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浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。
北师大版《数学》（九年级上册）知识点总结第一章 证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。
（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。
（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。
（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。
二、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A∠-︒ 2、等腰三角形的判定(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形. 三、等边三角形性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）三线合一 判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形 （3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
四、直角三角形 （一）、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+其它性质：1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。
九年级数学上册第三章知识点第三章: 函数与方程1. 函数定义和表示：- 函数是一种特殊的关系，表示两个变量之间的依赖关系。
- 一般用 f(x) 或 y 表示函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。
- 函数还可以用映射法、列表法、图象法等表示。
2. 函数的性质：- 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
- 奇偶性：如果对于任意 x，有 f(-x) = f(x)，则函数是偶函数；如果对于任意 x，有f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
- 单调性：如果对于任意 x1 < x2，有 f(x1) < f(x2)，则函数是增函数；如果对于任意 x1 < x2，有 f(x1) > f(x2)，则函数是减函数。
- 周期性：如果存在一个正数 T，使得对于任意 x，有 f(x+T) = f(x)，则函数是周期函数。
3. 一次函数：- 函数的形式为 f(x) = kx + b，其中 k 和 b 都是常数。
- k 是斜率，表示函数的倾斜程度。
- b 是截距，表示函数与 y 轴的交点。
4. 二次函数：- 函数的形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a, b, c 都是常数且 a ≠ 0。
- a 决定了二次函数的开口方向和开口的大小。
- (h, k) 是二次函数的顶点，其中 h 和 k 分别是顶点的 x 坐标和 y 坐标。
5. 反比例函数：- 函数的形式为 f(x) = k/x，其中 k 是常数且 k ≠ 0。
- 函数的图象为一条经过原点的开口向右下方的曲线。
6. 线性方程与一次不等式：- 一次方程的形式为 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知数且 a ≠ 0。
- 方程的解为 x = -b/a。
- 一次不等式的形式为 ax + b > 0 或 ax + b < 0。
- 方程的解为 x > -b/a 或 x < -b/a。
九年级数学上册第三章知识点总结（北师大版）一、有理数的概念与性质1. 有理数的定义有理数是整数和分数的统称，包括正整数、负整数、零和所有的正负分数。
2. 有理数的比较有理数的比较可以利用数轴进行，较大的数在数轴上对应的点靠右，较小的数在数轴上对应的点靠左。
3. 有理数的运算性质有理数的加法、减法、乘法、除法满足封闭性、结合律、交换律、分配律。
4. 有理数的约分与化简将有理数的分子和分母同时除以它们的最大公约数，可以得到最简形式的有理数。
二、实数的表示1. 实数的性质实数包括有理数和无理数，实数的运算满足封闭性、传递性、对称性等性质。
2. 实数的表示方法实数可以用有理数表示，也可以用无理数表示。
（1）有理数的表示有理数可以用分数的形式表示，也可以用小数表示。
（2）无理数的表示无理数无法用两个整数的比值表示，可以用无限不循环小数或根式表示。
