集合的包含关系的判断及应用

集合的包含关系和运算规则总结一、集合的包含关系1.子集的概念：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合就是另一个集合的子集。

2.真子集的概念：如果一个集合是另一个集合的子集，并且这两个集合不相等，那么这个集合就是另一个集合的真子集。

3.集合的相等：如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合相等。

4.集合的并集：两个集合的并集包含这两个集合的所有元素，但元素不重复。

5.集合的交集：两个集合的交集包含这两个集合共有的元素。

6.集合的补集：一个集合的补集是指在全集范围内不属于该集合的元素组成的集合。

7.集合的幂集：一个集合的幂集是指该集合所有子集组成的集合。

二、集合的运算规则1.并集的运算规则：对于任意集合A和B，它们的并集可以表示为A∪B，即包含A和B所有元素的集合。

2.交集的运算规则：对于任意集合A和B，它们的交集可以表示为A∩B，即包含A和B共有元素的集合。

3.补集的运算规则：对于任意集合A和全集U，A的补集可以表示为∁UA，即包含全集U中不属于A的元素的集合。

4.幂集的运算规则：对于任意集合A，A的幂集可以表示为P(A)，即包含A所有子集的集合。

5.集合的笛卡尔积：对于任意两个集合A和B，它们的笛卡尔积可以表示为A×B，即包含所有形式为(a,b)的元素，其中a属于A，b属于B。

6.集合的限制：在实际应用中，集合的元素通常具有一定的限制，如自然数集、整数集、实数集等。

三、集合的应用1.集合在数学中的应用：集合是数学中的基本概念，广泛应用于概率论、图论、拓扑学等领域。

2.集合在计算机科学中的应用：集合是计算机科学中的基本数据结构，用于存储无序且不重复的元素。

3.集合在逻辑推理中的应用：集合论是逻辑推理的基础，用于构建数学归纳法、反证法等推理方法。

4.集合在实际生活中的应用：集合概念在日常生活中也具有重要意义，如对事物进行分类、统计等。

通过以上知识点的学习，学生可以掌握集合的包含关系和运算规则，了解集合在数学及其它领域中的应用，为深入学习数学和其他学科奠定基础。

高一数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.已知集合，集合，则集合（）A．B．C．D．【答案】B【解析】两集合的公共元素组成的集合，所以【考点】集合的运算2.在空间，下列命题错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交B．一个平面与两个平行平面相交，交线平行C．平行于同一平面的两个平面平行D．平行于同一直线的两个平面平行【答案】D【解析】平行于同一直线的两个平面平行也可能相交，只要面外直线与它们的交线平行即可．【考点】空间直线、平面的位置关系．3.已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0,1}，下列对应不是A到B的映射的是（）【答案】C【解析】映射要满足对于A中的每一个元素a,b在B中都有唯一的元素与之对应，C项中对应关系不满足要求【考点】映射的概念4.已知集合A={0，1，4}，B={2，4}，则A∪B=（）A．{4}B．{0，1，2，4}C．{0，1，2}D．{0，2，4}【答案】B【解析】由并集的定义易得，．故选B．【考点】并集运算．5.定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为．【答案】54【解析】由新定义运算可知集合中所有的元素是由集合，中的元素的乘积得到的，所有元素依次为0,4,5,8,10,12,15，求和得54【考点】新定义集合问题6.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中不可能成立的是A．没有最大元素，有一个最小元素B．没有最大元素，也没有最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素D．有一个最大元素，没有最小元素【答案】C【解析】设,显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；,显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；,显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能；同时，假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，故选C．【考点】以集合为背景的创新题型．【方法点睛】创新题型，应抓住问题的本质，即理解题中的新定义，脱去其“新的外衣”，转化为熟悉的知识点和题型上来．本题即为，有理数集的交集和并集问题，只是考查两个子集中元素的最值问题，即集合M、N中有无最大元素和最小元素．7.设，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】要使， 当时，需有,解得;‚当时，需有，解得．综上，．故选C．【考点】由集合关系求参数范围．8.设全集集合则．【答案】【解析】集合M表示的是直线除去点（2，3）的所有点；集合P表示的是不在直线上的所有点，显然表示的是平面内除去点（2，3）的所有点，故．【考点】集合运算．9.已知集合，（Ⅰ）若，，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）解不等式，根据解分式不等式的方法，化不等式右端为0，即：，整理得：，化分式为整式，转化为，解得：，所以集合，若，则应先考虑B为空集时，此时有，解得：，然后再考虑集合B非空的情况，则应有：，解得：，所以，综合两种情况，所以；（Ⅱ）由于集合，若，则B为非空集合，所以应满足：，解得：，所以．试题解析：解不等式，得，即（Ⅰ）①当时，则，即，符合题意；②当时，则有解得：综上：（Ⅱ）要使，则，所以有解得：【考点】1．集合间的关系；2．分类讨论在集合中的应用．10.已知集合，,（1）当时，求（2）当时，求的取值范围．【答案】（1）[3，4）（2）m≥3或m≤一3【解析】（1）当代入不等式，求两集合的交集即两集合的公共部分；（2）由可知A B，借助于数轴可得两集合边界值的大小关系，从而得到不等式，求得的取值范围试题解析：（1） m=l时，A={x11<X<4}B={xIx≤0或x≥3}A B=[3，4）（2）A B=BA Bm+3≤0或m≥3解得m≥3或m≤一3【考点】1．集合的交集运算；2．集合子集关系11.（14分）已知集合，．（1）求；（2）求；（3）若，且，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）（2）求集合的交并补运算时常借助于数轴求解，将两集合标注在数轴上，交集即两集合公共部分，并集即所包含的所有部分，（3）中由集合的子集关系得到集合边界值的大小关系，得到关于的不等式从而求解的值试题解析：（1）∵＝∴（2）∵∴（3）∵，又∴∴∴∴的取值范围为【考点】1．集合的交并补运算；2．集合的子集关系12.设集合，，则（）A．B．C．D．【解析】画数轴分析可得．故B正确．【考点】集合的运算．【易错点晴】本题主要考查的是集合的交集运算，属于容易题．解不等式时一定要注意端点处等号是否成立,否则很容易出现错误．13.下列各组对象中不能构成集合的是（）A．正三角形的全体B．所有的无理数C．高一数学第一章的所有难题D．不等式2x＋3>1的解【答案】C【解析】C中难题并没有确定的标准，因此不满足几何元素的确定性，不能构成集合【考点】集合元素特征14.（10分）集合A＝{x|3≤x<10}，集合B＝{x|2x－8≥0}．（1）求A∪B；（A∩B）．（2）求∁R【答案】（1）{x|x≥3}（2）{x|x<4或x≥10}【解析】首先由已知条件解不等式化简集合B，两集合A,B的并集为两集合所有的元素构成的集合；两集合的交集为相同的元素构成的集合，其补集为全集中除去A∩B的元素，剩余的元素构成的集合试题解析：（1）B＝{x|x≥4}，∴A∪B＝{x|x≥3}．（A∩B）＝{x|x<4或x≥10}．（2）A∩B＝{x|4≤x<10}，∁R【考点】集合的交并补运算15.已知集合，则下列式子表示正确的有（）①②③④A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】，所以①③④正确；②中两集合的关系应该是关系【考点】元素与集合，集合与集合间的关系16.设集合，则f:A→B是映射的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据映射定义A中的元素都有唯一的元素与之对应，可得B满足，故选择B【考点】映射定义17.若集合且对应关系是从A到B的映射，则集合B中至少有（）个元素A．2B．3C．4D．5【解析】根据题意可得对应关系如下：所以集合B中至少有四个元素，故选择C【考点】映射定义18.设，则=__________________．【答案】（—1，3）【解析】．【考点】集合的运算．19.已知集合，，则与的关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析:，因此，故答案为C．【考点】1、三角函数的诱导公式；2、集合间的关系．20.已知，，则 _____．【答案】【解析】因为，，所以．【考点】1．集合交、补集运算；2．指数、对数运算．【思路点睛】首先根据集合，将其转化为，然后再借助指数函数的单调递减的性质，即可求出集合，由此可求出，进而求出结果．21.设集合U=R，；（1）求：，；（2）设集合，若，求a的取值范围．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）解不等式分别求出集合A、B，然后根据交集、补集、并集运算即可求出，．（2）易得，．然后由子集关系列出关于a的不等式组即可求解，但要注意对集合C为空集和非空两种情况讨论，否则易漏解．试题解析：（1）可得，所以，，（2）易得，，i）时，即，显然符合题意；ii）时，，【考点】•集合的交集、并集、补集运算；‚由子集关系求参数范围．22.设集合，B={x|＜1}，．（1）求；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据条件解不等式得出集合，然后借助数轴即可得到；（2）根据得到，然后即可列出不等式组得到的取值范围．试题解析：（1），所以（2）因为，所以，若是空集，则，得到；若非空，则，得；综上所述，．【考点】集合间的基本关系．23.设全集则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知，所以，所以．【考点】集合的交、并、补运算．24.已知集合，若，则实数的值为．【答案】0，±1【解析】当时，集合，满足；当时，，又，所以若，则有，综上实数的值为0，±1．【考点】利用子集关系求参数．25.下列说法正确的是（）A．很小的实数可以构成集合B．=C．自然数集中最小的数是D．空集是任何集合的子集【答案】A【解析】根据子集的定义，可判断A；根据集合相等的定义，可判断B；根据自然数集元素的特征，可判断C；根据集合元素的确定性，可判断D．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故A正确；集合是一个数集，集合是一个点集，故不是同一个集合，故B错误；自然数集N中最小的数是0，不是1，故C错误；很小的实数不具备确定性，不可以构成集合，故D错误；故选：A【考点】命题的真假判断与应用26.“”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】故“”是“”成立的充分不必要条件，故选：A．【考点】充分必要条件27.集合的真子集个数为（）A．3B．4C．7D．8【答案】C【解析】，它的真子集分别为，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}．一般一个集合中含有n个元素，则它的子集的个数为个，真子集去掉它本身之后为．【考点】集合的关系：真子集．28.集合{x|x1}用区间表示为．【答案】【解析】集合{x|x＜1}表示小于等于1的实数，用区间表示为【考点】集合的表示法29.满足条件的集合有个．【答案】8【解析】本题所求集合M的个数是所有由a,b,c组成的所有子集的个数8，【考点】子集的概念．30.（2014•海淀区校级模拟）集合，集合则P与Q的关系是（）A．P=Q B．P⊋Q C．P⊊Q D．P∩Q=ϕ【答案】C【解析】先求出集合P和集合Q，然后再判断集合P和集合Q的相互关系．解：∵集合={}x|x≥1}，集合={y|y≥0}，∴P⊊Q．故选C．【考点】集合的包含关系判断及应用．31.