圆锥曲线的范围、最值问题

圆锥曲线的最值、范围问题

与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,本文从下面几个方面阐述该类题型的求解方法,以引起读者注意．

一、利用圆锥曲线定义求最值

借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．

【例1】已知(40),(2)AB，，2是椭圆221259xy内的两个点,M是椭圆上的动点,求MAMB的最大值和最小值．

【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论AMB、、三点是否共线,总有MAMBAB,故取不到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用．

【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化．

【小试牛刀】【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知P为抛物线xy42上一个动点,Q为圆1)4(22yx上一个动点,当点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小时,点P的横坐标为（）

A．8179B．89C．817D．17

【分析】根据抛物线的定义,点到抛物线的准线的距离等于点到抛物线的焦点的距离,所以点P到点Q的距离与点P到准线距离之和的最小值就是点P到点Q的距离与到抛物线焦点距离之和的最小值,因此当三点共线时,距离之和取最小值.

【解析】设P到抛物线准线的距离为d,抛物线的焦点为F,圆心为C,则minmin171PQdPQPFCFr,故选A.

二、单变量最值问题转化为函数最值

建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量．

【例2】已知椭圆C：222210xyabab的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线01yx与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.

（1）求椭圆的方程.

（2）设P为椭圆上一点,若过点)0,2(M的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T,且满足OPtOTOS(O为坐标原点),求实数t的取值范围.

【分析】（1）由题意可得圆的方程为222)(aycx,圆心到直线01yx的距离dac21；

根据椭圆)0(1:2222babyaxC的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,cba22代入*式得1bc,即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）由题意知直线L的斜率存在,设直线L方程为)2(xky,设00,yxp,将直线方程代入椭圆方程得：0288212222kxkxk,

根据081628214642224kkkk得到212k；设11,yxS,22,yxT应用韦达定理222122212128,218kkxxkkxx.讨论当k=0,0t的情况,确定t的不等式.

【解析】（1）由题意：以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为222)(aycx,

∴圆心到直线01yx的距离dac21*

∵椭圆)0(1:2222babyaxC的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,cba22代入*式得1bc∴22ba 故所求椭圆方程为.1222yx

（Ⅱ）由题意知直线L的斜率存在,设直线L方程为)2(xky,设00,yxp

将直线方程代入椭圆方程得：0288212222kxkxk

∴081628214642224kkkk

∴212k

设11,yxS,22,yxT则222122212128,218kkxxkkxx………………8分

当k=0时,直线l的方程为y=0,此时t=0,OPtOTOS成立,故,t=0符合题意.

当0t时

得22210221210218214)4(kkxxtxkkxxkyyty

∴,2181220kktx202141kkty

将上式代入椭圆方程得：1)21(16)21(3222222224ktkktk

整理得：2222116kkt

由212k知402t

所以22t（，）

【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于abc、、的等量关系；直线和椭圆的位置关系问题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点P在椭圆上和向量式得()tfk,进而求函数值域．

【小试牛刀】【2017河南西平县高级中学12月考】已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为32的椭圆过点2(2,)2．

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求OPQ面积的取值范围．

【答案】（1）2214xy；（2）(0,1)．

【解析】（1）由题意可设椭圆方程22221(0)xyabab,

则223,2211,2caab解得2,1,ab所以方程为2214xy．

（2）由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为ykxm（0m）,

11(,)Pxy,22(,)Qxy,由22,1,4ykxmxy得222(14)84(1)0kxkmxm,

则222226416(14)(1)kbkbb2216(41)km0,

且122814kmxxk,21224(1)14mxxk,

故1212()()yykxmkxm221212()kxxkmxxm．

因直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,所以221212121212()yykxxkmxxmxxxx2k,

即22228014kmmk,又0m,所以214k,即12k．

由于直线OP,OQ的斜率存在,且0,得202m且21m．

设d为点O到直线l的距离,则22121||||||(2)22OPQSdPQxxmmm,

所以OPQS的取值范围为(0,1)． 三、二元变量最值问题转化为二次函数最值

利用点在二次曲线上,将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题来处理．

【例2】若点O、F分别为椭圆22143xy的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则OPPF的最大值为

【分析】设点Pxy（，）,利用平面向量数量积坐标表示,将OPPF用变量xy，表示,借助椭圆方程消元,转化为一元函数的最值问题处理．

【点评】注意利用“点在椭圆上”这个条件列方程．

【小试牛刀】抛物线xy82的焦点为F,点),(yx为该抛物线上的动点,又已知点)0,2(A,则||||PFPA的取值范围是.