3. 无理数的性质无理数包括无限不循环小数和无限循环小数两种。
4. 实数的区间表示法实数可以用区间表示法表示在数轴上的连续的一段。
三、实数的运算1. 实数的加法与减法实数的加法满足交换律、结合律、存在单位元、存在逆元等性质。
实数的减法即加法的逆运算。
2. 实数的乘法与除法实数的乘法满足交换律、结合律、存在单位元、存在逆元等性质。
实数的除法即乘法的逆运算。
3. 乘方运算实数的乘方运算即将一个实数连乘若干次。
4. 实数的分配律实数的乘法对于加法满足分配律。
四、实数的应用实数广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学和工程技术等。
1. 数学建模实数在数学建模中起到了重要作用，通过实数的运算可以描述和解决实际问题。
2. 统计学与概率论实数在统计学和概率论中被广泛应用，例如描述数据的均值、方差以及概率的计算等。
3. 物理学与工程学实数在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如描述物体的位置、速度、加速度等物理量。
4. 经济学与金融学实数在经济学和金融学中也有重要作用，例如描述价格、收益率、利率等。
九年级数学上册第三章知识点第三章：数与式1. 实数与符号表示- 实数：实数是有理数和无理数的统称，包括整数、分数、小数和无限不循环小数等。
- 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）、等于（=）、不等于（≠）等符号用于表示数之间的大小关系。
2. 数的比较与运算- 数的比较：利用大小关系符号判断数的大小，比如大小关系符号 (<, >, ≤, ≥)。
- 数的运算：加法、减法、乘法和除法是数的基本运算。
3. 数的绝对值与相反数- 绝对值：一个数 a 的绝对值记作 |a|，表示 a 到 0 之间的距离。
对于正数和零，它的绝对值等于这个数本身；对于负数，它的绝对值等于这个数的相反数。
- 相反数：一个数 a 的相反数记作 -a，表示与 a 的绝对值相等但方向相反的数。
4. 有理数表示与四则运算- 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括整数、分数、小数和无限循环小数等。
- 有理数的表示：有理数可以用分数、整数和小数等形式表示。
- 四则运算：有理数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
5. 数的科学记数法- 科学记数法：科学记数法是一种用于表示极大或极小数的方法，它以一个介于1和10之间的数乘以10的幂的形式表示。
- 科学记数法的表示：科学记数法表示为 a × 10^b，其中 a 是一个介于1和10之间的数，b 是一个整数。
6. 平方根与立方根- 平方根：一个数 a 的平方根记作√a，表示使得 b^2 = a 的非负数 b。
如果 a 是正数，那么它有两个平方根：正平方根和负平方根。
- 立方根：一个数 a 的立方根记作³√a，表示使得 b^3 = a 的数 b。
对于正数和零，它有一个实立方根；对于负数，它有一个虚立方根和两个复立方根。
7. 代数式与值- 代数式：由变量、常数和运算符号构成的用来表示数、量或数与量之间关系的式子。
- 值：代数式中的变量确定后，代入变量的实际数值，得到的结果就是代数式的值。
九年级数学上册第三章知识点第三章：线性方程与不等式1. 一次方程：一个未知数的最高次数为1的代数方程，例如：2x + 3 = 5。
2. 解一元一次方程的基本方法：- 同时去掉方程中的分母和分子；- 移项，将未知数的项移到等号的一边；- 合并同类项；- 消去已知数项。
3. 一次方程的性质：- 两个方程等价的充要条件是它们有相同的解；- 若一个方程在实数集上有解，则这个方程在有理数集、整数集和自然数集上都有解。
4. 一次方程的应用：- 求实际应用问题中未知数的值；- 根据实际问题列一次方程；- 解决实际问题。
5. 一元一次不等式和不等式组：- 一元一次不等式：一个未知数的最高次数为1的不等式，例如：2x + 3 > 5。
- 不等式组：由若干个一元一次不等式组成的系统，例如：{x + y > 3, x - y < 1}。
6. 解一元一次不等式的基本方法：- 解法类似于解一元一次方程，但要注意不等号正负号变化时需要翻转不等号。
7. 一元一次不等式的性质：- 两个不等式等价的充要条件是它们有相同的解集；- 若一个不等式在实数集上有解，则这个不等式在有理数集、整数集和自然数集上都有解。
8. 不等式的解集：- 不等式的解集是满足不等式条件的实数集合，可以用区间表达。
9. 一次函数及其图象：- 一次函数是一个未知数的最高次数为1的函数，例如：y = 2x + 3。
- 一次函数的图象是一条直线。
