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圆心角角度制和弧度制
心角角度制和弧度制是两种常用的角度测量单位，用于度量和表示圆心角的大小。
1. 圆心角角度制（Degree）：
圆心角角度制使用度（°）作为单位来度量圆心角的大小。
一个完整的圆共有360°，其中每一度（°）等于圆的周长中的1/360。
因此，圆心角的大小可以通过它所占圆周的度数来表示。
例如，如果一个圆心角所占圆周的度数为60°，则这个圆心角的大小相当于圆周的1/6。
2. 弧度制（Radian）：
弧度制使用弧度（rad）作为单位来度量圆心角的大小。
弧度制定义圆心角为圆心处对应圆周上弧长等于半径的弧度数。
一个完整的圆对应的弧度是2π（约6.28），这对应于圆的周长和半径之间的关系πr。
因此，弧度制下的角度是通过角所占圆周长度的比例来表示。
例如，如果一个圆心角所占圆周长度为π/3 弧度，则表示这个圆心角是圆周的1/3。
在数学和物理学中，弧度制常用于计算圆周的弧长、扇形面积等几何运算，因为弧度制与几何关系更直接。
综上所述，圆心角角度制和弧度制是度量和表示圆心角大小的两种不同单位制。
了解和使用这两种单位有助于在不同的数学和科学领域中准确和方便地描述圆心角的大小。
弧 度 制基础归纳：1、弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．2、弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2. 其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．知识点一 弧度制的概念1、 定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad ，读作1弧度.2、 如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值|α|＝lr3、 约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.4、用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．例1、在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（ C ） A ．所对弧长相等 B ．所对的弦长相等C ．所对弧长等于各自半径D ．所对弧长等于各自半径知识点二 角度制与弧度制互换1、将角度化为弧度2、将弧度化为角度例1A. 6π radB.－6π rad C. 12πrad D.－12πrad例2、将下列弧度转化为角度： （1）12π= °；（2）－87π= ° ′；（3）613π= °； 例3、将下列角度转化为弧度：（1）36°= rad ；（2）－105°= rad ；（3）37°30′= rad ； 答案： 15 -157 30； 390 5π；127π-；245π．知识点三 弧长及扇形面积公式1、弧长公式2、扇形面积公式 例1、半径为πcm ，中心角为120o 的弧长为（ D ）rad π2360=︒rad π=︒18001745.01801≈=︒rad πrad n 0=︒=3602π︒=180π(0=n rl •=α22121r r l S •=•=αA ．cm 3πB ．cm 32π C ．cm 32πD ．cm 322π 例2、(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？(1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，故扇形圆心角为12. (2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100， 当且仅当r ＝10时，S max ＝100.所以当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大．若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．解析：设圆半径为R ，则圆内接正方形的对角线长为2R ， ∴正方形边长为2R ，∴圆心角的弧度数是2RR＝ 2. 答案： 2巩固练习：1、圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 2、如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）．3、某种蒸汽机上的飞轮直径为1.2m ，每分钟按逆时针方向转300周，求: （1）飞轮每秒钟转过的弧度数。
弧度制的概念和公式
弧度制是一种角度度量方式，它使用圆的半径长度来度量角度。
在弧度制中，一个完整的圆周被定义为360度或者2π弧度。
换句
话说，一弧度等于圆的半径长。
弧度制在数学和物理学中经常被使用，特别是在解析几何、三角函数和微积分中。
要计算弧度，可以使用以下公式：
弧度 = 弧长 / 半径。
其中，弧长是圆弧上的长度，而半径是圆的半径。
另外，也可以使用角度和弧度之间的转换公式：
弧度 = (角度π) / 180。
其中，π是圆周率，约等于3.14159。
弧度制的优点在于它能够简化许多角度相关的数学公式和计算。
在微积分中，使用弧度制可以让三角函数的导数和积分的计算更加
简洁。
此外，弧度制也能够更自然地描述圆周运动和角速度，因为它直接关联到圆的半径和圆周长。
总之，弧度制是一种重要的角度度量方式，它通过使用圆的半径长度来度量角度，其计算公式简单清晰，能够简化数学计算，并在数学和物理学领域有着广泛的应用。
1.1.2 弧度制
一、基础过关 1． －300°化为弧度是
( )
A ．－4
3π
B ．－53π
C ．－54
π
D ．－76
π
2． 集合A ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是
( )
A ．A ＝
B B ．A ⊆B
C ．B ⊆A
D ．以上都不对
3． 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是
( )
A ．2
B ．sin 2 C.2sin 1
D ．2sin 1
4． 已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于 ( )
A ．∅
B ．{α|－4≤α≤π}
C ．{α|0≤α≤π}
D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
5． 若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________． 6． 若2π<α<4π，且α与－
7π
6
角的终边垂直，则α＝______. 7． 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合
(包括边界，如图所示)．
8． 用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 二、能力提升
9． 扇形圆心角为π
3
，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为
( )
A ．1∶3
B ．2∶3
C ．4∶3
D ．4∶9
10．已知α为第二象限的角，则π－α
2
所在的象限是
( )
A ．第一或第二象限
B ．第二或第三象限
C ．第一或第三象限
D ．第二或第四象限
11．若角α的终边与角π
6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________.
12. 如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)出发，
依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处， 求θ. 三、探究与拓展
13．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .
(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
答案
1．B 2.A 3.C 4.D 5.25 6.7π3或10π
3
7．(1)⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k ∈Z
(2)⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
α|k π＋π6≤α≤k π＋π2，k ∈Z
8． 当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，为225
4 cm 2
9．B 10．D 11．－11π3，－5π3，π3，7π
3
12．解 因为0<θ<π，
且2k π＋π<2θ<2k π＋3π
2(k ∈Z )，
则必有k ＝0，于是π2<θ<3π
4，
又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π
7，
从而π2<n π7<3π4，即72<n <214，
所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7.
13．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，
∵α＝60°＝π
3，R ＝10，
∴l ＝αR ＝10π
3
(cm)．
S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×2×10×sin π6×10×cos π
6
＝50⎝⎛⎭
⎫π3－3
2 (cm 2)．
(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ， ∴α＝c －2R R
，
∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝1
2(c －2R )R
＝－R 2＋
12cR ＝－⎝⎛⎭⎫R －c 42＋c 216
. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 2
16
.。