（2013•建平县校级一模）已知集合，集合N={x|2x+3＞0}，则（∁M）∩N=（）RA．[﹣）B．（﹣）C．（﹣]D．[﹣]【答案】C【解析】分别求出集合M和N中不等式的解集，确定出M和N，由全集为R，找出不属于M的部分，求出M的补集，找出M补集与N的公共部分，即可求出所求的集合．解：由集合M中的不等式移项得：﹣1≥0，即≥0，解得：x＞1，∴集合M=（1，+∞），又全集为R，∴CM=（﹣∞，1]，R由集合N中的不等式2x+3＞0，解得：x＞﹣，∴集合N=（﹣，+∞），M）∩N=（﹣，1]．则（CR故选C【考点】交、并、补集的混合运算．32.已知A=，B＝．（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）若，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（1）求集合的交集通常画数轴来解；（2）由，可得，画数轴来解；试题解析：（1），，解得；（2），即，得或，得．【考点】集合的运算、解不等式．33.若集合，，且，则的值为（）A．B．C．或D．或或【答案】D【解析】由，当时，，当时，，当时，，故选 D．【考点】子集概念34.已知，则．【答案】【解析】因为，所以．【考点】1．指数、对数不等式运算；2．集合的并集运算．【方法点睛】指数不等式、对数不等式的解法指数不等式：转化为代数不等式对数不等式：转化为代数不等式．35.已知为实数，则“且”是“且”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】是实数，“且”“且”；“且”则得与同号，又，所以必有“且”，“且”是“且” 的充要条件，故选C．【考点】1、充分条件与必要条件；2、不等式的性质．36.已知集合，集合，若，则为（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】，集合，又或，故选D．【考点】1、集合的表示；2、集合的交集．37.已知集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合表示直线上的点，集合表示直线上的点，表示这两条直线的交点，联立方程得，用列举法表示为，选B．【考点】1、集合的表示方法；2、集合的运算．38.（2015秋•赣州期末）已知集合A={1，2，3}，则B={x﹣y|x∈A，y∈A}中的元素个数为（）A．9B．5C．3D．1【答案】B【解析】根据集合B中元素与A中元素之间的关系进行求解．解：∵A={1，2，3}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴x=1，2，3，y=1，2，3．当x=1时，x﹣y=0，﹣1，﹣2；当x=2时，x﹣y=1，0，﹣1；当x=3时，x﹣y=2，1，0．即x﹣y=﹣2，﹣1，0，1，2．即B={﹣2，﹣1，0，1，2}共有5个元素．故选：B．【考点】元素与集合关系的判断．39.集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}（1）求A∩B：（2）若集合C={x|2x+a＞0}．满足B∪C=C．求实数a的取值范围．【答案】（1）A∩B={x|2≤x＜3}；（2）a＞﹣4【解析】（1）化简B，根据集合的基本运算即可得到结论；（2）化简C，利用B∪C=C，可得B⊆C，即可求实数a的取值范围．解：（1）∵A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}．∴A∩B={x|2≤x＜3}；（2）C={x|2x+a＞0}={x|x＞﹣a}．∵B∪C=C，∴B⊆C，∴﹣a＜2，∴a＞﹣4．【考点】集合的包含关系判断及应用．40.已知集合，则集合＝（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由并集的定义知：.故选B.【考点】并集.41.已知集合，．⑴若，求；⑵若，求实数的取值范围．【答案】(1)（2）【解析】(1)由题已知集合，，若，由交集的定义易得（2）由已知，由子集的定义，结合数轴可求出的取值范围.试题解析：⑴若，则，∩⑵，则，所以实数的取值范围是【考点】1.交集的定义； 2.子集的含义.42.设集合，集合B为函数的定义域，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题，.则根据并集运算得：【考点】对数函数定义域与并集运算.43.已知集合，集合，则是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】集合运算44.满足条件的所有非空集合的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】满足条件的有如下：,共3个．故选C．【考点】集合的运算．45.设，集合，.（1）若，求集合B（用区间表示）；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）代入，解一元二次不等式：分解因式，求两根，写成区间形式；（2）若A=B,表示不等式恒成立，所以分或两种情况讨论.试题解析：时，，解得集合B:（2）当A=B=R时（ⅰ）当时，即时，符合题意（ⅱ）当时，则有解得：综上：A的取值范围：.【考点】一元二次不等式46.设集合和都是坐标平面上的点集，，映射使集合中的元素映射成集合中的元素，则在映射下，象（2,1）的原象是（）A．（3,1）B．C．D．（1,3）【答案】B【解析】由题可知原象满足且,解得.故象的原象是,故本题答案选B.【考点】映射．47.设全集，，，则如图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，集合，集合，所以阴影部分表示的集合为，故选B.【考点】集合的运算.48.设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a﹣1）x+（a2﹣5）=0}（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【答案】（1）a=﹣5或a=1（2）a＞3【解析】（1）先解出集合A，根据2是两个集合的公共元素可知2∈B，建立关于a的等式关系，求出a后进行验证即可．（2）一般A∪B=A转化成B⊆A来解决，集合A两个元素故可考虑对集合B的元素个数进行讨论求解试题解析：（1）由题可知：A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，∵A∩B={2}，∴2∈B，将2带入集合B中得：4+4（a﹣1）+（a2﹣5）=0解得：a=﹣5或a=1当a=﹣5时，集合B={2，10}符合题意；当a=1时，集合B={2，﹣2}，符合题意综上所述：a=﹣5，或a=1．（2）若A∪B=A，则B⊆A，∵A={1，2}，∴B=∅或B={1}或{2}或{1，2}．若B=∅，则△=4（a﹣1）2﹣4（a2﹣5）=24﹣8a＜0，解得a＞3，若B={1}，则，即，不成立．若B={2}，则，即，不成立，若B={1，2}．则，即，此时不成立，综上a＞3．【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算49.已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，若A∪B=A，求实数a的值所组成的集合.【答案】{0，1，2}【解析】由条件可得B⊆A，分a=0和a≠0，分别求出B，再由B⊆A，求得a的值，即可得到实数a的值所组成的集合试题解析：A={1，2}，由A∪B=A得：B⊆A．①若a=0，则B=∅，满足题意．②若a≠0，则B＝{}，由B⊆A得：＝1或＝2，∴a=1或a=2，∴a的值所组成的集合为{0，1，2}．【考点】集合关系中的参数取值问题50.已知集合,,,则与的关系是（）（R为实数集）A．B．C．D．不能确定【答案】A【解析】中的元素为所有奇数的四分之一，而中的元素为所有整数的四分之一，所以Ü.故选A.【考点】集合的含义.51.下列语句错误的是（）A．如果不属于的元素也不属于，则B．把对数式化成指数式为C．对数的底数必为正数D．“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效【答案】D【解析】根据子集的定义知A正确；由对数的定义及性质知B，C正确，对于D，当零点左右符号相同时不能用二分法，故D错，故选D.【考点】1、子集的定义及对数的定义与性质；2、二分法的基本含义.52.若集合，，且，则的值为（）A．1B．-1C．1或-1D．1或-1或0【答案】D【解析】由可得中元素可以为或空集，代入相应值可求得为1或-1或0【考点】集合的子集关系53.集合，，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】集合，所以，集合，所以，故选A.【考点】1、一元二次不等式的解法；2、集合的运算.54.已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】由可知两集合无公共点，结合数轴可得实数的取值范围是【考点】集合子集关系55.已知集合S={x|},P={x|a+1<x<2a+15}.(1)求集合S；(2)若S P，求实数a的取值范围．【答案】(1)；（2）.【解析】（1），，所以，根据函数是减函数，可得，求出的取值范围；（2）若，根据数轴表示两个集合，比较不等式的端点值，列不等式求解的取值范围.试题解析：由得解得－2<x<5，所以集合S＝{x|－2<x<5}．(2)因为S P，所以解得,所以a∈[－5，－3]．【考点】1.对数不等式；2.集合的关系.56.满足的集合的个数为（）A．15B．16C．31D．32【答案】C【解析】实际上求真子集个数：，选C.【考点】集合子集57.若，则这样的集合共有__________个.【答案】【解析】,或或或.故答案为：【考点】集合的子集.58.已知集合，，（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；(2).【解析】集合的交并补运算常借助于数轴求解，将两集合标注在数轴上，求交集需找两集合重合的部分，两集合交集为空集则需满足两集合无重合部分，求解时集合需分是否为空集两种情况.试题解析：（1）（2）当时，需满足解得：；当时，需满足或解得：；综上，的取值范围为.【考点】集合的运算.59.已知集合，．（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据指数函数的性质，得到，即可求解集合；（2）由，分和两种情况分类讨论，即可求解实数的取值范围．试题解析：（1），，∴，∴，∴．…………5分（2）若，则，解得，此时满足题意；若，且，∴必有，解得，综上所述的取值范围为．…………10分【考点】集合的运算及指数函数的性质．60.设全集U={x∈N+|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，4} B．{1，5} C．{2，4} D．{2，5}【答案】C【解析】【考点】集合运算61.已知全集，集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，所以，故选B.【考点】集合的运算.62.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x|x=b﹣a，a∈A，b∈B}，则C中元素的个数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】由题意可知集合C为，共4个元素【考点】集合运算63.已知，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）;(2)【解析】（1）将代入到不等式中可得集合，再对集合进行求交集运算；（2）由题意，集合是集合的子集，得，则可得到实数的取值范围.试题解析：（1）当时，所以．（2）因为，则，即，所以实数的取值范围为．64.已知集合，，且，则实数的取值范围是( )A．或B．C．或D．【答案】D【解析】依题意，由于是的子集，所以，解得.65.若集合，．(1)若全集，求；(2)若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析:（1）解一元二次不等式可求得集合的取值范围，由此求得其补集；（2）由于，所以是的子集，故的左端点不大于，即.试题解析：（1），∴．（2），由，得，则有．66.若，则．【答案】．【解析】因为，所以,所以．【考点】集合间的交运算．67.已知集合，，则__________．【答案】【解析】由得：，则，故答案为.68.已知集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，则，应选答案B。

