切线的判定和性质学案

切线的性质和判定教案教案标题：切线的性质和判定教学目标：1. 理解切线的定义和性质。

2. 学会判定给定点与曲线的切线关系。

3. 掌握切线的斜率和方程的计算方法。

教学准备：1. 教师准备：教师课件、黑板、粉笔、切线相关的教学素材和案例。

2. 学生准备：学生课本、笔记本、铅笔、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入切线概念：教师通过引发学生对曲线和切线的认知，例如：你们曾经在生活中遇到过什么是曲线吗？切线又是什么？请举例说明。

2. 激发学生兴趣：教师通过展示一些有趣的图形和实际应用案例，引起学生对切线的兴趣。

二、概念讲解（15分钟）1. 定义切线：教师通过示意图和示例，引导学生理解切线的定义，即与曲线相切于一点且切线斜率等于曲线斜率。

2. 切线性质：教师讲解切线与曲线的相对位置关系，以及切线的斜率和曲线的斜率之间的关系。

三、切线的判定（20分钟）1. 几何判定法：教师讲解几何判定法，即切线与曲线相切于一点时，切线与曲线在该点处的切点和切线方向相同。

2. 代数判定法：教师讲解代数判定法，即通过求解曲线方程和切线方程的交点，判断给定点与曲线的切线关系。

四、切线方程的计算（20分钟）1. 切线斜率的计算：教师通过示例演示切线斜率的计算方法，即利用导数的定义求出曲线在给定点的切线斜率。

2. 切线方程的计算：教师通过示例演示切线方程的计算方法，即利用点斜式或截距式求出切线的方程。

五、练习与巩固（15分钟）1. 学生个人练习：学生根据教师提供的练习题，独立完成切线的性质和判定相关的练习。

2. 小组合作讨论：学生分组进行讨论，互相解答疑惑，共同巩固所学知识。

六、拓展与应用（10分钟）1. 实际应用：教师通过展示一些实际问题，如工程设计、物体运动等，引导学生将切线的性质和判定应用到实际问题中。

2. 拓展知识：教师简要介绍其他相关概念，如法线、切点等，拓展学生的知识面。

七、总结与反思（5分钟）1. 总结：教师对本节课的重点内容进行总结，并强调切线的性质和判定方法。

第2课时切线的判定和性质【知识与技能】能判定一条直线是否为一条切线，会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题.【过程与方法】经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成学生既能自主探究，又能合作探究的良好学习习惯.【情感态度】体验切线在实际生活中的应用，感受数学就在我们身边，感受证明过程的严谨性及结论的正确性.【教学重点】切线的判定定理及性质定理的探究和运用.【教学难点】切线的判定定理和性质的应用.一、情境导入，初步认识情境 1 下雨天，小孩子总喜欢转动雨伞，你发现雨伞的水珠顺着伞面的边缘飞出，水珠是顺着什么方向飞出的？情境2 用机器打磨铁制零件时，铁屑是沿什么方向飞出的？情境3用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形成一个圆，突然这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球会顺着什么方向飞出吗？【教学说明】通过观察生活中的实例，使学生初步感知直线与圆相切的情景，深化学生思想中的数学模型.二、思考探究，获取新知1.切线的判定定理思考1 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A，作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？分析：∵直线l⊥OA，而点A是⊙O的半径OA的外端点.∴直线l与⊙O只有一个交点，并且圆心O到直线l的距离是垂线段OA，即是⊙O的半径.∴直线l与⊙O相切.【归纳总结】切线的判定定理：经过半径的外端（点）并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【教学说明】结合切线的定义以及“如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆相切”，引导学生得出结论.在切线的判定定理中，“经过外端”和“垂直于半径”两者缺一不可.试一试（1）已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？（只能作一条直线）（2）下图中的直线是圆的切线吗？（都不是圆的切线）2.切线的性质定理思考2 已知直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？为什么？（学生讨论，由学生代表回答）教师点评：由于l是⊙O的切线，点A为切点，∴圆心O到l的距离等于半径，所以OA就是圆心O到直线l的距离.∴OA⊥直线l.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.符号语言：∵直线l是⊙O的切线，切点为A.∴OA⊥直线l.【教学说明】这个问题在引导学生分析时，直接证明比较困难，我们可以运用反证法.假设OA与l不垂直，过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短的性质，有OM＜OA，这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA，直线l与⊙O就相交了，而这与直线l与⊙O相切矛盾.