定数截尾下Weibull分布形状参数的假设检验
- 格式：pdf
- 大小：1.52 MB
- 文档页数：3
文档推荐
-
Weibull分布页数:3
-
常用威布尔分布参数数据页数:4
-
Weibull分布参数估计方法及其应用页数:9
-
风速的weibull分布参数确定方法页数:4
-
Weibull分布寿命数据的参数估计页数:64
-
Weibull 分布页数:1
下载文档原格式
合集下载
分布假设的检验
i 1
npi0
n i1 pi0
假设检验
例 1 按孟德尔的遗传定律，让开粉红花的豌豆随机交配，子代可分为红花、粉红花和白花三类，其 比例为 1∶2∶1．为检验这个理论，特别安排了一个实验：100 株豌豆中开红花的有 30 株，开粉红花的有 48 株，开白花的有 22 株．试问这些数据与孟德尔遗传定律是否一致？（取 0.05 ．）
知参数，又 k 6， 0.05 ，查表得 2 (k 1) 2 (5) 11.071 ，
0.05
则
2 6 (ni npi0 )2 4.8 11.071，
i 1
npi0
故接受 H0 ，认为这颗骰子是均匀对称的． 2 还可用以下公式计算．
2 k (ni npi0 )2 1 k ni2 n ．
假设检验
分布假设的检验
7.6.1 2 检验
上例中，若这颗骰子是均匀对称的，则 1～6 点中每点出现的可能性相同，都为1/6 ，如果用
Ai 表示第 i 点出现 (i 1，2， ，6) ，则待检验假设
H0 ：P(Ai ) 1/6 (i 1，2， ，6) ．
在 H0 成立的条件下，理论频率 pi0 P(Ai ) 1/6 ，由 n 120 得频率 npi0 20 ．由于分布不含未
解 从豌豆中任选一株，开红花、粉红花及白花分别设为事件 A1 ，A2 ，A3 ，则按孟德尔定律有
p1
P( A1 )
1 4
，
p2
P(A2 )
1 2
，
p3
P(A3 )
1 4
．
现假设检验
选择统计量
H0 ：孟德尔定律成立，H1 ：孟德尔定律不成立 ．
2 k (ni Ei )2 ~ 2 (k 1) ，
定数截尾下Weibull分布形状参数的假设检验
孙 艳 君 ，宋 立新
（ ．吉林师 范大学 １ 博达学院，吉林 四平 １６ ０ ；２ ３ ００ ．吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 １６ ０ ） ３ ０ ０
摘
要：在分析产品的可靠性时 ，常常需要 进行寿命试验 ．而这 些产 品的寿命 大多是服从指数分 布或 Ｗｅ ｕ ｉｌ ｂ １分布 的．给
，
０ｆ ，， ． 中 ，＝１ … 其 ２
为形状参数， 为尺度 参数 ． 欲检验原假设 Ｈｏ ＝ｍ ＝… ＝ｍ ； ： ｋ 备择假 设 ： ， ２ ｍ 中至 少有两个不相等 ． ｍ， …，
