第三章 证明(三)

九年级讲义7 第三章《证明（三）》梯形、三角形的中位线一．知识点梳理：1．定义：一组对边平行，另一组对边 的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫 ．一腰和底垂直的梯形叫做 ． 2．等腰梯形的性质：（1）边：等腰梯形的上、下两底 ； （2）角：等腰梯形同一底上的两个角 ； （3）对角线：等腰梯形的两条对角线 ； （4）对称性：等腰梯形是 图形； 3．等腰梯形的判定：①同一底上的两个角 的梯形是等腰梯形． ②对角线 的梯形是等腰梯形． 4．三角形的中位线：连接三角形 的线段叫做三角形的中位线；性质：三角形的中位线 于第三边，并且等于第三边的 ； 5.中点四边形：（1）顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是 ； （2）顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是 ； （3）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是 ； （4）顺次连接菱形各边中点所得的四边形是 ； （5）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 ； （6）顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是 ； 二．典型例题：1．下列说法正确的是（ ）A ．平行四边形是一种特殊的梯形B ．等腰梯形的两底角相等C ．等腰梯形不可能是直角梯形D ．有两邻角相等的梯形是等腰梯形 2．等腰梯形上、下底差等于一腰的长，那么腰与下底的夹角是（ ） A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°3．如图，在梯形ABCD 中，边AB 与CD 平行，对角线BD 与边AD 的长相等．若DCB ∠＝110°，30=∠CBD °，那么ADB ∠等于（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．110°4．在梯形ABCD 中，两底cm 14=AB ，cm 6=DC ．两底角30=∠A °，B ∠＝60°，则腰BC 的长为（ ）A ．8cmB ．6cmC ．4cmD ．3cm5．顺次连结等腰梯形四边中点，所成的四边形是（ ）A ．梯形B ．矩形C ．平行四边形D ．菱形6．已知三角形的三边长分别为12cm 、16cm 、20cm,则它的中位线构成的三角形的周长与面积分别为_____________ 和___________.第4题 第3题DE FPBAC DBCAEF7．如图，四形ABCD 中，对角线相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AD ，BD ， BC ，AC 的中点。

