概率论答案_-_李贤平版_-_第三章

P(X=0,Y=3)=1/8 P(X=2,Y=1)=3/8
X Y 0 1 2 3
P(X=1,Y=1)=3/8 P(X=3,Y=3)=1/8
3 1/8 0 0 1/8 1 0 3/8 3/8 0
例
一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任 取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被 取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球 上标有的数字， 求( X , Y ) 的联合分布列.
Probability
华南农业大学理学院应用数学系

第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量及其概率分布 第三章 二维随机变量及其分布
第四章 随机变量的数字特征
第三章
二维随机变量及其分布
二维随机变量及其联合分布 边缘分布与独立性 两个随机变量的函数的分布
§3.1 二维随机变量及其联合分布
RY
0
X(e)
x
二维随机变量(X, Y)的取值可看作平面上的点
（x，y） A
随机事件
y


(a,b)
X X
a, Y b a, Y b
Y)D
( X , ( X ,
Y ) ( a, b )
X
x
a, Y b


二维随机变量的联合分布函数
定义 若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.
表格形式
X
Y
x1
x2
p11 p12 p21 p22
。。。...
... 。。。
y1
y2
。。。
。。。...
yj p1 j
... 。。。

第一章 随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ）A ．AB AC + B ．()A B C +C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则 （ ）A ．()P AB I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P A B P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B =I B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（ ）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A ．()AB B A -=U B ．()A B B A -⊃UC ．()A B B A -⊂UD ．()A B B A -=U8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则 （ ）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC U U 表示 （ ）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=，P （B ）=，P （C ）=，则P A B C -=U （）（ ）.A ．B ．C ．D ．17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。

第三章 随机变量与分布函数1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p 或p -1向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以n S 表示时间n 时质点的位置）。

2、设ξ为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求ξ的概率分布。

3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;,,2,1,)(N k Nck f Λ==（2）,,2,1,!)(Λ==k k c k f k λ 0>λ。

4、证明函数)(21)(||∞<<-∞=-x e x f x 是一个密度函数。

5、若ξ的分布函数为N （10，4），求ξ落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。

6、若ξ的分布函数为N （5，4），求a 使：（1）90.0}{=<a P ξ；（2）01.0}|5{|=>-a P ξ。

7、设}{)(x P x F ≤=ξ，试证)(x F 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(=-∞F 1)(=+∞F 。

8、试证：若αξβξ-≥≥-≥≤1}{,1}{12x P x P ，则)(1}{21βαξ+-≥≤≤x x P 。

9、设随机变量ξ取值于[0，1]，若}{y x P <≤ξ只与长度x y -有关（对一切10≤≤≤y x ），试证ξ服从[0，1]均匀分布。

10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ，使)}()()()(ex p{)(x S D x T Q x f ++=θθθ，则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。

证明（1）正态分布),(20σm N ，已知0m ，关于参数σ；（2）正态分布),(200σm N ，已知0σ，关于参数m ；（3）普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。

但],0[θ上的均匀分布，关于θ不是一个单参数的指数族。

（1） P｛只订购A的｝ P{A(B C)}＝P A P AB P AC P ABC
0.45 0.1. 0.08 0.03 0.30
（2） P｛只订购 A 及 B 的｝ PAB C｝ P AB P ABC 0.10 0.03 0.07
（3） P｛只订购 A 的｝ 0.30
E1 E1 E 2
E1 E 4
E1 E 3
E5
（5）若 E2 ，则必有 E1 或 E3 之一发生，由此得
E6 , E0
E2 E3
E2 E1 E2 E3 E2 。
概率论基础（第 2 版）李贤平 全部习题解答
第一章 事件与概率
1.在某城市中，公发行三种报纸 A,B,C.在这个城市的居民中，订阅 A 的占 45%，订阅 B 的占 35%，订阅 C 的占 30%，同时订阅 A 及 B 的占 10%，同时订阅 A 及 C 的占 8%,同时订阅 B 及 C 的占 5%,同时订阅 A,B,C 的占 3%.试求下列百分率：（1）只订阅 A 的;(2) 只订阅 A 及 B 的；（3）只订阅一种报纸的；（4）正好订阅两种报纸的；（5）至少订阅一种报纸的；（6） 不订阅报纸的。 解：
ABC A;(3) 何时成立 C B ;(4)何时同时成立 A=B 及 A C
解：
（1） ABC ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；
ABC ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。 （2） ABC A BC A ，当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 （3）当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时， C B 成立。
解：
A1 A2 An A1 ( A2 A1) ( An A1 An1)
(或)＝ A1 A2 A1 An A1 A2 An1 ．

第一章 事件与概率1、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A = ；(3)C AB ⊂；(4)BC A ⊂.2、试把n A A A 21表示成n 个两两互不相容事件的和．3、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。

4、证明下列等式：（1）1321232-=++++n nnn n n n nC C C C ；（2）0)1(321321=-+-+--nn n n n n nC C C C ；（3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C.5、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。

6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。

7、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。

8、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。

9、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。

现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。

10、由盛有号码 ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。

11、任意从数列 ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<< 21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤1。

第一章事件与概率1、解：(1) P｛只订购A 的｝=P{A(B∪C)}＝P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30.(2) P｛只订购A 及B 的｝=P{AB}-C｝=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07(3) P｛只订购A 的｝=0.30,P｛只订购B 的｝=P{B-(A∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23.P｛只订购C 的｝=P{C-(A∪B)}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20.∴P｛只订购一种报纸的｝=P{只订购A}＋P{只订购B}＋P{只订购C}=0.30+0.23+0.20=0.73.(4)P{正好订购两种报纸的}＝P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC)=(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14.(5)P｛至少订购一种报纸的｝= P｛只订一种的｝+ P｛恰订两种的｝+ P｛恰订三种的｝=0.73+0.14+0.03=0.90.(6) P｛不订任何报纸的｝=1-0.90=0.10.2、解：（1）ABC =A ⇒BC ⊃A( A BC ⊂A显然) ⇒B ⊃A且C ⊃A ，若A发生，则B 与C 必同时发生。

（2）A ∪ B ∪ C =A ⇒B ∪ C ⊂A ⇒B ⊂A且C ⊂ A ，B 发生或C 发生，均导致A 发生。

（3）AB ⊂C ⇒A与B 同时发生必导致C 发生。

（4）A ⊂BC ⇒A ⊂B ∪ C ，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。

3、解： A1 ∪ A2 ∪…∪ A n =A1 + ( A2 -A1 ) +… + ( A n -A1 -… -A n-1 )(或)＝A1 +A2 A1 +…+A n A1 A2 … A n-1 ．4、解：（1）ABC ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；ABC ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。

第一章 随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ）A ．AB AC + B ．()A B C +C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则 （ ）A ．()P AB I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P A B P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B =I B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（ ）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A ．()AB B A -=U B ．()A B B A -⊃UC ．()A B B A -⊂UD ．()A B B A -=U8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则 （ ）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC U U 表示 （ ）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=，P （B ）=，P （C ）=，则P A B C -=U （）（ ）.A ．B ．C ．D ．17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。