现假定有 个产品进行寿命试验 ，到有 个产 品失效时就停 止试验 （ 即定数截尾寿命试验） ．其次序 失效数 据为 ：ｔ ｉ ｔ ｉ … （ ． ，， ． ｉ） ｚ ） （ （ ｆｉ ２…ｋ 要求 这 ｋ ） ：１ 个样本 是相互独立 的．从实际意义上看， 每个总体都抽取容量
以证明：诸 随机变量 Ｕ（， （ 一 Ｕ （ 服从参数为 的指数分布 ，且相互独立． 即 ： ） ， ｆ ｆ ）
（ Ｇ （ ｍ ） ＝１ ， 一１ ＝ｌ ， ・ ｆ ａ１ ｉ ｊ ， …， ； ， …，） ） ， （ ２ ｉ ２ 利用 Ｇ ｍ 分布 的可加性可得 ： Ｇ （ 一１ ． ａ ｍａ （ ａｒ ， ） ｍ
第 １ 期
孙艳君，等
定数截尾 下 Ｗｅ ｕ１ ｉ ｌ分布形状参数的假设检验 ｂ
１ ３
因为各个样本之 间是相互独立 的，所 以 （ ， ２ ｏ ｓｋ 也是相互独立的． １ （） （） ） ｏ ￣ 若原假 设成立并且根据分布 的可加性和引理 １ ，有对任意 ｉ ＝ｌ ， ｋ （ ， …，） ｉ ２
一
设 １ Ｓ ｒ ，．当 Ｓ ｒ ｚ 和 固定，？ ∞ 时，有下列渐进结果： ，
（ ．吉林师 范大学 １ 博达学院，吉林 四平 １６ ０ ；２ ３ ００ ．吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 １６ ０ ） ３ ０ ０
摘
要：在分析产品的可靠性时 ，常常需要 进行寿命试验 ．而这 些产 品的寿命 大多是服从指数分 布或 Ｗｅ ｕ ｉｌ ｂ １分布 的．给
，
０ｆ ，， ． 中 ，＝１ … 其 ２
为形状参数， 为尺度 参数 ． 欲检验原假设 Ｈｏ ＝ｍ ＝… ＝ｍ ； ： ｋ 备择假 设 ： ， ２ ｍ 中至 少有两个不相等 ． ｍ， …，
现假定有 个产品进行寿命试验 ，到有 个产 品失效时就停 止试验 （ 即定数截尾寿命试验） ．其次序 失效数 据为 ：ｔ ｉ ｔ ｉ … （ ． ，， ． ｉ） ｚ ） （ （ ｆｉ ２…ｋ 要求 这 ｋ ） ：１ 个样本 是相互独立 的．从实际意义上看， 每个总体都抽取容量
以证明：诸 随机变量 Ｕ（， （ 一 Ｕ （ 服从参数为 的指数分布 ，且相互独立． 即 ： ） ， ｆ ｆ ）
（ Ｇ （ ｍ ） ＝１ ， 一１ ＝ｌ ， ・ ｆ ａ１ ｉ ｊ ， …， ； ， …，） ） ， （ ２ ｉ ２ 利用 Ｇ ｍ 分布 的可加性可得 ： Ｇ （ 一１ ． ａ ｍａ （ ａｒ ， ） ｍ
第 １ 期
孙艳君，等
定数截尾 下 Ｗｅ ｕ１ ｉ ｌ分布形状参数的假设检验 ｂ
１ ３
因为各个样本之 间是相互独立 的，所 以 （ ， ２ ｏ ｓｋ 也是相互独立的． １ （） （） ） ｏ ￣ 若原假 设成立并且根据分布 的可加性和引理 １ ，有对任意 ｉ ＝ｌ ， ｋ （ ， …，） ｉ ２
一
设 １ Ｓ ｒ ，．当 Ｓ ｒ ｚ 和 固定，？ ∞ 时，有下列渐进结果： ，
Weibull分布寿命数据的参数估计
保密□，在_____年解密后适用本授权书.
本论文属于
不保密□.
