平移解决面积问题

《用平移知识解决问题》【学情分析】：本课是《平移》的第二课时，它是《数学课程标准》“空间和图领域”中新内容，是培养学生空间观念的基础，要求学生通过平移，把一些不规则的图形转化成以前学过的规则图形，来求出图形的面积；同时让学生经历观察、操作、比较和归纳的过程,渗透转化的数学思想方法，增强数学问题意识，培养学生实际操作和数学思考能力及合作意识。

【教学目标】（一）知识与技能学生掌握运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题的过程中，培养学生迁移、转化的能力，发展学生的空间观念。

（二）过程与方法通过学生经历自主探究的过程，运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题，加深对“平移”这种图形变换方式的理解。

（三）情感态度和价值观体会数学知识之间的密切联系，感受数学美。

【教学重难点】教学重点：运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题。

教学难点：在解决问题的过程中，加深对平移的理解。

【教学准备】方格纸、课件。

【教学过程】（一）问题导入教师出示一个七巧板拼图1、师问：同学们，你们从这幅图中看到了什么？生：2、师问：整幅图是以什么拼成的？生：七巧板3、师问：你能求出七巧板拼图的面积吗？预设：七块拼图（三角形，正方形平行四边形）面积之和。

4、师：正方形，三角形有自己的名字，而且能用面积公式直接求出面积，这样的图形叫——规则图形（板书）。

师：你还认识哪些规则图形？生：5、师：没有名字也不能用面积公式直接求出面积的图形叫——不规则图形（板书）。

6、师：正方形面积可以用公式计算，但是，三角形、平行四边形面积公式我们没有学过，那这个拼图的面积还能求吗？7、一起来看数学奇迹：变成了一个正方形。

如果正方形边长是5cm，面积：5×5=25（cm2）正方形面积就是拼图面积。

8、实现这个奇迹的原因是：生；平移。

9、师：这节课我们就利用平移知识来解决问题。

板书课题，齐读课题。

（二）探索新知1．提出问题。

教师：这个单元用的最多的是方格图，现在在方格纸上又出现了一个新的图形，它有名字吗？同学们仔细观察，这个图形有什么特点？生：[两条曲边，与我们以前学的图形不一样。

平移齐次化法求面积平移齐次化法是一种通过平移和齐次化来求解几何问题的方法。

在求面积的问题中，平移齐次化法可以将复杂的几何图形转化为简单的几何图形，从而简化计算过程。

假设我们要求一个平面几何图形的面积，我们可以按照以下步骤使用平移齐次化法：1.首先，将图形进行平移，使得其中一个顶点移动到坐标原点。

这样做的目的是为了简化计算，因为平移不会改变图形的面积。

2.接下来，将图形进行齐次化。

具体来说，将图形上的每个点都乘以一个非零常数，使得图形的所有顶点都位于坐标轴上。

这样做可以进一步简化计算，因为齐次化也不会改变图形的面积。

3.最后，利用简单的几何知识计算图形的面积。

由于我们已经将图形平移和齐次化，所以现在可以使用简单的几何公式来计算面积。

下面是一个具体的例子：假设我们要求一个直角三角形ABC的面积，其中A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。

我们可以按照以下步骤使用平移齐次化法：1.将点A移动到坐标原点(0,0)，得到新的点D(-x1,-y1)。

2.将图形进行齐次化。

具体来说，将三角形ABC上的每个点都乘以一个非零常数k，得到新的点E(-kx1,-ky1)，F(-kx2,-ky2)，G(-kx3,-ky3)。

3.由于平移和齐次化不会改变图形的面积，所以三角形ABC的面积等于三角形DEF的面积。

而三角形DEF是一个直角三角形，其面积为(1/2)*DE*EF。

4.最后，利用勾股定理计算DE和EF的长度，从而得到三角形ABC的面积。

通过以上步骤，我们可以使用平移齐次化法求出直角三角形ABC的面积。

这种方法可以推广到其他类型的几何图形，如平行四边形、梯形等。

马瑛张琦填写时间8月28日学科数学年级/册四年级第八册教材版本人教版课题名称第七单元《利用平移知识解决面积问题》难点名称运用平移知识解决简单不规那么图形的面积问题难点分析从知识角度分析为什么难如何使学生体会在变与不变中体验化难为易的思想价值，体会数学知识之间的密切联系。

