利用平移求不规则图形的面积

不规则图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

一、例题与方法指导例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

思路导航：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF 与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.思路导航：∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形ABCD 的13。

在△ABE 中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2， ∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。

所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。

如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

思路导航：在等腰直角三角形ABC 中∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，∴阴影部分面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4 如右图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=CD ，若△ABC （阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD 及△ACE 的面积.B C思路导航：取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。

《利用平移知识求不规则图形的面积》（教案）-四年级下册数学素养达标精品课（人教版）【教学目标】1.能够理解平移的含义，掌握平移的方法。

2.能够利用平移知识求不规则图形的面积。

3.能够运用所掌握的知识，解决实际问题。

4.培养学生的观察力、思维能力和数学应用能力。

【教学重难点】1.平移的方法。

2.应用平移求不规则图形的面积。

【教法设计】1.新课导入教师放映一张不规则形状的图片，要求学生仔细观察并形容它：这是一个什么图形？有没有什么特殊的地方？这张图形的面积该怎么求？引导学生思考，发现这张图形由一个正方形和两个三角形组成。

2.概念讲解（1）平移：平移就是将图形移动到另一个位置，保持原来的形状和大小不变。

平移后的图形和原来的图形重合。

（2）平移的方法：用尺子或直尺连接远离的两个点，再以这条线段为轴，把图形旋转起来，旋转后的图形与原来的图形重合即为平移。

3.板书设计：平移：将图形移动到另一个位置，保持原来的形状和大小不变。

平移的方法：以线段为轴旋转，重合即为平移。

4.练习（1）学生跟着老师的引导做同样的练习，板书记录下来。

（2）请学生自己准备资料，做出类似问题。

（3）请学生到教室外找规则或不规则的图形，运用平移知识，求出面积。

多元的练习可以培养学生的观察力。

【教学流程设计】教师放映一张不规则形状的图片，要求学生仔细观察并形容它。

然后问学生，这张图形由哪些形状组成？学生可以发现它由一个正方形和两个三角形组成。

教师介绍平移的概念，并讲解平移的方法。

教师用黑板上的画图板演示平移，并要求学生跟着老师的指示做同样的练习。

教师放四幅图，要求学生分别用平移方法求它们的面积。

学生以小组为单位解决问题。

最后请各组代表把答案说出来并手写到黑板上。

最后在教室外，请学生用平移知识求出几个形状的面积，回到教室把答案告诉老师以及家长。

【教学反思】这个教案的学习目标是通过平移求不规则图形的面积。

我们首先让学生对不规则图形进行观察和形容，建立图形的认知，然后引入平移的概念和方法，培养学生的图形观察力和问题解决能力，这些都是我们教学的目的。

第课时利用平移解决问题1.学生掌握运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题的策略,发展学生的空间观念。

2.通过学生经历自主探究的过程,运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题,加深对“平移”这种图形变换方式的理解。

3.体会数学知识之间的密切联系,感受数学美。

【重点】运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题。

【难点】在解决问题的过程中,加深对平移的理解。

【教师准备】PPT课件。

【学生准备】方格纸。

请画出小树向右平移4格后的图形。

(让学生说一说,平移的时候应该注意些什么)【参考答案】方法一出示:师:同学们想一想,怎样去求长方形和正方形的周长和面积?预设生1:长方形周长=(长+宽)×2或长×2+宽×2;长方形面积=长×宽。

