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圆锥曲线中的最值、定值和范围问题

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圆锥曲线中的最值、定值和范围问题

与圆锥曲线有关的最值、定值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。下面我们探讨与圆锥曲线有关的最值、定值和范围问题的常用方法。

一. 最值问题

求解的基本策略有二：一是从几何角度考虑，当题目中的条件和结论明显体现几何特征及意义时，可用图形性质来解；二是从代数角度考虑，通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。

例1：如图所示，设点1F，2F是22132xy的两个焦点，过2F的直线与椭圆相交于A、B两点，求△1FAB的面积的最大值，并求出此时直线的方程。

分析：12112FFBFABFFASSS，设11(,)Axy，22(,)Bxy，则11212121||||||(1)2FABFFyyyycS

设直线AB的方程为1xky代入椭圆方程得22(23)440kyky12122244,2323kyyyykk

即21222243(1)43||123211kyykkk

令211tk，∴14312FABttS，12tt（1t）利用均值不等式不能区取“＝”

∴利用1()2fttt（1t）的单调性易得在1t时取最小值

1FABS在1t即0k时取最大值为433，此时直线AB的方程为1x

例2．设椭圆方程为1422yx，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足OP(21OA)OB，点N的坐标为)21,21(，当l绕点M旋转时，求（1）动点P的轨迹方程；（2）||NP的最小值与最大值.

解（1）法1：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.

记A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点A、B的坐标 (x1,y1)、 (x2,y2)是方程组 14122yxkxy 的解. 将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0，

所以.48,42221221kyykkxx

于是).44,4()2,2()(21222121kkkyyxxOBOAOP

设点P的坐标为(x,y), 则

.44,422kykkx消去参数k得4x2+y2-y=0 ③

当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，

所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0

解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以

,142121yx ④ .142222yx ⑤

④—⑤得0)(4122212221yyxx，

所以.0))((41))((21212121yyyyxxxx

当21xx时，有.0)(4121212121xxyyyyxx ⑥

并且.1,2,221212121xxyyxyyyyxxx ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x2+y2-y=0 ⑧

当x1=x2时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为

（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为.141)21(16122yx

（2）由点P的轨迹方程知.4141,1612xx即所以

127)61(3441)21()21()21(||222222xxxyxNP

故当41x，||NP取得最小值，最小值为1;4 ①

② 当16x时，||NP取得最大值，最大值为.621

对于，有=m2+4b=10-m2>0，所以1010m。

二、定值问题

定值的问题，一般来说从两个方面来解决问题：（1）从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个点（值）与变量无关。（2）直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。

例3：A、B是经过椭圆22221.xyab(0)ab 右焦点的任一弦，若过椭圆中心Ｏ的弦//MNAB，求证：2||MN：||AB是定值

解析：对于本题，MN,AB分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0°，此时有22||4MNa，||2ABa,2||:||2MNABa（定值）．下面再证明一般性．设平行弦MN、AB的倾斜角为，则斜率tank，MN的方程为(tan)yx代入椭圆方程，又∵212||(1)||MNkxx即得2222224||sinabMNbc ○1，另一方面，直线AB方程为tan()yxc．同理可得222222||sinabABbc ○2 由○1○2可知2||:||2MNABa（定值） 关于②式也可直接由焦点弦长公式得到．

三. 参数范围问题

这类问题中往往没有直接给出不等关系，需要我们去寻找，求解的基本策略：一是从几何角度考虑，当题目中的条件和结论明显体现几何特征及意义时，可用图形性质构造不等式来解；二是建立目标函数，转化为求函数值域的问题，三是用代数方法构建以待定参数为主元的不等式，通过解不等式求出参数的范围。

例4（2010四川理数）椭圆22221()xyabab的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是

（A）20,2 （B）10,2 （C） 21,1 （D）1,12

解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，

即F点到P点与A点的距离相等 而|FA|＝22abccc |PF|∈[a－c,a＋c]

于是2bc∈[a－c,a＋c] 即ac－c2≤b2≤ac＋c2

∴222222accacacacc1112caccaa或

又e∈(0,1)

故e∈1,12

例5 已知椭圆的一个焦点为F1(0,-22)，对应的准线方程为924y，且离心率e满足：24,,33e成等差数列。

（1）求椭圆方程；

（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线12x平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。