第三章 域 论§1 子域与扩域1.证明子域的交仍是子域.证明 设I i i F ∈}{是域F 的一族子域.显然i I i F ∈∈ 1.其次,设i I i F b a ∈∈ ,.于是,i F b a ∈,,I i ∈∀,从而,i F ab b a ∈-,,I i ∈∀;当0≠a 时,i F a ∈-1,I i ∈∀.因此i I i F ab b a ∈∈- ,;当0≠a 时,i I i F a ∈-∈ 1.所以i I i F ∈ 是域F 的子域.2.设域F 的特征为p ,对于任意的F b a ∈,,证明:(1)n n n p p p b a b a +=+)(;(2)∑-=---=-1011)(p i i p i p b a b a .证明 (1)由于域是整环,根据第二章§5习题第12题,我们有n n n p p p p p b a b a b a +=+=+)(.(2)当b a =时,我们有01101==--=--∑p p i i p i pa b a . 因此∑-=---=-1011)(p i i p i p b a b a .当b a ≠时,我们有p p p p i i p i b a b a b a b a )()(101-=-=-∑-=--.因为0≠-b a ,根据消去律,由上式可得∑-=---=-1011)(p i i p i p b a b a .3.证明Q 和p Z (p 是素数)都是素域.证明 设F 是Q 的子域.于是,F ∈1,从而,F ⊆Z .由于F 是域,因此当Z ∈n m ,且0≠n 时,F nm ∈,从而,Q =F .这就表明Q 是素域. 设F 是p Z 的子域.于是,加群F 是加群p Z 的子群,从而,p F |||.由F 是域可知,2||≥F .因为p 是素数,所以p F =||,从而,p F Z =.这就表明p Z 是素域.4.在)2(3Q 中,求33421++(关于乘法)的逆元.证明 由于11)2()12)(421(33333=-=-++,因此33421++的逆元为123-.5.证明)32()3,2(+=Q Q .证明 显然)3,2(32Q ∈+,因此)3,2()32(Q Q ⊆+.另一方面,由于1)23)(23(=-+,因此)32(23+∈-Q .这样一来,注意到))23()23((213-++=,))23()23((212--+=, 可以断言)32(3,2+∈Q ,从而,)32()3,2(+⊆Q Q .所以)32()3,2(+=Q Q . 6.设E 是域F 的扩域且]:[F E 是素数,证明:F 与E 之间没有非平凡的中间域. 证明 假设L 是F 与E 的中间域.根据定理1.9,]:][:[]:[F L L E F E =.由于]:[F E是素数,因此1]:[=L E 或1]:[=F L ,E L =或F L =.这就是说,F 与E 之间没有非平凡的中间域.7.设E 是域F 的扩域且]:[F E 是素数,F E α\∈,证明:)(αF E =.证明 由F E α\∈可知,)(αF 是F 与E 的中间域且)(αF F ≠.因为]:[F E 是素数,根据上题,F 与E 之间没有非平凡的中间域.所以)(αF E =.§2 单扩域1.证明:)1/(][)(2+≅x x i Q Q .证明 这里给出两种证法.证法一:定义][x Q 到][i Q 的映射φ如下:)())((i f x f φ=,][)(x x f Q ∈∀.显而易见,φ是环][x Q 到环][i Q 的满同态,从而,)Ker()(φi ≅Q .此外,我们有0)()(0)()Ker()(=-=⇔=⇔∈i f i f i f φx f)1()()(|122+∈⇔+⇔x x f x f x ,][)(x x f Q ∈∀,从而,)1()Ker(2+=x φ.所以)1/(][)(2+≅x x i Q Q .证法二:令)1(2+=x N ,定义][i Q 到)1/(][2+x x Q 的映射φ如下:对于任意的][i bi a Q ∈+(其中Q ∈b a ,),N bx a bi a φ++=+)(.显然,φ是域][i Q 到域)1/(][2+x x Q 的单同态.其次,对于任意的][)(x x f Q ∈,根据带余出发,存在][)(),(x x r x q Q ∈,使得)()1)(()(2x r x x q x f ++=,其中,0)(=x r 或者2))(deg(<x r .不妨设dx c x r +=)(,其中Q ∈d c ,.于是,N x f N dx c di c φ+=++=+)()(.因此φ是域][i Q 到域)1/(][2+x x Q 的同构.所以)1/(][)(2+≅x x i Q Q .2.计算]:)3,2([Q Q .解 根据命题 1.7,)3)(2()3,2(Q Q =.显而易见,2是Q 上的代数元,其极小多项式为22-x .这样,根据定理2.6,2]:)2([=Q Q .同理,3是)2(Q 上的代数元,其极小多项式为32-x .2)]2(:)3)(2([=Q Q 这样一来,根据定理 1.9,422]:)2(][)2(:)3)(2([]:)3,2([=⨯==Q Q Q Q Q Q .3.设E 是域F 的扩域,)(u F E =,u 在F 上是代数的且其极小多项式的次数为奇数,证明:)(2u F E =.证明 显然E u F ⊆)(2.设u 在F 上是代数的且其极小多项式的次数为12+n (n 为非负整数).于是,12]:[+=n F E .若0=n ,则1]:[=F E ,从而,F E =.由此可见,)(2u F E =.不妨假设0>n .于是,n u u u 22,,,,1 是F 上的向量空间E 的一个基.显然n n u u u 2222,,,,,1- 是F 上的向量空间)(2u F 中1+n 个线性无关的向量,从而,1]:)([2+≥n F u F .根据定理 1.9,]:)()][(:[]:[22F u F u F E F E =.这样,由12]:[+=n F E 和1]:)([2+≥n F u F 可知2)](:[2<u F E ,从而,1)](:[2=u F E .所以)(2u F E =.总之,)(2u F E =.4.证明:32+在Q 上是代数的,其极小多项式的次数为4.证明 根据§1习题第5题,)32()3,2(+=Q Q .根据第2题,4]:)3,2([=Q Q ,即4]:)32([=+Q Q .这样一来,根据定理2.6,32+ 在Q 上是代数的,其极小多项式的次数为4.注 32+的极小多项式为110)(24+-=x x x m .5.设E 是域F 的有限扩域,E α∈是F 上的代数元,其极小多项式的次数为n ,证明]:[|F E n .证明 由于E 是域F 的有限扩域,因此∞<];[F E .根据定理1.9,我们有]:)()][(:[]:[F αF αF E F E =.由于α的极小多项式的次数为n ,根据定理 2.6,n F αF =]:)([.这样,根据上式可以断言,]:[|F E n .