(新)集合的综合应用3——(李华成)

教学内容 【知识点回顾】1．集合含义与表示（1）一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，简称 集 。

其中每个对象叫做元素，简称元。

集合中的元素具有 确定性 、 互异性 和 无序性 。

（2）集合常用的表示方法有： 列举法 、 描述法 、 Venn 图法。

它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法。

2．集合间的关系（1）若集合中A 的任何元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的子集，记为“ B A ⊆”或“ A B ⊇ ”。

（2）若A ⊆B ，且B 中至少存在一个元素不是A 的元素，则A 是B 的真子集，记为“ B A ⊂ ”或“ A B ⊃。

（3）若两个集合的元素完全一样，则这两个集合相等，记为“A=B”。

判断集合相等还可以用下面两种方法： 方法1：B A ⊆且A B ⊆；方法2：A B A =⋂且B B A =⋂ 要点诠释：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的 真子集 。

换言之， 集合的子集至少有一个，它是空集 。

3．集合的基本运算（1）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合，叫A 与B 的并集， 记作“A ∪B”。

用数学语言表示为 =⋃B A {}B x or A x x ∈∈ ,| 。

（2）由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合，叫A 与B 的交集， 记作“A∩B”。

用数学语言表示为 =⋂B A {}B x and A x x ∈∈ ,| 。

（3）若已知全集U ，A 是U 的子集，则由所有U 中不属于A 的元素构成的集合称为集合A 在U 中的补集。

记作“A C U ”。

用数学语言表示为 {}A x and U x x A C U ∉∈= ,| 。

【综合运用】例1．已知全集U=R ，集合M={x|－2≤x －1≤2}和N={x|x=2k －1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn ）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个 解析：集合{}212|≤-≤-=x x M {}31|≤≤-=x x ； 集合{},...2,1,12|=-==k k x x N 表示一切正奇数的集合；图中阴影部分所示的集合的元素区有：{}3,1，共2个元素。

2013高三数学精品资料：集合创新型、综合型试题80例集合是高考数学必考内容，集合创新型、综合型试题是一些省市高考数学试卷的热点与亮点，本资料从上百份数学试卷中精选此类问题80例，供数学成绩较好的高三学生参考，同时也可供教师备课与组题时使用. 一、选择题1.已知集合{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ,{(,)|,B x y x m ==2312,y m =+m ∈Z }.若存在实数,a b 使得A B ≠∅成立,称点(,)a b 为“￡”点，则“￡”点在平面区域22{(,)|108}C x y x y =+≤内的个数是 ( A ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个2.设集合{1,2,3,4,5,6}I =，集合A I ⊆，B I ⊆，若A 中含有3个元素，B 中至少有2个元素，且B 中所有数均不小于A 中最大的数，则满足条件的集合A 、B 有（ B ） A 、33组B 、29组C 、16组D 、7组3.已知集合230123{|333}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠.则A 中所有元素之和等于（ D ）A. 3240B. 3120C. 2997D.28894.设集合S={0A ,1A ,2A ,3A }，在集合S 上定义运算+为：i A +j A =k A ，其中k 为i +j 被4除的余数，则(0A +2A )+(1A +3A )=(C ) A.0A B.1A C.2A D.3A5.用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义|A -B |=⎩⎨⎧<-≥-)()(),()()()(),()(B C A C A C B C B C A C B C A C .若A ={1，2}，B ={x ||2x +a x +1|=1}，且|A -B |=1，由a 的所有可能值构成的集合为S ，那么C (S)等于（ C ）A.1B.2C.3D.46.定义：若平面点集A 中的任一点00(,)x y ，总存在正实数r ，使得集合{(,)}x y r A <⊆，则称A 为一个开集。

扬华教育 一对一学案 高考数学 张星单晨专用使用日期2014年7月19日学案3 集合的综合应用一、课前准备：【自主梳理】1．集合用描述法表示时，要理解代表元素的属性．2．集合运算,要特别注意空集的讨论,不要遗忘．3．集合运算可借助于韦恩图,体现了数形结合的思想,含参数问题的集合问题,要验证集合中元素的互异性．4．集合问题经常转化为函数与方程问题,要注意转化的等价性．【自我检测】1．已知集合{}a a a A ++=22,2，若3A ∈，则a 的值为 ．2．已知A ={}R x x x y y A ∈--==,122,{}82<≤-=x x B ,则集合A 与B 的关系是____．3．设{}0962=+-=x ax x M 是含一个元素的集合，则a 的值为__________________． 4．{}{}2{0,2},1,,0,1,2,4,A B a A B ==⋃=则实数a 的值为______________．5． {}{}lg ,1,M x y x N y y x M N ====-⋂=__________．6．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是______________________ ．二、课堂活动：【例1】（1） 已知集合A = {-1,1}，B = { x | ax + 1 = 0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为_________．（2）集合A ={}R ,2|2||∈≤-x x x ，B ={}21,|2≤≤--=x x y y ，R （A I B ）= _________ ．（3）设集合2{2,3,23}U a a =+-，{|21|,2}A a =-，{5}U C A =，实数a =_________．（4）集合{}{}12,,,2--==a a N a a M ，若N M ⋃恰好含有三个元素，则 =⋂N M _________．【例2】设集合{}2|320,A x x x =-+={}22|2(1)(5)0.B x x a x a =+++-= （1）若A I B {},2=求实数a 的值；（2）若A Y B =A ，求实数a 的取值范围；（3）若A B C A R U U =⋂=)(,求实数a 的取值范围．【例3】已知集合A ={},R ,01)2(|2∈=+++x x a x x B {}0|R >∈=x x ，试问是否存在实数a ， 使得A I B =∅？ 若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．课堂小结扬华教育 天天练 张星单晨专用使用日期2014年7月19日1．集合{|(21)(3)A x x x =+-*0},{N ,|5},B x x <=∈≤则A B I =__________________． 2．已知集合N M x x x N x x M Y 则或},55|{},53|{>-<=≤<-==_________________． 3．设集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值范围___________________．4．设{}03522=--=x x x M ，{}1==mx x N ．若M N ⊂，则实数m 的取值集合为_____． 5．设集合{}Z x x x I ∈<=,3，{}2,1=A ，{}2,1,2--=B ，则()=B C A I Y ___________．6．已知集合{}3<=x x M ，{}1log 2>=x x N ，则N M I =_______________________． 7．设集合{})3(log ,52+=a A ，集合{}b a B ,=．若{}2=B A I ，则B A Y =_______________．8．定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为________．9．已知集合{}R m x mx x A ∈=+-=,032/2 （1）若A 是空集，求m 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求m 的值；（3）若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围．10．已知集合A ={}510|≤+<ax x ，集合B =.221|⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-x x (1) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围；(2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3) A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由．四、纠错分析错题卡题 号错 题 原 因 分 析。

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专题1.1 集合1．（2019年甘肃省兰州市高考数学一诊）已知集合A ＝{x∈N｜–1<x 〈4}，则集合A 中的元素个数是( ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】集合A={x∈N|-1＜x ＜4｝=｛0,1,2，3}．即集合A 中的元素个数是4，故选B 。

2．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测）已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（ ）A ．1B ．5C ．6D ．无数个 【答案】C【解析】由题得{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A =，所以A 中元素的个数为6,故选C. 3．（山西省2019届高三百日冲刺考试)已知集合{}2|2,A x y x x R==-∈，{|13,}B x x x Z =-≤≤∈集合A B ⋂中元素的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B【解析】由题意可得{|22}A x x =-≤≤，{}1,0,1,2,3B =-,则{}1,0,1A B ⋂=-，故选B 。

