最新苏州市2017-2018年高三上学期期中考试数学(理)试题

2017-2018学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B=．2．（5分）已知i为虚数单位，计算（1+2i）（1﹣i）2=．3．（5分）若函数f（x）=sin（x+θ）（）的图象关于直线对称，则θ=．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S5=5，S9=27，则S7=．5．（5分）若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为．6．（5分）运行如图所示程序框图，若输入值x∈[﹣2，2]，则输出值y的取值范围是．7．（5分）已知，，则tanx=．8．（5分）函数y=ex﹣lnx的值域为．9．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则实数t的值为．10．（5分）已知m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣1，1}，若随机选取m，n，则直线mx+ny+1=0恰好不经过第二象限的概率是．11．（5分）已知f（x）=，则不等式f（x2﹣x+1）＜12解集是．12．（5分）在直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，0），B（0，1），则满足PA2﹣PB2=4且在圆x2+y2=4上的点P的个数为．13．（5分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．14．（5分）若（m≠0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，b=4，求边c的大小．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．17．（14分）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为a元．（1）将全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？18．（16分）如图，已知椭圆的右顶点为A（2，0），点P （2e，）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足，且，求实数λ的值．19．（16分）设数列{a n}满足a n+1=2a n+n2﹣4n+1．（1）若a1=3，求证：存在f（n）=an2+bn+c（a，b，c为常数），使数列{a n+f（n）}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）若a n是一个等差数列{b n}的前n项和，求首项a1的值与数列{b n}的通项公式．20．（16分）已知a，b为常数，a≠0，函数．（1）若a=2，b=1，求f（x）在（0，+∞）内的极值；（2）①若a＞0，b＞0，求证：f（x）在区间[1，2]上是增函数；②若f（2）＜0，f（﹣2）＜e﹣2，且f（x）在区间[1，2]上是增函数，求由所有点（a，b）形成的平面区域的面积．2017-2018学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B={﹣1，0} ．【解答】解：∵A={x|x＜2}，B={﹣1，0，2，3}，∴A∩B={﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}2．（5分）已知i为虚数单位，计算（1+2i）（1﹣i）2=4﹣2i．【解答】解：（1+2i）（1﹣i）2=（1+2i）（1﹣2i+i2）=（1+2i）（﹣2i）=﹣2i﹣4i2=4﹣2i．故答案为：4﹣2i．3．（5分）若函数f（x）=sin（x+θ）（）的图象关于直线对称，则θ=．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x+θ）的图象关于直线x=对称，∴+θ=kπ+，k∈Z，∴θ=kπ+，k∈Z，又0＜θ＜，∴θ=，故答案为：．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S5=5，S9=27，则S7=14．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，S5=5，S9=27，∴，解得．∴S7==﹣7+21=14．故答案为：14．5．（5分）若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为π．【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，高为2，∴母线长为：，∴圆锥的侧面积为：πrl=π×1×=π，故答案为：π．6．（5分）运行如图所示程序框图，若输入值x∈[﹣2，2]，则输出值y的取值范围是[﹣1，4] ．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求y=的值，当﹣2≤x＜0时，函数为减函数，∴0＜y≤4；当0≤x≤2时，函数y=x（x﹣2），∴﹣1≤y≤0．综上y的取值范围是[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]．7．（5分）已知，，则tanx=﹣7．【解答】解：∵，，∴，两式相比得，即4sinx+4cosx=3sinx﹣3cosx，∴sinx=﹣7cosx，∴tanx=﹣7，故答案为：﹣78．（5分）函数y=ex﹣lnx的值域为[2，+∞）．【解答】解：定义域为（0，+∞），=，当时y′＜0，当时，y′＞0，所以函数在区间（0，）上单调递减，在区间（）上单调递增，所以f （x）≥，所以函数的值域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．9．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则实数t的值为2．【解答】解：由题意可得，=||||cos60°=，∵，∴=t+（1﹣t）==1﹣=0，∴t=2，故答案为：210．（5分）已知m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣1，1}，若随机选取m，n，则直线mx+ny+1=0恰好不经过第二象限的概率是．【解答】解：由mx+ny+1=0得y=，要使直线mx+ny+1=0恰好不经过第二象限，则或者，即或，∴n=1，m=﹣1或n=1，m=0共有2个结果．∵m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣1，1}，∴m，n的选择共有3×2=6个结果，则根据古典概率的概率公式得所求的概率P=，故答案为：11．（5分）已知f（x）=，则不等式f（x2﹣x+1）＜12解集是（﹣1，2）．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，∴函数f（x）为奇函数，再根据二次函数的图象和性质可得：f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（0）=0，可得函数f（x）在R上是增函数．令x2+x=12，求得x=3 或x=﹣4（舍去）．∴由不等式f（x2﹣x+1）＜12，可得x2﹣x+1＜3，即（x+1）（x﹣2）＜0，解得﹣1＜x＜2，故答案为：（﹣1，2）．12．（5分）在直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，0），B（0，1），则满足PA2﹣PB2=4且在圆x2+y2=4上的点P的个数为2．【解答】解：设P（x，y），∵A（﹣1，0），B（0，1），由PA2﹣PB2=4，得（x+1）2+y2﹣x2﹣（y﹣1）2=4．整理得：x+y=2．联立，解得：或．∴P点坐标为（0，2）或（2，0）．即满足条件的P点的个数为2．故答案为：2．13．（5分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3﹣3=﹣3，当且仅当x=时取等号．∴x+y的最小值为．故答案为：．14．（5分）若（m≠0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣）．【解答】解：等价于（m2x﹣1）（mx+1）＜0，x1=，x2=﹣，若（m≠0）对一切x≥4恒成立，则m＜0，当﹣1≤m＜0时，≥﹣，则＜4，解得﹣1≤m＜﹣，当m＜﹣1时，＜﹣，则﹣＜4，解得m＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣）．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，b=4，求边c的大小．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）利用正弦定理化简acosC+c=b，得：sinAcosC+sinC=sinB，…（2分）∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，…（3分）∴sinAcosC+sinC=sinAcosC+cosAsinC，即sinC=cosAsinC，…（4分）∵sinC≠0，∴cosA=，∵A为三角形内角，∴A=；…（6分）（Ⅱ）∵a=，b=4，cosA=，…（8分）∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，15=16+c2﹣4c，即c2﹣4c+1=0，…（10分）解得：c==2±．…（12分）16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．17．（14分）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为a元．（1）将全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？【解答】解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y=，即y=1000（），定义域为（0，80]，（2）依题意知a，v都为正数，故有1000（）≥1000，当且仅当，即v=2时，等号成立，①若2≤80，即0＜a≤1600时，则当v=2时，时，全程运输成本y最小．②若2＞80，即a＞1600时，则当v∈（0，80]时，有y′=1000（）＜0．∴函数在v∈（0，80]上单调递减，也即当v=80时，全程运输成本y最小，综上知，为使全程运输成本y最小，当0＜a≤1600时行驶速度应为v=2时千米/时；当a＞1600时行驶速度应为v=80千米/时．18．（16分）如图，已知椭圆的右顶点为A（2，0），点P （2e，）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足，且，求实数λ的值．【解答】解：（1）∵椭圆的右顶点为A（2，0），∴a=2，∵点P（2e，）在椭圆上，∴，∵a2=4，，a2=b2+c2，∴b2=1，c2=3，∴椭圆的方程为．（2）设直线OC的斜率为k，则直线OC方程为y=kx，代入椭圆方程，即x2+4y2=4，得（1+4k2）x2=4，∴，∴C（，），又直线AB方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程x2+4y2=4，得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，∵x A=2，∴x B=，∵=0，∴+=0，∴，∵C 在第一象限，∴k ＞0，∴k=，∵=（），=（2﹣，0﹣）=（，），由=，得，∴k=，∴．19．（16分）设数列{a n }满足a n +1=2a n +n 2﹣4n +1．（1）若a 1=3，求证：存在f （n ）=an 2+bn +c （a ，b ，c 为常数），使数列{a n +f （n ）}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式．【解答】解：（1）∵数列{a n }满足a n +1=2a n +n 2﹣4n +1，设a n +1 +a （n +1）2+b （n +1）+c=2（a n +an 2+bn +c ），即 a n +1=2a n +an 2+（b ﹣2a ）n +c ﹣a ﹣b ， ∴，即．∵a 1+1﹣2=2，∴存在f （n ）=n 2﹣2n ，使数列{a n +f （n ）}是等比数列， ∴a n +n 2﹣2n=2×2n ﹣1， ∴a n =2n ﹣n 2+2n ．（2）∵a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，数列{a n }满足a n +1=2a n +n 2﹣4n +1， 即 a n +1 +（n +1）2﹣2（n +1）=2（a n +n 2﹣n ）， 即a n +1+（n +1）2﹣2（n +1）=2（a n +n 2﹣2n ），∴（a n +n 2﹣2n ）=（a 1﹣1）•2n ﹣1，故a n =﹣n 2+2n +（a 1﹣1）•2n ﹣1， ∴b n =．再根据{b n }是等差数列，可得b n 的通项公式是关于n 的一次函数， ∴a 1=1，a n =﹣2n +3．20．（16分）已知a ，b 为常数，a ≠0，函数．（1）若a=2，b=1，求f（x）在（0，+∞）内的极值；（2）①若a＞0，b＞0，求证：f（x）在区间[1，2]上是增函数；②若f（2）＜0，f（﹣2）＜e﹣2，且f（x）在区间[1，2]上是增函数，求由所有点（a，b）形成的平面区域的面积．【解答】解：（1）若a=2，b=1，则f（x）=（2+）e x，则f′（x）=（x+1）（2x﹣1），由f′（x）＞0，得x＞，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，得0＜x＜，此时函数单调递减，则当x=时，f（x）取得极小值，f（）=4．（2）f′（x）=（ax2+bx﹣b），设g（x）=ax2+bx﹣b，①证明：若a＞0，b＞0，则二次函数g（x）的图象开口向上，对称轴x=﹣＜0，且g（1）=a＞0，∴g（x）＞0，对一切x∈[1，2]恒成立，又，∴f（x）＞0恒成立．即f（x）在区间[1，2]上是增函数；②若f（2）＜0，f（﹣2）＜e﹣2，则，即，（•），∵f（x）在区间[1，2]上是增函数，∴f′（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，即，（••），在（•），（••）的条件下，b＜0，且1＜≤2，且g（）=恒成立，综上求由所有点（a ，b ）满足的约束条件为，则不等式组对应的平面区域为△OAB ，其中A （），B （），C （1，0），则形成的平面区域的面积S=S △OAC ﹣S △OBC =．即△OAB 的面积为．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2017-2018学年苏州市高三上学期期末数学试卷(有答案)1.已知复数 $z=a+\dfrac{33}{22}i$，求其模长。

