从几个次序统计量出发的二参数Weibull分布的参数估计

威布尔分布参数计算方法\[ f(x;\lambda, k) = \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k} \]其中，$\lambda>0$和$k>0$是威布尔分布的两个参数，$\lambda$称为尺度参数，$k$称为形状参数。

下面将介绍如何计算威布尔分布的参数。

##最大似然估计法最常用的参数估计方法是最大似然估计法。

假设我们有$n$个样本数据$x_1, x_2, ..., x_n$，要估计威布尔分布的参数$\lambda$和$k$。

首先，根据概率密度函数，我们可以得到似然函数：\[ L(\lambda, k ; x_1, x_2, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n}\frac{k}{\lambda} \left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x_i/\lambda)^k} \]为了方便计算，我们可以求似然函数的对数：\[ \log L(\lambda, k ; x_1, x_2, ..., x_n) = n \log k - n \log \lambda + (k-1) \sum_{i=1}^{n}\log\left(\frac{x_i}{\lambda}\right) - \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^k \]接下来，我们需要最大化对数似然函数。

可以通过求偏导数等于0来求解最大化的参数。

求解$\lambda$的最大似然估计值：\[ \frac{\partial \log L}{\partial \lambda} = -\frac{n}{\lambda} + \frac{(k-1)}{\lambda} \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^k}{\lambda^{k+1}} = 0 \]化简上式得到：\[ \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^k =\frac{(k-1)}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{\lambda} \]我们可以定义一些中间变量：\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]\[ s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \]将上面的结果代入方程中：\[ \left(\frac{\bar{x}}{\lambda}\right)^k = \frac{(k-1)}{n} \frac{\bar{x}}{\lambda} \]进一步整理可得：\[ \lambda = \left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k} \]接下来求解$k$的最大似然估计值，我们将$\lambda$的最大似然估计值带入似然函数中，得到：\[ \log L(k ; x_1, x_2, ..., x_n) = n \log k - n \log\left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k} + (k-1) \sum_{i=1}^{n}\log\left(\frac{x_i}{\left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k}}\right) - \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{\left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k}}\right)^k \]类似地，对上式求偏导等于0，可以得到对$k$的求解。

weibull函数Weibull函数是一种常见的概率分布函数，在工程、生物学、环境科学等领域都有广泛的应用。

本文将围绕Weibull函数展开详细的讲解。

一、Weibull函数的概念Weibull函数是von Weibull于1951年提出的一种数学函数，具有如下公式：f(x) = (k/λ) * [(x/λ)^(k-1)] * exp[-(x/λ)^k] (x>=0)其中，k和λ是Weibull函数的参数，k称为形状参数，反映随机变量的分布形状；λ称为尺度参数，反映随机变量的尺度大小。

二、Weibull函数的特点1、Weibull函数是典型的右偏分布，也称为正倾斜分布，这是由于右侧长尾的存在导致的。

2、Weibull函数可用于刻画各种不同类型的现象，如失效时间、断裂强度等。

3、Weibull函数在实际应用中具有广泛的应用领域，如可靠性分析、质量控制、产品寿命预测等。

三、Weibull函数的参数估计在实际应用中，我们需要估算Weibull函数的参数，目前常用的方法有极大似然估计和最小二乘估计。

1、极大似然估计极大似然估计是一种常用的参数估计方法，其原理是在已知样本数的情况下，通过求解最大的似然函数值，来获得Weibull函数的参数估计值。

2、最小二乘估计最小二乘估计是通过最小化误差平方和的方法来获得Weibull函数的参数估计值。

四、Weibull函数的应用Weibull函数是一种常见的概率分布函数，其应用范围非常广泛。

下面列举几个实际应用案例：1、可靠性分析Weibull函数可以用来描述机械零件的失效时间分布，通过对失效时间的估计，可以预测产品的寿命，并制定相关的维修和更换计划。