生2:正方形周长=边长×4;正方形面积=边长×边长。

揭示课题:如果不是长方形或正方形的图形,我们怎样求它的周长和面积呢?今天我们来学习——利用平移来解决问题。

(板书课题:利用平移解决问题)回顾了旧知识,唤醒了学生的记忆,帮助学生更好地进行后面的学习。

方法二师:上节课我们已经学习了平移的一些知识,利用我们学习的平移知识,还能解决一些图形面积计算问题。

下面我们来做进一步的研究。

(板书课题:利用平移解决问题) 通过简单的谈话,直接揭示我们这节课要学习的内容,简单明了地直接导入新课。

教学例4,利用平移的知识解决面积问题。

1.提出问题。

师:现在在方格纸上又出现了一个新的图形,你能够知道它的面积是多少吗?2.提出要求,独立解决。

师:请你自己求一求这个图形的面积,可以在图上标一标,写一写,画一画。

(学生自己活动,教师巡视,了解学生解决问题的基本思路和方法,选取典型案例)3.讨论交流。

师:这里有几位同学解决问题的方法,我们一起来看看。

预设生1:数方格的方法。

数一数这个图形占有多少个方格,当数到不是整个格时,要拼一拼。

生2:算一算的方法。

妙用图形变换巧求面积武鸣县民族中学韦秋华进入中考第一轮复习后，学生在复习过程中经常遇到求面积的问题。

由于求面积问题考察形式多样，所求面积的图形往往不是规则图形，条件又相对比较隐蔽，因此这类题成为不少学生学习过程中的一个拦路虎。

但新课标明确提出：图形面积的计算是数学计算中的一个重要部分，它在注重培养学生的计算能力的同时还可以将各章节知识融于其中，所以有利于提高学生分析问题、解决问题的能力。

因此要求学生熟悉初中阶段所学的知识，夯实基础，这样才能根据图形的特点，妙用图形变换，“巧”求面积。

而初中阶段接触到的图形变换包括平移、旋转和翻折等。

因此，如果能够灵活运用这些图形变换，不仅可以有效的解决面积问题，还能很好的完成新课标的要求。

下面将本人在教学中的一些感悟列举如下：一、利用平移变换，将不规则图形平移成一个规则的图形比如，在九年级同步学习中有这样的一道题，这道题也曾经在中考时考查过。

例1：如图，在高为2，底角为30°的楼梯上铺地毯，且每一级台阶宽度为2，求地毯的面积30°每一级台阶的高沿竖直方向平移正好是楼梯的铅直高度，而台阶的长度向水平方向平移则在学习反比例函数的时候，在同步学习中有下面的一道题。

次为1，2，3，4.过这些点分别作x轴和y轴的垂线，则图中所构成的阴影部分的面积从在学习反比例函数的时候，学生基本上掌握了求与之相关的面积要用到k这个量。

但是学生通过观察，发现要单独求S1、S2、S3、S4，已知它们的长都是1，但缺少各个图形的高。

如果将S2、S3、S4向左平移到S1的正下方，可以发现S1+ S2 +S3+S4刚好是一个矩形，而且这个矩形的长和高正好是点P1的横坐标和纵坐标，所以这个矩形的面积就是又如在学习实际问题和一元二次方程时，课本当中也有这样的一道题。

例3：如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度？学生在做这道题的时候，感觉比较困难。

人教版四年级数学下册典型例题系列之第七单元图形的运动（二）（原卷版）编者的话：《四年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第七单元图形的运动（二）。

本部分内容主要考察轴对称的认识及作图和平移的认识及作图，题型相对简单，多为作图题，一共划分为十二个考点，建议作为本章重点内容进行讲解，欢迎使用。

【考点一】认识轴对称图形。

【方法点拨】1.如果将一个图形沿着一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2.在轴对称图形中，对称点的连线与对称轴互相垂直，对称点到对称轴的距离相等。

【典型例题】下面的图案是轴对称的吗？是的在括号里画“√”，不是的画“×”。

( ) ( ) ( ) ( )【对应练习】下面各图中，是轴对称图形的在（）里画“√”，不是的画“×”。

( )( )( )( )【考点二】常见的轴对称图形。

【方法点拨】正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴，圆有无数条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，平行四边形没有对称轴。