6.2.3 排列组合的综合运用(精练)【题组一全排列】1．(2020·中山大学附属中学高二期中)一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为( )A．4 B．44C．24 D．48【答案】C【解析】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为44=432124A⨯⨯⨯=. 故选：C2．(2020·全国高二单元测试)3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种.【答案】64【解析】由题意参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每个学生有4种选择，则3名同学共有34=64种报名方案.故答案为：64.3．(2020·上海高二专题练习)若把英文单词“hello”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有_________种．【答案】59【解析】由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题五个字母进行全排列共有55120A=种结果，字母中包含2个l，∴五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果，在这60种结果里有一个是正确的，∴可能出现的错误的种数是60159-=，故答案为：59．4．(2021·浙江衢州市)将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个数互不相同，则不同的分配方法共有________种.【答案】18【解析】将9个相同的球分成个数不同的3份，有(1,2,6)，(1,3,5)，(2,3,4)三种情况，再将这3份个数不同的球放到3个不同的盒子中，有336A=种情况，所以不同的分配方法共有1863=⨯种.故答案为：185．(2020·天津河西区·高二期中)学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的排法有_____种.(用数字作答)【答案】288【解析】4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，有44A=24种排法；3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，有336A=种排法；2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有222A=种排法.故共有24×6×2＝288种排法.故答案为：288.6．(2020·河南)2020年新型冠状病毒肆虐全球，目前我国疫情已经得到缓解，为了彰显我中华民族的大爱精神，我国决定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队A、B、C、D，前往四个国家E、F、G、H进行抗疫技术指导，每支医疗队到一个国家，那么总共有______(请用数字作答)种的不同的派遣方法.如果已知A医疗队被派遣到H国家，那么此时B医疗队被派遣到E国的概率是______.【答案】241 3【解析】由题意可知，每支医疗队到一个国家的派遣方法数为4424A=，由于A医疗队被派遣到H国家，则B医疗队可派遣到其它3个国家，因此，B医疗队被派遣到E国的概率是13.故答案为：24；13.【题组二相邻问题】1．(2020·沙坪坝区·重庆八中)小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为( )A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【解析】解：将小涛与小江、小玉捆绑在一起，与其他两个人全排列，其中小涛位于小江、小玉之间，按照分步乘法计算原理可得323212A A⋅=故选：B2．(2020·宁夏吴忠市·吴忠中学高二期末)将A，B，C，D，E，F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为( )A．112B．15C．115D．215【答案】C【解析】由捆绑法可得所求概率为242466A A 1A 15P ==.故答案为C 3．(2020·陕西彬州市·高二月考)5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法种数为 A ．480B ．720C ．960D ．1440【答案】C【解析】两个女生必须相邻，捆绑222A =，女生不能排两端，则从5个男生中任选两人排两端，2520A =，剩余3个男生与捆绑在一起的2个女生看成4个元素，排在其余位置，4424A =，所以不同的排法种数为：22425422024960A A A ⋅⋅=⨯⨯=．4．(2020·广东广州市)2020年初，全国各大医院抽调精兵强将前往武汉参加新型冠状病毒肺炎阻击战，各地医护人员分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号为1，2，3，4，5，6号，要求到达武汉天河飞机场时，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落，则不同的安排方法有( ) A ．60 B ．120C ．144D ．240【答案】D【解析】由题意，因为1号与6号相邻降落，可1号与6号排列后看作一个，同其它飞机进行全排， 将则不同的安排方法有2525240A A =种.故选：D.5．(2020·莒县教育局教学研究室高二期中)3名男生､3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( ) A ．2 B ．9C ．72D ．36【答案】C【解析】根据题意男生一起有336A =排法，女生一起有336A =排法，一共有3333272A A =种排法，故选：C .．6．(2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中)三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为( ) A ．24 B ．48C ．60D ．96【答案】B【解析】先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，则不同的排法数3222322248N A A A A ==，故选：B.【题组三 不相邻问题】1．(2020·全国)六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为( ) A ．760B ．16C ．1360D ．14【答案】C【解析】丙排第一，除甲乙外还有3人，共33A 种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得24A ，此时共有3234=612=72A A ⋅⨯种可能；丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有1424C A 排法，甲和乙不排在第一位， 则剩下3人有1人排在第一位，则有122323C A A 种排法， 此时故共有1412224323+=84C A C A A 种排法. 故概率6672841360P A +==. 故选：C.2．(2020·全国)将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入A 、B 、C 三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有( ) A ．42 B ．36 C ．48 D ．60【答案】A【解析】将编号为1、2、3、4、5的5个小球，根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组. ①当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连， 故3个小球的编号只能是1、3、5的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有336A =种分配方法；②当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，此时放2个小球的盒子中小球的编号分别为()1,3、()2,4或()1,3、()2,5或()1,4、()2,5或()1,4、()3,5或()1,5、()2,4或()2,4、()3,5，共6种，再分配到三个盒子中，此时，共有33636A =种.综上所述，不同的放法种数为64362+=种.故选：A.3．(2020·全国)某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有( ) A．72种B．48种C．36种D．24种【答案】C【解析】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有336A=种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，共有236A=种排法，则后六场开场诗词的排法有6636⨯=种，故选：C.4．(2020·防城港市防城中学高二期中)5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为( )A．72B．48C．24D．60【答案】C【解析】先将丙与丁捆绑，形成一个“大元素”与戊进行排列，然后再将甲、乙插空，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为22222324A A A=种.故选：C.5.．(2020·北京丰台区·高二期末)某活动中需要甲、乙、丙、丁4名同学排成一排．若甲、乙两名同学不相邻，则不同的排法种数为_________．(用数字作答)【答案】12【解析】先求出甲、乙、丙、丁4名同学排成一排的全排列：4424A=；再求出甲、乙两名同学相邻的排列：2 412A=然后，4244241212A A-=-=故答案为：126．(2020·上海)2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种. 【答案】72【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，有336A=种情况，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有2412A=种情况，则2位女生不相邻的排法有61272⨯=种；故答案为：727．(2020·安徽省太和第一中学高二月考(理))将A，B，C，D，E五个字母排成一排，若A与B相邻，且A 与C 不相邻，则不同的排法共有__种. 【答案】36【解析】依题意，可分三步，先排D ，E ，有22A 种方法，产生3个空位，将,A B 捆绑有22A 种方法，将,A B 捆绑看作一个元素，插入三个空位之一，有13A 种方法，这时AB 、D 、E 产生四个空位，最后将C 插入与A 不相邻的三个空位之一，有13A 种方法，根据分步乘法计数原理得：共有2211223336A A A A ⨯⨯⨯=种，故答案为：36.8．(2020·博兴县第三中学高二月考)某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是___________ 【答案】24【解析】根据题意，分3步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有222A =种情况， ②将这个整体与英语全排列，有222A =种顺序，排好后，有3个空位， ③数学与物理不相邻，有3个空位可选，有236A =种情况，则不同排课法的种数是22624⨯⨯=种；故答案为：24.【题组四 分组分配】1．(2020·全国)将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法． 【答案】360【解析】先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有16C 种选法；再从余下的5本中选2本，有25C 种选法；最后余下3本全选，有33C 种选法．故共有12365360C C C ⋅⋅=种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有3360360A =种分配方法.故答案为: 360.2．(2020·全国)将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答) 【答案】1560【解析】把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有31163213320lC C C C A = (种)；②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有22116421222245C C C C A A ⋅= (种)． 所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有44651560A ⨯= (种)．故答案为：1560.3(2020·福建省泰宁第一中学高二月考)五一劳动节期间，5名游客到三个不同景点游览，每个景点至少有一人，至多两人，则不同的游览方法共有___________种.(用数字填写答案) 【答案】90【解析】把5人按人数2,2,1分成三组，然后再安排到三个景点浏览，总方法为2235332290C C A A ⨯=． 故答案为：90．4．(2020·全国)把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为________． 【答案】240．【解析】将这5张不同的电影票分成四组，每组至少一张，共有2111532133C C C C A 种分组办法，再分给4人的不同分法有211145321433240C C C C A A ⋅=种．故答案为：240． 5．(2020·全国)从6个人中选4个人值班，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种排法_________. 【答案】180【解析】112654C C C 180=.故答案为：180.6．(2020·重庆北碚区·西南大学附中高二期中)某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有______种. 【答案】150【解析】分2步分析：先将5名高三教师分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有3510C =种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有1225422215C C C A =种分组方法，则一共有101525+=种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个学校，有336A =种情况，则有256150⨯=种不同的安排方式； 故答案为：150．7．(2020·全国)2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.(用数字作答)． 【答案】900【解析】由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村.第一步：因为党员有5人，先分成3个组进行分派，分组情况有两种，第一种按人数是1，1，3分组有1135432210C C C A ⋅⋅=种不同情况，第二种按人数是2，2，1分组有2215312215C C C A ⋅⋅=种不同情况，再将分好的组分派到不同的扶贫村共有33(1015)150A +⨯=种不同分派方式；第二步：将3名医护人员分派到3个不同的扶贫村，共有336A =种不同情况. 所以所有的不同分派方案有1506900⨯=种. 故答案为：900. 【题组五 几何问题】1．(2021·全国)直线x m =，y x =将圆面224x y +≤分成若干块，现有5种颜色给这若干块涂色，且任意两块不同色，则所有可能的涂色种数是( ) A ．20 B ．60 C ．120 D ．240【答案】D【解析】当2m ≤-或2m ≥时，圆面224x y +≤被分成2块， 此时不同的涂色方法有5420⨯=种，当22m -<≤-或22m ≤<时，圆面224x y +≤被分成3块， 此时不同的涂色方法有54360⨯⨯=种，当22m -<<时，圆面224x y +≤被分成4块，此时不同的涂色方法有5432120⨯⨯⨯=种， 所有可能的涂色种数是240． 故选：D2．(2021·安徽省)224x y +≤表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为( ) A ．286 B ．281 C ．256 D ．176【答案】C【解析】由题意可得224x y +≤表示的平面区域内的整点共有13个，其中三点共线的情况有10种，五点共线的情况有2种，所以从13个点中可以构成三角形的个数为33313351022861020256C C C --=--=个．故选C ．3．(2020·全国高二单元测试)以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数为( ) A ．70 B ．64 C ．58 D ．52【答案】C【解析】正方体的8个顶点中任取4个共有C 84=70个，不能组成四面体的4个顶点有：已有的6个面，对角面:有6个，共12个，∴以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70−12=58个.故答案为C. 【题组六 方程不等式问题】1．(2021·太原市)不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为( ) A ．55 B ．60 C ．91 D ．540【答案】C【解析】不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位(不包含两端)中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.2．(2021·湖北)若方程12348x x x x +++=，其中22x =，则方程的正整数解的个数为 A ．10 B ．15C ．20D ．30【答案】A【解析】方程12348x x x x +++=，其中22x =，则1346x x x ++=将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列，利用挡板法将其分成3组， 第一组小球数目为1x 第二组小球数目为3x 第三组小球数目为4x共有2510C =种方法故方程的正整数解的个数为10 故选A【题组七 数字问题】1．已知集合{}A a b c d =，，，，从集合A 中任取2个元素组成集合B ，则集合B 中含有元素b 的概率为( ) A ．16B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】A 中任取2个元素组成集合B ，则B 的情况有{}{}{}{}{}{}123456,,,,,,,,,,,B a b B a c B a d B b c B b d B c d ======，共6个，其中符合情况的集合为145,,B B B 共3个，故集合B 中含有元素b 的概率为3162P ==故选：C 2．如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数(如1036)，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为( ) A ．12 B ．44 C ．58 D ．76【答案】B【解析】分类讨论：尾数为1：则前三位的数字可能为027,036,045,共1222312C A ⋅⋅=,还可能为234,有336A =种；尾数为3：则前三位的数字可能为016,025,共122228C A ⋅⋅=,还可能为124,有336A =种；尾数为5：则前三位的数字可能为014,023,045,共122228C A ⋅⋅=；尾数为7：则前三位的数字可能为012,共12224C A ⋅=.综上所述,共有126868444+++++=种.故选：B3．从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有______种(用数字作答).【答案】34【解析】从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，共有3735C =，乘积为奇数只有1,3,5一种情况故这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有34种.故答案为：34【点睛】本题考查了组合的应用，利用排除法可以快速得到答案，是解题的关键.4．已知{}1,2,3,4,5,,,M m M n M m n =∈∈≠，则方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是_______ .【答案】12 【解析】因为{}1,2,3,4,5,,,M m M n M m n =∈∈≠，所以(),m n 的可能情况有：2520P =种，又因为方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆，所以m n >，所以满足要求的有：2510C =种， 所以概率为：101202P ==.故答案为：12. 5．(2021·宁波市)有写好数字2，2，3，3，5，5，7，7的8张卡片，任取4张，则可以组成不同的四位数的个数为_________.【答案】204【解析】由题意得取出的4张卡片上的数字含有相同数字对的个数可能为0，1，2.当含有0对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为4424A =个；当含有1对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为221434144C C A =个；当含有2对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为224436C C =个.综上，可以组成不同的四位数的个数为2414436204++=个.故答案为：204.6．(2020·江西省信丰中学)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．【答案】1 6【解析】十个数中任取七个不同的数共有C种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C种情况，于是所求概率P＝＝．。

