新教材2020-2021学年1.3集合的基本运算 1.3.2补集及综合应用 教案

1．1.3 集合的基本运算第二课时 补集及综合应用一、全集的定义及表示1、定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．2、符号表示：全集通常记作U.3、对全集概念的理解“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R 看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z 看作全集.二、补集1、定义：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作——A U C2、符号语言：AU C ＝{x| x ∈U ，且x ∉A}3、图形语言：4、性质：(1)A U C ⊆U ；(2)U U C ＝∅，φU C ＝U ；(3)()AU C U C ＝A ；(4)A ∪(A U C )＝U ；A ∩(A U C )＝∅ 5、理解补集应关注三点(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(2)∁U A 包含三层意思：①A ⊆U ；②∁U A 是一个集合，且∁U A ⊆U ；③∁U A 是由U 中所有不属于A 的元素构成的集合．(3)若x ∈U ，则x ∈A 或x ∈∁U A ，二者必居其一．题型一、补集的运算[例1] (1)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |2<x ≤5}，则∁U A ＝________.(2)设U ＝{x |－5≤x <－2，或2<x ≤5，x ∈Z}，A ＝{x |x 2－2x －15＝0}，B ＝{－3,3,4}，则∁U A＝________，∁U B ＝________.[解析] (1)用数轴表示集合A 为图中阴影部分∴∁U A ＝{x |x ≤2或x >5}．(2)法一：在集合U 中，∵x ∈Z ，则x 的值为－5，－4，－3,3,4,5，∴U ＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A ＝{x |x 2－2x －15＝0}＝{－3,5}，∴∁U A＝{－5，－4,3,4}，∁U B＝{－5，－4,5}．[活学活用]设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9)，∁U A＝{5,7}，则a的值为________．解析：∵A＝{1，|a－5|,9}，∁U A＝{5,7}，A∪(∁U A)＝{1,5,7,9，|a－5|}＝U，∴|a－5|＝3.解得a－5＝±3，即a＝8或a＝2.题型二、集合的交、并、补的综合运算[例2]已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁A)U∪B，A∩(∁U B)，∁U(A∪B)．[解]如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3，或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x＜3}．故(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}．∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．[活学活用]已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)，(∁U A)∩(∁B)，(∁U A)∪(∁U B)．U解：∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴∁U(A∪B)＝{6,7,9}．∵A∩B＝{5,8}，∴∁U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．∵∁U A＝{1,3,6,7,9}，∁U B＝{2,4,6,7,9}．∴(∁U A)∩(∁U B)＝{6,7,9}，(∁U A)∪(∁U B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．题型三、补集的综合应用[例3]设全集U＝R，M＝{x|3a<x<2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M∁P，求实数a的取U值范围．[解]∁P＝{x|x<－2，或x>1}，∵M∁U P，U∴分M＝∅，M≠∅两种情况讨论．(1)M ≠∅时，如图可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a <2a ＋5，2a ＋5≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧3a <2a ＋5，3a ≥1. ∴a ≤－72或13≤a <5. (2)M ＝∅时，应有3a ≥2a ＋5⇒a ≥5.综上可知，a ≥13或a ≤－72. [活学活用]1、已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x <－1，或x >0}，若A ∩(∁R B )＝∅，求实数a 的取值范围．解：∵B ＝{x |x <－1，或x >0}，∴∁R B ＝{x |－1≤x ≤0}，因而要使A ∩(∁R B )＝∅，结合数轴分析(如图)，可得a ≤－1.2、已知集合A ＝{x |2m －1<x <3m ＋2}，B ＝{x |x ≤－2，或x ≥5}，是否存在实数m ，使A ∩B ≠∅？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：若A ∩B ＝∅，分A ＝∅和A ≠∅讨论：(1)若A ＝∅，则2m －1≥3m ＋2，解得m ≤－3，此时A ∩B ＝∅.(2)若A ≠∅，要使A ∩B ＝∅，则应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1<3m ＋2，2m －1≥－2，3m ＋2≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >－3，m ≥－12，m ≤1.所以－12≤m ≤1. 综上，当A ∩B ＝∅时，m ≤－3或－12≤m ≤1. 所以当m >1或－3<m <－12时，A ∩B ≠∅. 课堂练习1．已知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则∁U(A ∪B)＝( )A ．{6,8}B ．{5,7}C ．{4,6,7}D ．{1,3,5,6,8}解析：A ∪B ＝{1,2,3,4,5,7}，则∁U(A ∪B)＝{6,8}，选A.答案：A2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|－2≤x ≤3}，B ＝{x|x ＜－1，或x>4}，那么集合A ∩(∁UB)等于 ( )A ．{x|－2≤x ＜4}B ．{x|x ≤3，或x ≥4}C ．{x|－2≤x ＜－1}D ．{x|－1≤x ≤3}解析：由题意可得，∁UB＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∩(∁UB)＝{x|－1≤x ≤3}．答案：D3．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________.解析：∵∁AB＝{5}，∴5∈A，且5∉B.∴m＝5.答案：54．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________.解析：∵U＝R，∁UN＝{x|0<x<2}，∴N＝{x|x≤0或x≥2}∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．5．设U＝R，已知集合A＝{x|－5<x<5}，B＝{x|0≤x<7}，求(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(∁UB)；(4)B∩(∁UA)；(5)(∁UA)∩(∁UB)．解：如图(1)．(1)A∩B＝{x|0≤x＜5}．(2)A∪B＝{x|－5<x<7}．(3)如图(2)．∁U B＝{x|x<0，或x≥7}，∴A∪(∁U B)＝{x|x<5，或x≥7}．(4)如图(3)．(3)∁U A＝{x|x≤－5，或x≥5}，B∩(∁U A)＝{x|5≤x＜7}．课时跟踪检测(五) 补集及综合应用一、选择题1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}，则(∁U A)∩(∁U B)＝( ) A．∅B．{4}C．{1,5} D．{2,5}2．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁U A)∩B中的元素的个数为( )A．3 B．4C．5 D．63．已知三个集合U，A，B及集合间的关系如图所示，则(∁U B)∩A＝( )A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}C．{1,2} D．{1,2,3}4．图中阴影部分所表示的集合是( )A．B∩(∁U(A∪C)) B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁U B) D．(∁U(A∩C))∪B5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4二、填空题6．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝________7．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．8．全集U＝R，A＝{x|x<－3或x≥2}，B＝{x|－1<x<5}，则集合C＝{x|－1<x<2}＝________(用A、B或其补集表示)．三、解答题9．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}．(1)求A∪B，(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．10．已知全集U＝{不大于20的素数}，M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁U N)＝{3,5}，(∁U M)∩N＝{7,19}，(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}，求M，N.答案课时跟踪检测(五)1．选A ∵∁U A＝{2,4}，∁U B＝{1,3}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝∅，故选A.2．选B 因U＝R，A＝{x|0<x<9}，又因B＝{x∈Z|－4<x<4}，所以∁U A＝{x|x≤0或x≥9}，所以(∁U A)∩B＝{x∈Z|－4<x≤0}＝{－3，－2，－1,0}共4个元素．3．选C 由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁U B)∩A＝{1,2}．4．选A 阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(∁U(A∪C))．故选A.5．选B A＝{1,2}，B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U(A∪B)＝{3,5}，故选B.6．解析：∵U＝R，B＝{x|x>1}，∴∁U B＝{x|x≤1}．又∵A＝{x|x>0}，∴A∩(∁U B)＝{x|x>0}∩{x|x≤1}＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}7.解析：∵B＝{x|1<x<2}，∴∁R B＝{x|x≤1或x≥2}．又∵A∪(∁R B)＝R，A＝{x|x<a}．观察∁R B与A在数轴上表示的区间，如图所示：可得当a≥2时，A∪(∁R B)＝R.答案：{a|a≥2}8.解析：如图所示，由图可知C⊆∁U A，且C⊆B，∴C＝B∩(∁U A)．答案：B∩(∁U A)9．解：(1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，所以A∪B＝{x|2≤x<10}．因为A＝{x|2≤x<7}，所以∁R A＝{x|x<2，或x≥7}，则(∁R A)∩B＝{x|7≤x<10}．(2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>2.10．解：法一：U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，如图，∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．法二：∵M∩(∁U N)＝{3,5}，∴3∈M,5∈M且3∉N,5∉N.又∵(∁U M)∩N＝{7,19}，∴7∈N,19∈N且7∉M,19∉M.又∵(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}，∴∁U(M∪N)＝{2,17}，∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．。