从学生角度分析为什么难学生抽象思维能力较弱，如何运用平移知识解决简单不规那么图形的面积问题的策略，开展学生的空间观念是难点。

难点教学方法1.通过微课直观学习能利用平移知识将不规那么图形转化为规那么图形并正确解决面积问题。

2.教学环节教学过程导入2、拼图游戏：〔1〕课件：将这个“风车〞图形平移后变换成一个长方形，组织学生观察并思考：什么变了？什么没变？怎么计算长方形的面积？〔2〕课件：将长方形变换成一个正方形，观察并思考：什么变了？什么没变？怎么计算正方形的面积？〔3〕进一步思考：平移可以将不规那么图转化成规那么图形，但什么没变？3、初步揭题：通过平移的方式我们可以变换图形，从而改变它的形状，它能帮助我们解决什么问题呢？今天这节课就来探讨运用平移的知识解决面积问题。

〔板书课题〕知识讲解〔难点突破〕探究新知1、课件直接呈现例4。

明确问题，思考：〔1〕我们会计算什么图形的面积？它与长方形有何不同？怎样计算这个不规那么图形的面积呢？〔2〕你有没有方法把它“变一变〞，变换成为面积不变但形状规那么的什么图形？2、观看微课学习。

3、提出要求，独立解决。

试着用平移的方式变换一下，再数一数、算一算这个图形的面积。

〔发送互动题板〕学生动手操作，体验转换的过程并尝试计算出这个图形的面积汇报：利用平移的方法，把不规那么的图形转化成规那么的图形，直接求长方形的面积。

预设1：你还有不同的转换方法吗？预设二：剪后面再平移；预设三：剪中间再平移；〔3〕比照辨析，加深理解。

什么变了？什么没变？小结：利用图形在平移的过程中大小不会改变的特性，运用剪拼的方法，将不规那么的图形先剪开，再平移，最后拼组成一个规那么的图形，求出面积。

巧用平移妙求面积 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT巧用平移妙求面积求解与长方形有关的面积是日常生活、生产中常见的问题之一，解决这类问题有一种巧妙的方法那就是采用平移.通过平移，使分散、零碎的图形得以集中，从而方便运用整体思想进行求解.例1如图1－1是小明家一个长方形花坛，空白部分准备用于种花，种草部分分别是一大一小的正方形.已知大正方形的面积为49平方米，小正方形的面积为9平方米.问种花的面积是多少平方米析解：采用平移，将小正方形向上平移到边缘，如图1－2所以.由已知易得种花部分是长方形，长为大正方形的边长减去小长方形的边长，即7-3=4（米），宽恰好是小正方形的边长3米.因此，种花的面积为3×4=12（平方米）.想一想：如果图形不加处理，解题思路又是怎样的呢例2如图2－1，某小区规划在一个长为AD=40米，宽为AB=26米的长方形场地ABCD上，修建三条宽都是2米的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.问种草区域的面积是多少析解：将图2－1的小路分别沿BA，BC平移到如图2－2所示的位置，则易知种草的长方形的长为40-2×2=36（米），宽为26-2=24（米），所以，种草区域的面积为36×24=864（平方米）.想一想：如果图形不加处理，分别求出三条小路的面积，然后用场地的总面积减去三条小路的面积，求得种草区域的面积.与运用平移来解，感觉怎样例3 如图3－1所示，在一块长为24米，宽为16米的草坪上有一条宽为2米的曲折小路，你能运用你所学的知识求出这块草坪的绿地面积吗析解：小路的面积只与小路的宽度和长度有关，与其位置没有关系.可以将路分解成向下和向右分别平移的两部分，平移后如图3－2所示.这时，绿地转化为长22 米，宽18 米的长方形，可求得绿地的面积为：22×18=396 （平方米）.想一想：直接求小路的面积是无法求解的， 那么，本题中将曲折的小路进行平移，意义何在坐标系中求图形的面积图形的面积可以利用相应的面积公式求得，但是在平面直角坐标系内的求面积问题，往往不直接给出边或高之类的条件，而是给出一些点的坐标.现对这类题目的解法举例说明如下.一、计算三角形的面积例1 如图1所示，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A （-4，-3），B （0，-3），C （-2，1）.求三角形ABC 的面积.分析：观察图形，在坐标系中读取三角形ABC 的一边的长度，和该边上的高的长度.因为AB ∥x 轴，所以AB 可以作为底边.图3-（1）图3-（2）yB CA O 11 图1解：因为AB=0-（-4）=4，AB 边上的高为h=1-（-3）=4，所以三角形ABC 的面积是：21AB ·h=21×4×4=8. 评注：当两点在平行于x 轴的直线上时，两点之间的距离是两点的横坐标的差的绝对值；当两点在平行于y 轴的直线上时，两点之间的距离是两点的纵坐标的差的绝对值.如果三角形中有一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，可以直接利用三角形的面积公式求解.例2 如图2所示，在三角形AOB 中，A ，B ，C 三点的坐标分别为（-1，2），（-3，1），（0，-1），求三角形AOB 的面积.分析：三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角系的特点，可以将三角形的面积转化为正方形EFCD 的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求出此三角形的面积.解：如图2，作正方形EFCD ，则该正方形的面积为EF ·FC=3×3=9.因为三角形AEB 的面积是：21×AE ·EB=21×2×1=1，三角形BFC 的面积是：21BF ·FC=21×2×3=3，三角形ACD 的面积是：21×AC ·AD=21×3×1=23，所以三角形ABC 的面积是：9-1-3-23=27.点评：如果三角形的三边中没有任何一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，则应将其进行转化为几个规则图形的面积和或差.二、计算四边形的面积E FD图2例3 如图3，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A（-2，2），B （-3，-3），C （3，3），D （2，1），求四边形ABCD 的面积.分析：四边形ABCD 不是规则的四边形，要求其面积，可将该四边形的面积转化为两个直角三角形和一个梯形的面积的和来计算.解：作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，则四边形ABCD 的面积=三角形ABE 的面积+梯形AEFD 的面积+三角形DFC 的面积，因为三角形ABE 的面积为：21BE ·AE=21×1×5=25，梯形AEFD 的面积为：21（DF+AE ）·EF=21×（4+5）×4=18，三角形DFC 的面积为：21FC ·DF=21×1×4=2，所以四边形ABCD 的面积为：25+18+2=2221. 点评：解决平面直角坐标系中的四边形的面积问题，一般思路是将不规则的图形转化为规则的图形，再利用相关的图形的面积公式求解.。

