新人教版高中数学必修一《补集及集合运算的综合应用》学案

1．1.3集合的基本运算第2课时补集及集合运算的综合应用1．全集(1)全集定义：□1如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)全集符号表示：□2全集通常记作U.2．补集的定义(1)自然语言：□3对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A.(2)符号语言：∁U A＝□4{x|x∈U且x∉A}．(3)图形语言：□5用Venn图表示，如下图阴影部分所示，表示∁A.U□61．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个集合的补集一定含有元素．()(2)集合∁B C与∁A C相等．()(3)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)(教材改编P11T4)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M 等于()A．U B．{1,3,5}C．{3,5,6} D．{2,4,6}(2)(教材改编P11T4)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}(3)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}答案(1)C(2)D(3)C『释疑解难』1．全集理解全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集，而在实数范围内研究问题，R是全集．如若只讨论大于0小于5的实数，可选{x|0<x<5}为全集．通常也把给定的集合作为全集．2．补集理解(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．(3)集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比：实数集合被减数a被减集合(全集)A减数b减集合B差a－b补(余)集∁A B(4)符号∁U A有三层意思：①A是U的子集，即A⊆U；②∁U A表示一个集合，且(∁U A)⊆U；③∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．(5)若x∈U，则x∈A或x∈∁U A，二者必居其一．探究1补集的简单运算例1(1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A ＝________；(2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________.解析(1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示. 由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助V enn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．答案(1){x|x<－3或x＝5}(2){2,3,5,7}拓展提升求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．【跟踪训练1】(1)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁M＝()UA．{2,4,6} B．{1,3,5}C．{1,2,4} D．U(2)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁U A为()A．{x∈R|0<x<2} B．{x∈R|0≤x<2}C．{x∈R|0<x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2}答案(1)A(2)C解析(1)因为集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，所以∁U M＝{2,4,6}．(2)借助数轴(如图)易得∁U A＝{x∈R|0<x≤2}．探究2交、并、补集的综合运算例2已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁U A，A∩B，∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.解把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁U A)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．拓展提升1.补集的性质及混合运算的顺序(1)A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅.(2)∁U(∁U A)＝A，∁U U＝∅，∁U∅＝U.(3)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．3．集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．【跟踪训练2】 已知集合A ＝{x ||x |≤2}，B ＝{x |－3<x <0}，C ＝{x |x ≤1}．求：A ∩C ，A ∪B ，(∁R A )∩B .解 A ∩C ＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x ≤1}＝{x |－2≤x ≤1}；A ∪B ＝{x |－2≤x ≤2}∪{x |－3<x <0}＝{x |－3<x ≤2}； (∁R A )∩B ＝{x |x <－2或x >2}∩{x |－3<x <0}＝{x |－3<x <－2}． 探究3 利用集合间的关系求参数例3 已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∁R B ，求a 的取值范围．解 ∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}≠∅，∵A ∁R B ，∴分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论．①若A ＝∅，此时有2a －2≥a ，∴a ≥2.②若A ≠∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a ，a ≤1或⎩⎨⎧ 2a －2<a ，2a －2≥2.∴a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2.[条件探究] 本例中若把“A ∁R B ”换成“A ∩∁R B ＝∅”，则a 的取值范围为多少？解 ①若A ＝∅，则a ≥2满足题意．②若A ≠∅，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a ，2a －2≥1，a ≤2，解得32≤a <2，综上所述a ≥32.拓展提升 利用补集求参数问题的方法(1)解答本题的关键是利用A ∁R B ，对A ＝∅与A ≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．(3)数轴与Venn 图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行集合的交、并、补运算时，常借助数轴求解．【跟踪训练3】 已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <3}．(1)若A ∪(∁R B )＝R ，求实数a 的取值范围；(2)若A ∁R B ，求实数a 的取值范围．解 (1)∵B ＝{x |1<x <3}，∴∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥3}，因而要使A ∪(∁R B )＝R ，结合数轴分析(如图)，可得a ≥3.(2)∵A ＝{x |x <a }，∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥3}．要使A ∁R B ，结合数轴分析(如图)，可得a ≤1.探究4 补集思想的应用——正难则反例4 若集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋2＝0}中至多有1个元素，求实数a 的取值范围．解 假设集合A 中含有2个元素，即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，Δ＝9－8a >0，解得a <98且a ≠0，则此时实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪ a <98且a ≠0.在全集U ＝R 中，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪ a <98且a ≠0的补集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪ a ≥98或a ＝0 .所以满足题意的实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ≥98或a ＝0. 拓展提升运用补集思想解题的方法当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．其解题步骤为：(1)否定已知条件，考虑反面问题；(2)求解反面问题对应的参数范围；(3)取反面问题对应的参数范围的补集．【跟踪训练4】 已知集合A ＝{y |y >a 2＋1或y <a }，B ＝{y |2≤y ≤4}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．解 因为A ＝{y |y >a 2＋1或y <a }，B ＝{y |2≤y ≤4}，我们不妨先考虑当A ∩B ＝∅时a 的取值范围，在数轴上表示集合A ，B ，如图所示．由⎩⎨⎧ a ≤2，a 2＋1≥4，得⎩⎨⎧ a ≤2，a ≥3或a ≤－3，故a ≤－3或3≤a ≤2.即A ∩B ＝∅时，a 的取值范围为a ≤－3或3≤a ≤2，故A ∩B ≠∅时，a 的取值范围为a >2或－3<a < 3.1.全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z 就是全集，研究方程的实数解，R 就是全集．因此，全集因研究问题而异.(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.(3)∁U A 的数学意义包括两个方面：首先必须具备A ⊆U ；其次是定义∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }，补集是集合间的运算关系.2.补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A 求A .1．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}答案D解析由题，知A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．2．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁U B)∩A＝()A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}C．{1,2} D．{1,2,3}答案C解析由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁U B)∩A＝{1,2}．3．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则(∁A)∩(∁U B)＝()UA．{1,2,7,8} B．{4,5,6}C．{0,4,5,6} D．{0,3,4,5,6}答案C解析∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁U A＝{0,2,4,5,6,8}，∁U B＝{0,1,4,5,6,7}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{0,4,5,6}．4．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则(∁U A )∪(∁U B )＝________.答案 {1,2,3,6,7}解析 由题可得∁U A ＝{1,3,6}，∁U B ＝{1,2,6,7}，∴(∁U A )∪(∁U B )＝{1,2,3,6,7}．5．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，求实数m 的值．解 A ＝{－1,2}，B ∩(∁U A )＝∅等价于B ⊆A .当m ＝0时，B ＝∅⊆A ；当m ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1m . ∴－1m ＝－1或－1m ＝2，即m ＝1或m ＝－12.综上，m 的值为0,1，－12.A 级：基础巩固练一、选择题1．设集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{2}B ．{3}C ．{1,2,4}D ．{1,4}答案 B解析 集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∪B )＝{3}，故选B.2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥3}，则下图中阴影部分所表示的集合为( )A．{1} B．{1,2}C．{1,2,3} D．{0,1,2}答案B解析由题意得A∩B＝{3,4,5}，阴影部分所表示的集合为集合A去掉集合A∩B中的元素所组成的集合，所以为{1,2}．3．M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|x≤m}，若(∁R M)∩N≠∅，则实数m的取值范围为()A．m<2 B．m≥－2C．m>－1 D．－2≤m≤2答案B解析∁R M＝{x|－2≤x≤2}，再利用数轴来解决(∁R M)∩N≠∅时m的取值范围，易知m≥－2.4．下列四个命题中，设U为全集，则不正确的命题是()A．若A∩B＝∅，则(∁U A)∪(∁U B)＝UB．若A∪B＝∅，则A＝B＝∅C．若A∪B＝U，则(∁U A)∩(∁U B)＝∅D．若A∩B＝∅，则A＝B＝∅答案D解析由图易知，A正确；由A∪B＝∅，得A＝B＝∅，B正确；由Venn图易知C正确．故选D.5．已知U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则(A∩∁U B)∪(B∩∁U A)＝()A．∅B．{x|x≤0}C．{x|x>－1} D．{x|x>0或x≤－1}答案D解析∵A∩∁U B＝{x|x>0}，B∩∁U A＝{x|x≤－1}，∴(A∩∁U B)∪(B∩∁U A)＝{x|x>0或x≤－1}．二、填空题6．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A)∩B＝________.答案{7,9}解析∵U＝{n∈N|1≤n≤10}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A＝{1,2,3,5,8}，∴∁U A＝{4,6,7,9,10}，又∵B＝{1,3,5,7,9}，∴(∁U A)∩B＝{7,9}．7．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，若B∪(∁U B)＝A，则∁U B ＝________.答案{－3}或{3}或{3}解析因为B∪(∁U B)＝A，所以A＝U.①当x2＝3时，x＝±3，B＝{1,3}，∁U B＝{3}或{－3}．②当x2＝x时，x＝0或1.当x＝0时，B＝{0,1}，∁U B＝{3}；而当x＝1时不合题意，舍去．8．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．答案12解析设两项运动都喜欢的人数为x，画出Venn图得到方程15－x＋x＋10－x＋8＝30⇒x＝3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12(人)．三、解答题9．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x＋3≥0}．求：(1)A∩B；(2)A∪B；(3)∁R(A∩B)．解由已知得B＝{x|x≥－3}，(1)A∩B＝{x|－3≤x≤－2}．(2)A∪B＝{x|x≥－4}．(3)∁R(A∩B)＝{x|x<－3或x>－2}．B级：能力提升练10．已知集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3＝M.集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i(i＝1,2,3)，求X1＋X2＋X3的最小值和最大值．解∵集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3＝M，∴A1，A2，A3中一定各包含五个数值．当X1＋X2＋X3取得最小值时，集合A1，A2，A3中的最小值分别是1,2,3，最大值是15,11,7，和最小，如：A1＝{1,12,13,14,15}，A2＝{2,8,9,10,11}，A3＝{3,4,5,6,7}时，X1＋X2＋X3最小，最小值为39，当集合A1，A2，A3中的最小值分别是1,5,9，最大值是15,14,13时，和最大，如：当A1＝{1,2,3,4,15}，A2＝{5,6,7,8,14}，A3＝{9,10,11,12,13}时，X1＋X2＋X3最大，最大值为57.。