【典型例题】下列图形不是轴对称图形的是（）。

A．长方形 B．等腰三角形 C．角 D．平行四边形【对应练习1】下面不是轴对称图形的是（）。

A．等腰三角形 B．等腰梯形C．平行四边形 D．正方形【对应练习2】正方形有( )条对称轴，长方形有( )条对称轴，圆有( )条对称轴。

【对应练习3】正方形有( )条对称轴，长方形有( )条对称轴，半圆有( )条对称轴。

【考点三】特殊的轴对称图形。

【方法点拨】判断一个图形是不是轴对称图形，就是把图形沿一条直线对折，看两侧的图形能否完全重合。

米，宽为15米，所修小路的宽度均为2米，请问：剩余草坪的面积 是多少？下列为修小路的几种方案，剩余草坪的面积相同吗？
二、知识讲解
例题 如图（1），在一个矩形的草坪中修一条小路，若草坪的长 为40米，宽为15米，所修小路的宽度均为2米，请问：剩余草坪的 面积是多少？
40米
15米
解：剩余草坪的面积=（40-2）×15 =38×15 =570（平方米）
答：草坪的实有面积是864平方米。
有志登山顶，无志站山脚。 才自清明志自高。 丈夫志不大，何以佐乾坤。
36米
四、知识演变 街心公园里有一块草坪，长37米，宽26米，草坪中间修有1
米宽的小路，将草坪分成两块（如图）。草坪的实有面积是多少？
37米
解：草坪的实有面积=（37-1）×（26-1）
26 米
25
难点名称：利用平移将不规则图形转化为规 人这教个版 图数形学的七面级积下是册多少5c.m²？
2、某宾馆再重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要_____元.
则图形求面积 一解个：人 剩如余果草胸坪无的大面志积，=（既4使0-再2）有×壮15丽的举动也称不上是伟人。
=36×25
米
=900（平方米）
36米
答：草坪的实有面积是900平方米。
五、课堂练习
1、如图，是一块长方形草地，长方形的长是16米， 宽是10米。中间有两条道路，一条是长方形，一条是
平行四边形。草地部分的面积有 112平方米。
五、课堂练习 2、某宾馆再重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某 种红色地毯，已知这种地毯每平米售价30元，主楼梯道 宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要_5_0_4__元.

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“利用平移求解不规则图形面积在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
此外，学生在小组讨论环节，虽然能够积极参与，但部分学生发言过于频繁，导致其他学生没有足够的机会表达自己的观点。针对这一问题，我计划在接下来的课程中，调整讨论策略，鼓励更多的学生参与到讨论中来，提高课堂的互动性。
在实践活动环节，我发现学生们对于实际问题的解决兴趣浓厚，但有时候会陷入固定的思维模式，难以跳出框架解决问题。因此，我打算在后续的教学中，加入更多开放性的问题，激发学生的创新意识，帮助他们拓展思维。
1.加强对学生操作能力的培养，通过更多实际的例题和பைடு நூலகம்作演示，让学生熟练掌握平移的方法。
2.增加课堂讨论环节，鼓励更多学生发表自己的观点，提高课堂互动性。
3.设计更多开放性的问题和实践活动，培养学生的创新意识和问题解决能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了利用平移知识求不规则图形面积的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
同学们，今天我们将要学习的是《利用平移知识求不规则图形的面积》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算不规则图形面积的情况？”（如计算花园的面积）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索如何利用平移知识求解不规则图形的面积。

五年级不规则图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：思路导航：思路导航：C求重合部分（阴影部分）的面积。