第一章 随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ）A ．AB AC + B ．()A B C +C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则 （ ）A ．()P AB I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P A B P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B =I B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（ ）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A ．()AB B A -=U B ．()A B B A -⊃UC ．()A B B A -⊂UD ．()A B B A -=U8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则 （ ）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC U U 表示 （ ）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=，P （B ）=，P （C ）=，则P A B C -=U （）（ ）.A ．B ．C ．D ．17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。

第三章 随机变量与分布函数1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p 或p -1向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以n S 表示时间n 时质点的位置）。

2、设ξ为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求ξ的概率分布。

3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;,,2,1,)(N k Nck f ==（2）,,2,1,!)( ==k k ck f kλ 0>λ。

4、证明函数)(21)(||∞<<-∞=-x e x f x 是一个密度函数。

5、若ξ的分布函数为N （10，4），求ξ落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。

6、若ξ的分布函数为N （5，4），求a 使：（1）90.0}{=<a P ξ；（2）01.0}|5{|=>-a P ξ。

7、设}{)(x P x F ≤=ξ，试证)(x F 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(=-∞F1)(=+∞F 。

8、试证：若αξβξ-≥≥-≥≤1}{,1}{12x P x P ，则)(1}{21βαξ+-≥≤≤x x P 。

9、设随机变量ξ取值于[0，1]，若}{y x P <≤ξ只与长度x y -有关（对一切10≤≤≤y x ），试证ξ服从[0，1]均匀分布。

10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ，使)}()()()(ex p{)(x S D x T Q x f ++=θθθ，则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。

证明（1）正态分布),(20σm N ，已知0m ，关于参数σ；（2）正态分布),(200σm N ，已知0σ，关于参数m ；（3）普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。

但],0[θ上的均匀分布，关于θ不是一个单参数的指数族。

第三章连续型随机变量3.1设随机变量 ξ 的分布函数为F （x ），试以F （x ）表示下列概率： 。

)()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。

）（解：)0(1)()4();(1)()3();0()(P 2);()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ3.2函数x211F(x)+=是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果在其它场合恰当定义。

在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞<<∞-x x x 解：(1)F(x)在),(∞-∞内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； (2)F(x)在)0∞，（内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数； (3)F(x)在），（－0∞内单调上升、连续且，若定义 ⎩⎨⎧≥<<∞=01)()(~x x X F x F －则)(~x F 可以是某一随机变量的分布函数。

3.3函数 sinx 是不是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为[]。

，）；（，）；（，）（⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ230302201 解：(1)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=⎰πxdx ，所以 sinx 可以是某个随机变量的分布密度； (2) 因为12sin 0≠=⎰πxdx ,所以sinx 不是随机变量的分布密度； (3) 当 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,ππx 时,sinx<=0所以sinx 不是随机变量的分布密度。

3.4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x)，即p(x)=p(-x) 证明：对任意的a>0，有[][]。

－－故上式右端＝知由证：）1)(21a)P(1a)(3)P(1;-2F(a))(21)(1)1(,)(2)()()2(;)(21)()(1)(1)(1)(1)(1)()()1(.)(F 12)()3(;1)(2)()2(;(p 21)(1)()1(00000-=<=>-=-==<-=--=-=-=+=-==--=>-=<-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞-∞-∞-∞--∞-a F dxx p a F dx x p dx x p a P dx x p dx x p dx x p a F dx x p dxx p dx x p dx x p a F a a P a F a P dx x a F a F a a a a a aaaaaa ξξξξξ3.5设)(1x F 与)(2x F都是分布函数，证明F(x)=aF(x)+bF(x)也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？ 证：因为)(1x F与 )(2x F 都是分布函数，于是F(x1)＝aF1(x1)+bF2(x2)<= aF1(x1)+bF2(x2)= F(x2) 又F(x-0)= aF1(x1-0)+bF2(x2-0) = aF1(x)+bF2(x)= F(x) 所以，F(x)也是分布函数。

第三章 离散型随机变量率分布。

，试写出命中次数的概标的命中率为目；设已知射手每次射击射击中命中目标的次数指示射手在这三次独立以本空间上定义一个函数验的样本空间；试在样作为试验，试写出此试察这些次射击是否命中三次独立射击，现将观一射手对某目标进行了7.0.1.343.0441.0189.0027.03210027.0)7.01()()0()0(189.0)7.01()7.01(7.03)(3)1()1()1()1(441.0)7.01(7.07.03)(3)2()2()2()2(343.0)7.0()()3()3()(0)(1)()()(2)()()(3)(},,,{)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(3,2,1332183217653214323321187654321821321321321321321321321321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-======-⨯-⨯⨯===+=+====-⨯⨯⨯===+=+===================Ω==的分布列为所以，，则简记为将，，则代表击中目标的次数，令则次射中”，“第解：设ξξξξξξξξξξξξξξωξωξωξωξωξωξωξωξωξξωωωA A A P P P A A A P P P P P A A A P P P P P A A A P P P A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A i i A i i i。

出的废品数的概率分布前已取个，求在取得合格品之不再放回而再取来使用，若取得废品就个这批零件中任取个废品，安装机器时从个合格品、一批零件中有1139.2118805499101112123)3(132054109112123)2(13227119123)1(129)0(32101919110111111211213110191111211213111191121311219=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅===⨯⨯=⋅⋅===⨯=⋅=====C C C C C C C C P C C C C C C P C C C C P C C P ξξξξξξ，，，可能取值为：代表废品数，则解：令.1188054132054132271293210⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛的分布列为所以，ξ废品数的概率分布。

第一章 事件与概率1、解：(1) P ｛只订购A 的｝=P{A(B ∪C)}＝P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30. (2) P ｛只订购A 及B 的｝=P{AB}-C ｝=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07 (3) P ｛只订购A 的｝=0.30,P ｛只订购B 的｝=P{B-(A ∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23. P ｛只订购C 的｝=P{C-(A ∪B )}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20.∴P ｛只订购一种报纸的｝=P{只订购A}＋P{只订购B}＋P{只订购C}=0.30+0.23+0.20=0.73. (4) P{正好订购两种报纸的}＝P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC) =(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14.(5) P ｛至少订购一种报纸的｝= P ｛只订一种的｝+ P ｛恰订两种的｝+ P ｛恰订三种的｝ =0.73+0.14+0.03=0.90. (6) P ｛不订任何报纸的｝=1-0.90=0.10.2、解：（1）ABC A C A B A ABC A BC A ⊃⊃⇒⊂⊃⇒=且显然)(，若A 发生，则B 与C 必同时发生。

（2）A C ⊂⊂⇒⊂⇒=且A B A C B A C B A ，B 发生或C 发生，均导致A 发生。

（3）A C AB ⇒⊂与B 同时发生必导致C 发生。

（4）C B A BC A ⊂⇒⊂，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。

3、解：n A A A 21)()(11121----++-+=n n A A A A A A (或)＝121121-+++n n A A A A A A A ．4、解：（1）C AB ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}； C B A ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。