第2课时补集及综合应用学习目标 1.理解全集、补集的概念(难点).2.准确翻译和使用补集符号和Venn图(重点).3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题(重点)．预习教材P10－P11，完成下面问题：知识点补集的概念(1)全集：①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．②记法：全集通常记作U.(2)补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x|x∈U且x∉A}图形语言(1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∪B)＝________.(2)已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁A B＝{5}，则实数m＝________.解析(1)∵A∪B＝{1,2,3,4}，∴∁U(A∪B)＝{5}．(2)由∁A B＝{5}知5∈A且5∉B，即5∈{3,4，m}，故m＝5.答案(1){5}(2)5题型一补集的基本运算【例1】(1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<0}，则∁U M＝()A．{x|0≤x≤2}B．{x|0<x<2}C．{x|x<0或x>2}D．{x|x≤0或x≥2}(2)已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁U A＝{3}，则实数a＝________.解析(1)如图，在数轴上表示出集合M，可知∁U M＝{x|0≤x≤2}．(2)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，解得a ＝2. 答案 (1)A (2)2规律方法 求补集的方法(1)列举法表示：从全集U 中去掉属于集合A 的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合．(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U 中集合A 以外的所有元素组成的集合．【训练1】 (1)已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3<x ≤4}，则∁U A ＝________.(2)设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________. 解析 (1)借助数轴得∁U A ＝{x |x ＝－3或x >4}．(2)∵∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}，∴0,3是方程x 2＋mx ＝0的两个根，∴m ＝－3.答案 (1){x |x ＝－3或x >4} (2)－3题型二 集合交、并、补的综合运算【例2】 已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )．解 利用数轴，分别表示出全集U 及集合A ，B ，先求出∁U A 及∁U B ，再求解．则∁U A ＝{x |x ≤－2，或3≤x ≤4}，∁U B ＝{x |x <－3，或2<x ≤4}．所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}；(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2，或3≤x ≤4}；A ∩(∁UB )＝{x |2<x <3}．规律方法 1.求解与不等式有关的集合问题的方法解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到．2．求解集合混合运算问题的一般顺序解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分．【训练2】 已知集合S ＝{x |1<x ≤7}，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}．求：(1)(∁S A )∩(∁S B )；(2)∁S (A ∪B )；(3)(∁S A )∪(∁S B )；(4)∁S (A ∩B )．解 (1)如图所示，可得A ∩B ＝{x |3≤x <5}，A ∪B ＝{x |2≤x <7}，∁S A ＝{x |1<x <2或5≤x ≤7}，∁S B ＝{x |1<x <3}∪{7}．由此可得：(1)(∁S A )∩(∁S B )＝{x |1<x <2}∪{7}．(2)∁S (A ∪B )＝{x |1<x <2}∪{7}．(3)(∁S A )∪(∁S B )＝{x |1<x <3}∪{x |5≤x ≤7}＝{x |1<x <3或5≤x ≤7}．(4)∁S (A ∩B )＝{x |1<x <3}∪{x |5≤x ≤7}＝{x |1<x <3或5≤x ≤7}. 互动探究 题型三 根据补集的运算求参数的值或范围【探究1】 如果a ∈∁U B ，那么元素a 与集合B 有什么关系？“a ∈A ∩(∁U B )”意味着什么？解 如果a ∈∁U B ，那a ∉B ，“a ∈A ∩(∁U B )”意味着a ∈A 且a ∉B .【探究2】 是否存在元素a ，使得a ∈A 且a ∈∁U A ？若集合A ＝{x |－2<x ≤3}，则∁R A 是什么？解 不存在a ，使得a ∈A 且a ∈∁U A ；若A ＝{x |－2<x ≤3}，则∁R A ＝{x |x ≤－2或x >3}．【探究3】 (1)已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足B ∩(∁U A )＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．(2)已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∁R B ，求a 的取值范围． 解 (1)∵B ∩(∁U A )＝{2}，∴2∈B ，但2∉A .∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，但4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 42＋4a ＋12b ＝0，22－2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝87，b ＝－127.∴a ，b 的值分别为87，－127. (2)∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}≠∅.∵A ∁R B ，∴分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论．①若A ＝∅，此时有2a －2≥a ，∴a ≥2.②若A ≠∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a ，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，2a －2≥2.∴a ≤1. 综上所述，a ≤1或a ≥2.规律方法 由集合的补集求解参数的方法(1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．(2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．【训练3】设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁U A＝{5}，求实数a的值．解∵∁U A＝{5}，∴5∈U，且5∉A.∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意．当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，不满足条件∁U A＝{5}，故a＝－4舍去．综上知a＝2.课堂达标1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝()A．{1,2}B．{3,4,5}C．{1,2,3,4,5}D．∅解析根据补集的定义计算．∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁U A＝{3,4,5}．答案B2．设全集U＝R，集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|2≤x<5}，则A∩(∁U B)＝()A．{x|1≤x<2}B．{x|x<2}C．{x|x≥5}D．{x|1<x<2}解析∁U B＝{x|x<2或x≥5}，A∩(∁U B)＝{x|1<x<2}．答案D3．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝()A．{－2，－1}B．{－2}C．{－1,0,1}D．{0,1}解析因为集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，则(∁R A)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．答案A4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x<a}，若∁U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.解析∵A＝{x|1≤x<a}，∁U A＝{x|2≤x≤5}，∴A∪(∁U A)＝U＝{x|1≤x≤5}，且A∩(∁U A)＝∅，因此a＝2.答案25．已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁U A，∁U B，(∁A)∩(∁U B)．U解将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，则∁U A＝{x|－1≤x≤3}；∁U B＝{x|－5≤x<－1，或1≤x≤3}；法一(∁U A)∩(∁U B)＝{x|1≤x≤3}．法二∵A∪B＝{x|－5≤x<1}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}．课堂小结1．补集定义的理解(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集．比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集．(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想．(3)从符号角度来看，若x∈U，A U，则x∈A和x∈∁U A二者必居其一．2．与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．3．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．4．补集的相关性质(1)A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅.(2)∁U(∁U A)＝A，∁U U＝∅，∁U∅＝U.(3)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．。

青海师范大学附属第二中学高中数学 1.1.3 补集及综合应用学案新人教A版必修1班级：_______________ 姓名：_______________ 小组：_______________一、学习目标：1．了解全集、补集的意义；2．正确理解补集的概念，正确理解符号“∁UA”的含义；3．会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题.二、学习重难点：重点：补集的概念.难点：理解符号之间的区别与联系三、学法指导：小组合作交流一对一检查过关四、知识链接：相对于某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”．集合中的部分元素构成的集合与集合之间的关系就是部分与整体的关系．这就是本节研究的内容——全集和补集五、学习内容：(看书后填空)1．全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为，通常记作 .2．补集：对于一个集合A，由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 .补集的符号语言表示为∁UA＝．3．补集与全集的性质(1)∁UU＝；(2)∁U∅＝；(3)∁U(∁UA)＝；(4)A∪(∁UA)＝；(5)A∩(∁UA)＝ .探究点一全集、补集概念问题 1 方程(x－2)(x2－3)＝0的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同？通过这个问题你得到什么启示？问题2 U＝{全班同学}、A＝{全班参加足球队的同学}、B＝{全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？问题3 在问题2中，相对集合A、B，集合U是全集，集合B是集合A的补集，同时集合A是集合B的补集，那么如何定义全集和补集的概念？问题4 怎样用Venn图表示集合A在全集U中的补集？例1 设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求∁UA，∁UB探究点二全集、补集的性质问题1 借助Venn图，你能化简∁U(∁UA)，∁UU，∁U∅吗？问题2 借助Venn图，你能分析出集合A与∁UA之间有什么关系吗？例2 已知集合S＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}．求：(1)(∁SA)∩(∁SB)；(2)∁S(A∪B)；(3)(∁SA)∪(∁SB)；(4)∁S(A∩B)．探究点三集合交、并、补的综合运算问题1 求集合交、并、补运算的一般方法是怎样的？问题2 求不等式解集的补集时需注意什么问题？六、归纳小结：(本节要掌握什么？)1. 全集与补集的互相依存关系：__________________________________2.补集思想：__________________________________七、达标检测：1.已知A＝{0,2,4,6}，∁SA＝{－1，－3,1,3}，∁SB＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于( )A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}3．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁UM等于( )A．{x|－2<x<2} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}4.已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a<x<a＋3}，且B⊆∁RA，求a的取值范围八、学习反思：______________________________________________________________________练习题一、基础过关1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁UA等于() A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}2．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为 ( ) A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}3．设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(∁RB)等于( )A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)4．设全集U和集合A、B、P满足A＝∁UB，B＝∁UP，则A与P的关系是 ( )A．A＝∁U P B．A＝PC．A P D．A P5．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.6．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁UA＝____________，∁UB＝________，∁BA＝________.7．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁UA＝{5}，求实数a，b的值．8． (1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，求N∩(∁UM)；(2)设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，求M∪N.二、能力提升9．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A．(M∩P)∩SB．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩(∁IS)D．(M∩P)∪(∁IS)10．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁UA)∩(∁UB)等于 ( ) A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}11．已知全集U，A B，则∁UA与∁UB的关系是____________________．12．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(∁UB)＝A，求∁UB.三、探究与拓展13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？。

1.1.3集合的基本运算（全集、补集）【教学目标】1、了解全集的意义，理解补集的概念．2、能用韦恩图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用3、进一步体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能力。

【教学重难点】教学重点：会求给定子集的补集。

教学难点：会求给定子集的补集。

【教学过程】（一）复习集合的概念、子集的概念、集合相等的概念；两集合的交集，并集.（二）教学过程一、情景导入观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A 、集合B 有什么关系？二、检查预习1、在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为 .2、若A 是全集U 的子集，由U 中不属于A 的元素构成的集合，叫做 ，记作 。

三、合作交流Φ=⋂A C A U ，U A C A U =⋃，A A C C U U =)(B C A C B A C U U U ⋂=⋃)(，B C A C B A C U U U ⋃=⋂)(注：是否给出证明应根据学生的基础而定.四、精讲精练例⒈设Ｕ＝｛２，４，３－a 2｝,Ｐ＝｛２，a 2＋２－a ｝，ＣU Ｐ＝｛－１｝，求a ． 解：∵－１∈ＣU Ｐ∴－１∈Ｕ∴３－a 2＝－１得a ＝±２．当a ＝２时，Ｐ＝｛２，４｝满足题意．当a ＝－２时，Ｐ＝｛２，８｝，８∉Ｕ舍去．因此a ＝２．［点评］由集合、补集、全集三者关系进行分析，特别注意集合元素的互异性，所以解题时不要忘记检验，防止产生增解。

变式训练一：已知Ａ＝｛０，２，４，６｝，ＣS Ａ＝｛－１，－３，１，３｝，ＣS Ｂ＝｛－１，０，２｝，用列举法写出集合Ｂ．解：∵Ａ＝｛０，２，４，６｝，ＣS Ａ＝｛－１，－３，１，３｝∴Ｓ＝｛－３，－１，０，１，２，３，４，６｝又ＣS Ｂ＝｛－１，０，２｝ ∴Ｂ＝｛－３，１，３，４，６｝．例⒉设全集Ｕ＝Ｒ，Ａ＝｛ｘ｜３ｍ－１＜ｘ＜２ｍ｝，Ｂ＝｛ｘ｜－１＜ｘ＜３｝，Ｂ⊂≠ＣU Ａ，求ｍ的取值范围．解：由条件知，若Ａ＝Φ，则３ｍ－１≥２ｍ即ｍ≥１，适合题意；若Ａ≠Φ，即ｍ＜１时，ＣU Ａ＝｛ｘ｜ｘ≥２ｍ或ｘ≤３ｍ－１｝，则应有－１≥２ｍ即ｍ≤－21； 或３ｍ－１≥３即ｍ≥43与ｍ＜１矛盾，舍去． 综上可知：ｍ的取值范围是ｍ≥１或ｍ≤－21． 变式训练二：设全集Ｕ＝｛１，２，３，４｝，且Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－ｍｘ＋ｎ＝０，ｘ∈Ｕ｝，若ＣU Ａ＝｛２，３｝，求ｍ，ｎ的值．解：∵Ｕ＝｛１，２，３，４｝，ＣU Ａ＝｛２，３｝∴Ａ＝｛１，４｝．∴１，４是方程ｘ2－ｍｘ＋ｎ＝０的两根．∴ｍ＝１＋４＝５，ｎ＝１×４＝４．【板书设计】一、 基础知识1. 全集与补集2. 全集与补集的性质二、 典型例题例1： 例2：小结：【作业布置】本节课学案预习下一节。

20XX 年高中数学 集合的运算补集学案 新人教B 版必修1一、学习目标：（1）掌握交集与并集的区别，了解全集、补集的意义；（2）正确理解补集的概念，正确理解符号“U C A ”的含义；（3）会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题。

二、学习重、难点：重点：补集的有关运算及数轴的应用。

难点：对补集概念的理解。

【小组活动一】思考1． U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？全集、补集概念及性质 1.全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,记作U ，全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

2.补集的定义：对于一个集合A ， ，叫作集合A 相对于全集U 的补集，记作：读作：“A 在U 中的补集”，即{},U C A x x U x A =∈∉且用Venn 图表示：（阴影部分即为A 在全集U 中的补集）讨论：集合A 与U C A 之间有什么关系？→借助Venn 图分析。

,(),U U U U U U A C A A C A U C C A AC U C U⋂=∅⋃===∅∅=巩固练习①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则U C A = ，U C B = ；②．设U ＝{x|x<8，且x ∈N}，A ＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则U C A ＝ ； ③．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则C U （A ∩B ）= .、例1.集合{}13A x x =<<，集合{}12B x x =-≤≤，则AB ==B A ___________ B C A R =_____________跟踪练习：1.若U={1，3，a 2+2a+1}，A={1，3}，C U A={5}，则a= .2.设U=R ，A={x|x>0}, B={x|x>1}，则A ∩C U B= .3.全集{}{}33,11U x x M x x =-≤≤=-<<，N 是U 的子集，{}02U C N x x =<<，那么______,____,____U N MC N MN ===例2、设全集为⋃，用集合A 、B 、C 的交、并、补集符号表图中的阴影部分．（1） （2）巩固练习：设全集为⋃，用集合A 、B 、C 的交、并、补集符号表图中的阴影部分．例3、已知集合A={x|x ＜a }, B={x|1＜x ＜2}且A ∪R C B =R ，求实数a 的取值范围。

1.3 集合的基本运算第二课时全集、补集及综合运用学习目标：课程标准学科素养1、了解全集、补集的意义，正确理解符号∁U A的含义，会求已知全集条件下集合A的补集。