2.已知集合 $A=\{1,2\}$，$B=\{-1,1,4\}$，且 $A\subseteq B$，求正整数 $a$。

3.在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知抛物线 $y^2=-8x$，求其焦点坐标。

4.苏州轨道交通 1 号线每 5 分钟一班，其中列车在车站停留 0.5 分钟。

假设乘客到达站台的时刻是随机的，求该乘客到达站台立即能乘上车的概率。

5.已知 $4=2$，$\log_a x=2a$，求正实数 $x$。

6.XXX是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。

右边的流程图是秦九韶算法的一个实例。

若输入 $n$，$x$ 的值分别为 $3$，$3$，求输出 $v$ 的值。

7.已知变量 $x,y$ 满足 $x+y\geq 0$，求 $z=2x-3y$ 的最大值。

8.已知等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且$S_6=1519$，$a_4-a_2=-8$，求 $a_3$ 的值。

9.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构。

它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经$90^\circ$ 榫卯起来。

若正四棱柱体的高为 $5$，底面正方形的边长为 $1$，现将该鲁班锁放进一个球形内，求该球形的表面积至少为多少（壁的厚度忽略不计，结果保留 $\pi$）。

10.如图，两座建筑物 $AB$，$CD$ 的高度分别是$9\text{ m}$ 和 $15\text{ m}$，从建筑物 $AB$ 的顶部 $A$ 看建筑物 $CD$ 的张角 $\angle CAD=45^\circ$，求这两座建筑物$AB$ 和 $CD$ 底部之间的距离 $BD$。

高2021届高2018级高三年级第一学期期中考试(苏州)数学参考答案及评分标准1. C2. C3. B4. B5. A6. B7. C8. A9. BC 10. BC 11. ABD 12. ABC13. (－2,2)∪(2,＋∞) 14. 1215. 40 000 16. 2 17. 解:(1) 因为函数f(x)的最小正周期为π,所以2πω＝π,ω＝2,(1分) 此时g(φ)＝f(π6)＝sin(π3－φ)＝－sin (φ－π3). 因为|φ|≤π2,所以φ－π3∈[－5π6,π6],所以－1≤sin(φ－π3)≤12,(3分) 所以g(φ)＝f(π6)的值域为[－12,1].(4分) (2) 因为φ＝π3,所以f(α)＝sin (2α－π3). 由sin α－2cos α＝0,得tan α＝2,(6分)f (α)＝sin (2α－π3)＝12sin 2α－32cos 2α(8分) ＝12×2 tan α1＋tan 2α－32×1－tan 2α1＋tan 2α＝4－3×（1－4）2×（1＋4）＝4＋3310.(10分) 18. 解:(1) 当a ＝3时,f(x)＝－13x 3＋32x 2－2x,得f′(x)＝－x 2＋3x －2.(1分) 因为f′(x)＜0,得x ＜1或x ＞2,(3分)所以函数f(x)单调递减区间为(－∞,1)和(2,＋∞).(4分)(2) 由f(x)＝－13x 3＋a 2x 2－2x,得f′(x)＝－x 2＋ax －2.(5分) 因为对于任意x ∈[1,＋∞)都有f′(x)＜2(a －1)成立,所以问题转化为:对于任意x ∈[1,＋∞)都有f′(x)max ＜2(a －1).(6分)因为f′(x)＝－(x －a 2)2＋a 24－2,其图象开口向下,对称轴为x ＝a 2. ①当a 2＜1时,即a ＜2时,f ′(x)在[1,＋∞)上单调递减, 所以f′(x)max ＝f′(1)＝a －3.由a －3＜2(a －1),得a ＞－1,此时－1＜a ＜2.(8分)②当a 2≥1,即a ≥2时,f ′(x)在[1,a 2]上单调递增,在(a 2,＋∞)上单调递减, 所以f′(x)max ＝f′(a 2)＝a 24－2.(10分) 由a 24－2＜2(a －1),得0＜a ＜8,此时2≤a ＜8.(11分) 综合①②,可得实数a 的取值范围是(－1,8).(12分)19. 解:若选①.(1) 由题设条件及正弦定理,得sin Csin B ＋C 2＝sin Asin C.(1分)因为△ABC 中,sin C ≠0,所以sin B ＋C 2＝sin A.(2分) 由A ＋B ＋C ＝π,可得sin B ＋C 2＝sin π－A 2＝cos A 2,(3分) 所以cos A 2＝2sin A 2cos A 2.(4分) 因为△ABC 中,cos A 2≠0,所以sin A 2＝12. 因为0＜A ＜π,所以A ＝π3.(5分) 因为c ＝(3－1)b,所以由正弦定理得sin C ＝(3－1)sin B.因为A ＝π3,所以sin B ＝sin(π－A －C)＝sin(A ＋C)＝sin(C ＋π3),(6分) 所以sin C ＝(3－1)sin(C ＋π3),整理得sin C ＝cos C.(7分) 因为△ABC 中,sin C ≠0,所以cos C ≠0,所以tan C ＝sin C cos C＝1. 因为0＜C ＜π,所以C ＝π4.(9分) (2) 因为△ABC 的面积为3－3,c ＝(3－1)b,A ＝π3, 所以由S ＝12bcsin A 得34(3－1)b 2＝3－3,(11分) 解得b ＝2.(12分)若选②.(1) 由题设及正弦定理得2cos A(sin Bcos C ＋sin Ccos B)＝sin A,(1分) 即2cos Asin(B ＋C)＝sin A.(2分)因为B ＋C ＝π－A,所以2cos Asin A ＝sin A.(3分)因为△ABC 中,sin A ≠0,所以cos A ＝12.(4分) 因为0＜A ＜π,所以A ＝π3.(5分) 下同选①.若选③.由题设得(sin B －sin C)2＝sin 2A －sin Bsin C,(1分)所以sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin Bsin C.(2分)由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.(4分) 因为0＜A ＜π,所以A ＝π3.(5分) 下同选①.20. 解:(1) 因为等差数列{a n }中,a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝30,所以a 5＝10.设等差数列{a n }的公差是d,所以d ＝a 5－a 15－1＝2,(1分) 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n.(2分)设等比数列{b n }的公比是q,因为b 2b 3＝a 16,所以b 21q 3＝4q 3＝32,所以q ＝2,所以b n ＝b 1qn －1＝2n .(3分) (2) ① 若存在正整数k,使得T k ＋1＝T k ＋b k ＋32成立,则b k ＋1＝b k ＋32,(4分)所以2k ＋1＝2k ＋32,即2k ＝32,解得k ＝5.(5分)存在正整数k ＝5满足条件.(6分)② S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n(n ＋1), 所以n(n ＋1)≥2n ,即2n －n(n ＋1)≤0.(8分)令f(n)＝2n －n(n ＋1),因为f(n ＋1)－f(n)＝2n ＋1－(n ＋1)(n ＋2)－2n ＋n(n ＋1)＝2[2n －1－(n ＋1)],所以当n ≥4时,{f(n)}单调递增.(9分)又f(2)－f(1)＜0,f(3)－f(2)＜0,f(4)－f(3)＜0,所以f(1)＞f(2)＞f(3)＝f(4)＜…＜f(n)＜…(10分)因为f(1)＝0,f(4)＝－4,f(5)＝2,所以n ＝1,2,3,4时,f(n)≤0,n ≥5时,f(n)＞0,(11分)所以不等式S n ≥b n 的解集为{1,2,3,4}.(12分)21. 解:(1) 因为g(x)为定义在[－4,4]上的奇函数,所以当x ∈[－4,0)时,g(－x)＝－(－x)2＋4(－x)＝－x 2－4x.因为g(－x)＝－g(x),所以g(－x)＝－g(x)＝－x 2－4x,(2分)所以g(x)＝x 2＋4x,所以g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ∈[－4，0），－x 2＋4x ，x ∈[0，4].(3分) (2) 因为g(x)在[2,4]内有“8倍倒域区间”,设2≤a ＜b ≤4,因为g(x)在[2,4]上单调递减,所以⎩⎨⎧－a 2＋4a ＝8a ，－b 2＋4b ＝8b ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）（a 2－2a －4）＝0，（b －2）（b 2－2b －4）＝0，(5分) 解得a ＝2,b ＝1＋5,所以g(x)在[2,4]内的“8倍倒域区间”为[2,1＋5].(6分)(3) 因为g(x)在x ∈[a,b]时,函数值的取值区间恰为[k b ,k a](k ≥8), 所以0＜a ＜b ≤4或－4≤a ＜b ＜0.当0＜a ＜b ≤4时,因为g(x)的最大值为4,所以k a≤4.(7分) 因为k ≥8,所以a ≥2.因为g(x)在[2,4]上单调递减,所以⎩⎨⎧－a 2＋4a ＝k a，－b 2＋4b ＝k b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－4a 2＋k ＝0，b 3－4b 2＋k ＝0，(8分) 所以方程x 3－4x 2＋k ＝0在[2,4]上有两个不同的实数解.令h(x)＝x 3－4x 2＋k,x ∈[2,4],则h′(x)＝3x 2－8x.令h′(x)＝3x 2－8x ＝0,得x ＝0(舍去)或x ＝83, 当x ∈(2,83)时,h ′(x)＜0,所以h(x)在(2,83)上单调递减. 当x ∈(83,4)时,h ′(x)＞0,所以h(x)在(83,4)上单调递增.(10分) 因为h(2)＝k －8≥0,h(4)＝k ≥8,所以要使得x 3－4x 2＋k ＝0在[2,4]上有两个不同的实数解,只需h(83)＜0, 解得k ＜25627,所以8≤k ＜25627.(11分) 同理可得:当－4≤a ＜b ＜0时,8≤k ＜25627. 综上所述,k 的取值范围是[8,25627).(12分) 22. (1) 解:因为f(x)＝e x ＋ax·sin x,所以f′(x)＝e x ＋a(sin x ＋xcos x),(1分) 所以f′(0)＝1.因为f(0)＝1,所以曲线f(x)在x ＝0处的切线方程为y －1＝x,即y ＝x ＋1.(3分)(2) 证明:当a ＝－2时,g(x)＝e x x－2sin x,其中x ∈(－π,0), 则g′(x)＝e x （x －1）x 2－2cos x ＝e x （x －1）－2x 2cos x x 2.(4分) 令h(x)＝e x (x －1)－2x 2cos x,x ∈(－π,0),则h′(x)＝x(e x ＋2xsin x －4cos x).当x ∈(－π,－π2)时,因为e x ＞0,2xsin x ＞0,cos x ＜0,所以h′(x)＜0, 所以h(x)在(－π,－π2)上单调递减.(5分) 因为h(－π)＝2π2－e －π(1＋π)＞0,h(－π2)＝e －π2(－π2－1)＜0, 所以由零点存在性定理知,存在唯一的x 0∈(－π,－π2),使得h(x 0)＝0,(7分) 所以当x ∈(－π,x 0)时,h(x)＞0,即g′(x)＞0；当x ∈(x 0,－π2)时,h(x)＜0,即g ′(x)＜0. 当x ∈(－π2,0)时,g ′(x)＝e x （x －1）x 2－2cos x ＜0. 因为g′(x)在(－π,0)上连续,所以x ∈(x 0,0)时,g ′(x)＜0,所以g(x)在(－π,x 0)上单调递增,在(x 0,0)上单调递减,所以x 0是函数g(x)在(－π,0)上的唯一极大值点.(9分)因为g(x)在(x 0,－π2)上单调递减,所以g(x 0)＞g(－π2). 因为g(－π2)＝－1π2e π2＋2＞0,所以g(x 0)＞0.(10分)当x 0∈(－π,－π2)时,因为－1＜ex 0x 0＜0,0＜－2sin x 0＜2, 所以g(x 0)＝ex 0x 0－2sin x 0＜2,(11分) 所以0＜g(x 0)＜2.(12分)。