概率论第三章习题参考解答1. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 求ξ的期望值 解：由习题二第2题算出ξ的分布率为ξ0 1 P1/32/3因此有E ξ=0×P (ξ=0)+1×P (ξ=1)=2/3+2η, ξ与η的分布律如下表所示:: 求周长的期望值, 用两种方法计算, 一种是利用矩形长与宽的期望计算, 另一种是利用周长的分布计算.解: 由长和宽的分布率可以算得E ξ=29×P (ξ=29)+30×P (ξ=30)+31×P (ξ=31) =29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9E η=19×P (η=19)+20×P (η=20)+21×P (η=21) =19×0.3+20×0.4+21×0.3=20 由期望的性质可得E ζ=2(E ξ+E η)=2×(29.9+20)=99.8而如果按ζ的分布律计算它的期望值, 也可以得E ζ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8 验证了期望的性质.4. 连续型随机变量ξ的概率密度为⎩⎨⎧><<=其它)0,(10)(a k x kx x aϕ又知Eξ=0.75, 求k 和a 的值。

解: 由性质⎰+∞∞-=1)(dx x ϕ得111)(|10110=+=+==++∞∞-⎰⎰a kx a k dx kx dx x a aϕ即k =a +1(1)又知75.022)(|10211=+=+===+++∞∞-⎰⎰a kx a k dx kx dx x x E a a ϕξ得k =0.75a +1.5(2)由(1)与(2)解得0.25a =0.5, 即a =2, k =36. 下表是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列.若表中各以组中值为代表. 从188辆汽车中, 任意抽选15辆, 得出下列数字: 90, 50, 150, 110, 90, 90, 110, 90, 50, 110, 90, 70, 50, 70, 150. (1)求这15个数字的平均数; (2) 计算表3-9中的期望并与(1)相比较.解: (1) 15个数的平均数为(90+50+150+110+90+90+110+90+50+110+90+70+50+70+150)/15 = 91.33 (2) 按上表计算期望值为(10×5+30×11+50×16+70×25+90×34+110×46+130×33+150×16+170×2)/188 =96.177. 两种种子各播种300公顷地, 调查其收获量, 如下表所示, 分别求出它们产量的平均值解: 假设种子甲的每公顷产量数为, 种子乙的每公顷产量数为, 则 E ξ=(4500×12+4800×38+5100×40+5400×10)/100=4944 E η=(4500×23+4800×24+5100×30+5400×23)/100=49598. 一个螺丝钉的重量是随机变量, 期望值为10g , 标准差为1g . 100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少?(假设各个螺丝钉的重量相互之间独立) 解: 假设这100个螺丝钉的重量分别为ξ1, ξ2,…, ξ100, 因此有E ξi =10, Dξi =102=12=1, (i =1,2,…,100), 设ξ为这100个螺丝钉的总重量，因此∑==1001i i ξξ，则ξ的数学期望和标准差为gD D D kgg E E E i ii i i i i i 1011001)(1000101001001100110011001=⨯==⎪⎭⎫⎝⎛====⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑====ξξξσξξξξ9. 已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值.解: 假设ξ为取出5个产品中的次品数, 又假设ξi 为第i 次取出的次品数, 即, 如果第i 次取到的是次品, 则ξi =1否则ξi =0, i =1,2,3,4,5, ξi 服从0-1分布,而且有 P {ξi =0}=90/100, P {ξi =1}=10/100, i =1,2,3,4,5因此, E ξi =10/100=1/10, 因为∑==51i iξξ因此有5.010155151=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==i i i i E E E ξξξ10. 一批零件中有9个合格品和3个废品, 在安装机器时, 从这批零件中任取一个, 如果取出的是废品就不再放回去. 求取得第一个合格品之前, 已经取出的废品数的数学期望和方差. 解: 假设在取到第一个合格品之前已取出的废品数为ξ, 则可算出0045.02201101112123}3{041.02209109112123}2{2045.0119123}1{75.0129}0{==⋅⋅====⋅⋅===⋅=====ξξξξP P P P因此有319.009.0409.0)(409.090045.04041.02045.03.030045.02041.02045.0222===-==⨯+⨯+==⨯+⨯+=ξξξξξE E D E E11. 假定每人生日在各个月份的机会是同样的, 求3个人中生日在第一个季度的平均人数. 解: 设三个随机变量ξi ,(i =1,2,3), 如果3个人中的第i 个人在第一季度出生, 则ξi =1, 否则ξi =0, 则ξi 服从0-1分布, 且有 P (ξi =1)=1/4, 因此E ξi =1/4, (i =1,2,3)设ξ为3个人在第一季度出生的人数, 则ξ=ξ1+ξ2+ξ3, 因此Eξ=E (ξ1+ξ2+ξ3)=3Eξi =3/4=0.7512. ξ有分布函数⎩⎨⎧>-=-其它1)(x e x F xλ, 求E ξ及D ξ. 解: 因ξ的概率密度为⎩⎨⎧>='=-其它)()(x e x F x xλλϕ, 因此 ()λλλϕξλλλλλ11)(0=-=+-=-===∞+-∞+-∞+-+∞-+∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xxxe dx e xe e xd dx ex dx x x E()2220222222)(|λξλλϕξλλλλ==+-=-===⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-+∞-+∞-+∞∞-E dx xe ex e d x dx ex dx x x E x x x x22222112)(λλλξξξ=-=-=E E D13. ⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它1||11)(~2x x x πϕξ, 求E ξ和D ξ.解: 因φ(x )是偶函数, 因此Eξ=0,则D ξ=Eξ2-(Eξ)2=Eξ2 因此有⎰⎰-===+∞∞-1222212)(dx xx dx x x E D πϕξξ令θθθd dx x cos ,sin ==则上式=2112sin 21212cos 2sin 12||20202022=+=+=⎰⎰ππππθπθπθθπθθπd d 即D ξ=1/2=0.516. 如果ξ与η独立, 不求出ξη的分布直接从ξ的分布和η的分布能否计算出D (ξη), 怎样计算?解: 因ξ与η独立, 因此ξ2与η2也独立, 则有[]()()222222)()()(ηξηξξηξηξηE E E E E E D -=-=17. 随机变量η是另一个随机变量ξ的函数, 并且η=e λξ(λ>0), 若E η存在, 求证对于任何实数a 都有λξλξEe ea P a⋅≤≥-}{.证: 分别就离散型和连续型两种情况证. 在ξ为离散型的情况: 假设P (ξ=x i )=p i , 则λξλξλλλξEe e e E p e p ep a P a a i i a x ax i a x ax i i i i i --∞=-≥-≥==≤≤=≥∑∑∑][){)(1)()(在ξ为连续型的情况假设ξ的概率密度为φ(x ), 则λξλξλλλϕϕϕξEe e Ee dx x e dx x edx x a P a a a x aa x a--+∞∞--+∞-+∞==≤≤=≥⎰⎰⎰)()()()()()(}{证毕.18. 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.证: 设ξ为一次试验中事件A 发生的次数, 当然最多只能发生1次, 最少为0次, 即ξ服从0-1分布, P {ξ=1}=P (A )=p , P {ξ=0}=1-p =q ,则4121412124141)1(222≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⋅+-=-=-=p p p p p p p D ξ19. 证明对于任何常数c , 随机变量ξ有 D ξ=E (ξ-c )2-(Eξ-c )2证: 由方差的性质可知D (ξ-c )=Dξ, 而2222)()()]([)()(c E c E c E c E c D ---=---=-ξξξξξ证毕.20. (ξ,η)的联合概率密度φ(x ,y )=e -(x +y )(x ,y >0), 计算它们的协方差cov (ξ,η). 解: 由φ(x ,y )=e -(x +y )(x ,y >0)可知ξ与η相互独立, 因此必有cov (ξ,η)=0.21. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求ξ与η的协方差.,P {ξ=2}=P {η=2}=2/3, P {ξ=1}=P {η=1}=1/3, E ξ=E η=35322311=⨯+⨯38314312312},{)(2121=⨯+⨯+⨯====∑∑==i j j i ijP E ηξξη则913538)(),cov(22-=-=⋅-=ηξξηηξE E E22. (ξ , η)只取下列数组中的值：)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 求ξ与η的相关系数ρ, 并判断ξ与η是否独立? 解: ξ与的联合分布表及各边缘分布计算表如下表所示: 因此1212260121=⨯+⨯+⨯-=ξE 1225125412512=⨯+⨯=ξE 144275144251225)(22=-=-=ξξξE E D 3613311121311270=⨯+⨯+⨯=ηE 1083731121912=+⨯=ηE 129627512961691237129616910837)(22=-⨯=-=-=ηηηE E D 36133112131)(-=-⨯-=ξηE则4322211236171336131253613)(),cov(-=⨯⨯-=⋅--=⋅-=ηξξηηξE E E 相关系数804.027522127543236122211296275144275432221),cov(-=-=⨯⨯⨯-=⨯-==ηξηξρD D, 计算ξ与η的相关系数ρ, 并判断ξ与η是否独立? 解: 由上表的数据的对称性可知与η的边缘分布一样, 算出为 P (ξ=-1)=P (η=-1)=3/8 P (ξ=0)=P (η=-0)=2/8P (ξ=1)=P (η=1)=3/8 由对称性可知Eξ=Eη=0831831=⨯+⨯-. 081818181)(=+--=ξηE 因此cov (ξ,η)=E (ξη)-E (ξ)E (η)=0 则ρ=0而P (ξ=0,η=0)=0≠P {ξ=0}P {η=0}=1/16因此ξ与η不独立. 这是一个随机变量间不相关也不独立的例子.24. 两个随机变量ξ与η, 已知Dξ=25, Dη=36, ρξη=0.4, 计算D (ξ+η)与D (ξ-η). 解:374.065236252),cov(2)]()[()]([)(854.065236252),cov(2)]()[()]([)(2222=⨯⨯⨯-+=-+=-+=---==---=-=⨯⨯⨯++=++=++=-+-==+-+=+ξηξηρηξηξηξηξηηξξηξηξηξρηξηξηξηξηηξξηξηξηξD D D D D D E E E E E D D D D D D D E E E E E D《概率论与数理统计》复习资料一、填空题（15分）题型一：概率分布的考察 【相关公式】（P379）【相关例题】 1、设(,)XU a b ，()2E X =，1()3D Z =，则求a ，b 的值。