高考数学名校地市必刷题型01集合运算姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题（共10小题）1.（2018•嘉兴模拟）已知函数f（x）=x2+ax+b，集合A={x|f（x）≤0}，集合，若A=B≠∅，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，5]C．D．[﹣1，3]【解答】解：设集合A={x∈R|f（x）≤0}={x|x2+ax+b≤0}，由f（f（x））≤，即（x2+ax+b）2+a（x2+ax+b）+b﹣≤0，②A=B≠∅，可得b=，且②为（x2+ax+）（x2+ax+a+）≤0，可得a2﹣4×≥0且a2﹣4（a+）≤0，即为，解得≤a≤5，故选：A．【知识点】交集及其运算2.（2019•莱芜二模）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M具有∟性，给出下列四个集合：①M＝{（x，y）|y＝x3﹣2x2+3}；②M＝{（x，y）|y＝log2（2﹣x）}；③M＝{（x，y）|y＝2﹣2x}；④M＝{（x，y）|y＝1﹣sin x}；其中具有∟性的集合的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由题意知：对于M中任意点P（x1，y1），在M中存在另一个点P′（x2，y2），使，即OP⊥OP′，即过原点任作一条直线与函数图象相交，都能过原点作另一条直线与此直线垂直，经验证①②③④皆满足．故选：D．【知识点】集合的表示法、函数的图象与图象的变换3.（2019•湖北模拟）已知集合A＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，集合C＝{x|mx+1＞0}，若A∪B⊆C，则实数m的取值范围为（）A．{m|﹣2≤m≤1}B．{m|﹣≤m≤1}C．{m|﹣1≤m≤}D．{m|﹣≤m≤}【解答】解：由题意，A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}，∵集合C＝{x|mx+1＞0}，A∪B⊆C，①m＜0，x＜﹣，∴﹣≥2，∴m≥﹣，∴﹣≤m＜0；②m＝0时，成立；③m＞0，x＞﹣，∴﹣≤﹣1，∴m≤1，∴0＜m≤1，综上所述，﹣≤m≤1，故选：B．【知识点】集合的包含关系判断及应用4.（2020•安徽模拟）已知集合A＝{x|2x2+x﹣1＜0），B＝{x|ln（3x﹣1）＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣1，）B．（，）C．（，）D．（﹣1，）【解答】解：＝，∴．故选：B．【知识点】交集及其运算5.（2020•石家庄一模）设集合P＝{x||x|＞3}，Q＝{x|x2＞4}，则下列结论正确的是（）A．Q⫋P B．P⫋Q C．P＝Q D．P∪Q＝R【解答】解：集合P＝{x||x|＞3}＝{x|x＜﹣3或x＞3}，Q＝{x|x2＞4}＝{x|x＜﹣2或x＞2}，∴P⫋Q，故选：B．【知识点】集合的包含关系判断及应用6.（2020•重庆模拟）已知集合A＝{y|y＝1﹣2x}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩∁R B＝（）A．∅B．[﹣1，1）C．（1，3]D．[﹣3，1）【解答】解：∵A＝{y|y＜1}，B＝{x|x＜﹣1或x＞3}，∴∁R B＝{x|﹣1≤x≤3}，∴A∩∁R B＝[﹣1，1）．故选：B．【知识点】交、并、补集的混合运算7.（2020•陕西一模）已知集合A＝{x|x2﹣4x+5＞0}，，则A∩B＝（）A．（﹣2，3）B．[﹣2，3]C．[﹣2，3）D．∅【解答】解：x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1＞0，∴集合A＝R，且B＝{x|﹣2≤x＜3}，∴A∩B＝[﹣2，3）．故选：C．【知识点】交集及其运算8.（2020•郑州一模）设集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{y|y＝1﹣x2}，则A∩B的子集个数为（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：∵A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{y|y≤1}，∴A∩B＝{0，1}，∴A∩B的子集个数为22＝4个．故选：B．【知识点】交集及其运算、子集与真子集9.（2020•南充模拟）已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{x|x2≤1}，则A∪B＝（）A．{x|x≥1}B．{x|x≥﹣1}C．{x|x≤1}D．{x|x≤﹣1}【解答】解：∵A＝{x|x≥1}，B＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∪B＝{x|x≥﹣1}．故选：B．【知识点】并集及其运算10.（2019•九江三模）已知集合A＝{x|x2＜l}，B＝{x|log2x＜0}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A＝B D．A∩B＝∅【解答】解：∵集合A＝{x|x2＜l}＝{xx|﹣1＜x＜1}，B＝{x|log2x＜0}＝{x|0＜x＜1}，∴B⊊A．故选：B．【知识点】集合的包含关系判断及应用二、填空题（共8小题）11.（2019•东城区一模）设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：①若A⊆B．则对任意x∈R，m（1﹣n）＝；②若对任意x∈R，m+n＝1，则A，B的关系为．【解答】解：①∵A⊆B．则x∉A时，m＝0，m（1﹣n）＝0．x∈A时，必有x∈B，∴m＝n＝1，m（1﹣n）＝0．综上可得：m（1﹣n）＝0．②对任意x∈R，m+n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，∴A，B的关系为A＝∁R B．故答案为：0，A＝∁R B．【知识点】元素与集合关系的判断12.（2019•南京三模）设集合M＝{a|a＝，2x+2y＝2t，其中x，y，t，a均为整数}，则集合M＝．【解答】解：∵2x+2y＝2t，∴2t＝2x（2x﹣y+1）因x、y、t、a均为整数，则2x﹣y+1为2的整数幂，则x﹣y＝0，即x＝y，则2t＝2x+1，t＝x+1，则a＝＝，显然x≠﹣1，当x＝0时：y＝0，t＝1，a＝0，当x≠0时：由a＝，x与x+1互质，则2为x+1的倍数，则：x＝﹣3，﹣2，1，则a＝3，4，1，故M＝{0，1，3，4}，故答案为：{0，1，3，4}【知识点】子集与交集、并集运算的转换13.（2019•西湖区校级模拟）如下四个结论：①∅⊆∅②0∈∅③{0}⊋∅④{0}＝∅，其中正确结论的序号为．【解答】解：因为空集是任何集合的子集，故①③正确；空集是不含任何元素的集合，故②④错误，故答案为：①③【知识点】元素与集合关系的判断14.（2018•武清区校级模拟）用列举法表示集合=﹣3，﹣6，6，3，2，1【解答】解：根据x∈N，且可得：x=0时，；x=1时，；x=3时，；x=4时，；x=5时，；x=8时，；∴A={﹣3，﹣6，6，3，2，1}．故答案为：{﹣3，﹣6，6，3，2，1}．【知识点】集合的表示法15.（2018•河东区二模）集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x﹣a≥0}，A∩B＝A，则a的取值范围是﹣∞．【解答】解：∵集合A＝{x|y＝}＝{x|x≥1}，B＝{x|x﹣a≥0}＝{x|x≥a}，A∩B＝A，∴a≤1，∴a的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．【知识点】子集与真子集16.（2019•上海模拟）若集合A＝{x|x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，x∈Z}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是【解答】解：∵x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0 且a＞0∴x2﹣2x+2＜a（x+1）令f（x）＝x2﹣2x+2；g（x）＝a（x+1）∴A＝{x|f（x）＜g（x），x∈Z}∴y＝f（x）是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线；而y＝g（x）一次函数，图象是过一定点（﹣1，0）的动直线．