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课题：§3.2集合的基本运算(二）全集与补集一。

教学目标:1。

知识与技能(1)会求两个简单集合的交集与并集.（2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

（3)能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2。

过程与方法学生通过观察和类比，借助Ven n图理解集合的基本运算。

3.情感.态度与价值观（1）进一步树立数形结合的思想。

（2)进一步体会类比的作用。

（3）感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确.二.教学重点.难点重点:交集与并集，全集与补集的概念。

难点：理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系．三。

学法与教学用具1。

学法：学生借助Venn图，通过观察。

类比。

思考.交流和讨论等，理解集合的基本运算.四、教学过程:一、复习准备：1. 提问：。

什么叫子集、真子集、集合相等？符号分别是怎样的？2. 提问：什么叫交集、并集?符号语言如何表示？3。

讨论:已知A＝{x｜x＋3>0｝,B＝{x|x≤－3},则A、B、R有何关系？二、讲授新课:1.教学全集、补集概念及性质:① 预备题:U={全班同学}、A=｛全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学},则U 、A 、B 有何关系？②结论：集合B 是集合U 中除去集合A 之后余下来的集合. → 画图分析③定义全集（universe set ）：含有我们所研究问题中所涉及的所有元素构成的集合,记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念.④定义补集（complementary set ）：已知集合U ， 集合A ⊆U,由U中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作A 相对于U 的补集,记作：U C A ，读作：“A 在U 中补集”，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且.补集的Venn 图表示如右：（说明：补集的概念必须要有全集的限制）练：U=｛2,3,4}，A=｛4，3}，B=φ，则U C A = ，U C B = ； → 图形分析⑤ 讨论：A.在解不等式时,把什么作为全集?在研究图形集合时，把什么作为全集？B 。