思路导航：B思路导航：求阴影部分的面积。

D而的面积与米，扇形CBF求阴影部分20厘米，可以求出圆面积半圆面积减去7可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底的正方形的面积减AD分成两部分，设其中AD右侧的部分面积为是两个半圆的公共部分，去掉那么它的周长是那么它的周长是 厘米．厘米．一小方格的面积是1．那么7，2，1_________平方厘米，那么用粗线围成的图形面积是 _________ 平方厘米．平方厘米． 分的面积是分的面积是 _________ 平方厘米．平方厘米．5．（3分）在△ABC中，BD=2DC，AE=BE，已知△ABC的面积是18平方厘米，则四边形AEDC的面积等于平方厘米．的面积等于 _________平方厘米．6．（3分）如图是边长为4厘米的正方形，AE=5厘米、OB是_________厘米．厘米． 7．（3分）分） 如图正方形ABCD的边长是4厘米，CG是3厘米，长方形DEFG的长DG是5厘米，那么它的宽DE是_________厘米．厘米．8．（3分）如图，一个矩形被分成10个小矩形，其中有6个小矩形的面积如图所示，那么这个大矩形的面积是 _________．这个大矩形的面积是9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为12，P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别上的四等分点，图中阴影部分的面积是 是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影部分的面积是_________．10．（3分）分） 图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米，阴影部分的总面积是10平方平方厘米．的面积是 _________平方厘米．厘米，四边形ABCD的面积是的面积是 _________．那么它的周长是那么它的周长是 170 厘米．厘米．考点： 巧算周长．分析： 要求该图形的周长，先求出每个小正方形的面积，根据正方形的面积公式，得出小正方形的边长，然后先算出该图形的外周的长，因为内、外的长相等，再乘2即可得出结论．结论．解答： 解：400÷16=25（平方厘米），因为5×5=25（平方厘米），所以每个小正方形的边长为5厘米，厘米，周长为：（5×4+5×4+5×3+5×2+5×3+5）×2，=85×2，=170（厘米）； 答：它的周长是170厘米．厘米．点评： 此类题解答的关键是先求出每个小正方形的面积，类题解答的关键是先求出每个小正方形的面积，根据正方形的面积公式，根据正方形的面积公式，根据正方形的面积公式，得出小正得出小正方形的边长，进而算出该图形的外周的长，因为内、外的长相等，再乘2即可得出结论．论．考点： 组合图形的面积．分析： 此题需要进行图形分解：“7”分成一个长方形、一个等腰直角三角形、一个平行四边形；“2”分成一个梯形、一个平行四边形、一个长方形；“1”分成一个梯形和两个长方形．然后进行图形转换，依据题目条件即可求出结果．形．然后进行图形转换，依据题目条件即可求出结果．解答： 解：“7”所占的面积和=+3+4=，“2”所占的面积和=3+4+3=10，“1”所占的面积和=+7=，那么7，2，1三个数字所占的面积之和=++10=25． 故答案为：25．点评： 此题关键是进行图形分解和转换．题关键是进行图形分解和转换．3．（3分）分） 如图中每一小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形面积是平方厘米，那么用粗线围成的图形面积是 6.5 平方厘米．平方厘米．考点： 组合图形的面积．分析： 由图可以观察出：大正方形的面积减粗线以外的图形面积即为粗线围成的图形面积． 解答： 解：大正方形的面积为4×4=16（平方厘米）；粗线以外的图形面积为：整格有3个，左上，右上，右中，右下，左中，右中，共有3++5×=9.5（平方厘米）；所以粗线围成的图形面积为16﹣9.5=6.5（平方厘米）；答：粗线围成的图形面积是6.5平方厘米．平方厘米．故此题答案为：6.5． 点评： 此题关键是对图形进行合理地割补．题关键是对图形进行合理地割补．4．（3分）（2014•长沙模拟）如图的两个正方形，边长分别为8厘米和4厘米，那么阴影部分的面积是分的面积是 24 平方厘米．平方厘米．考点： 组合图形的面积．分析： 两个正方形的面积减去两个空白三角形的面积．个正方形的面积减去两个空白三角形的面积．解答： 解：4×4+8×8﹣×4×（4+8）﹣×8×8，=16+64﹣24﹣32，=24（cm 2）； 答：阴影的面积是24cm 2．故答案为：24．点评：求组合图形面积的化为求常用图形面积的和与差求解．组合图形面积的化为求常用图形面积的和与差求解．5．