2、会求解集合的交、并、补的集合问题。

3、能正确利用补集的意义求解一些具体问题。

1、数学抽象2、数学运算3、直观想象4、数形结合重点、难点：重点补集的概念难点有关补集的基本运算课前预习：预习课本P12~13，并思考以下问题。

1、全集的含义是什么？2、补集的含义是什么？3、如何理解“∁U A”的含义？4、如何用Venn图表示∁U A？一、知识回顾集合A=｛x∣1≤x≤15｝，集合B=｛x∣x≤10｝，求A∩B和A∪B.二、探究新知思考：（1）求方程(x-2)(x2-3)=0在有理数范围内的解；（2）求方程(x-2)(x2-3)=0在有理数范围内的解.知识点一：全集一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的_______，那么就称这个集合为全集。

全集通常记作_____.知识点二：补集1、文字语言：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的_________组成的集合成为集合A相对于全集U的补集，简称为_____________，记作_________________.2、符号语言：∁U A=__________________________3、图形语言：（用Venn图表示集合A的补集）思考：①∁U A，A，U三者之间有什么关系？②如果元素a∈A，那么元素a在不在∁U A中？例1、设U=｛x∣x是小于8的正整数｝，A=｛1，3，6｝，B=｛2，3，4，5｝，求∁U A，∁U B.知识点三：补集的性质（1）A∪(∁U A)=_________（2）A∩(∁U A)=_________（3）∁U U=______，∁U∅=_______，∁U(∁U A)=______（4）(∁U A)∩(∁U B)=________，(∁U A)∪(∁U B)=__________例2、已知全集U=R，集合A=｛x∣1≤x≤5｝，集合B=｛x∣x≤-1或x>3｝，求A∩B，(∁U A)∩B，(∁U B)∪A.变式训练2、已知全集U=｛x∣x≤9｝，集合A=｛x∣-3<x<5｝，集合B=｛x∣-1≤x<6｝，求A∩B，A∪B，(∁U A)∩B，A∪(∁U B).例3、设集合A=｛x∣x+m≥0｝，集合B=｛x∣-2≤x<4｝，全集U=R，且(∁U A)∩B=∅，求实数m的取值范围。

第2课时补集及综合应用学习目标：1.了解全集的含义及其符号表示．(易混点)2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)3.会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)[自主预习·探新知]1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.思考：全集一定是实数集R吗？[提示]全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.2．补集x[基础自测]1．思考辨析(1)全集一定含有任何元素．( )(2)集合∁R A＝∁Q A.( )(3)一个集合的补集一定含有元素．( )[答案](1)×(2)×(3)×2．已知全集U＝{－1,0,1}，且∁U A＝{0}，则A＝________.{－1,1} [∵U＝{－1,0,1}，∁U A＝{0}，∴A＝{－1,1}．]3．设全集为U，M＝{1,2}，∁U M＝{3}，则U＝________.{1,2,3} [U＝M∪{∁U M}＝{1,2}∪{3}＝{1,2,3}．]4．若集合A＝{x|x>1}，则∁R A＝________.【导学号：37102063】{x|x≤1}[∵A＝{x|x>1}，∴∁R A＝{x|x≤1}．][合作探究·攻重难]补集的运算(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________；(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________.(1){2,3,5,7} (2){x|x<－3或x＝5} [(1)法一(定义法) 因为A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．法二(Venn图法) 满足题意的Venn图如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集的定义可知∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．]定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解图法：借助数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题[跟踪训练]1．(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，则∁A B等于( )A．{2,4} B．{0,1,3,5}C．{1,3,5,6} D．{x∈N*|x≤6}(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁U A＝________.【导学号：37102064】(1)C(2){x|0<x<2，或x≥6}[(1)因为A＝{x∈N*|x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,4}，所以∁A B＝{1,3,5,6}．故选C.(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁U A＝{x|0<x<2，或x≥6}．]集合交、并、补集的综合运算设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R B，∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.[解]把集合A，B在数轴上表示如下：由图知∁R B＝{x|x≤2或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．因为∁R A＝{x|x<3，或x≥7}，所以(∁R A)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算[跟踪训练]2．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.【导学号：37102065】[解]法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．法二(定义法)：(∁U B)∩A＝{1,9}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，∴∁U B＝{1,4,6,7,9}．又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴B＝{2,3,5,8}．∵(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，∴A＝{1,3,9}.与补集有关的参数值的求解[探究问题]1．若A，B是全集U的子集，且(∁U A)∩B＝∅，则集合A，B存在怎样的关系？提示：B⊆A2．若A，B是全集U的子集，且(∁U A)∪B＝U，则集合A，B存在怎样的关系？提示：A⊆B设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．思路探究：法一：由A 求∁U A ――→结合数轴∁U A ∩B ＝∅建立m 的不等关系 法二：∁U AB ＝∅――→等价转化B ⊆A[解] 法一(直接法)：由A ＝{x |x ＋m ≥0}＝{x |x ≥－m }，得∁U A ＝{x |x <－m }． 因为B ＝{x |－2<x <4}，(∁U A )∩B ＝∅，所以－m ≤－2，即m ≥2， 所以m 的取值范围是m ≥2.法二(集合间的关系)：由(∁U A )∩B ＝∅可知B ⊆A ， 又B ＝{x |－2<x <4}，A ＝{x |x ＋m ≥0}＝{x |x ≥－m }， 结合数轴：得－m ≤－2，即m ≥2.如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知集合M ＝{2,3,4}，N ＝{0,2,3,4,5}，则∁N M 等于( )【导学号：37102066】A ．{2,3,4}B ．{0,2,3,4,5}C ．{0,5}D ．{3,5}C [因为M ＝{2,3,4}，N ＝{0,2,3,4,5}，所以∁N M ＝{0,5}．故选C.] 2．U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( ) A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,3,4}D ．{0,2,4}D [∵∁U A ＝{0,4}，B ＝{2,4}，∴(∁U A )∪B ＝{0,2,4}．]3．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则(∁R S )∪T 等于( )【导学号：37102067】A ．{x |－2<x ≤1}B ．{x |x ≤－4}C ．{x |x ≤1}D ．{x |x ≥1}C [因为S ＝{x |x >－2}，所以∁R S ＝{x |x ≤－2}．而T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1}＝{x |x ≤1}．]4．已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________. 2 [∵A ＝{x |1≤x ＜a }，∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，∴A ∪(∁U A )＝U ＝{x |1≤x ≤5}，且A ∩(∁U A )＝∅，∴a ＝2.]5．已知全集U ＝{2,0,3－a 2}，U 的子集P ＝{2，a 2－a －2}，∁U P ＝{－1}，求实数a 的值.【导学号：37102068】[解] 由已知，得－1∈U ，且－1P ，因此⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2＝－1，a 2－a －2＝0，解得a ＝2.当a ＝2时，U ＝{2,0，－1}，P ＝{2,0}，∁U P ＝{－1}，满足题意．因此实数a 的值为2.。

第2课时补集及综合应用学习目标：1.了解全集的含义及其符号表示．(易混点)2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)3.会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)[自主预习·探新知]1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.思考：全集一定是实数集R吗？[提示]全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.2．补集x[基础自测]1．思考辨析(1)全集一定含有任何元素．( )(2)集合∁R A＝∁Q A.( )(3)一个集合的补集一定含有元素．( )[答案](1)×(2)×(3)×2．已知全集U＝{－1,0,1}，且∁U A＝{0}，则A＝________.{－1,1} [∵U＝{－1,0,1}，∁U A＝{0}，∴A＝{－1,1}．]3．设全集为U，M＝{1,2}，∁U M＝{3}，则U＝________.{1,2,3} [U＝M∪{∁U M}＝{1,2}∪{3}＝{1,2,3}．]4．若集合A＝{x|x>1}，则∁R A＝________.【导学号：37102063】{x|x≤1}[∵A＝{x|x>1}，∴∁R A＝{x|x≤1}．][合作探究·攻重难]补集的运算(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________；(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________.(1){2,3,5,7} (2){x|x<－3或x＝5} [(1)法一(定义法) 因为A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．法二(Venn图法) 满足题意的Venn图如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集的定义可知∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．]定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解图法：借助数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题[跟踪训练]1．(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，则∁A B等于( )A．{2,4} B．{0,1,3,5}C．{1,3,5,6} D．{x∈N*|x≤6}(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁U A＝________.【导学号：37102064】(1)C(2){x|0<x<2，或x≥6}[(1)因为A＝{x∈N*|x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,4}，所以∁A B＝{1,3,5,6}．故选C.(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁U A＝{x|0<x<2，或x≥6}．]集合交、并、补集的综合运算设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R B，∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.[解]把集合A，B在数轴上表示如下：由图知∁R B＝{x|x≤2或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．因为∁R A＝{x|x<3，或x≥7}，所以(∁R A)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算[跟踪训练]2．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.【导学号：37102065】[解]法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．法二(定义法)：(∁U B)∩A＝{1,9}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，∴∁U B＝{1,4,6,7,9}．又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴B＝{2,3,5,8}．∵(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，∴A＝{1,3,9}.与补集有关的参数值的求解[探究问题]1．若A，B是全集U的子集，且(∁U A)∩B＝∅，则集合A，B存在怎样的关系？提示：B⊆A2．若A，B是全集U的子集，且(∁U A)∪B＝U，则集合A，B存在怎样的关系？提示：A⊆B设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．思路探究：法一：由A 求∁U A ――→结合数轴∁U A ∩B ＝∅建立m 的不等关系 法二：∁U AB ＝∅――→等价转化B ⊆A[解] 法一(直接法)：由A ＝{x |x ＋m ≥0}＝{x |x ≥－m }，得∁U A ＝{x |x <－m }． 因为B ＝{x |－2<x <4}，(∁U A )∩B ＝∅，所以－m ≤－2，即m ≥2， 所以m 的取值范围是m ≥2.法二(集合间的关系)：由(∁U A )∩B ＝∅可知B ⊆A ， 又B ＝{x |－2<x <4}，A ＝{x |x ＋m ≥0}＝{x |x ≥－m }， 结合数轴：得－m ≤－2，即m ≥2.如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知集合M ＝{2,3,4}，N ＝{0,2,3,4,5}，则∁N M 等于( )【导学号：37102066】A ．{2,3,4}B ．{0,2,3,4,5}C ．{0,5}D ．{3,5}C [因为M ＝{2,3,4}，N ＝{0,2,3,4,5}，所以∁N M ＝{0,5}．故选C.] 2．U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( ) A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,3,4}D ．{0,2,4}D [∵∁U A ＝{0,4}，B ＝{2,4}，∴(∁U A )∪B ＝{0,2,4}．]3．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则(∁R S )∪T 等于( )【导学号：37102067】A ．{x |－2<x ≤1}B ．{x |x ≤－4}C ．{x |x ≤1}D ．{x |x ≥1}C [因为S ＝{x |x >－2}，所以∁R S ＝{x |x ≤－2}．而T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1}＝{x |x ≤1}．]4．已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________. 2 [∵A ＝{x |1≤x ＜a }，∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，∴A ∪(∁U A )＝U ＝{x |1≤x ≤5}，且A ∩(∁U A )＝∅，∴a ＝2.]5．已知全集U ＝{2,0,3－a 2}，U 的子集P ＝{2，a 2－a －2}，∁U P ＝{－1}，求实数a 的值.【导学号：37102068】[解] 由已知，得－1∈U ，且－1P ，因此⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2＝－1，a 2－a －2＝0，解得a ＝2.当a ＝2时，U ＝{2,0，－1}，P ＝{2,0}，∁U P ＝{－1}，满足题意．因此实数a 的值为2.。