第5课时集合的综合应用1.能利用集合间的关系或集合的运算确定参数的取值(范围)问题.2.能利用集合来解决一些实际问题.3.掌握集合创新性问题的解法.前面我们学习了集合的概念、元素与集合的关系、集合的表示方法、集合间的关系、集合的运算等.对于集合的综合应用,主要有与集合运算有关的参数取值问题、集合的实际应用问题、集合的创新性问题等,这些都是各类考题考查的重点和热点,这一讲我们就来探讨这几类问题.问题1:集合中元素满足的特征有;集合的表示方法有;问题2:若有限集合A中有m(m∈N*)个元素,则集合A的子集个数为,真子集个数为,非空真子集的个数为.问题3:常见集合间的运算公式:(1)A∩B=A⇔.(2)A∪B=A⇔.(3)U(A∪B)= ,U(A∩B)= .问题4:含参数的集合间的运算的数学思想是、数形结合思想,要注意对集合的的检验,情形的讨论,常见含参型的空集讨论情形有:(1)若集合A={x|x2+4x+m=0}是空集,则m的取值范围是.(2)若集合A={x|1-m<x<m+3}是空集,则m的取值范围是.(3)若集合A={x|mx+2=0}是空集,则m的值是.(4)若集合A={x|+1=0}是空集,则m的值为.1.设A={a,b},B={x|x⊆A},则集合B中的元素个数为().A.1B.2C.3D.42.已知2a∈A,a2-a∈A,若A只含这2个元素,则下列说法中正确的是().A.a可取全体实数B.a可取除去0以外的所有实数C.a可取除去3以外的所有实数D.a可取除去0和3以外的所有实数3.设集合A,B都是U={1,2,3,4}的子集,已知(U A)∩(U B)={2},(U A)∩B={1},且A∩B=⌀,则A= .4.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠⌀,B⊆A,求a,b的值.与集合运算有关的参数问题集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}.(1)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围.(2)若A∪B={x|x<1},求实数a的取值范围.集合中的实际应用问题某校高一年级举行语、数、英三科联赛,高一(2)班共有32名同学参加三科联赛,有16人参加语文竞赛,有10人参加数学竞赛,有16人参加英语竞赛,同时参加语文和数学竞赛的有3人,同时参加语文和英语竞赛的有3人,没有人同时参加全部三科比赛,问:同时参加数学和英语竞赛的有多少人?只参加语文一科竞赛的有多少人?集合中的创新问题若x∈A,且∈A,则称集合A为“和谐集”.已知集合M={-2,-1,-,0,1,,,2,3},则集合M的子集中,“和谐集”的个数为().A.1B.2C.3D.4设集合A={x|2-a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},如果U=R,A⊆U B,试求实数a的取值集合.为完成一项实地测量任务,夏令营的同学们成立了一支测绘队,需要24人参加测量,20人参加计算,16人参加绘图,测绘队的成员中有许多同学是多面手,有8人既参加了测量又参加了计算,有6人既参加了测量又参加了绘图,有4人既参加了计算又参加了绘图,另有一些人3项工作都参加了,请问这个测绘队至少有多少人?若集合A具有以下性质:①0∈A,1∈A;②若x,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,∈A.则称集合A是“好集”.(1)分别判断集合B={-1,0,1},有理数集Q是否是“好集”,并说明理由;(2)设集合A是“好集”,求证:若x,y∈A,则x+y∈A.1.已知全集U=R,集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k∈N*}的关系的Venn图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有().A.2个B.3个C.1个D.无穷多个2.已知U为全集,集合M,N是U的子集,若M∩N=N,则().A.(U M)⊇(U N)B.M⊆NC.(U M)⊆(U N)D.M⊇(U N)3.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则A∩(N B)= .4.已知全集U=R,A={x|-4≤x≤2},B={x|-1<x≤3},P={x|x≤0或x≥}.(1)求A∩B;(2)求(U B)∪P;(3)求(A∩B)∩(U P).(2013年·广东卷)设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n}.令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,则下列选项正确的是().A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∉SB.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈SC.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∈SD.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S考题变式(我来改编):答案第5课时集合的综合应用知识体系梳理问题1:确定性、互异性、无序性列举法、描述法、图象法问题2:2m2m-12m-2问题3:(1)A⊆B (2)B⊆A (3)(U A)∩(U B)(U A)∪(U B)问题4:分类讨论思想互异性空集(1)m>4(2)m≤-1(3)0(4)1基础学习交流1.D因为集合B中的元素是集合A的子集,显然集合A有4个子集,故集合B中有4个元素.2.D由集合元素的互异性可知,2a≠a2-a,解得a≠0且a≠3,故选D.3.{3,4}根据题意画出Venn图,得A={3,4}.4.解:由B⊆A知,B中的所有元素都属于集合A,又B≠⌀,故集合B有三种情形:B={-1}或B={1}或B={-1,1}.当B={-1}时,B={x|x2+2x+1=0},故a=-1,b=1;当B={1}时,B={x|x2-2x+1=0},故a=b=1;当B={-1,1}时,B={x|x2-1=0},故a=0,b=-1.综上所述,a,b的值为或或重点难点探究探究一:【解析】(1)如图所示,A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∩B=⌀,∴数轴上点a在-1的左侧(含点-1),∴a≤-1.(2)如图所示,A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∪B={x|x<1},∴数轴上点a在-1和1之间(含点1,但不含点-1),∴-1<a≤1.【小结】(1)在解决与数集有关的交、并、补的运算问题时,数轴是一个不可缺少的“利器”,利用它可将相应的范围直观、形象地表示出来;(2)本题要注意求得的参数能否取端点值.探究二:【解析】设所有参加语文竞赛的同学组成的集合用A表示,所有参加数学竞赛的同学组成的集合用B表示,所有参加英语竞赛的同学组成的集合用C表示,设只参加语文竞赛的有x人,只参加数学竞赛的有y人,只参加英语竞赛的有z人,同时参加数学和英语竞赛的有m人.根据题意,可作出如图所示的Venn图:则有解得x=10,y=3,z=9,m=4.即同时参加数学和英语竞赛的有4人,只参加语文一科竞赛的有10人.【小结】与集合有关的应用问题,一般给出的数量关系比较多,很难直接找到它们存在的等量关系(或不等关系),这时我们应先将给定的问题转化为集合问题,再借助图形来处理,一般可利用Venn图来直观展示它们存在的一些数量关系,最后结合集合的有关运算来解决.探究三:【解析】当x=-2时,=∉M,故-2不是“和谐集”中的元素;当x=-1时,=∈M,当x=时,=2∈M,当x=2时,=-1∈M,所以-1,,2可以作为“和谐集”中的一组元素,当x=-时,=∈M,当x=时,=3∈M,当x=3时,=-∈M,所以-,,3可以作为“和谐集”中的一组元素;当x=0时,=1∈M,但x=1时,无意义,所以0,1不是“和谐集”中的元素.所以集合M的子集为“和谐集”,其元素只能从两组元素:-1,,2与-,,3中选取一组或两组,故“和谐集”有{-1,,2},{-,,3},{-1,,2,-,,3}三个.【答案】C【小结】本题主要考查对“和谐集”这个新定义的理解,体现了对“集合的含义、元素与集合之间的包含关系”等的考查.解题时需严格按照定义进行逻辑推理.该题中如果只验证当x=0时,=1∈M,而不考虑元素1是否满足条件就会产生增解.思维拓展应用应用一:∵B={x|x<-1或x>5},故U B={x|-1≤x≤5};又A⊆U B.故当A=⌀时,2-a>a+3,∴a<-;当A≠⌀时,∴-≤a≤2.综上,实数a的取值集合为{a|a≤2}.应用二:如图,不妨设参加计算的同学组成集合A,参加测量的组成集合B,参加绘图的组成集合C,设3项工作都参加的人数为x,则各个集合之间的关系得到清晰表达.测绘队总人数为(10-x)+(8-x)+(6-x)+4+6+8+x=42-2x,因为0≤x≤6,所以30≤42-2x≤42,即测绘队最少有30人,此时x=6.故这个测绘队至少有30人.应用三:(1)集合B不是“好集”.因为-1∈B,1∈B,但-1-1=-2∉B.有理数集Q是“好集”.因为0∈Q,1∈Q,对任意的x,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时,∈Q.所以有理数集Q是“好集”.(2)因为集合A是“好集”,所以0∈A.若x,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A.所以x-(-y)∈A,即x+y∈A.基础智能检测1.A M={x|-1≤x≤3},N={x|x=2k-1,k∈N*}={1,3,5,…},所以M∩N={1,3}.2.C利用Venn图,可将M、N、U的关系表示如下:由图可知(U M)⊆(U N).3.{1,5,7}∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},∴N B={1,2,4,5,7,8,10,11,13,…},∴A∩N B={1,5,7}.4.解:借助数轴,如图所示.(1)A∩B={x|-1<x≤2}.(2)∵U B={x|x≤-1或x>3},∴(U B)∪P={x|x≤0或x≥}.(3)U P={x|0<x<},(A∩B)∩(U P)={x|-1<x≤2}∩{x|0<x<}={x|0<x≤2}.全新视角拓展B取特殊值法,不妨令x=2,y=3,z=4,w=1,则(y,z,w)=(3,4,1)∈S,(x,y,w)=(2,3,1)∈S,故选B.思维导图构建互异性、无序性、确定性(U A)∩(U B)(U A)∪(U B)2m。