（1）解：依题意e 223，29222244acc

∴a＝3，c＝22，b＝1，

又F1(0，－22)，对应的准线方程为924y

∴椭圆中心在原点，所求方程为22119xy

(2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被12x平分

∴直线l的斜率存在。 设直线l：y＝kx＋m

由2219ykxmyx消去y，整理得 (k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0

∵l与椭圆交于不同的两点M、N，

∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)＞0 即m2－k2－9＜0 ①

设 M(x1,y1),N(x2,y2) 1221292xxkmk 292kmk ②

把②代入①式中得2222(9)(9)04kkk ∴k＞3或k＜－3

∴直线l倾斜角2()()3223，，

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圆锥曲线中的最值和范围问题教师版

圆锥曲线中的最值和范围问题教师版

第二讲 圆锥曲线中的最值和范围问题

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．已知双曲线1

22

22



by

ax

(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲

线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( C)

A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,)

D.(2,+∞)

2． P是双曲线1

16-

922

yx

的右支上一点，M、N分别是圆4)5(22

yx和

1)5-(22

yx上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ D ）

A. 6 B.7 C.8 D.9

3．抛物线2

yx上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )

A

．4

3

B

．7

5

C

．8

5

D．3

4．已知双曲线1

22

22



by

ax

(a>0,b>0)的左、右焦点分别为

1F、

2F，点P在双曲线的右支上，

且|

1PF|=4|

2PF|,则此双曲线的离心率e的最大值为：（B）

(A)4

3

(B)5

3

(C)2

(D)7

3

5．已知抛物线x4y2

,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(

11,yx),B(

22,yx)两点，则

2

22

1yy的最小值是___32_______

6．对于抛物线x4y2

上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是( B )

（A）（－∞，0） （B）（－∞，2]

（C）［0，2］ （D）（0，2）

★★★高考要考什么

【热点透析】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：

（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合

的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示

这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构

圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题

主讲：秦岭老师

9816秦岭数学18届群：307181356

9816秦岭数学19届群：151219471

9816秦岭数学20届群：481591151

一、知识回顾

1．圆锥曲线的定义

（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．即：|MF1|＋|MF2|＝2a>2c＝|F1F2|；

（2）平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．即：||MF1|－|MF2||＝2a<2c=|F1F2|；

（3）平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．即：|MF|=d .

2. 直线与圆锥曲线的位置关系

将直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0 (或ay2＋by＋c＝0)．

(1)当a≠0，考虑一元二次方程的判别式Δ，有

①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；

②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；

③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．

(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，

①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；

②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

3．圆锥曲线的弦长

设斜率为k (k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝1＋k2|x2－x1|akxxxxk221221214)(1

//2212212122114)(1111akyyyykyyk

二、典例剖析

方法一：利用圆锥曲线定义和平面几何知识求最值（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）

圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法(解析版)

圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法(解析版)

圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法

一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：

1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；

2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后

利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值问题的一般解题步骤

三、参数取值范围问题

1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量

关系；

3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．题型一距离与长度型最值范围问题

【例1】已知椭圆22

221(0)xy

ab

ab的左、右焦点分别为

1F

、

2F

，焦距为2，点E在椭圆

上．当线段

2EF

的中垂线经过

1F

时，恰有

2121

cos

2EFF

．

（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l

与椭圆相交于

A、

B两点，且||2AB

，

P是以AB为直径的圆上任意一点，O

为坐标原点，求||OP

的最大值．

【答案】（1）2

21

2x

y；

（2）

max||3OP

【解析】（1）由焦距为2知1c

，连结

1EF

，取

2EF

的中点N

，

线段

2EF

的中垂线经过

1F

时，

1||22EFc，

2

212

122121

cos,.21,

22FN

EFFFN

FF



212222,222,2,EFaEFEFa由所以椭圆方程为2

21

2x

y；

（2）①当l

的斜率不存在时，AB恰为短轴，此时||1OP

；

②当l

的斜率存在时，设:lykxm

．

联立2

2

1

2x

y

ykxm





，得到222(21)4220kxkmxm

，

△2216880km，

圆锥曲线中有关定点定值与最值问题的解题对策

圆锥曲线中有关定点定值与最值问题的解题对策

故所求值为１０．答案　为Ｄ．　方法２　如图５所示，用一　个等腰直角三角形代替直角三　角形ＡＢＣ，运算就大为简化．　设ＰＣ的长度为１，则ＰＤ　的长度为１，ＡＤ—ＢＤ一２，则　ｌ　ＰＡ　ｌ—ｌ　ＰＢ　ｌ一√５，故　一ｌＯ．故选Ｄ．——————＝　■————一——　．　１兀　．　｝ＰＣＩ　…～　摹　例６　如图６所示，平行　四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ是边　ＢＣ（靠近点Ｂ）的三等分点，Ｆ　是边ＡＢ（靠近点Ａ）的三等分　点，Ｇ是ＡＥ与ＤＦ的交点，则　图５　