（3分）在△ABC中，BD=2DC，AE=BE，已知△ABC的面积是18平方厘米，则四边形AEDC的面积等于的面积等于 12平方厘米．平方厘米．考点：相似三角形的性质（份数、比例）；三角形的周长和面积．分析：根据题意，连接AD，即可知道△ABD和△ADC的关系，△ADE和△BDE的关系，的面积．由此即可求出四边形AEDC的面积．解答：解：连接AD，因为BD=2DC，所以，S△ABD=2S△ADC，即，S△ABD=18×=12（平方厘米），又因为，AE=BE，所以，S△ADE=S△BDE，即，S△BDE=12×=6（平方厘米），所以AEDC的面积是：18﹣6=12（平方厘米）；故答案为：12．点评：解答此题的关键是，根据题意，添加辅助线，帮助我们找到三角形之间的关系，由此即可解答．即可解答．6．（3分）如图是边长为4厘米的正方形，AE=5厘米、OB是 3.2厘米．厘米．考点：组合图形的面积．分析：连接BE、AF可以看出，三角形ABE的面积是正方形面积的一半，再依据三角形面的长度．积公式就可以求出OB的长度．解答：解：如图连接BE、AF，则BE与AF相交于D点S△ADE=S△BDF 则S△ABE=S正方形=×（4×4）=8（平方厘米）；OB=8×2÷5=3.2（厘米）；答：OB是3.2厘米．厘米．故答案为：3.2．题主要考查三角形和正方形的面积公式，将数据代入公式即可．点评：此题主要考查三角形和正方形的面积公式，将数据代入公式即可．7．（3分）分） 如图正方形ABCD的边长是4厘米，CG是3厘米，长方形DEFG的长DG是5厘米．厘米，那么它的宽DE是 3.2厘米．考点：组合图形的面积．分析：连接AG，则可以依据题目条件求出三角形AGD的面积，因为DG已知，进而可以的高，也就是长方形的宽，问题得解．求三角形AGD的高，也就是长方形的宽，问题得解．解答：解：如图连接AG S△AGD=S正方形ABCD﹣S△CDG﹣S△ABG，=4×4﹣3×4÷2﹣1×4÷2 =16﹣6﹣2 =8（平方厘米）；8×2÷5=3.2（厘米）；厘米．答：长方形的宽是3.2厘米．故答案为：3.2．据题目条件做出合适的辅助线，问题得解．点评：依据题目条件做出合适的辅助线，问题得解．8．（3分）如图，一个矩形被分成10个小矩形，其中有6个小矩形的面积如图所示，那么这个大矩形的面积是 243．这个大矩形的面积是考点：组合图形的面积．分析：从图中可以看出每上、下两个小矩形的一个边是相邻的，也就是说长是相等的，那么根据矩形的面积公式知，如果长相同，面积之比也就是宽之比，反之宽之比也就是面积之比；由中间面积20和16的矩形，可以算出空着的小矩形面积，最后把所有小矩形面积加起来就是大矩形的面积．形面积加起来就是大矩形的面积．：由图和题意知，解答：解：由图和题意知，中间上、下小矩形的面积比是：20：16=5：4，所以宽之比是5：4，那么，A：36=5：4得A=45；25：B=5：4得B=20；30：C=5：4得C=24；D：12=5：4得D=15；所以大矩形的面积=45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=243；故答案为：243．点评：此题考查了如果长方形的长相同，宽之比等于面积之比，还考查了比例的有关知识．9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为12，P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别图中阴影部分的面积是 60．是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影部分的面积是考点：组合图形的面积．分析：根据题意：正方形ABCD的边长为12，P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，可连接DP，然后再利用三角形的面积公式进行计算即可得到答案．利用三角形的面积公式进行计算即可得到答案．解答：解：阴影部分的面积=×DH×AP+×DG×AD+×EF×AD+×MN×BP =×4×AP+×3×12+×3×12+×4×BP =2AP+18+18+2BP =36+2×（AP+BP）=36+2×12 =36+24 =60．答：这个图形阴影部分的面积是60．题主要考查的是三角形的面积公式．点评：此题主要考查的是三角形的面积公式．的面积是平方厘米．考点：重叠问题；三角形的周长和面积．分析：因为S△EFC+S△GHC=四边形EFGH面积÷2=12，S△AEF+S△AGH=四边形EFGH 面积÷2=12，所以S△ABE+S△ADH=S△BFC+S△DGC=四边形EFGH面积÷2﹣阴影部分的总面积平方厘米．是10平方厘米=2平方厘米．所以：四边形ABCD面积=S△ECH﹣（S△ABE+S△ADH）=四边形ABCD面积÷4平方厘米．﹣2=6﹣2=4平方厘米．