2、产品寿命预测基于Weibull函数的特点，可以通过对产品失效数据的分析得到不同时间段内的失效概率和相关的可靠性数据，从而预测产品的寿命。

3、质量控制Weibull函数可以用来描述产品的质量控制数据，通过对数据的分析，可以判断产品整体质量水平，及时发现和解决质量问题。

第28卷 第4期华侨大学学报(自然科学版)Vo l.28 No.42007年10月Jo ur nal of H uaqiao U niversity (Natur al Science)Oct.2007文章编号: 1000-5013(2007)04-0441-03定时截尾的Weibull 分布双参数近似估计田 霆(华侨大学数学科学学院,福建泉州362021)摘要: 利用纠偏思想,讨论定时截尾情形下W eibull 分布的双参数的近似估计,并进行M o nte Ca rlo 数值模拟试验.从模拟实验结果与Sirv anci 提出的方法的模拟结果相比可以看出,纠偏法有时偏差较大,有时偏差较小.当产品数n 比较大时,参数估计的精度还是令人满意的.分析表明,所给出的两参数估计方法是可行的.关键词: W eibull 分布;定时截尾;标准指数分布;近似估计中图分类号: O 213.2;O 242文献标识码: A在可靠性寿命试验中,人们经常采用定时或定数截尾试验.当产品寿命服从Weibull 分布时,在定数截尾情况下,已有比较完善的结果.定时截尾时,由于失效产品个数具有随机性,因此给统计分析带来很大难度.本文利用纠偏的思想,构造一个新的统计量,给出参数的一种近似估计.1 单参数指数尺度参数的估计若T 服从W (m, ),它的分布函数为F(t)=1-exp {-(t )m},t 0.其中,m 为形状参数,m >0; 为刻度参数, >0 易知,W =(T)m服从标准指数分布[1].若T 服从单参数指数分布,其密度函数形式[2]f (t)=1e -t,t 0.记定时截尾时间为 ,在(0, ]时间内,产品的失效率为p ,A =(T < ),I A ( )为产品在(0, ]内失效的示性函数(简记I ),即p =P (T < )=1-e-, I A ( )=1, A ,0, A.(1)则E[(T - )I ]=E [T ]- p ,其中E(TI )=0te -t d t =- + p + p.由式(1)可得, =- ln (1-p ),即有E[(T - )I ]=- + p = p h(p ) 其中,h(p )=1+1p ln (1-p ).现从分布密度函数形成中抽取n 个产品做试验,其失效时间分别为t 1, ,t n ,由矩估计的思想,我们可用统计量1n ni =1(t i -)I i 无偏估计.故可令1n n i =1(t i - )I i = p h(p ).2 Weibull 分布两参数的近似估计现从分布函数中取n 个产品同时参加定时截尾试验,其失效时间分别为t 1, ,t n ,截尾时间设为 ,而(t 1 )m , ,(t n )m ,()m 分别为服从标准指数分布的n 个产品相应的失效时间及截尾时间 故当 = 收稿日期: 2006-10-27作者简介: 田 霆(1972-),男,讲师,主要从事产品可靠性的研究.E -mail:t iant ing1972928@so hu.co m. 基金项目: 福建省自然科学基金资助项目(Z0511027)1时,可得到1n n i =1((t i )m -()m )I i =p h(p ).我们用r 记在(0, ]时间内的失效产品数,如果r 选取合理的话,在(0, ]内就有一定比例的产品失效.从而我们可用失效率rn 来估计失效概率p ,这样就可以得到 ,m 的第1个估计式为1n n i=1(t m i - m )I i = mp h (p ), 0<r <n (2)当r =0时,在(0, ]内无产品失效,则1n ni =1(t i - )I i =0,用它估计 p h(p )无意义;而当r =n 时,在(0,]内产品均失效,r n =1,h(1)无意义.r 服从B (n,p )分布,在0<r <n 条件下,E(1n n i =1((t i )m -()m)I i |0<r <n)=1P (0<r <n) n -1k =1P(r =k )E [1n n i =1((t i )m -( )m )I i |r =k]=11-p n -q n n -1k =1C k n p k q n -kE [1n n i =1((t i )m -()m )I i |r =k ] 其中,q =1-p.由文[3]可知,若从标准指数分布中抽取n 个产品做定时截尾试验(截尾时间为 ),其失效时间分别为t 1, ,t n .则E [ ni =1(t i - )I i |r =k]=kE [(t i - )I i |I i =1]=k p[(t i - )I i ]=kh (p ),有E(1n n i =1((t i )m -( )m )I i |0<r <n)=11-p n -q n n -1k=1C k n p k q n -k kh(p ).(3)由于 n -1k =1C knp kq n -kk = nk =0C k n p k q n -k k -C 0n p 0q n -C n n p n q 0=np -p n -q n,所以式(3)为np -p n-q n1-p n -q n h(p )=n -p n -1-q np -11-p n -q np h(p )=G(p )ph (p ) (4)上式中,G(p )=n -p n -1-q n p -11-p n -q n,我们可以将G(p )视为修偏因子.而在Weibull 分布中有如下结论[4]:若t 1, ,t n 服从渐进Weibull (m, )分布,则(1)t (1)服从Weibull (m , n 1m)分布,E (t (1))= (1+1m );(2)当n + 时,有|t (1)-E(t (1))| 0(渐进估计).其中,t (1)为样本的最小次序统计量.联立式(4)可得,一个估计式t(1)= (1+1m )和1n n i =1(t m i - m )I i = mG (p )p h(p ).这两方程形式很复杂,没有显式解,但利用数值解法,并借助于计算机总可解出m 及 的估计值及 .3 Monte Carlo 模拟本文作了大量的Monte Carlo 模拟实验,结果表明,上述两方程组的解存在且唯一.部分模拟结果与文[2]方法的模拟结果比较,如表1所示.表1中, m, 分别为m , 的偏差.n =20.