2020-2021学年高一数学同步题型学案（新教材人教版必修第一册）第一章 集合与常用的逻辑用语1.3.2 补集及集合运算的综合【课程标准】1.在具体情境中,了解全集的含义,理解补集的含义,能求给定(全集的)子集的补集.2.能用Venn 图表达集合的补集．【本节知识点】1.全集:一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作.U 2.补集【题型分类】题型一　补集的运算题型要点点拨：(1)补集是相对于全集而言的,它与全集不可分割．一方面,若没有定义全集,则不存在补集的说法；另一方面,补集的元素逃不出全集的范围．(2)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 为全集U 的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的．文字语言对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作∁U A 符号语言∁U A ＝{x |x ∈U ,且x ∉A }图形语言运算性质∁U A ⊆U ,∁U U ＝∅,∁U ∅＝,∁U (∁U A )＝,A ∪(∁U A )＝,A ∩(∁U A )＝U A U ∅(3)符号∁U A有三层意思：①A是U的子集,即A⊆U；②∁U A表示一个集合,且(∁U A)⊆U；③∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合,即∁U A＝{x|x∈U,且x∉A}．(4)若x∈U,则x∈A或x∈∁U A,二者必居其一．【例1】已知全集为U,集合A＝{1,3,5,7},∁U A＝{2,4,6},∁U B＝{1,4,6},则集合B＝________.【参考答案】B＝{2,3,5,7}【解析】　(1)法一：∵A＝{1,3,5,7},∁U A＝{2,4,6},∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6},∴B＝{2,3,5,7}．法二：借助Venn图,如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．【例2】已知全集U＝{x|x≤5},集合A＝{x|－3≤x＜5},则∁U A＝________.【参考答案】{x|x＜－3或x＝5}【解析】　将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x＜－3或x＝5}．【方法技巧】求集合补集的策略(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合补集的定义来求解．另外,针对此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解,这样处理相对来说比较直观、形象,且解答时不易出错．(2)如果所给集合是无限集,在解答有关集合补集问题时,则常借助数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后根据补集的定义求解． 【同类练习】1．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2},A＝{x∈R|－2≤x≤0},则∁U A等于( )A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|0≤x≤2}【参考答案】C【解析】：∵U＝{x∈R|－2≤x≤2},A＝{x∈R|－2≤x≤0},∴∁U A＝{x|0＜x≤2},故选C.2．设全集S＝{1,2,3,4},且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0},若∁S A＝{2,3},则m＝________.【参考答案】：4【解析】：因为S＝{1,2,3,4},∁S A＝{2,3},所以A＝{1,4},即1,4是方程x2－5x＋m＝0的两根,由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.题型二、集合的交、并、补集的综合运算【例3】已知全集U＝{x|x≤4},集合A＝{x|－2＜x＜3},B＝{x|－3≤x≤2}．(1)求A∩B,(∁U A)∪B,A∩(∁U B)；(2)求∁U(A∪B)和∁U(A∩B)．【参考答案】【解析】(1)因为A＝{x|－2＜x＜3},B＝{x|－3≤x≤2},所以∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4},∁U B＝{x|x ＜－3或2＜x≤4},所以A∩B＝{x|－2＜x≤2},(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4},A∩(∁U B)＝{x|2＜x＜3}．(2)由条件知A∪B＝{x|－3≤x＜3},所以∁U(A∪B)＝{x|x＜－3或3≤x≤4}．又A∩B＝{x|－2＜x≤2},所以∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或2＜x≤4}．【方法技巧】解决集合运算问题的方法(1)要进行集合运算时,首先必须熟练掌握基本运算法则,可按照如下口诀进行：交集元素仔细找,属于A且属于B；并集元素勿遗漏,切忌重复仅取一；全集U是大范围,去掉U中A元素,剩余元素成补集．(2)解决集合的混合运算问题时,一般先运算括号内的部分,如求(∁U A)∩B时,先求出∁U A,再求交集；求∁U(A∪B)时,先求出A∪B,再求补集．(3)当集合是用列举法表示时(如数集),可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合),则可运用数轴求解． 【同类练习】1.设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5},M∩(∁U N)＝{2,4},则N＝( )A．{1,2,3}B．{1,3,5}C．{1,4,5}D．{2,3,4}【参考答案】B【解析】：画出Venn图,阴影部分为M∩(∁U N)＝{2,4},所以N＝{1,3,5}．2．已知全集U＝R,集合A＝{x|x＋1＜0},B＝{x|x－3＜0},那么集合(∁U A)∩B＝( )A．{x|－1≤x＜3}B．{x|－1＜x＜3}C．{x|x＜－1}D．{x|x＞3}【参考答案】A【解析】：∵A＝{x|x＋1＜0}＝{x|x＜－1},B＝{x|x－3＜0}＝{x|x＜3},∴∁U A＝{x|x≥－1},∴(∁U A)∩B＝{x|－1≤x＜3}．题型三、与补集有关的求参数问题【例5】已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0,x∈R},B＝{x|x<0,x∈R},若A∩B≠∅,求实数m的取值范围．【参考答案】m<－3【解析】∵A∩B≠∅,∴A≠∅.设全集U＝{m|Δ＝(－4)2－4(2m＋6)≥0}＝{m|m≤－1}．若A∩B＝∅,则方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根x1,x2均非负,则Error!⇒－3≤m≤－1,∵{m|－3≤m≤－1}关于U的补集为{m|m<－3},∴实数m的取值范围为m<－3【方法技巧】由集合的补集求解参数的问题(1)如果所给集合是有限集,由补集求参数问题时,可利用补集定义并结合知识求解．(2)如果所给集合是无限集,与集合交、并、补运算有关的求参数问题时,一般利用数轴分析法求解． 【同类练习】1.设集合A＝{x|x＋m≥0},B＝{x|－2<x<4},全集U＝R,且(∁U A)∩B＝∅,求实数m的取值范围．【参考答案】{m|m≥2}【解析】　由已知A＝{x|x≥－m},得∁U A＝{x|x<－m},因为B＝{x|－2<x<4},(∁U A)∩B＝∅,所以－m≤－2,即m≥2,所以m的取值范围是{m|m≥2}．2.已知集合A＝{x|－2＜x＜3},B＝{x|m＜x＜m＋9},若(∁R A)∩B＝B,则实数m的取值范围为_________．【参考答案】{m|m≤－11或m≥3}【解析】：∁R A＝{x|x≤－2或x≥3},由(∁R A)∩B＝B,得B⊆∁R A,∴m＋9≤－2或m≥3.故m的取值范围是{m|m≤－11或m≥3}．【本节同步分层练习】一、夯实基础1．已知U＝R,集合A＝{x|x＜－2或x＞2},则∁U A＝( )A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜－2或x＞2}C．{x|－2≤x≤2}D．{x|x≤－2或x≥2}【参考答案】C【解析】：根据补集的定义可得∁U A＝{x|－2≤x≤2}．2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6},集合A＝{1,2,5},∁U B＝{4,5,6},则A∩B＝( )A．{1,2}B．{5}C．{1,2,3}D．{3,4,6}【参考答案】A【解析】：因为∁U B＝{4,5,6},所以B＝{1,2,3},所以A∩B＝{1,2,5}∩{1,2,3}＝{1,2},故选A.∁U3.设集合U＝{1,2,3,4,5},A＝{1,2,3},B＝{2,3,4},则(A∩B)等于( )A．{2,3} B．{1,4,5}C．{4,5} D．