组合的综合应用1.学会运用组合的概念分析简单的实际问题.(重点)2.能解决无限制条件的组合问题.3.掌握解决组合问题的常见的方法.(难点)[基础·初探]教材整理 组合的实际应用阅读教材P 19～P 21，完成下列问题.1.组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素.不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关.2.应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断：判断实际问题是否是组合问题.(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题.(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算.(4)结论：根据计算结果写出方案个数.1.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有________种.【解析】 把三张票分给10个人中的3人，不同分法有C 310＝10×9×83×2×1＝120(种). 【答案】 1202.甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种.【解析】 甲选修2门，有C 24＝6(种)不同方案.乙选修3门，有C 34＝4(种)不同选修方案.丙选修3门，有C 34＝4(种)不同选修方案.由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6×4×4＝96(种).【答案】 96 3.从0,1, 2，π2， 3，2这六个数字中，任取两个数字作为直线y ＝x tan α＋b 的倾斜角和截距，可组成______条平行于x 轴的直线.【解析】 要使得直线与x 轴平行，则倾斜角为0，截距在0以外的五个数字均可.故有C 15＝5条满足条件.【答案】 54.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种. 【导学号：62980019】【解析】 每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C 27＋C 37＋C 47＋C 57＝112种分配方案.【答案】 112[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]无限制条件的组合问题在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必需参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.【精彩点拨】 本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题.【自主解答】 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C 49种选法.共有C 13C 49＝378种不同的选法.解答简单的组合问题的思考方法1.弄清要做的这件事是什么事.2.选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题.3.结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果.[再练一题]1.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？【解】 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45. (2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法；第2类，选出的2 名是女教师有C 24种方法，即C 26＋C 24＝21(种).有限制条件的组合问题高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动.(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？【精彩点拨】 可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼.使用两个计数原理解决.【自主解答】 (1)从余下的34名学生中选取2名，有C234＝561(种).∴不同的取法有561种.(2)从34名可选学生中选取3名，有C334种.或者C335－C234＝C334＝5 984种.∴不同的取法有5 984种.(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C120C215＝2 100种.∴不同的取法有2 100种.(4)选取2名女生有C120C215种，选取3名女生有C315种，共有选取方式N＝C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555种.∴不同的取法有2 555种.(5)选取3名的总数有C335，因此选取方式共有N＝C335－C315＝6 545－455＝6 090种.∴不同的取法有6 090种.常见的限制条件及解题方法1.特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据.2.含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解.3.分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解.[再练一题]2.“抗震救灾，众志成城”，在我国“四川5·12”抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？【解】(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90(种)抽调方法.(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法.法一(直接法)按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24·C46种选法；②选3名外科专家，共有C34·C36种选法；③选4名外科专家，共有C44·C26种选法.根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185(种)抽调方法.法二(间接法)不考虑是否有外科专家，共有C610种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C14·C56种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有：C610－C14·C56－C66＝185(种)抽调方法.(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答.①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名外科专家参加，有C24·C46种选法.所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115(种)抽调方法.组合在几何中的应用平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线.以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？【精彩点拨】解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数.【自主解答】法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准.第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C24C18＝48个不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C14C28＝112个不同的三角形；第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C38＝56个不同的三角形.由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个).法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C312＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C34＝4种.故这12个点能构成三角形的个数为C312－C34＝216个.1.解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理.2.图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用排除法.[再练一题]3.四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？【解】如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C35种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法.根据分类加法计数原理，不同的取法有3C35＋3＝33种.[探究共研型]排列、组合的综合应用探究 1 从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？【提示】共有C24＝4×32＝6(个)不同结果.完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘.探究2 从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？【提示】共有A24－2＝10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除.探究 3 完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？【提示】由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行.第一类：0在个位，则百位与十位共A24种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共C12C13C13＝18(种)不同的结果，由分类加法原理，完成“这件事”共有A24＋C12C13C13＝30(种)不同的结果.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.【精彩点拨】(1)按选中女生的人数多少分类选取.(2)采用先选后排的方法.(3)先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表.(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表.【自主解答】(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有C35C23＋C45C13种，后排有A55种，共(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400种.(2)除去该女生后，先选后排，有C47·A44＝840种.(3)先选后排，但先安排该男生，有C47·C14·A44＝3 360种.(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，其余3人全排有A33种，共C36·C13·A33＝360种.解决排列、组合综合问题要遵循两个原则1.按事情发生的过程进行分步.2.按元素的性质进行分类.解决时通常从以下三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.[再练一题]4.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )A.360B.520C.600D.720【解析】分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有C12C35A44＝2×10×24＝480种选法.第二类，甲、乙都参加时，则有C25(A44－A22A33)＝10×(24－12)＝120种选法.所以共有480＋120＝600种选法.【答案】 C[构建·体系]1.楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( )A.72种B.84种C.120种D.168种【解析】需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有C310＝120(种).故选C.【答案】 C2.编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( ) 【导学号：62980020】A.60种B.20种C.10种D.8种【解析】四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C35＝10.【答案】 C3.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答).【解析】有C13·C24·A22＝36种满足题意的分配方案.其中C13表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C24表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A22表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数.【答案】364.在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有________个.【解析】在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225个.【答案】2255.车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法.【解】法一：设A，B代表两名老师傅.A，B都不在内的选派方法有：C45·C44＝5(种)；A，B都在内且当钳工的选派方法有：C22·C25·C44＝10(种)；A，B都在内且当车工的选派方法有：C22·C45·C24＝30(种)；A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有：C22·A22·C35·C34＝80(种)；A，B有一人在内且当钳工的选派方法有：C12·C35·C44＝20(种)；A，B有一人在内且当车工的选派方法有：C12·C45·C34＝40(种).所以共有C45·C44＋C22·C25·C44＋C22·C45·C24＋C22·A22·C35·C34＋C12·C35·C44＋C12·C45·C34＝185(种)选派方法.法二：5名钳工有4名被选上的方法有：C45·C46＝75(种)；5名钳工有3名被选上的方法有：C35·C45·C12＝100(种)；5名钳工有2名被选上的方法有：C25·C22·C44＝10(种).所以一共有75＋100＋10＝185(种)选派方法.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·中山高二检测)圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为( )A.720B.360C.240D.120【解析】确定三角形的个数为C310＝120.【答案】 D2.某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告.要求最后必须播放奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A.120种B.48种C.36种D.18种【解析】最后必须播放奥运广告有C12种，2个奥运广告不能连续播放，倒数第2个广告有C13种，故共有C12C13A33＝36种不同的播放方式.【答案】 C3.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A.60种B.63种C.65种D.66种【解析】均为奇数时，有C45＝5种；均为偶数时，有C44＝1种；两奇两偶时，有C24·C25＝60种，共有66种.【答案】 D4.(2016.青岛高二检测)将标号为1,2，...，10的10个球放入标号为1,2， (10)10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为( )A.120B.240C.360D.720【解析】先选出3个球有C310＝120种方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种.这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2＝240种方法.【答案】 B5.从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为( )A.C25C26B.C25A26C.C25A22C26A22D.A25A26【解析】分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C25种方法；第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A26种.故有C25A26种.【答案】 B二、填空题6.某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是________. 【导学号：62980021】【解析】按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有C410C25＝2 100种抽法.【答案】 2 1007.某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有________种不同的选法.【解析】若只有1名队长入选，则选法种数为C12·C510；若两名队长均入选，则选法种数为C410，故不同选法有C12·C510＋C410＝714(种).【答案】7148.现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种.【解析】6位游客选2人去A风景区，有C26种，余下4位游客选2人去B风景区，有C24种，余下2人去C，D风景区，有A22种，所以分配方案共有C26C24A22＝180(种).【答案】180三、解答题9.α，β是两个平行平面，在α内取四个点，在β内取五个点.(1)这些点最多能确定几条直线，几个平面？(2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？【解】(1)在9个点中，除了α内的四点共面和β内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所确定直线才能达到最多，此时，最多能确定直线C29＝36条.在此条件下，只有两直线平行时，所确定的平面才最多.又因为三个不共线的点确定一个平面，故最多可确定C24C15＋C14C25＋2＝72个平面.(2)同理，在9个点中，除了α内的四点共面和β内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所作三棱锥才能达到最多.此时最多能作C34C15＋C24C25＋C14C35＝120个三棱锥.10.按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球.【解】(1)每个小球都有4种方法，根据分步乘法计数原理，共有46＝4 096种不同放法.(2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放入盒中，共有C36·C14·A33＋C26·C24·A24＝1 560(种)不同放法.(3)法一按3,1,1,1放入有C14种方法，按2,2,1,1，放入有C24种方法，共有C14＋C24＝10(种)不同放法.法二(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四位，共有C35＝10(种)不同放法.[能力提升]1.(2015·四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个【解析】分两类进行分析：第一类是万位数字为4，个位数字分别为0,2；第二类是万位数字为5，个位数字分别为0,2,4.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A34个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有C13A34个偶数.故符合条件的偶数共有2A34＋C13A34＝120(个).【答案】 B2.如图1­2­1，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有________种.图1­2­1【解析】四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥AC，BC，BD符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥AC，CD，DA，不符合要求，故共有C36－4＝16种不同的建桥方案.【答案】163.(2016·孝感高级中学期中)正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种. 【导学号：62980022】【解析】若用三种颜色，有C15A34种染法，若用四种颜色，有5·A44种染法，则不同的染色方法有C15A34＋5·A44＝240(种).【答案】2404.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止.(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？【解】(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24种测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法.所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680种.(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C16·C34·A44＝576种.。

2021-2022年（新课程）高中数学《1.1.3-2 补集及集合的综合应用》课外演练新人教A版必修1一、选择题1．(xx·山东高考)已知全集U＝R，集合M＝{x||x－1|≤2}，则∁U M＝( ) A．{x|－1<x<3} B．{x|－1≤x≤3}C．{x|x<－1或x>3} D．{x|x≤－1或x≥3}解析：由|x－1|≤2得－1≤x≤3，∴M＝{x|－1≤x≤3}，∴∁U M＝{x|x<－1或x>3}．答案：C2．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合M＝{0,3,5}，N＝{1,4,5}，则集合M∩(∁N)等于U( ) A．{5} B．{0,3}C．{0,2,5} D．{0,1,3,4,5}解析：∵U＝{0,1,2,3,4,5}，∴∁U N＝{0,2,3}，∴M∩(∁U N)＝{0,3}．故选B.答案：B3．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁(A∪B)中元素的个数是U( ) A．1个B．2个C．3个D．4个解析：∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∵∁U(A∪B)＝{3,5}中有2个元素．故选B.答案：B4．设U＝Z，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( ) A．{1,3,5}B．{1,2,3,4,5}C．{7,9}D．{2,4}解析：由Venn图可知阴影部分表示的集合为B∩(∁U A)＝{2,4}．答案：D5．已知U＝{x|－1≤x≤3}，A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x2－2x－3＝0}，C＝{x|－1≤x<3}，则下列关系正确的是( ) A．∁U A＝B B．∁U B＝CC．∁U A⊇C D．A⊇C解析：∵B＝{－1,3}，∁U A＝{－1,3}，∴∁U A＝B.故选A.答案：A6．设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是( ) A．(∁I A)∪B＝I B．(∁I A)∪(∁I B)＝IC．A∩(∁I B)＝ØD．(∁I A)∩(∁I B)＝∁I B解析：如下图是符合题意的Venn图，从图中可观察A、C、D均正确，只有B不成立．故选B.答案：B二、填空题7．如下图有全集I及集合A、B、C，则阴影部分可用集合的运算表示为____________．解析：阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(∁I A)∩(∁IC)．答案：B∩(∁I A)∩(∁I C)8．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，若B∪(∁U B)＝A，则∁U B＝________.解析：∵B∪(∁U B)＝A，∴A＝U.(1)当x2＝3时，x＝±3，B＝{1,3}，∁U B＝{3}或{－3}；(2)当x2＝x时，x＝0或1.当x＝0时，B＝{0,1}，∁U B＝{3}；而当x＝1不合题意，舍去．答案：{－3}或{3}或{3}9．全集U＝R，A＝{x|x<－3或x≥2}，B＝{x|－1<x<5}，则集合C＝{x|－1<x<2}＝________(用A、B或其补集表示)．解析：如下图所示，由图可知C⊆∁U A，且C⊆B，∴C＝B∩(∁U A)．答案：B∩(∁U A)三、解答题10．设集合A＝{x|－5≤x≤3}，B＝{x|x<－2或x>4}，求A∩B，(∁R A)∪(∁RB)．解：A∩B＝{x|－5≤x≤3}∩{x|x<－2或x>4}＝{x|－5≤x<－2}，∁RA＝{x|x<－5或x>3}，∁RB＝{x|－2≤x≤4}．∴(∁R A)∪(∁RB)＝{x|x<－5或x>3}∪{x|－2≤x≤4}＝{x|x<－5或x≥－2}．11．设全集U＝R，A＝{x|3m－1<x<2m}，B＝{x|－1<x<3}，B(∁U A)，求m 的取值范围．解：(1)若A＝Ø，3m－1≥2m即m≥1时，符合题意．(2)若A≠Ø，则m<1时，∁U A＝{x|x≥2m，或x≤3m－1}．要使B(∁U A)，需有①－1≥2m⇒m≤－12，或②3m－1≥3⇒m≥43与m<1矛盾，(舍去)．综上可知：所求m的取值范围是m≥1或m≤－1 2 .创新题型12．我们知道，如果集合A⊆U，那么U的子集A的补集为∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，类似地，对于集合A、B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做A与B 的差集，记作A－B，例如A＝{1,2,3,5,8}，B＝{4,5,6,7,8}，则A－B＝{1,2,3}，B－A＝{4,6,7}．据此，回答以下问题：(1)补集与差集有什么异同点？(2)若U是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班全体女同学组成的集合，求U－A及∁U A.(3)在下列各图中，用阴影表示集合A—B.(4)如果A－B＝Ø，那么A与B之间具有怎样的关系？解：(1)补集∁U A的前提条件是A⊆U，而差集则无此要求，这是两种运算的不同之处；相同点都是x属于一个集合，但又不属于另一个集合．(2)U－A＝{x|x是高一(1)班的全体男生}；∁U A＝{x|x是高一(1)班的全体男生}．(3)答案如下图各图．(4)若A－B＝Ø，则A⊆B.26920 6928 椨(yctO23348 5B34 嬴<35150 894E 襎26836 68D4 棔21562 543A 吺U20138 4EAA 亪。