第2课时补集及集合运算的综合应用【课标要求】1．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定集合的补集．2．熟练掌握集合的交、并、补运算．【核心扫描】1．求给定集合的补集．(重点)2．交、并、补的综合运算．(难点)新知导学1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}温馨提示：(1)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．(2)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x A}．3．补集的性质∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A. A∩(∁U A)= ∅类型一补集的运算【例1】(1)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()．A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}(2)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－3<x≤2}．①求∁U A，∁U B；②判断∁U A与∁U B的关系．[规律方法] 1.如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解，并注意借助Venn图．2．如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，解答过程中注意边界问题．【活学活用1】设U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求∁U A、∁U B.类型二补集的应用【例2】已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且B∁R A，求a的取值范围．[规律方法]解答本题的关键是利用B∁U A，对B＝与B≠进行分类讨论，转化为与之等价的不等式(组)求解．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，注意检验．【活学活用2】设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.类型三交、并、补的综合运算【例3】设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}, B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，A∩B＝{2}．(1)求a的值及A，B；(2)设全集U＝A∪B，求(∁U A)∪(∁U B)；(3)写出(∁U A)∪(∁U B)的所有子集．[规律方法] 1.在第(2)问中，易误认为“∁U A＝B，∁U B＝A”导致逻辑错误．2．进行集合的交、并、补运算时应紧扣定义，适当借助Venn图及数轴等工具．【活学活用3】设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.方法技巧补集思想的应用有些数学问题，若直接从正面解决，或解题思路不明朗，或需要考虑的因素太多，可用补集思想考虑其对立面，即从结论的反面去思考，探索已知和未知之间的关系，从而化繁为简，化难为易，开拓解题思路．【示例】已知集合A＝{y|y＞a2＋1，或y＜a}，B＝{y|2≤y≤4}，若A∩B≠ ，求实数a的取值范围．[题后反思] “正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可先求∁U A ，再由∁U (∁U A)＝A 求A.课堂达标1．若全集M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,4}，则∁M N ＝( )． A B ．{1,3,5} C ．{2,4} D ．{1,2,3,4,5}2．设全集U ＝M ∪N ＝{1,2,3,4,5}，M ∩∁U N ＝{2,4}，则N ＝( )．A ．{1,2,3}B ．{1,3,5}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4}3．若全集U ＝R ，集合A ＝{x|x ≥1}∪{x|x ≤0}，则∁U A ＝________.4．已知全集U ＝{2,5,8}，且∁U A ＝{2}，则集合A 的真子集有________个．5．已知全集U ＝R ，A ＝{x|－4≤x ≤2}，B ＝{x|－1<x ≤3}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≤0或x ≥52， (1)求A ∩B ； (2)求(∁U B)∪P ； (3)求(A ∩B)∩(∁U P)．。

1.3 集合的基本运算 第2课时 补集及综合应用【学习目标】一．全集文字语言 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为______记法 通常记作____图示二．补集文字语言 对于一个集合A ，由全集U 中______集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于______的补集，简称为集合A 的补集，记作______符号语言 ∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ____A }图形语言(1)∁U U ＝ ；(2)∁U ∅＝ ；(3)∁U (∁U A )＝ ； (4)A ∪∁U A ＝ ；(5)A ∩∁U A ＝ 。

【小试牛刀】思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)设全集是U ，集合A ⊆U ，若x 是U 中的任一元素，则要么x ∈A ，要么x ∈A ，二者必居其一且只具其一．( ) (2)全集没有补集．( )(3)同一个集合，对于不同的全集，其补集也不相同．( ) (4)已知集合A ＝{x | x ＜1}，则∁R A ＝{ x | x ＞1} ( )【经典例题】题型一 补集定义的应用学习目标学科素养 1. 掌握交集与并集的区别，了解全集、补集的意义；(难点) 2. 正确理解补集的概念，正确理解符号“U C A ”的含义； 3. 会求已知全集的补集，解决一些综合运算. (重点).1、逻辑推理2、直观想象3、数学运算例1 设U={x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求∁U A，∁U B.【跟踪训练】1 设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B).题型二交、并、补的综合运算点拨：求集合交、并、补运算的方法例2 已知全集U＝{ x| x≤4}，集合A＝{ x |－2＜x＜3}，B＝{ x |－3≤x≤2}，求A∩(∁U B).【跟踪训练】2已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁U A，A∩B，∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.题型三利用集合间的关系求参数例3已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁U A)∩B＝{2}，(∁U B)∩A＝{4}，求A∪B.【跟踪训练】3 已知集合A＝{ x | x >a2+1或x＜a}，B＝{ x |2≤x≤4}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围。

新教材高中数学新人教B 版选择性必修第二册：1.3 集合的基本运算1.3.2 补集及综合应用教学目的：（1）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（2）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

课 型：新授课教学重点：集合的补集的概念；教学难点：集合的补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；教学过程：一、引入课题我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？二、新课教学1.全集（1）概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（2）记法：通常记作U .思考1：在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．2.补集思考2：怎样理解补集？提示：（1）补集是相对于全集而言的，一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．（2）补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．在给定全集U 的情况下，求集合A 的补集的前提是A 为全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．3.基础自测已知集合{|5A x x =<-或7}x >，则R C A =（ ）A ．{|57}x x -<<B ．{|57}x x -≤≤C ．{|5}{|7}x x x x <-⋃>D ．{|5}{|7}x x x x ≤-⋃≥解析：∵{|5A x x =<-或7}x >，∴{|57}R C A x x =-≤≤，故选B ．2．（2019·贵州遵义市高一期末测试）已知集合{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，{2,4}B =，则()U C A B ⋃= （ ）A ．{2,4,5}B ．{1,3,4}C ．{1,2,4}D ．{2,3,4,5}解析：∵{2,5}U C A =，∴(){2,5}{2,4}{2,4,5}U C A B ⋃=⋃=．3．（2019·浙江，1）已知全集{1,0,1,2,3}U =-，集合{0,1,2}A =，{1,0,1}B =-，则()U C A B ⋃=（ ）A ．{1}-B ．{0,1}C ．{1,2,3}-D ．{1,0,1,3}-解析：∵{1,3}U C A =-，∴(){1,3}{1,0,1}{1}U C A B ⋃=-⋂-=-，故选A ．三、题型探究题型一 补集的基本运算例1 （1）已知全集为U ，集合{1,3,5,7}A =，{2,4,6}U C A =， {1,4,6}U C B =，则集合B =______.（2）已知全集{|5}U x x =≤，集合{|35}A x x =-≤<，则U C A _______.分析：（1）先结合条件，由补集的性质求出全集U ，再由补集的定义求出集合B ，也可借助Venn 图求解．（2）利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解．解析：（1）∵{1,3,5,7}A =，{2,4,6}U C A =，∴{1,2,3,4,5,6,7}U =．又{1,4,6}U C B =，∴{2,3,5,7}B =．（2）将全集U 和集合A 分别表示在数轴上，如图所示．由补集的定义可知{|3U C A x x =<-或5}x =．归纳提升 求集合的补集的方法1．定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．2．Venn 图法：借助Venn 图可直观地求出全集及补集．3．数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题． 题型二 交集、并集、补集的综合运算例 2 已知全集{|4}U x x =≤，集合{23}A x =-<<，{|32}B x x =-≤≤，求A B ⋂，()U C A B ⋃，()U A C B ⋂．分析：对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全集U 及集合A 、B ，先求出U C A 及U C B ，再求解．解析：如图，由图可得{|2U C A x x =≤-或34}x ≤≤．如图，由图可得{|3U C B x x =<-或24}x <≤．如图，由图可得{|22}A B x x ⋂=-<≤，∴(){|2U C A B x x ⋃=≤或34}x ≤≤，(){|23}U A C B x x ⋂=<<．归纳提升 求集合交、并、补运算的方法题型三 与补集相关的参数值的求解例3 已知集合2{|1A x y a =>+或}y a <，{|24}B y y =≤≤，若A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围．分析： 由于集合A 包含两个不等式，若直接利用交集不为空集求解，则所分情况较多，因此考虑从交集为空集的角度入手．解析： 因为2{|1A x y a =>+或}y a <，{|24}B y y =≤≤，我们不妨先考虑当A B ⋂=∅时a 的取值范围，在数轴上表示集合A ，B ，如图所示．由2214a a ≤⎧⎨+≥⎩，得233a a a ≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或 故3a ≤-32a ≤≤.即A B ⋂=∅时，a 的取值范围为3a ≤-32a ≤≤，故A B ⋂≠∅时，a 的取值范围为2a >或33x -<归纳提升 当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．其解题步骤为：（1）否定已知条件，考虑反面问题；（2）求解反面问题对应的参数范围；（3）取反面问题对应的参数范围的补集．四、学科素养“正难则反”思想的应用“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可运用“正难则反”策略先求U C A ，再由()U U C C A A =求A ．例5 已知2{|280}A x x x =--=，22{120}B x ax a =++-=．若B A A ⋃≠，求实数a 的取值集合．分析： 要求B A A ⋃≠，可先求B A A ⋃=时，a 的取值集合，再求出该集合在实数集R 中的补集即可．解析：若B A A ⋃=，则B A ⊆．∵2{|280}{2,4}A x x x =--==-，∴集合B 有以下三种情况：①当B =∅时，224(12)0a a ∆=--<，即216a >，∴4a <-或4a >；②当B 是单元素集时，224(12)0a a ∆=--=，∴4a =-或4a =.若4a =-，则{2}B A =；若4a =，2{}B A =-⊆；③当{2,4}B =-时，2-，4是方程22120x ax a ++-=的两根，2241224a a -=-+⎧⎨-=-⨯⎩，∴2a =-.综上可得，B A A ⋃=时，a 的取值集合为{|4a a <-或2a =-或4}a ≥．∴B A A ⋃≠的实数a 的取值集合为{|44a a -≤<且2}a ≠-.归纳提升 补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的一种体现．。