【最新整理，下载后即可编辑】苏州市2018届高三第一学期期中调研试卷数 学一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置) 1．已知集合{1,2,3,4,5},{1,3},{2,3}U A B ===，则()U A B = ▲ ．2．函数1ln(1)y x =-的定义域为 ▲ ．3．设命题:4p x >；命题2:540q x x -+≥，那么p 是q 的 ▲ 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）． 4．已知幂函数22*()m m y x m -=∈N 在(0,)+∞是增函数，则实数m 的值是 ▲ ．5．已知曲线3()ln f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线的斜率为2，则实数a 的值是▲ ．6．已知等比数列{}n a 中，32a =，4616a a =，则7935a a a a -=- ▲ ．7．函数sin(2)(0)2y x ϕϕπ=+<<图象的一条对称轴是12x π=，则ϕ的值是 ▲ ．8．已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则不等式()01f x x >-的解集为 ▲ ．9．已知tan()24απ-=，则cos2α的值是 ▲ ．10．若函数8,2()log 5,2ax x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤(01)a a >≠且的值域为[6,)+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．已知数列{},{}n n a b 满足1111,1,(*)21n n n n a a b b n a +=+==∈+N ，则122017b b b ⋅⋅=▲ ．12．设ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，D 为AB 的中点，若cos sin b a C c A=+且CD =ABC △面积的最大值是▲ ．13．已知函数()sin()6f x x π=-，若对任意的实数5[,]62αππ∈--，都存在唯一的实数[0,]m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最小值是 ▲ ． 14．已知函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨+⎩≤，若直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点(,()),(,()),A m f m B n f n(,())C t f t （其中m n t <<），则12n m++的取值范围是 ▲ ．二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知函数1())(0,0)42f x ax b a b π=+++>>的图象与x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为2π．（1）求,a b 的值；（2）求()f x 在[0,]4π上的最大值和最小值．16．(本题满分14分)在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知sin sin sin ()B C m A m +=∈R ，且240a bc -=．（1）当52,4a m ==时，求,bc 的值；（2）若角A 为锐角，求m 的取值范围．17．(本题满分15分)已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且满足11a =，*131()n n S S n +=+∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，13b =，*11()n n n na b b n a ++-=∈N ，若不等式2n n a b n λ+≤对*n ∈N 有解，求实数λ的取值范围．如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米，CD 为3米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD 平行．当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）． （1）设MN 与AB 之间的距离为5(02x x <≤且1)x ≠米，试将通风窗的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数()y S x =；（2）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S 取得最大值？19．(本题满分16分)已知函数2()ln ,()f x x g x x x m ==--． （1）求过点(0,1)P -的()f x 的切线方程；（2）当0=m 时，求函数()()()F x f x g x =-在],0(a 的最大值；（3）证明：当3m ≥-时，不等式2()()(2)e x f x g x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立（其中e 为自然对数的底数,e 2.718...=）．已知数列{}n a 各项均为正数，11a =,22a =，且312n n n n a a a a +++=对任意*n ∈N 恒成立，记{}n a 的前n 项和为n S ． （1）若33a =，求5a 的值；（2）证明：对任意正实数p ，221{}n n a pa -+成等比数列；（3）是否存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列．若存在，求出此时n a 和n S 的表达式；若不存在，说明理由．2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数学(附加题部分)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲)（本小题满分10分）如图，AB 为圆O 的直径，C 在圆O 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交圆O于E ，030AEC ∠=． （1）求证：AF FO =； （2）若CF =，求AD AE ⋅的值．BB ．(矩阵与变换)（本小题满分10分）已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，42α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求49αA 的值．C ．(极坐标与参数方程)（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为42525x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为cos()(0)4a ρθπ-≠．（1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；（2）若圆C 任意一条直径的两个端点到直线l，求a的值．D ．(不等式选讲)（本小题满分10分）设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y ++-+≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6,7,…,10的客人留下，其余的淘汰，第二轮放入1,2,…,5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3,4,5的客人留下，第三轮放入1,2,3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2,3的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏． （1）求甲拿到礼物的概率；（2）设ξ表示甲参加游戏的轮数．．，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．23．(本小题满分10分)（1）若不等式(1)ln(1)x x ax ++≥对任意[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设*n ∈N ，试比较111231n ++++与ln(1)n +的大小，并证明你的结论．2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．{1} 2．(1,2)(2,)+∞3．充分不必要 4．15．136．4 7．3π 8．(2,0)(1,2)-9．45-10．(1,2] 11．12018 12．113．2π14．1(1,e )e+二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)解：（1）∵()f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为2π，∴()f x 的周期为2π，∴202||2a a ππ=>且，······································································2分∴2a =，··················································································································4分此时1())42f x x b π=+++， 又∵()f x 的图象与x 轴相切，∴1||02b b +=>，·······················································6分∴122b =-；··········································································································8分（2）由（1）可得())4f x x π=+∵[0,]4x π∈，∴4[,]444x ππ5π+∈， ∴当444x π5π+=，即4x π=时，()f x 有最大值为；·················································11分当442x ππ+=，即16x π=时，()f x 有最小值为0．························································14分 16．(本题满分14分) 解：由题意得b c ma+=，240a bc -=．···············································································2分（1）当52,4a m ==时，5,12b c bc +==，解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；································································································6分（2）2222222222()()22cos 23222a ma abc a b c bc a A m a bc bc--+-+--====-，····························8分∵A 为锐角，∴2cos 23(0,1)A m =-∈，∴2322m <<，····················································11分又由b c ma +=可得0m >，·························································································13分∴m <<···········································································14分 17．(本题满分15分)解：（1）∵*131()n n S S n +=+∈N ，∴*131(,2)n n S S n n -=+∈N ≥，∴*13(,2)n n a a n n +=∈N ≥，·························································································2分又当1n =时，由2131S S =+得23a =符合213a a =，∴*13()n n a a n +=∈N ，······························3分∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为1*3()n n a n -=∈N ； (5)分（2）∵*113()n n n na b b n a ++-==∈N ，∴{}n b 是以3为首项，3为公差的等差数列，····················7分∴*33(1)3()n b n n n =+-=∈N ，·····················································································9分∴2n n a b nλ+≤，即1233n n nλ-⋅+≤，即2133n n n λ--≤对*n ∈N 有解，··································10分设2*13()()3n n nf n n --=∈N ，∵2221(1)3(1)32(41)(1)()333n n nn n n n n n f n f n -+-+---++-=-=， ∴当4n ≥时，(1)()f n f n +<，当4n <时，(1)()f n f n +>， ∴(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f <<<>>>， ∴max 4[()](4)27f n f ==，···························································································14分∴427λ≤．·············································································································15分 18．(本题满分15分)解：（1）当01x <≤时，过A 作AK CD ⊥于K （如上图），则1AK =，122CD AB DK -==，1HM x =-，由2AKMH DKDH ==，得122HM xDH -==，∴322HG DH x =-=+， ∴2()(1)(2)2S x HM HG x x x x =⋅=-+=--+；·······························································4分当512x <<时，过E 作ET MN ⊥于T ，连结EN （如下图），则1ET x =-，22239(1)(1)224MN TN x x ⎛⎫==---- ⎪⎝⎭∴292(1)4MN x =--∴29()2(1)(1)4S x MN ET x x =⋅=---，······································································8分综上：222,01()952(1)(1)142x x x S x x x x ⎧--+<⎪=⎨---<<⎪⎩≤；·································································9分（2）当01x <≤时，2219()2()24S x x x x =--+=-++在[0,1)上递减，∴max ()(0)2S x S ==；································································································11分2︒当512x <<时，229(1)(1)94()2(224x x S x x -+--=-⋅=，当且仅当(1)x -=51(1,)2x +∈时取“=”， ∴max 9()4S x =，此时max 9()24S x =>，∴()S x 的最大值为94，············································14分答：当MN 与AB1+米时，通风窗的通风面积S 取得最大值．····················15分 19．(本题满分16分)解：（1）设切点坐标为00(,ln )x x ，则切线方程为0001ln ()y x x x x -=-， 将(0,1)P -代入上式，得0ln 0x =，01x =， ∴切线方程为1y x =-；·······························································································2分（2）当0m =时，2()ln ,(0,)F x x x x x =-+∈+∞， ∴(21)(1)(),(0,)x x F x x x+-'=-∈+∞，············································································3分当01x <<时，()0F x '>，当1x >时，()0F x '<， ∴()F x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减，·············································································5分∴当01a <≤时，()F x 的最大值为2()ln F a a a a =-+； 当1a >时，()F x 的最大值为(1)0F =；········································································7分（3）2()()(2)e x f x g x x x +<--可化为(2)e ln x m x x x >-+-，设1()(2)e ln ,[,1]2x h x x x x x =-+-∈，要证3m ≥-时()m h x >对任意1[,1]2x ∈均成立，只要证max ()3h x <-，下证此结论成立． ∵1()(1)(e )x h x x x'=--，∴当112x <<时，10x -<，·······················································8分设1()e x u x x=-，则21()e 0x u x x '=+>，∴()u x 在1(,1)2递增， 又∵()u x 在区间1[,1]2上的图象是一条不间断的曲线，且1()202u =<，(1)e 10u =->，∴01(,1)2x ∃∈使得0()0u x =，即01e xx =，00ln x x =-，····················································11分当01(,)2x x ∈时，()0u x <，()0h x '>；当0(,1)x x ∈时，()0u x >，()0h x '<；∴函数()h x 在01[,]2x 递增，在0[,1]x 递减，∴0max 00000000012()()(2)e ln (2)212x h x h x x x x x x x x x ==-+-=-⋅-=--，····························14分∵212y x x=--在1(,1)2x ∈递增，∴0002()121223h x x x =--<--=-，即max ()3h x <-， ∴当3m ≥-时，不等式2()()(2)e xf xg x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立．··························16分 20．(本题满分16分) 解：（1）∵1423a a a a =，∴46a =，又∵2534a a a a =，∴54392a a ==；·······································2分（2）由3121423n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=⎧⎨=⎩，两式相乘得2134123n n n n n n n a a a a a a a ++++++=，∵0n a >，∴2*42()n n n a a a n ++=∈N ， 从而{}n a 的奇数项和偶数项均构成等比数列，···································································4分设公比分别为12,q q ，则1122222n n n a a q q --==，1121111n n n a a q q ---==，······································5分又∵312=n n n na a a a +++，∴42231122a a q a a q ===，即12q q =，···························································6分设12q q q ==，则2212223()n n n n a pa q a pa ---+=+，且2210n n a pa -+>恒成立， 数列221{}n n a pa -+是首项为2p+，公比为q的等比数列，问题得证；····································8分（3）法一：在（2）中令1p =，则数列221{}n n a a -+是首项为3，公比为q 的等比数列，∴22212223213 ,1()()()3(1),11k k k k k k k q S a a a a a a q q q---=⎧⎪=++++++=-⎨≠⎪-⎩， 12122132 ,13(1)2,11k k k k k k k q q S S a q q q q ---⎧-=⎪=-=⎨--≠⎪-⎩，·····································································10分且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去），·························································································13分∴224121k k k S =-=-，212121k k S --=-， 从而对任意*n ∈N 有21n n S =-， 此时2n n S t +=，12n n S tS t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列， 当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，又11a =，∴1*2()n n a n -=∈N ， 综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ． (16)分法二：由（2）知，则122n n a q -=，121n n a q --=，且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去），·······················································································11分∴121222n n n a q --==，22212n n a --=，从而对任意*n ∈N 有12n n a -=，····································13分∴01211222222112n n n n S --=++++==--， 此时2n n S t +=，12n n S tS t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列， 综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ． (16)分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲，本小题满分10分) 解：（1）证明 ：连接,OC AC ，∵030AEC ∠=，∴0260AOC AEC ∠=∠=，又OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形， ∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线， ∴AF FO =；····························B··········································5分（2）解：连接BE ， ∵CF =，AOC ∆是等边三角形，∴可求得1AF =，4AB =，∵AB 为圆O 的直径，∴90AEB ∠=，∴AEB AFD ∠=∠， 又∵BAE DFA ∠=∠，∴AEB ∆∽AFD ∆，∴AD AF ABAE=，即414AD AE AB AF ⋅=⋅=⨯=．··················································································10分 B ．(矩阵与变换，本小题满分10分) 解：矩阵A 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----， 令()0f λ=，解得矩阵A 的特征值121,3λλ=-=，····························································2分当11λ=-时特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，当23λ=时特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，·····································6分又∵12432ααα⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦，·························································································。

