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圆锥曲线中的取值范围最值问题 (1)

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1 圆锥曲线中的最值取值范围问题

90.已知12,FF分别是双曲线2222xyab=l（a>0，b>0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若 01290FPF,且21PFF的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点，短轴的一个端点到其右焦点的距离为3，双曲线与该椭圆离心率之积为563。

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值．

90.解：设nPFmPF||,||21，不妨P在第一象限，则由已知得

解得15ee或（舍去）。设椭圆离心率为.3655,ee则 .36e

可设椭圆的方程为.,12222cbyax半焦距为

（Ⅱ）①当AB.3||,ABx轴时

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为),(),,(,2211yxByxAmkxy，

由已知,231||2km得mkxykm把),1(4322代入椭圆方程，整理得

当且仅当33,1922kkk即时等号成立，此时.2||AB

③当.3||,0ABk时

综上所述：2||maxAB，

此时AOB面积取最大值.2323||21maxABS

85.已知曲线C的方程为22xy，F为焦点。

（1）过曲线上C一点00(,)Pxy（00x）的切线l与y 轴交于A，试探究|AF|与|PF|之间百度文库

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2 的关系；

（2）若在（1）的条件下P点的横坐标02x，点N在y轴上，且|PN|等于点P到直线210y的距离，圆M能覆盖三角形APN，当圆M的面积最小时，求圆M的方程。

85.

74.已知椭圆22122:1(0)xyCabab的长轴长为4，离心率为21，21,FF分别为其左右焦点．一动圆过点2F，且与直线1x相切．

(Ⅰ) (ⅰ)求椭圆1C的方程； (ⅱ)求动圆圆心轨迹C的方程；

(Ⅱ) 在曲线C上有四个不同的点QPNM,,,，满足2MF与2NF共线，2PF与2QF共线，且022MFPF，求四边形PMQN面积的最小值．

74.解：(Ⅰ)(ⅰ)由已知可得3122142222cabcaacea，

则所求椭圆方程134:221yxC.

(ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为)0,1(，准线方程为1x，则动圆圆心轨迹方程为xyC4:2.

(Ⅱ)由题设知直线PQMN,的斜率均存在且不为零

设直线MN的斜率为)0(kk，),(),,(2211yxNyxM，则直线MN的方程为：)1(xky

联立xyC4:2 消去y可得0)42(2222kxkxk

由抛物线定义可知:

同理可得244||kPQ

又32)12(8)44)(44(21||||212222kkkkPQMNSPMQN

(当且仅当1k时取到等号)

所以四边形PMQN面积的最小值为32.

69.如图，已知直线l：2ykx与抛物线C：22(0)xpyp交于A，B两点，O为坐标原点，(4,12)OAOB。

（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程；

（Ⅱ）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．

69.解：（Ⅰ）由22,2ykxxpy得,2240,xpkxp

设1,122,,,AxyBxy

则21212122,424,xxpkyykxxpk

因为21212,2,24OAOBxxyypkpk=4,12, 百度文库 - 让每个人平等地提升自我！

3 所以224,2412.pkpk解得 1,2.pk

所以直线l的方程为22,yx抛物线C的方程为22.xy

（Ⅱ）方法1：设00(,),Pxy依题意，抛物线过P的切线与l平行时，△APB面积最大，

'yx，所以0022,xx 20012,2yx所以(2,2).P

此时P到直线l的距离222(2)(2)2445,552(1)d

由222,2,yxxy得，2440,xx

∴△ABP的面积最大值为454105822

（Ⅱ）方法2：由222,2,yxxy得，2440,xx

22221212||1()412(4)4(4)410ABkxxxx……9分

设21(,)2Ptt ，(222222)t

因为AB为定值，当P到直线l的距离d最大时，△ABP的面积最大，

因为222222t，所以当2t时，dmax=455，此时(2,2).P

∴△ABP的面积最大值为454105822

66.椭圆xybabyax直线倍的长轴为短轴的,3)0(12222与椭圆交于A、B两点，C为椭圆的右项点，.23OCOA

（I）求椭圆的方程；

（II）若椭圆上两点E、F使OEFOAOFOE求),2,0(,面积的最大值

66.解：（I）根据题意，),0,(,3aCba 设A.1,0),,(2222btatttt则

解得,23,43222222btbbabat即 百度文库 - 让每个人平等地提升自我！

4 ①

② （Ⅱ）设),,(),,(),,(002211yxMEFyxFyxE中点为 ,OAOFOE

,232,232210210yyyxxx

,13,13,,22222121yxyxFE则在椭圆上

由①-②得,0322212221yyxx ,313121212121yyxxxxyykEF

直线EF的方程为),43(3143xy即13,3322yxyx代入

并整理得，,0132422yy ,41,2322121yyyy

又,103)0,0(hEFO的距离为到直线原点443||212hEFSOEF

当.23,2面积的最大值为所以时等号成立OEF

63.已知椭圆C22:14yx，过点M(0, 1)的直线l与椭圆C相交于两点A、B.

（Ⅰ）若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程；

（Ⅱ）设点1(0,)2N，求||NANB的最大值.