解答：解：由题意推出：S△ABE+S△ADH=S△BFC+S△DGC=四边形EFGH面积÷2﹣阴影面积10平方厘米=2平方厘米．平方厘米．所以：四边形ABCD面积=S△ECH﹣（S△ABE+S△ADH）=四边形ABCD面积÷4平方厘米．﹣2=6﹣2=4平方厘米．故答案为：4．题在重叠问题中考查了三角形的周长和面积公式，此题设计的非常精彩．点评：此题在重叠问题中考查了三角形的周长和面积公式，此题设计的非常精彩．考点：等积变形（位移、割补）．分析：如图，将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形，根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，采用数小三角形的办法来计算面积．行四边形面积，采用数小三角形的办法来计算面积．：如图，解答：解：如图，S△PEF=3，S△CDE=9，S四边形ABQP=11．上述三块面积之和为3+9+11=23．因此，阴影四边形CEPQ面积为54﹣23=31．题主要利用面积分割，用数基本小三角形面积来解决问题．点评：此题主要利用面积分割，用数基本小三角形面积来解决问题．12．如图，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形面积是多少平方厘米．平方厘米．考点：等积变形（位移、割补）．分析：由图及题意知，可把涂阴影部分小正六角星形等分成12个小三角形，且都与外围的6个空白小三角形面积相等，已知涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，可求出大正六角星形中心正六边形的面积，而这个正六边形又可等分成6个小正三角形，且它们与外围六个大角的面积相等，进而可求出大正六角星形面积且它们与外围六个大角的面积相等，进而可求出大正六角星形面积：如下图所示，解答：解：如下图所示，涂阴影部分小正六角星形可等分成12个小三角形，且都与外围的6个空白小三角形面积相等，面积相等，所以正六边形ABCDEF的面积：16÷12×（12+6）=24（平方厘米）；又由于正六边形ABCDEF又可等分成6个小正三角形，且它们与外围六个大角的面积相等，积相等，所以大正六角星形面积：24×2=48（平方厘米）；平方厘米．答：大正六角星形面积是48平方厘米．点评：此题要借助求正六边形的面积来解答，它既可看作是18个小正三角形，又可看作是6个大点的正三角形组成．个大点的正三角形组成．13．一个周长是56厘米的大长方形，按图中（1）与（2）所示意那样，划分为四个小长方形．在（1）中小长方形面积的比是：A：B=1：2，B：C=1：2．而在（2）中相应的比例是A'：B'=1：3，B'：C'=1：3．又知，长方形D'的宽减去D的宽所得到的差，与D'的长减去．求大长方形的面积．在D的长所得到的差之比为1：3．求大长方形的面积．考点：比的应用；图形划分．分析：要求大长方形的面积，需求出它的长和宽，由条件“在（1）中小长方形面积的比是：A：B=1：2，B：C=1：2．而在（2）中相应的比例是A'：B'=1：3，B'：C'=1：3．又知，长方形D'的宽减去D的宽所得到的差，与D'的长减去在D的长所得到的差之比为1：3”可知：D的宽是大长方形宽的，Dʹ的宽是大长方形宽的，D的长是×（28，由此便可以列式计算． ﹣大长方形的宽），Dʹʹ的长是×（28﹣大长方形的宽），由此便可以列式计算．解答：解：设大长方形的宽为x，则长为28﹣x 因为D的宽=x，Dʹ的宽=x，所以，Dʹ的宽﹣D的宽=．D长=×（28﹣x），Dʹ长=×（28﹣x），Dʹ长﹣D长=×（28﹣x），由题设可知 ：=由题设可知即=，于是=，x=8．平方厘米． 于是，大长方形的长=28﹣8=20，从而大长方形的面积为8×20=160平方厘米．答：大长方形的面积是160平方米．平方米．点评：此题比较复杂，主要考查比的关系，应利用比的意义，找清数量见的比，再利用题目条件，就可以进行计算求得结果．条件，就可以进行计算求得结果．14．（2012•武汉模拟）如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB将图形分成两的面积是 40．部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是考点：三角形的周长和面积．分析：可以把S△ADE看成是一个整体，根据各线段的关系和左右两部分面积的关系，可以列出一个方程，求出S△ADE的面积，然后再根据所求三角形与S△ADE的关系求出答案．案．解答：解：由题意知，S△AEG=3S△ADE，S△BFE=S△BEC，设S△ADE=X，则S△AEG=3X，S△BFE=（38﹣X），可列出方程：（38﹣X）+3X=65，解方程，得：x=10，所以S△ADG=10×（1+3）=40．故答案为：40．题考查了如何利用边的关系求三角形的面积．点评：此题考查了如何利用边的关系求三角形的面积．。