解：
A1 A2 An A1 ( A2 A1) ( An A1 An1)
(或)＝ A1 A2 A1 An A1 A2 An1 ．
4．在某班学生中任选一个同学以事件 A 表示选到的是男同学，事件 B 表示选到的人不喜欢
唱歌，事件 C 表示选到的人是运动员。（1）表述 ABC 及 ABC ；（2）什么条件下成立
同时发生。
（2） A B C A B C A B A且C A ，B 发生或 C 发生，均导致 A 发生。
（3） AB C A与 B 同时发生必导致 C 发生。 （4） A BC A B C ，A 发生，则 B 与 C 至少有一不发生。
3．试把 A1 A2 An 表示成 n 个两两互不相容事件的和．
ABC A;(3) 何时成立 C B ;(4)何时同时成立 A=B 及 A C
解：
（1） ABC ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；
ABC ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。 （2） ABC A BC A ，当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 （3）当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时， C B 成立。
0.73 0.14 0.03 0.90 . （6）P｛不订任何报纸的｝ 1 0.90 0.10 .
2．若 A，B，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1) ABC A ；(2) A B C A ；
(3) AB C ；(4) A BC .
解：
（1）ABC A BC A(ABC A显然) B A且C A ，若 A 发生，则 B 与 C 必
概率论基础（第 2 版）李贤平 全部习题解答
第一章 事件与概率
1.在某城市中，公发行三种报纸 A,B,C.在这个城市的居民中，订阅 A 的占 45%，订阅 B 的占 35%，订阅 C 的占 30%，同时订阅 A 及 B 的占 10%，同时订阅 A 及 C 的占 8%,同时订阅 B 及 C 的占 5%,同时订阅 A,B,C 的占 3%.试求下列百分率：（1）只订阅 A 的;(2) 只订阅 A 及 B 的；（3）只订阅一种报纸的；（4）正好订阅两种报纸的；（5）至少订阅一种报纸的；（6） 不订阅报纸的。 解：

它取值的概率的分布情况. (2) 由于试验结果的出现具有一定的概率， 所以随机变 量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率. 随机变量的取值既具有可变性，也有随机性。这种 双重性正是随机变量与普通变量(函数)的本质区别。
引入随机变量的意义?
分析工具有了用武之地 使概率可转化为我们所熟知的函数形式
【充分性】 设
Qn P{ n} 0, n 1.
由乘法公式知： P{ m n} P{ m} P{ m n | m}, 因为 具有无记忆性，故有 P(>m+n)=P(>m)P(>n),
Qmn QmQn , m, n 1.
{ : ( ) B} F ， .
则称()为随机变量，而 P(()B) 称为随机变量 ()的概率分布.
B

1 ( B )
例3.1.3 对于 ={1,2,3} ，构造σ代数-代数 F ={, F,{1,2},{3}}，再定义概率： P()=1, P(F)=0, P({1,2})=2/3,P({3})=1/3.
如果分布函数定义中的“ < ”改为“ ≤ ”, 则为右连续.
证明: (1). F (b) F (a) P{a b} 0.

n
[ F (n 1) F (n)] lim F (n) lim F (m).
n m

由于F(x)的单调有界性，
1 1.P{ ( ) a} P{ ( ( ) a )} n n 1 1 1 lim P{ ( ) a } lim F (a ) F (a ). n n n n
2.P{ ( ) a} P{ ( ) a} P{ ( ) a} F (a) F (a).