63. （Ⅰ）解：设A(x1, y1)，

因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，所以1102y，解得11y，又因为点A(x1, y1)在椭圆C上，所以221114yx，即21114x，解得132x， 则点A的坐标为3(,1)2或3(,1)2，所以直线l的方程为43330xy，或43330xy.

（Ⅱ）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则112211(,),(,),22NAxyNBxy

所以1212(,1)NANBxxyy，则221212||()(1)NANBxxyy 百度文库 - 让每个人平等地提升自我！

5 当直线AB的斜率不存在时，其方程为0x，(0,2),(0,2)AB，此时||1NANB；

当直线AB的斜率存在时，设其方程为1ykx，

由题设可得A、B的坐标是方程组22114ykxyx的解，消去y得22(4)230kxkx

所以221222(2)12(4)0,4kkkxxk，

则121228(1)(1)4yykxkxk，

所以222222222812||()(1)1144(4)kkNANBkkk，

当0k时，等号成立, 即此时||NANB取得最大值1.

综上，当直线AB的方程为0x或1y时，||NANB有最大值1.

50.已知点A是抛物线y2＝2px（p>0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点K，已知｜AK｜＝2｜AF｜，三角形AFK的面积等于8．

（1）求p的值；

（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1，l2，与抛物线相交得两条弦，两条弦

的中点分别为G，H.求｜GH｜的最小值．

50.解：（Ⅰ）设00,Axy，

因为抛物线的焦点,0,,,0,222pppFlxKAMlM准线的方程为：作于，

则0,2pAMxAF

22AKAFAKAMAKM又得，即为等腰直角三角形，

00000,,222pppKMAMxyxAxx,即，而点A在抛物线上，

20002,,.222pppxpxxAp,于是.

又20118,4.222AFKpSKFyppp故所求抛物线的方程为28yx.6分

（2）由xy82，得)0,2(F，显然直线1l，2l的斜率都存在且都不为0. 百度文库 - 让每个人平等地提升自我！

6 设1l的方程为)2(xky，则2l的方程为)2(1xky.

48.椭圆的中心为原点O，焦点在y轴上，离心率63e，过(0,1)P的直线l与椭圆交于A、B两点，且2APPB，求AOB面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程．

48.解：设椭圆的方程为),0(12222babxay直线l的方程为1kxy，

),(),(2211yxByxA、 222231,3236abace，

则椭圆方程可化为132222bxby即22233byx，

联立133222kxybyx得0312)3(222bkxxk （*）

有,32221kkxx而由已知PBAP2有212xx，代入得2232kkx

所以23||32||33||3||23||||212221kkkkxxxOPSAOB，

当且仅当3k时取等号

由2232kkx得332x，将333,333xkxk代入（*）式得352b

所以AOB面积的最大值为23，取得最大值时椭圆的方程为135522xy

46.已知椭圆22122:10)xyCabab（的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆222:(3)1Cxy的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为32的直线l恰好与圆2C相切。

（1）已知椭圆1C的离心率；

（2）若PMPN的最大值为49，求椭圆C1的方程.

46.解：（1）由题意可知直线l的方程为0)23(ccybx，因为直线与圆

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高中数学：立体几何中折叠、最值、取值范围问题

高中数学：立体几何中折叠、最值、取值范围问题

高中数学：立体几何中折叠、最值、取值范围问题

纵观近几年全国及各省高考试题，对立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题的考查逐年加重．本文就高中阶段学习和考试出现这类问题加以总结的探讨．

题型一：立体几何中的折叠问题

折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系。

并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化，这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据，而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。

典型例题

结合近年来全国各省市的高考中，考查与空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题常常在高考试题中出现。

在解决此类问题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先，应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题；

如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解；

再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解；还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次顺序思考，基本可以找到解题的途径 ．

典型例题

题型三、立体几何中的取值范围问题

结合近年来全国各省市的高考中，考查与空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等取值范围问题常常在高考试题中出现。此类问题的解法与立体几何中各类最值问题的解法基本一致．

典型例题

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专题三角形中的最值与取值范围问题

专题三角形中的最值与取值范围问题

专题 三角形中的最值与取值范围问题

三角形中的边与角的最值与取值范围问题，是复习过程中的难点，在高考中考查形式灵活，常常在知识的交汇点处命题，与函数、几何、不等式等知识结合在一起。我们知道三角形只要满足三个条件，那么这个三角形就基本唯一确定了，而少于三个条件时，有些边角周长面积就可以变化，从而就有了求这些量的取值范围问题。这类问题的实质是将几何问题转化为代数问题，求解主要是充分运用三角形的内角和定理，正余弦定理，面积公式，基本不等式，三角恒等变形，三角函数的图像和性质来进行解题，非常综合，是解三角形中的难点问题。下面对这类问题的解法做下探讨。