§3 代数扩域1.设E 是域F 的代数扩域,E α∈,0≠α,证明:存在][)(x F x f ∈使)(1αf α=-. 证明 由于E 是域F 的代数扩域,因此α在F 上是代数的.这样一来,根据定理2.6,][)(αF αF =.显然,)(1αF α∈-.所以存在][)(x F x f ∈使)(1αf α=-.2.设E 是域F 的扩域,E βα∈,是F 上的代数元,证明:1,,-±αβαββα (0≠β)均为F 上的代数元.证明 由于α是F 上的代数元,因此∞<]),([F αF .由于β是F 上的代数元,因此β是)(αF 上的代数元,从而,∞<)](),)(([αF βαF .这样一来,根据定理 1.9,∞<]),)(([F βαF .此外,根据命题1.7,))((),(βαF βαF =.所以∞<]),,([F βαF .由于),(,βαF αββα∈±,根据定理 3.2,βα±和αβ为F 上的代数元.同理,当0≠β时,),(1βαF αβ∈-,因此1-αβ为F 上的代数元..3.设E 是域F 的有限扩域,证明:存在E 中有限多个元素n ααα,,,21 使得),,,(21n αααF E =.证明 设E 是域F 的n (n 为正整数)次扩域(参看定义 1.8).于是E 是域F 上的n 维向量空间.任取E 的一个基n ααα,,,21 ,则),,,(21n αααF E =.§4 分裂域1.证明:)2(Q 是多项式22-x 在Q 上的分裂域.证明 我们已经知道,)2(Q 是Q 的一个扩域,2±是多项式22-x 的仅有的两个根,并且)2(2Q ∈±.显然还有)2,2()2(-=Q Q ,所以)2(Q 是多项式22-x 在Q 上的分裂域.2.证明:多项式14+x 在Q 上的分裂域是Q 的单扩域)(αQ ,其中α是14+x 的一个根.证明 我们有))1(22))(1(22))(1(22))(1(22(14i x i x i x i x x ---+----+-=+, 其中i 表示1-的一个平方根.令 )1(22i α+=,))1(222i α-=,)1(223i α+-=,)1(224i α--=. 于是,α是Q 上的代数元.显而易见,14+x 是α在Q 上的极小多项式.因此)(αQ 是Q 上的四维向量空间,并且32,,,1ααα是)(αQ 的基.由于)(32αααQ ∈-=,)(33αααQ ∈=,)(4αααQ ∈-=, 因此),,,()(432αααααQ Q =.所以多项式14+x 在Q 上的分裂域是Q 的单扩域)(αQ .3.设)(x f 是域F 上的n (0>)次多项式,E 是)(x f 在域F 上的分裂域,证明:!]:[n F E ≤.证明 不妨设)())(()(21n αx αx αx a x f ---= .对于每一个}1,,2,1{-∈n i ,令 )())(()(21i i αx αx αx a x q ---= ,)())(()(21n i i i αx αx αx x f ---=++ . 于是,)()()(x f x q x f i i =,11-≤≤n i .显然,对于每一个}1,,2,1{-∈n i ,)(x f 和)(x q i 都是),,,(21i αααF 上的多项式.这样,由)()()(x f x q x f i i =可知)(x f i 也是),,,(21i αααF 上的多项式.将1+i α在),,,(21i αααF 上的极小多项式记做)(1x m i +.由0)(1=+i i αf 可知i n x m i -≤+))(deg(1.再将1α在F 上的极小多项式记做)(1x m .由0)(1=αf 可知,n x m ≤))(deg(1.这样一来,根据定理1.9,我们有]:),,,([];[21F αααF F E n =)],,,(:),,([)](:),([]:)([121211211-⋅⋅⋅=n n αααF αααF αF ααF F αF ))(deg())(deg())(deg(21x m x m x m n ⋅⋅⋅=!12)1(n n n =⋅⋅⋅-⋅≤ .§5 有限域1.证明:四元域不能同构于八元域的子域.证明 设E 是八元域,F 是E 的子域.若F 同构于四元域,则F 也是四元域,并且2]:[≥F E .任取F E α\∈,则α,1线性无关.令},|{F b a αb a S ∈+=.于是,一方面,由于E S ⊆,因此S 至多有8个不同元素;另一方面,显然S 有16个不同元素.这个矛盾表明,四元域不能同构于八元域的子域.2.设F 是元素个数为n p 的有限域,证明:F 中每个元素都有唯一的p 次根. 证明 将F 的素子域记做K .于是,p K Z ≅.根据定理5.3和定理5.4,F 就是多项式][)(x K x x x f n p ∈-=的所有的根组成的集合.因此ααp p n =-)(1,F α∈∀.这就是说,F 中每个元素α都以1-n p α为自己的p 次根.假设β也是α的p 次根,则 0)()(11=-=---p p p p p n n αβαβ,从而,1-=n p αβ.所以α的p 次根是唯一的.3.设有限域F 的特征为p 且对于任意的F a ∈都有a a p =,证明:p F Z ≅. 证明 将F 的素子域记做K .于是,p K Z ≅,并且n p F =||,其中n 为正整数.考察多项式][)(x K x x x f p ∈-=:由命题5.2的证明可知,)(x f 在K 上的分裂域是p 元域.由于对于任意的F a ∈都有a a p =,因此任意的F a ∈都是)(x f 的根,从而,1=n .所以K F =,从而,p F Z ≅.4.设F 是元素个数为q 的有限域,][)(x F x f ∈,证明:)())((q q x f x f =. 证明 不妨设F 的特征为p ,m p q =,k nk k x a x f ∑==0)(.于是,a a q =,F a ∈∀.下面我们对n 施行数学归纳法.当0=n 时,显然有)())((q q x f x f =.假设当1-=r n (r 为正整数)时有)())((q q x f x f =.现在设r n =.根据二项式定理(即第二章§1命题1.3(7)),我们有j r r j q k r k k q j j q r k q r r k k q x a x a C x a x a x f )()())(())((10010--==-=∑∑∑=+=. 显然,当q j <<0时,j q C p |,从而,0)()(10=--=∑j r r j q k r k k j q x a x a C .这样一来,根据归纳假设,我们有r q q r k r k q k q r r q r k k k q x a x a x a x a x f )()()()())((1010+=+=∑∑-=-= )()()(10q r q r r k q k k x f x a x a =+=∑-=.。