【答案】]2,1[

【解析】由抛物线的定义可得2||xPF,又xxyxPA8)2()2(||222,

448128)2(||||22xxxxxxPFPA,

当0x时,1||||PFPA；当0x时,44814481||||2xxxxxPFPA,

4424xxxx,当且仅当xx4即2x时取等号,于是844xx,

1448xx,]2,1(4481xx,

综上所述||||PFPA的取值范围是]2,1[.

四、双参数最值问题

该类问题往往有三种类型：①建立两个参数之间的等量关系和不等式关系,通过整体消元得到参数的取值范围；②建立两个参数的等量关系,通过分离参数,借助一边变量的范围,确定另一个参数的取值范围；③建立两个参数的等量关系,通过选取一个参数为自变量,令一个变量为参数（主元思想）,从而确定参数的取值范围．

【例3】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：22221(1)xyabab＞≥的离心率32e,且椭圆C上一点N到点Q03（，）的距离最大值为4,过点3,0M（）的直线交椭圆C于点.AB、

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P为椭圆上一点,且满足OAOBtOP（O为坐标原点）,当3AB＜时,求实数t的取值范围.

【分析】第一问,先利用离心率列出表达式找到a与b的关系,又因为椭圆上的N点到点Q的距离最大值为4,利用两点间距离公式列出表达式,因为N在椭圆上,所以22244xby,代入表达式,利用配方法求最大值,从而求出21b,所以24a,所以得到椭圆的标准方程；第二问,先设,,APB点坐标,由题意设出直线AB方程,因为直线与椭圆相交,列出方程组,消参韦达定得到两根之和、两根之积,用坐标表示OAOBtOP得出,xy,由于点P在椭圆上,得到一个表达式,再由||3AB,得到一个表达式,2个表达式联立,得到t的取值范围.

【解析】（Ⅰ）∵2222223,4cabeaa∴224,ab

则椭圆方程为22221,4xybb即22244.xyb

设(,),Nxy则

当1y时,NQ有最大值为24124,b

解得21,b∴24a,椭圆方程是2214xy

（Ⅱ）设1122(,),(,),(,),AxyBxyPxyAB方程为(3),ykx

由22(3),1,4ykxxy整得2222(14)243640kxkxk.

由24222416(91)(14)0kkkk＞,得215k＜. ∴1212(,)(,),OAOBxxyytxy则2122124()(14)kxxxttk,

由点P在椭圆上,得222222222(24)1444,(14)(14)kktktk化简得22236(14)ktk①

又由21213,ABkxx＜即221212(1)()43,kxxxx＜将12xx,12xx代入得

2422222244(364)(1)3,(14)14kkkkk＜化简,得22(81)(1613)0,kk＞

则221810,8kk＞＞,∴21185k＜＜②

由①,得22223699,1414ktkk

联立②,解得234,t＜＜∴23t＜＜或32.t＜＜

【点评】第一问中转化为求二次函数最大值后,要注意变量取值范围；第二问利用点P在椭圆上,和已知向量等式得变量,kt的等量关系,和变量,kt的不等关系联立求参数t的取值范围．

【小试牛刀】已知圆)0(2:222rryxM,若椭圆)0(1:2222babyaxC的右顶点为圆M的圆心,离心率为22.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若存在直线kxyl:,使得直线l与椭圆C分别交于BA,两点,与圆M分别交于HG,两点,点G在线

段AB上,且BHAG,求圆M的半径r的取值范围.

【解析】（1）设椭圆的焦距为2c,因为1,1,22,2bcaca

所以椭圆的方程为12:22yxC.