类型一：已知一角+对边

例题1：在∆ABC中，A=60°，BC=3，求

（1）ABC面积的最大值；

（2）bc的取值范围；

（3）2bc的最大值；

（4）BC边上高的最大值。

类型二：已知一角+边的等量关系

例题2：在∆ABC中，A=60°，1bc，求

（1）ABCS的最大值；

（2）a的取值范围；

（3）周长的取值范围。

类型三：已知一角+面积

例题3：在∆ABC中，A=60°，3ABCS，求

（1）bc的最小值；

（2）a的最小值。

（3）周长的最小值。

（4）112bc的最小值。

类型四：已知角的等量关系

例题4：在∆ABC中，A=2B，则cb的取值范围为 变式：在锐角∆ABC中，A=2B，则cb的取值范围为

类型五：已知两边，求面积的最值

例题5：在∆ABC中，已知1,2ABBC，求

（1）ABCS的最大值；

（2）角C的取值范围。

类型六：已知一边+另两边的等量关系

例题6：在∆ABC中，已知6,10BCABAC，求ABCS的最大值。

变式：在∆ABC中，已知6,3BCACAB，求ABCS的最大值。

类型七：三边的等量关系

例题7：在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若2222abc，求cosC的最小值。

圆锥曲线中的最值与范围问题

圆锥曲线中的最值与范围问题

圆锥曲线中的最值与范围问题

圆锥曲线中的最值与范围问题是高考的考查热点，往往以圆锥曲线（包括圆）与直线为载体，结合函数、不等式及导数等知识，综合考查解题能力. 求解这类问题的基本方法有几何特征法和代数法.

几何特征法

几何特征法即利用圆锥曲线的几何特征蕴含的条件，如抛物线上任意一点到焦点的距离等于其到准线的距离、过椭圆焦点的所有弦中通径最短等，构造相应的函数或不等式求解.

例1已知直线l：x+y+3=0和圆C：x2+y2-2x-2y-2=0，设A是直线l上一动点，直线AC交圆C于点B，若在圆C上存在点M，使∠MAB=，则点A横坐标的取值范围为

.

解析： 圆C：（x-1）2+（y-1）2=4. 如图1所示，过C点作CN⊥AM于点N，则CN≤CM=2.在Rt△CNA中，∠NAC=，所以AC=2CN≤4.

设A（x，-x-3），则AC2=（x-1）2+（-x-3-1）2=2x2+6x+17≤16，解得≤x≤.

所以点A横坐标的取值范围为≤x≤.

点评： 解答例1 的关键是利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，建立不等关系求解.当直线AM与圆C相切时，N, M两点重合，CN取到最大值2；而AC可通过∠MAB与CN建立量的关系，由此构建以点A的横坐标x为自变量、以AC为因变量的函数，进而求解.

例2［2013年嘉兴市高三教学测试（一）第17题］ 已知抛物线y2=4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB=，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为.

解析： 如图2所示，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1.

设FA=t1，FB=t2，则由∠AFB=可得AB=.因为AM=MB，NM∥AA1∥BB1，所以MN=（AA1+BB1）.由抛物线定义可知AA1=FA，BB1=FB，所以MN=（FA+FB）=（t1+t2），所以=.

圆锥曲线中的最值及范围问题探究教案1

圆锥曲线中的最值及范围问题探究教案1

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圆锥曲线中的

最值及范围问题探究

一、内容的地位和作用

纵观历年高考，以圆锥曲线为载体，求最值及范围的问题经常出现，这类问题不仅涉及的知识面广，综合性强，变量多，应用性强，而且情景新颖，能很好地考察学生的突破性思维和数学素养，所以一直是高考的热门。题型有选择题、填空题、解答题，难度较大。

二、教学目标

1、知识与技能

通过本节内容的学习，使学生进一步理解和掌握圆锥曲线的定义，学会利用定义及转化与整合、函数与方程等数学思想解决圆锥曲线中的最值及范围问题，强化数学概念及几何图形在解题中的重要作用，提高应用定义及几何图形解题意识，同时向学生渗透数形结合、划归转化、函数与方程思想。

2、过程与方法

通过学生的积极参与，让学生自己体会从例题中寻找解决问题的方法，理解知识的形成过程，培养学生发现问题，解决问题的能力，归纳总结深化知识的探究能力。

本节课主要采用“讲练结合法”教学，层次渐进地设计问题，从不同方法解决同类问题，引导学生会用类比的方法发现问题、提出问题、解决问题。教师参与其中适当引导，为学生营造一个愉快而振奋的学习情境，并围绕“情知融合点”展开积极、有效、丰富的认知活动，配以反馈思考题，检验教学效果。用问题组织教学，通过层层深入的问题将教学的各环节连成一线，融为一体，充分调动学生的学习积极性，活跃学生思维，从而使一个个问题得到解决。

3、情感态度与价值观

通过对同类问题不同解决方法的讲解，增强学生学习的自觉性和主动性增强学生善于发现问题、解决问题的探究意识，善于寻找知识间的内在联系及相互转化的意识，使思维得到升华，同时体会2

到成功的喜悦，体会到数学知识的奥秘与神奇，体会到数学中的语言美、图形美、联系美、变化美、方法美、在学习数学知识的同时得到美的享受。

三、重点难点的确立及依据

重点：求最值及范围问题的思路分析及方法探究

难点：问题的转化过程及利用函数与方程思想解决问题