优质资料---欢迎下载第2课时补集及综合应用学习目标1．了解全集的含义及其符号表示．(易混点)2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)核心素养1．通过补集的运算培养数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养自主学习1.全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U．思考：全集一定是实数集R吗？[提示]全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.2．补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的文字语言集合称为集合A相对于全集U的补集，记作U A 符号语言U A＝{x|x∈U，且x A}图形语言1．已知全集U＝{0，1，2}，且U A＝{2}，则A＝()A．{0}B．{1}C．D．{0，1}D[∵U＝{0，1，2}，U A＝{2}，∴A＝{0，1}，故选D.]2．设全集为U，M＝{0，2，4}，U M＝{6}，则U等于() A．{0，2，4，6} B．{0，2，4}C．{6} D．A[∵M＝{0，2，4}，U M＝{6}，∴U＝M∪U M＝{0，2，4，6}，故选A.]3．若集合A＝{x|x>1}，则R A＝________．{x|x≤1}[∵A＝{x|x>1}，∴R A＝{x|x≤1}．]互动探究H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1⇨补集的基本运算典例1已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，求集合B．[思路分析]先由集合A与∁U A求出全集，再由补集定义求出集合B，或利用V enn图求出集合B．[解析]解法一：A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助Venn图，如图所示，由图可知B＝{2,3,5,7}『规律方法』求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解．②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．〔跟踪练习1〕(1)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝(B)A．∅B．{2}C．{5} D．{2,5}(2)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝__2__.[解析](1)由题意知集合A＝{x∈N|x≥5}，则∁U A＝{x∈N|2≤x＜5}＝{2}，故选B．(2)∵A∪(∁U A)＝U，且A∩(∁U A)＝∅，∴A＝{x|1≤x＜2}，∴a＝2.命题方向2⇨交集、并集、补集的综合运算典例2已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)．[思路分析]对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全集U及集合A、B，先求出∁U A 及∁U B，再求解．[解析]如图，由图可得∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}．如图，由图可得∁U B＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}．如图，由图可得A∩B＝{x|－2＜x≤2}，∴(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}．『规律方法』求集合交、并、补运算的方法〔跟踪练习2〕(1)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁U B)＝__{1,2,3}__；(2)设U ＝R ，A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩(∁U B )＝( B ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |x ＜0}D ．{x |x ＞1}[解析] (1)∁U B ＝{2}，A ∪(∁U B )＝{1,2,3}．(2)∵U ＝R ，B ＝{x |x ＞1}，∴∁U B ＝{x |x ≤1}．又A ＝{x |x ＞0}，∴A ∩(∁U B )＝{x |0＜x ≤1}． Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi忽视空集或补集的性质易致错典例3 已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，A ⊆U ，求∁U A 及q 的值．[错解] 当q ＝0时，x 2－5x ＋q ＝0的根为x ＝5，x ＝0，5∈U ，此时A ＝{5}，∁U A ＝{1,2,3,4}． 当q ≠0时，由韦达定理知方程x 2－5x ＋q ＝0的根在1,2,3,4,5中取时，只可能是3或2,1或4，因此q ＝6时，A ＝{2,3}，∁U A ＝{1,4,5}．q ＝4时，A ＝{1,4}，∁U A ＝{2,3,5}． 所以q ＝0时，∁U A ＝{1,2,3,4}，q ＝4时，∁U A ＝{2,3,5}，q ＝6时，∁U A ＝{1,4,5}．[错因分析] 错解中没有注意到A ⊆U ，当q ＝0时，A ＝{0,5}U ，另外，当A ＝∅时，∁U A ＝U ，此时方程x 2－5x ＋q ＝0无实数解．[正解] ①若A ＝∅，则∁U A ＝U ，此时方程x 2－5x ＋q ＝0无实数解．∴Δ＜0，即25－4q ＜0，∴q ＞254.②若A ≠∅，由于方程x 2－5x ＋q ＝0的两根之和为5，又由于两根只能从1,2,3,4,5中取值，因此A ＝{1,4}或{2,3}当A ＝{1,4}时，∁U A ＝{2,3,5}，q ＝4； 当A ＝{2,3}时，∁U A ＝{1,4,5}，q ＝6.[警示] 本题易错点：(一)忽略A ⊆U ，求出q 的值后不验证A ⊆U 是否成立；(二)不考察A ＝∅的情形．X 学科核心素养ue ke he xin su yang“正难则反”思想的应用“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可运用“正难则反”策略先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A求A ．补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．典例4 已知A ＝{x |x 2－2x －8＝0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋a 2－12＝0}．若B ∪A ≠A ，求实数a 的取值集合．[思路分析] 要求B ∪A ≠A ，可先求B ∪A ＝A 时，a 的取值集合，再求出该集合在实数集R 中的补集即可．[解析] 若B ∪A ＝A ，则B ⊆A ．∵A ＝{x |x 2－2x －8＝0}＝{－2,4}，∴集合B 有以下三种情况：①当B ＝∅时，Δ＝a 2－4(a 2－12)<0，即a 2>16，∴a <－4或a >4； ②当B 是单元素集时，Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，∴a ＝－4或a ＝4. 若a ＝－4，则B ＝{2}A ；若a ＝4，则B ＝{－2}⊆A ；③当B ＝{－2,4}时，－2,4是方程x 2＋ax ＋a 2－12＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－2＋4a 2－12＝－2×4，∴a ＝－2.综上可得，B ∪A ＝A 时，a 的取值集合为{a |a <－4或a ＝－2或a ≥4}． ∴B ∪A ≠A 的实数a 的取值集合为{a |－4≤a <4且a ≠－2}．课堂达标1．(2019·吉林乾安七中高一期末测试)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )＝( D )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}[解析] A ∪B ＝{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，∴∁U (A ∪B )＝{4}．2．如图，I 是全集，A ，B ，C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( D )A ．(∁I A ∩B )∩C B ．(∁I B ∪A )∩C C ．(A ∩B )∩(∁I C )D ．(A ∩∁I B )∩C[解析] 由图可知阴影部分中的元素属于A ，不属于B ，属于C ，则阴影部分表示的集合是(A ∩∁I B )∩C ．3．(2019·全国卷Ⅰ文，2)已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,3,4,5}，B ＝{2,3,6,7}，则B ∩(∁U A )＝( C )A ．{1,6}B ．{1,7}C ．{6,7}D ．{1,6,7}[解析] ∵∁U A ＝{1,6,7} ，∴B ∩{∁U A }＝{2,3,6,7}∩{1,6,7}＝{6,7}，故选C ．4．(2019·河北沧州市高一期末测试)已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{3,4,5}，B ＝{4,5,6}，则(∁U A )∪(∁U B )＝__{1,2,3,6}__.[解析]∁U A＝{1,2,6}，∁U B＝{1,2,3}，∴(∁U A)∪(∁U B)＝{1,2,3,6}．5．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A)∩B＝__{7,9}__.[解析]由题意，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故∁U A＝{4,6,7,9,10}，所以(∁U A)∩B＝{7,9}．课时作业A级基础巩固一、选择题1．(2019·山东烟台高一期中测试)设全集U＝{x|x是小于5的非负整数}，A＝{2,4}，则∁U A＝(C)A．{1,3}B．{1,3,5}C．{0,1,3} D．{0,1,3,5}[解析]∵U＝{0,1,2,3,4}，A＝{2,4}，∴∁U A＝{0,1,3}．2．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为(C)A．{1,2, 4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}[解析]因为U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2,3}，所以∁U A＝{0,4}，故(∁U A)∪B＝{0,2,4}．3．已知集合U＝{x|x＞0}，∁U A＝{x|0＜x＜2}，那么集合A＝(C)A．{x|x≤0或x≥2} B．{x|x＜0或x＞2}C．{x|x≥2} D．{x|x＞2}[解析]利用数轴分析，可知A＝{x|x≥2}．4．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝(D)A．{x|x≥0} B{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}[解析]∵A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．故选D．5．(2019·南阳市高一期末测试)如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是(C)A．∁U(A∩B)∩C B．∁U(B∩C)∩AC ．A ∩∁U (B ∪C )D ．∁U (A ∪B )∩C[解析] 由图可知图中阴影部分表示的集合是A ∩∁U (B ∪C )．6．已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |x ＜2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则a 满足( A ) A ．a ≥2 B ．a ＞2 C ．a ＜2D ．a ≤2[解析] ∁R B ＝{x |x ≥2}，则由A ∪(∁R B )＝R 得a ≥2，故选A ． 二、填空题7．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝__－3__. [解析] ∵∁U A ＝＝{1,2}，∴A ＝{0,3}． ∴0,3是方程x 2＋mx ＝0的两根． ∴0＋3＝－m .∴m ＝－3.8．已知全集U ＝R ，M ＝{x |－1<x <1}，∁U N ＝{x |0<x <2}，那么集合M ∪N ＝__{x <1或x ≥2}__.[解析] ∵U ＝R ，∁U N ＝{x |0<x <2}， ∴N ＝{x |x ≤0或x ≥2}，∴M ∪N ＝{x |－1<x <1}∪{x |x ≤0或x ≥2} ＝{x |x <1或x ≥2}． 三、解答题9．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．[解析] 将集合A ，B ，P 表示在数轴上，如图．∵A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}． ∵∁U B ＝{x |x ≤－1或x >3}， ∴(∁U B )∪P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，∴(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1<x <2}∩{x |0<x <52}＝{x |0<x <2}．B 级 素养提升一、选择题1．(2019·山东莒县一中高一期末测试)如图，I 是全集，M ，P ，S 是I 的子集，则阴影部分所表示的集合是( C )A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩(∁I S) D．(M∩P)∪(∁I S)[解析]由图可知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a∈∁I S，故阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(∁I S)．2．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于(D)A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)[解析]根据已知可知，M∪N＝{1,2,3,4}，M∩N＝∅，(∁U M)∪(∁U N)＝{1,4,5,6}∪{2,3,5,6}＝{1,2,3,4,5,6}，(∁U M)∩(∁U N)＝{1,4,5,6}∩{2,3,5,6}＝{5,6}，因此选D．3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则∁U A的所有非空子集的个数为(B)A．4 B．3C．2 D．1[解析]∵∁U A＝{2,4}，∴非空子集有22－1＝3个，故选B．4．设P＝{x|x>4}，Q＝{x|－2<x<2}，则(D)A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊇∁R Q D．Q⊆∁R P[解析]∵Q＝{x|－2<x<2}，而∁R P＝{x|x≤4}，∴Q⊆∁R P.二、填空题5．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3}，集合B＝{3,4,6}，集合U，A，B的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合用列举法表示为__{4,6}__.[解析]由题意可知，阴影部分所表示的集合为B∩(∁U A)．∵U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3}，∴∁U A＝{2,4,5,6}．∵B＝{3,4,6}，∴B∩(∁U A)＝{4,6}．6．已知全集为R，集合M＝{x∈R|－2＜x＜2}，P＝{x|x≥a}，并且M⊆∁R P，则a的取值范围是__a ≥2__.[解析] M ＝{x |－2＜x ＜2}，∁R P ＝{x |x ＜a }．∵M ⊆∁R P ，∴由数轴知a ≥2. 三、解答题7．设全集I ＝{2,3，x 2＋2x －3}，A ＝{5}，∁I A ＝{2，y }，求实数x 、y 的值． [解析] 因为A ＝{5}，∁I A ＝{2，y }． 所以I ＝{2,5，y }， 又I ＝{2,3，x 2＋2x －3}，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3＝5y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3. 故x ＝2，y ＝3或x ＝－4，y ＝3.8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，且B ⊆∁R A ，求a 的取值范围．[解析] 由题意得∁R A ＝{x |x ≥－1}．(1)若B ＝∅，则a ＋3≤2a ，即a ≥3，满足B ⊆∁R A ． (2)若B ≠∅，则由B ⊆∁R A ，得2a ≥－1且2a <a ＋3， 即－12≤a <3.综上可得a ≥－12.9．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．[解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B ， ∴4－2a ＋b ＝0.①又∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ， ∴16＋4a ＋12b ＝0.②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧4－2a ＋b ＝016＋4a ＋12b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝87b ＝－127.经检验，符合题意：∴a ＝87，b ＝－127.。

第2课时补集及综合应用学习目标1。

理解全集、补集的概念;2。

准确翻译和使用补集符号和Venn图;3。

会求补集,并能解决一些集合综合运算的问题．知识点一全集思考老和尚问小和尚:如果你前进是死，后退是亡，那你怎么办？小和尚说:“我从旁边绕过去．”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些？小和尚设定的运动方向共有哪些？答案老和尚设定的运动方向只有2个：前进，后退．小和尚偷换了前提:运动方向可以是四面八方任意方向.思考实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数?答案剩下不大于1的数，用集合表示为｛x∈R｜x≤1}。

类型一求补集例1（1)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2，3｝，B＝｛3，4，5,6},求∁U A，∁U B；(2）设全集U＝{x｜x是三角形}，A＝｛x｜x是锐角三角形｝，B＝{x|x是钝角三角形｝，求A∩B，∁U(A∪B)．解（1）根据题意可知，U＝{1,2，3,4，5,6，7,8}，所以∁U A＝{4,5，6，7,8｝,∁U B＝｛1,2，7,8}．（2）根据三角形的分类可知A∩B＝∅,A∪B＝｛x｜x是锐角三角形或钝角三角形}，∁U（A∪B）＝{x｜x是直角三角形｝．反思与感悟研究补集必须是在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异,全集常用U 来表示．跟踪训练1设全集U＝｛1,3,5,6，8}，A＝{1,6}，B＝{5,6,8｝,则（∁U A）∩B等于（) A．{6｝B．{5，8｝C．｛6,8}D．｛3，5，6,8｝答案B解析依据补集和交集的定义，用Venn图表示或观察U，A，B中的元素,可得∁U A＝{3,5,8｝，则(∁U A）∩B＝{5，8}．类型二准确翻译和使用补集符号和Venn图例2已知A＝{0，2,4,6｝，∁U A＝{－1,－3,1,3}，∁U B＝{－1,0,2｝，用列举法写出集合B。

解∵A＝{0,2，4,6｝,∁U A＝｛－1，－3，1，3｝，∴U＝｛－3，－1,0,1,2，3，4,6｝．而∁U B＝{－1,0，2}，∴B＝∁U（∁U B)＝{－3，1，3,4,6｝．反思与感悟在解决问题时，从正面解决有时很复杂，这时就可用补集思想从反面考虑．而要用补集，就要能准确翻译和使用补集符号与Venn图．跟踪训练2如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A ＝{x｜0≤x≤2}，B＝｛y｜y＞1｝，则A＊B＝________________。