图６　Ｃ　

ＡＧｍＡＢ、Ａ　表示为——．　ｐ　方法１待定系数法：　，解析－＋＿＋　＿＋　—｝１　ＡＧ—　ＡＥ—ＡＤ十ＤＧ，ＡＥ—ＡＢ十　ＡＤ，　———＋———’———＋　ｌ———＋　ＤＧ＝ｆｌＤＦ—ｐ（ＤＡ＋÷ＡＢ），　＋　】———＋—　，Ｊ———●　所以．：ＬＡＢ＋鲁ＡＤ一（１一ｆ１）ＡＤ＋　Ａｉ．所以　解　．　—　—　１—　—｝　１—　所以ＡＧ一　（ＡＢ＋专ＡＤ）一　ＡＢ＋南ＡＤ・　方法２　特殊值法：以正　方形代替一般平行四边形，如　图７所示．　设ＡＢ—ＡＤ一１，直线　１　ＡＥ：Ｙ一÷　，直线ＤＦ：ｙ—　１　—３（ｘ－－÷）一一３ｘ＋１，故交　图７　点Ｇ（　，　）．所以ＡＧ一　ＡＢ＋　ＡＤ・　总而言之，平面几何中向量的运算方法的选择不　是一目了然的，需要不断积累总结．基础知识的认识、　理解与掌握的熟练程度决定了方法选择的多样性．基　础知识要在实战中反复运用，在总结中不断提升，才　能驾轻就熟．　（作者单位：山东省烟台市中英文学校）　吖数１４　◇江苏范国华　圆锥曲线中有关定点定值与最值的问题是非常　常见的一类问题，它几乎涵盖解析几何的所有知识与　思想．由于它综合性强，方法灵活，对运算和思维能力　要求较高，因此，备受高考、各类竞赛和自主招生考试　命题者的青睐，同时也成为高中数学学习的重点和　难点．　求解这类问题的基本策略是“大处着眼、小处着　手”，从整体上把握问题给出的综合信息，处理问题的　函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等思　想，并恰当适时地运用待定系数、相关点、设而不求和　巧用定义等基本数学方法与技巧．　黼　—＿　例１　已知Ａ、Ｂ是圆Ｘ。＋　一４与ｚ轴的交点，　Ｐ为直线　一４上的动点，ＰＡ、ＰＢ与圆　＋　一４的　另一个交点分别为Ｍ、Ｎ，求证：直线ＭＮ过定点．　解法１按部就班。直捣黄龙　设Ｐ（４，ｍ），由题不妨设Ａ（～２，０），Ｂ（２，０），则　直线ＰＡ的方程为Ｙ一百ｍ（　ｚ＋２），直线ＰＢ的方程为　ｙ—　ｍ（Ｘ－－２）．由Ｊ．一詈　＋２），一百（　２）．由｛‘ｙ一百　十　’得　。＋　４，　（３６＋ｍ。）　。＋４ｍ　ｚ＋４ｍ　一１４４：：＝０．　则＿２ｚＭ一　，得　Ｍ一　．　于是由　Ｍ一百ｍ（．ＴＭ＋２）一丽２　４ｍ，得　Ｍ　７２－－　２ｍ２，　）．　同理可得，Ｎ（　车　，　－８ｍ）￣．　（１）当ｍ≠±２√３时，　忌Ｍ￣一Ｙ￣－－ＹＮ　ＬｚＭ—　Ｎ　一二墨　３６＋ｍ　４＋ｍ。８ｍ　７２—２ｍ。　２ｍ　一８　丽一　所以直线ＭＮ的方程为　发奋识遍天下字，立志读尽人间书　———１—２——－———ｍ——一ｚ‘