（请在以上方框内打“√” ）
学位论文作者签名： 日期： 年 月 日
指导教师签名： 日期： 年 月 日
华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文
1 绪 论
1.1 选题背景及意义
1.1.1 寿命数据的特点 在医学、生物学和保险学中人们早就在研究各种各样的寿命数据及其统计分析 方法。到上世纪五十年代，急需提高工业产品的可靠性，吸引了许多统计学家和实 际工作者们研究各种类型的寿命数据。 通常，从总体中抽取容量为 n 的一个简单随机样本 X 1 , X 2 , 这 n 个样本的观测值 x1 , x2 , , X n 是指可以获得
,n
其中 Li 为截尾时间（常数） ，上式表明若 X i > Li ，则第 i 个元件在 Li 后失去观察。 除了上述基本类型外，还可以有种种推广。例如定数和定时相结合的截尾方式， 即试验做到 min{xr , t0 } 终止，其中 r 与 t0 是事先规定的失效数与定时截尾时间。对试 验中途失去观察的情形，可以推广到 L1 , L2 ,
n 个独立元件从 t = 0 开始进行寿命试验，试验在第 r 个元件失效时刻终止（ r
为事先规定的正整数） 。此时我们获得的只是前 r 个元件的寿命数据
x(1) ≤ x(2) ≤
（2）定时截尾（Ⅰ型截尾）
≤ x( r )
与上相仿，试验在固定时刻 t0 终止，此时观察到的失效数是一个随机变量，若 在试验终止时观察到 r 个失效，则得数据
, Ln 独立，且 {Li } 与 { X i } 独立的情形。
上面讲的都是有失效数的情形。在对产品的可靠性进行检验和分析时，常使用 定时截尾试验方法，在定时截尾试验中，有时出现所有试样无一失效的情况，这是 我们得到的是“无失效数据” （zero－failure data） 。随着科学技术得进步，产品质 量在不断提高，产品得寿命越来越长，加上样本容量小、试验时间不允许很长等原 因，无失效数据越来越频繁的出现。因此，寻找在无失效数据条件下进行科学、有 效的可靠性分析方法，现以成为可靠性分析的一个新的十分重要的领域。在无失效 情况下如何对产品进行可靠性分析，对于建立在失效数据分析基础上的现有可靠性 理论来说，是一个有一定难度的问题。 第四届全国可靠性数学学术会议纪要中指出： “可靠性的研究领域在不断扩 大，特别是以往比较薄弱和空白的领域有了新的进展，如软件可靠性， ・ ・ ・ ，贮存可 靠性和无失效数据的分析等等，都有一些论文出现” 。因此对无失效数据问题的研 究的需要也日益迫切起来了，这项工作具有理论和实际应用价值。 对于无失效数据，在国外研究的最早的是 Martz 和 Waller（1979） ，在国内则是 茆诗松、罗朝斌（1989） ，张忠占、杨振海（1989） 。
基于Matlab的随机截尾数据下的Weibull分布参数估计
基于Matlab的随机截尾数据下的Weibull分布参数估计史景钊;张峰;陈新昌【摘要】介绍了随机截尾情况下计算样本失效概率的两种方法,并编写了Matlab 函数.提出了利用Matlab的非线性最小二乘曲线拟合函数对服从Weibull分布的随机截尾数据进行曲线拟合和参数估计的方法,并编写了相应程序.计算结果表明,在Matlab中只需少量代码即可获得较好的拟合效果和估计精度,比用其他计算机语言编程更简单而实用.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2010(028)005【总页数】4页(P584-587)【关键词】可靠性;Weibull分布;参数估什;Matlab【作者】史景钊;张峰;陈新昌【作者单位】河南农业大学,机电工程学院,郑州,450002;河南农业大学,机电工程学院,郑州,450002;河南农业大学,机电工程学院,郑州,450002【正文语种】中文【中图分类】TB114.3在产品的寿命试验中有完全寿命试验和截尾寿命试验两种类型.其中截尾寿命试验又分为定时截尾、定数截尾和随机截尾等[1].参加试验的部分产品由于某种原因（如人为因素造成产品损坏、统计数据丢失、试验设备失效、根据试验计划有意撤出等）还没有失效就中途退出试验，这样得到的数据即为随机截尾数据（也称为右删失数据）；还有现场可靠性数据，是对实际运行的设备进行寿命考察，由于设备使用情况相差较大，造成观察的结束时间各不相同，也会出现随机截尾的问题.