因此，OA垂直于直线l.三、典例精析，掌握新知例1 教材98页例1.（要证明一条直线是圆的切线，必须符合两个条件，即“经过半径外端”和“垂直于这条半径”.引导学生分析.例2 （1）如图（1），AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A是切点，∠PAB=30°，求∠AOB.（2）如图（2），AB是⊙O的直径，DC切⊙O于点C，连接CA、CB，AB=12，∠ACD=30°，求AC的长.解：（1）∵△OAB为等腰三角形，∴∠OAB=∠OBA.又∵PA是⊙O的切线，∴由切线的性质可知：PA⊥OA，∴∠OAP=90°，∴∠OAB=∠OAP-∠BAP=90°-30°=60°，∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×60°=60°.（2）连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，而∠ACD=30°，.∴∠OCA=60°，∴△OAC是等边三角形，AC=OA=r=1/2×AB=1/2×12=6.【教学说明】例1是对切线的判定定理的应用，要使学生掌握用这个定理来证明切线的关键（紧扣两点）.例2是利用切线的性质解题.在解决与圆有关的切线的问题时，常见辅助线有：（1）已知直线是圆的切线时，通常连接过切点的半径，则这条半径垂直于切线.（2）要证明一条直线是圆的切线：①若直线过圆上某一点，则连接这点和圆心得到辅助半径，再证这条半径与直线垂直.即：已知公共点，连半径证垂直.②若直线与圆的公共点不确定，则过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段长等于圆的半径长.即：未知公共点，作垂线证半径.这种题型后面会给出练习.四、运用新知，深化理解1.完成教材第98页练习1、2.2.如图，已知PA是∠BAC的平分线，AB是⊙O的切线，切点为E，求证：AC是⊙O的切线.【教学说明】教材上的练习1、2由学生自主完成，加深对切线的判定及性质的理解掌握；第2题是对切线的性质与判定的综合应用，教师可先让学生独立思考，再加以提示.最后，师生共同完成解题.【答案】1.（1）∵AT=AB，∴∠B=∠T=45°，∴∠A=180°-∠B-∠T=90°.又∵AB是⊙O的直径，∴AT是⊙O的切线.（2）l1∥l2，理由如下：∵AB是⊙O的直径，且l1、l2是⊙O的切线，∴l1⊥AB，l2⊥AB，∴l1∥l2.2.过O点作OF⊥AC于点F，连接OE.则OE⊥AE.∴∠OEA=∠OFA=90°，又∵PA是∠BAC的平分线，∴∠OAE=∠OAF，∵AO=AO，∴△OAF≌△OAE，∴OF=OE.又∵OE是半径，∴OF也为半径长.∴AC是⊙O的切线.五、师生互动，课堂小结1.让学生回顾本堂课的两个知识点.2.试着让学生自己总结切线的证明方法，然后相互交流.【教学说明】在这一环节，教师要尽可能地让学生自主总结与交流，然后适当地予以点评和补充.1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激发学生的求知欲，接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法，证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.24.2.2直线和圆的位置关系第2课时切线的判定与性质一、新课导入1.导入课题:情景1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?情景2：砂轮转动时，火星是沿着砂轮的什么方向飞出去的?这节课，我们学习切线的判定和性质.（板书课题）2.学习目标:（1）能推导切线的判定定理和性质定理.（2）能初步运用切线的判定定理和性质定理解决简单的几何问题.3.学习重、难点：重点：切线的判定定理与性质定理.难点：切线的判定与性质的初步运用.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第97页的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：阅读思考，动手操作，归纳猜想.（4）自学提纲：①如图，OA是⊙O的半径，过A点作直线l⊥OA，那么直线l与⊙O有什么位置关系？a.直线l满足的条件是经过A点且垂直于OA .b.直线l和⊙O的位置关系是相切，为什么？②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .③已知一个圆和圆上一点，如何过这个点画圆的切线？试试看.④请总结一下判定切线共有哪几种方法？a.圆心到直线的距离等于半径，这条直线和圆相切.b.切线的判定定理.2.自学：学生参照自学提纲进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生对判定定理的理解和运用（特别是提纲第④题）.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、改正结论.4.强化：（1）切线的判定定理:①经过半径的外端；②垂直于这条半径.两个条件缺一不可.（2）常见的辅助线作法及证法：①直线与圆的公共点已知(切点已知)，连接这个点和圆心，证直线与连线垂直即可.