习题3T1.而且戶{尤/=0} = 1・求&和及的联合分布律.解由P{X}X2 =0} = 1知P{X x X2 H 0} = 0.因此K和基的联合分布必形11Pi—— 122⑵注意到P{/ = 0, %. =()} =(),而戶{尤=()}・P{A\ = ()} = - ^ 0,所以X 和星 4不独立.2.-盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球 的只数，以丫表示取到红球的只数.求/和丫的联合分布律.解 从7只球中取4球只有=35种取法.在4只球中，黑球有Z 只，红 球有丿只（余下为白球4 一,一 j 只）的取法为C ；C 扌 CjT, i = 0,1,2,3,丿=0,1,2,, + 丿 W 4.于是有C°c 2c 2 1P{X = 0y Y = 2}= 3 2 2 = — t P{X = l,Y = l}： 35 35p{x = i,y = 2} = CCG == 2,y =o}： 35 35F{X = 2,Y = 1}= WG =!£ p{x = 2,y = 2}： 35 35P{X = 3,Y = 0} =宝O, P{X = 3,Y = l]c\c\c\6-35 ■35' 广2 x^r() _ 3 「 35-35'gc ； 3 35 ~35' 厂 3「l 「0 c 3c 2c 2 2/（兀』）=^(6 -X- y),0<x<2,2< y <4,0,其它.求:⑴ 常数A ；(2) P{%<l,y<3}；(3) P{%<1.5)；(4) P{X + Y^4}.35 35 35 35 P{x = o,y = O } = P {X = O ,Y = I } = P {X = I ,Y = 0} = p{x = 3,y = 2} = o.xp(/f — x— 9)1 00 w p v T UH MX )V U Hm VX5:(D)」IOO IP r.—A 、—9) L r E JIC I m JI 一 r Ixp(\ Ix 19)1000=y v K=p「v i p x p (\H )/・=丄d v x sr Q )Z 20 i l A、—9)「T x p(亠— x— 9)亠T v 一・ I n(亠 — 寸)I 寸)1 Ie 〒 i i r r LZ二8 •s'尸(4—寸)T+(亠—寸)el 」Z二8ip 〔 M —寸)7 — (4 — 寸)(4— 9)1」r-—x (\ — 9)」l 00p(o w c r x )s7H (寸 w x + x s:M E l oo —en 剧 M G — 寸v/亠 V07V X V W O S-•£>黑*«匣(寸o x (z o ) w 凶论畏g O N E H )、m 逐凶心H-镒泗去皂床•寸H\ + X ®M 址(寸)4.二维随机变量（X, Y ）的概率密度为/（X 』）=试确定并求P ［（X,Y ）E G},G:x2WyWx,0WxWl.解 由 1 = J j f (x, y)dxdy = drj , kxydy = — j 0 -^(1 - x 4)dx = — t o s 2 o 6解得k = 6. F{ (X, Y) w G} = J ； dr J ： 6xydy = 3j\(x 25・设二维随机变量（X 丫）概率密度为求关于X 和丫边缘概率密度.解（儿Y ）的概率密度/（x j ）在区域G:OWxWl,OWyWx 外取零值•因而,图3-8第4题积分区域kxy,十0,其它.因而f(x 9y) =4.8 尹(2-x), 0, oWxWi, 0£尹£兀,其它.0<x< 1,其它.2.4(2-兀)x[ 0,0<x< 1,其它.=L •心'J'4.8j<2-x)dr,0,0<y<l,其它.2.4X3-4y + y), 0,Ovyvl,其它.4®(2 — x)4几试求：（i）x和丫的联合概率分布；（2）P{X + Y ^1}.解（1）见本章第三节三（4）.（2）P{X + y Wl} = \-P{X + Y>\} = \-P{X = \,Y = \} =1-- = -.4 4解⑴由于P{X = 2} = 0.3 + 0 +0.1+ 0.2 = 0.6 以在条件x=2下Y的条件分布律为P{Y = 1\X = 2]P{^ = 2,y = l} 0.3 _£2或写成P[Y = 4\X = 2} =P{X = 2}'"0.6_P{X = 2,Y = 2} 0P{X = 2}_0.6P{X = 2,y = 3) 0.1P{X = 2}~0.6P{X = 2,r = 4} 0.20,丄61P{X = 2}0.6 3Y = k 1 2 3 4P{Y = k\X = 2}121613 若UW —1,右(7 > —1,若UW1,若u>\・习题3-21.设（X 丫）的分布律为下丫的条件分布律；（2） P{X22|yW2}.在条件於2P{Y = 2\X = 2}P{Y = 3\X = 2]到p (r ^2} = P{r = i}+P{y = 2} = o.i+o.3+o+o+o.2 = o.6.P[X^2,Y^2} = P[X = 2,Y = }} + P[X = 2J Y = 2}+ P{X = 3,Y = l} + P{X = 3y Y = 2} =0.3+ 0 + 0 +0.2 = 0.5 ・2.设平面区域D 由曲线_y =丄及直线y = 0,x = l,x = e 2所围成，二维随机变量3, X)X在区域Q 上服从均匀分布，求(X X)关于X 的边缘概率密度在x=2处的值・解 由题设知D 的面积为丄dx = lnx|" =2.—,(x, y)e D y 因此(XX)的密度为 /(x, y) = <2 0,其它.+8f(x.y)dy ・显然,当XW1或兀头2时，厶，(兀)= 0；当1 vjcvM 时，厶d) = F A (2)= ~-3.设二维随机变戢(X, K)的概率密度为1, 0 < x < 1,0 < j/ < 2x,0,其它.求：⑴区”的边缘概率密度f x MJr (y^(2)F{YW2 2解(1)当0vxvin 寸,f x (x) = f (x,y)dy = £ dy = 2x ； 当 xWO 时或x$l 时，/Y (X )= 0.2x, 0 v x v 1, 0, 其它.f(x 9y)dx= (ydx = l-^- 22f因此P{X^2\Y^2} =W2}P{Y W2}05 _5 0£~61 1—dy =—・故 ° 2「 2x fx M =当Ov 严2时，厶(刃=当y WO 吋或y $2时，/；(y) = O.y 亠I — —, 0 < v < 2,故fy (y) = 20, 其它.(2)当 zWO 时，巧(z) = o ； 当 z$2 时，巧(Z )= l;当()VV2 时，F 7(Z ) = P{2X-Y^Z }= JJ /(x, y)d.xdyz胡 dxfl.dy + 關仁 1.®2Z" =Z ----- ・4,1 — 9 0 < z < 2,厶⑵=FXz) =2 0, 其它.4.设G 是由直线尸X,尸3, x=\所围成的三角形区域，二维随机变fi(X,y )在Gt 服从二维均匀分布.求：(1)(X7)的联合概率密度；(2) P{Y-X^\}； (3)关于X 的边缘概率密度.解 ⑴由于三角形区域G 的面积等于2,所以(X,Y)的概率密度为⑵记区域D = {(x,y)\y-x^\］与G 的交集为G ()，则其中S G °为Go 的面积.±4Z !I JJg}扌丄0,(x.y)电 G.⑶X 的边缘概率密度f x (X )=r +8J —oof(x, y)dy •所以,当X .1,3］时，几(x) =「：⑪J (3 - X).J x 2 2当x v 1 或x > 3 时，/丫(x) = 0. 因此./\ W = < 2(1_%)，XE卩⑶’0, 其它.习题3-3设与柑互独立，且分布律分别为下表:求二维随机变最(儿的分布律.解由于X与丫相互独立，所以冇P{X = Xi,Y = y.} = P{X = x i}-P{Y = yj},i == 0,2,5,6.J因此可得二维随机变量Y)的联合分布律Pir A- 〃•丿(匸 12 丿二123)・2—G + # =匕故可得方程组31 1 z 1 _ = _•(□ + _)・19 3921解得 ex = —, 0 =—.9 92 1经检验，当CX = —, P =—吋，对于所有的匸1,2; 7=1,2,3均有Pij= Pi ，p.j bX.i2 1 a = _,p =—时.x 与y 相互独立••993.设随机变量Y 的概率密度为 \be (x+y \(1)试确定常数b ・9 118匚因此当0 < x < 1, j/ > 0,其它.问Q,0为何值时X 与Y 相互独立?/=](2) 求边缘概率密度f x (x)y f Y (y). (3) 问X 与Y 是否相互独立？解⑴由1 = j J f(x,y)dxdy = j ^e _<v+r>dydx e~'dye -'dr = b(l -e _,),l-e _, e~v,0<x<l, 宁 1-e" 0, e _y , _y>0,0, 其它.⑶ 由于f(x,y) = f x (x)* f Y (y) f 所以x 与Y 相互独立.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0, 1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为r了 /、 丄e 2, y >0,0,求X 和Y 的联合概率密度.设关于a 的二次方程为a 2 +2Xa + Y = 0t 试求。