例如，考察一个运输公司某种汽车的首次大修里程，得到的就是随机截尾数据，即有些已经大修过，有些尚未大修，如果只记录已经大修的数据，不记录尚未大修的数据，就会使评估的结果偏离实际.随机截尾寿命试验是可靠性寿命试验中最一般的情况，其他寿命试验都可看作它的一个特例.Weibull分布模型能够根据形状参数的变化表现为各种不同的形状，较好地适用于各类寿命试验数据，因而在可靠性分析中应用十分广泛.对于服从Weibull分布的随机截尾寿命数据的参数估计，国内外学者进行了大量的研究，提出了一些参数估计方法，主要有极大似然估计法[1-4]、贝叶斯估计法[5-8]、最小二乘法[9]、图估计法[10]等.本文根据文献［11-12］介绍的计算样本失效概率的方法，编写了Matlab函数，利用Matlab强大的数值计算功能，实现了用非线性最小二乘法对随机截尾寿命数据进行分布拟合和参数估计.假设投入寿命试验的产品数量（即样本容量）为n，产品的寿命为随机变量T，其分布函数为F（t），相应的样本失效概率为F（t），在试验结束时，其中有r个产品发生了失效，其失效时间为x1≤x2≤…≤xr，有k＝n－r个产品由于各种原因中途撤出了试验，其撤出时间分别为y1≤y2≤…≤yk，则观察到的随机截尾寿命数据其时间按从小到大排序后可表示为显然这类数据不能按照完全样本数据的处理方法计算样本失效概率，必须寻找其他合适的方法.1.1 Johnson的平均次序法Johnson认为中途撤出试验的产品会造成失效产品的时间次序发生变化，应该计算失效产品的平均次序号[11]，第r个失效产品的平均次序号为式中：r为产品的失效序号；Jr为第r个失效数据的平均次序号，并假定J0=0；Ir为第r个失效数据平均次序号的增量；i为第r个失效数据的自然序号（包括中途撤出的数据）；计算出平均次序号Jr后，再以Jr通过中位秩算法计算失效数据的样本失效概率. 实现这一算法的Matlab函数（Johnson.m）为：在上述函数中，t为寿命试验数据，包括失效数据及中途撤出数据；State为状态向量，失效时State（i）=1，撤出时State（i）=0；输出参数为失效数据x及其中位秩Fn；1.2 Herd的残存比率法Herd认为在寿命试验中，若中途有撤出试验的样品，则产品在某时刻的可靠度[12]为式中：R（t）i为产品在ti时的可靠度估计值，并假定R（t0）=1，且有F（nt）i=1-R（t）i；S（t）i产品在时间区间（ti-1～t）i内的残存概率故到第r个产品失效时的可靠度估计值为实现这一算法的Matlab函数（Herd.m）为：该函数的输入和输出参数与Johnson算法完全一样.Johnson算法与Herd算法本质上是一样的，在Johnson算法中，若样本分布函数的计算采用平均秩算法，则结果与Herd法一致.2.1 Weibull分布函数及Matlab实现计算出样本分布函数后，利用Matlab的非线性最小二乘曲线拟合函数即可估计分布参数了.Weibull分布的寿命分布函数由下式给出：式中：m称为形状参数，m＞0；η称为尺度参数，η＞0；γ称为位置参数，对于产品寿命有γ≥0，γ=0时即是二参数Weibull分布；t是产品的工作时间，t≥γ.式（7）在Matlab中可用以行内函数的形式实现，若用lsqcurvefit函数进行曲线拟合和参数估计，则实现的语句为函数语句中：p为参数向量；p（1）为形状参数；p（2）为尺度参数；p（3）为位置参数；x为失效时间向量. 若采用2参数Weibull分布，则函数变为2.2 参数估计以下以具体实例说明参数估计的过程.考察某汽车零件的可靠性，投入10件产品进行寿命试验，试验过程中6件发生了失效，中途有4件撤出试验，失效里程及撤出里程如表1所示[13].2.2.1 样本失效概率计算在Matlab中输入试验结果（行驶里程）向量及状态向量：用［x Fn］=Johnson（t，State）或［x Fn］=Herd（t，State）的形式调用样本失效概率的计算函数，各种方法的计算结果如表1所示.2.2.2 分布检验分布检验的目的是判断试验数据是否服从Weibull分布，这里采用Weibull概率纸进行分布检验.