江苏省苏州中学2017-2018学年度第一学期期中考试数学试题高三数学（正题部分）一.填空题：本大题共有14道小题，每小题5分，计70分，请把答案填写在相应的位置上1.已知集合{}=2,0,1A -，{}1,0B =-，则A B =U _____________.2.已知α是锐角，若tan 3α=，则cos α=_____________.3.△ABC 中，已知1a =，60A =o，3c =，则角C =_________． 4.若函数()32x x a f x e x x e =-+-是奇函数，则实数a 的值为_____________ 5.函数ln ()(0)x f x x x=>的单调递增区间是_ 6.函数()f x =的定义域为_____________.7.若曲线x y e =切线方程为y x b =+，则实数b =_____________.8.若“12x <<”是“230x ax -+<”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围为______. 9.已知cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____________. 10.已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数2cos y x =与3tan y x =图象相交于点P ，过点P 作PQ 垂直x 轴，垂足为点Q ，线段PQ 与函数sin y x =的图象交于点M ，则线段MQ 的长度为_____________.11.已知函数()f x 定义域为D ，若存在0x D ∈，使()()()0011f x f x f +=+成立，则称()f x 具有性质P .现给出下列四个函数：① ()1f x x= ； ②()2x f x =； ③()()2log 2f x x =+； ④()sin f x x π= 其中具有性质P 的函数为_____________（注：填上你认为正确的所有函数序号）12.若实数x 、y 满足22sin 1x y +=，则sin x y -的取值范围为_____________. 13.已知m 、n *∈N ，若1tan m α=，1tan n β=，且4παβ+=，则m n +的值为________. 14.若函数()()()224f x x x ax b =-++满足()()2f x f x =-，则()f x 在[]0,3上的最大值为的的_____________二.解答题：本大题共有6道题，共计90分.请在相应的答题区域内作答，解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15.已知函数()()[)()sin 0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈图像最高点为(，且相邻两条对称轴间距离为4.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()()()()22221232018f f f f ++++L 的值.16.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，1sin sin B C R+=（其中R 为ABC ∆的外接圆的半径）且ABC ∆的面积()22S a b c =--.（1）求sin A 的值；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值.17.已知函数()f x 与()12g x x x=++的图象关于点()1,2A 对称. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若函数()()F x f x c =-有两个不同零点，求实数c 的取值范围；（3）若函数()()2a h x f x x =+-在()2,4上是单调减函数，求实数a 的取值范围. 18.某农业观光区的平面示意图如图所示，其中矩形ABCD 的长2AB =千米，宽1AD =千米，半圆的圆心P 为AB 中点，为了便于游客观光休闲，在观光区铺设一条由圆弧»AE 、线段EF 、FC 组成的观光道路，其中线段EF 经过圆心P ，点F 在线段CD 上（不含线段端点C 、D ），已知道路AE 、FC 的造价为每千米20万元，道路EF 造价为每千米70 万元，设APE θ∠=，观光道路的总造价为y .（1）试求y 与θ函数关系式()y f θ=，并写出θ的取值范围；的（2）当θ为何值时，观光道路的总造价y 最小.19.已知函数()24f x ax x b =++（0a <，且a 、b R ∈）.设关于x 的不等式()0f x >的解集为()12,x x ，且方程()f x x =的两实根为α、β.（1）若1αβ-=，完成下列问题：①求a 、b 的关系式；②若a 、b 都是负整数，求()f x 的解析式；（2）若12αβ<<<，求证: ()()12117x x ++<.20.已知函数()xf x e ax =-（其中a 为常数，e 为自然对数的底数，） （1）若对任意x ∈R ，不等式()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值集合， （2）已知正数a 满足：存在[)01,x ∈+∞，使不等式()00f x ≤成立. ①求a 的取值集合；②试比较a e 与e a 的大小，并证明你的结论.。