10. 一次函数的性质：- 一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线，斜率 k 表示图象直线的斜率，截距 b 表示图象与 y 轴的交点；- 一次函数 y = kx + b 的图象是一条过点 (0,b) 的直线，斜率 k 表示直线的倾斜程度。
11. 一次函数的应用：- 用一次函数模型解决实际问题；- 用一次函数解释实际问题；- 通过对一次函数的研究提高问题解决的能力。
第三章证明（三）一．平行四边形的性质1.平行四边形的对边平行。
2.平行四边形的对边相等。
（推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
）3.平行四边形的对角相等。
4.平行四边形的邻角互补。
5.平行四边形的对角线互相平分。
6.特别说明：平行四边形是中心对称图形。
二平行四边形的判定方法7..定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
8..定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
9..定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
10..定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
11.定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三．等腰梯形的性质12.等腰梯形的两腰相等。
13.等腰梯形在同一底上的两个角相等。
14.等腰梯形的两条对角线相等。
四．等腰梯形的判定方法15.定义：两条腰相等的梯形叫等腰梯形。
16.定理：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
17.两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
五．矩形的性质(5+2)18.矩形具有平行四边形的一切性质。
19..矩形的四个角都是直角。
20.矩形的对角线相等。
六．矩形的判定方法21.有三个角都是直角的四边形是矩形。
22.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
23.对角线相等的平行四边形是矩形。
七．菱形的性质（5+2）24.菱形具有平行四边形的一切性质。
25.菱形的四条边都相等。
26.菱形的对角线互相垂直。
八．菱形的判定方法27.有四条边都相等的四边形是菱形。
28.邻边相等的平行四边形是菱形。
29.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
九．正方形的性质（5+2+2）30.具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
十．正方形的判定方法31.邻边相等的矩形是正方形。
32.对角线垂直的矩形是正方形。
33.有一个角是直角的菱形是正方形。
34.对角线相等的菱形是正方形。
十一三角形的中位线35.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
36．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
九年级上册数学第三章证明（三）教案・・・ZABD = ZCDBZA D B=ZC B D.•.AB//CD, B C//A D・・・四边形A B C D是平行四边形。
同理我们也可以连接A C來证明。
做一做证明：如图屮的四边形MNOP是平行四边形。
学生先独立证明，再与同桌交流,上讲台演示。
证明:(x-3) 2—(X—5) 2=42 x=8/.MN=5=P0.•.PM二3 二ON・・・四边形MNOP是平行四边形.三、随堂练习课木随堂练习1、2、3例如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0, EF过点0且与AD、BC分别相交于E、Fo你认为0E与OF有怎样的关系？请证明你的结论。
猜想：平行四边形是中心对称图形，其对角线的交点0即为对称中心。
由于DA和BC是对应线段,而EF过对称中心0, E、F分别为EF 与DA、BC的交点，所以E、F关于点0对称，所以0E二0F。
证明思路：由0E、0F分别在AAOE、AC0F中，可证△ AOE^ACOFo 证明：・・•四边形ABCD是平行四边形，OA = ()C(平行四边形的对角线4.相平分)川・•・厶EAO二厶FCO.又.・乙AOE二乙COF,・•・ ZUOEMCOF ( ASA)..・.OE = OF.举一反三：对于任意一个中心对称图形，经过对称中心的直线被该图形所截得的线段恰好以对称中心为中点。