又∵x∈Z，a＞0．数形结合，可得：．故答案为：（，]【知识点】元素与集合关系的判断17.（2020•江苏模拟）已知集合A＝{﹣2，1，}，B＝{x|x2＞2}，则A∩B＝﹣．【解答】解：∵集合A＝{﹣2，1，}，B＝{x|x2＞2}＝{x|x＜﹣或x＞}，∴A∩B＝{﹣2}．故答案为：{﹣2}．【知识点】交集及其运算18.（2020•南通模拟）设集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{2，3}．C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝．【解答】解：∵A＝{0，1，2，3，4}，B＝{2，3}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，∴A∩C＝{1，2}，（A∩C）∪B＝{1，2，3}．故答案为：{1，2，3}．【知识点】交、并、补集的混合运算三、解答题（共6小题）19.（2019•延庆区一模）已知集合S n＝{X|X＝（x1，x2，…x n），x i∈{0，1}，i＝1，2，..，n}（n≥2）．对于A＝（a1，a2，..，a n），B＝（b1，b2，..b n）∈S n，定义A与B之间的距离为d（A，B）＝|a i﹣b i|．（Ⅰ）∀A，B∈S2，写出所有d（A，B）＝2的A，B；（Ⅱ）任取固定的元素I∈S n，计算集合M k＝{A∈S n|d（A，I）≤k}（1≤k≤n）中元素个数；（Ⅲ）设P⊆S n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有不同元素间的距离的最小值为．证明：m．【解答】解：（Ⅰ）根据题意知，当d（A，B）＝2时，对应A（1，1），B（0，0）；或A（1，0），B（0，1）；或A（0，1），B（1，0）；或A（0，0），B（1，1）；…………………（4分）（Ⅱ）当k＝1时，，…………………（5分）当k＝2时，；…………………（6分）写出|M k|＝++…+；…………………（7分）特别的，|M n|＝++…+＝2n；所以M K元素个数为；…………………（8分）（Ⅲ）证明：记P′＝{（c1，c2，…，c n﹣α+1）|（c1，c2，…，c n﹣α+1，…，c n）∈P}，我们证明|P′|＝|P|．一方面显然有|P′|≤|P|；另一方面，∀A、B∈S n，且A≠B，假设他们满足a1＝b1，a2＝b2，…，a n﹣α+1＝b n﹣α+1；则由定义有d（A，B）≤﹣1，与P中不同元素间距离至少为相矛盾；从而（a1，a2，…，a n﹣α+1）≠（b1，b2，…，b n﹣α+1）；这表明P′中任意两元素不相等，从而|P′|＝|P|＝m；又P′中元素有n﹣+1个分量，至多有2n﹣α+1个元素．从而m≤2n﹣α+1．…………………（13分）【知识点】集合中元素个数的最值、函数最值的应用20.（2019•苏州模拟）已知非空集合M满足M⊆{0，1，2，…，n}（n≥2，n∈N+）．若存在非负整数k（k≤n），使得当a∈M时，均有2k﹣a∈M，则称集合M具有性质P．设具有性质P的集合M的个数为f（n）．（1）求f（2）的值；（2）求f（n）的表达式．【解答】解：（1）当n＝2时，M＝{0}，{1}，{2}，{0，2}，{0，1，2}具有性质P，对应的k分别为0，1，2，1，1，故f（2）＝5．（2）可知当n＝k时，具有性质P的集合M的个数为f（t），则当n＝k+1时，f（t+1）＝f（t）+g（t+1），其中g（t+1）表达t+1∈M也具有性质P的集合M的个数，下面计算g（t+1）关于t的表达式，此时应有2k≥t+1，即，故对n＝t分奇偶讨论，①当t为偶数时，t+1为奇数，故应该有，则对每一个k，t+1和2k﹣t﹣1必然属于集合M，且t和2k﹣t，…，k 和k共有t+1﹣k组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M，故对每一个k，对应的具有性质P的集合M的个数为，所以，②当t为奇数时，t+1为偶数，故应该有，同理，综上，可得又f（2）＝5，由累加法解得即．【知识点】集合的表示法21.（2018•建邺区校级模拟）设集合A，B是非空集合M的两个不同子集．（1）若M＝{a1，a2}，且A是B的子集，求所有有序集合对（A，B）的个数；（2）若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，且A的元素个数比B的元素个数少，求所有有序集合对（A，B）的个数．【解答】解：（1）若集合B含有2个元素，即B＝{a1，a2}，则A＝∅，{a1}，{a2}，则（A，B）的个数为3；若集合B含有1个元素，则B有种，不妨设B＝{a1}，则A＝∅，此时（A，B）的个数为×1＝2．综上，（A，B）的个数为5．（3分）（2）集合M有2n个子集，又集合A，B是非空集合M的两个不同子集，则不同的有序集合对（A，B）的个数为2n（2n﹣1）．（5分）若A的元素个数与B的元素个数一样多，则不同的有序集合对（A，B）的个数为：+＝+…+（）2﹣（），（7分）又（x+1）n（x+1）n的展开式中x n的系数为+…+（）2，且（x+1）n（x+1）n＝（x+1）2n的展开式中x n的系数为，所以＝+…+（）2＝，因为＝2n，所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时，有序集合对（A，B）的个数为﹣2n．（9分）所以当A的元素个数比B的元素个数少时，有序集合对（A，B）的个数为：＝．（10分）【知识点】子集与真子集22.（2019•南关区校级模拟）已知集合A＝{（x，y）|x2+mx﹣y+2＝0}和B＝{（x，y）|x﹣y+1＝0，0≤x≤2}，A∩B≠∅，求实数m的取值范围．【解答】解：由得x2+（m﹣1）x+1＝0，①∵A∩B≠∅，∴方程①在区间[0，2]上至少有一个实数解，首先，由△＝（m﹣1）2﹣4≥0，解得：m≥3或m≤﹣1．设方程①的两个根为x1、x2，（1）当m≥3时，由x1+x2＝﹣（m﹣1）＜0及x1•x2＝1＞0知x1、x2都是负数，不合题意；（2）当m≤﹣1时，由x1+x2＝﹣（m﹣1）＞0及x1•x2＝1＞0知x1、x2是互为倒数的两个正数，故x1、x2必有一个在区间[0，1]内，从而知方程①在区间[0，2]上至少有一个实数解．综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]．【知识点】集合的包含关系判断及应用23.（2019•西湖区校级模拟）.已知集合，D＝{x|x∈A，或x∈B}．（1）当m＝1时，求集合D；（2）若B⊆∁R A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）A＝{x|＜2x≤8}＝{x|﹣1＜x≤3}，B＝{x|1≤x＜4}，则D＝A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}；（2）∁R A＝{x|x＞3或x≤﹣1}，B⊆∁R A，当B＝∅，即m≥1+3m，即m≤﹣，成立；当B≠∅，可得或，解得m＞3或m∈∅，综上可得m的范围是m＞3或m≤﹣．【知识点】集合关系中的参数取值问题24.（2019•西湖区校级模拟）已知A={x|﹣1＜x≤3}，B={x|m≤x＜1+3m}（1）若m=1时，求A∪B（2）若B⊆∁R A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）m=1时，A={x|﹣1＜x≤3}=（﹣1，3]，B={x|1≤x＜4}=[1，4），A∪B=（﹣1，4）；…（4分）（2）∁R A={x|x≤﹣1或x＞3}=（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞），由B⊆∁R A，可分以下两种情况：①当B=∅时，m≥1+3m，解得m≤﹣…（6分）②当B≠∅时，，解得m＞3；…（8分）综上，m的取值范围是m∈（﹣∞，﹣]∪（3，+∞）．…（10分）【知识点】并集及其运算、集合的包含关系判断及应用21/ 21。