在1~10组中表1 纠编法与文[2]方法模拟结果比较T ab.1 Co mparatio n o f the simulatio n g iv en the modifing and the thesls序号r 纠偏法m m纠偏法 文[2]的方法纠偏法 文[2]的方法114 1.0336 1.22460.03360.02130.22460.12562150.9107 1.0143-0.08930.01030.0143-0.0017315 1.0450 1.15610.0450-0.87600.15610.1385415 1.0374 1.10530.03740.01260.1053-0.02845120.84070.8354-0.15930.1432-0.16460.13266130.85460.9375-0.1454-0.1268-0.06250.0521716 1.2119 1.30460.21190.31450.30460.21688100.63000.7510-0.36910.0145-0.24900.11879110.80930.7841-0.19070.1452-0.21590.2136442华侨大学学报(自然科学版) 2007年续表Co nt inued table序号r 纠偏法m m纠偏法 文[2]的方法纠偏法 文[2]的方法10141.07761.04210.0776-0.01230.0421-0.203111151.87419.6140-0.12590.14890.38600.254112151.88439.4432-0.11570.1942-0.55680.110213112.075510.00120.07550.08200.00120.002614121.95439.88760.04570.0320-0.11240.014915132.16109.45780.1610-0.0259-0.54220.216216131.87209.7342-0.12800.01495-0.26580.256817121.75719.8765-0.2429-0.0214-0.12350.342618142.08128.43380.0812-0.0012-1.56620.325419112.04599.92190.04590.5487-0.0781-0.015320141.855410.05460.14460.01280.05460.079521130.25140.45130.00140.0152-0.04870.012422130.26770.47820.01770.1158-0.02180.149123160.20280.5034-0.04720.01560.00340.120624150.23590.4818-0.01410.2140-0.0192-0.015125110.26010.51700.00990.01620.0170-0.113226120.24970.5134-0.00030.01520.01340.568127140.24370.4867-0.05630.0118-0.01330.210628150.23750.4943-0.0125-0.0215-0.00570.104229130.25020.50150.0002-0.01640.00150.004330110.25120.48070.0012-0.0027-0.01930.1167取m =1.0, =1.0, =1.2;在11~20组中取m =2.0, =10, =10;在21~30组中取m =0.25, =0.5, =10.从表1可看出,与文[2]所述方法的结果相比,纠偏法有时偏差较大,有时偏差较小.当n 比较大时,参数估计的精度还是令人满意的.因此,这种利用纠偏的思想求出参数的估计的方法是可行的.参考文献:[1] 茆诗松,王玲玲.可靠性统计[M ].上海:华东师范大学出版社,1984:136 156.[2] RV A N CI M ,Y A NG G.Estimation of the W eibull parameter s under type I censor ing[J].JA SA ,1984,79:183 187.[3] 翟伟丽,茆诗松.定时截尾场合下双参数指数分布的参数估计[J].应用概率统计,2002,5(2):197 204.[4] 徐晓岭.两参数Weibull 分布定数、定时截尾下序进应力加速应力加速寿命试验的统计分析[J].数理统计与应用概率统计,1995,3(1):87 93.Approximate Parameter Estimation of Weibull Distributionunder Type I Censoring S ampleT IA N T ing(S chool of M athematics Science,Hu aqiao U nivers ity,Quanzh ou 362021,China)Abstract: A ppr ox imate pa rameter estimation is pr ov ided and the M ante Car lo simulation is done for t wo par amet ers Weibull distributio n under type I censoring by the tho ug ht o f modify ing.It is sho wn by comparing o ur simulation with the simulatio n pr ovided by Sirv anci:T he dev iation so metimes is larg e and so metimes is small.Ho wever ,the pr ecision of the par ameter estimation under a lar ge amount o f samples is all r ight.I t is also show n by the analysis that the estimation met ho d w ith tw o parameter s is suitable.Keywords: W eibull distr ibut ion;t ype I censor ing;no rmal ex ponent ial distr ibution;approx imate estimat ion(责任编辑:黄仲一)443第4期 田 霆,等:定时截尾的W eibull 分布双参数近似估计。