接受新课变式3. 若改变道路的条数如下图，其他条件不变，求道路入口处的宽度，那么应该怎么列方程？师生共同分析巩固提升图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b：在图①中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1=_________，S2=_________，S3=_________．（3）联想与探索：如图④在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．复习平行四边形的面积公式矩形面积减去道路的面积（20-x）×(32-x)=540学生分析题意学生完成图③小组展示（2）S1=___ab-b___S2=__ ab-b _S3=___ab-b___学生独立完成（3）面积=ab-b学生说明猜想结果体验学习过程提高思维能力培养学生总结能力和灵活运用知识的综合能力。

培养学生独立思考问题的能力课堂小结1、学会转化思想，提高接受新知识的能力2、通过平移将复杂问题简单化当堂检测布置作业当堂检测1、某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道。

那么人行通道的宽度为多少米，解：设方案中道路的宽度为x。

根据题意列方程得：（32-x）（20-x）=540解得：x1=50，x,2=2 x1=50不合题意所以方程的解为x=2答方案的道路的宽度是2米课后作业1、如图，一块长5米，宽4米的地毯，为了美观，设计了两横、两竖的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是地毯面积的17/80.(1)求配色条纹的宽度;(2)如果地毯配色条纹部分每平米造价200元，其余部分每平米造价100元，求地毯的总造价。