{1,5}【参考答案】B【解析】集合U＝{1,2,3,4,5},A＝{1,2,3},B＝{2,3,4},所以A∩B＝{2,3},∁U(A∩B)＝{1,4,5},故选B.∁R4．集合A＝{x|－1≤x≤2},B＝{x|x<1},则A∩(B)＝( )A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|1<x≤2}D．{x|1≤x≤2}【参考答案】D【解析】由补集的概念和已知条件可得：∁R B＝{x|x≥1},又根据交集的定义可知A∩(∁R B)＝{x|1≤x≤2},故选D.∁U5．已知全集U＝{1,2,a2－2a＋3},A＝{1,a},A＝{3},则实数a等于( )A．0或2 B．0C．1或2 D．2【参考答案】　D【解析】　根据题意,得a2－2a＋3＝3,且a＝2,解得a＝2,故选D.6.已知全集S＝{(x,y)|x∈R,y∈R},A＝{(x,y)|x2＋y2≠0},用列举法表示集合∁S A＝________.【参考答案】：{(0,0)}【解析】：∁S A＝{(x,y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}．7．已知全集U＝R,M＝{x|－1<x<1},∁U N＝{x|0<x<2},那么集合M∪N＝________.【参考答案】：{x|x<1或x≥2}【解析】：∵U＝R,∁U N＝{x|0<x<2},∴N＝{x|x≤0或x≥2},∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．∁U8.设全集U＝{2,4,－(a－3)2},集合A＝{2,a2－a＋2},若A＝{－1},则实数a的值为________．【参考答案】2【解析】由已知可得Error!解得a＝2.9．已知M＝{x|x<－2或x≥3},N＝{x|x－a≤0},若N∩∁R M≠∅(R为实数集),则a的取值范围是________．【参考答案】a≥－2∁R【解析】　∵M＝{x|－2≤x<3},借助数轴可得a≥－2.10.设U＝R,已知集合A＝{x|－5<x<5},B＝{x|0≤x<7},求：(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(∁U B)；(4)B∩(∁U A)．【参考答案】见解析【解析】：(1)如图①.A∩B＝{x|0≤x<5}．(2)如图①.A∪B＝{x|－5<x<7}．(3)如图②.∁U B＝{x|x<0或x≥7},∴A∪(∁U B)＝{x|x<5或x≥7}．(4)如图③.∁U A＝{x|x≤－5或x≥5},∴B∩(∁U A)＝{x|5≤x<7}．二、能力提升1.已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7},A＝{2,3,4,5},B＝{2,3,6,7},则B∩∁U A＝( ) A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7}D．{1,6,7}【参考答案】C【解析】：　∵U＝{1,2,3,4,5,6,7},A＝{2,3,4,5},∴∁U A＝{1,6,7},∴B∩∁U A＝{2,3,6,7}∩{1,6,7}＝{6,7}．2．已知U＝{1,2,3,4,5},A＝{2,m},且∁U A＝{1,3,5},则m等于( )A．1B．3C．4D．5【参考答案】C【解析】：由已知m∈U,且m∉∁U A,故m＝2或4.又A＝{2,m},由元素的互异性知m≠2,故m＝4.所以选C.3．设全集U＝{x|x≥0},集合P＝{1},则∁U P等于( )A．{x|0≤x＜1或x＞1}B．{x|x＜1}C．{x|x＜1或x＞1}D．{x|x＞1}【参考答案】A【解析】：因为U＝{x|x≥0},P＝{1},所以∁U P＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x＜1或x＞1}．4．设全集U＝R,集合M＝{x|x＞1,或x＜－1},N＝{x|0＜x＜2},则∁U(M∪N)＝( )A．{x|－1≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|－1≤x≤0}D．{x|x＜1}【参考答案】C【解析】：因为M∪N＝{x|x＞0或x＜－1},所以∁U(M∪N)＝{x|－1≤x≤0}．5．设全集U＝R,M＝{x|x<－2或x>2},N＝{x|1≤x≤3}．如图所示,则阴影部分所表示的集合为( )A．{x|－2≤x<1}B．{x|－2≤x≤3}C．{x|x≤2或x>3}D．{x|－2≤x≤2}【参考答案】A【解析】：阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}＝{x|－2≤x<1}．故选A.6．设全集U＝R,集合A＝{x|0<x<9},B＝{x∈Z|－4<x<4},则集合(∁U A)∩B中的元素的个数为________．【参考答案】：4【解析】：∵U＝R,A＝{x|0<x<9},∴∁U A＝{x|x≤0或x≥9},又∵B＝{x∈Z|－4<x<4},∴(∁U A )∩B ＝{x ∈Z|－4<x ≤0}＝{－3,－2,－1,0}共4个元素．7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素,(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空,则A ∩B 的元素个数为________．【参考答案】：m －n【解析】：因为(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ),所以A ∩B 中的元素个数是(m －n )个．8．设全集U ＝R,集合A ＝{x |x ＞1},B ＝{x |x ＞a },且(∁U A )∪B ＝R,则实数a 的取值范围是________．【参考答案】：{a |a ≤1}【解析】：因为A ＝{x |x ＞1},B ＝{x |x ＞a },所以∁U A ＝{x |x ≤1},由(∁U A )∪B ＝R,可知a ≤1.9．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0},满足(∁R A )∩B ＝{2},A ∩(∁R B )＝{4},求实数a ,b 的值．【参考答案】a ＝,b ＝－87127【解析】：由条件(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4},知2∈B ,但2∉A ；4∈A ,但4∉B .将x ＝2和x ＝4分别代入B ,A 两集合中的方程得Error!即Error!解得a ＝,b ＝－即为所求．8712710．已知全集U ＝{小于10的正整数},A ⊆U ,B ⊆U ,且(∁U A )∩B ＝{1,8},A ∩B ＝{2,3},(∁U A )∩(∁U B )＝{4,6,9}．(1)求集合A 与B ；(2)求(∁R U )∪[∁Z (A ∩B )](其中R 为实数集,Z 为整数集)．【参考答案】【解析】：由(∁U A )∩B ＝{1,8},知1∈B,8∈B ；由(∁U A )∩(∁U B )＝{4,6,9},知4,6,9∉A ,且4,6,9∉B ；由A ∩B ＝{2,3},知2,3是集合A 与B 的大众元素．因为U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9},所以5,7∈A .画出Venn 图,如图所示．(1)由图可知A ＝{2,3,5,7},B ＝{1,2,3,8}．(2)(∁R U )∪[∁Z (A ∩B )]＝{x |x ∈R,且x ≠2,x ≠3}．三、挑战高考1.设U＝R,集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0},B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝∅,求m的值．【参考答案】m＝1或m＝2.【解析】A＝{－2,－1},由(∁U A)∩B＝∅,得B⊆A,∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0,∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1,－2}．①若B＝{－1},则m＝1；②若B＝{－2},则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4,且m＝(－2)×(－2)＝4,这两式不能同时成立,∴B≠{－2}；③若B＝{－1,－2},则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3,且m＝(－1)×(－2)＝2,由这两式得m＝2.经检验知m＝1或m＝2符合条件．综上可得m＝1或m＝2.2.设全集U＝R,集合A＝{x|－5＜x＜4},集合B＝{x|x＜－6或x＞1},集合C＝{x|x－m＜0},求实数m的取值范围,使其同时满足下列两个条件．①C⊇(A∩B)；②C⊇(∁U A)∩(∁U B)．【参考答案】【解析】：因为A＝{x|－5＜x＜4},B＝{x|x＜－6或x＞1},所以A∩B＝{x|1＜x＜4}．又∁U A＝{x|x≤－5或x≥4},∁U B＝{x|－6≤x≤1},所以(∁U A)∩(∁U B)＝{x|－6≤x≤－5}．而C＝{x|x＜m},因为当C⊇(A∩B)时,m≥4,当C⊇(∁U A)∩(∁U B)时,m＞－5,所以m≥4.即实数m的取值范围为{m|m≥4}．11。