思维误区如图，平形四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0, 0E垂直于AB, 0E垂直于CD,垂足分别是E, F,求证：OE=OF«在这题中，容易误认为Z3和Z4为对顶角，进而得到Z3=Z4O必须注意的是，OE、0F是从0点分别向AB、CD作的两条直线，OE、OF是否在同一直线上需要加以证明。
证明I四边形ABCD是平行四边形，.*.OB=OD, AB〃CD, AZl=Z2o乂TOE丄AB, OF丄CD, .•.Z0FD=Z0EB=90° ,AAOFD^AOEB,・・・OE二OF。
四、课堂总结涉及到平行四边形判定的问题，应注意灵活选择不同的判定方法。
从边看：有三种判定方法：两组对边分别相等；两组对边分别平行；一组对边平行且相等。
从角看：两组对角分别相等。
从对角线看：对角线互相平分。
五、布置作业课本习题3.2 1、2教学反思:课题 3.2特殊平行四边形（一）课型新授课教7口标1.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。
2.能运用综合法证明矩形性质定理和判定定理。
3.体会证明过程屮所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。
教学重点掌握矩形的性质和判定以及证明方法。
教学难点运用综合法证明矩形性质和判定。
教学方法讲练结合法进一步发展推理论证能力，运用综合法证明矩形的性质和判定定理，进一步体会证明的必耍性和作用，体会归纳等数学思想方法。
教学内容及过程备注一、回顾交流1 .你了解哪些特殊的平行四边形？2.这些特殊的平行四边形与平行四边形有哪些关系?3.能用一张图来表示它们之间的关系吗? 平行四边形与短形、菱形、正方形的关系。
二、探究新知1.议一议：前面我们己探讨过矩形的性质，矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.那你能证明它们吗？学生先独立证明两个定理，再进行交流。
已知：四边形ABCD是矩形•求证：ZA=ZB=ZC=ZD=90°已知：四边形ABCD是矩形.求证：4 _________________________ °AC=DB证明：（略）B ------------------------- C定理矩形的四个角都是直角定理矩形的对角线相等2.如图，设矩形的对角线AC与BD的交点为E,那么BE是RtAABC屮一条怎样的特殊线段？它为AC有什么大小关系？为什么？（学生分四人小组进行合作交流，相互补充）CD如图,已知BE 是RtAABC 的斜边AC 上 的屮线. 求证:BE=-AC.2方法一：过A 点作BC 的平行线，BE 的延 长线交于点D,连接CD,然后证明ABCE 和ADAE全等，得到BOAD,进而证明四边形ABCD 是矩形，再利用“矩形的对 角线相等且互相平分”即可得到。
方法二：在BE 的延长线上取线段ED,使ED=BE,连接AD 、DC,然 后证明四边形ABCD 是矩形，再利用“矩形的对角线相等且互相平分” 即可得到。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 三、范例学习角都是直角，对角线相等。
六、布置作业课木习题3. 41、2、3教学反思:课题 3・2特殊平行四边形（二） 课型 新授课・・・ZDAB 二90。
（矩形的四个角都是直 角）・•・ BD=2AB=2X2. 5=5 （cm ）拓展：例1述可以怎么证？ 四、 随堂练习 课木随堂练习 五、 课堂总结矩形具有平行四边形的所有性质，还貝-有自己独有的性质：四个与同伴交流。
1、2 例1,如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O,已知ZAOD = 120° , AB=2.5cm,求矩形对角线的长。
・・・四边形ABCD 是矩形・・・ AC=BD,且 0A=0O 丄 AC, OB=OD=1BD2 2（矩形的対角线相等且互相平分）・・・0A 二0D ・・・ZA0D=120o・•・ Z0DA=Z0AD=（180° -120° ） H-2=30° CD菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.2.例2,如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm,求(1).对角线AC的长度。
(2).菱形ABCD的面积。
分析：(1)要求对角线AC的长度，由已知：“四边形ABCD是菱形”，可知：只需求出0A的长即可, 而0A又是RtAAOB的边.因而应用勾股定理即可求解. (2)从图形中可知：菱形ABCD被对角线BD分成两个全等的等腰三角形，所以要求菱形ABCD的面积，只需求H1AABD或ABDC 的面积即可.解：(DY四边形ABCD是菱形,・・・ZA0D = 90。