智贤中学高考数学模拟测试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合{1,0,2}A =-，{}0,1,2,3B =，则AB =______. 【答案】{1,0,1,2,3}-【解析】【分析】根据并集的定义求解．【详解】由题意1,0,1{,2,}3A B =-．故答案为：{1,0,1,2,3}-．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题．2.复数1z 2i i+=-（i 为虚数单位）的实部为______. 【答案】15【解析】【分析】由复数除法法则计算出z ，再由复数的定义得结论． 【详解】由已知1z 2i i +=-2(1)(2)2213(2)(2)555i i i i i i i i +++++===+-+，其实部为15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念，属于基础题．3.某新媒体就我国提前进入“5G 移动通信技术”商用元年的欢迎程度进行调查，参加调查的总人数为1000其中持各种态度的人数如下表：该媒体为进一步了解被调查者的具体想法，打算从中抽取50人进行更为详细的调查，则应抽取持“很欢迎”态度的人数为______.【答案】36【解析】【分析】三种态度层次分明，采取分层抽样可得结论． 【详解】应用采取分层抽样，抽取持“很欢迎”态度的人数为72050361000⨯=． 故答案为：36．【点睛】本题考查分层抽样，掌握分层抽样概念是解题基础．4.执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为______.【答案】8【解析】【分析】模拟程序运行，观察变量值的变化，即可得结论．【详解】程序运行，循环中变量值变化如下：2,2S i ==，满足循环条件；4,3S i ==，满足循环条件；6,4S i ==，满足循环条件；8,5S i ==，不满足循环条件，退出循环，输出8S =．故答案为：8．【点睛】本题考查伪代码，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，确定变量值．5.从3，4，12这3个数中随机取出2个数（逐个、不放回），分别记为a ，b ，则“a b 是整数”的概率为______. 【答案】13【解析】【分析】用列举法写出取出2个数的所有基本事件(,)a b ，确定数目后可得概率．【详解】从3，4，12这3个数中随机取出2个数（逐个、不放回）的所有基本事件有：(3,4),(3,12),(4,3),(4,12),(12,3),(12,4)共6个，其中只有(12,3),(12,4)这2个能使a b 是整数，∴所求概率为2163P ==． 故答案为：13． 【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有基本事件，计数后可计算概率．6.已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为72，则三棱锥11A BC D -的体积为______.【答案】24【解析】【分析】设长方体1111ABCD A B C D -从同一顶点A 出发的三条棱AB ，AD ，1AA 的长分别为a ，b ，c ，根据棱锥体积公式得出长方体在三棱锥11A BC D -外的四个三棱锥的体积与长方体体积的关系，从而得出三棱锥11A BC D -的体积．【详解】设长方体1111ABCD A B C D -从同一顶点A 出发的三条棱AB ，AD ，1AA 的长分别为a ，b ，c ， 则1111326A ABD V ab a c c b -=⨯⨯=. 同理可得111111116B A BC C BCD D A C D V V V abc ---===， 所以()11111111111111A BC D ABCD A B C D A ABD B A BC C BC D D A C D V V V V V V ------=-+++ 11722433abc ==⨯=. 故答案为：24．【点睛】本题考查棱锥的体积，掌握几何体的求体积的切割法．7.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 的渐近线方程为y x =±，且它的一个焦点为F ，则双曲线C 的一条准线与两条渐近线所成的三角形的面积为______. 【答案】12【解析】【分析】 设双曲线方程为22221x y a b-=，由渐近线方程得a b =，再由焦点坐标可求得,,a b c ，从而得准线方程，求得准线与渐近线的交点坐标后可得三角形面积． 【详解】设双曲线方程为22221x y a b-=，因为双曲线C 的渐近线方程为y x =±，∴a b =，又它的一个焦点为F，c =1a b ==， 所以双曲线C 的方程为221x y -=，所以双曲线C的一条准线方程为x =，它与两条渐近线的交点坐标为，从而所围成的三角形的面积为1122=. 故答案为：12． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，掌握渐近线、准线的方程是解题关键．8.在平面直角坐标系xOy 中，过点()1,P t 作斜率为1e （e 为自然对数的底数）的直线，与曲线ln y x =相切于点T ，则实数t 的值为______. 【答案】1e【解析】【分析】求出导数，由导数几何意义求得切点的横坐标，从而得切点坐标，再由直线斜率公式求得t ．【详解】因为ln y x =，所以1y x'=. 设点()00,ln T x x ，则011e x =.又因为0011ln x t e x -=-，解得0x e =，1t e=. 故答案为：1e． 【点睛】本题考查导数的几何意义，在不知切点时，一般要设出切点坐标00(,())x f x ，然后由导数几何意义得切线斜率，切线方程，结合其它条件可求得切点坐标．9.设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >其前n 项和为n S ，若24352a a a +=，29m m S S =，则正整数m 的值为______.【答案】3【解析】【分析】 利用等比数列的通项公式由条件24352a a a +=-可求得q ，然后由等比数列前n 项和公式可求得m ． 【详解】在等比数列{}n a 中，因为24352a a a +=， 所以251(1)2q q q +=>，解得2q .因为29m m S S =，所以2*11(12)(12)9()1212m m a a m ----∈=⨯N ， 解得3m =.故答案为：3．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查基本量运算，属于基础题．10.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递减，则满足不等式23(1)4f a a f ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭的实数a 的取值集合为______. 【答案】12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】利用偶函数把不等式化为23(1)()4f a a f -+≥，然后再由单调性去掉函数符号“f ”，从而可求解． 【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -=.又因为210a a -+>，()f x 在[0,)+∞上单调递减， 所以不等式23(1)()4f f a a -+≥-化为 23(1)()4f a a f -+≥ 即2314a a -+≤，从而21()02a -≤，所以12a =. 故答案为：1{}2．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握单调性的定义是解题关键．11.在AOB 中，已知1OA =，OB =2AOB π∠=.若点C ，D 满足971616OC OA OB =-+，()12CD CO CB =⋅+，则CD CO ⋅的值为_______________. 【答案】1564 【解析】【分析】以,OA OB 为基底向量表示CD CO ，，再由数量积的运算律、定义计算即可． 【详解】∵1()2CD CO CB =+，∴D 为OB 的中点，从而12OD OB =， ∴97191161621616CD CO OD OA OB OB OA OB =+=-+=+∵1OA =，OB =2AOB π∠=，∴0OA OB ⋅= ∴9197()()16161616CD CO OA OB OA OB ⋅=+⋅- 221(817)256OA OB =-1(8173)256=-⨯1564=. 故答案为：1564．【点睛】本题考查平面向量的数量积，需要根据题意确定基底向量，再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量积，进而根据数量积公式求解．属于中档题.12.在ABC 中角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c ，且352115cos cos cos bc A ac B ab C ==，则cos C 的值为______.【答案】4 【解析】【分析】 设比值为cos cos c 3521151os A B bc ac ab kC ===，这样可表示出cos ,cos ,cos bc A ac B ab C ，从而用余弦定理后可求得222,,a b c ，再由余弦定理可求得cos C ． 【详解】设cos cos c 3521151os A B bc ac ab kC ===， 所以cos 35cos 21cos 15bc A k ac B k ab C k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即222222222704230a b c k b c a k c a b k ⎧--=-⎪--=-⎨⎪--=-⎩，所以222365056a k b k c k ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，不妨取1k =，则222365056a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以2222c 4s o a b c ab C +-===.故答案为：4． 【点睛】本题考查余弦定理，解题关键是对连比问题引入参数，即设cos cos c 3521151os A B bc ac ab k C ===，然后用参数k 表示出,,a b c ．13.已知函数1,0()1,0x x x f x x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，若函数()|()|g x f x x m =+-恰好有2个不同的零点，则实数m 的取值范围是______.【答案】{(1,0)-⋃【解析】【分析】 函数()|()|g x f x x m =+-的零点个数转化为方程()0g x =的解的个数，再转化为方程()m f x x =+解的个数，从而转化为函数()y f x x =+的图象与直线y m =的交点个数，作出函数图象后可得结论．【详解】令函数()()0g x f x x m =+-=， 得12,01()2,101,1x x x m f x x x x x x x ⎧+>⎪⎪⎪=+=--≤<⎨⎪⎪<-⎪⎩， 结合函数()y f x x =+的图象知当{(1,0)m ∈-⋃时，函数()y f x x =+的图象与直线y m =恰好有2个不同的交点，所以{(1,0)m ∈-⋃.故答案为：{(1,0)-⋃．【点睛】本题考查函数零点个数问题，考查转化与化归思想，解题关键是把函数零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象与直线交点个数，作出函数图象即可得结论．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，直线():300l x ay a +-=>，过直线l 上一点P 作圆O 的两条切线，切点分別为S 、T ，且23PS PT ⋅=，则实数a 的最小值是______.【解析】【分析】引入参数(0),12OP d SPO πθθ=<<=>∠，1sin d θ=，把PS PT ⋅用定义表示为d 的式子，由23PS PT ⋅=可求得d ，从而知P 必在圆223x y +=上，那么由直线l 与此圆有公共点可得a 的最小值． 【详解】设(0),12OP d SPO πθθ=<<=>∠， 则()()222||cos2112sin PS PT PS d θθ⋅=⋅=-- ()22222221133d d d d ⎛⎫=--=+-= ⎪⎝⎭解得23d =或223d =（舍去） 因1d >，所以d =P 在圆223x y +=上.又因为点P 在直线:30l x ay +-=上，所以圆心O 到直线l ≤解得a ≥a .． 【点睛】本题考查直线与圆和位置关系，考查平面向量的数量积，解题关键是由条件23PS PT ⋅=得出P 在一个圆，问题转化为直线与此圆有公共点． .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为菱形、E 为棱1A A 的中点，且O 为11A C 与11B D 的交点．（1）求证：//OE 平面1ABC ；（2）求证：平面11AA C ⊥平面11B D E ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】【分析】（1）根据中位线性质证明1//OE AC 即可得证；（2）在直四棱柱中，四边形ABCD 为菱形，可证明11B D ⊥平面11AA C 即可得到结论.【详解】证明（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，因四边形ABCD 为菱形，所以四边形1111A B C D 为菱形．因为O 为11A C 与11B D 的交点，所以O 为11A C 的中点．又因为E 为棱1A A 的中点，所以1//OE AC ．又因为OE ⊄平面1ABC ，1AC ⊂平面1ABC ，所以//OE 平面1ABC ．（2）因为1AA ⊥平面1111A B C D ，11B D ⊂平面1111A B C D ，所以111AA B D ⊥．因为四边形1111A B C D 为菱形，所以1111A C B D ⊥．又因为1111AA AC A ⋂=，1AA ，11A C ⊂平面11AA C ，所以11B D ⊥平面11AA C ，又因为11B D ⊂平面11B D E ，所以平面11AA C ⊥平面11B D E ．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直、面面垂直的判定，属于中档题.16.已知函数()sin()(0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<的图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足()2f α=，37,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．求sin α的值．【答案】（1）1()3sin()28f x x π=+；（2）． 【解析】【分析】 （1）根据图象可得振幅、周期，由周期求出ω，图像过点3,34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入解析式求出ϕ即可；（2）由题意得12sin 283a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据角的变换及同角三角函数的基本关系，化简求值即可. 【详解】（1）由图象知3A =，最小正周期72444T πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， 即24ππω=，所以12ω=， 故()13sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 因为()f x 的图象经过点3,34π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以33sin 38πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3sin 18πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以()3282k k Z ππϕπ+=+∈， 解得()28k k Z πϕπ=+∈．又因为02ϕπ≤<，所以8πϕ=， 所以()13sin 28f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）由()2f a =得13sin 228πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即12sin 283a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 因为37,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1228a πππ<+<，故1cos 28πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 所以2111cos cos 212sin 428289a a πππα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 1sin sin 2428a ππα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦112sin cos 28289a a ππ⎛⎫⎛⎫=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因此，sin sin 44a ππα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ sin cos cos sin 4444a ππππα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 【点睛】本题主要考查正弦函数图象与性质，由“五点法”求函数解析式，三角恒等变换，角的变换，属于中档题.17.