1.3.2 全集与补集一教学目标：1.知识与技能：(1)理解全集与补集的概念．(2)掌握全集与补集的符号用语，并会用它们正确的表示一些简单的集合，能用图示法表示集合的基本关系．2. 过程与方法：(1)自主学习，了解全集补集来源于生活，服务于生活，又高于生活．(2)体会数学符号化表示问题的简洁美．3.情感．态度与价值观：发展学生抽象、概括事物的能力，培养学生对立统一的观点．二教学重点:交集与补集．三教学难点：交集与补集．四学情分析：五学法指导：学生观察、思考、探究．六教学方法：探究交流，讲练结合。

七教学过程（一）复习引入交集与并集的定义及理解，图形表示。

（二）新课教学全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。

补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集，记作：C U A即：C U A={x|x∈U且x A}.补集的Venn图表示说明：补集的概念必须要有全集的限制.特别的，由补集的定义可以知道：AU(C u A) =U；A∩( C u A)=∅。

（三）例题讲解例3 试用集合A，B的交集，并集、补集分别表示图1-16中工，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合。

解：工部分：A∩B；Ⅱ部分：A∩(C u B)；Ⅲ部分：B∩(C u A)；Ⅳ部分：C u(AUB)或(C u B)∩(C u A)．例4 设全集为R，A={xlx<5}，B={xlx>3}．求：(1)A∩B；(2) AUB；(3) C R A, C R B; (4) (C R A) ∩(C R B); (5)(C R A)U(C R B)；(6) C R(A∩B) (7)C R(A UB)．并指出其中相等的集合．解：(1)在数轴上，画出集合A和B.A∩B ={xlx<5}∩{xlx>3}={xI 3<x<5}；(2)AUB ={xlx<5)U{xlx>3)=R;(3)在数轴上，画出集合C R A和C R BC R A={xlx-5}, C R B={xIx≤3};(4) (C R A) ∩(C R B)={xlx≥5}∩{xlz≤3}=∅；(5) (C R A)U(C R B)= {xlx≥5}U{xlx≤3}一{xIx≤3，或x≥5}；(6) C R(A∩B)={xlx≤3,或x≥5}；(7) C R(AUB)=∅．其中相等的集合是C R(A∩B)=(C R A)U(C R B); C R (AUB)=(C R A)∩(C R B).补充例题：（1）设A={奇数}、B={偶数}，则A∩Z=A，B∩Z=B，A∩B=∅（2）设A={奇数}、B={偶数}，则A∪Z=Z，B∪Z=Z，A∪B=Z（四）课堂练习P14（五）小结1.全集与补集。

2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第一册学案：1.1.3 第1课时交集与并集含解析1.1.3集合的基本运算素养目标·定方向课程标准学法解读1．理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．2．在具体情境中，了解全集的含义．3．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．4．能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。

1．学习本节时，重视对“交集”“并集”“补集"等概念的理解,特别是“且”“或”的区别,可结合维恩图或数轴理解．2．解题时注意运用图示法（维恩图、数轴、函数图像等)表示集合及进行运算，可以直观、快速地解答集合的运算问题．3．注意“集合运算"⇔“集合关系”间的转化，容易解决集合运算中的参数问题．4．养成用“交集、并集、补集”的思想去解决实际问题，提升数学学科素养。

第1课时交集与并集必备知识·探新知基础知识1．交集思考1：两个非空集合的交集可能是空集吗?提示：两个非空集合的交集可能是空集，即A与B无公共元素时,A与B的交集仍然存在,只不过这时A∩B＝∅。

反之,若A∩B＝∅，则A，B这两个集合可能至少有一个为空集,也可能这两个集合都是非空的,如：A＝｛1，3,5,7,9}，B＝｛2，4,6,8，10｝,此时A∩B ＝∅.2．并集思考2:集合A∪B中的元素个数如何确定？提示:①当两个集合无公共元素时，A∪B的元素个数为这两个集合元素个数之和；②当两个集合有公共元素时，根据集合元素的互异性，同时属于A和B的公共元素，在并集中只列举一次,所以A∪B的元素个数为两个集合元素个数之和减去公共元素的个数．3．交集与并集的运算性质交集的运算性质并集的运算性质A∩B＝B∩A A∪B＝B∪AA∩A＝A A∪A＝AA∩∅＝∅∩A＝∅A∪∅＝∅∪A＝A如果A⊆B，则__A∩B＝A__，反之也成立如果A⊆B，则__A∪B＝B__，反之也成立思考3:判断集合A＝{2，3}与集合B＝｛2,3，5｝的关系，并写出A∩B和A∪B，你能发现什么规律？提示：A与B的关系为A B，A∩B＝｛2,3｝，A∪B＝{2,3,5}，由以上结论可推测A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.基础自测1．已知集合M＝｛－1,0,1｝，N＝{0,1,2｝，则M∪N＝(C) A．｛0,1}B．{－1,0,2}C．｛－1，0，1，2}D．｛－1，0，1｝解析：M∪N＝｛－1，0,1,2}．2．设集合M＝（－3，2),N＝[1，3],则M∩N＝(A)A．[1，2)B．[1，2]C．(2,3］D．[2，3］解析：因为M＝(－3，2)，且N＝[1，3]，所以M∩N＝[1，2)．3．已知集合M＝{x|x2＝9},N＝｛x|－3≤x〈3，x∈Z}，则M∩N ＝(B)A．∅B．{－3}C．｛－3,3｝D．{－3，－2,0,1,2｝解析：由题意，得M＝{－3,3}，由于N＝｛－3,－2，－1,0，1,2｝，则M∩N＝｛－3}．4．若集合A＝｛x|－5<x〈2｝，B＝{x｜－3<x<3}，则A∪B＝__{x|－5〈x<3}__,A∩B＝__｛x｜－3〈x<2}__.5．已知A＝｛－1｝且A∪B＝｛－1,3},则所有满足条件的集合B＝__{3}或{－1，3}__.关键能力·攻重难类型交集的运算┃┃典例剖析__■典例1(1)已知集合A＝｛0,2}，B＝｛－2，－1,0,1，2｝，则A∩B＝（A)A．｛0，2}B．{1,2｝C．{0｝D．{－2,－1，0，1，2}（2)已知A＝{x｜x≤－2或x>5}，B＝{x｜1<x≤7｝，则A∩B＝__(5,7]__。