,(菱形的对角线互相垂直) 0D=- BD=-X10=5(cm).(菱形的对角线互相平分)2 2A0A= ^AD2-OD2 = 7132 -52=12 (cm).・・・AC=20A=2X 12=24 (cm)・(菱形的对角线互相平分)⑵菱形ABCD的面积=AABD的面积+ACBD的面积=2X AABD 的面积=2X-BDX0A=2X- X 10X 12=120(cm2).2 2 同学们再来看例题的图形，你还会发现什么呢？菱形ABCD被对角线AC、BD分成四个全等的直角三角形.这四个全等直角三角形的斜边是菱形的边，两条直角边乂是菱形的対角线的一半.每个肓角三角形的底和高分别是两条对角线的一半，而菱形的血积正好是这四个直角三角形的面积的和，所以由此推出：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半.即菱形ABCD的面积=4XAA0B 的面积=4X - XBOX - AC =- X BOX AC.2 2 2同学们总结得真好.如果菱形的两条对角线氏分別是a、b,则菱形的面积为S=-a*b.23.菱形的判别方法：(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
(3)四条边都相等的四边形是菱形。
选择其中一个画图，写已知、求证，并思考证明过程，老师巡视指导，然后小组间交流，中心发言人回答，通过引导学生反思本题是否还有其他解法，比较哪种解法较为简捷，进一步拓宽学生的解题思教学口标1.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。
2.能运用综合法证明止方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论。
3.体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思、想方法。
教学重点掌握正方形的性质和判定以及证明方法。
教学难点特殊四边形——矩形、菱形、止方形的性质定理和判定定理的灵活应丿IJ.教学方法讲练结合法引导学住体会证明过程屮所运用的由一般到特殊再到--般的归纳思想方法、类比的思想方法、转化的思想方法等，培养积极探索、勇于创新的精神，以及推陈出新的创新能力。
教学内容及过程备注一、回顾交流1.正方形有哪些性质？判定一个四边形是正方形有哪些方法?F C F C2.如图，在AABC中,EF为A ABC的中位线,①若ZBEF二30 ,则ZA= ______ .②若EF=8cm,则AC二_____ .在AC的下方找一点D,做CD和AD的中点G、H,问EF和GH有怎样的关系? EH和FG呢? 四边形EFGH的形状有什么特征?通过问题串，复习三角形中位线性质定理，形各边的中点可以得到一个平行四边形”。
O二、探究新知依次连接任意以边形各边的中点可以得到一个平行四边形，那么，依次连接正方形各边的屮点能够得到一个怎样的图形呢？你能证明所得出的结论吗？证明：・・・四边形ABCD是正方形.AZA=ZB=ZC=ZD=90° ,AB=BC=CD=DA.探索新命题“依次连接任意四边又VA H B K C I. Di分别是边AB、BC、CD、DA的中点。
.\AA I=BA=BB I=B I C=CC I=C I D=DD I=D I A..••△AD』］竺△BAiB】竺ZXCBiG 竺△DGD-AiBi=BiCi=C】Di = DiAi. VZA=ZB=90° ,AAi=ADi, AiB—BBi, ・・・ZAAiD尸ZBA：B L45°.・・・ZDAB】=90° .・•・四边形AiBiCiDi是正方形.先证明了四边形A.B.C.D.的四条边相等，即是菱形，然后乂证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A.B.C.D.是正方形.因为人、B堤边AB、DC的中点,所以，若连结对角线AC,贝lj A】B】是AABC的中位线，同理可知CD是AADC的中位线，同样,连结对角线BD,也可知ADMA ABD的中位线，BG是ABDC的中位线，这样山中位线的性质定理和正方形的对角线相等可得知Ab、BQ、CD、DA,是相等的，然后再证，有一个角是90°,这样也可以证明：四边形ARCD是正方形.三、合作交流1.议一议(1)•依次连接菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形？先猜一猜，再证明。
(2).依次连接平行四边形四边屮点呢？(3).依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？平行四边形的中点四边形是平行四边形;矩形的中点四边形是菱形; 菱形的中点四边形是矩形;正方形的中点四边形是正方形;等腰梯形的中点四边形是菱形;直角梯形的中点四边形是平行四边形;梯形的中点四边形是平行四边形。
决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系。