图1是某高架桥箱梁的横截面，它由上部路面和下部支撑箱两部分组成．如图2，路面宽度10m AB =，下部支撑箱CDEF 为等腰梯形（CD EF >），且AC BD =．为了保证承重能力与稳定性，需下部支撑箱的面积为28m ，高度为2m 且2m 3m EF ≤≤，若路面AB ．侧边CF 和DE ，底部EF 的造价分别为4a 千元/m ，5a 千元/m ，6a 千元/m （a 为正常数），DCF θ∠=．（1）试用θ表示箱梁的总造价y （千元）；（2）试确定cos θ的值，使总造价最低?并求最低总造价．【答案】（1）534(16)sin tan y a θθ=-+，0,4πθα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中0tan 2α=；（2）当cos θ的值为35时，总造价最低，为80a 千元．【解析】【分析】（1）过点F 作FH CD ⊥于点H ，由三角函数及支撑面面积可得,,GH GF EF ，写出总造价与θ的关系，并分析函数定义域；（2）利用导数求函数的最小值，即可得到结论.【详解】（1）过点F 作FH CD ⊥于点H ，则2m FH=， 所以在Rt CHF 中，2m tan CH θ=，2m sin CF θ=． 设EF xm =， 则由题意得142282tan x θ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，解得24tan x θ=-， 所以24m tan EF θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故路面AB 的造价为10440a a ⨯=千元，侧边CF 和DE 的造价为22025sin sin a a θθ⨯⨯==千元． 底部EF 的造价为246tan a θ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭， 所以53416sin tan y a θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 又因为224m 3m tan m EF θ⎛⎫≤=-≤ ⎪⎝⎭， 则1tan 2θ≤≤，设锐角0a 满足0tan 2α=，则0,4πθα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 因此，53416sin tan y a θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,4πθα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中0tan 2α=． （2）由（1）知5353cos 416416sin tan sin y a a θθθθ-⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()053cos ,,sin 4f θπθθαθ-⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，其中0tan 2α=， 则()235cos sin f θθθ-'=． 令()0f θ'=，则03cos 5θ=． 因为[]04tan 1,23θ=∈． 所以004πθα<<，列表如下：所以当03cos 5θ=时，04sin 5θ==，有min 80y a =． 答：当cos θ的值为35时，总造价最低，为80a 千元． 【点睛】本题主要考查了三角函数在实际问题中的应用，利用导数求函数的最值，属于中档题.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()0,1A 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的上顶点，P 为椭圆E上异于上、下顶点的一个动点．当点P 的横坐标为 3时，OP =．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设M 为x 轴的正半轴上的一个动点．①若点P 在第一象限内，且以AP 为直径的圆恰好与x 轴相切于点M ，求AP 的长．②若MA MP =，是否存在点N ，满足4PN PM →→=⋅，且AN 的中点恰好在椭圆E 上？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2；②存在点13N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭满足题意． 【解析】【分析】（1）根据题意可知1b =，可求出P 点坐标，代入方程求出a 即可;（2）①设()(),00M m m >,则可表示出圆心坐标可设为(),m n ，()2,21P m n -，根据圆性质MP MA ⊥及点P 在椭圆上列出方程组求解即可；②设()()0000,0,1P x y x y ≠≠±，()(),0(0),,M m m N x y >，根据4PN PM =⋅， AN 的中点恰好在椭圆E 上，且MA MP =得到N 点坐标，即可求解.【详解】（1）因为()0,1A 是椭圆E 的上顶点，所以1b =．当点P时，OP =设0P y ⎫⎪⎪⎝⎭，则20220413423y a y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得202234y a ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=． （2）①设()(),00M m m >，则以AP 为直径的圆的圆心坐标可设为(),m n ．又因为()0,1A ，所以()2,21P m n -．因为MP MA ⊥，所以0MP MA ⋅=，得()2210m n -+-=． 因为点P 在椭圆E 上，所以()22211m n +-=， 与()2210m n -+-=联立解得2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（负值舍去），所以122AP n ===． ②设()()0000,0,1P x y x y ≠≠±，()(),0(0),,M m m N x y >．的因为4PN PM =，所以()()0000,4,x x y y m x y --=--，解得()0043,3N m x y --，所以AN 的中点坐标为004313,22m x y --⎛⎫ ⎪⎝⎭因为AN 的中点在椭圆E 上，所以()()2200431344m x y -+-=．（*） 因为MA MP =，所以()222001m x m y +=-+．因为点P 在椭圆E 上， 所以220014x y +=，（**） 与()222001m x m y +=-+联立消去0y 得200380x mx -=． 又因为00x ≠，所以083m x =， 代入（*）式和（**）式得()22022041341619m y m y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩消去m 得()()009110y y +-=．又因为01y ≠±．所以019y =-， 代入（**）式和083m x =，解得03x m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（负值舍去），故133N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．综上，存在点13N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，满足4PN PM = 且AN 的中点恰好在椭圆E 上．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，存在性问题，属于中档题.19.已知函数()xf x e ax =-，其中e 为自然对数的底数． （1）若函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =+，求实数a 的值；（2）若函数()f x 有2个不同的零点1x ，2x ．①求实数a 的取值范围；②求证：1222ln x x a <+<．【答案】（1）0；（2）①(,)e +∞；②详见解析．【解析】【分析】（1）根据切线方程可知(0)1f '=，即可求解；（2）①求函数导数，分类讨论，显然0a ≤时，()'0f x >恒成立，不符合题意，0a >时，由导数可求函数最小值，函数有零点则最小值需小于0，得a e >，易知()f x 在()0,ln a 上有1个零点，利用导数证明函数在()ln ,a a 上有1个零点即可求a 的取值范围；②利用导数构造函数先证明当10x >，20x >，12x x ≠121212ln ln 2x x x x x x -+<<-，结合①可得()122212e x x a x x a +=<，取对数即可得出结论.【详解】（1）因为()'f x ex a =-，所以切线的斜率为()011f a ='-=，解得0a =，所以实数a 的值为0．（2）①由题意知函数()f x 的定义域为(),-∞+∞且()xf x e a '=-．当0a ≤时，()'0f x >恒成立，所以()f x 在(),-∞+∞上为增函数，故()f x 至多有1个零点，不合题意．当0a >时，令()0f x '=，则ln x a =．若()ln ,x a ∈+∞，则()'0f x >，所以()f x 在()ln ,a +∞上为增函数;若(),ln x a ∈-∞，则()0f x '≤，所以()f x 在(),ln a -∞上为减函数．故()f x 的最小值为()ln ln f a a a a =-．依题意知ln 0a a a -<，解得a e >．一方面，()010f =>，所以()f x 在()0,ln a 上有1个零点． 另一方面，先证明ln x x ≤．令()ln m x x x =-，则()1x m x x'-= 当()0,1x ∈时，()0m x '>，故()m x 在()0,1上为增函数;当()1,x ∈+∞时，()0m x '<．故()m x 在()1,+∞上为减函数． 所以()m x 的最大值为()11m =-，故ln 0x x -<．因为a e >，所以ln a a >．而()221a a f a e a e e αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． 令()21a a h a e =-，a e >，则()22a a a h a e-'= 当(),x e ∈+∞时，()'0h a >．故()h a 在(),e +∞上为增函数，所以()()210e e h a h e e>=-> 故()2210a a a f a e a e e α⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭因此()f x 在()ln ,a a 上有1个零点，综上，实数a 的取值范围是(),e +∞．②先证明当10x >，20x >，12x x ≠时，121212ln ln 2x x x x x x -+<<-．（*） 不妨设120x x >>，（*）式等价()1212122ln ln x x x x x x -<-<+等价于12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<<+在12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+中，令121x t x =>，即证()21ln 01t t t -->+． 令()()21ln 1t F t t t -=-+则()()()()222114011t F t t t t t -=-=+'>+，所以()F t 在()1,+∞上为增函数，故()()10F t F >=， 所以()21ln 01t t t -->+成立， 所以12111221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+成立．在12ln x x <1t =>，即证12ln 0t t t-+<． 令()12ln G t t t t =-+，则()()22212110t G t t t t --=--=<'，所以()G t 在()1,+∞上为减函数，故()()10G t G <=， 所以12ln 0t t t -+<成立，所以12ln x x < 综上，（*）式成立．由①得()f x 有2个零点()10,ln x a ∈，()2ln ,x a a ∈，则1212e 0e 0x x ax ax ⎧-=⎨-=⎩，所以1212e e x x a x a x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 两边取“ln ”得1122x lnx lna x lnx lna-=⎧⎨-=⎩， 所以12121ln ln x x x x -=-．121212ln ln 2x x x x x x -+<<-1212x x +<<， 所以122x x +>且121x x ≤．又因为1212e 0e 0x x ax ax ⎧-=⎨-=⎩所以()122212e x x a x x a +=<，故112ln x x a +≤．因此1222ln x x a ≤+<．【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值、零点，证明不等式，涉及分类讨论思想，转化思想，属于难题.20.已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项的积为n T ，记11b T =，2)n b n =≥.（1）若数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 为等差数列，求数列{}n a 的公比.（2）若11a =，22a =，且()11(1),3n n n n na n a a a n ----=≥①求数列{}n b 的通项公式.②记ln n n c b =，那么数列{}n c 中是否存在两项,s t c c ，（s ，t 均为正偶数，且s t <），使得数列s c ，8c ，t c ，成等差数列？若存在，求s ，t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）数列{}n a 的公比为1（2）①n b =s ，t 的值为216s t =⎧⎨=⎩和416s t =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】（1）由2132b b b =+得123,,a a a 的等式，再由2132a a a =可求得12,a a 的关系，得出结论； （2）①已知条件可变形为111n n n n a a ---=（3n ≥），从而可求出1(2)n n n n a =-≥，从而可得n a ，注意1a ，求积可得n b ； ②由①知ln ln n n c n n b ==.利用导数研究函数ln ()x f x x=的单调性得数列{}n c 的单调性：1234n c c c c c <<>>>，假设存在s ，t 满足题意，若8s ≥，由单调性出现矛盾，这样8s <，2,4,6s =，分别求t ．即可得结论．【详解】（1）因为数列{}n b 为等差数列，所以2132b b b =+.又因为111b T a ==，2b =3b =所以1a =（*）因为数列{}n a 为等比数列，所以2132a a a =，代入（*）得12a a =+，即20=，所以12a a =，故数列{}n a 的公比为1.（2）①当3n ≥时，由11(1)n n n n na n a a a ----= 得111n n n n a a ---=，从而2221n n n n a a =+-=- 又因为11a =，22a =， 所以1,1,21n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩ 故11b =，2)1n bn n ==⨯⨯=≥-，所以n b =综上，数列{}n b 的通项公式为n b =.②由①知ln ln n n c n n b ==. 记()(1)ln x f x x x=≥，则21ln ()x f x x -'=， 从而函数()f x 在[)1,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减.又因为ln 2ln 323<， 所以1234n c c c c c <<>>>. 假设存在s ，t 满足题意，若8s ≥，则8s c c ≤，8t c c <，所以82s t c c c +<，不合题意，所以s 只能为2，4，6，且8t >.（i ）当2s =时，由282t c c c +=，得ln ln 2ln8228t t +=⋅， 故ln 2ln164l 16n t t ==. 由数列{}n c 的单调性可知存在唯一的16t =满足题意.（ii ）当4s =时，由482t c c c +=，得ln ln 4ln8248t t +=⋅，故ln 2ln164l 16n t t ==. 同（i ）知16t =.（ⅲ）当6s =时，由682t c c c +=，得ln ln 6ln8268t t +=⋅ 故ln8ln64ln 6t t =-. 又因为32ln8ln 6181128ln12ln ln 4612612912-==>， 由数列{}n c 的单调性知812t <<，故10t =， 但ln8ln64ln 6t t =-不成立，所以与题意不符. 综上，满足条件的s ，t 的值为216s t =⎧⎨=⎩和416s t =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查数列的综合问题，掌握等差数列和等比数列的性质与通项公式是解题基础，本题还考查学生分析问题解决问题的能力，考查转化与化归能力，解题中考查用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想．对学生能力要求较高，属于难题．。

