剩余类环,同态与理想3-5

近世代数复习题例1 :写出剩余类加群Z15的(1) 全部元素; { [0], [1], …, [14]}(2) 全部⽣成元; { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(3) 全部⼦加群；?[0]?, ?[1]?= Z15, ?[5]?={[0], [5], [10]}= ?[10]?,[3]={ [0], [3], [6], [9], [12]} = [6]= [9]= [12].(4) 每个元素的负元；-[1]=[14], -[2]=[13], -[3]=[12],-[4]=[11], -[5]=[10], -[6]=[9], -[7]=[8].(5) 全部理想；([0]), ([1]) = Z15, ([5])={[0], [5], [10]}= ([10]), ([3])={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ([6])= ([9])= ([12]).(6) 全部可逆元；{ [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(7) 全部零因⼦；{ [3], [5], [9], [10], [12]}(8) Z15是域吗？说明理由; 不是。

因为有零因⼦。

⼀、选择题1、设实数在有理数域Q上的极⼩多项式f(x)的次数为n, 则可以⽤圆规直尺作图作出的条件是(A)(A) n是2的⽅幂；(B) n是素数；(C) n是素数的⽅幂；(D) n>2。

2、设H是群G的正规⼦群，商群G/H中的元素是(C)(A) H中的元素；(B) G\H中的元素；(C) G 关于H 的所有右陪集；(D) H 的所有共轭1Hg -g.3、设是环同态, 则同态的核是 (D)(A) Ker(?)={a ∈S: 有 ?b ∈R, 使得 ?(b )=a }；(B) Ker(?)={a ∈R: ? (a )=a }；(C) Ker(?)={a ∈?R: ? (a )=1}；(D) Ker(?)={a ∈?R: ? (a )=0}。

a b a bA
我们现在用符号
a b A

a b A a b A 即 来表示（读成 a 与 b 模 A 同余）。
一个类 a 包含所有可以写成
au
u A
的形式的元. 两个元的剩余类相等的条件是：
[ a ] [b ] a b A
1
证明: 1.分两步 1) a , b I a b I 2) a I , r R ra , ar R 2-5 同学自行给出.
8.4 同态基本定理
定理 2 假定R同 R 是两个环，并且R与 R 同态，那么
R A R
这里 A 是同态满射的核. 证明 设 个映射 : R
例1. 设 : Z Z n , ( n ) [ n ] (1)证明 是同态满射 (2)求 k er (3)写出 Z 的一个商环, 使它与 Z n 同构.
例2. 证明 Q [ x ] /( x ) Q 例3. 证明
Q [ x ] /( x 1) Q [ i ]
2
8.5 同态的性质

: R R 是已知的同态满射,
A R
*
利用它构造一
( a ) a a
(1) 是一个aຫໍສະໝຸດ R A与 R
间的映射。因为：

*
b
a bA ab ab 0 a b
*
( a ) ( b )
是一个 R A 与 R 的映射。
记 k er f I ,[a]=a+I.
它有以下性质: 1. ker f I 是理想 2. [ a ] [ b ] f ( a ) f ( b ) 3. x [ a ] f ( x ) f ( a ) 4. f ([ a ]) { f ( a )} . 5. 记 a f ( a ) ,那么 f ( a ) [ a ]

I是R的一个理想，则 R/I是一个域 I是最大理想。
Z /( p ) 是域 p 是素数. 定理9：
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练习： 求Z12的全部最大理想.
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(1) ( a b) ( a) ( b) (2) ( a b) ( a) ( b)
如果 既是单映射又是满映射,则称 为同构，记作 : R R ,并称 R与R 同构.
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定理1 若 R 与 R 是各有两个代数运算的系统， 且 : R ~ R ，则当 R 是环时，R 也是环. 定理2 若 R 与 R 是环，且 : R ~ R ，则 (2) ( a) ( a) (1) (0R ) 0R n n (3) (a ) ( (a)) (4)当 R 是交换环时，R 也是交换环； (5)当 R 是有单位元环时，R 也是有 单位元环时，且 1R (1R ).
又令 S {( a, 0) | a Z }
((a, 0) a) Z ( R S)
SZ
R Z {(a, b) | 0 b Z }, Z R
RR
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二、环同态基本定理 定理 5 R ~ R / I （ :aa I ） 定义2 设 为环 R到R 的同态,称集合 Ker {a R | (a) 0} 为同态 的核. 定理6（环同态基本定理）设 为环 R到R 的同态满射,则 (1) Ker为R的理想; ( 2) R / Ker R
近世代数
第三章 环与域 §5 环的同态、最大理想
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一、环同态的定义与性质 定义1 设 R和R 是两个环, 是集合 R到R 的映射.如果对任意的 a, b R ,有 ，则称 为环 R到R 的一个同态. 如果 为满映射,则称 为满同态, 记作 : R ~ R ,并称 R与R 同态.

若 ＰＪ， 则 ｊ ｑ 。这就 矛盾 了 ， 也就 是说 Ｐ不 整除 ｑ 易见 Ｐ是 素数 ， 么 （ ｑ 。 那 户，）一１ 则 可 以找到整 ，
数 ｓ， ＇，使得 ｓ＋ｔ一１ ；・ ＋ｉ・ ＝一 由定 义 ２条件 （） ｐ ｐ ｉ 一 ， ｑ ｌ ２ 可得 Ｔ 一；・ ＋ ∈Ｍ ，由此 可得 Ｍ＝Ｚ 。 ・
（ ） ２一２ ≥ｆ ， 一是Ｐ １ 当 ｆ ｒ 时 Ｖ“ （ ） ２一２＜ｆ 。 “ ２ 当 ｔ ｒ 时 取 一Ｐ
０ ｂ ，＝ｌ Ｐ
０ 则 ａ ＝０ 所 以 ５是无单 位元 的零环 。 。 ｂ 。
０ 。一ｐｒｔ ＝ ０ 则 ａ ＝Ｐ 一０ 所 以 Ｓ是有零 因 子的环 。假 如 ２ Ｐ ｚ ， ｂ ， ＝
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１ ０
佛 山科 学技 术 学院 学报 （ 自然科 学版）
第２ ６卷
命题 ２ 当 一户（≥２ ， 中 Ｐ是 素数 时 ， ｚ Ｐ 阶 （＜ｆ理 想 ５是 含零 因子无 单位 元的 环 。 ｆ ） 其 则 ， 的 ｒ ）
证明 Ｚ Ｐ ， 的 阶 理 想 Ｓ ： ， ， ，Ｐ 一 １ 户 ｝ 一 ０Ｐ … （ ） 。
知 道 任意 一个 环至 少 有零 理 想 和单 位 理想 两 个 理想 ， 以 Ｚ 也 至 少 有零 理想 Ｓ一 ｛ ｝ 单位 理想 所 ０和
Ｓ 一Ｚ 个 理 想 。 ，两
注 意 ｚ 的这 两个理 想 是相 同 的 ， 。 即所 以也 可 以说仅 有 一个 理想 。
２ 模 剩 余 类环 的理 想
有单 位元 。 则可得 Ｓ—Ｚ 与 ｌ Ｐ 矛盾 。 因此 是无单 位 的环 。 ５ｌ —Ｐ＜
命 题 ３ 若 一 Ｐ ， 是 素 数 ， ｑＰ ｑ是 大 于 １的 正 整 数 ， （ ｑ 一 １时 ， ， Ｐ 阶 理 想 Ｓ 是 域 ， Ｓ 当 Ｐ，） Ｚ， 的 且 兰