2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷 数 学 2016．11注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的、学校、号写在答题纸的密封线．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置) 1．已知集合{02}A x x =≤≤，{11}B x x =-<≤，则AB = ▲ ．2．若命题2:,10p x x ax ∃∈++<R 使，则p ⌝： ▲ ．3．函数y =的定义域为 ▲ ． 4．曲线cos y x x =-在点(,)22ππ处的切线的斜率为 ▲ ．5．已知4tan 3α=-，则tan()4πα-= ▲ ．6．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：194a a =，则数列2{log }n a 的前9项之和为 ▲ ． 7．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()8x f x =，则19()3f -= ▲ ．8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b bc -=，sin 3sin C B =，则A = ▲ ．9．已知函数221,0(),0x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩≤，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值围是▲ ．10．若函数cos21tan (0)sin 22y θπθθθ+=+<<，则函数y 的最小值为 ▲ ．11．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于 ▲ ．12．已知数列{}n a 满足：111(1),1n n n a a a a ++=-=，数列{}n b 满足：1n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前10项的和10S = ▲ ．13．设ABC ∆的三个角A ,B ,C 所对应的边为a ,b ,c ，若A ,B ,C 依次成等差数列且222a c kb +=，则实数k 的取值围是 ▲ ． 14．已知函数2()()x af x x a -=+，若对于定义域的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <，则满足条件的实数a 的取值围是 ▲ ．二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知函数()33()x xf x λλ-=+⋅∈R（1）若()f x 为奇函数，求λ的值和此时不等式()1f x >的解集； （2）若不等式()6f x ≤对[0,2]x ∈恒成立，数λ的取值围．16．(本题满分14分)已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12log n n n b a a =，12n n S b b b =+++，求使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．17．(本题满分15分) 已知函数()2sin()cos 3f x x x π=+⋅．（1）若02x π≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()f A =2b =，3c =，求cos()A B -的值．18．(本题满分15分)如图，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量2BC =百米，1CD =百米，120BCD ∠=，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），EF 将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍，设EC x =百米，EF y =百米． （1）当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置； （2）试求x 的值，使路EF 的长度y 最短．BD19． (本题满分16分)已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n ∈N 满足1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足2120(*)n n n b b b n ++-+=∈N ，35b =，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a +≥，数a 的取值围；（3）将数列{},{}n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ⋅⋅⋅，求这个新数列的前n 项和n S ．20． (本题满分16分)已知32()31(0)f x ax x a =-+>，定义{}(),()()()max (),()(),()()f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧==⎨<⎩≥．（1）求函数()f x 的极值；（2）若()()g x xf x '=，且存在[1,2]x ∈使()()h x f x =，数a 的取值围； （3）若()ln g x x =，试讨论函数()h x (0)x >的零点个数．2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷数 学 (附加) 2016．11B ．(矩阵与变换)（本小题满分10分）已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 将点(1,3)-变换为(0,8)．（1）求矩阵M ；（2）求曲线320x y +-=在M 的作用下的新曲线方程．C ．(极坐标与参数方程)（本小题满分10分）已知平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos 2(,0)sin 2x r r y r θθθ=+⎧>⎨=+⎩为参数．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l πsin()104θ++=．（1）求圆C 的圆心的极坐标；（2）当圆C 与直线l 有公共点时，求r 的取值围．22．(本小题满分10分)某公司对新招聘的员工某进行综合能力测试，共设置了A 、B 、C 三个测试项目．假定某通过项目A 的概率为12，通过项目B 、C 的概率均为a (01)a <<，且这三个测试项目能否通过相互独立． （1）用随机变量X 表示某在测试过的项目个数，求X 的概率分布和数学期望()E X （用a 表示）； （2）若某通过一个项目的概率最大，数a 的取值围．23．(本小题满分10分)在如图所示的四棱锥S ABCD -中，底面ABCD ，90DAB ABC ︒∠=∠=，SA AB BC a ===，3AD a =(0)a >，E 为线段BS 上的一个动点．（1）证明：DE 和SC 不可能垂直；（2）当点E 为线段BS 的三等分点（靠近B ）时，求二面角S CD E --的余弦值．DBC2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．{|0}x x ≤≤1 2．2,10x x ax ∀∈++R 使≥ 3．(2,1]- 4．2 5．7 6．9 7．2- 8．3π9．1(,0]4-10．2 11．3 12．101113．(1,2] 14．0a ≥ 二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)解：（1）函数()33x x f x λ-=+⋅的定义域为R ．∵()f x 为奇函数，∴()()0f x f x -+=对x ∀∈R 恒成立，即3333(1)(33)0xxxxxxλλλ---+⋅++⋅=++=对x ∀∈R 恒成立，∴1λ=-． ．．．．．．．．．．3分 此时()331x x f x -=->即2(3)310x x -->，解得33)x x ><舍去， ．．．．．．．．．．6分 ∴解集为3{|log }2x x >． ．．．．．．．．．．7分（2）由()6f x ≤得336x x λ-+⋅≤，即363x xλ+≤，令3[1,9]x t =∈，原问题等价于6t tλ+≤对[1,9]t ∈恒成立，亦即26t t λ-+≤对[1,9]t ∈恒成立， ．．．．．．．．．．．10分令2()6,[1,9]g t t t t =-+∈，∵()g t 在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减，∴当9t =时，()g t 有最小值(9)27g =-，∴27λ-≤． ．．．．．．．．．14分 16．(本题满分14分)解：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴3242(2)a a a +=+， ．．．．．．．．1分 代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴21311820a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解之得122a q =⎧⎨=⎩或13212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， ．．．．．．．4分 ∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =． ．．．．．．．．．．6分（2）∵1122log 2log 22n n n n n n b a a n ===-⋅， ．．．．．．．．．．7分∴2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅， ……①)22)1(2221(S 2132+⋅+⋅-++⨯+⨯-=n n n n n ， ……②②-①得23122222n n n S n +=++++-⋅1112(12)222212n n n n n n +++-=-⋅=--⋅-． ．．．．．．．．．．12分∵1262n n S n ++⋅>，∴12262n +->，∴16n +>，5n >， ．．．．．．．．．13分∴使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为6． ．．．．．．．．．．14分17．(本题满分15分)解：（1）()(sin )cos f x x x x =+x x x 2cos 3cos sin +=1sin 2222x x =++sin(2)32x π=++． ．．．．．．．．2分由02x π≤≤得，423x πππ+≤≤，sin(2)13x π+≤，．．．．．．．4分∴0sin(2)1322x π+++≤≤，即函数)(x f 的值域为[0,12+． ．．．6分（2）由()sin(2)3f A A π=+=得sin(2)03A π+=， 又由02A π<<，∴42333A πππ<+<，∴23A ππ+=，3A π=． ．．．．．8分在ABC ∆中，由余弦定理2222cos =7a b c bc A =+-，得7=a ．．．．．．．10分由正弦定理sin a bA B=，得sin sin b A B a ==， ．．．．．．12分∵b a <，∴B A <，∴cos 7B =∴cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+12==．．．．．15分 18．(本题满分15分)解：（1）平行四边形ABCD 的面积为1212sin12032ABCDS=⨯⨯⨯=，当点F 与点D 重合时，13sin120CFE S CE CD ∆=⋅⋅=，∵14CFE ABCD S S ∆=1x =（百米），∴E 是BC 的中点． ．．．．3分 （2）①当点F 在CD 上时，∵011sin12024CFE ABCD S CE CF S ∆=⋅⋅==，∴1CF x=， ．．．．．．．．4分在三角形CDE 中，22202cos120EF CE CF CE CF =+-⋅⋅，∴y =，当且仅当1x =时取等号，此时E 在BC 中点处且F 与D 重合，符合题意； ．．．．．．．．．．．．．．8分 ②当点F 在DA 上时，∵()124ABCD CEFD x FD S S +===梯形1DF x =-， ．．．．．．．．．．9分 Ⅰ．当CE DF <时，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,12,60EG GF x EGF ==-∠=，由余弦定理得y ； Ⅱ．当CE DF ≥，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,21,120EG GF x EGF ==-∠=，由余弦定理得y =；由Ⅰ、Ⅱ可得y ．．．．．．．．．．．．13分∴当14x =时，min y =，此时E 在BC 的八等分点（靠近C ）处且34DF =（百米），符合题意； ．．．．14分 ∴由①②可知，当14x =（百米）时，路EF（百米） ． ．．．．15分19．(本题满分16分)解：（1）∵1112n n A A n n +-=+，∴数列n A n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，∴1111(1)222n A A n n n =+-⨯=+，即*(1)()2n n n A n +=∈N ，∴*11(1)(2)(1)1()22n n n n n n n a A A n n +++++=-=-=+∈N ，又11a =，∴*()n a n n =∈N ． ．．．．．．．．．．．．．3分 ∵2120n n n b b b ++-+=，∴ 数列{}n b 是等差数列，设{}n b 的前n 项和为n B ，∵3799()632b b B +==且35b =，∴79b =，∴{}n b 的公差为7395=17373b b --=--，*2()n b n n =+∈N ． ．．．．．．5分（2）由（1）知21122()22n n n n n b a n n c a b n n n n +=+=+=+-++， ∴12n n T c c c =+++1111122(1)3242n n n =+-+-++-+11122(1)212n n n =++--++11232()12n n n =+-+++，∴11232()12n T n n n -=-+++． ．．．．．．．．．．．．7分设1132()12n R n n =-+++，则11142()013(1)(3)n n R R n n n n +-=-=>++++， ∴数列{}n R 为递增数列， ．．．．．．．．．．．．．9分∴min 14()3n R R ==，∵对任意正整数n ，都有2n T n a -≥恒成立，∴43a ≤． ．．．．．．．．．．10分（3）数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n A +=，数列{}n b 的前n 项和(5)2n n n B +=．①当*2()N n k k =∈时，2(1)(5)322n k k k k k k S A B k k ++=+=+=+；②当*41()N n k k =+∈时，2+12(21)(22)2(25)22n k k k k k k S A B +++=+=+2481k k =++，特别地，当1n =时，11S =也符合上式；③当*41()N n k k =-∈时，2212(21)22(25)4422n k k k k k k S A B k k --+=+=+=+．综上：22213, 2 4263, 43465, 414n n n n k n n S n k n n n k ⎧+=⎪⎪+-⎪==-⎨⎪⎪++=-⎪⎩，*k ∈N ． ．．．．．．．．．．．16分 20．(本题满分16分)解：（1）∵函数32()31f x ax x =-+，∴2'()363(2)f x ax x x ax =-=-． ．．．．．．．．．．1分令'()0f x =,得10x =或22x=，∵0a >，∴12x x <，列表如下： ∴()f x 的极大值为(0)1f =，极小值为222()11f a a a a =-+=-．．．．．．．．3分（2）2363)()(x ax x f x x g -='=，∵存在[1,2]x ∈使()()h x f x =，∴()()f x g x ≥在[1,2]x ∈上有解，即32323136ax x ax x -+-≥在[1,2]x ∈上有解，即不等式3132a x x +≤在[1,2]x ∈上有解， ．．．．．．．．．．．．．4分 设233[1,32]131()x y x x x x +∈=+=，∵2433'0x y x --=<对[1,2]x ∈恒成立，∴313y x x =+在[1,2]x ∈上单调递减，∴当1x =时，313y x x=+的最大值为4，∴24a ≤，即2a ≤． ．．．．．．．．．7分（3）由（1）知，()f x 在(0,)+∞上的最小值为224()1f a a=-，①当2410a->，即2a >时，()0f x >在(0,)+∞上恒成立，∴()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上无零点． ．．．．．．．．．8分②当2410a-=，即2a =时，min ()(1)0f x f ==，又(1)0g =，∴()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上有一个零点． ．．．．．．．．．9分③当2410a-<，即02a <<时，设32()()()31ln x f x g x ax x x ϕ=-=-+-(01)x <<，∵211'()366(1)0x ax x x x x x ϕ=--<--<，∴()x ϕ在(0,1)上单调递减，又232123(1)20,()0a e a e e e ϕϕ-=-<=+>，∴存在唯一的01(,1)x e∈，使得0()0x ϕ=． Ⅰ．当00x x <≤时，∵0()()()()0x f x g x x ϕϕ=-=≥，∴()()h x f x =且()h x 为减函数，又0000()()()ln ln10,(0)10h x f x g x x f ===<==>，∴()h x 在0(0,)x 上有一个零点； Ⅱ．当0x x >时，∵0()()()()0x f x g x x ϕϕ=-<=，∴()()h x g x =且()h x 为增函数， ∵(1)0g =，∴()h x 在0(,)x +∞上有一个零点；从而()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上有两个零点． ．．．．．．．．．15分 综上所述，当02a <<时，()h x 有两个零点；当2a =时，()h x 有一个零点；当2a >时，()h x 有无零点． ．．．．．．．．．．16分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．(几何证明选讲，本小题满分10分)证明：连接AD ，∵AB 为圆的直径，∴AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，∴BD BE BA BF ⋅=⋅． ．．．．．．．．．．．．．5分 又ABC ∆∽AEF ∆， ∴AB AC AE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． ．．．．．10分B ．(矩阵与变换，本小题满分10分)解:（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由11811a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦及1038a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得883038a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得6244a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，∴6244M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）设原曲线上任一点(,)P x y 在M 作用下对应点'(',')P x y ，则'6244'x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'62'44x x y y x y =+⎧⎨=+⎩，解之得2''82'3'8x y x x y y -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩， 代入320x y +-=得'2'40x y -+=，即曲线320x y +-=在M 的作用下的新曲线方程为240x y -+=． ．．．．．．10分C ．(极坐标与参数方程，本小题满分10分)解：（1）由cos 2:sin 2x r C y r θθ=+⎧⎨=+⎩得222(2)(2)x y r -+-=， ∴曲线C 是以(2,2)为圆心，r 为半径的圆，∴圆心的极坐标为)4π． ．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由πsin()104l θ++=得:10l x y ++=， 从而圆心(2,2)到直线l的距离为d == ∵圆C 与直线l 有公共点，∴d r ≤，即r ．．．．．．．．．．10分 D ．(不等式选讲，本小题满分10分) 证明：∵2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2+≥2()1a b c d=+++=，．．．．．．．．．．．．5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d+++++++=，∴2222111115a b c da b c d+++++++≥．．．．．．．．．．．．．10分22．(本题满分10分)解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，3．022211(0)(1)C(1)(1)22P X a a==--=-；021222111(1)C(1)(1)C(1)(1)222P X a a a a==-+--=-；122222111(2)C(1)(1)C(2)222P X a a a a a==-+-=-；222211(3)C22P X a a===．从而X222211141()0(1)1(1)2(2)322222a aE X a a a a+=⨯-+⨯-+⨯-+⨯=．．．．．．．5分（2）221(1)(0)[(1)(1)](1)2P X P X a a a a=-==---=-，22112(1)(2)[(1)(2)]22aP X P X a a a-=-==---=，222112(1)(3)[(1)]22aP X P X a a-=-==--=．由2(1)0122122a aaa⎧⎪-⎪-⎪⎨⎪⎪-⎪⎩≥≥≥和01a<<，得12a<≤,即a的取值围是1(0,]2．．．．．10分23．(本题满分10分)解：（1）∵底面ABCD，90DAB︒∠=，∴AB、AD、AS两两垂直．以A为原点，AB、AD、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），．．．．．．．．．．．．．．．1分则(0,0,)S a ，(,,0)C a a ，(0,3,0)D a (0)a >，∵SA AB a ==且SA AB ⊥，∴设(,0,)E x a x -其中0x a ≤≤，∴(,3,)DE x a a x =--，(,,)SC a a a =-， ．．．．．．．．．．．．．．．．2分 假设DE 和SC 垂直，则0DE SC ⋅=，即2223240ax a a ax ax a --+=-=，解得2x a =，这与0x a ≤≤矛盾，假设不成立，所以DE 和SC 不可能垂直． ．．．．．．．．4分（2）∵E 为线段BS 的三等分点（靠近B ），∴21(,0,)33E a a ．设平面SCD 的一个法向量是1111(,,)n x y z =，平面CDE 的一个法向量是2222(,,)n x y z =， ∵(,2,0)CD a a =-，(0,3,)SD a a =-，∴1100n CD n SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112030ax ay ay az -+=⎧⎨-=⎩，即111123x y z y =⎧⎨=⎩，取1(2,1,3)n =， ．．．．．．．．．．．．6分 ∵(,2,0)CD a a =-，21(,3,)33DE a a a =-，∴2200n CD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即2222220213033ax ay ax ay az -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，即222225x y z y =⎧⎨=⎩，取2(2,1,5)n =， ．．．．．．．．．．．．8分 设二面角S CD E --的平面角大小为θ，由图可知θ为锐角，∴1212122105cos |cos ,|||||1430n n n n n n θ⋅=<>===⋅⋅ 即二面角S -CD -E 2105． ．．．．．．．．．．．．10分。