第2课时补集及集合运算的综合应用[学习目标] 1.了解全集的意义和它的记法．理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.2.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题．[知识链接]上课前，老师让班长统计班内的出勤情况，班长看看教室里的同学，就知道哪些同学未到，这么短的时间，他是如何做到的呢？[预习导引]1．全集(1)定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.2．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言3.∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A.要点一简单的补集运算例1 (1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A等于( ) A．{1,2} B．{3,4,5}C．{1,2,3,4,5} D．∅(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁U A＝________.答案(1)B (2){x|x＜1}解析(1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁U A＝{3,4,5}．(2)由补集的定义，结合数轴可得∁U A＝{x|x＜1}．规律方法 1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．2．解题时要注意使用补集的几个性质：∁U U＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁U A)＝U.跟踪演练1 已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则∁U A＝________.答案{x|x＝－3，或x＞4}解析借助数轴得∁U A＝{x|x＝－3，或x＞4}．要点二交集、并集、补集的综合运算例2 (1)已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B等于( )A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅(2)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于( )A．{x|－2＜x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}答案(1)A (2)C解析(1)∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁U B＝{3,4}，∴A∩∁U B＝{3}．(2)因为S＝{x|x＞－2}，所以∁R S＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．规律方法 1.集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．跟踪演练2 设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.解把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，∴∁R (A ∪B )＝{x |x ≤2，或x ≥10}． ∵∁R A ＝{x |x ＜3，或x ≥7}，∴(∁R A )∩B ＝{x |2＜x ＜3，或7≤x ＜10}． 要点三 补集的综合应用例3 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－1}，B ＝{x |2a ＜x ＜a ＋3}，且B ⊆∁R A ，求a 的取值范围．解 由题意得∁R A ＝{x |x ≥－1}．(1)若B ＝∅，则a ＋3≤2a ，即a ≥3，满足B ⊆∁R A . (2)若B ≠∅，则由B ⊆∁R A ，得2a ≥－1且2a ＜a ＋3， 即－12≤a ＜3.综上可得a ≥－12.规律方法 1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况；2．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． 跟踪演练3 已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x ＜－1，或x ＞0}，若A ∩(∁R B )＝∅，求实数a 的取值范围．解 ∵B ＝{x |x ＜－1，或x ＞0}， ∴∁R B ＝{x |－1≤x ≤0}，因而要使A ∩(∁R B )＝∅，结合数轴分析(如图)， 可得a ≤－1.1．若全集M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,4}，则∁M N 等于( ) A ．∅ B ．{1,3,5} C ．{2,4} D ．{1,2,3,4,5} 答案 B解析 ∁M N ＝{1,3,5}，所以选B.2．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则B ∩∁U A 等于( ) A ．{2} B ．{3,4} C ．{1,4,5} D ．{2,3,4,5} 答案 B解析∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁U A＝{3,4,5}，∴B∩∁U A＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}．3．已知M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )A．2个 B．4个C．6个 D．8个答案 B解析∵P＝{1,3}，∴子集有22＝4个．4.已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}答案 A解析图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁U A)∩B ＝{－1,2}．5．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A＝________.答案{x|0＜x＜1}解析∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，∴∁U A＝{x|0＜x＜1}．1.对集合中含参数的元素，要由条件先求出参数再作集合的运算．2．集合是实数集的真子集时，其交、并、补运算要结合数轴进行．3．有些较复杂的集合的运算可以先化简再进行．如(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)，计算等号前的式子需三次运算，而计算等号后的式子需两次运算．一、基础达标1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于( )A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4}答案 D解析∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，∴∁U(A∪B)＝{4}．2．已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A )∩B 等于( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1} D ．{0,1} 答案 A解析 因为集合A ＝{x |x ＞－1}， 所以∁R A ＝{x |x ≤－1}，则(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2，－1,0,1} ＝{－2，－1}．3．设U ＝R ，A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩(∁U B )等于( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |x ＜0} D ．{x |x ＞1} 答案 B解析 ∁U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩(∁U B )＝{x |0＜x ≤1}．4．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x ＜－2，或x ＞2}，N ＝{x |1≤x ≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x ＜1}B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |x ≤2，或x ＞3}D ．{x |－2≤x ≤2} 答案 A解析 阴影部分所表示的集合为∁U (M ∪N )＝(∁U M )∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x ＜1或x ＞3}＝{x |－2≤x ＜1}．故选A.5．已知集合A ＝{x |0≤x ≤5}，B ＝{x |2≤x ＜5}，则∁A B ＝________. 答案 {x |0≤x ＜2，或x ＝5} 解析 如图：由数轴可知：∁A B ＝{x |0≤x ＜2，或x ＝5}．6．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ≥1}，则∁U A 与∁U B 的包含关系是________． 答案 ∁U A ∁U B解析 ∵∁U A ＝{x |x ＜0}，∁U B ＝{y |y ＜1}＝{x |x ＜1}． ∴∁U A ∁U B .7．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤0，或x ≥52，(1)求A ∩B ； (2)求(∁U B )∪P ； (3)求(A ∩B )∩(∁U P )．解 (1)A ∩B ＝{x |－1＜x ≤2}． (2)∵∁U B ＝{x |x ≤－1，或x ＞3}，∴(∁U B )∪P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤0，或x ≥52.(3)∵∁U P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜52，∴(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1＜x ≤2}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜52＝{x |0＜x ≤2}．二、能力提升8．已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B．a ＜1 C ．a ≥2 D．a ＞2 答案 C解析 如图所示，若能保证并集为R ，则只需实数a 在数2的右边(含端点2)，所以a ≥2.9．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪SC ．(M ∩P )∩(∁I S )D ．(M ∩P )∪(∁I S ) 答案 C解析 依题意，由题干图知，阴影部分对应的元素a 具有性质a ∈M ，a ∈P ，a ∈∁I S, 所以阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩(∁I S )，故选C.10．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________． 答案 12解析 设两项运动都喜欢的人数为x ，画出Venn 图得到方程15－x ＋x ＋10－x ＋8＝30⇒x ＝3，所以，喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12(人)． 11．已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }． (1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围． 解 (1)m ＝1，B ＝{x |1≤x ＜4}，A ∪B ＝{x |－1＜x ＜4}．(2)∁R A ＝{x |x ≤－1，或x ＞3}．当B ＝∅时，即m ≥1＋3m 得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ，当B ≠∅时，使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1＋3m ，m ＞3，解得m ＞3.综上可知，实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ＞3，或m ≤－12.三、探究与创新12．已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}． (1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若全集U ＝R ，且A ⊆(∁U B )，求a 的取值范围． 解 ∵A ＝{x |－4≤x ≤－2}，B ＝{x |x ≥a }， (1)由A ⊆B ，结合数轴(如图所示)可知a 的范围为a ≤－4.(2)∵U ＝R ，∴∁U B ＝{x |x ＜a }，要使A ⊆∁U B ， 须a ＞－2.13．若集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．解 假设集合A 中含有2个元素，即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a ＞0，解得a ＜98且a ≠0，则a 的取值范围是{a |a ＜98，且a ≠0}．在全集U ＝R 中，集合{a |a ＜98，且a ≠0}的补集是{a |a ≥98，或a ＝0}，所以满足题意的a 的取值范围是{a |a ≥98，或a ＝0}．。

第2课时补集及综合应用知识点补集1．全集如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.2．补集状元随笔全集并不是一个含有任何元素的集合,仅包含所研究问题涉及的所有元素．∁U A的三层含义：(1)∁U A表示一个集合；(2)A是U的子集,即A ⊆U；(3)∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合．[教材解难]理解补集应关注三点(1)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的,因此,它们是相互依存、不可分割的两个概念．(2)∁U A包含三层意思：①A⊆U；②∁U A是一个集合,且∁U A⊆U；③∁U A是由U中所有不属于A的元素构成的集合．(3)若x∈U,则x∈A或x∈∁U A,二者必居其一．[基础自测]1．设全集U＝R,集合P＝{x|－2≤x<3},则∁U P等于( )A．{x|x<－2或x≥3} B．{x|x<－2或x>3}C．{x|x≤－2或x>3} D．{x|x≤－2且x≥3}解析：由P＝{x|－2≤x<3}得∁U P＝{x|x<－2或x≥3}．答案：A2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6},A＝{1,2},B＝{2,3,4},则A∩(∁U B)＝( )A．{1,2,5,6} B．{1}C．{2} D．{1,2,3,4}解析：∵∁U B＝{1,5,6},∴A∩(∁U B)＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1}．答案：B3．已知全集U＝R,A＝{x|x≤0},B＝{x|x≥1},则集合∁U(A∪B)等于( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}解析：A∪B＝{x|x≤0或x≥1},所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．故选D.答案：D4．已知集合U＝{2,3,6,8},A＝{2,3},B＝{2,6,8},则(∁U A)∩B＝________.解析：先计算∁U A,再计算(∁U A)∩B.∵U＝{2,3,6,8},A＝{2,3},∴∁U A＝{6,8}．∴(∁U A)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案：{6,8}题型一补集的运算[教材P13例5]例1 设U＝{x|x是小于9的正整数},A＝{1,2,3},B＝{3,4,5,6},求∁U A,∁U B.【解析】根据题意可知,U＝{1,2,3,4,5,6,7,8},所以∁U A＝{4,5,6,7,8},∁U B＝{1,2,7,8}.列举法,先求出全集,再利用补集的定义求∁U A,∁U B.教材反思求补集的原则和方法(1)一个基本原则．求给定集合A的补集,从全集U中去掉属于集合A的元素后,由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．(2)两种求解方法：①若所给的集合是有关不等式的集合,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据补集的定义求解,注意端点值的取舍．②若所给的集合是用列举法表示,则用Venn图求解．跟踪训练1 (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5},A ＝{1,3},则∁U A ＝( ) A ．∅ B ．{1,3} C ．{2,4,5} D ．{1,2,3,4,5}(2)设全集为R,集合A ＝{x|0<x<2},B ＝{x|x≥1},则A∩(∁R B)＝( ) A.{x|0<x≤1} B ．{x|0<x<1} C ．{x|1≤x<2} D ．{x|0<x<2}解析：(1)本小题考查集合的运算．∵U＝{1,2,3,4,5},A ＝{1,3},∴∁U A ＝{2,4,5}． 利用补集定义直接求．(2)本题主要考查集合的基本运算． 由B ＝{x|x≥1},得∁R B ＝{x|x<1},借助于数轴,可得A∩(∁R B)＝{x|0<x<1},故选B.利用数轴表示集合A 、B,结合数轴求出结果． 答案：(1)C (2)B题型二 集合交、并、补的综合运算[经典例题]例2 (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8},集合A ＝{2,3,5,6},集合B ＝{1,3,4,6,7},则集合A∩(∁U B)＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}(2)已知全集U ＝R,A ＝{x|－4≤x<2},B ＝{x|－1<x≤3},P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≤0或x ≥52,求A∩B ,(∁UB)∪P ,(A∩B)∩(∁U P)．【解析】 (1)因为U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8},B ＝{1,3,4,6,7},所以∁U B ＝{2,5,8}．又A ＝{2,3,5,6}, 所以A∩(∁U B)＝{2,5}． 先求∁U B,再求A∩∁U B.(2)将集合A,B,P 分别表示在数轴上,如图所示．因为A ＝{x|－4≤x<2},B ＝{x|－1<x≤3},所以A∩B＝{x|－1<x<2},∁U B ＝{x|x≤－1或x>3}．又P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≤0或x ≥52, 所以(∁U B)∪P＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≤0或x ≥52. 又∁U P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x<52,所以(A∩B)∩(∁U P)＝{x|－1<x<2}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x<52＝{x|0<x<2}． 根据集合的交集、补集、并集运算,画数轴,即可求解． 【答案】 (1)A (2)见解析 方法归纳求集合交、并、补运算的方法跟踪训练2 已知全集U ＝{x|x≤4},集合A ＝{x|－2<x<3},B ＝{x|－3<x≤3}．求∁U A,A∩B ,∁U (A∩B),(∁UA)∩B.解析：把全集U 和集合A,B 在数轴上表示如下：由图可知,∁U A ＝{x|x≤－2或3≤x≤4}, A∩B＝{x|－2<x<3},∁U (A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}, (∁U A)∩B＝{x|－3<x≤－2或x ＝3}． 借助数轴求出∁U A,∁U B 再运算．题型三 补集思想的应用[经典例题]例3 已知集合A ＝{x|x 2－4x ＋2m ＋6＝0},B ＝{x|x<0},若A∩B≠∅,求实数m 的取值范围． 【解析】 先求A∩B＝∅时m 的取值范围． (1)当A ＝∅时,①方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0无实根,所以Δ＝(－4)2－4(2m ＋6)＜0,解得m ＞－1. (2)当A≠∅,A∩B＝∅时,方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0的根为非负实根．②设方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0的两根为x 1,x 2,则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－4)2－4(2m ＋6)≥0，x 1＋x 2＝4≥0，x 1x 2＝2m ＋6≥0，③即⎩⎪⎨⎪⎧m≤－1，m≥－3，解得－3≤m≤－1,综上,当A∩B＝∅时, m 的取值范围是{m|m≥－3}． 又因为U ＝R,④ 所以当A∩B≠∅时,m 的取值范围是∁R {m|m≥－3}＝{m|m<－3}． 所以,A∩B≠∅时,m 的取值范围是{m|m<－3}．状元随笔 ①A∩B＝∅,对于集合A 而言,分A ＝∅与A≠∅两种情况. A ＝∅表示方程无实根． ②B＝{x|x<0},而A∩B＝∅,故A {x|x≥0},即已知方程的根为非负实根．③Δ≥0保证了A≠∅,即原方程有实根；x 1＋x 2≥0与x 1x 2≥0保证了原方程两根非负. 如果两根都大于1,则等价形式为⎩⎪⎨⎪⎧(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，而不是⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2>2，x 1x 2>1.④由于A∩B≠∅,故方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0一定有解,故我们还可以设全集U ＝{m|Δ≥0}＝{m|m≤－1}．此时,{m|－3≤m≤－1}关于U 的补集也是{m|m<－3},结果相同.方法归纳(1)运用补集思想求参数范围的方法： ①否定已知条件,考虑反面问题； ②求解反面问题对应的参数范围； ③将反面问题对应参数的范围取补集． (2)补集思想适用的情况：从正面考虑,情况较多,问题较复杂的时候,往往考虑运用补集思想．跟踪训练3 设全集U ＝{3,6,m 2－m －1},A ＝{|3－2m|,6},∁U A ＝{5},求实数m. 解析：因为∁U A ＝{5},所以5∈U 但5∉A,所以m2－m－1＝5,解得m＝3或m＝－2.当m＝3时,|3－2m|＝3≠5,此时U＝{3,5,6},A＝{3,6},满足∁U A＝{5}；当m＝－2时,|3－2m|＝7≠5,此时U＝{3,5,6},A＝{6,7},不符合题意舍去．综上,可知m＝3.根据补集的定义,得到关于m的方程m2－m－1＝5,解得m的值后还需检验．课时作业 4一、选择题1．已知集合A＝{x|x2－x－2>0},则∁R A＝( )A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：本题主要考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法．化简A＝{x|x<－1或x>2},∴∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.答案：B2．已知A,B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集,且A∩B＝{3},(∁U B)∩A＝{9},则A＝( )A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}解析：因为A∩B＝{3},所以3∈A,又(∁U B)∩A＝{9},所以9∈A.若5∈A,则5∉B(否则5∈A∩B),从而5∈∁U B,则(∁U B)∩A＝{5,9},与题中条件矛盾,故5∉A.同理1∉A,7∉A,故A＝{3,9}．答案：D3．设全集U＝R,M＝{x|x<－2或x>2},N＝{x|1<x<3},则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}解析：阴影部分所表示集合是N∩(∁U M),又∵∁U M＝{x|－2≤x≤2},∴N∩(∁U M)＝{x|1<x≤2}．答案：C4．设集合M＝{x|－1≤x<2},N＝{x|x－k≤0},若(∁R M)⊇(∁R N),则k的取值范围是( ) A．k≤2 B．k≥－1C．k>－1 D．k≥2解析：由(∁R M)⊇(∁R N)可知M⊆N,则k的取值范围为k≥2.答案：D二、填空题5．设全集U＝{x∈N*|x≤9},∁U(A∪B)＝{1,3},A∩(∁U B)＝{2,4},则B＝________.解析：∵全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9},由∁U(A∪B)＝{1,3},得A∪B＝{2,4,5,6,7,8,9},由A∩(∁U B)＝{2,4}知,{2,4}⊆A,{2,4}⊆∁U B,∴B＝{5,6,7,8,9}．答案：{5,6,7,8,9}6．已知全集U＝R,M＝{x|－1<x<1},∁U N＝{x|0<x<2},那么集合M∪N＝________.解析：∵U＝R,∁U N＝{x|0<x<2},∴N＝{x|x≤0或x≥2},∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．答案：{x|x<1或x≥2}7．已知U＝R,A＝{x|a≤x≤b},∁U A＝{x|x<3或x>4},则ab＝________.解析：因为A∪(∁U A)＝R,A∩(∁U A)＝∅,所以a＝3,b＝4,所以ab＝12.答案：12三、解答题8．已知全集U＝R,集合A＝{x|－1<x<2},B＝{x|0<x≤3}．求：(1)A∩B；(2)∁U(A∪B)；(3)A∩(∁U B)．解析：(1)因为A＝{x|－1<x<2},B＝{x|0<x≤3},所以A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|0<x≤3}＝{x|0<x<2}．(2)A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|0<x≤3}＝{x|－1<x≤3},∁U(A∪B)＝{x|x≤－1或x>3}．(3)A∩(∁U B)＝{x|－1<x<2}∩{x|x>3或x≤0}＝{x|－1<x≤0}．9．已知全集U ＝{不大于20的素数},M,N 为U 的两个子集,且满足M∩(∁U N)＝{3,5},(∁U M)∩N＝{7,19},(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17},求M,N.解析：方法一 U ＝{2,3,5,7,11,13,17,19}, 如图,∴M＝{3,5,11,13},N ＝{7,11,13,19}． 方法二 ∵M∩(∁U N)＝{3,5}, ∴3∈M,5∈M 且3∉N,5∉N.又∵(∁U M)∩N＝{7,19},∴7∈N,19∈N 且7∉M,19∉M. 又∵(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}, ∴∁U (M∪N)＝{2,17},∴M＝{3,5,11,13},N ＝{7,11,13,19}． [尖子生题库]10．已知A ＝{x|－1<x≤3},B ＝{x|m≤x<1＋3m}． (1)当m ＝1时,求A∪B；(2)若B ⊆(∁R A),求实数m 的取值范围． 解析：(1)m ＝1时,B ＝{x|1≤x<4}, A∪B＝{x|－1<x<4}． (2)∁R A ＝{x|x≤－1或x>3}． 当B ＝∅,即m≥1＋3m 时, 得m≤－12,满足B ⊆(∁R A),当B≠∅时,要使B ⊆(∁R A)成立,则⎩⎪⎨⎪⎧m<1＋3m ，1＋3m≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m<1＋3m ，m>3，解之得m>3.综上可知,实数m 的取值范围是m>3或m≤－12.。