1.1 集合与命题一、解答题。

1. 集合与元素(1)集合元素的三个特征：________、________、________．(2)元素与集合的关系是________或________关系，用符号________或________表示．(3)集合的表示法：________、________、________．2. 集合间的关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A________B（或________）．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A________B（或B________A）．(3)空集：空集是任意集合的子集，是任何非空集合的真子集．即⌀⊆A，⌀________B （B≠⌀）．(4)若A含有n个元素，则A的子集有________个，A的非空子集有________个，非空真子集有________个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则________．3. 集合的运算4. 命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句叫做命题．其中________的语句叫真命题，________的语句叫假命题．（常见结构：若p，则q）5. 简单的逻辑联结词(1)命题中的“________”、“________”、“________”叫做逻辑联结词．含逻辑联接词的命题称为复合命题．(2)简单复合命题的真值表：记忆口诀：“p∧q命题”________；“p∨q命题”有真为真；“¬p命题”________．6. 四种命题及相互关系7. 四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________关系．8. （2019·河北衡水中学模拟）已知集合A={x|y=√x2−2x}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A.[1,+∞）B.[2,+∞)C.(−∞,0]∪[2,+∞)D.[0,+∞）9. 已知集合A={x|−1<x<2}，B={y|y=x+a,x∈A}，C={z|z=x2,x∈A}，若B⊆C求实数a的取值范围．10. 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2+4(m−2)x+1>0的解集为R．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．11. 命题p：函数y=3x−3−x是R上的增函数．命题q：函数y=3x+3−x是R上的减函数．则在命题p∨q，p∧q，(¬p)∧q，p∧(¬q)中，真命题个数是________．12. （2019·济南一中模拟）原命题：“a，b为两个实数，若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（）A.逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2，为假命题B.否命题为：a，b为两个实数，若a+b<2，则a，b都小于1，为假命题C.逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a+b<2，为真命题D.a，b为两个实数，“a+b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件13. 设A={x|x2+px+q=0}≠⌀，M={1,3,5,7,9}，N={1,4,7,10}．若A∩M=⌀，A∩N=A，求p、q的值．14. 小结与反思___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ __________________15. 已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x−2,x∈A}，则A∩B=（）A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}16. 设集合A={x∈N|14≤2x≤16}，B={x|y=ln(x2−3x)}，则A∩B中元素的个数是（）A.1B.2C.3D.417. 命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A.若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数18. 已知集合A={1,3,√m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=（）A.0或√3B.0或3C.1或√3D.1或319. 已知c>0且c≠1，设P：函数y=c x在R上单调递减；Q：不等式x+|x−2c|>1的解集为R，若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则c的取值范围是（）A.(12,+∞) B.(1,+∞) C.(0,12] D.(0,12]∪(1,+∞)20. 已知命题“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是（ ）A.否命题“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数，则m >1”是真命题B.逆命题“若m ≤1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m >1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m >1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题21. 下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab =0，则a =0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60∘”的逆否命题．其中真命题的序号是________（把所有真命题的序号填在横线上）22. 已知M ={(x,y)|y−3x−2=a +1}，N ={(x,y)|(a 2−1)x +(a −1)y =15}，若M ∩N =⌀，则a 的值为________．23. 非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若对∀x ∈A ，有1x ∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2+ax +1=0}；②{x|x 2−4x +1<0}；③{y|y =ln x x ，x ∈[1e ,1)∪(1,e]}；④{y|y ={2x +25，x ∈[0,1)x +1x，x ∈[1,2]}． 其中“互倒集”的个数是________．24. 已知集合A ={x|x 2−2x −3≤0},B ={x|x 2−2mx +m 2−4≤0,x ∈R ,m ∈R } 若A ∩B =[0,3]，求实数m 的值；若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．25. 已知集合A ={y|y 2−(a 2+a +1)y +a (a 2+1)>0}，B ={y|y =12x 2−x +52,0≤x ≤3}．若A ∩B =⌀，求a 的取值范围；当a 取使不等式x 2+1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A)∩B ．26. 已知全集U=R，非空集合A={x|x−2x−(3a+1)<0}，B={x|x−a2−2x−a<0}．当a=12时，求(∁U B)∩A；命题p:x∈A，命题q:x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析1.1 集合与命题一、解答题。

集合的基本关系及运算要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集.记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释：（1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈．（2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）．真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．要点二、集合的运算 1.并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}Venn 图表示：要点诠释：（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作：UU A A={x|x U x A}∈∉；即且；补集的Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A 是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A 表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成相应的集合（即R A ）．4.集合基本运算的一些结论：A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，， A A B B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅， 若A ∩B=A ，则A B ⊆，反之也成立 若A ∪B=B ，则A B ⊆，反之也成立若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B)，则x ∈A ，或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】类型一：集合间的关系例1. 请判断①0{0} ；②{}R R ∈；③{}∅∈∅；④∅{}∅；⑤{}0∅=；⑥{}0∈∅；⑦{}0∅∈；⑧∅{}0，正确的有哪些？【变式1】用适当的符号填空：(1) {x||x|≤1} {x|x 2≤1}； (2){y|y=2x 2} {y|y=3x 2-1}； (3){x||x|>1} {x|x>1}；(4){(x ，y)|-2≤x ≤2} {(x ，y)|-1<x ≤2}．例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.【变式1】已知{},a b A⊆{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有 个.【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆；②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M有（ ）A. 16个B. 15个C. 7个D. 6个【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a 2}，并且B 是A 的真子集，求实数a 的取值.例3. 设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=∅ 例4．已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则+++2()(x y x )()1001002y x y +++ = ．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【变式1】设a ，b ∈R ，集合b{1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=( )类型二：集合的运算例5. （1）已知集合M={y|y=x 2-4x+3，x ∈R }，N={y|y=-x 2+2x+8，x ∈R }，则M ∩N 等于( )．A. ∅B. RC. {-1，9}D. {y|-1≤y ≤9} （2）设集合M={3，a}，N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}，M ∩N={1}，则M ∪N 为( )． A. {1，2，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} D. {1，3} 【变式1】设A 、B 分别是一元二次方程2x 2+px+q=0与6x 2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A ∩B={21}，求A ∪B.【变式2】设集合A={2，a 2-2a ，6}，B={2，2a 2，3a-6}，若A ∩B={2，3}，求A ∪B.例6. 设全集U={x ∈N +|x ≤8}，若A ∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.类型三：集合运算综合应用例7．已知全集A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}. （1）若A ∩B ≠∅，求实数 a 的取值范围； （2）若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；（3）若A ∩B ≠∅且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（ ） A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）例8. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈. （1）若A B B =，求a 的值； （2）若A B B =，求a 的值.【变式1】已知集合{}{}222,|120A B x x ax a =-=++-=，若A B B =,求实数a 的取值范围.课后练习一、选择题1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则UA B =（ ）A ．{|01}x x ≤< B ．{|01}x x <≤ C ．{|0}x x < D ．{|1}x x >2．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）3．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或0 4．已知集合,A B 满足A B A =,那么下列各式中一定成立的是（ ） A ． A B B ． B A C ． A B B = D ． A B A = 5．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有( ) A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．M NC ．N MD ．M N =∅二、填空题7．用适当的符号填空：（1）m {},m n ；（2）{}m {},m n ；（3）∅ {},m n . 8. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则C 的非空子集的个数为 .9．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =_____________． 10．设集合{32}A x x =-≤≤，{2121}B x k x k =-≤≤+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 .11．已知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B =_________. 三、解答题12．已知集合{}{}1,2,1,2,3,4,5A B ==，若A M B ⊆，请写出满足上述条件得集合M .13．已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求m 的取值范围.14．已知集合{}{}22|20,|0A x x px B x x x q =+-==-+=，且{}2,0,1A B =-,求实数,p q 的值．15．设全集U R=，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}2|0,N n x x n =-+=方程有实数根()U C M N 求.巩固训练一、选择题1. 设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（ ） A 、BA B 、AB C 、A=B D 、A ∩B=∅2. 集合M={y| y=x 2-1, x ∈R}， N={x| y=23x -}，则M ∩N 等于（ ） A 、{(-2, 1), (2, 1)} B 、{}|03x x ≤≤ C 、{}|13x x -≤≤ D 、∅3．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）4．已知集合,A B 满足A B A =,那么下列各式中一定成立的是（ ） A ． A B B ． B A C ． A B B = D ． A B A =5．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或0 6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．M NC ．N MD ．M N =∅二、填空题 7．设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或，则___________,__________==b a . 8．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.9．若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x = . 10．若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则N C I = .11．设全集{}(,),U x y x y R =∈，集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-，那么()()U U C M C N 等于________________.12．设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12,,,k S S S ⋅⋅⋅都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i i S a b =，{},j j j S a b =（{},,1,2,3,,i j i j k ≠∈⋅⋅⋅），都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（{}min ,x y 表示两个数,x y 中的较小者）则k 的最大值是 .三、解答题13．设222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果A B B =，求实数a 的取值范围.14．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若()U C A B =∅，求m 的值.15．设1234,,,a a a a N +∈，集合{}{}222212341234,,,,,,,A a a a a B a a a a ==.满足以下两个条件：（1）{}1414,,10;A B a a a a =+=（2）集合A B 中的所有元素的和为124，其中1234a a a a <<<. 求1234,,,a a a a 的值.。

集合的元素关系相等和包含关系在数学中，集合是由一组特定元素组成的整体。

而在集合中，元素之间存在着多种关系，其中最常见的就是相等关系和包含关系。

本文将详细介绍集合的元素关系相等和包含关系，并探讨其性质和应用。

一、相等关系在集合中，当两个集合的元素完全相同，它们就是相等的。

表示为集合A等于集合B的形式为A = B。

具体而言，如果一个集合A中的每个元素都同时属于集合B，且集合B中的每个元素也同时属于集合A，那么这两个集合就是相等的。

例如，集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 1}，由于集合A中的元素1、2、3同时也属于集合B，集合B中的元素2、3、1也同时属于集合A，所以A = B。