风电场风速概率Weibull分布的参数估计研究杨富程;韩二红;王彬滨;刘海坤;黄博文【摘要】风电场风速概率分布是描述风能特征的主要指标,其准确程度直接影响风电场风能资源的评估结果.主要介绍了两参数威布尔分布的极大似然估计法、最小二乘估计法和WASP估计法3种风速概率分布参数的估计方法.通过对四川广元地区低风速区域测风塔实测数据分析,结果表明,极大似然估计法与实测数据统计结果最为接近,拟合效果良好;Weibull参数c、k存在相对较为明显的季节变化;尺度参数c值随高度呈现幂指数形式,形状参数k值随高度呈现二次函数形式变化特征,在80～90 m高度左右,曲线出现拐点,k值取得最大值.【期刊名称】《江西科学》【年(卷),期】2019(037)002【总页数】7页(P264-269,299)【关键词】Weibull分布;概率分布;形状参数;尺度参数;参数估计【作者】杨富程;韩二红;王彬滨;刘海坤;黄博文【作者单位】四川电力设计咨询有限责任公司,610041,成都;四川电力设计咨询有限责任公司,610041,成都;四川电力设计咨询有限责任公司,610041,成都;四川电力设计咨询有限责任公司,610041,成都;四川电力设计咨询有限责任公司,610041,成都【正文语种】中文【中图分类】TM6140 引言随着世界工业经济的快速发展，化石能源燃烧排放出的大量温室气体导致全球气候发生巨大变化，已经严重危害到人类生存环境和健康安全[1]。

因此，可再生能源已成为解决能源与环境问题的主要途径之一，其中风力发电相比其它形式的可再生能源，因具有技术较为成熟、成本相对较低、对环境影响小等优势，成为世界各国大力发展可再生能源关注的重点之一[2]。

国家能源局在新能源“十三五”规划中提出“至2020年，我国风电装机容量将达到2.1亿kW以上，风电价格与煤电上网电价相当”。

同时，伴随着IV类复杂地形区域风资源相对较差及风电上网补贴电价不断下降的状况，准确评估风电场的经济性尤为关键。

二参数威布尔分布
二参数威布尔分布是一种常见的概率分布，也是一种可靠性分析中常用的分布。

它的概率密度函数为：
$$f(x)=frac{beta}{alpha}(frac{x-gamma}{alpha})^{beta-1}exp[ -(frac{x-gamma}{alpha})^{beta}]$$
其中，$alpha$ 和 $beta$ 分别是形状参数和尺度参数，$gamma$ 是位移参数。