2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷 数学 2017.11注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置) 1．已知集合{1,2,3,4,5},{1,3},{2,3}U A B ===，则()U A B = ▲ ． 2．函数1ln(1)y x =-的定义域为 ▲ ．3．设命题:4p x >；命题2:540q x x -+≥，那么p 是q 的 ▲ 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．4．已知幂函数22*()m m y x m -=∈N 在(0,)+∞是增函数，则实数m 的值是 ▲ ． 5．已知曲线3()ln f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线的斜率为2，则实数a 的值是 ▲ ． 6．已知等比数列{}n a 中，32a =，4616a a =，则7935a a a a -=- ▲ ．7．函数sin(2)(0)2y x ϕϕπ=+<<图象的一条对称轴是12x π=，则ϕ的值是 ▲ ． 8．已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则不等式()01f x x >-的解集为 ▲ ．9．已知tan()24απ-=，则cos2α的值是 ▲ ．10．若函数8,2()log 5,2ax x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤(01)a a >≠且的值域为[6,)+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 11．已知数列{},{}n n a b 满足1111,1,(*)21n n n n a a b b n a +=+==∈+N ，则122017b b b ⋅⋅= ▲ ．12．设ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，D 为AB 的中点，若cos sin b a C c A =+且CD =则ABC △面积的最大值是 ▲ ．13．已知函数()sin()6f x x π=-，若对任意的实数5[,]62αππ∈--，都存在唯一的实数[0,]m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最小值是 ▲ ．14．已知函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨+⎩≤，若直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点(,()),(,()),A m f m B n f n(,())C t f t （其中m n t <<），则12n m++的取值范围是 ▲ ． 二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知函数1())(0,0)242f x ax b a b π=+++>>的图象与x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为2π． （1）求,a b 的值；（2）求()f x 在[0,]4π上的最大值和最小值．16．(本题满分14分)在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知sin sin sin ()B C m A m +=∈R ，且240a bc -=． （1）当52,4a m ==时，求,b c 的值； （2）若角A 为锐角，求m 的取值范围．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且满足11a =，*131()n n S S n +=+∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在数列{}n b 中，13b =，*11()n n n na b b n a ++-=∈N ，若不等式2n n a b n λ+≤对*n ∈N 有解，求实数λ的取值范围．18．(本题满分15分)如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米，CD 为3米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD 平行．当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）． （1）设MN 与AB 之间的距离为5(02x x <≤且1)x ≠米，试将通风窗的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数()y S x =；（2）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S 取得最大值？已知函数2()ln ,()f x x g x x x m ==--． （1）求过点(0,1)P -的()f x 的切线方程；（2）当0=m 时，求函数()()()F x f x g x =-在],0(a 的最大值；（3）证明：当3m ≥-时，不等式2()()(2)e x f x g x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立（其中e 为自然对数的底数,e 2.718...=）．20．(本题满分16分)已知数列{}n a 各项均为正数，11a =,22a =，且312n n n n a a a a +++=对任意*n ∈N 恒成立，记{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若33a =，求5a 的值；（2）证明：对任意正实数p ，221{}n n a pa -+成等比数列；（3）是否存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列．若存在，求出此时n a 和n S 的表达式；若不存在，说明理由．2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数 学 (附加) 2017.11注意事项：1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟． 2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲) （本小题满分10分）如图，AB 为圆O 的直径，C 在圆O 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交圆O 于E ，030AEC ∠=． （1）求证：AF FO =；（2）若CF =，求AD AE ⋅的值．B ．(矩阵与变换) （本小题满分10分）已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，42α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求49αA 的值．C ．(极坐标与参数方程) （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为42525x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为cos()(0)4a ρθπ-≠． （1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；（2）若圆C 任意一条直径的两个端点到直线l，求a 的值．D ．(不等式选讲) （本小题满分10分）设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y ++-+≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)B在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6,7,…,10的客人留下，其余的淘汰，第二轮放入1,2,…,5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3,4,5的客人留下，第三轮放入1,2,3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2,3的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏． （1）求甲拿到礼物的概率；（2）设ξ表示甲参加游戏的轮数．．，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．23．(本小题满分10分)（1）若不等式(1)ln(1)x x ax ++≥对任意[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围； （2）设*n ∈N ，试比较111231n ++++与ln(1)n +的大小，并证明你的结论． 2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．{1} 2．(1,2)(2,)+∞ 3．充分不必要 4．1 5．136．4 7．3π8．(2,0)(1,2)- 9．45- 10．(1,2]11．12018 121 13．2π14．1(1,e )e +二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)解：（1）∵()f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为2π， ∴()f x 的周期为2π，∴202||2a a ππ=>且，······································································2分 ∴2a =，··················································································································4分此时1())242f x x b π=+++， 又∵()f x 的图象与x 轴相切，∴1||022b b +=>，·······················································6分∴12b =-；··········································································································8分 （2）由（1）可得())4f x x π=+， ∵[0,]4x π∈，∴4[,]444x ππ5π+∈，∴当444x π5π+=，即4x π=时，()f x有最大值为12；·················································11分 当442x ππ+=，即16x π=时，()f x 有最小值为0．························································14分16．(本题满分14分)解：由题意得b c ma +=，240a bc -=．···············································································2分（1）当52,4a m ==时，5,12b c bc +==， 解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；································································································6分 （2）2222222222()()22cos 23222a ma abc a b c bc a A m a bc bc--+-+--====-，····························8分 ∵A 为锐角，∴2cos 23(0,1)A m =-∈，∴2322m <<，····················································11分 又由b c ma +=可得0m >，·························································································13分m <<·····································································································14分 17．(本题满分15分)解：（1）∵*131()n n S S n +=+∈N ，∴*131(,2)n n S S n n -=+∈N ≥，∴*13(,2)n n a a n n +=∈N ≥，·························································································2分 又当1n =时，由2131S S =+得23a =符合213a a =，∴*13()n n a a n +=∈N ，······························3分 ∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为1*3()n n a n -=∈N ；·····················5分 （2）∵*113()n n n na b b n a ++-==∈N ，∴{}n b 是以3为首项，3为公差的等差数列，····················7分 ∴*33(1)3()n b n n n =+-=∈N ，·····················································································9分∴2n n a b n λ+≤，即1233n n n λ-⋅+≤，即2133n n nλ--≤对*n ∈N 有解，··································10分 设2*13()()3n n nf n n --=∈N ， ∵2221(1)3(1)32(41)(1)()333n n nn n n n n n f n f n -+-+---++-=-=， ∴当4n ≥时，(1)()f n f n +<，当4n <时，(1)()f n f n +>， ∴(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f <<<>>>，∴max 4[()](4)27f n f ==，···························································································14分 ∴427λ≤．·············································································································15分 18．(本题满分15分)解：（1）当01x <≤时，过A 作AK CD ⊥于K （如上图），则1AK =，122CD AB DK -==，1HM x =-， 由2AK MH DK DH ==，得122HM x DH -==， ∴322HG DH x =-=+，∴2()(1)(2)2S x HM HG x x x x =⋅=-+=--+；·······························································4分 当512x <<时，过E 作ET MN ⊥于T ，连结EN （如下图）， 则1ET x =-，22239(1)(1)224MN TN x x ⎛⎫==---- ⎪⎝⎭∴292(1)4MN x =-- ∴29()2(1)(1)4S x MN ET x x =⋅=---，······································································8分 综上：222,01()952(1)(1)142x x x S x x x x ⎧--+<⎪=⎨---<<⎪⎩≤；·································································9分 （2）当01x <≤时，2219()2()24S x x x x =--+=-++在[0,1)上递减， ∴max ()(0)2S x S ==；································································································11分2︒当512x <<时，2229(1)(1)994()2(1)(1)2424x x S x x x -+--=---⋅=≤，当且仅当(1)x -=51(1,)42x =+∈时取“=”， ∴max 9()4S x =，此时max 9()24S x =>，∴()S x 的最大值为94，············································14分 答：当MN 与AB之间的距离为14+米时，通风窗的通风面积S 取得最大值．····················15分 19．(本题满分16分)解：（1）设切点坐标为00(,ln )x x ，则切线方程为0001ln ()y x x x x -=-， 将(0,1)P -代入上式，得0ln 0x =，01x =，∴切线方程为1y x =-；·······························································································2分 （2）当0m =时，2()ln ,(0,)F x x x x x =-+∈+∞， ∴(21)(1)(),(0,)x x F x x x+-'=-∈+∞，············································································3分 当01x <<时，()0F x '>，当1x >时，()0F x '<，∴()F x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减，·············································································5分 ∴当01a <≤时，()F x 的最大值为2()ln F a a a a =-+；当1a >时，()F x 的最大值为(1)0F =；········································································7分 （3）2()()(2)e x f x g x x x +<--可化为(2)e ln x m x x x >-+-，设1()(2)e ln ,[,1]2x h x x x x x =-+-∈，要证3m ≥-时()m h x >对任意1[,1]2x ∈均成立， 只要证max ()3h x <-，下证此结论成立．∵1()(1)(e )x h x x x'=--，∴当112x <<时，10x -<，·······················································8分 设1()e x u x x =-，则21()e 0x u x x '=+>，∴()u x 在1(,1)2递增，又∵()u x 在区间1[,1]2上的图象是一条不间断的曲线，且1()202u <，(1)e 10u =->，∴01(,1)2x ∃∈使得0()0u x =，即001e x x =，00ln x x =-，····················································11分 当01(,)2x x ∈时，()0u x <，()0h x '>；当0(,1)x x ∈时，()0u x >，()0h x '<； ∴函数()h x 在01[,]2x 递增，在0[,1]x 递减，∴0max 00000000012()()(2)e ln (2)212x h x h x x x x x x x x x ==-+-=-⋅-=--，····························14分 ∵212y x x =--在1(,1)2x ∈递增，∴0002()121223h x x x =--<--=-，即max ()3h x <-，∴当3m ≥-时，不等式2()()(2)e x f x g x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立．··························16分 20．(本题满分16分)解：（1）∵1423a a a a =，∴46a =，又∵2534a a a a =，∴54392a a ==；·······································2分（2）由3121423n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=⎧⎨=⎩，两式相乘得2134123n n n n n n n a a a a a a a ++++++=，∵0n a >，∴2*42()n n n a a a n ++=∈N ，从而{}n a 的奇数项和偶数项均构成等比数列，···································································4分 设公比分别为12,q q ，则1122222n n n a a q q --==，1121111n n n a a q q ---==，······································5分 又∵312=n n n n a a a a +++，∴42231122a a qa a q ===，即12q q =，···························································6分 设12q q q ==，则2212223()n n n n a pa q a pa ---+=+，且2210n n a pa -+>恒成立，数列221{}n n a pa -+是首项为2p +，公比为q 的等比数列，问题得证；····································8分 （3）法一：在（2）中令1p =，则数列221{}n n a a -+是首项为3，公比为q 的等比数列，∴22212223213 ,1()()()3(1),11k k k k k k k q S a a a a a a q q q---=⎧⎪=++++++=-⎨≠⎪-⎩， 12122132 ,13(1)2,11k k k k k k k q q S S a q q q q ---⎧-=⎪=-=⎨--≠⎪-⎩，·····································································10分 且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去），·························································································13分∴224121k k k S =-=-，212121k k S --=-，从而对任意*n ∈N 有21n n S =-，此时2n n S t +=，12n n S t S t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列， 当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，又11a =，∴1*2()n n a n -=∈N ，综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ．······················16分 法二：由（2）知，则122n n a q -=，121n n a q --=，且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去），·······················································································11分∴121222n n n a q --==，22212n n a --=，从而对任意*n ∈N 有12n n a -=，····································13分 ∴01211222222112n n n n S --=++++==--， 此时2n n S t +=，12n n S t S t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列， 综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ．······················16分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．(几何证明选讲，本小题满分10分)解：（1）证明 ：连接,OC AC ，∵030AEC ∠=，∴0260AOC AEC ∠=∠=，又OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形，∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线，∴AF FO =；······································································5分B（2）解：连接BE ，∵CF ，AOC ∆是等边三角形，∴可求得1AF =，4AB =，∵AB 为圆O 的直径，∴90AEB ∠=，∴AEB AFD ∠=∠，又∵BAE DFA ∠=∠，∴AEB ∆∽AFD ∆，∴AD AF AB AE=， 即414AD AE AB AF ⋅=⋅=⨯=．··················································································10分B ．(矩阵与变换，本小题满分10分)解：矩阵A 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----， 令()0f λ=，解得矩阵A 的特征值121,3λλ=-=，····························································2分当11λ=-时特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，当23λ=时特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，·····································6分 又∵12432ααα⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦，······························································································8分 ∴5049494911225031331αλαλα⎡⎤-=+=⎢⎥+⎣⎦A ．···········································································10分C ．(极坐标与参数方程，本小题满分10分)解：（1）直线l 的普通方程为220x y +-=；··········································································3分圆C 的直角坐标方程为222()()222a a a x y -+-=；·······························································6分 （2）∵圆C 任意一条直径的两个端点到直线l∴圆心C 到直线l|2|a a +-，·······················································8分 解得3a =或13a =-．·······························································································10分D ．(不等式选讲，本小题满分10分)证：∵0,0,0x y x y >>->， ∴22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-21()()3()x y x y x y =-+-+=-≥，。