相等关系的性质：1. 自反性：一个集合一定等于自己，即A = A。

2. 对称性：如果A = B，那么B = A。

3. 传递性：如果A = B，且B = C，那么A = C。

相等关系的应用：相等关系在数学证明和推导中非常重要。

在证明两个集合相等时，可以通过比较它们的元素是否完全一致来得出结论。

此外，在实际问题中，相等关系也常用于描述两个对象具有相同属性或特征的情况。

二、包含关系在集合中，一个集合A包含另一个集合B，意味着集合A中的所有元素都同时属于集合B。

表示为集合A包含集合B的形式为A ⊃ B。

具体而言，如果一个集合B中的每个元素都同时属于集合A，那么集合A包含集合B。

例如，集合A = {1, 2, 3, 4}，集合B = {2, 3}，由于集合A中的元素2、3同时属于集合B，所以A ⊃ B。

包含关系的性质：1. 自反性：任何集合都包含自身，即A ⊃ A。

2. 反对称性：如果A ⊃ B，且B ⊂ A（表示B是A的真子集），那么A和B必须相等，即A = B。

3. 传递性：如果A ⊃ B，且B ⊃ C，那么A ⊃ C。

包含关系的应用：包含关系常用于描述集合之间的包含关系，比如集合的层次关系、集合的子集关系等。

集合论中的集合关系与运算规律总结集合论是数学的一个重要分支，研究的是集合及其内部关系和运算规律。

在集合论中，我们需要了解集合之间的关系和运算规律，以便能够正确地进行集合的操作和推理。

本文将对集合关系和运算规律进行总结，以帮助读者更好地理解和应用集合论知识。

一、集合的关系在集合论中，常见的集合关系有包含关系、相等关系、交集关系、并集关系和互斥关系。

1. 包含关系：表示一个集合包含另一个集合中的所有元素。

用符号“⊆”表示。

例如，若集合A包含集合B的所有元素，则可以表示为A⊆B。

2. 相等关系：表示两个集合拥有相同的元素。

用符号“=”表示。

例如，若集合A包含元素a、b、c，集合B也包含元素a、b、c，则可以表示为A=B。

3. 交集关系：表示两个集合中共有的元素构成的新集合。

用符号“∩”表示。

例如，若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。

4. 并集关系：表示两个集合中所有元素组成的新集合。

用符号“∪”表示。

例如，若集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

5. 互斥关系：表示两个集合没有共同的元素。

用符号“∅”表示。

例如，若集合A={1, 2, 3}，集合B={4, 5, 6}，则A∩B=∅。

二、集合的运算规律在集合论中，常用的集合运算有交集、并集、差集和补集。

下面将对这些运算规律进行总结。

1. 交集运算：表示两个集合中共有的元素组成的新集合。

用符号“∩”表示。

交集运算满足交换律、结合律和吸收律。

- 交换律：A∩B=B∩A，即交换两个集合的位置不会改变交集结果。

- 结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，即无论先求哪两个集合的交集，再与第三个集合求交集，结果都是相同的。

- 吸收律：A∩(A∪B)=A，表示一个集合与它自身的并集的交集是它本身。

2. 并集运算：表示两个集合中所有元素组成的新集合。

用符号“∪”表示。

如何判断集合之间的关系这是如何判断集合之间的关系，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

如何判断集合之间的关系第1篇逻辑判断中经常会研究两个集合之间的关系，公务员考试中考到的两个集合之间的基本关系有四种，其中比较麻烦，而且与日常生活中的理解方式有所区别的是：有的S是P，这里的S和P分别表示两个集合。

这两个集合之间的关系，在日常生活中的理解一般是两种情况，但是从逻辑学角度去理解，这种集合关系包含有四种情况，用图示表示，分别是：前两种情况是我们日常生活中所理解的，后两种情况是从逻辑学上理解的，不同之处就在于对“有的”的理解。

在日常生活中“有的”仅代表部分的意思，在逻辑学上“有的”代表了三层含义：最少可以代表一个，最多可以代表全部，还可以代表一部分。

因此当“有的”代表全部时，就出现了图示中的后两种情况。

因此在做判断推理的题目时，遇到研究这种关系的题目，一定要从逻辑学上全面认识这种关系。

如何判断集合之间的关系第2篇1教学目标1、知识与技能（1）理解集合之间包含和相等的含义；（2）能识别给定集合的子集；（3）能使用Venn图表达集合之间的包含关系。

2、过程与方法（1）通过复习元素与集合之间的关系，对照实数的相等与不相等的关系联系元素与集合的从属关系，探究集合之间的包含与相等关系；（2）初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力。

3、情感、态度、价值观（1）了解集合的包含、相等关系的含义，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义。

（2）探索利用直观图示（Venn图）理解抽象概念，体会数形结合的思想。

2学情分析 3重点难点1、子集、真子集的概念及它们的联系与区别；2、空集的概念以及与一般集合间的关系.4教学过程 4.1第一学时教学活动活动1【导入】复习1．集合的概念、集合三要素2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法3．关于“属于”的概念活动2【讲授】新课讲授一、概念的形成具体实例1：看下面各组中两个集合之间有什么关系（1）A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}（2）A={菱形}，B＝{平行四边形}（3）A={x|x>2}，B={x|x>1}（学生分组讨论）学生甲：我发现在第一组的两个集合中1是集合A中的元素，也即1∈A，同时1也是集合B中的元素；同理2，3也是这样，这就是说集合A中的每一个元素都是B中的元素。