二参数威布尔分布的特点是它的故障率函数是单峰的，并且可以描述一些具有逐渐加速的失效率的系统。

该分布在可靠性分析、风险评估、医学统计学等领域有广泛应用。

二参数威布尔分布的参数估计可以使用最大似然估计法或贝叶
斯估计法。

在实际应用中，我们可以使用统计软件对数据进行分析，并得到相应的分布参数，从而进行可靠性分析和风险评估。

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从⼏个次序统计量出发的⼆参数Weibull分布的参数估计Ξ第4卷　第1期2005年3⽉　太原师范学院学报(⾃然科学版)JOURNA L OF T AIY UAN TE ACHERS C O LLEGE(Natural Science Edition)　V ol.4N o.1　Mar.2005从⼏个次序统计量出发的⼆参数Weibull分布的参数估计郭德怀(江苏财经职业技术学院,江苏淮安223001)〔摘要〕　从两个或三个次序统计量出发,讨论了⼆参数Weibull分布的参数估计问题,在实际数据的缺失、删失、截尾等情况下,为可靠性试验的数据处理提供了⼀种有效的估计⽅法.〔关键词〕　次序统计量;⼆参数Weibull分布;参数估计〔⽂章编号〕　167222027(2005)0120004204　〔中图分类号〕　O213;T B114〔⽂献标识码〕A设产品寿命T～Weibull(η,γ),其分布函数为F T(t)=1-exp-tη1γ,η>0,γ>0,t>0.(1)记µ=lnη,则Tη1γ服从标准指数分布;X=1n T服从极值分布(也称对数Weibull分布),其分布函数为F X(χ)=1-exp-expχ-µγ,γ>0,-∞<µ<+∞.(2)再令Y=X-µγ=lnT,则Y服从标准极值分布,其分布函数为F Y(y)=1-exp(-e y)　.(3)设有来⾃⼆参数Weibull分布的样本量为N的样本T1,T2,…,T N,T(1)≤T(2)≤…≤T(N)为其次序统计量,则相应的X(1)≤X(2)≤…≤X(N)可看作是来⾃极值分布的样本量为N的样本的次序统计量,Y(1)≤Y(2)≤…≤Y(N)可看作是来⾃标准极值分布的样本量为N的样本的次序统计量.1　形状参数的估计Murthy和S wartz从N个失效样本中两个次序统计量出发,提出了形状参数γ的⽆偏估计,根据次序统计量的选择准则,在使估计量的⽅差达到最⼩的条件下,渐进效率在70%左右[1].他们还运⽤此统计量在Weibull分布的刻度参数未知时进⾏了γ的假设检验.本⽂从三个次序统计量出发,导出γ的估计,并得到相对效率的公式.若有次序观测值t(m)与t(l),1≤lY=ln t(m)-ln t(l)2γ(4)易知Y的分布与未知参数⽆关.令γ^=ln t(m)-ln t(l)2E(Y)(5)显然,γ^为γ的⽆偏估计,由Y的构造不难推出Ξ收稿⽇期:2003212230作者简介:郭德怀(19652),男,湖南长沙⼈,江苏财经职业技术学院⾼级讲师,主要从事概率统计的研究.E (Y )=2A∑l -1i =0∑m -l -1j =0Cij14ρb ln ρ+1ρ(6)E (Y 2)=2A∑l -1i =0∑m -l -1j =0Cijg (ρ)(7)其中,A =N !(l -1)!(m -l -1)!(N -m )!,g (χ)=∑∞k =1(-1k2)(-1χ)k ,ρ=N +j -m +1b ,b =m -l +i +j ,C ij =(-1)i +j l -1i m -j -1j.类似的,若有三个次序观测值t (1),t (m ),t (n ),1≤lY 1=ln t (n )-ln t (m )2γ,Y 2=ln t (m )-ln t (l )2γ,(8)则Y ,Y 2的联合分布是完全确定的.令γ^=ln t (n )-ln t (m )2E (Y 1)?n -m n -l +ln t (m )-ln t (l )2E (Y 2)?m -l n -l(9)显然,E (γ^)=γ,并且γ^γ的分布是完全确定的,其⽅差Var γ^γ也是可求的.下⾯从标准极值分布出发导出Varγ^γ的公式.记α=n -m n -l ,β=m -ln -l,则γ^=ln t (n )-ln t (m )2E (Y 1)?α+ln t (n )-ln t (m )2E (Y 1)?β,从⽽　γ^γ=α2E (Y 1)?ln t (n )-µγ+β2E (Y 2)-α2E (Y 1)?ln t (m )-µγ-β2E (Y 2)ln t (l )-µγ.前⾯已指出,ln t (n )-µγ可看作是来⾃标准极值分布的容量为N 的第n 个次序样本,以Y (i )记来⾃标准极值分布的容量为N 的第i 个样本,则2E (Y 2)?Y (l ).(10)于是Var γ^γ=a 24E 2(Y 1)Var Y (n )+β2E (Y 2)-α2E (Y 1)2Var Y (m )+β24E 2(Y 2)Var Y (l )+αE (Y 1)β2E (Y 2)-α2E (Y 1)C ov Y (n ),Y (m )-α2E (Y 1)?β2E (Y 2)C ov Y (n ),Y (l )-β2E (Y 2)-α2E (Y 1)?β2E (Y 2)C ov Y (m ),Y (l ).(11)由于标准极值分布不含任何未知参数,其次序样本的期望、⽅差、协⽅差均为常数,⽽E (Y 1),E (Y 2)的公式与(6)是⼀致的,因⽽Var γ^γ完全可求.