把失效时间和对应的样本失效概率（以Johnson 中位秩法为例）在Weibull概率纸上描点，各点基本上在一条直线上，如图1所示，说明试验数据服从2参数Weibull分布.数据点的描绘可以使用Matlab的wblplot函数.2.2.3 曲线拟合与参数估计曲线拟合与参数估计可使用Matlab的lsqcurvefit函数实现，由概率纸描点结果知应以2参数Weibull分布进行参数估计.完整的程序为：程序运行结果为 p＝［1.353 2，14.371 1］，即该批汽车零件服从形状参数为1.353 2，特征寿命为 14.371 1的2参数Weibull分布.有中途撤出的服从Weibull分布的随机截尾数据的参数估计是比较复杂的，用Matlab强大的数学运算功能仅需不多代码即可完成，大大减轻了编程负担，提高了运算效率.计算结果可满足一般工程需要.在Matlab中曲线拟合函数还有nlinfit与lsqnonlin等，这两个函数也是采用的非线性最小二乘法，使用这两个函数进行拟合也可得到类似的结果，只是不同的函数要求Weibull分布函数有不同的形式，其输出参数也稍有不同，由于采用的算法不同，估计结果也可能稍有不同，可根据需要选择.【相关文献】［1］李海波，张正平，胡彦平，等.基于随机截尾数据下Weibull分布的参数极大似然估计与应用［J］.强度与环境，2009，36（4）：60－64.［2］陈家鼎.随机截尾情形下Weibull分布参数的最大似然估计的相合性［J］.应用概率统计，1989，5（3）：226－233.［3］师义民，杨昭军.随机截尾寿命试验三参数Weibull分布的统计分析［J］.西北大学学报：自然科学版，1996，26（4）：285－288.［4］ Balakrishnana N，Kateri M.On the maximum likelihood estimation of parameters of Weibull distribution based on complete and censored data［J］.Statistics and Probability Letters，2008（78）：2971－2975.［5］林静，韩玉启，朱慧明.一种随机截尾恒加寿命试验的贝叶斯评估［J］.系统工程与电子技术，2007，29（2）：320－323.［6］周晓东，汤银才，费鹤良.删失数据威布尔分布参数的贝叶斯统计分析［J］.上海师范大学学报：自然科学版，2008，37（1）：28－34.［7］吴云，宋乾坤.三参数Weibul1分布下随机截尾恒加寿命试验的Bayes统计分析［J］.西南民族学院学报：自然科学版，1997，23（2）：144－148.［8］ Abdel-Wahid A A，Winterbottom A.Approximate bayesian estimates for the Weibull reliability function and hazard rate from censored data［J］.Journal of Statistical Planning and Inference，1987（16）：277－283.［9］ Zhang L F，Xie M，Tang L C.Bias correction for the least squares estimator of Weibull shape parameter with complete and censored data［J］.Reliability Engineering and System Safety，2006（91）：930－939.［10］ Zhang L F，M Xie，Tang L C.A study of two estimation approaches for parameters of Weibull distribution based on WPP［J］.Reliability Engineering and System Safety，2007（92）：360－368.