一、选择题1．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2D ．-1或22．设集合{,}A a b =,{}220,,B a b =-,若A B ⊆,则⋅=a b （ ）A ．-1B ．1C ．-1或1D ．0 3．已知集合{,}P a b =,{|}Q M M P =⊆，则P 与Q 的关系为（ ）A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．P Q ∈D ．P Q ∉4．对于非空集合P ，Q ，定义集合间的一种运算“★”：{P Q x x P Q =∈★∣且}x P Q ∉⋂．如果{111},{1}P x x Q x y x =-≤-≤==-∣∣，则P Q =★（ ）A ．{12}xx ≤≤∣ B ．{01xx ≤≤∣或2}x ≥ C ．{01xx ≤<∣或2}x > D ．{01xx ≤≤∣或2}x > 5．已知集合2{|120}A x x x =--≤, {|211}B x m x m =-<<+.且AB B =，则实数m 的取值范围为 ( ) A ．[-1，2)B ．[-1，3]C ．[-2，+∞)D ．[-1，+∞)6．已知集合{}|15A x x =≤<，{}|3B x a x a =-<≤+.若B A B =，则a 的取值范围为（ ） A ．3,12⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．3,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．(],1-∞-D ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭7．已知集合A ＝{}{}3(,),(,)x y y x B x y y x ===，则A ∩B 的元素个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．18．已知全集为R ，集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，102x B xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭∣，则A ∩（∁R B ）的子集个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．89．已知全集U =R ，集合(){}{}20,1A x x x B x x =+<=≤，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．()2,1-B ．[][)1,01,2-C ．()[]2,10,1--D ．0,110．若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x|2x <2}，则A∩B 等于( ) A ．(1,3) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)D ．(－3,1)11．已知3(,)|32y M x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{(,)|20}N x y ax y a =++=，且M N ⋂=∅，则实数a =（ ） A ．6-或2-B ．6-C ．2或6-D ．212．已知R 为实数集，集合{|lg(3)}A x y x ==+，{|2}B x x =≥，则()R C A B ⋃=（ ） A ．{|3}x x >-B ．{3}x x |<-C ．{|3}x x ≤-D ．{|23}x x ≤<二、填空题13．集合{(,)|||,}A x y y a x x R ==∈，{(,)|,}B x y y x a x R ==+∈，已知集合A B中有且仅有一个元素，则常数a 的取值范围是________ 14．我们将b a -称为集合{|}M x a x b =≤≤的“长度”，若集合2{|}3M x m x m =≤≤+，{|0.5}N x n x n =-≤≤，且集合M 和集合N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，则集合M N ⋂的“长度”的最小值是________15．设全集{}22,3,3U a a =+-，集合{},3A a =，{}2U C A =，则a =___________.16．若{}2230P x x x =--<,{}Q x x a =>,且P Q P =,则实数a 的取值范围是______.17．已知集合A ={x |x ≥2}，B ={x ||x ﹣m |≤1}，若A ∩B =B ，则实数m 的取值范围是______． 18．已知点H 是正三角形ABC 内部一点，HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆的面积值构成一个集合M ，若M 的子集有且只有4个，则点H 需满足的条件为________. 19．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．若{|[][2][3],01}A y y x x x x ==++≤≤，则A 中所有元素的和为_______．20．设集合{}1,2,3A =，若B ≠∅，且B A ⊆，记G(B)为B 中元素的最大值和最小值之和，则对所有的B ，G(B)的平均值是_______.三、解答题21．已知全集U =R ，集合{4A x x =<-或1}x >，{|312}B x x =-≤-≤， （1）求AB 、()()U UA B ；（2）若集合{|211}M x k x k =-≤≤+是集合A 的子集，求实数k 的取值范围． 22．设集合{|12A x a x a =-<<，}a R ∈，不等式2760x x -+<的解集为B ． （1）当a 为0时，求集合A 、B ； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．23．已知集合A ＝{x|2a ＋1≤x≤3a －5}，B ＝{x|x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．（1）A∩B ＝∅；（2）A ⊆（A∩B ）．24．已知函数2()lg(231)f x x x =-+的定义域为集合A ，函数()2(],,2x g x x =∈-∞的值域为集合B ，集合22{|430}(0)C x x mx m m =-+≤>. （1）求A ∪B ； （2）若()C AB ⊆,求实数m 的取值范围.25．已知集合{}2|280A x x x =+-≤，[)1,B =-+∞，设全集为U =R .（1）求()UA B ∩；（2）设集合(1,1)C a a =-+，若C A B ⊆⋃，求实数a 的取值范围. 26．设全集U =R ，函数2lg(4+3)y x x =-的定义域为A ，函数3[0]1y x m x =∈+，，的值域为B .（1）当4m =时，求UB A ；（2）若“Ux A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项.2．A解析：A 【分析】由集合的包含关系得,a b 的方程组，求解即可 【详解】A B ⊆，由集合元素互异性得0,0,a b a b ≠≠≠ 则22a a b b ⎧=⎨=-⎩ 或22b a a b ⎧=⎨=-⎩解得11a b =⎧⎨=-⎩或11b a =⎧⎨=-⎩故选： A 【点睛】本题考查集合的包含关系，考查元素的互异性，是基础题3．C解析：C 【分析】用列举法表示集合Q ,这样就可以选出正确答案. 【详解】{}M P M a ⊆⇒=或{}b 或{},a b 或∅.因此{}{}{}{}{|},,,,Q M M P a b a b =⊆=∅,所以P Q ∈.故选：C 【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系,理解本题中集合Q 元素的属性特征是解题的关键.4．C解析：C 【分析】先确定,P Q ，计算P Q 和P Q ，然后由新定义得结论．【详解】由题意{|02}P x x =≤≤，{|10}{|1}Q x x x x =-≥=≥， 则{|0}PQ x x =≥，{|12}P Q x x =≤≤，∴{|01P Q x x =≤<★或2}x >． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合新定义运算，解题关键是正确理解新定义，确定新定义与集合的交并补运算之间的关系．从而把新定义运算转化为集合的交并补运算．5．D解析：D 【分析】 先求出集合A ,由A B B =,即B A ⊆,再分B φ=和B φ≠两种情况进行求解.【详解】由2120x x --≤,得34x -≤≤. 即[3,4]A =-. 由AB B =,即B A ⊆.当B φ=时，满足条件,则211m m -≥+解得2m ≥.当B φ≠时，要使得B A ⊆，则12121314m m m m +>-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩.解得：12m -≤<.综上满足条件的m 的范围是：1m ≥-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合的包含关系的判断及应用，以及集合关系中的参数范围问题，考查分类讨论思想，属于中档题.6．C解析：C 【分析】首先确定B A ⊂，分B φ=和B φ≠两种情况讨论，求a 的取值范围. 【详解】B A B =B A ∴⊂，当B φ=时，332a a a -≥+⇒≤-； 当B φ≠时，3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，312a ∴-<≤- ， 综上：1a ≤-， 故选C. 【点睛】本题考查根据集合的包含关系，求参数取值范围，意在考查分类讨论的思想，属于基础题型.7．B解析：B 【解析】 【分析】首先求解方程组3y x y x ⎧=⎨=⎩，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案．【详解】联立3y x y x⎧=⎨=⎩，解得1,0,1x =-即3y x =和y x =的图象有3个交点()11--，，()0,0，(11)，， ∴集合A B 有3个元素，故选B.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．8．D解析：D 【分析】解不等式得集合B ，由集合的运算求出()R A B ，根据集合中的元素可得子集个数．【详解】10{|21}2x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭∣，{|2R B x x =≤-或1}x ≥，所以()R A B {2,1,2}=-，其子集个数为328=．故选：D ． 【点睛】本题考查集合的综合运算，考查子集的个数问题，属于基础题．9．C解析：C 【分析】由集合描述求集合,A B ，结合韦恩图知阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，分别求出()U C A B 、()A B ⋃，然后求交集即可.【详解】(){}20{|20}A x x x x x =+<=-<<，{}1{|11}B x x x x =≤=-≤≤，由图知：阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，而{|10}A B x x ⋂=-≤<，{|21}A B x x ⋃=-<≤，∴(){|1U C A B x x ⋂=<-或0}x ≥，即()(){|21U C A B A B x x ⋂⋂⋃=-<<-或01}x ≤≤，故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.10．C解析：C 【分析】根据不等式的解法，求得集合,A B ，根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】依题意，可得集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}＝(-1,3)，B ＝{x|2x <2}＝(－∞，1)， ∴A∩B ＝(－1,1)． 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确利用不等式的解法，求得集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．A解析：A 【解析】 【分析】先确定集合M,N,再根据M N ⋂=∅确定实数a 的值. 【详解】由题得集合M 表示(32)3y x -=-上除去(2)3，的点集，N 表示恒过(10)-，的直线方程． 根据两集合的交集为空集：M N ⋂=∅.①两直线不平行，则有直线20ax y a ++=过(2)3，，将2x =，代入可得2a =-， ②两直线平行，则有32a-=即6a =-， 综上6a =-或2-， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查集合的化简和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12．C解析：C 【分析】化简集合，根据集合的并集补集运算即可. 【详解】因为{|lg(3)}{|3}A x y x x x ==+=>-， 所以AB {|3}x x =>-，()R C A B ⋃={|3}x x ≤-，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于中档题.二、填空题13．【分析】若中有且仅有一个元素则方程有且仅有一个解进而求解即可【详解】由题因为中有且仅有一个元素则方程有且仅有一个解当时则当时则由已知得或或或解得故答案为:【点睛】本题考查由交集结果求参数范围考查分类 解析：[1,1]-【分析】 若AB 中有且仅有一个元素,则方程a x x a =+有且仅有一个解,进而求解即可【详解】由题,因为A B 中有且仅有一个元素,则方程a x x a =+有且仅有一个解,当0x ≥时,ax x a =+,则1a x a =-, 当0x <时,ax x a -=+,则1a x a =-+, 由已知得0101a a a a ⎧≥⎪⎪-⎨⎪-≥⎪+⎩或0101aa a a ⎧<⎪⎪-⎨⎪-<⎪+⎩或101a aa =⎧⎪⎨-<⎪+⎩或011a a a ⎧≥⎪-⎨⎪=-⎩, 解得11a -≤≤, 故答案为:[]1,1- 【点睛】本题考查由交集结果求参数范围,考查分类讨论思想和转化思想14．