2017-2018学年苏州市高三上学期期末数学试卷 1.已知i 为虚数单位,复数z=23−23i 的模为_________. 2.已知集合A={1,2a},B={-1,1,4},且A ⊆B,则正整数a =_________. 3.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y 2=-8x 的焦点坐标为__________. 4.苏州轨道交通1号线每5分钟一班,其中,列车在车站停留0.5分钟,假设乘客到达站台的时刻是随机的,则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为_______.5.已知4a=2, log a x=2a,则正实数x=_________.6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，右边的流程图是秦九韶算法的一个实例。

若输入n ，x 的值分别为3，3.则输出v 的值为_________.7.已知变量x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+≤≤03030y x y x x ,则z=2x-3y 的最大值为_________.8.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且81936-=S S ,a 4-a 2=815-,则a 3的值为__________.9. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，若正四棱柱体的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为__________（容器壁的厚度忽略不计,结果保留π）10.如图,两座建筑物AB,CD 的高度分别是9m 和15m,从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角∠CAD=45°,则这两座建筑物AB 和CD 底部之间的距离BD=________m11.在平面直角坐标系xOy 中,已知过点A(2,-1)的圆C 和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x 上,则圆C 的标准方程为_____________. 12.已知正实数a,b,c 满足,111,111=++=+cb a b a 则c 的取值范围是____________. 13.如图△ABC 为等腰三角形,∠BAC=120°,AB=AC=4,以A 为圆心,1为半径的圆分别交AB,AC 于点E,F ，点P 是劣弧上的一点,则⋅的取值范围是__________. 14.已知直线y=a 分别与直线y=2x-2,曲线y=2e x+x 交于点A,B,则线段AB 长度的最小值为_________.三、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出字说明、证明过程或演算步骤15 (本小题满分14分)已知函数f(x)=(3cosx+sinx)2-23sin2x:(1)求函数f(x)的最小值,并写出f(x)取得最小值时自变量x 的取值集合 (2)x ∈[2π-,2π],求函数f(x)的单调增区间16(本小题满分14分)如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知E,F,G,H 分别是A 1D 1,B 1C 1,D 1D,C 1C 的中点 (1)求证:EF ∥平面ABHG;(2)求证:平面ABHG ⊥平面CFF.17.(本小题满分14分)如图,B,C 分别是海岸线上的两个城市,两城市间由笔直的海滨公路相连,B,C 之间的距离为100km,海岛A 在城市B 的正东方50km 处,从海岛A 到城市C,先乘船按北偏西θ角(α<θ≤2π,其中锐角α的正切值为21)航行到海岸公路P 处登陆,再换乘汽车到城市C.已知船速为25km/h,车速为75km/h(1)试建立由A 经P 到C 所用时间与θ的函数解析式 (2)试确定登陆点P 的位置,使所用时间最少,并说明理由.18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C:22a x +22by =1(a>b>0)的离心率为22,椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2-1)(1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知过点M(0,-1)的动直线l 与椭圆C 交于A,B 两点,试判断以AB 为直径的圆是否恒过定点,并说明理由.19.(本小题满分16分)已知各项是正数的数列{a n }的前n 项和为S n.(1)若S n +S n-1=322+n a (n ∈N*,n ≥2),且a 1=2 ①求数列{a n }的通项公式; ②若S n ≤12+⋅n λ对任意n ∈N*恒成立,求实数λ的取值范围;(2)数列{a n }是公比为q(q>0,q ≠1)的等比数列,且{a n }的前n 项积为10.若存在正整数k,对任意n ∈N*,使得knn k T T )1(+为定值,求首项1a 的值.20. (本小题满分16分)已知函数⎩⎨⎧≥-<+-=0,0,)(23x ax e x x x x f x(1)当2=a 时求函数)(x f 单调区间;(2)若方程3)()(-=+-x e x f x f 在区间),0(+∞上有实数解，求实数a 的取值范围; (3)若存在实数]2,0[,∈n m ,且1||≥-n m ,使得)()(n f m f =求证;e ea≤-≤11.21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题．．．．．．,．并在．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)如图,AB,AC 与圆O 分别切于点B,C,点P 为圆O 上异于点B,C 的任意一点,PD ⊥AB 于点D,PE ⊥AC 于点E,PF ⊥BC 于点F. 求证:PF 2=PD ·PEB.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)已知M=⎢⎣⎡21⎥⎦⎤12,β=⎥⎦⎤⎢⎣⎡71 求M 4βC.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y tx 31(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为θθρ2sin cos 2=,若直线l 与曲线C 相交于A,B两点,求△AOB 的面积.D.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)已知a,b,c ∈R,a 2+b 2+c 2=1,若|x-1|+|x+1|≥(a-b+c)2对一切实数a,b,c 恒成立,求实数x 的取值范围[必做题]第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22(本小题满分10分)如图,已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB,且 AB=BP=2,AD=AE=1,AE ⊥AB,且AE ∥BP(1)求平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角的余弦值(2)线段PD 上是否存在一点N,使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于52?若存在,试确定点N 的位置;若不存在,请说明理由23(本小题满分10分)在正整数集上定义函数y=f(n),满足f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],且f(1)=2 (1)求证:f(3)-f(2)=109; (2)是否存在实数a,b,使f(n)=1)23(1+--ba n ,对任意正整数n 恒成立,并证明你的结论.。

江苏苏州市2018届高三上学期数学期中试卷（含解析）2017-2018学年江苏省苏州市高三上学期期中调研一、填空题：共14题1.已知集合,则_____．【答案】【解析】由题意,得2.函数的定义域为_____．【答案】【解析】x应该满足：，解得：∴函数的定义域为故答案为：3.设命题;命题,那么p是q的____条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．【答案】充分不必要【解析】命题q：x2﹣5x+4≥0&#8660;x≤1，或x≥4，∵命题p：x＞4；故p是q的：充分不必要条件，故答案为：充分不必要4.已知幂函数在是增函数,则实数m的值是_____．【答案】1【解析】∵幂函数在是增函数∴，解得：故答案为：15.已知曲线在处的切线的斜率为2,则实数a的值是_____．【答案】【解析】f′（x）=3ax2+，则f′（1）=3a+1=2，解得：a=，故答案为：．点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略（1）已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．（2）已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.（3）求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．6.已知等比数列中,,则_____．【答案】4【解析】设等比数列的公比是q，由a3=2，a4a6=16得，a1q2=2，a1q3a1q5=16，则a1=1，q2=2，∴，故答案为：4．7.函数图象的一条对称轴是,则的值是_____．【答案】【解析】因为函数图象的一条对称轴是,所以,又因为,则,即,解得8.已知奇函数在上单调递减,且,则不等式的解集为_____．【答案】【解析】∵函数f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上单调递减，∴f（x）在（0，+∞）上也单调递减，又∵函数f（x）为奇函数且f（2）=0，∴f（﹣2）=﹣f （2）=0∴不等式等价于①或②解得：x∈（﹣2，0）∪（1，2），故答案为：（﹣2，0）∪（1，2）．9.已知,则的值是_____．【答案】【解析】因为,所以====10.若函数的值域为,则实数a的取值范围是_____．【答案】【解析】当时,,则由题意,得当时,成立,则为增函数,且,即11.已知数列满足,则_____．【答案】【解析】∵，，∴，，∴，，归纳猜想：∴故答案为：12.设的内角的对边分别是,D为的中点,若且,则面积的最大值是_____．【答案】【解析】因为,所以,即,即,即,又因为D为的中点,且,所以,即,即,则,则面积的最大值是点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13.已知函数,若对任意的实数,都存在唯一的实数,使,则实数的最小值是___．【答案】【解析】因为,所以,则,因为对任意的实数,都存在唯一的实数,使,所以在上单调,且,则,则,所以,即实数的最小值是点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于的值域；的值域与的值域交集非空。