第三章 多维随机向量及其概率分布(一)基本题答案1、设X 和Y 的可能取值分别为.2,1,0;3,2,1,0,==j i j i 则与因盒子里有3种球，在这3种球中任取4个，其中黑球和红球的个数之和必不超过4.另一方面，因白球只有2个，任取的4个球中，黑球和红球个数之和最小为2个，故有j i 与ٛ且,42≤+≤j i ./),(474223C C C C j Y i X p j i j i −−===因而 或0),(===j Y i X P 2).2,1,0;3,2,1,0,4(<+j i ==>+j i j i于是 ,0)0,0(1111======y Y x X P P ,0)0,0(2112======y Y x X P p.35/1/)0,0(472212033113=======C C C C y Y x X P p即 2、X 和. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡04.032.064.0210~X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡25.05.025.0210~Y 由独立性知，X 和Y 的联合分布为3、Y 的分布函数为显知有四个可能值：).0(0)(),0(1)(≤=>−=−y y F y e y F y ),(21X X }{{}{}11−=e ,2,10,0).1,1(),0,1(),1,0(),0,0(121−≤=≤≤===Y P Y Y P X X P 易知{}{}{}{}{},221−−−=e e 12<=P ,10,1,02,11,02121≤≤>====>≤===Y Y Y P X X P Y Y P X X P{}{}{},212,10,12121−=≤<=≤>===e e Y P Y Y P X X P {}−− {}{}.22,11,1221−=>=>>===e Y P Y Y P X X P于是，可将X 1和X 24、∑=====nm m n P n X P 0),()(ηζ∑=−−−−=nm mn m n e m n m p p 0)!(!)1(λλ()[]).,2,1,0(!1!)1()!(!!!==−+=−−=−−−=−∑n n e p p n e p p m n m n n e n n n mn m nm n λλλλλλ即X 是服从参数为λ的泊松分布.∑∑∞=−−∞=−−−−−=−−==mn mn m n mn m m mn m n m n p m e p em n m p p m Y P )!()1(!)!(!)1()(λλλλλ).,2,1,0(,!)(!)()1( ==⋅=−−−−m m ep e e m ep pmp mλλλλλλ即Y 是服从参数为λp 的泊松分布.5、由定义F （y x ,）=P {}∫∫∞−∞−=≤≤x y dxdy y x y Y x X .),(,ϕ因为ϕ（y x ,）是分段函数，要正确计算出F （y x ,;1>y ），必须对积分区域进行适当分块：等5个部分.10,10,1;1,1;10,100≤≤≤≤>>>≤≤<x y x y x y y x 或;0<≤≤x （1）对于 有 F （,00<<y x 或y x ,）=P{X ≤,x Y ≤y}=0; （2）对于 有 ;,10,10≤≤≤≤y x 2204),(y x vdudv u y x F x y ==∫∫（3）对于, 有 10,1≤≤>y x {};,1),(2y y Y X P y x F =≤≤= （4）对于, 有 10,1≤≤>x y {}21,),(x Y x X P y x F =≤≤=; （5）对于 有 ,1,1>>y x 1),(=y x F .故X 和Y 的联合分布函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<≤≤<<≤≤≤≤≤≤<<=.1,1,.1,10,1,,1,10,,10,10,,00,0),(2222y x y x y y x x y x y x y x y x F 或6、（1） ,0,0;0),(,00>>=≤≤y x y x F y x 或),(y x F =∫∫+−x y t s dsdt ze)2())(())((200202yt x s y t x se e dt e ds e−−−−−−==∫∫=)1)(1(2y x e e −−−−即⎩⎨⎧>>−−=−−.,0,0,0),1)(1(),(2其它y x e e y x F y x （2）P ()()220(),22x x y x yxy xY X f x y dxdy dx e dy e e d +∞+∞−−−−<≤===−∫∫∫∫∫x∫∫∞+−−−∞+−−=−−=03220)(2)1(2dx e e dx e e x x x x .312131(2)2131(2023=−−=−=∞+−−x x e e7、（1）时，0>x ,0)(,0;)(=≤==∫∞+−−x f x e dy e x f X Xx y X 时 即 ⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,)(x x e x f x X （2）{}2/111210121),(1−−≤+−−−+===≤+∫∫∫∫e e dy e dxdxdy y x f Y X P y x x xy8、（1）（i ）时,，;),()(计算根据公式∫∞+∞−=dy y x f x f X 0≤x 当10;0)(<<=x x f X 当时()();24.224.2)2(8.4)(202x x x y dy x y x f xx X −=−=−=∫0)(,1=≥x f x X 时当即⎩⎨⎧<<−=.,0;10),2(4.2)(2其它x x x x f X （ii ） 利用公式计算. 当∫∞+∞−=dx y x f y f Y ),()(;0)(,0=≤y f y Y 时,10时当<<y112)22(8.4)2(8.4)(y y Y x x y dx x y y f ∫−=−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=222128.42y y y );43(4.2)2223(8.422y y y y y y +−=+−=当时，1≥y .0)(=y f Y 即⎩⎨⎧<<+−=.0;10),43(4.2)(2其它y y y y y f Y 121111222211111(2)((1(,1(,)1.22222P X Y P X Y f x y dxdy dx dxdy +∞+∞⎧⎫<<=−≥≥=−=−=⎨⎬⎩⎭∫∫∫∫∪58、47809、本题先求出关于x 的边缘概率密度，再求出其在2=x 之值. 由于平面区域D 的面积为)2(X f ,2121=dx =∫x S e D 故（X,Y ）的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,0;),(,21),其它D y x y x (f易知，X 的概率密度为∫∞+∞−⎪⎩⎪⎨⎧<<==,,0,1,21),()(2其它e x xdy y x f x f X 故.41221)2(=×=X f 10、（1）有放回抽取：当第一次抽取到第个数字时，第二次可抽取到该数字仍有十种可能机会，即为 k {}).9, ,1,0(101====i k Y i X P （2）不放回抽取：（i ）当第一次抽取第)90(≤≤k k 个数时，则第二次抽到此（第个）数是不可能的，故 k {}.)9,,1,0,; =k i k (0====i k Y i X P（ii ）当第一次抽取第个数时，而第二次抽到其他数字（非k ）的机会为，知)90(≤≤k k 9/1{}.)9,,1,0,; =k i k (9/1≠===i k Y i X P 11、（1）因∫−=−=12,)1(12)1(24)(yy y ydx x y f η.,0)(;10其它=≤≤y f y n 故在0≤y ≤1时，⎩⎨⎧≤≤−−=;1)1/()1(2)(2其它x y y x y x f ηξ因()∫−=−=x y x ydy x x f 022,)1(12124)(ξ.,0)(;10其它=≤≤x f x ξ故在0≤x ≤1时，⎩⎨⎧≤≤=.0,0/2)(2其它x y x y x y f ξη（2）因;1,121)(2/12∞≤≤==∫x x nxdy y x X f x x ξ;,0)(其它=x f ξ故在1≤x<时，∞⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,1121)(其它x y xnxy x y f ξη因 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<<=≤<==∫∫∞∞,002121102121)(22/12其它y y dx y x y dx y x y f y y η 故在10≤<y 时,⎪⎩⎪⎨⎧∞<<=;011)(2其它x y y x x y f ξη 而在,1时∞<<y ⎪⎩⎪⎨⎧∞<<=.0)(2其它x y x yx y f ξη（3）在x >0,.0,0)(;0,)(≤=>==∫∞−−x x f x e dy e x f x xy ξξ⎪⎩⎪⎨⎧>=−.0,)(其它x y e x y f y x ξη ;0,)(0>==∫−−y ye dx e y f y yy η .