②直线与圆的公共点未知(切点未知)，过圆心作直线的垂线段，证“垂线段=半径”即可.（3）练习：如图所示，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝AT，∠TBA＝45°，直线AT是⊙O的切线吗？为什么？解：是.理由：∵AB=AT,又AT过点A,∴∠T=∠B=45°.∴∠A=180°-45°-45°=90°.又AT过点A，∴AT是⊙O的切线.1.自学指导：（1）自学内容：教材第98页“练习”之前的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：阅读、思考、归纳.（4）自学提纲：①如图，OA是⊙O的半径，直线l与⊙O相切于点A，那么直线l与半径OA有什么位置关系？l⊥OA.②切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.此定理的题设是l是⊙O的切线，l过A点，结论是l⊥OA.用反证法证明该定理时，应假设圆的切线不垂直于过切点的半径.③切线共有哪些性质？a.切线与圆只有一个公共点.b.圆心到切线的距离等于半径.c.圆的切线垂直于过切点的半径（切线的性质定理）.d.经过圆心并且垂直于切线的直线一定经过切点.e.经过切点并且垂直于切线的直线一定经过圆心.④如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线.证明：连接OD，OA，过O作OE⊥AC，则OD⊥AB,∵△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，则OA是∠BAC的平分线.∴OD=OE.又OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线.2.自学：学生参照自学提纲进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生自学参考提纲的完成情况.②差异指导：定理的证明可进行集体指导(不做重点要求).（2）生助生：小组内相互交流、研讨、订正结论.4.强化：（1）①与圆有唯一公共点切线的性质②到圆心的距离等于圆的半径③垂直于过切点的半径..⎧⎪⎨⎪⎩.（2）如图，AB是⊙O的直径，直线l1、l2是⊙O的切线，A、B是切点.求证：l1∥l2.证明：∵l1，l2是⊙O的切线.∴OA⊥l1,OB⊥l2.又O，A，B三点共线，∴l1∥l2.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你有哪些收获？还有哪些疑惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的态度、学习的积极性、学习的方法、效果等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激发学生的求知欲，接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法，证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)下列说法正确的是（B）A.与圆有公共点的直线是圆的切线B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线2.(10分)如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（C）A.24°B.25°C.28°D.30°3.(10分)如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的半径为8cm，AB=10cm，则OA的长为89cm.4.(20分)如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP.证明：连接OP.∵AB切⊙O于点P，∴OP⊥AB.∴AP=BP（垂径定理）.5.(20分)如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD.求证:AC是⊙O的切线.证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°.∴∠B+∠BAD=90°.又∵∠B=∠CAD.∴∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°.∵AC过点A,∴AC是⊙O的切线.二、综合应用（20分）6.(20分)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE 是⊙O的切线，交AC的延长线于点E.求证：DE⊥AC.证明：连接OD.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠EAD=∠DAO.又∵OA=OD.∴∠DAO=∠ODA.∴∠ODA=∠EAD.∴OD∥AC.又∵DE是⊙O的切线,∴∠ODE=90°.∴∠E=90°.即DE⊥AC.三、拓展延伸（10分）7.(10分)如图，利用刻度尺和三角尺可以测量圆形工件的直径，说明其中的道理.解：因为两个三角尺的一条直角边与圆相切，另一条直角边在一条直线上，所以两条切线互相平行.则连接两切点之间的线段就是圆的直径，利用图中刻度尺就可以测量出图形工件的直径.。