【分析】当集合的长度的最小值时与应分别在区间的左右两端由此能求出的长度的最小值【详解】由题的长度为的长度为当集合的长度的最小值时与应分别在区间的左右两端故的长度的最小值是故答案为:【点睛】本题考查交解析：16【分析】当集合M N ⋂的“长度”的最小值时,M 与N 应分别在区间[]0,1的左右两端,由此能求出M N ⋂的“长度”的最小值 【详解】由题,M 的“长度”为23,N 的“长度”为12, 当集合M N ⋂的“长度”的最小值时,M 与N 应分别在区间[]0,1的左右两端, 故M N ⋂的“长度”的最小值是2111326+-=, 故答案为:16【点睛】本题考查交集的“长度”的最小值的求法,考查新定义的合理运用15．【分析】根据与可知再根据集合相等求解即可【详解】由可知即故当时当时即故不满足故故答案为：【点睛】本题主要考查了根据集合的基本关系求解参数的问题需要根据题意分情况讨论同时注意集合的互异性属于中档题【分析】根据{}2U C A =与{}22,3,3U a a =+-可知{}23,3A a a =+-,再根据集合相等求解即可.【详解】由{}2U C A =,{}22,3,3U a a =+-可知{}23,3A a a =+-,即{}{}23,3,3a a a +-=.故232,3a a aa ⎧+-=⎪⎨≠⎪⎩ .当0a ≥时,23a a a a +-=⇒=当0a <时,23a a a +-=-即 ()()2230130a a a a +-=⇒-+=,故3a =-.不满足2,3a ≠.故a =【点睛】本题主要考查了根据集合的基本关系求解参数的问题,需要根据题意分情况讨论,同时注意集合的互异性,属于中档题.16．【分析】先求出集合由已知条件中即可求出实数a 的取值范围【详解】由解得又因为且则所以即实数a 的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查了集合的交集运算在解答此类题目的方法是将其转化为子集问题在取答案时可以 解析：(],1-∞-【分析】先求出集合P ,由已知条件中P Q P =,即可求出实数a 的取值范围.【详解】由{}2230P x x x =--<,解得{}13P x x =-<<,又因为{}Q x x a =>,且PQ P =,则P Q ⊆,所以1a ≤-,即实数a 的取值范围是(],1-∞-.故答案为:(],1-∞- 【点睛】本题考查了集合的交集运算,在解答此类题目的方法是将其转化为子集问题,在取答案时可以画出数轴来得到结果,本题较为基础.17．3+∞）【分析】先求出集合再利用交集定义和不等式性质求解【详解】∵集合解得∴实数m 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查实数的取值范围的求法解题时要认真审题注意不等式性质的合理运用是基础题解析：[3，+∞） 【分析】先求出集合B ，再利用交集定义和不等式性质求解． 【详解】∵集合{|2}A x x =≥，{|||1}{|11}B x x m x m x m =-≤=-≤≤+，A B B =，12m ∴-≥，解得3m ≥，∴实数m 的取值范围是[)3,+∞．故答案为：[)3,+∞． 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用，是基础题.18．在的三条高上且不为重心【分析】由题意知若集合的子集只有个则集合有个元素可得出三个三角形的面积有两个相等分析点的位置即可得出结论【详解】若集合的子集只有个则集合有个元素是等边内部一点三个三角形的面积值解析：H 在ABC ∆的三条高上且H 不为ABC ∆重心 【分析】由题意知，若集合M 的子集只有4个，则集合M 有2个元素，可得出HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆三个三角形的面积有两个相等，分析点H 的位置，即可得出结论. 【详解】若集合M 的子集只有4个，则集合M 有2个元素，M 是等边ABC ∆内部一点， HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆三个三角形的面积值构成集合M ， 故HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆三个三角形的面积有且只有两个相等.若HAB ∆，HBC ∆的面积相等，则点H 在边AC 的高上且不为ABC ∆的重心； 若HBC ∆，HCA ∆的面积相等，则点H 在边AB 的高上且不为ABC ∆的重心； 若HAB ∆，HCA ∆的面积相等，则点H 在边BC 的高上且不为ABC ∆的重心. 综上所述，点H 在等边ABC ∆的三条高上且不为ABC ∆的重心. 故答案为：H 在ABC ∆的三条高上且H 不为ABC ∆重心 【点睛】本题考查子集的个数与元素个数之间的关系，根据已知条件得出集合元素的个数是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.19．【分析】分5种情况讨论的范围计算函数值并求元素的和【详解】①当时；②当时；③当时；④时；⑤当时则中所有元素的和为故答案为12【点睛】本题考查新定义的题型需读懂题意并能理解应用分类讨论解决问题本题的难 解析：12【分析】分103x ≤<，1132x ≤<，1223x ≤<，213x ≤<，1x =，5种情况讨论2,3x x 的范围，计算函数值，并求元素的和. 【详解】①当103x ≤<时， 220,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)30,1x ∈，∴ [][][]230x x x ===，[][][]230x x x ++= ；②当1132x ≤<时，22,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，331,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ， [][]20,x x ∴==[]31x =，[][][]231x x x ∴++=；③当1223x ≤<时，[)21,2x ∈ ，33,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭[]0x ∴=，[]21x = ，[]31x = ，[][][]232x x x ∴++=； ④213x ≤<时，42,23x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)32,3x ∈ []0x ∴=，[]21x =，[]32x =，[][][]233x x x ∴++=；⑤当1x =时[]1x =，[]22x =，[]33x = ，[][][]236x x x ∴++={}0,1,2,3,6A ∴=，则A 中所有元素的和为0123612++++=.故答案为12【点睛】本题考查新定义的题型，需读懂题意，并能理解，应用，分类讨论解决问题，本题的难点是分类较多，不要遗漏每种情况20．4【分析】根据题意列出所有可能的集合B 求出相应的求出平均数即可【详解】因为集合若且所以集合B 为：当时当时当时当时当时当时当时则G(B)的平均值是故答案为：【点睛】本题主要考查了集合间的包含关系考查学 解析：4【分析】根据题意列出所有可能的集合B ，求出相应的()G B ，求出平均数即可.【详解】因为集合{}1,2,3A =，若B ≠∅，且B A ⊆所以集合B 为：{}{}{}{}{}{}{}1231,21,32,31,2,3，，，，，，当{}1B =时，()112G B =+=当{}2B =时，()224G B =+=当{}3B =时，()336G B =+=当{}1,2B =时，()123G B =+=当{}1,3B =时，()134G B =+=当{}2,3B =时，()235G B =+=当{}1,2,3B =时，()134G B =+=则G(B)的平均值是246345447++++++= 故答案为：4【点睛】本题主要考查了集合间的包含关系，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 三、解答题21．（1）{|13}A B x x =<≤∩；()(){|13}U U A B x x x ⋃=≤>或；（2）5k <-或1k >．【分析】（1）首先求集合B ，再求U A 和U B ，再求集合的运算；（2）首先讨论集合M 是空集和非空集两种情况，再分别列不等式求解. 【详解】解：（1）因为全集U =R ，集合{4A x x =<-或1}x >，，{|312}B x x =-≤-≤， 所以23{|}B x x =-≤≤{|41}U x x A =-≤≤{2U B x x =<-或3}x >所以{|13}A B x x =<≤∩ ()()(){|1U U U A B A B x x ⋃=⋂=≤或3}x >，（2）因为集合{|211}M x k x k =-≤≤+是集合A 的子集，所以①当M =∅时，211k k ->+，解得2k >；②当M 时，21114k k k -≤+⎧⎨+<-⎩或211211k k k -≤+⎧⎨->⎩解得：5k <-或12k <≤综上所述：实数k 的取值范围是5k <-或1k >．【点睛】易错点睛：（1）已知子集关系求参数时，要记得讨论空集的情况，这是本题的易错点. （2）集合的交并补运算，需审题清楚，注意端点值的开闭，涉及复杂运算时可以参考补集运算的经典结论：()()()U U v A B A B ⋃=⋂，()()()U U v A B A B ⋂=⋃；22．（1）{|10}A x x =-<<，{|16}B x x =<<；（2）1a -或23a ．【分析】（1）根据题意，由0a =可得结合A ，解不等式2760x x -+<可得集合B ，（2）根据题意，分A 是否为空集2种情况讨论，求出a 的取值范围，综合即可得答案．【详解】解：（1）根据题意，集合{|12A x a x a =-<<，}a R ∈，当0a =时，{|10}A x x =-<<，276016x x x -+<⇒<<，则{|16}B x x =<<，（2）根据题意，若A B ⊆，分2种情况讨论：①，当12a a -时，即1a -时，A =∅，A B ⊆成立；②，当12a a -<时，即1a >-时，A ≠∅，若A B ⊆，必有1126a a -⎧⎨⎩， 解可得23a ，综合可得a 的取值范围为1a -或23a ．【点睛】本题考查集合的包含关系的应用，（2）中注意讨论A 为空集，属于基础题．23．（1）{a|a≤7}；（2）{a|a ＜6或a ＞152} 【分析】（1）根据A∩B=∅，可得-1≤2a+1≤x≤3a -5≤16，解不等式可得a 的取值范围；（2）由A ⊆（A∩B ）得A ⊆B ，分类讨论，A ＝∅与A≠∅，分别建立不等式，即可求实数a 的取值范围【详解】（1）若A ＝∅，则A∩B ＝∅成立．此时2a ＋1＞3a －5，即a ＜6． 若A≠∅，则2135{2113516a a a a +≤-+≥--≤解得6≤a≤7．综上，满足条件A∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a|a≤7}．（2）因为A ⊆（A∩B ），且（A∩B ）⊆A ， 所以A∩B ＝A ，即A ⊆B ． 显然A ＝∅满足条件，此时a ＜6．若A≠∅，则2135{351a a a +≤--<-或2135{2116a a a +≤-+> 由2135{351a a a +≤--<-解得a ∈∅；由2135{2116a a a +≤-+>解得a ＞152．综上，满足条件A ⊆（A∩B ）的实数a 的取值范围是{a|a ＜6或a ＞152}． 考点：1．集合关系中的参数取值问题；2．集合的包含关系判断及应用 24．（1）R （2）106m <≤或413m ≤≤ 【分析】（1）求出集合A ，B ，根据集合的并集运算即可；（2）{|3},C x m x m =<<1{|02A B x x ⋂=<<或14}x <≤，利用()C A B ⊆，列出不等式组，求出实数m 的取值范围.【详解】由2()lg(231)f x x x =-+可得：22310x x -+>， 所以1{|2A x x =<或1}x >, 因为()2(],,2x g x x =∈-∞，所以{|04}B x x =<，所以A B R =.（2）{|3}C x m x m =<<，1{|02A B x x ⋂=<<或14}x <≤， 因为()C A B ⊆， 所以0132m m <⎧⎪⎨≤⎪⎩或134m m ≤⎧⎨≤⎩， 解得106m <≤或413m ≤≤， 故实数m 的取值范围106m <≤或413m ≤≤. 【点睛】本题考查并集、交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题. 25．（1）()[)4,1U AB =--（2）[)3,-+∞ 【分析】（1）先化简集合A ，再求()U A B ∩；（2）先求出[)4,A B =-+∞，得14a -≥-，解不等式即得解.【详解】（1）由题得[]4,2A =-，[)1,B =-+∞，(,1)U B =-∞-， 所以()[)4,1U A B =--；（2）由题得[)4,A B =-+∞，若C A B ⊆⋃，则14a -≥-，所以3a ≥-. 所以a 的取值范围是[)3,-+∞.【点睛】本题主要考查集合的运算和关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.26．（1）U B A =[35，3].（2）02m << 【分析】（1）先解不等式得集合A ，再根据单调性求分式函数值域得集合B ，最后根据补集以及并集概念求结果；（2）根据充要关系确定两集合之间包含关系，结合数轴列不等式解得结果.【详解】(1)由2430+x x ->，解得1x <或3x >，所以1[]3U A =，， 又函数31y x =+在区间[0]m ，上单调递减，所以3[3]1y m ∈+，，即3[3]1B m =+，， 当4m =时，3[3]5B =，，所以[3]35U B A =，. （2）首先要求0m >，而“U x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以，即3[3]1m +，[1]3，， 从而311m >+， 解得02m <<【点睛】本题考查函数定义域、值域，集合补集与并集以及根据充要关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.。