1.3.2集合的基本运算——补集及综合应用【教学目标】知识与技能：1.经历探索集合的补集过程，理解在给定集合中一个子集的的补集的含义，能求给定子集的补集。

2.在具体情境中，能使用自然语言、符号语言和图形语言（Venn 图）表达集合的补集，并能转换，体会图形对理解抽象概念的作用。

过程与方法：自主学习→发现问题→独立思考→合作探究→归纳总结→应用深化理解。

情感态度价值观：激发学生学习兴趣，培养学生树立正确的价值观。

【教学重难点】全集、补集的定义及应用【课前小测】1.判断（1）集合B A 中元素的个数就是集合A 和集合B 中的所有元素的个数和。

（ ）（2）若,C A B A =则B=C 。

（ ）（3）若A B A = ，则A B ⊆。

（ ）2.若集合}0|{>=x x A ，}12|{<<-=x x B ,则=B A3.若集合}0|{>=x x A ，}12|{<<-=x x B ,则=B A【知识梳理】1.全集(1)A ∪(∁U A )＝ ．(2)A ∩(∁U A )＝ .(3)∁U U ＝ ，∁U ∅＝ ，∁U (∁U A )＝ ． 【合作探究】探究一：补集的运算例1.设}9|{的正整数是小于x x U =，A={1,2,3}，B={3,4,5,6}，求∁U A ∁U B 。

练习：1若全集U }61|{*≤≤-∈=x N x ，集合A={1,2,4}，则∁U A=2.若全集U=R ，M }0)2(|{≤+=x x x ，则∁U M =探究二：并集、交集、补集的综合运算例2.设全集U={x|x 是三角形}，A={x|x 是锐角三角形}，B={x|x 是钝角三角形}，求A ∩B,∁U (A ∪B).练习：1.已知集合}23|{≤≤-=x x A ，B=}41|{≤≤x x ，求A ∩B,（∁U A ）∪B2.已知全集为R ，集合}42|{<≤=x x A ，}3872|{x x x B -≥-=，求A ∩B,A ∪（∁U B ）.探究三：由集合运算求参数取值或取值范围的问题例3.已知全集U=R ，集合}92|{<<=x x A ，}50-2-|{x x x B -≤≤=（1）求A ∩B, B ∪（∁U A ）（2）若集合}2|{a x a x C -≤≤=，且C ∪（∁U B ）=R ，求实数a 的取值范围。

