非线性回归方程

1

多项式回归、非线性回归模型

关键词：回归方程的统计检验、拟合优度检验、回归方程的显著性检验、F检验、回归系数的显著性检验、残差分析、一元多项式回归模型、一元非线性回归模型

一、回归方程的统计检验

1. 拟合优度检验

1. 概念介绍

SST总离差平方和total

SSR回归平方和regression

SSE剩余平方和error

niiiniiiniiiniiiyyyyyyyyR121212122)()ˆ()()ˆ(1

2. 例题1

存在四点(-2,-3)、(-1,-1)、(1,2)、(4,3)求拟合直线与决定系数。

2. 回归方程的显著性检验

)2/()2/()ˆ()ˆ(1212nSSESSAnyyyyFniiiniii

例6（F检验）

在合金钢强度的例1中，我们已求出了回归方程，这里考虑关于回归方程的显著性检验，经计算有：

表5 X射线照射次数与残留细菌数的方差分析表

来源 平方和 自由度 均方 比 值

回归 34.327RS 184.94 0.0000

残差

总计

这里值很小，因此，在显著性水平0.01下回归方程是显著的。

3. 回归系数的显著性检验

4. 残差分析

二、一元多项式回归模型 Fp1Rf34.327RMS72.17eS10ef77.1eMS06.345TS11Tf2

模型如以下形式的称为一元多项式回归模型：

0111axaxaxaynnnn

例1（多项式回归模型）

为了分析X射线的杀菌作用，用200千伏的X射线来照射细菌，每次照射6分钟，用平板计数法估计尚存活的细菌数。照射次数记为t，照射后的细菌数为y见表1。试求：

（1）给出y与t的二次回归模型。

（2）在同一坐标系内作出原始数据与拟合结果的散点图。

（3）预测16t时残留的细菌数。

（4）根据问题的实际意义，你认为选择多项式函数是否合适？

多元：

多元，一个词语，在社会科学中，指不同种族、民族、宗教或社会群体在一个共同文明体或共同社会的框架下，持续并自主地参与及发展自有传统文化或利益。在多元社会中，不同族群相互间展示尊重与容纳，从而使他们可以安乐共存、相互间没有冲突或同化。许多人认为多元是现代社会的最重要特征之一，也是科学、社会、经济等发展的关键性推动力量。

在多元社会的观念下，社会反对任何歧视的政策，认为在多元的社会文化中，任何人不论性别、种族、民族、宗教、身心障碍、性倾向或性别认同等，都不应有任何歧视或差别对待，多元社会应互相包容和彼此尊重，任何人的自由意见和立场都必须尊重。多元的社会是对自由的保障。

多元化：指事物的发展，到了一个很丰富的境界，有多种分类，多种行业。结合史实的话，近代文明的多元化，则表现的是西学东渐的过程。包括信仰、文化、习俗、思维的差异，也叫转型的差异，产生这一原因的是人对周围的变化有不同的感受，有领悟能力的差异、思维习惯的差异、认识水平的差异。这样的差异结合上实际，就呈现出多元。比如，在信仰上，很多人转信基督教。在文化上，有人脱下了马褂换上了西装。在习俗上，有人吃西餐和喝咖啡。在思维上，人人平等，结婚自由。但是这样必定遭到一些人反对。他们习惯以往的生活。就比如在思维上，他们认为人有三六九等，结婚应该听父母的。由此产生的分歧，对同一事物产生不同的看法。

多元非线性回归：

在多元回归分析中，不是线性函数的回归方程。方程中的因变量是随机变量，它与方程中其他变量（普通变量）之间的关系称为多元非线性回归关系。

多元非线性回归分析：

多元非线性回归分析是指包含两个以上变量的非线性回归模型。对多元非线性回归模型求解的传统做法，仍然是想办法把它转化成标准的线性形式的多元回归模型来处理。有些非线性回归模型，经过适当的数学变换，便能得到它的线性化的表达形式，但对另外一些非线性回归模型，仅仅做变量变换根本无济于事。属于前一情况的非线性回归模型，一般称为内蕴的线性回归，而后者则称之为内蕴的非线性回归。

非线性回归分析常见曲线及方程

Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

非线性回归分析

回归分析中，当研究的因果关系只涉及和一个时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理

两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的 回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析

常见非线性规划曲线

1. 双曲线1bayx

2. 二次曲线

3. 三次曲线

4. 幂函数曲线

5. 指数函数曲线(Gompertz)

6. 倒指数曲线y=a/ebx其中a>0，

7. S型曲线(Logistic) 1exyab

8. 对数曲线 y=a+blog x,x>0

9. 指数曲线y=aebx其中参数a>0

1．回归：

（1）确定回归系数的命令

[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）

（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha）

2．预测和预测误差估计：

[Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J）

求nlinfit 或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显着性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA.

非线性回归常见模型

一．基本内容

模型一xc

ecy

2

1

，其中

21,cc

为常数.

将xc

ecy

2

1

两边取对数，得xccecyxc

211ln)ln(ln

2

，令

21,ln,lncbcayz

，从

而得到z

与x

的线性经验回归方程abxz

，用公式求即可，这样就建立了y

与x

非线性

经验回归方程.

模型二

22

1cxcy

，其中

21,cc

为常数.

令acbcxt

212,,

，则变换后得到y

与t

的线性经验回归方程abty

，用公式求即

可，这样就建立了y

与x

非线性经验回归方程.

模型三

21cxcy

，其中

21,cc为常数.

acbcxt

21,,

，则变换后得到y

与t

的线性经验回归方程abty

，用公式求即可，

这样就建立了y

与x

非线性经验回归方程.

模型四反比例函数模型：1

yab

x令

xt1



，则变换后得到y

与t

的线性经验回归方程abty

，用公式求即可，这样就建立

了y

与x

非线性经验回归方程.

模型五三角函数模型：sinyabx

令xtsin

，则变换后得到y

与t

的线性经验回归方程abty

，用公式求即可，这样就

建立了y

与x

非线性经验回归方程.

二．例题分析

例1．用模型ekxya拟合一组数据组

,1,2,,7

iixyi

，其中

1277xxx

；设lnzy

，

得变换后的线性回归方程为ˆ4zx，则

127yyy

（）

A．70eB．70C．

35eD．35

【解析】因为

1277xxx，所以1x，45zx

，即

127

127ln...

lnln...ln

5

77yyy

yyy

，所以35

127eyyy

.故选：C

例2．一只红铃虫产卵数y

和温度x

有关，现测得一组数据

,1,2,,10

iixyi

，可用模型

2

1ecxyc

拟合，设lnzy

，其变换后的线性回归方程为4zbx

，若

1210300xxx

，

50

1210eyyy