第2课时全集、补集及综合应用[A 基础达标]1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝( ) A．{2，6} B．{3，6}C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}解析：选A.由题知A∪B＝{1，3，4，5}，所以∁U(A∪B)＝{2，6}．故选A.2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}解析：选D.由已知得A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，故∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．3．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁A B＝( )A．{x|x是菱形}B．{x|x是内角都不是直角的菱形}C．{x|x是正方形}D．{x|x是邻边都不相等的矩形}解析：选B.由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁A B＝{x|x是内角都不是直角的菱形}．4．已知全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁U B)＝( ) A．{3} B．{4}C．{3，4} D．∅解析：选A.因为全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1，2，3}，又B ＝{1，2}，所以∁U B＝{3，4}，A＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，所以A∩(∁U B)＝{3}．故选A.5.(2019·沈阳检测)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为( )A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3}解析：选D.由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．6．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U (A ∪B )中元素的个数为________．解析：由题意得，A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，所以A ∪B ＝{1，2，4}，所以∁U (A ∪B )＝{3，5}，故有2个元素．答案：27．设全集U ＝{0，1，2，3}，集合A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1，2}，则实数m ＝________． 解析：由题意可知，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}＝{0，3}，即0，3为方程x 2＋mx ＝0的两根， 所以m ＝－3.答案：－38．已知全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x <b }，∁U A ＝{x |x <1或x ≥2}，则实数b ＝________． 解析：因为∁U A ＝{x |x <1或x ≥2}，所以A ＝{x |1≤x <2}．所以b ＝2.答案：29．已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |1≤x <6}，求∁R (A ∪B )，∁R (A ∩B )，(∁R A )∩B ，A ∪(∁R B )．解：∁R (A ∪B )＝{x |x ≤－1或x ≥6}，∁R (A ∩B )＝{x |x <1或x >3}，(∁R A )∩B ＝{x |3<x <6}， A ∪(∁R B )＝{x |x ≤3或x ≥6}．10．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁R A )∩B ＝{2}，A ∩(∁R B )＝{4}，求实数a ，b 的值．解：由条件(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A ；4∈A ，但4∉B .将x ＝2和x ＝4分别代入B ，A 两集合中的方程得⎩⎪⎨⎪⎧22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0. 解得a ＝87，b ＝－127即为所求． [B 能力提升]11．已知集合M ＝{x |x <－2或x ≥3}，N ＝{x |x －a ≤0}，若N ∩∁R M ≠∅(R 为实数集)，则a 的取值范围是________．解析：由题意知∁R M ＝{x |－2≤x ＜3}，N ＝{x |x ≤a }．因为N ∩∁R M ≠∅，所以a ≥－2.答案：a ≥－212．已知A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }．(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围.解：(1)当m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}，A ∪B ＝{x |－1<x <4}．(2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}．当B ＝∅，即m ≥1＋3m 时，得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ； 当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，m >3，解得m >3.综上可知，实数m 的取值范围是m >3或m ≤－12. 13．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的值．解：由已知，得A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，因为方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，所以B ≠∅. 所以B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}．①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，所以B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验，知m ＝1，m ＝2均符合题意．所以m ＝1或2.[C 拓展探究]14．已知全集U ＝{不大于20的质数}，若M ，N 为U 的两个子集，且满足M ∩(∁U N )＝{3，5}，(∁U M )∩N ＝{7，19}，(∁U M )∩(∁U N )＝{2，17}，则M ＝________，N ＝________．解析：法一：U ＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，如图所示，所以M ＝{3，5，11，13}，N ＝{7，11，13，19}．法二：因为M ∩(∁U N )＝{3，5}，所以3∈M ，5∈M 且3∉N ，5∉N .又因为(∁U M )∩N ＝{7，19}，所以7∈N ，19∈N 且7∉M ，19∉M .又因为(∁U M)∩(∁U N)＝{2，17}，所以∁U(M∪N)＝{2，17}，所以M＝{3，5，11，13}，N＝{7，11，13，19}．答案：{3，5，11，13} {7，11，13，19}。

1.1.3 集合的基本运算第2课时补集及综合应用●三维目标1．知识与技能(1)使学生参与并体会全集的必要性，理解集合的子集、补集的含义，会求补集；(2)能够应用Venn图和数轴表述集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．2．过程与方法通过对全集补集概念、性质、规律的探究，不断提高学生抽象概括能力，培养数形结合能力，掌握归纳类比的方法．3．情感、态度与价值观(1)在参与数学学习的过程中，培养学生主动学习的意识；(2)在将所学知识系统化、条理化的基础上通过合作学习的形式，培养学生积极参与的主体意识；(3)在感受生活中集合实例的同时，让学生认识到数学的科学价值、应用价值．●重点难点重点：补集概念的理解及初步应用．难点：全集的理解，补集应用中方法规律的探究．重难点的突破：结合学生的知识水平及认知特点，建议授课时以数集的扩充为切入点：如求方程x2－2＝0在不同范围内的解，使学生初步明白范围设定的必要性，接着通过师生、生生的多方交流，对全集的概念有一个确切的认识．全集概念为本节课的难点之一，必要时，可通过多举实例加深概念理解．由于全集与补集相辅相成，理解了全集，补集概念的形成轻而易举．在概括出补集定义之后，引导学生类比交、并集得出补集的符号语言和图示语言两种表示形式，以形象直观的方式，加深对新知识的理解．由于求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，故可通过具体案例，采用固定集合A变换全集U的方式，让学生切实理解补集的运算，在突出重点的同时化解难点．素之间有什么关系？【提示】集合D包含集合A、B、C中的所有元素．(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.A＝{高一(2)班参加排球队的同学}，B＝{高一(2)班没有参加排球队的同学}，U＝{高一(2)班的同学}．1．集合A，B，U有何关系？【提示】U＝A∪B.2．B中元素与U和A有何关系？【提示】B中元素在U中不在A中.例1(1)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________.(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________.【思路探究】(1)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求集合B，也可借助Venn求解．(2)利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解．【自主解答】(1)法一A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．法二借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．【答案】(1){2,3,5,7}(2){x|x<－3或x＝5}互动探究若把第(2)题的条件“U ＝{x |x ≤5}”换成“U ＝{x |－6<x <6}”，求相应问题． 【解】 ∵U ＝{x |－6<x <6}，A ＝{x |－3≤x <5}， ∴∁U A ＝{x |－6<x <－3或5≤x <6}．例2设全集为R ，A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，求∁R (A ∪B )及(∁R A )∩B .【思路探究】 在数轴上表示集合A 、B →求A ∪B →求∁R A ∪B→求∁R A →求∁R AB【自主解答】 把全集R 和集合A 、B 在数轴上表示如下：由图知，A ∪B ＝{x |2<x <10}， ∴∁R (A ∪B )＝{x |x ≤2，或x ≥10}． ∵∁R A ＝{x |x <3，或x ≥7}，∴(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3，或7≤x <10}．变式训练已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}【解析】 因为∁U A ＝{2,4,6,7,9}，∁U B ＝{0,1,3,7,9}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝{7,9}． 【答案】 B例3已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ≠⊂∁R B ，求a 的取值范围．【思路探究】 先求∁R B →分情况讨论→由A ∁R B ，求a 【自主解答】 ∁R B ＝{x |x ≤1，或x ≥2}≠∅， ∵A ≠⊂∁R B ，∴分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论．(1)若A ＝∅，此时有2a －2≥a ，∴a ≥2；(2)若A ≠∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a a ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a2a －2≥2.∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围为{a |a ≤1，或a ≥2}． 变式训练已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <3}，若A ∪∁R B ＝R ，求实数a 的取值范围． 【解】 ∵B ＝{x |1<x <3}，∴∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥3}， 因而要使A ∪∁R B ＝R ，结合数轴分析(如图)，可得a 的取值范围为{a |a ≥3}.因对补集的概念认识不到位致误典例.设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值． 【错解】 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A ，∴a 2＋2a －3＝5，且|2a －1|≠5，解得a ＝2或a ＝－4，即实数a 的值是2或－4.【错因分析】 上述求解的错误在于忽略验证“A ⊆U ”这一隐含条件．【防范措施】 准确理解补集的概念是求解此类问题的关键．实际上∁U A 的数学意义包括两个方面，首先必须具备A ⊆U ，其次是定义∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．因此本题应先由5∈U 求出a 的值，再利用5∉A 验证a 的值是否合题意．【正解】 法一 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A ， ∴a 2＋2a －3＝5，且|2a －1|≠5，解得a ＝2或a ＝－4. 当a ＝2时，|2a －1|＝3，A ＝{2,3}，符合题意；而当a ＝－4时，A ＝{9,2}，不是U 的子集．∴a 的取值是2.法二 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A ，且|2a －1|＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝5|2a －1|＝3.解得a ＝2，即a 的取值是2.课堂小结1．求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的． 2．补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，若直接求A 困难，则使用“正难则反”策略，先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A ，求A .当堂达标1．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A ＝( ) A ．{1,2} B ．{3,4,5} C ．{1,2,3,4,5}D ．∅【解析】 ∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}，∴∁U A ＝{3,4,5}． 【答案】 B2．已知U ＝{0,1,2,3}，A ＝{1,2}，B ＝{0,1}，则(∁U A )∪B ＝________. 【解析】 ∵U ＝{0,1,2,3}，A ＝{1,2}，∴∁U A ＝{0,3}，∴(∁U A )∪B ＝{0,1,3}． 【答案】 {0,1,3}3．已知全集为R ，集合A ＝{x |x <1，或x ≥5}，则∁R A ＝________.【解析】 如图所示，集合A ＝{x |x <1，或x ≥5}的补集是∁R A ＝{x |1≤x <5}．【答案】 {x |1≤x <5}4．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤0或x ≥52，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．【解】 将集合A ，B ，P 表示在数轴上，如图．∵A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}． ∴∁U B ＝{x |x ≤－1，或x >3}，又∵P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤0或x ≥52，∴(∁U B )∪P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤0，或x ≥52，又∁U P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <52， ∴(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1<x <2}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <52＝{x |0<x <2}. 课后练习一、选择题1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}【解析】 ∵A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}，∴∁U (A ∪B )＝{4}． 【答案】 D2．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是( )A B C D【解析】 N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{0，－1}，∴N ⊆M ，又U ＝R ，故选B. 【答案】 B3．若全集U ＝{0,1,2,3}且∁U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( ) A ．3个 B ．5个 C ．7个D ．8个【解析】 ∵U ＝{0,1,2,3}，∁U A ＝{2}，∴A ＝{0,1,3}， ∴集合A 的真子集共有23－1＝7个．【答案】 C4．设全集U＝{1,3,5,7,9}，集合A＝{1，|a－5|,9}，∁U A＝{5,7}，则a的值是() A．2 B．8C．－2或8 D．2或8【解析】∵A∪∁U A＝U，∴|a－5|＝3，∴a＝2或8.【答案】 D5．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪∁R B＝R，则实数a的取值范围是()A．{a|a≤1}B．{a|a＜1}C．{a|a≥2}D．{a|a＞2}【解析】如图所示，若能保证并集为R，则只需实数a在数2的右边，注意等号的选取．选C.【答案】 C6．已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁U A)∩B＝________.【解析】∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴∁U A＝{6,8}．∴(∁U A)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．【答案】{6,8}7．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．【解析】法一如图，全班同学组成集合U，喜欢篮球的组成集合A，喜欢乒乓球运动的组成集合B，则A∩B中人数为：15＋10＋8－30＝3人，∴喜欢篮球不喜欢乒乓球运动的人数为15－3＝12人．法二设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x)＝x－5，故15＋x－5＝30－8⇒x＝12.【答案】128．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x<3，或x>4}，则a＋b＝________.【解析】∵U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∴∁U A＝{x|x<a，或x>b}，又∁U A＝{x|x<3，或x>4}，∴a＝3，b＝4，a＋b＝7.【答案】79．已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}．分别求∁R (A ∩B )，(∁R B )∪A . 【解】 ∵A ∩B ＝{x |3≤x <6}，∴∁R (A ∩B )＝{x |x <3，或x ≥6}． ∵∁R B ＝{x |x ≤2，或x ≥9}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2，或3≤x <6，或x ≥9}．10．设全集U ＝{2,4，－(a －3)2}，集合A ＝{2，a 2－a ＋2}，若∁U A ＝{－1}，求实数a 的值．【解】 由∁U A ＝{－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －1∈U －1∉A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －2＝－1a 2－a ＋2≠－1，解得a ＝4或a ＝2.当a ＝2时，A ＝{2,4}，满足A ⊆U ，符合题意； 当a ＝4时，A ＝{2,14}，不满足A ⊆U ，故舍去． 综上可知，a 的值为2.11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}且A ⊆∁U B ，求实数a 的取值范围．【解】 若B ＝∅，则a ＋1>2a －1，则a <2，此时∁U B ＝R ，∴A ⊆∁U B ； 若B ≠∅，则a ＋1≤2a －1，即a ≥2，此时∁U B ＝{x |x <a ＋1，或x >2a －1}， 由于A ⊆∁U B ，如图，则a ＋1>5，∴a >4，∴实数a 的取值范围为{a |a <2，或a >4}.。