第2课时补集及集合运算的综合应用1．理解全集、补集的概念．2．准确翻译和使用补集符号和Venn图．3．会求补集,并能解决一些集合综合运算的问题．1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.2．补集温馨提示：∁U A的三层含义：(1)∁U A表示一个集合；(2)A是U的子集,即A⊆U；(3)∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合．1．A＝{高一(1)班参加足球队的同学},B＝{高一(1)班没有参加足球队的同学},U＝{高一(1)班的同学}．(1)集合A,B,U有何关系？(2)B中元素与U和A有何关系？[答案] (1)U＝A∪B(2)B中的元素在U中,不在A中2．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)全集是由任何元素组成的集合．( )(2)不同的集合在同一个全集中的补集也不同．( )(3)集合∁B C与∁A C相等．( )(4)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素．( )[答案] (1)×(2)√(3)×(4)√题型一补集的运算【典例1】(1)已知全集U＝{x|x≤5},集合A＝{x|－3≤x<5},则∁U A＝________________；(2)已知全集U,集合A＝{1,3,5,7},∁U A＝{2,4,6},∁U B＝{1,4,6},则集合B＝________________.[思路导引] 借助补集定义,结合数轴及Venn图求解．[解析] (1)将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．(2)解法一：A＝{1,3,5,7},∁U A＝{2,4,6},∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6},∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助Venn图,如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．[答案] (1){x|x<－3或x＝5} (2){2,3,5,7}求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧①当集合用列举法表示时,可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析求解．[针对训练]1．设全集U＝R,集合A＝{x|2<x≤5},则∁U A＝________________.[解析] 用数轴表示集合A为图中阴影部分,∴∁U A＝{x|x≤2或x>5}．[答案] {x|x≤2或x>5}2．设U＝{x|－5≤x<－2或2<x≤5,x∈Z},A＝{x|x2－2x－15＝0},B＝{－3,3,4},则∁U A＝_______________,∁U B＝________________.[解析] 解法一：在集合U中,∵x∈Z,则x的值为－5,－4,－3,3,4,5,∴U＝{－5,－4,－3,3,4,5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5},∴∁U A＝{－5,－4,3,4},∁U B＝{－5,－4,5}．解法二：可用Venn图表示．则∁U A＝{－5,－4,3,4},∁U B＝{－5,－4,5}．[答案] {－5,－4,3,4} {－5,－4,5}题型二交集、并集、补集的综合运算【典例2】已知全集U＝{x|x≤4},集合A＝{x|－2<x<3},B＝{x|－3<x≤3}．求∁U A,A∩B,∁U(A∩B),(∁U A)∩B.[解] 把全集U和集合A,B在数轴上表示如下：由图可知∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4},A∩B＝{x|－2<x<3},∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4},(∁U A)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．解决集合交、并、补运算的2个技巧(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．(2)如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．[针对训练]3．设集合S＝{x|x>－2},T＝{x|－4≤x≤1},则(∁R S)∪T等于( )A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}[解析] ∵S＝{x|x>－2},∴∁R S＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1},∴(∁R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．[答案] C4．设全集为R,A＝{x|3≤x<7},B＝{x|2<x<10},则∁R(A∪B)＝________________,(∁R A)∩B＝________________.[解析] 由题意知,A∪B＝{x|2<x<10},∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．又∁R A＝{x|x<3或x≥7}．∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．[答案] {x|x≤2或x≥10} {x|2<x<3或7≤x<10}题型三利用集合间的关系求参数【典例3】设集合A＝{x|x＋m≥0},B＝{x|－2<x<4},全集U＝R,且(∁U A)∩B＝∅,求实数m的取值范围．[思路导引] 理清集合间的关系,分类求解．[解] 由已知A＝{x|x≥－m},得∁U A＝{x|x<－m},因为B＝{x|－2<x<4},(∁U A)∩B＝∅,所以－m≤－2,即m≥2,所以m的取值范围是m≥2.[变式] (1)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U A)∩B≠∅”,其他条件不变,则m的取值范围又是什么？(2)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U B)∪A＝R”,其他条件不变,则m的取值范围又是什么？[解] (1)由已知得A＝{x|x≥－m},所以∁U A＝{x|x<－m},又(∁U A)∩B≠∅,所以－m>－2,解得m<2.(2)由已知得A＝{x|x≥－m},∁U B＝{x|x≤－2或x≥4}．又(∁U B)∪A＝R,所以－m≤－2,解得m≥2.利用集合关系求参数的2个注意点(1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．(2)不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集．[针对训练]5．已知集合A＝{x|x<a},B＝{x|1<x<3}．(1)若A∪(∁R B)＝R,求实数a的取值范围；(2)若A?(∁R B),求实数a的取值范围．[解](1)∵B＝{x|1<x<3},∴∁R B＝{x|x≤1或x≥3},因而要使A∪(∁R B)＝R,结合数轴分析(如图),可得a≥3.(2)∵A＝{x|x<a},∁R B＝{x|x≤1或x≥3}．要使A?(∁R B),结合数轴分析(如图),可得a≤1.课堂归纳小结1．全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象,含有任何元素的集合,它是对于研究问题而言的一个相对概念,它仅含有所研究问题中涉及的所有元素,如研究整数,Z就是全集,研究方程的实数解,R就是全集．因此,全集因研究问题而异．(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的,因此,它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U,且x∉A},补集是集合间的运算关系．2．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想,即已知全集U,求子集A,若直接求A困难,可先求∁U A,再由∁U(∁U A)＝A求A.1．已知全集U＝R,A＝{x|x≤0},B＝{x|x≥1},则集合∁U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}[解析] ∵A＝{x|x≤0},B＝{x|x≥1},∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1},∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．故选D.[答案] D2．已知三个集合U,A,B之间的关系如图所示,则(∁U B)∩A＝( )A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}C．{1,2} D．{1,2,3}[解析] 由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8},A＝{1,2,3},B＝{3,5,6},所以(∁U B)∩A＝{1,2}．[答案] C3．设全集U＝{x∈N|x≤8},集合A＝{1,3,7},B＝{2,3,8},则(∁U A)∩(∁U B)＝( )A．{1,2,7,8} B．{4,5,6}C．{0,4,5,6} D．{0,3,4,5,6}[解析] ∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8},∴∁U A＝{0,2,4,5,6,8},∁U B＝{0,1,4,5,6,7},∴(∁U A)∩(∁U B)＝{0,4,5,6}．[答案] C4．全集U＝{x|0<x<10},A＝{x|0<x<5},则∁U A＝________.[解析] ∁U A＝{x|5≤x<10},如图所示．[答案] {x|5≤x<10}5．设全集U＝{2,3,a2＋2a－3},A＝{|2a－1|,2},且∁U A＝{5},求实数a的值．[解] ∵∁U A＝{5},∴5∈U,但5∉A,∴a2＋2a－3＝5,解得a＝2或a＝－4.当a＝2时,|2a－1|＝3,这时A＝{3,2},U＝{2,3,5}．∴∁U A＝{5},适合题意．∴a＝2.当a＝－4时,|2a－1|＝9,这时A＝{9,2},U＝{2,3,5},A⃘U,∴∁U A无意义,故a＝－4应舍去．综上所述,a＝2.课内拓展课外探究空集对集合关系的影响空集是不含任何元素的集合,它既不是有限集,也不是无限集．空集就像一个无处不在的幽灵,解题时需处处设防,提高警惕．空集是任何集合的子集,其中“任何集合”当然也包括了∅,故将会出现∅⊆∅.而此时按子集理解不能成立,原因是前面空集中无元素,不符合定义,因此知道这一条是课本“规定”．空集是任何非空集合的真子集,即∅?A(而A≠∅)．既然A≠∅,即必存在a∈A而a∉∅,∴∅?A.由于空集的存在,关于子集定义的下列说法有误,如“A⊆B,即A为B中的部分元素所组成的集合”．因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”、“A是A的子集”、“∅⊆∅”等结论．在解决诸如A⊆B或A?B类问题时,必须优先考虑A＝∅时是否满足题意．【典例1】已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0},B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0},求满足B⊆A的a的值组成的集合．[解] 由已知得A＝{－2,4},B是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a2－12＝0(*)的解集．方程(*)根的判别式Δ＝a2－4(a2－12)＝－3(a2－16)．(1)若B＝∅,则方程(*)没有实数根,即Δ<0,∴－3(a2－16)<0,解得a<－4或a>4.此时B⊆A.(2)若B≠∅,则B＝{－2}或{4}或{－2,4}．①若B＝{－2},则方程(*)有两个相等的实数根x＝－2,∴(－2)2＋(－2)a＋a2－12＝0,即a2－2a－8＝0.解得a＝4或a＝－2.当a＝4时,恰有Δ＝0；当a＝－2时,Δ>0,舍去．∴当a＝4时,B⊆A.②若B＝{4},则方程(*)有两个相等的实数根x＝4,∴42＋4a＋a2－12＝0,解得a＝－2,此时Δ>0,舍去．③若B＝{－2,4},则方程(*)有两个不相等的实数根x＝－2或x＝4,由①②知a＝－2,此时Δ>0,－2与4恰是方程的两根．∴当a＝－2时,B⊆A.综上所述,满足B⊆A的a值组成的集合是{a|a<－4或a＝－2或a≥4}．[点评] ∅有两个独特的性质,即：(1)对于任意集合A,皆有A∩∅＝∅；(2)对于任意集合A,皆有A∪∅＝A.正因如此,如果A∩B＝∅,就要考虑集合A或B可能是∅；如果A∪B＝A,就要考虑集合B可能是∅.【典例2】设全集U＝R,集合M＝{x|3a－1<x<2a,a∈R},N＝{x|－1<x<3},若N⊆(∁U M),求实数a的取值集合．[解] 根据题意可知：N≠∅,又∵N⊆(∁U M)．①当M＝∅,即3a－1≥2a时,a≥1.此时∁U M＝R,N⊆(∁U M)显然成立．②当M ≠∅,即3a －1<2a 时,a<1.由M ＝{x|3a －1<x<2a},知∁U M ＝{x|x ≤3a －1或x ≥2a}．又∵N ⊆(∁U M),∴结合数轴分析可知⎩⎪⎨⎪⎧a<1，3≤3a －1，或⎩⎪⎨⎪⎧a<1，2a ≤－1，得a ≤－12.综上可知,a 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥1或a ≤－12. [点评] 集合的包含关系是集合知识重要的一部分,在后续内容中应用特别广泛,涉及集合包含关系的开放性题目都以子集的有关性质为主,因此需要对相关的性质有深刻的理解．对于有限集,在处理包含关系时可列出所有的元素,然后依条件讨论各种情况,找到符合条件的结果．课后作业(五)复习巩固一、选择题1．设全集U ＝R,集合P ＝{x|－2≤x<3},则∁U P 等于( ) A ．{x|x<－2或x ≥3} B ．{x|x<－2或x>3} C ．{x|x ≤－2或x>3} D ．{x|x ≤－2且x ≥3}[解析] 由P ＝{x|－2≤x<3}得,∁U P ＝{x|x<－2或x ≥3}．故选A. [答案] A2．集合A ＝{x|－1≤x ≤2},B ＝{x|x<1},则A ∩(∁R B)＝( ) A ．{x|x>1} B ．{x|x ≥1} C ．{x|1<x ≤2}D ．{x|1≤x ≤2}[解析] ∵B ＝{x|x<1},∴∁R B ＝{x|x ≥1}． ∴A ∩(∁R B)＝{x|1≤x ≤2}． [答案] D3．已知全集U ＝{1,2,a 2－2a ＋3},A ＝{1,a},∁U A ＝{3},则实数a 等于( ) A ．0或2 B ．0 C ．1或2D ．2[解析] 由题意,知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.[答案] D4．设全集U 是实数集R,M ＝{x|x>2或x<－2},N ＝{x|x ≥3或x<1}都是全集U 的子集,则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{x|－2≤x<1}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|x<2}[解析] 阴影部分表示的集合为N∩(∁U M)＝{x|－2≤x<1},故选A.[答案] A5．设集合U＝{－1,1,2,3},M＝{x|x2＋px＋q＝0},若∁U M＝{－1,1},则实数p＋q的值为( )A．－1 B．－5C．5 D．1[解析] 由已知可得M＝{2,3},则2,3为方程x2＋px＋q＝0的两根,则p＝－(2＋3)＝－5,q＝2×3＝6.故p＋q＝－5＋6＝1.故选D.[答案] D二、填空题6．已知全集U＝{x|x≥－3},集合A＝{x|－3<x≤4},则∁U A＝________________.[解析] 借助数轴得∁U A＝{x|x＝－3或x>4}．[答案] {x|x＝－3或x>4}7．已知全集U＝{0,1,2,3,4},集合A＝{1,2,3},B＝{2,4},则(∁U A)∪B为________．[解析] 由U＝{0,1,2,3,4},A＝{1,2,3},得∁U A＝{0,4},因为B＝{2,4},所以(∁U A)∪B＝{0,2,4}．[答案] {0,2,4}8．设全集U＝{0,1,2,3},集合A＝{x|x2＋mx＝0},若∁U A＝{1,2},则实数m＝________. [解析] ∵U＝{0,1,2,3},∁U A＝{1,2},∴A＝{0,3},故m＝－3.[答案] －3三、解答题9．设集合A ＝{x|－5≤x ≤3},B ＝{x|x<－2或x>4},求A ∩B,(∁R A)∪(∁R B)．[解] A ∩B ＝{x|－5≤x ≤3}∩{x|x<－2或x>4}＝{x|－5≤x<－2},∁R A ＝{x|x<－5或x>3},∁R B ＝{x|－2≤x ≤4}．∴(∁R A)∪(∁R B)＝{x|x<－5或x>3}∪{x|－2≤x ≤4}＝{x|x<－5或x ≥－2}．10．已知集合A ＝{x|2a －2<x<a},B ＝{x|1<x<2},且A ?∁R B,求a 的取值范围．[解] ∁R B ＝{x|x ≤1或x ≥2}≠∅,因为A ?∁R B,所以分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论．①若A ＝∅,此时有2a －2≥a,所以a ≥2.②若A ≠∅,则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a ，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a ，2a －2≥2.所以a ≤1.综上所述,a ≤1或a ≥2.综合运用11．已知全集U ＝R,集合A ＝{x|－2≤x ≤3},B ＝{x|x<－2或x>4},那么集合(∁U A)∩(∁U B)等于() A ．{x|3<x ≤4} B ．{x|x ≤3或x ≥4}C ．{x|3≤x<4}D ．{x|－1≤x ≤3}[解析] ∵∁U A ＝{x|x<－2或x>3},∁U B ＝{x|－2≤x ≤4},∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|3<x ≤4},故选A.[答案] A12．已知M,N 为集合I 的非空真子集,且M,N 不相等,若N ∩(∁I M)＝∅,则M ∪N 等于( )A ．MB ．NC ．ID ．∅[解析] 因为N ∩(∁I M)＝∅,所以N ⊆M(如图),所以M ∪N ＝M.[答案] A13．已知集合A ＝{1,3,x},B ＝{1,x 2},若B ∪(∁U B)＝A,则∁U B ＝__________________.[解析] 因为B ∪(∁U B)＝A,所以A ＝U.①当x 2＝3时,x ＝±3,B ＝{1,3},∁U B ＝{3}或{－3}．②当x 2＝x 时,x ＝0或1.当x ＝0时,B ＝{0,1},∁U B ＝{3}；而当x ＝1时不合题意,舍去．[答案] {－3}或{3}或{3}14．已知R为实数集,集合A＝{x|1≤x≤2},若B∪(∁R A)＝R,B∩(∁R A)＝{x|0<x<1或2<x<3},则集合B ＝________.[解析]∵A＝{x|1≤x≤2},∴∁R A＝{x|x<1或x>2}．又B∪(∁R A)＝R,A∪(∁R A)＝R,可得A⊆B.而B∩(∁R A)＝{x|0<x<1或2<x<3},∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B＝A∪{x|0<x<1或2<x<3}＝{x|0<x<3}．[答案] {x|0<x<3}15．已知集合A＝{x|2≤x<7},B＝{x|3<x<10},C＝{x|x<a}．(1)求A∪B,(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅,求a的取值范围．[解] (1)因为A＝{x|2≤x<7},B＝{x|3<x<10},所以A∪B＝{x|2≤x<10}．因为A＝{x|2≤x<7},所以∁R A＝{x|x<2或x≥7},则(∁R A)∩B＝{x|7≤x<10}．(2)因为A＝{x|2≤x<7},C＝{x|x<a},且A∩C≠∅,所以a>2,所以a的取值范围是{a|a>2}．。