巧用平移求面积湖北省黄石市鹏程中学陈贵芳同学们，你会用平移去求图形的面积吗？其实，某些求图形面积的问题，若能想到用平移知识并将部分图形平移后去解，那么你会品尝到方便简捷的滋味！请看几例：例1图1是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF 的位置．若AB=8cm，BE=4cm，DG=3cm，则图中阴影部分的面积为_____cm．解析1：虽然阴影部分是一个梯形，但因其上底CG、下底DF和高都不易求出，故直接用梯形的面积公式去求它的面积很困难．由题意，知△DEF是△ABC沿BC方向平移得到的，所以S＝S，从而S＝＝S＝(AB+GE)BE＝[8＋（8－3）]×4＝26 cm．解析2：连AD，由平移知，CF＝BE＝AD＝4 cm，所以S＝S－S＝CF×AB－×AD×DG＝4×8－×4×3＝26 cm．例2如图2，在一个长方形的草坪上有两条等宽且互相垂直的长方形小路（长度单位：m），那么草坪的面积为______ m解析：将两条小路分别作如图3所示的平移，则草坪的面积就是图3中空白部分（长方形）的面积，即（50－2）×（30－2）＝1344 m．例3如图4所示是一块待开发的土地，规划人员把它分割成①号区（空白部分）、②号区（阴影部分）、③号区（图下方的空白部分）三块，拟在①号区种花、②号区建房、③号区植树，已知图中四边形ABCD与四边形EFGH是两个完全相同的直角梯形（一腰和底相交成直角的梯形叫做直角梯形，这里∠C和∠G都是直角），求种花部分的面积．解析：显然，因①号区是不规则的图形，不易直接求其面积，考虑到四边形ABCD与四边形EFGH是两个完全相同的直角梯形，故可将四边形EFGH看成是四边形ABCD沿AB方向平移得到的，所以①号区面积等于③号区面积，而③号区面积等于×（EM+AD）×MD＝×（200－1＋200）×2＝399（m），所以种花部分的面积为399（m）．例4如图5，长方形ABCD中，AD＝2AB，EF分别为AD、BC的中点，扇形块P （线段EF左边的阴影部分）和扇形块Q（右边的空白部分）的半径FB、CF的长度都等于acm，求阴影部分的面积．解析1：如图5，由条件，知四边形ABFE和四边形EFCD是两个完全相同的正方形，扇形块P的面积＝扇形块Q的面积．可将扇形块Q沿CB方向平移至扇形块P的位置，知这两个扇形块会完全重合，因①号区域（空白部分）的面积＝②号区域（线段EF右边的阴影部分）的面积，所以阴影部分的面积等于扇形块P的面积+②号区域面积＝扇形块P的面积+①号区域的面积＝正方形ABFE的面积＝FB＝a（cm）．解析2：因扇形块P的面积＝扇形块Q的面积，故亦可将②号区域沿DA方向平移至①号区域，显见阴影部分的面积＝正方形ABFE的面积＝a（cm）．。

四年级下册数学教案-1.1 平移和运用平移解决面积问题
教学目标
1.了解平移的定义；
2.掌握平移的基本方法和规则；
3.运用平移解决面积问题。

教学重点
1.平移的定义和基本方法；
2.运用平移解决面积问题。

教学难点
1.运用平移解决面积问题。

教学过程
教学内容1：平移的定义与规则
教学目标
1.了解平移的定义；
2.掌握平移的基本方法和规则。

教学步骤
1.引入：老师向学生展示图形，问：“如果我们要把它移到另一个地方，应该怎么做呢？”
2.介绍平移的概念：告诉学生平移是指把一幅图形整体沿着某个方向移动一段距离的操作。

3.讨论平移的规则：对于任何一个图形，平移有以下规则：
–平移是整体移动，每一个点都沿着同一个方向移动相同的距离；
–平移前后的图形形状大小都不变，只是位置改变；
–平移可以向上下左右四个方向进行；
–平移可以是正方向也可以是反方向；
–平移中间的空白部分可以忽略不计。