［11］ Johnson L G.Theory and technique of variable research［M］.New York：Elsevier Publishing Co，1964.［12］ Herd G R.Estimation of reliability from incomplete data［C］//Proceedings of the sixth international symposium on reliability and quality control.New York：John Wiley ＆Sons Inc，1960.［13］杨万凯，刘承胤.汽车可靠性理论［M］.北京：人民交通出版社，1986：240－241.。
定时随机截尾数据情况下Weibull分布参数的矩估计_张志华
X
02,
…,
X
0 n
是独立同分布随机变量,
其分布函数为X
0 i
～F
0(
x
)
,
又设
Y 1,
…, Y n
为独立同分布随机变量, Y i
～ G( x ) , 且假定{ X i}
与{ Yi}
相互独
立。若
{
X
0 i
}
被{ Y i }
所截断, 则此时仅能观察到( X 1 , D1) , ( X 2 , D2 ) , …, ( X n , Dn ) , 其中 X i = min( X i0, Y i ) , Di = I 。 [ X0i < Yi]
其中 ‖G - F‖ = sup0< x< ∞ ûG( x ) - F ( x ) û,
1。 n
由文[ 7] 可知, 生存函数 S0( x ) 可表示成子生存函数 Su( x ) , S c( x ) 的泛函, 即
∫ ∑ S0( x ) =
exp
c
x dS u( t) 0 ( S u + Sc) ( t)
S 0( t )
( 10)
证明 见文[ 3]
引理 2 若定理条件满足, 令
∫S
D
(
F
0 n
)
=
[ log S- logt - Rh( p ) - Rp h′( p ) ] dF0n( t ) + Rp 2h′( p )
0
则
Байду номын сангаас
n ( D ( F 0n) )
d
N ( 0, F( S) )
( 11)
证明
由影响函数定义,
定时截尾样本下三参数Weibull分布修正矩估计的强相合性_孙丽玢
N →∞
N →∞
最后再考虑Y1:N . 由于Y ∼ U (0, 1), 对于0 < p = 1/(1 + N ) < 1, 由分位数的概念 FY 1 1+N = 1 , 1+N
即U (0, 1)的1/(1 + N )总体分位数为ξp = 1/(1 + N ). Y1 , Y2 , . . . , YN 为 随 机 变 量Y 的i.i.d.样 本, Y1:N , Y2:N , . . . , YN :N 为 其 次 序 统 计 量. 对 于p = 1/(1 + N ),
∗ ξp = Y([N ·[1/(N +1)]]+1):N = Y1:N
为其样本的1/(1 + N )分位数([a]为不超过a的最大整数). 引理 2.1 [10] 设X1 , X2 , . . . , XN 为来自分布函数F 的随机样本, 其总体p分位数ξp 由分
∗ −→ ξ 及ξ ∗ −→ ξ . 布唯一决定, 则样本p分位数ξp p p p P a.e
(1.1)
称之为定时截尾样本下三参数Weibull分布的修正矩方程, 相应的解称为β, δ 和γ 的修正矩 估计(MME). 用牛顿法模拟计算表明, MME有较好的统计性质. 一般的矩估计都是强相合的, 本文讨论定时截尾样本下三参数Weibull分布修正矩估 计的强相合性. 由于这里得到的修正矩估计没有显式表达式, 讨论大样本性质存在着困 难. 因所构造的修正样本矩并非真正意义上的样本矩, 所以下面第2节首先证明了一般场 合修正样本矩的强相合性. 然后在第3节给出了条件(L), 并得出结论: 若所研究的分布 F (x; θ1 , θ2 , θ3 )满足条件(L), 则修正矩估计θ1 , θ2 , θ3 强相合于参数真值. 最后在第4节证明了 当形状参数δ ≥ 1, 即失效率增加时, 三参数威布尔分布Wei(x; β, δ, γ )满足条件(L), 即修正 矩估计是强相合的.
