DM∶ME=2∶5．求⊙O'的直径．9．已知：如图7-202，⊙O直径DE⊥AB于M，弦DF交AB10．已知：如图7-203，以⊙O上任一点A为圆心作圆，两圆相交于B、C，由A引射线交BC于F，交⊙A于D，交⊙O于E，连120°．求FC的长．11．已知：如图7-204，⊙O中，弦AB与CD交于M，弦心距12．已知：如图7-205，两同心圆O中，大圆直径AB交小圆于点C、D，大圆的弦EF⊥AB于C，ED交小圆于G．又知大圆半径为6cm，小圆半径为CO=4cm．求EG的长．13．已知：如图7-206，PA是⊙O的切线，A是切点，PB交⊙O于C且过圆心O，D是OB的中点，连结AD并延长交⊙O于E．若14．已知：如图7-207，PCD是过圆心O的割线，PA切⊙O于A，AB⊥CD于E，若AB=6cm，EC=1cm．求：⊙O的半径与AP的长．15．如图7-208，AD是锐角△ABC的外接圆的切线，AD交和CD的长．cm，AB=1cm，∠D=30°．求S△ABC∶S△ACD．17．已知：如图7-210，直角三角形ABC的两条直角边AC、AB的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边BC交于D点．求BD的长．18．已知：如图7-211，AB是⊙O直径，AC切⊙O于ACB19．已知：如图7-212，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，以AD为直径的圆交AC于M，BC=12cm，AM=5cm，求S△BMC的值．20．已知：如图7-213，PA，PB分别与⊙O相切于A，B，PC∶AC．21．已知：如图7-214，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆与AC交于D，过D作圆的切线与BC交于E点．若AD∶DC=16∶9，DE=3cm，求此圆半径R．22．已知：如图7-215，⊙O1，⊙O2相交于A，B两点，直线TMD分别与⊙O2切于T，与⊙O1交于M，D两点，M为TD的中点，过AB的直线交TD于C．求CM∶CT的值．23．已知：如图7-216，AB，AC分别切⊙O于B，C，AED是过O点的割线，∠BAC=60°，AB的长为6cm，求AD的长．24．已知：如图7-217，AB切⊙O于B，ACD是⊙O的割线并交⊙O于C和D，OE⊥CD于E．又知AB的长为20cm，AD=40cm，OE=8cm，求⊙O半径的长．25．如图7-218，已知MN切半径为10cm的⊙O于N，MO交⊙O于A、T两点，MA为8cm，NP⊥OM于P，求MN，PA的长．（二）证明26．已知：如图7-219，AB是⊙O直径，C是⊙O外一点，CD⊥AB于D，交⊙O于M，CEF为割线，求证：CD2=CE·CF+AD·DB．27．如图7-220，已知AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，以C为圆心作⊙C 切AB于D并交⊙O于P和Q，PQ交CD于G．求证：GC=DG．和圆有关的比例线段练习题(答案)（一）计算4．14cm，2cm．3，PB=7，OE⊥DC于E，∠EPO=30°，求OE和DC．先由已知勾股定理得BC=6，再由相交弦定理得BF·FC=EF·FA，即（6 －解法二由解法一已求出CM=4，作MN⊥BC于N．根据比例式21．4cm．提示：首先证明DE=CE，DE=EB=3，CB=6．由AD∶DC=16∶9，设AD=16x，CD=9x，则AC=25x．由CB2=CD·AC得所以AB=8，由此得⊙O半径R为4（cm）．22．1∶2．提示：由切割线定理得CT2=CA·CB，由割线定理得CM·CD=CA·CB，所以CT2=CM·CD．又M为TD中点，所以CT2=CM（CM+MD）=CM（CM+CM+CT）．由此得CT2=2CM2+CM·CT，2CM2+CM·CT－CT2=0，（2CM－CT）（CM+CT）=0．所以2CM=CT，CM=－CT（舍去）．从而CM∶CT=1∶2．（二）证明26．提示：证法一延长MD交⊙O于G，由割线定理得CM·CG=CE·CF．因为CM=CD－MD，又MD=DG，从而CG=CD+DG=CD+MD．所以（CD－MD）（CD+MD）=CE·CF，CD2－MD2=CE·CF，移项得CD2=CE·CF+MD2．又MD2=AD·DB，所以CD2=CE·CF+AD·DB．OM，则CE· CF+AD·DB=CT2+MD2=（OC2－OT2）+MD2=（OC2－OM2）+MD2=[（CD2+OD2）－OM2]+MD2=CD227．提示：延长GD交⊙O于M，反向延长GD交⊙C于N．由圆内相交弦定理得PG· GQ=DG·GN，MG·GC=PG·GQ．所以MG·GC=DG·GN．又显然MD=DC=CN，所以（MD+DG）·GC=DG（GC+CN），推出GC=DG．。