切线的判定和性质数学教案标题：切线的判定与性质——数学教案一、教学目标1. 知识目标：理解和掌握圆的切线的定义，以及切线的判定和性质。

2. 能力目标：通过解决相关问题，提高学生的逻辑推理能力和空间想象能力。

3. 情感态度价值观目标：培养学生积极思考、勇于探索的学习态度，增强学生对数学学习的兴趣。

二、教学重点与难点1. 教学重点：切线的判定方法和性质。

2. 教学难点：理解并应用切线的判定定理和性质解决实际问题。

三、教学过程（一）引入新课教师引导学生回顾上节课关于圆的知识，提出问题：“如何判断一条直线是否为圆的切线？”以此引出本节课的主题——切线的判定和性质。

（二）讲解新知1. 切线的定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线。

2. 切线的判定：(1) 判定定理1：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

(2) 判定定理2：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

3. 切线的性质：(1) 性质1：过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

(2) 性质2：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

（三）课堂练习设计一些相关的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。

如：例题1：已知OA,OB为圆O的两条半径，∠AOB=60°，P为劣弧AB上的动点，过P作圆O的切线PC，设∠APB=α，求证：tanα=2sinα。

例题2：已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC边的中点，E是AC边上的任意一点，DE与以C为圆心，CA为半径的圆相切于F点，证明：AF⊥BE。

（四）课堂小结引导学生总结本节课的主要内容，包括切线的定义、判定定理和性质，并强调这些知识在解题中的重要性。

（五）课后作业布置适量的课后作业，帮助学生进一步巩固和应用所学知识。

四、教学反思在教学过程中，应注重引导学生主动参与，鼓励他们通过独立思考和合作交流来解决问题。

同时，要关注学生的个体差异，提供有针对性的教学指导，以满足他们的不同学习需求。

14.2.2（2）《切线的判定和性质》班级：组名：姓名：____________学习目标：1．能掌握：切线的性质定理与判定定理.2．能判定：一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线.3．会运用：圆的切线的性质与判定来解决相关问题.【学习重点】圆的切线的性质与判定【学习难点】圆的切线的性质与判定定理的证明.【学习过程】（一）创设情景，引入新课直线和圆有几种位置关系？那几种？用几何语言如何表示？（二）自主学习，探究新知（自学教材97至98，完成下列问题）【想一想】1.经过________________并且____________________直线是圆的切线.2.切线的性质有：①切线和圆只有_______公共点；②切线和圆心的距离等于_______；③圆的切线___________过切点的半径.3.当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接______和____，得到半径，那么半径_______________切线.【试一试】1.如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于C，AB=3 cm，PB=4 cm，则BC=_____cm.2.如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O的切线AD，BA⊥DA于点A，BA交半圆于点E，已知BC=10，AD=4，那么直线CE与以点O为圆心，52为半径的圆的位置关系是_________.3.如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于点D，DE⊥AC于E，连接AD，则下面结论正确的有________________.①AD⊥BC ②∠EDA=∠B ③OA=12AC ④DE是⊙O的切线（三）应用新知，展示交流1. 如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D，若AD=2，TC=3，则⊙O的半径是__________.2. 如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，E是BC边上的中点，连接PE，则PE与⊙O相切吗？若相切，请加以证明，若不相切，请说明理由.3. 如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10 cm，小圆半径为6 cm，则弦AB的长为多少？.（四）课堂小结，盘点收获圆的切线的性质定理：圆的切线判定定理：（五）当堂检测，巩固拓展1.教材第98页练习.2. 如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦BD的中点；(2)CD是⊙O的切线.AD∥OC，求证：(1)点E是⌒3.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1 cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6 cm，如果⊙P以1 cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过多少秒后⊙P与直线CD相切？（六）整理学案，布置作业一课一辅练习册【学习反思】我的收获：__________________________________________________________________我的困惑：___________________________________________________________________。