故在y>0时，0,0)(≤=y y f η⎪⎩⎪⎨⎧<<=.0,01)(其它y x y y x f ηξ12、1(1)(2)2(),0(1)(1)X n n n n n f x dy x x y x ∞−−−−==+++∫>，故12(1)(2)0,(/1)0.n nY X n y y f y −⎧−+>=⎨⎩其它 13、X 和Y 是否独立，可用分布函数或概率密度函数验证.方法一：X 的分布函数的分布函数分别为 Y x F X 和)()(y F Y ⎩⎨⎧<≥−=+∞=−,0001),()(5.0x x e x F x F x X ⎩⎨⎧<≥−=+∞=−.0001),()(5.0y y e y F y F yY 由于独立.Y X y F x F y x F Y X 和知),()(),(={}{}{}[][]1.005.005.0)1.0(1)1.0(11.01.01.0,1.0−−−=⋅=−⋅−=>⋅>=>>=e e e F F Y P X P Y X P Y X αY X Y X x f x f y x f Y X 和分别表示和),,()()(),,(方法二：以的概率密度，可知 ⎩⎨⎧≥≥=∂∂∂=+−.00,025.0),(),()(5.02其它y x e y x y x F y x f y x ∫∞+∞−−⎩⎨⎧<≥==,0005.0),()(5.0x x e dy y x f x f x X ∫∞+∞−−⎩⎨⎧<≥==.00,05.0),()(5.0y y e dx y x f y f yY ∫∫∞+∞+−+−==>>==1.01.01.0)(5.0.25.0}1.0,1.0{.),()(),(e dxdy e Y X P a Y X y f x f y x f y x Y X 独立和知由于)()(),(j i j i y Y P x x P y Y x X P =⋅====14、因知X 与Y 相互独立，即有 . )3,2,1,2,1(==j i 首先，根据边缘分布的定义知 .2418161),(11=−===y Y x X P 又根据独立性有),(61)()(},{2411111i x X p y Y p x X p y Y x X p ===⋅===== 解得41)(==i x X P ,从而有 1218124141),(31=−−===y Y x X P 又由 )()(),(2121y Y P x X P y Y x X P =⋅====, 可得 ),(41812y Y P == 即有21)(2==y Y P , 从而 838121),(22=−===y Y x X P .类似地，由),()(),(3131y Y P x X P y Y x X P ===== 有),(411213y Y P ==得31)(3==y Y P ,从而,.111),(31=−===y Y x X P 最后=)(2x X P =1+3+1=3. 将上述数值填入表中有1x1/24 1/8 1/12 1/4 2x1/8 3/8 1/4 3/4 {}j P y X P j ⋅==1/6 1/2 1/3115、本题的关键是由题设P{X 1X 2=0}=1，可推出P{X 1X 2≠0}=0；再利用边缘分布的定义即可列出概率分布表.(1)由P{X 1X 2=0}=1,可见易见,0}1,1{}1,1{2121=====−=X X P X X P 25.0}1{}0,1{121=−===−=X P X X P 5.0}1{}1,0{221=====X P X X P 25.0}1{}0,1{121=====X P X X P 0}0,0{21===X X P121212.16、(1) ⎩⎨⎧<<=,,0,10,1)(其他x x f X ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,021)(2y y ey f yY 因为X ，Y 独立，对任何y x ,都有 ).,()()y x f y f x Y =⋅(f X ⎪⎩⎪⎨⎧><<=−.,0,0,10,21),(2其他所以有y x e y x f y（2）二次方程 有实根，△ t Y Xt t 中022=++,04)2(2≥−=Y X ,02≥−Y X 即,2X Y ≤ 故=)(有实根t P dydx e dydx y x f X Y P yx y x 2122221),(}{−≤∫∫∫∫==≤∫−−=1022)(dx ex y=dx edx edx x x x 2101010222221211)21(−−∫∫−=−=−πππ21−=［∫∫∞−∞−−−−1022222121dx edx exx ππ］.1445.08555.01]5.08413.0[21)]0()1([21=−≈−−≈Φ−Φ−=ππ17、（1）因为X ，Y 独立，所以 .⎩⎨⎧>>==+−.,0,0,0,)()(),()(其他y x e y f x f y x f uy x Y X λλμ（2）根据Z 的定义，有 P{z=1}=P{Y ≥X}∫∫∫∫∞+∞−+−≥==)(),(xy x xy dydx e dydx y x f μλλμ∫∫∞+∞+−−=)(dx dy e e xy x μλμλ ),0u dx ee x x +=⋅=∫∞+−−λλλμλ{}{110=−==Z P Z P Z 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=.1,1,10,,0,0)(z z z z F Z μλμ18、∵X 、Y 分别仅取0，1两个数值，∴Z 亦只取0，1两个数值. 又∵X 与Y 相互独立，∴{}{}{}{}==========00)0,0(0),max(0Y P X P Y X P Y X P Z P 1/2×1/2=1/4， 故{}{}.4/34/110111=−==−===Z P Z P 19、 X 由2×2阶行列式表示，仍是一随机变量，且X=X 1X 4--X 2X 3，根据X 1，X 2，X 3，X 4的地位是等价且相互独立的，X 1X 4与X 2X 3也是独立同分布的，因此可先求出X 1X 4和X 2X 3的分布律，再求X 的分布律. ,则X=Y 1--Y 2.随机变量Y 1和Y 2独立同分布：322411,X X Y X X Y ==记}{}{}{{}.84.016.01}0{0112121=−========Y P Y Y P Y P 16.01,132===P X X P 显见, 随机变量X=Y 1--Y 2有三个可能值--1,0,1.易见 P{X=--1}=P{Y 1=0,Y 2=1}=0.84×0.16= 0.1344， P{X=1}=P{Y 1=1,Y 2=0}=0.16×0.84=0.1344, P{X=0}=1--2×0.1344=0.7312. 于是，行列式的概率分布为 4321X X X X X =~ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1344.07312.01344.010120、因为{Z=i }={X+Y=i }={X=0,Y=i }}.0,{}1,1{==−==Y i X i Y X ∪ ∪∪ 由于上述各事件互不相容，且注意到X 与Y 相与独立，则有 ∑∑==−===−====i k ik k i Y P k X P k i Y k X P i Z P 00}{}{},{}{∑=+−−−−−=−−=iik ki n ki k i nkn kk n P p pC P p c 022111()1()1∑=−−+ik k i n k n in n C Cp 02121)(,,1,0,)1(212121n n i p p C i n n i i n n+=−=−++).,(~21p n n B Y X Z ++=故注：在上述计算过程中，已约定：当r>n 时，用到了公式 并,0=rnC .12121∑=+−=ik i n n k i n k n C C C21、X 和Y 的概率分布密度为},2)(exp{21)(22σσπy x x f X −−=);(+∞<<−∞x ⎩⎨⎧≤≤−=.,0,),2/(1)(其它πππy y f Y 因X 和Y 独立，考虑到 )仅在[)(y f Y ππ,−]上才有非零值，故由卷积公式知Z 的概率密度为.221)()()(222)(dy edy y f y z f z f a y z Y X Z ∫∫−−−−∞+∞−=−=ππμσππ令σμ−−=y z t ,则上式右端等于.