第2课时补集学习目标核心素养1.了解全集的含义及其符号表示．（易混点）2．理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集．(重点、难点)3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点）1。

通过补集的运算培养数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类,培养数学抽象素养．某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇,王亮，李冰，张军，赵云，冯佳,薛香芹，钱忠良，何晓慧｝,其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝｛王明，曹勇，王亮，李冰，张军｝．问题那么没有获得应用文写作比赛与技能大赛金奖的学生构成的集合是什么？1．全集(1)定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么就称这个给定的集合为全集．（2）记法：全集通常记作U ．思考1:全集一定是实数集R吗？[提示］全集是一个相对概念,因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.[拓展]全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的．例如，我们在研究数集时，通常把实数集R 作为全集；当我们只讨论大于0且小于8的实数时，可选｛x|0＜x＜8｝为全集,通常也把给定的集合作为全集．2．补集文字语言如果集合A是全集U的子集，则由U中不属于A 的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x｜x∈U,且x A}图形语言3.补集的运算性质条件给定全集U及其任意一个子集A结论A∪（∁U A)＝U；A∩（∁U A）＝;∁U（∁U A)＝A思考2:∁U A，A,U三者之间有什么关系？［提示](1）∁U A表示集合U为全集时,集合A在全集U中的补集,则∁U A⊆U.如果全集换成其他集合（如R)，那么记号中“U”也必须换成相应的集合（如∁R A）。

(2)求∁U A的前提条件为集合A是全集U的子集．(3）若x∈U，则x∈A,x∈∁U A必居其一．[拓展]补集是相对于全集而存在的，当全集变化时，补集也随之改变，所以在讨论一个集合的补集时，必须说明是在哪个集合中的补集．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×"）(1）∁U U＝，∁U＝U。