第三章证明（三）一．平行四边形的性质1.平行四边形的对边平行。

2.平行四边形的对边相等。

（推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

）3.平行四边形的对角相等。

4.平行四边形的邻角互补。

5.平行四边形的对角线互相平分。

6.特别说明：平行四边形是中心对称图形。

二平行四边形的判定方法7..定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。

8..定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

9..定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

10..定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

11.定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

三．等腰梯形的性质12.等腰梯形的两腰相等。

13.等腰梯形在同一底上的两个角相等。

14.等腰梯形的两条对角线相等。

四．等腰梯形的判定方法15.定义：两条腰相等的梯形叫等腰梯形。

16.定理：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

17.两条对角线相等的梯形是等腰梯形。

五．矩形的性质(5+2)18.矩形具有平行四边形的一切性质。

19..矩形的四个角都是直角。

20.矩形的对角线相等。

六．矩形的判定方法21.有三个角都是直角的四边形是矩形。

22.有一个角是直角的平行四边形是矩形。

23.对角线相等的平行四边形是矩形。

七．菱形的性质（5+2）24.菱形具有平行四边形的一切性质。

25.菱形的四条边都相等。

26.菱形的对角线互相垂直。

八．菱形的判定方法27.有四条边都相等的四边形是菱形。

28.邻边相等的平行四边形是菱形。

29.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

九．正方形的性质（5+2+2）30.具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

十．正方形的判定方法31.邻边相等的矩形是正方形。

32.对角线垂直的矩形是正方形。

33.有一个角是直角的菱形是正方形。

34.对角线相等的菱形是正方形。

十一三角形的中位线35.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

36．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。