将γ^的⽅差与最⼩⽅差线性⽆偏估计的⽅差作⽐较,从⽽给出γ^的效率,以γB 记γ的BLUE ,则AE ff (γ^)=Varγ^BγVarγ^γ相对效率,结果如表1、表2所⽰.5　第1期郭德怀:从⼏个次序统计量出发的⼆参数Weibull 分布的参数估计表1　N =20时次序统计量的数字特征T able 1　Figure character of order statistics when N =20i期望值⽅差协⽅差i 12341-3.573941.6439312-2.545080.6456520.629963-2.020730.3953930.493160.308854-1.655350.2845340.418370.262010.20511表2　N =20,r =4的相对渐进效率(形状参数)T able 2　Relative asymptotic effectiveness when N =20,r =4所采⽤的次序统计量:i估计量γ^γ的⽅差相对渐进效率1,2,30.4808365.74%1,2,40.3521989.75%1,3,40.4887564.67%2,3,40.8592036.78%注意到⽆论是在(5)式还是(9)式中,若把ln t (i )看作次序样本实现值,则γ^都是ln t (i )(i =1,2,…,N )的线性函数,且其系数和为0.受此启发,假设有部分观测到的次序样本和部分未观测到的缺失次序样本,则可由观测到的部分次序样本出发构造的线性⽆偏估计γ^=∑其中∑3指对那些观测到的次序样本求和,∑3βi =0.另外也可将(12)写成γ^γ=∑3βi ln t (i )-µγ=∑3βi Y (i ).(13)由此,γ^γ的分布与未知参数⽆关,其⽅差可计算,不过在βi 的选择上还应使γ^成为γ的⽆偏估计.2　刻度参数的估计由于极值分布中µ=ln η,因此可将刻度参数η的估计转化为对µ的估计.由变换Y =ln t -µη,可⾃然地给出µ^=ln t (l )-E (Y (l ))γ^,Y (l )为标准极值分布的第l 个次序统计量.显然,E (µ^)=µ,µ^随着γ^的形式变化⽽变化,不妨以(5)式代⼊,因此,µ^是从两个次序统计量出发的估计量.于是,Var µ^γ=Var µ^-µγ=Var Y (l )-E (Y (l ))γ^γ=Var Y (l )-E (Y (1))(Y (m )-Y (l ))2E (Y )=Var1+E (Y (l ))2E (Y )Y (l )-=1+E (Y (l ))2E (Y )2Var (Y (l ))+E (Y (l ))2E (Y )2Var (Y (m ))-21+E (Y (l ))2E (Y )E (Y (l ))2E (Y )C ov (Y (1),Y (m )),C ov (µ^,γ^)=C ov (ln t (l )-E (Y (l ))γ^,γ^)=γ2C ov Y (l ),E (Y (l ))Y (m )-Y (l )2E (Y ),Y (m )-Y (l )2E (Y )=γ2C ov 1+E (Y (l ))2E (Y )Y (l )-E (Y (l ))2E (Y )Y (m ),-Y (l )2E (Y )+Y (m )2E (Y )=r 2-1+E (Y (l ))2E (Y )12E (Y )Var (Y (l ))-E (Y (l ))2E (Y )12E (Y )Var (Y (m ))+ 1+E (Y (l ))2E (Y )12E (Y )C ov (Y (l ),Y (m )).6太原师范学院学报(⾃然科学版) 第4卷　有了以上两个公式,下⾯来求µ^的渐进效率(以BLUE或G LUE作⽐较).以µ^B记µ的BLUE,则AE ff(µ^)=Var(µ^Bγ)Var(µ^γ)=A r,NVar(µ^γ),其中A r,N可在⽂献[2]中查得,r为截尾数.取N=20,r=4,可得如表3所⽰的结果.表3　N=20,r=4的相对渐进效率(刻度参数)T able.3　Relative asymptotic effectiveness when N=20,r=4所采⽤的次序统计量:i估计量γ^γ的⽅差相对渐进效率1,27.0323417.02%1,31.9823460.40%1,41.7123470.54%2,32.5947646.14%2,41.8762463.38%3,43.8647230.99%参考⽂献:[1]　Murthy V K,S wartz G B.Estimation of W eibull parameters from tw o2order statistics[M].Ohio:Wright2Patters on Air F orce Base,1974[2]　第四机械⼯业部标准化研究所.可靠性试验⽤表[M].北京:国防⼯业出版社,1978Estimation of Tw o2parameter Weibull P arametersUsing Several Order Statistics〔Abstract〕　The problem of the parameter estimation of tw o2parameter weibull distribution is discussed using tw o or three order statistics.In practice we often need to deal with im plement data,especially in reliability statistics.It provides an effective method for estimating the parameter of Weibull distribution.〔K ey w ords〕　order statistics;tw o2parameter Weibull distribution;parameter estimation 7　第1期郭德怀:从⼏个次序统计量出发的⼆参数Weibull分布的参数估计。