教学内容2：运用平移解决面积问题
教学目标
1.掌握平移运用解决面积问题的方法。

教学步骤
1.回顾上一节课的知识，介绍运用平移解决面积问题的方法：将图形平移后，再用已知面积的图形去填补所求图形，从而得出所求图形的面积。

2.通过实例让学生了解平移解决面积问题的方法。

3.带领学生完成练习。

课后作业
1.完成课堂练习；
2.自选一个待解决的面积问题，用平移的方法求解。

总结
通过这节课的学习，学生了解了平移的定义和基本规则，并掌握了运用平移解决面积问题的方法。

这些知识将为后续的学习提供基础。

平移法解决有关面积问题黑龙江 王国仁一元二次方程的实际应用是教材的重点，也是中考的热点，它的应用十分广泛，设计到面积问题、经济问题、行程问题、增长率问题等等，在面积问题中有一些计算题，如采用平移的方法适当改变图形的形状，可以给解决问题带来意想不到的美妙的效果．现举例说明如下．例1． 一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？图1分析：这类问题的特点是，挖掘渠道所占用土地面积只与挖渠的条数，渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把东西和南北方向的渠道移动到一起（最好靠一边）．如图2所示，那么剩余的长方形土地的长为（162－2x ）米，宽为（64－4x ）米．图2解：设水渠的长应挖x 米，则根据题意，得()()16226449600--=x x ．整理，得 x x 297960-+=解得：，舍去x x 12196==()答：水渠应挖1米宽．例2． 如图3，从一块长80厘米、宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度．图3 图4分析：如果将剩下的铁片平移到一角如图４，可以看出剪掉的边长为（80-2x ）厘米与（60-2x ）厘米，这样问题就容易多了！解：设宽度x cm依题意，得1(802)(602)80602x x --=⨯⨯， 整理，得2706000x x -+=，解得121060x x ==，（不合题意，舍去）．答：剩下长方框四周的宽度为10厘米．例3．一块矩形耕地大小尺寸如图5，如果修筑同样宽的两条“之”字形的道路，如图5所示，余下的部分作为耕地．要使耕地的面积为5402m ，道路的宽应是多少?分析：此题如不采用“平移法”，很难人手．若把“之”字道路平移一下位置，变为图6，则此题即可迎刃而解．图5 图6解：设道路的宽应是x 米，依题意得 (20)(32)540x x --=整理得 2521000x x -+=解得：12250x x ==，（不符合题意，舍去）答：道路的宽应是2米．。

运用平移解决面积问题评课一、引言平移是初中数学中一个非常重要的概念，它在解决面积问题中起到了至关重要的作用。

本文将从平移的定义、性质和应用三个方面进行详细的讲解，以期帮助初中数学教师更好地教授这一知识点。

二、平移的定义平移是指在平面内把图形沿着某个方向移动一段距离而不改变其形状和大小的变换。

具体来说，若将点P(x,y)沿着向量a=(m,n)进行平移，则新点P'(x+m,y+n)。

三、平移的性质1. 平移保持图形的大小和形状不变；2. 平移保持图形内部所有点之间的距离和相对位置关系不变；3. 平移保持图形周长不变；4. 平移保持图形面积不变。

四、运用平移解决面积问题1. 通过平移求解梯形面积梯形是初中数学中经常涉及到的一个图形，其面积公式为S=(a+b)h/2。

但有时候我们需要求解梯形与其他图形组成的复合图形面积，这时就需要运用平移来简化问题。

例如，如图所示的一个梯形与一个矩形组成的图形，我们需要求解其面积。

首先，我们将矩形沿着梯形下边平移h个单位，得到如下图所示的复合图形。

由于平移不改变图形面积，因此原梯形和矩形组成的复合图形与新的梯形和矩形组成的复合图形面积相等。

而新的梯形和矩形组成的复合图形很容易求解出其面积为S'=(a+b)(h+c)，其中c为矩形长。

因此，原梯形和矩形组成的复合图像面积为S=S'-(bc/2)=(a+b)h/2+bc。

2. 通过平移求解圆环面积圆环是指由两个同心圆所围成的一段环状区域。

其面积公式为S=π(R^2-r^2)，其中R为大圆半径，r为小圆半径。

但有时候我们需要求解圆环与其他图像组成的复合图像面积，这时就需要运用平移来简化问题。

例如，如图所示一个圆环与一个正方体组成了一个立体图像，我们需要求解其表面积。

首先，我们将正方体沿着竖直方向平移一个圆环高度h个单位，得到如下图所示的复合立体图像。

由于平移不改变图像面积，因此原圆环和正方体组成的立体图像与新的圆环和正方体组成的立体图像表面积相等。

平移过程中线段ab扫过的面积
假设线段ab在平面内进行平移，经过一段距离后，它所扫过的面积有多少呢？这个问题可以通过计算线段ab所在直线与平移后的位置所在直线之间的夹角，以及线段ab所在直线与平面的交点与平移后的位置所在直线的交点之间的距离来求解。

具体计算公式如下：设线段ab所在直线为L，平移后的位置所在直线为L'，交点为O，P，则：
设夹角为θ，则θ=arccos(cosαcosβ+sinαsinβ)，其中α为L与x轴正方向的夹角，β为L'与x轴正方向的夹角；
设距离为d，则d=|OP|×sinθ，其中|OP|为交点O到原点的距离。

因此，线段ab所扫过的面积为S=×|ab|×d。

需要注意的是，当线段ab平移的方向与L与L'的夹角为180度时，即线段ab沿着L旋转后得到L'时，其所扫过的面积为0。

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