2017-2018学年江苏省常州市武进区高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）已知P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，则P∪Q=．2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）设x∈R，则“3﹣x≥0”是“|x﹣1|≤2”的条件．（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空）4．（5分）已知数列{a n}中，，对n∈N*都有成立，则a2018的值为．5．（5分）已知向量，，且，则实数m的值为．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，B=120°，则角C等于．7．（5分）等比数列{a n}中，a1+a2+a3=1，公比，其前n项的和为S n，则S15=．8．（5分）已知锐角α的终边上一点P（1+cos80°，sin80°），则锐角α=．9．（5分）函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是．10．（5分）已知，且sinx﹣cosx=，则4sinxcosx﹣cos2x的值为．11．（5分）设函数，则满足f（x）+f（x﹣1）≥2的x的取值范围是．12．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y=2，则的最大值为．13．（5分）已知点P为矩形ABCD所在平面上一点，若，，，则=．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，点列P n（n=1，2，…）在△ABC内部，且△P n AB与△P n AC的面积比为2：1，若对n∈N*都存在数列{b n}满足，则a4的值为．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）如图为函数y=f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）图象的一部分，其中点是图象的一个最高点，点是与点P相邻的图象与x轴的一个交点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g （x）的单调递增区间．16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，1），C（2，0），点P是平面直角坐标系xOy上一点，且=m（m，n∈R），（1）若m=1，且∥，试求实数n的值；（2）若点P在△ABC三边围成的区域（含边界）上，求m+3n的最大值．17．（14分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+x2．（1）求f（x）在R上的解析式；（2）当x∈[m，n]（0＜m＜n）时，若 f （x）的值域为[3m2+2m﹣1，3n2+2n ﹣1]，求实数m，n的值．18．（16分）某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．19．（16分）在数列{a n}中，，，，其中n∈N*．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）设c n=b n b n+1cosnπ，n∈N*，数列{c n}的前n项和为T n，若当n∈N*且n为偶数时，恒成立，求实数t的取值范围；（3）设数列{a n}的前n项的和为S n，试求数列{S2n﹣S n}的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=ax2+（2a﹣1）x﹣lnx，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（2，11），求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间（2，3）上单调，求实数a的取值范围；（3）设，若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，π]，使得f（x1）+g（x2）≥2成立，求整数a的最小值．2017-2018学年江苏省常州市武进区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）已知P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，则P∪Q=（﹣1，2）．【解答】解：∵P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，∴P∪Q=（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）．2．（5分）函数的最小正周期为π．【解答】解：函数，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π3．（5分）设x∈R，则“3﹣x≥0”是“|x﹣1|≤2”的必要不充分条件．（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空）【解答】解：“3﹣x≥0”⇔“x≤3”，“|x﹣1|≤2”⇔“﹣1≤x≤3”故“3﹣x≥0”是“|x﹣1|≤2”必要不充分条件，故答案为：必要不充分4．（5分）已知数列{a n}中，，对n∈N*都有成立，则a2018的值为．【解答】解：根据题意，，则a2==，则a3==，a4==，分析可得：a1=a3=a5=…a2n﹣1=，a2=a4=a6=…a2n=，则a2018=；故答案为：．5．（5分）已知向量，，且，则实数m的值为3．【解答】解：根据题意，向量，，若，则•=（﹣2）m+6=6﹣2m=0，解可得m=3；故答案为：3．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，B=120°，则角C等于30°．【解答】解：∵，，B=120°，由正弦定理：，可得sinC=∵c＜b，0＜C＜π∴B＞C，则C=30°．故答案为：30°．7．（5分）等比数列{a n}中，a1+a2+a3=1，公比，其前n项的和为S n，则S15= 31．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a1+a2+a3=1，公比，∴=1，解得a1=，∵其前n项的和为S n，∴S15===31．故答案为：31．8．（5分）已知锐角α的终边上一点P（1+cos80°，sin80°），则锐角α=40°．【解答】解：∵锐角α的终边上一点P（1+cos80°，sin80°），则tanα===tan40°，∴锐角α=40°．故答案为：40°．9．（5分）函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【解答】解：∵函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，∴函数y=f（x）在[0，+∞上是减函数，由偶函数将f（a）≤f（2）等价于f（|a|）≤f（2），∴|a|≥2，解得a≤﹣2或a≥2，故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．10．（5分）已知，且sinx﹣cosx=，则4sinxcosx﹣cos2x的值为．【解答】解：∵，且sinx﹣cosx=，①两边平方可得：1﹣2sinxcosx=，解得：2sinxcosx=，∴sinx+cosx===，②∴由①②解得：sinx=，cosx=，∴4sinxcosx﹣cos2x=4×﹣（）2=．故答案为：．11．（5分）设函数，则满足f（x）+f（x﹣1）≥2的x的取值范围是．【解答】解：∵函数，满足f（x）+f（x﹣1）≥2，当x≤0时，x﹣1≤﹣1，f（x）+f（x﹣1）=2x+1+2（x﹣1）+1=4x≥2，解得x，不成立；当，即0＜x≤1时，f（x）+f（x﹣1）=4x+2（x﹣1）+1=4x+2x﹣1≥2，解得；当x﹣1＞0时，f（x）+f（x﹣1）=4x+4x﹣1≥2，解得x＞1．综上，x的取值范围是[）．故答案为：．12．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y=2，则的最大值为．【解答】解：根据题意，=2x﹣+=（2x+y+1）﹣（+）﹣2=1﹣（+），而+=（+）（2x+y+1）=（3++）=1+（+）≥1+（2）=1+，即+≥1+，则≤1﹣（1+）=；故答案为：．13．（5分）已知点P为矩形ABCD所在平面上一点，若，，，则=．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；设P（x，y），A（0，b），B（a，b），C（a，0）；由，，，得x2+（y﹣b）2=1①；（x﹣a）2+（y﹣b）2=4②；（x﹣a）2+y2=9③；②﹣①得，（x﹣a）2﹣x2=3④；③﹣④得，x2+y2=6；∴==．故答案为：．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，点列P n（n=1，2，…）在△ABC内部，且△P n AB与△P n AC的面积比为2：1，若对n∈N*都存在数列{b n}满足，则a4的值为80．【解答】解：在BC上取点D，使得BD=2CD，则P n在线段AD上．∵，∴﹣a n+1=b n+（3a n+2）=b n（﹣）+（3a n+2）（﹣），∴（﹣a n+1﹣b n﹣3a n﹣2）=﹣b n﹣（3a n+2）=﹣b n﹣（3a n+2），∵A，P n，D三点共线，∴﹣a n+1﹣b n﹣3a n﹣2=﹣b n﹣（3a n+2），即a n+1=3a n+2．∴a2=3a1+2=8，a3=3a2+2=26，a4=3a3+2=80．故答案为：80．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）如图为函数y=f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）图象的一部分，其中点是图象的一个最高点，点是与点P相邻的图象与x轴的一个交点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g （x）的单调递增区间．【解答】解：（1）由函数y=f（x）=Asin（ωx+φ）的图象知A=2，…（2分）又，∴，；…（4分）又∵点是函数图象y=f（x）的一个最高点，则，∴，∵|φ|＜π，∴，…（6分）∴；…（7分）（2）由（1）得，，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到，…（9分）再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的（纵坐标不变），得到，…（11分）由，解得，∴g（x）的单调增区间是．…（14分）16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，1），C（2，0），点P是平面直角坐标系xOy上一点，且=m（m，n∈R），（1）若m=1，且∥，试求实数n的值；（2）若点P在△ABC三边围成的区域（含边界）上，求m+3n的最大值．【解答】解：（1）由题设知：，，…（2分）∵m=1，所以：，…（4分）又∵，，∴2+3n=﹣1，得n=﹣1，所以，满足题意的实数n=﹣1．…（6分）（2）设P（x，y），…（8分）∴令：，∴，∴m+3n=x﹣y，…（11分）令z=x﹣y，由图知，当直线y=x﹣z过点C（2，0）时，z取得最大值2，故m+3n的最大值为2．…（14分）17．（14分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+x2．（1）求f（x）在R上的解析式；（2）当x∈[m，n]（0＜m＜n）时，若 f （x）的值域为[3m2+2m﹣1，3n2+2n ﹣1]，求实数m，n的值．【解答】解：（1）当x＞0时，f（x）=x3+x2，故当x＜0时，则﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）2=﹣x3+x2，由于f（x）是奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣x2，…（3分）又f（0）=0，…（4分）故当x∈R时，．…（6分）（2）∵当x＞0时，f（x）=x3+x2，∴f'（x）=3x2+2x＞0，∴f（x）在[m，n]上单调递增，…（8分）∴∴，∴m，n为x3﹣2x2﹣2x+1=0的两个正实数根，…（10分）∵x3﹣2x2﹣2x+1=（x+1）（x2﹣3x+1），∴m，n为x2﹣3x+1=0的两个正实数根，…（12分）又由题意可知：0＜m＜n，∴，．…（14分）18．（16分）某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．【解答】解：（1）由题可知2（14﹣x）+（14+x）θ=36，所以．（2）花坛的面积为，装饰总费用为4×2（14﹣x）+16×（14+x）θ=24（x+10），所以花坛的面积与装饰总费用之比为，令t=x+10，t∈（10，24），则，当且仅当t=12取等号，此时x=2，，故花坛的面积与装饰总费用之比为，且y的最大值为．19．（16分）在数列{a n}中，，，，其中n∈N*．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）设c n=b n b n+1cosnπ，n∈N*，数列{c n}的前n项和为T n，若当n∈N*且n为偶数时，恒成立，求实数t的取值范围；（3）设数列{a n}的前n项的和为S n，试求数列{S2n﹣S n}的最大值．【解答】解：（1）证明：∵，∴，∴数列{b n}是公差为1的等差数列；（2）由（1）可知，，故b n=n．因为，所以T n=c1+c2+…+c n=，当n∈N*且n为偶数时，设n=2m，m∈N*，则=b2（﹣b1+b3）+b4（﹣b3+b5）+…+b2m（﹣b2m﹣1+b2m+1）=2（b2+b4+…+b2m）=4（1+2+…+m）=，要使对n∈N*且n为偶数恒成立，只要使对n∈N*且n为偶数恒成立，即使对n为正偶数恒成立，∵，∴t≥1，故实数t的取值范围是[1，+∞）；（3）由（1）得，∴，∴，∴，设，∴，∴=，∴当n=1时，，即M1＜M2，当n≥2时，M n﹣M n＜0，即M2＞M3＞M4＞…，∴+1，因此数列{S2n﹣S n}的最大值为．20．（16分）已知函数f（x）=ax2+（2a﹣1）x﹣lnx，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（2，11），求实数a的值；（2）若函数f（x）在区间（2，3）上单调，求实数a的取值范围；（3）设，若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，π]，使得f（x1）+g（x2）≥2成立，求整数a的最小值．【解答】解：（1）由题意得，，∴f'（1）=2（2a﹣1），∵f（1）=3a﹣1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2（2a﹣1）（x﹣1）+3a﹣1，代入点（2，11），得a=2．（2）∵，∴若函数f（x）在区间（2，3）上单调递增，则y=2ax﹣1≥0在（2，3）恒成立，∴，得；若函数f（x）在区间（2，3）上单调递减，则y=2ax﹣1≤0在（2，3）恒成立，∴，得，综上，实数a的取值范围为；（3）由题意得，f min（x）+g max（x）≥2，∵，∴，即，由，当a≤0时，∵f（1）＜0，则不合题意；当a ＞0时，由f'（x ）=0，得或x=﹣1（舍去），当时，f'（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当时，f'（x ）＞0，f （x ）单调递增．∴，即，整理得，，设，∴，∴h （x ）单调递增，∵a ∈Z ，∴2a 为偶数， 又∵，，∴2a ≥4，故整数a 的最小值为2．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xfxfx①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。