威布尔分布拟合参数咱今儿个就来唠唠这个"威布尔分布拟合参数"，听着名字就有点儿高大上，也有点儿绕口，但其实呢，这玩意儿就像是咱们生活中那些看似复杂的玩意儿，拆开来细细一瞧，原来都是有规律可循的。

你想啊，咱平常用手机的时候，电池不都是有个寿命吗？用得久了，电池就得换。

威布尔分布呢，就好比是电池寿命的预言家，它能告诉你电池大概什么时候会罢工。

就像你家那口子，年轻时候整天加班加点，忙得像陀螺似的，啥时候累倒了，你心里也得有个数儿吧？这威布尔分布，顾名思义，是个老外姓威布尔发明的，咱也不知道他长啥样，但这玩意儿确实管用。

它就像是统计学里的一个老中医，看病的时候，摸摸脉，瞧瞧舌苔，就能给你开出一剂良方来。

“哎，老张，你这电池啥时候该换了？”我问老张。

老张挠挠头，“这我哪知道啊，我这手机电池，感觉像是永远用不完似的。

”“那可不一定，”我笑着说，“这威布尔分布能帮你算一算。

就像你那小孙子，一天到晚闹腾，你知道他啥时候该睡了不？”“哈哈，你说的倒也是，”老张笑得合不拢嘴，“那这威布尔分布到底咋算啊？”“这事儿呢，得先把数据收集起来，就像你去菜市场买菜，得挑挑拣拣一样。

”我解释说，“然后呢，得用一些数学方法，把这些数据给它归归类，找出其中的规律，就像是把一堆杂乱无章的线头理出个头绪来。

”“听起来不简单啊，”老张感叹道，“这玩意儿得学多久才能学会啊？”“其实也不难，”我安慰他，“就像你学开车，最开始那会儿，换挡都得瞅着脚下，时间长了，熟能生巧嘛。

”“那你给我讲讲，这威布尔分布到底咋拟合参数的？”老张来了兴趣。

“好嘞，”我清了清嗓子，“这拟合参数呢，就好比是给你手机电池找个合适的寿命预估。

首先呢，得有数据，就像你得知道你那小孙子平常啥时候闹腾，啥时候睡觉一样。

然后呢，得用一些数学工具，把这些数据给它分析分析。

”“听着有点儿像在做实验啊，”老张点头道。

“对头，”我笑说，“这就像是做实验，找出规律。

威布尔分布的参数呢，有两个，一个是形状参数，一个是尺度参数。

两参数Weibull分布联合置信区间估计
两参数Weibull分布联合置信区间估计
提出了定数截尾下两参数Weibull分布精确联合置信区间估计的`一种方法,并给出了可靠度的一个保守的置信下限,最后用模拟方法将其和已有的联合置信区间估计方法进行比较,表明文章的估计方法更好.本方法亦可推广到双边定数截尾的情形.
作者：邢兆飞徐海燕 XING Zhao-fei XU Hai-yan 作者单位：上海师范大学,数理信息学院,上海,200234 刊名：山西大学学报（自然科学版）ISTIC PKU 英文刊名：JOURNAL OF SHANXI UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)：2008 31(3) 分类号： O212 关键词： Weibull分布联合置信区间估计定数截尾可靠度。