(2122122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−Φ−−+Φ=∫−+−−−σμπσμππππσμπσμπz z dt e z z t 22、（1）由题设知 {}y X X P y M P y F n M ≤=≤=),,max()()(1),,(1y X y X P n ≤≤= )()()()()(121y F y F y X P y X P y X P Xn X n =≤≤≤=.∵),1(],0[~:,,1n i U X X X i n ≤≤θ独立且同分布 ∴⎪⎩⎪⎨⎧><<≤=,0,1,0,,0,0)(x x x x x F i X θθ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=.,1,0,,0,0)(θθθy y y y y F n n M 故⎪⎩⎪⎨⎧<<=−.,0,0,)(1其它θθy ny y f n n M（2）{}y X X P y N P y N P y F n N >−=>−=≤=),,min(1)(1)()(1()y X P y X P y X P y X y X y X P n n >>>−=>>>−= )()(1,,,12121()[])(11)(11y F y X P i X i ni −−=>Π−==故 ⎪⎩⎪⎨⎧<<−=⎪⎩⎪⎨⎧<<−−−=−−其它其它,0,00,)(,001(1()(11y y n y y n y f n n n N θθθθθ 23、由题设容易得出随机变量（X ，Y ）的概率密度，本题相当于求随机变量X 、Y 的函数S=XY 的概率密度，可用分布函数微分法求之.依题设，知二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为()()()⎩⎨⎧∉∈=G y x Gy x y x f ,,0,2/1,若若 设为S 的分布函数,则 当{s S P s F ≤=)(}0≤s 时,()0=s F ； 当时, .2≥s ()1=s F 现设0<s<2. 曲线s xy =与矩形G 的上边交于点(s,1);位于曲线s xy =上方的点满足s xy >,位于下方的点满足s xy <. 故(){}{}{}).ln 2ln 1(2211211121s sdy dx dxdy S XY P s XY P s S P s F s x s sxy −+=−=−=>−=≤=≤=∫∫∫∫>于是,⎩⎨⎧≥≤<<−=.20,0,20,2/)ln 2(ln )(s s s s s f 或若若（二）、补充题答案1.由于即{},0)(),,min(,,max =<==Y X P Y X 故知ηξηξ{}{}{}03,23,12,1=========Y X P Y X P Y X P ；又易知{}{}{}{},9/1111,11,1==⋅=======ηξηξP P P Y X P{}{},9/12,22,2======ηξP Y X P {}{},9/13,33,3======ηξP Y X P {}{}{},9/29/19/11,22,11,2=+===+=====ηξηξP P Y X P{}{}{},9/22,33,22,3===+=====ηξηξP P Y X P {}.9/29/711,3=−===Y X P 所以2.（1）x{}.,2,1,0,0,)1( =≤≤−===n n m P P C n X m Y P m n {}（2）{}{}n X P n X m Y P m Y n X P ======,.,2,1,0,0,!)1( =≤≤⋅⋅−=−−n n m e P P C n m n mm n λλ3.22)1()1()1()0()0()1(p p Y P X P Y P X P z P +−===+====)1(2)0()1()1()0()0(p p Y P X P Y P X P z P −===+====而，由2)1,1()1,1(p Y X P Z X P ======),1()1()1,1(=====Z P X P Z X P 得. 2/1=p 5.:设随机变量ξ和η相互独立，都服从分 )1,0(N 布.则⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−⋅=)(21exp 21),(22y x y x p π.显然， ,),(),(∫∫∫∫<SGdxdy y x p dxdy y x p,其中 G 和S 分别是如图所示的矩形ABCD 和圆.22/)21(),(2∫∫∫−−=a ax Gdx e dxdy y x p π，令,sin ,cos ϕγϕγ==y x 则 ∫∫∫∫=ππ20221),(a aSdxdy y x p 所以221212/a aaxe dx e −−−−<∫π.6.设这类电子管的寿命为ξ，则（1）三个管子均不要替换的概率为；（2）三个管子均要替换的概率为 .∫∞+==>1502.3/2)/(100)150(dx x P ξ21(−27/8)3/2(3=27/1)3/3=7.假设总体X 的密度函数为，分布函数为，第次的观察值为，独立同分布，其联合密度函数)(x f ,(1x f )(x F )()2x f i (n x )1(n i X i ≤≤i X )(),1n f x f x =.依题意，所求的概率为{}∫∫∫∫∫∫∞+∞−∞−∞−∞−−−−=−==>>><n n n nx i x x x x n n nn nn n i n n n n dx x f dx x f dx x f dx x f dx dx xx f X X X X X X P 112211111,...,2,1121)(...)()()(),,(.,...,,∫∫∞+∞−∞+∞−−−==)()()()(11n n n n n n n x dF x F dx x f x F.1)(1n x F nn n=∞−∞+=8.)(),()(21211211n P n k P n k P =+=+===+=ξξξξξξξξ)()()(2121n P k n P k P =+−===ξξξξ.由普哇松分布的可加性，知服从参数为的普哇松分布，所以 21ξξ+21λλ+)(21212112121!)()!(!)(λλλλλλλλξξξ+−−−−+−⋅==+=e n e k n ek n k P n k n k.1211211kn kk n −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=λλλλλλ9.当，0≤z (),0)(=≤=z Z P z F z ,0>z 当()z Z P z F z ≤=)(∫∫−+−=20)2(02xz y x z dy e dx∫∫−−−−−−−==202012x z z z y z x ze e dy e dxe ，所以 Y X z 2+=的分布函数为 ⎩⎨⎧>+−≤=−.0,)1(1,0,0),(z e z z y x F z10.由条件知X 和Y 的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他若,0,31,31,41),(y x y x p以表示随机{})()(∞<<−∞≤=u u U P u F 变量U 的分布函数.显然，当0≤u 时， 0)(=u F ；当时，； 2≥u 1)(=u F 当，则20<<u []∫∫∫∫≤−uy x y x p ||,(≤−−−=−−===uy x u u dxdy dxdy u F ||2)2(411)2(44141))(2u−于是，随机变量的密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=其他,0;20),2(21)(u u u p .11.记为这3个元件无故障工作的时间，则的分布函数321,,X X X ),,min(321X X X T ={}[][].)(1),,min(1(31321t X P t X X X P t F T −=>−(11)13X P t ≤−−=>)()t T P =≤=⎩⎨⎧≤>−=∴⎩⎨⎧=≤>−=−−,0,0,0,1)()3,2,1(,0,0,0,1)(~3t t e t F i t t e t F X t T t i λλ∵ 故 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==−.0,0,0,3)(')(3t t e t F t f t T T λλ。