解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.
例2.如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。
解：由容斥原理S阴影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD
例3如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。
3.如右图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长Hale Waihona Puke G为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？
4.如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.
5.如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.
不规则图形面积计算（2）
九、对称添补法：
这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
十、重叠法：
这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”（SA∪B＝SA＋SB-SA∩B）解决。例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.
七、 平移法：
这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如右图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

五年级不规则图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

一、例题与方法指导例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

思路导航：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.思路导航：∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形ABCD 的13。

在△ABE 中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2， ∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。

所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。

如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

思路导航：在等腰直角三角形ABC 中∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，∴阴影部分面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4 如右图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=CD ，若△ABC （阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD 及△ACE 的面积.B C思路导航：取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。

形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：
实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
例2如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.
思路导航：
∵△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，
∴四边形 AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD的 。
在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，
∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。
例3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
思路导航：
在等腰直角三角形ABC中
∵AB=10
∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，
∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。
例4如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.
求△ABD及△ACE的面积.
思路导航：
取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，
所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.
一、 相加法：
这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.

五年级不规那么图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为根本图形或规那么图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以根本图形的形状出现，而是由一些根本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规那么图形。

那么，不规那么图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为根本图形的和、差关系，问题就能解决了。

一、例题与方法指导例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影局部的面积。

思路导航：阴影局部的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白〞三角形〔△ABG、△BDE、△EFG〕的面积之和。

例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积. 思路导航：∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形ABCD 的13。

在△ABE 中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2， ∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。

所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10〔平方厘米〕。

例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。

如右图那样重合.求重合局部〔阴影局部〕的面积。

思路导航：在等腰直角三角形ABC 中∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，∴阴影局部面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17〔平方厘米〕。

例4 如右图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=CD ，假设△ABC 〔阴影局部〕面积为5平方厘米.求△ABD 及△ACE 的面积.B C思路导航：取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。

① 26-2
将②先向上平移2 m，再向 左平移2 m，就可以拼成一 16-2 个长方形。
②
（26-2） ×（16-2） ＝24×14 ＝336(m²)
答:花坛的实际面积是336 m²。
学习任务四
（3分钟）
归纳总结，素养达标
这节课你学到了哪些知识？
求一些不规则图形的周长或面积时， 可以利用割补、平移等方法，将不规 则图形转化成规则图形，再根据公式 计算。 转化图形时，可以将部分图形进行平 移，也可以对部分边进行平移。
正方形面积=边长×边长
学习任务二
（17分钟）
探究新知，导学达标
下面这个图形的面积是多少？
1 cm
这个图形有两条边都 是曲线怎么计算面积 啊？
探究新知，导学达标
下面这个图形的面积是多少？
1 cm
这是一个不规则图形，不 能像我们之前学过的长方 形、正方形那样直接求出 面积。
图形凸出来的部分与凹进去的部分面 积相等。
难 点
在解决问题的过程中，加深对“平移”的理解。
学习任务
目录
CONTENTS
01
02
03
04
复习导入 前测达标
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探究新知 导学达标
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6×4=24（cm²） 答：这个图形的面积是24 cm²。
探究新知，导学达标
不规则图形
平移 规则图形 面积不变

02 平移在几何图形 中的应用
平移与图形的周长
01 总结词
通过平移，可以将不规则图形 转化为规则图形，从而更容易 计算其周长。
02
详细描述
平移是一种基本的几何变换， 通过平移可以将不规则图形移 动到规则图形上，从而使得计 算周长变得简单。例如，将一 个不规则的三角形平移到等腰 三角形上，可以快速计算出其 周长。
根据平移后的图形形状和大小，使用周长公式计算其周长。
确保周长计算的准确性，检查是否有遗漏或重复计算的边。
04 利用平移求不规 则图形面积的策 略
识别可平移的区域
观察图形
首先需要仔细观察不规则图形， 识别出可以平移的区域。
确定可平移部分
确定哪些部分可以通过平移组成 一个规则图形，如矩形、平行四 边形等。
详细描述
平移是一种基本的图形变换，保持了图形的基本形状和大小不变，只改变了其 位置。在平面上，一个图形可以沿垂直或水平方向移动，也可以沿任意角度的 方向移动。
平移的性质
总结词
平移具有等距性和方向性两个重要性质。
详细描述
等距性是指图形在平移过程中移动的距离是固定的，不会因方向或角度的变化而改变。方向性是指图形在平移过 程中只沿一个方向移动，不会发生旋转或翻转。这两个性质是平移变换的基本特征，也是利用平移求不规则图形 周长和面积的基础。
THANKS
感谢观看
03
总结词
04
平移可以消除不规则图形中的不 规则部分，使得计算周长更加准 确。
详细描述
在计算不规则图形的周长时，我 们常常会遇到一些难以测量的部 分。通过平移，我们可以将这些 部分消除，使得整个图形更加规 则，从而更加准确地计算出周长 。
平移与图形的面积

不规则图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

一、例题与方法指导例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

思路导航：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF 与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.思路导航：∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形ABCD 的13。

在△ABE 中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2， ∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。

所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。

如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

思路导航：在等腰直角三角形ABC 中∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，∴阴影部分面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4 如右图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=CD ，若△ABC （阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD 及△ACE 的面积.B C思路导航：取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。

五年级不规则图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

一、例题与方法指导例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

思路导航：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF 与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.思路导航：∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形ABCD 的13。

在△ABE 中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2， ∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。

所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。

如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

思路导航：在等腰直角三角形ABC 中∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，∴阴影部分面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4 如右图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=CD ，若△ABC （阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD 及△ACE 的面积.B C思路导航：取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。