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第5课时集合的综合应用基础达标(水平一)1。

已知集合A=｛x|x<2｝,B={x|1〈x<5｝,且A∩（R B)=().A.{x|1≤x〈2｝B。

｛x|2≤x<5}C.｛x｜x≤1｝D。

{x｜x≥5｝【解析】由B=｛x|1〈x〈5}，知R B=｛x|x≥5或x≤1}，B)=｛x｜x≤1｝。

∴A∩(R【答案】C2。

设集合A={x|x2-x=0}，B=｛x｜x2+x=0}，则集合A∪B=（）.A.｛0,1｝B.｛—1,0}C。

{-1，0,1｝D。

{—1，1}【解析】∵A=｛0，1}，B={—1，0｝,∴A∪B=｛0,1，—1}。

【答案】C3。

已知集合A={x｜-2≤x≤7}，B=｛x|m+1<x〈2m—1｝，若A∪B=A，则(）。

A。

{m|m≤4}B。

{m｜—2〈m≤4｝C.｛m|—3≤m≤4｝D。

{m｜-3〈m<4｝【解析】当B=⌀时,有m+1≥2m+1⇒m≤2;当B≠⌀时，有⇒⇒2〈m≤4。

综上所述,m≤4。

【答案】A4。

已知集合A={1,2，3｝,B={y|y=2x-1,x∈A｝,则A∩B=()。

A。

{1,3｝B.｛1} C。

｛2，3｝D。

{1，2，3｝【解析】∵x∈A,把x的值1,2，3分别代入y=2x-1得y的值为1，3,5，∴B={1，3,5}。

第九讲：集合的综合运用（高考）【学习目标】1．集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn 图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解．2．掌握集合的概念与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养．【基础知识】【考点剖析】考点一：集合的含义与表示1．【2020年高考全国Ⅲ卷文数1】已知集合，，则A∩B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由题意，{5,7,11}A B =，故A B 中元素的个数为3，故选B2．【2020年高考全国Ⅲ卷理数1】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，，则A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题意，AB 中的元素满足，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有，故A B 中元素的个数为4．故选C ．3．【2017新课标3，理1】已知集合A=，B=，则A B 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】由题意可得，圆221x y +=与直线y x =相交于两点，，则AB 中有两个元素，4．【2018新课标2，理1】已知集合22{(,)|3,,}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】∵x 2+y 2≤3，∴x 2≤3，∵x ∈Z ，∴x =−1，0，1，当x =−1时，y =−1，0，1； 当x =0时，y =−1，0，1；当x =−1时，y =−1，0，1；所以共有9个， 选A ．5．【2013山东，理1】已知集合A={0，1，2}，则集合B=中元素的个数是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．9【答案】C【解析】0,0,1,2,0,1,2x y x y ==-=--；1,0,1,2,1,0,1x y x y ==-=-；2,0,1,2,2,1,0x y x y ==-=．∴B 中的元素为2,1,0,1,2--共5个，故选C ．6．【2013江西，理1】若集合{}2|10A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a =（ ）A ．4B ．2C ．0D ．0或4【答案】A【解析】当0a =时，10=不合，当0a ≠时，0∆=，则4a =， 故选A ．7．【2012江西，理1】若集合{1,1}A =-，{0,2}B =，则集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈中的元素的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】根据题意，容易看出x y +只能取1，1，3等3个数值．故共有3个元素， 故选C ．8．【2011广东，理1】已知集合A={(,)|,x y x y 为实数，且221}x y +=，B={(,)|,x y x y 为实数，且1}x y +=，则A B 的元素个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1{}|,x y x A y A -∈∈【解析】由消去y ，得20x x -=，解得0x =或1x =，这时1y =或0y =，即{(0,1),(1,0)}A B ⋂=，有2个元素； 故选C9．【2011福建，理1】是虚数单位，若集合S ={－1，0，1}，则（ ）A ．∈SB ．2i ∈SC ．3i ∈SD ．2i∈S 【答案】B【解析】∵2i =－1∈S ， 故选B ．10．【2012天津，文9】集合{}R 25A x x =∈-≤中的最小整数为_______． 【答案】3-【解析】不等式52≤-x ，即，，所以集合，所以最小的整数为3-．考点二：集合间的关系1．【2012新课标，文1】已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则（ ）A ．AB B ．B AC ．A B =D ．A B =∅【答案】B【解析】A=（－1，2），故B A ∉， 故选B ．2．【2012新课标卷1，理1】已知集合2{|20},{|A x x x B x x =->=<，则（ ）A 、A∩B=∅B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B【答案】B【解析】A=(-∞，0)∪(2，+∞)，∴A ∪B=R ， 故选B ．3．【2015重庆，理1】已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则（ ）A ．A ＝BB ．A B =∅∩C ．AB D ．B A【解析】由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的， 选D ．4．【2012福建，理1】已知集合{1,2,3,4}M =，{2,2}N =-，下列结论成立的是（ ）A ．N M ⊆B ．MN M =C ．D ．{2}M N =【答案】D【解析】由M={1，2，3，4}，N={2，2}，可知2∈N ，但是2∉M ，则N ⊄M ，故A 错误． ∵MN={1，2，3，4，2}≠M ，故B 错误．M∩N={2}≠N ，故C 错误，D 正确．故选D5．【2011浙江，理1】若{|1},{|1}P x x Q x x =<=>-，则（ ）A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．RP Q ⊆ D ．RQ P ⊆【答案】D【解析】{|1}P x x =<∴，又∵{|1}Q x x =>，∴RQ P ⊆，故选D ．6．【2011北京，理1】已知集合P =2{|1}x x ≤，{}M a =．若P M P =，则a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为PM P =，所以M P ⊆，即a P ∈，得21a ≤，解得，所以a 的取值范围是； 故选C7．【2013新课标1，理1】已知集合2{|20},{|A x x x B x x =->=<，则（ ）A ．A∩B=∅B ．A ∪B=RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【答案】B【解析】(,0)(2,)A =-∞+∞，∴A ∪B=R ，故选B ．8．【2012大纲，文1】已知集合={x ︱x 是平行四边形}，B ={x ︱x 是矩形}，C ={x ︱x 是正方形}，D={x ︱x 是菱形}，则（ ）．BB ．C B C ．D C D ．D【答案】B【解析】∵正方形一定是矩形，∴C 是B 的子集， 故选B ．9．【2012年湖北，文1】已知集合，，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】求解一元二次方程，{}2|320,A x x x x =-+=∈R ，易知．因为⊆⊆A C B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1，2，且可能含有元素3，4，原题即求集合的子集个数，即有224=个． 故选D ．考点三：集合间的基本运算1．【2011课标，文1】已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N ，则P 的子集共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B【解析】∵P=M∩N={1，3}，∴P 的子集共有22=4， 故选B ．2．【2013新课标2，理1】已知集合M={x ∈R |2(1)4x -<}，{1,0,1,2,3}N =-，则M∩N=（ ） A ．{0，1，2} B ．{1-，0，1，2}C ．{1-，0，2，3}D ．{0，1，2，3}【答案】A【解析】M=(-1，3)，∴M∩N={0，1，2}， 故选A ．3．【2013新课标2，文1】已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则（ ） A ．{2,1,0,1}-- B ．{3,2,1,0}---C ．{2,1,0}--D ．{3,2,1}---【答案】C【解析】因为集合M={}|31x x -<<，所以M∩N=｛0，-1，-2｝， 故选C ．4．【2013新课标I ，文1】已知集合A=｛1，2，3，4｝，，则A B =（ ）A ．｛1，4｝B ．｛2，3｝C ．{9，16}D ．｛1，2}【答案】A ；【解析】依题意，，． 故选A5．【2014新课标1，理1】已知集合2{|230}A x x x =--≥，B={x |－2≤x ＜2}，则A B =（ ）．[-2，-1]B ．[-1，2）C ．[-1，1]D ．[1，2）【答案】A【解析】∵A=，∴=[-2，-1]， 故选A ．6．【2014新课标2，理1】设集合M=｛0，1，2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N =（ ）A ．｛1｝B ．｛2｝C ．｛0，1｝D ．｛1，2｝【答案】D【解析】∵{}{}2=32012N x x x x x -+≤=≤≤，∴，故选D ．7．【2014新课标1，文1】已知集合M ={|13}x x -<<，N ={|21}x x -<<则（ ）A ．B ．C ．)3,1(D ．【答案】B 【解析】M B =(-1，1)，故选B ．8．【2014新课标2，文1】设集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=，则A B =（ ）A ．∅B ．C ．{0}D ．{2}-【答案】B【解析】∵{}1,2B =-，∴AB ={}2；9．【2015新课标2，理1】已知集合2,1,0,1,2A =--｛｝，，则A B =（ ）A ．{}1,0A =-B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意知，)1,2(-=B ，∴{1,0}A B =-，故选A ．10．【2015新课标1，文1】已知集合，则集合A B 中的元素个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A∩B={8，14}， 故选D ．11．【2015新课标2，文1】已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题知，(1,3)A B =-，故选A ．12．【2016新课标1，理1】设集合}034|{2<+-=x x x A ，}032|{>-=x x B ，则AB =（ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)2【答案】D【解析】由题知=（1，3），B=，所以A B =3(,3)2，故选D ．13．【2016新课标2，理2】已知集合{1,}A =2,3，，则A B =（ ）A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{1,0,1,2,3}-【答案】C【解析】由题知B ={0，1}，所以AB ={0，1，2，3}，{}|03B x x =<<A B =14．【2016新课标3，理1】设集合，则S T =（ ）A ．[2，3]B ．（-，2][3，+）C ．[3，+）D ．（0，2][3，+）【答案】D【解析】由题知，，∴S T =（0，2][3，+），故选D ．15．【2016新课标2，文1】已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】由题知，)3,3(-=B ，∴{1,2}A B =，故选D ．16．【2016新课标1，文1】设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =（ ）A ．{1，3}B ．{3，5}C ．{5，7}D ．{1，7}【答案】B【解析】由题知，{3,5}A B =，故选B ．17．【2016新课标3，文1】设集合，则=（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】由题知，}10,6,2,0{=B C A ， 故选C ．18．【2017新课标1，理1】已知集合{|1}A x x =<，，则（ ） A ．{|0}A B x x =< B ．A B =RC ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅【答案】A∞∞∞∞∞{123}A =，，，A B ={210123}--，，，，，{21012}--，，，，{123}，，{12}，A B {48},{026}，,{02610}，，,{0246810}，，，，,【解析】由题知，)0,(-∞=B ，∴{|0}A B x x =<，故选A ．19．【2017新课标1，文1】已知集合A={}|2x x <，B={}|320x x ->，则（ ） A ．A B= B ．A BC ．ABD ．AB=R【答案】A20．【2017新课标2，理2】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由{}1A B =得1B ∈，所以3m =，{}1,3B =，故选C ．21．【2017新课标2，文1】设集合则A B =（ ）A ．B ．C ．{}234，， D ．【答案】A 【解析】由题意， 故选A ．22．【2017新课标3，文1】已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A B 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题意可得，， 故选B ．23．【2018新课标1，理1】已知集合2{|20}A x x x =-->，则RA =（ ）A ．{|12}x x -<<B ．{|12}x x -≤≤C ．{|1}{|2}x x x x <->D ．{|1}{|2}x x x x ≤-≥【答案】B【解析】由题知，A ={x|x <−1或x >2}，∴C R A ={x|−1≤x ≤2}，故选B ．24．【2018新课标3，理1】已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =（ ）A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}【答案】C【解析】由题意知，A={|x x ≥1}，所以A ∩B ={1，2}， 故选C ．25．【2018新课标1，文1】已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据集合交集中元素的特征，可以求得， 故选A ．26．【2018新课标2，文1】已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】， 故选C27．【2019新课标1，理1】已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则（ ）A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x =-<<．故选C ．28．【2019新课标1，文2】已知集合，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由已知得{}1,6,7U C A =，所以UB A ={6,7}，故选C ．29．【2019新课标2，理1】设集合2{|560},{|10}A x x x B x x =-+>=-<，则A B =（ ）A ．