第二课时补集及综合应用【选题明细表】知识点、方法题号补集的运算1,3 集合的交、并、补集综合运算2,4,5,9,12Venn图的应用6,7综合应用8,10,11,13,141.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则?U A等于( B )(A){1,2} (B){3,4,5}(C){1,2,3,4,5} (D)解析:因为U={1,2,3,4,5},A={1,2},所以?U A={3,4,5}.2.已知集合A,B,全集U={1,2,3,4},且?U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩(?U B)等于( A )(A){3} (B){4} (C){3,4} (D)解析:因为全集U={1,2,3,4},且?U(A∪B)={4},所以A∪B={1,2,3},因为B={1,2},所以?U B={3,4},A={3}或{1,3}或{3,2}或{1,2,3}.所以A∩(?U B)={3}.故选A.3.(2018·洛阳高一月考)设全集U={x|x>1},集合A={x|x>2},则?U A等于( A )(A){x|1<x≤2} (B){x|1<x<2}(C){x|x>2} (D){x|x≤2}解析:画出数轴可知,?U A={x|1<x≤2}.故选A.4.(2018·宁波大学附中高一期中)设集合A={1,2,3,4},B={3,4,5},全集U=A∪B,则集合?U(A∩B)的元素个数有( C )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:A∪B={1,2,3,4,5},A∩B={3,4},所以?U(A∩B)={1,2,5}.故选C.5.已知全集U=N*,集合A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=4n,n∈N*},则( C )(A)U=A∪B (B)U=(?U A)∪B(C)U=A∪(?U B) (D)U=(?U A)∪(?U B)解析:由题意易得B A,画出如图所示的示意图,显然U=A∪(?U B),故选C.6.已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x|x≥2},则图中阴影部分所表示的集合为( D )(A){0,1,2}(B){0,1}(C){1,2}(D){1}解析:因为?R B={x|x<2},所以图中阴影部分为A∩(?R B)={1}.故选D.7.已知全集U={x∈N+|x<9},(?U A)∩B={1,6},A∩(?U B)={2,3},?U(A∪B)={5,7,8},则B等于( B )(A){2,3,4} (B){1,4,6} (C){4,5,7,8} (D){1,2,3,6}解析:U={1,2,3,4,5,6,7,8},如图,可知A∩B={4},B={1,4,6},故选B.8.设全集U=R,A={x|x<1},B={x|x>m},若?U A?B,则实数m的取值范围是.解析:因为全集U=R,A={x|x<1},则?U A={x|x≥1},又B={x|x>m},且?U A?B,则m<1.所以实数m的取值范围是{m|m<1}.答案:{m|m<1}9.已知R为实数集,集合A={x|1≤x≤2},若B∪(?R A)=R,B∩(?R A)= {x|0<x<1,或2<x<3},求集合B.解:因为A={x|1≤x≤2},所以?R A={x|x<1,或x>2}.又B∪(?R A)=R,A∪(?R A)=R,可得A? B.而B∩(?R A)={x|0<x<1,或2<x<3},所以{x|0<x<1,或2<x<3}?B.借助于数轴可得B=A∪{x|0<x<1,或2<x<3}={x|0<x<3}.10.设集合P={x|x≥1},Q={x|x2<1},则( D )(A)P?Q (B)Q?P(C)?R P??R Q (D)Q??R P解析:因为Q={x|-1<x<1},?R P={x|x<1},所以Q??R P.故选D.11.(2018·北京市海淀区高三期末)已知全集U=R,M={x|x≤1},P= {x|x≥2},则?U(M∪P)等于( A )(A){x|1<x<2} (B){x|x≥1}(C){x|x≤2} (D){x|x≤1或x≥2}解析:因为M∪P={x|x≤1或x≥2},所以?U(M∪P)={x|1<x<2}.故选A.12.已知U=R,A={x|a≤x≤b},?U A={x|x<3或x>4},则ab= . 解析:因为A∪(?U A)=R,所以a=3,b=4,所以ab=12.答案:1213.已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1}且A? ?U B,求实数a的取值范围.解:若B=,则a+1>2a-1,则a<2,此时?U B=R,所以A??U B;若B≠,则a+1≤2a-1,即a≥2,此时?U B={x|x<a+1,或x>2a-1},由于A??U B,如图,则a+1>5,所以a>4,所以实数a的取值范围为{a|a<2,或a>4}.14.已知U=R,集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x2-(a+2)x+2a=0},a∈R.(1)若a=0,求A∪B;(2)若(?U A)∩B≠,求a的取值范围.解:(1)若a=0,则A={x|-2<x<2},B={0,2},所以A∪B={x|-2<x≤2}.(2)因为?U A={x|x≤a-2或x≥a+2},当a≠2时,B={2,a},因为(?U A)∩B≠,又a-2<a<a+2,所以2∈(?U A),所以2≤a-2或2≥a+2,解得a≥4或a≤0,当a=2时,A={x|0<x<4},?U A={x|x≤0或x≥4},B={2},此时(?U A)∩B=,不合题意,综上所述,a的取值范围是{a|a≤0或a≥4}.。

必修一 1.1.3集合的基本运算课时2补集及综合应用一、选择题1、已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A等于( )A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}2、已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( )A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)3、如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S4、设全集U和集合A、B、P满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A与P的关系是( )实用文档A．A＝∁U P B．A＝PC．A P D．A P5、设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∩(∁U B)等于( )A．{2} B．{2,3}C．{3} D．{1,3}6、已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M等于( )A．{x|－2<x<2} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}7、已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A等于( )A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}二、填空题8、已知全集U，A B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．实用文档9、设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝____________________，∁U B＝________________，∁B A＝____________.10、设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.三、解答题11、学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？12、已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(∁U B)＝A，求∁U B.13、设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．实用文档以下是答案一、选择题1、D [借助于Venn图解，因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又因为(∁U B)∩A＝{9}，所以9∈A，所以选D.]2、D [由A∪B＝{1,3,4,5,6}，得∁U(A∪B)＝{2,7}，故选D.]3、C [依题意，由图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a∈∁I S，所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁I S，故选C.]4、B [由A＝∁U B，得∁U A＝B.又∵B＝∁U P，∴∁U P＝∁U A.即P＝A，故选B.]5、D [由B＝{2,5}，知∁U B＝{1,3,4}．实用文档A∩(∁U B)＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．]6、C [∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁U M＝{x|x<－2或x>2}．]7、D [在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁U A.]二、填空题8、∁U B∁U A解析画Venn图，观察可知∁U B∁U A.9、{0,1,3,5,7,8} {7,8} {0,1,3,5}解析由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得∁U A＝{0,1,3,5,7,8}，∁U B＝{7,8}，∁B A＝{0,1,3,5}．10、－3解析∵∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.实用文档实用文档三、解答题11、解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a ，b ，x .根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋x ＝20，b ＋x ＝11，a ＋b ＋x ＝30－4.解得x ＝5，即两项都参加的有5人．12、解 因为B ∪(∁U B )＝A ，所以B ⊆A ，U ＝A ，因而x 2＝3或x 2＝x .①若x 2＝3，则x ＝± 3.当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，3}，此时∁U B ＝{3}； 当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}． ②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1；实用文档 当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}， U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}． 综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}．13、解 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A .又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋2a －3＝5，b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝3经检验都符合题意．。