(-∞，1)B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，{}{}2,3,1A x x x B x x =<>=<或，则{}1A B x x =<．故选A ．30．【2019新课标2，文1】．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A B =（ ）A ．(–1，+∞)B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．∅【答案】C【解析】由题知，(1,2)A B =-，故选C ．31．【2019新课标3，理1】已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则AB =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得，{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B =-．故选A ．32．【2019浙江，1】已知全集，集合{}0,1,2A =，，则UA B =（ ）A ．B ．{0,1}C ．D ．【答案】A 【解析】{1,3}UA =-，{1}UA B =-．故选A ．33．【2019天津，理1】设集合，则（ ）A ．{}2B ．C ．D ．{}1,2,3,4【答案】D【解析】由题知，{}1,2A C =，所以， 故选D ．34．【2011辽宁，理1】已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N IM =∅，则=N M（ ）A ．MB ．NC ．ID ．∅【答案】A【解析】根据题意可知，N 是M 的真子集，所以M N M =．故选A35．【2018天津，理1】设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R A B （ ）A ．{01}x x <≤B ．{01}x x <<C ．{12}x x <≤D ．{02}x x <<【答案】B【解析】因为{1}B x x =≥，所以，因为{02}A x x =<<， 所以()=R AB {|01}x x <<，故选B ．36．【2017山东，理1】设函数y =函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B =（ ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．D ．【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <， 故， 选D ．37．【2017天津，理1】设集合{1,2,6}A =，{2,4}B =，{|15}C x x =∈-R ≤≤，则()A B C =（ ）A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-R ≤≤【答案】B 【解析】(){1246}[15]{124}A B C =-=，，，，，，，选B ．38．【2017浙江，理1】已知集合{|11}P x x =-<<，，那么P Q =（ ）A ．B ．(0,1)C ．D ．(1,2)【答案】A【解析】由题意可知， 选A ．39．【2016年山东，理1】设集合则=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】集合表示函数2x y =的值域，故(0,)A =+∞．由210x -<，得11x -<<，故(1,1)B =-，所以(1,)A B =-+∞．故选C ．40．【2016年天津，理1】已知集合则A B =（ ）A ．{1}B ．{4}C ．{1,3}D ．{1,4}【答案】D【解析】由题意{1,4,7,10}B =，所以{1,4}A B =，故选D ．41．【2015浙江，理1】已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-=<≥≤，则()R P Q =（ ）A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]【答案】C 【解析】{|02}RP x x ，故(){|1<<2}R P Q=x x ，故选C ．42．【2015四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A=x x x +-<，集合{|13}B x x =<<，则（ ） A ．{|13}x x -<< B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<【答案】A【解析】{|12}A x x ，{|13}B x x ，∴{|13}A B x x ．故选A43．【2015福建，理1】若集合{}234,,,A i i i i =（是虚数单位），{}1,1B =-，则AB 等于（ ）2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R A B (1,1)-(0,1)(0,)+∞A ．B ．{}1C ．D ．∅【答案】C【解析】由已知得，故，故选C ．44．【2015广东，理1】若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则（ ）A ．B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅【答案】D【解析】由(4)(1)0x x 得4x 或1x ，得{1,4}M ．由(4)(1)0x x 得4x 或1x ，得{1,4}N ．显然=∅MN ．故选D45．【2015陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．【答案】A【解析】，，所以，故选A ．46．【2015天津，理1】已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合UA B =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】{2,5,8}UB =，所以{2,5}UAB =，故选A ．47．【2014山东，理1】设集合则=B A （ ）A ．[0，2]B ．(1，3)C ．[1，3)D ．(1，4)【答案】B【解析】∵{}1,2B =-，∴AB ={}2，{},1,,1A i i =--A B ={}{}20,1x x x M ===[]0,1MN =故选B ．48．【2014浙江，理1】设全集，集合，则UA =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意知{|2}U x N x =∈≥，{|A x N x =∈，所以{|2x N x ∈<≤， 故选B ．49．【2014辽宁，理1】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()UA B =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<【答案】D【解析】由已知得，或}1x ≥，故()UA B ={|01}x x <<，故选D ．50．【2013山东，理1】已知集合均为全集的子集，且，，则（ ）A ．{3}B ．{4}C ．{3，4}D ．【答案】A 【解析】由题意{}1,2,3A B =，且，所以中必有3，没有4，{}3,4U C B =，故{}3．故选A51．【2013陕西，理1】设全集为R ，函数的定义域为M ，则RM 为（ ）A ．[－1，1]B ．(－1，1)C ．D ．【答案】D【解析】的定义域为M=[1，1]，故RM =，故选D ．52．【2013湖北，理1】已知全集为，集合1{|()1}2xA x =≤，，则（ ）RAB =（ ）{}2|≥∈=x N x U {}5|2≥∈=x N x A ∅}2{}5{}5,2{=A C U B A 、}4,3,2,1{=U (){4}UA B ={1,2}B =UA B =∅{1,2}B =UAB=()f x ()f x R {}2|680B x x x =-+≤A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】，，．故选C53．【2011江西，理1】若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===，则集合{5,6}等于（ ） A ．M NB ．M NC ．D ．【答案】D 【解析】因为{1,2,3,4}M N =，所以=()UM N ={5,6}．故选D54．【2011辽宁】已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若IN M =∅，则=N M （ ）A ．MB ．NC ．ID ．∅【答案】A【解析】根据题意可知，N 是M 的真子集，所以M N M =．故选A.55．【2017江苏】已知集合{1,2}A =，2{,3B a a =+｝，若{1}A B =，则实数a 的值为________．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然1a =，此时234a +=，满足题意，故1a =．56．【2020年高考全国Ⅲ卷文数1】已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】由2340x x --<解得14x -<<，所以，又因为{}4,1,3,5B =-，所以， 故选D ．57．【2020年高考全国I 卷理数2】设集合，且{|21}AB x x =-≤≤，则a =（ ）{}|0x x ≤{}|024x x x ≤<>或{}|024x x x <≤≥或[)0,A =+∞[]2,4B =[)()0,24,R A C B ∴=+∞A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B【解析】求解二次不等式240x -≤可得：，求解一次不等式20x a +≤可得：{|}2aB x x =≤-．由于，故：12a-=，解得：2a =-． 故选B ．58．【2020年高考全国II 卷文数1】已知集合{|||3,},{|||1,}A x x x Z B x x x Z =<∈=>∈，则A B =（ ）A ．∅B ．{–3，–2，2，3）C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}【答案】D【解析】因为{}{}3,2,1,0,1,2A x x x Z =<∈=--，{}{1,1B x x x Z x x =>∈=>或}1,x x Z <-∈，所以{}2,2AB =-．故选D ．59．【2020年高考全国II 卷理数1】已知集合，则()UA B =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则． 故选A ．60．【2020年高考浙江卷1】已知集合P={|14}x x <<，{|23}Q x x =<<则P Q=（ ）A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|23}x x <≤D ．{|14}x x <<【答案】B【解析】由已知易得{}23P Q x x =<<，故选B ．61．【2020年高考北京卷1】已知集合，则A B =（ ）A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1,2}-D ．{1,2}【答案】D【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选D ．62．【2020年高考山东卷1】设集合{|13}A x x =≤≤，，则=A B （ ）A ．{|23}x x <≤B ．{|23}x x ≤≤C ．{|14}x x ≤<D ．{|14}x x <<【答案】C 【详解】， 故选C ．63．【2020年高考天津卷1】设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（ ）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---【答案】C【解析】由题意结合补集的定义可知：，则(){}U1,1A B =-，故选C ．64．【2020年高考上海卷1】已知集合，则A B =___________．【答案】【解析】由交集定义可知，故答案为：． 65．【2020年高考江苏卷1】已知集合，则A B =__________．【答案】【解析】由题知，{}0,2A B =．考点四：与集合有关的创新问题1．（2012课标，理1）．已知集合，则B 中所含元素的个数为（ ）．3B ．6C ．8D ．10【答案】D ．【解析】B ={（2，1），(3，1)，(4，1)，（5，1），（3，2），(4，2)，（5，2），（4，3），（5，3），（5，4）}，含10个元素， 故选D ．2．【2015湖北】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，,}x y ∈Z ，定义集合，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个． 故选C3．【2013广东，理8】设整数，集合，令集合{(,,)|,,S x y z x y z X =∈，且三条件恰有一个成立}，若和都在中，则下列选项正确的是 A ．， B ．，C ．，D ．，【答案】B【解析】特殊值法，不妨令，，则，， 故选B ．如果利用直接法：因为，，所以…①，…②，…③三个式子中恰有一个成立；…④，…⑤，…⑥三个式子中恰有一个成立．配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时，于是，；第二种：①⑥成立，此时，于是，；第三种：②④成立，此时，于是，；第四种：③④成立，此时，于是，．综合上述四种情况，可得，． 4．【2012福建，文12】在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n k +丨n ∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a b -∈[0]”．其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．422{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ABCD 1111D C B A 45477=-⨯4n ≥{}1,2,3,,X n =S (),,y z w S ∈(),,x y w S ∉(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈(),,y z w S ∉(),,x y w S ∈(),,y z w S ∉(),,x y w S ∉2,3,4x y z ===1w =(),,x y z S ∈(),,z w x S ∈x y z <<y z x <<z x y <<z w x <<w x z <<x z w <<(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈【答案】C【解析】①2011=2010+1=402×5+1∈[1]，正确；由-3=-5+2∈[2]可知②不正确；根据题意信息可知③正确；若整数a ，b 属于同一类，不妨设a ，b ∈[k]={5n k +丨n ∈Z}，则a =5n+k ，b =5m+k ，n ，m 为整数，a b -=5(n-m)+0∈[0]正确，故①③④正确， 故选C ．5．【2013浑南，文15】对于E={12100,,,a a a }的子集X={12,,,k i i i a a a }，定义X 的“特征数列”为12100,,,x x x ，其中121k i i i x x x ====，其余项均为0，例如子集{23,a a }的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0子集{135,,a a a }的“特征数列”的前三项和等于； 若E 的子集P 的“特征数列”12100,,,p p p 满足11p =，11i i p p ++=，1≤≤99；E 的子集Q 的“特征数列”12100,,,q q q 满足11q =，，1≤j ≤98，则P∩Q 的元素个数为_________．【解析】(1)子集{135,,a a a }的特征数列为：1，0，1，0，1，0，0，0……0．所以前3项和等于1+0+1=2． (2)∵E 的子集P 的“特征数列”12100,,,p p p 满足11p =，11i i p p ++=，1≤≤99；∴P 的“特征数列”：1，0，1，0…1，0．所以P=},,{99531a a a a ． ∵E 的子集Q 的“特征数列”12100,,,q q q 满足11q =，，1≤j ≤98，，可知：j=1时，123q q q ++=1，∵11q =，∴2q=3q =0；同理4q =1=7a =…=32n q -．Q 的“特征数列”：1，0，0，1，0，0…1，0，0，1．所以Q=},,,{10097741a a a a a ．∴{=⋂Q P },,971371a a a a ，∵97=1+（17-1）×6，∴共有17个相同的元素．。