定时截尾的Weibull分布双参数近似估计
第28卷 第4期华侨大学学报(自然科学版)Vo l.28 No.42007年10月Jo ur nal of H uaqiao U niversity (Natur al Science)Oct.2007文章编号: 1000-5013(2007)04-0441-03定时截尾的Weibull 分布双参数近似估计田 霆(华侨大学数学科学学院,福建泉州362021)摘要: 利用纠偏思想,讨论定时截尾情形下W eibull 分布的双参数的近似估计,并进行M o nte Ca rlo 数值模拟试验.从模拟实验结果与Sirv anci 提出的方法的模拟结果相比可以看出,纠偏法有时偏差较大,有时偏差较小.当产品数n 比较大时,参数估计的精度还是令人满意的.分析表明,所给出的两参数估计方法是可行的.关键词: W eibull 分布;定时截尾;标准指数分布;近似估计中图分类号: O 213.2;O 242文献标识码: A在可靠性寿命试验中,人们经常采用定时或定数截尾试验.当产品寿命服从Weibull 分布时,在定数截尾情况下,已有比较完善的结果.定时截尾时,由于失效产品个数具有随机性,因此给统计分析带来很大难度.本文利用纠偏的思想,构造一个新的统计量,给出参数的一种近似估计.1 单参数指数尺度参数的估计若T 服从W (m, ),它的分布函数为F(t)=1-exp {-(t )m},t 0.其中,m 为形状参数,m >0; 为刻度参数, >0 易知,W =(T)m服从标准指数分布[1].若T 服从单参数指数分布,其密度函数形式[2]f (t)=1e -t,t 0.记定时截尾时间为 ,在(0, ]时间内,产品的失效率为p ,A =(T < ),I A ( )为产品在(0, ]内失效的示性函数(简记I ),即p =P (T < )=1-e-, I A ( )=1, A ,0, A.(1)则E[(T - )I ]=E [T ]- p ,其中E(TI )=0te -t d t =- + p + p.由式(1)可得, =- ln (1-p ),即有E[(T - )I ]=- + p = p h(p ) 其中,h(p )=1+1p ln (1-p ).现从分布密度函数形成中抽取n 个产品做试验,其失效时间分别为t 1, ,t n ,由矩估计的思想,我们可用统计量1n ni =1(t i -)I i 无偏估计.故可令1n n i =1(t i - )I i = p h(p ).2 Weibull 分布两参数的近似估计现从分布函数中取n 个产品同时参加定时截尾试验,其失效时间分别为t 1, ,t n ,截尾时间设为 ,而(t 1 )m , ,(t n )m ,()m 分别为服从标准指数分布的n 个产品相应的失效时间及截尾时间 故当 = 收稿日期: 2006-10-27作者简介: 田 霆(1972-),男,讲师,主要从事产品可靠性的研究.E -mail:t iant ing1972928@so hu.co m. 基金项目: 福建省自然科学基金资助项目(Z0511027)1时,可得到1n n i =1((t i )m -()m )I i =p h(p ).我们用r 记在(0, ]时间内的失效产品数,如果r 选取合理的话,在(0, ]内就有一定比例的产品失效.从而我们可用失效率rn 来估计失效概率p ,这样就可以得到 ,m 的第1个估计式为1n n i=1(t m i - m )I i = mp h (p ), 0<r <n (2)当r =0时,在(0, ]内无产品失效,则1n ni =1(t i - )I i =0,用它估计 p h(p )无意义;而当r =n 时,在(0,]内产品均失效,r n =1,h(1)无意义.r 服从B (n,p )分布,在0<r <n 条件下,E(1n n i =1((t i )m -()m)I i |0<r <n)=1P (0<r <n) n -1k =1P(r =k )E [1n n i =1((t i )m -( )m )I i |r =k]=11-p n -q n n -1k =1C k n p k q n -kE [1n n i =1((t i )m -()m )I i |r =k ] 其中,q =1-p.由文[3]可知,若从标准指数分布中抽取n 个产品做定时截尾试验(截尾时间为 ),其失效时间分别为t 1, ,t n .则E [ ni =1(t i - )I i |r =k]=kE [(t i - )I i |I i =1]=k p[(t i - )I i ]=kh (p ),有E(1n n i =1((t i )m -( )m )I i |0<r <n)=11-p n -q n n -1k=1C k n p k q n -k kh(p ).(3)由于 n -1k =1C knp kq n -kk = nk =0C k n p k q n -k k -C 0n p 0q n -C n n p n q 0=np -p n -q n,所以式(3)为np -p n-q n1-p n -q n h(p )=n -p n -1-q np -11-p n -q np h(p )=G(p )ph (p ) (4)上式中,G(p )=n -p n -1-q n p -11-p n -q n,我们可以将G(p )视为修偏因子.而在Weibull 分布中有如下结论[4]:若t 1, ,t n 服从渐进Weibull (m, )分布,则(1)t (1)服从Weibull (m , n 1m)分布,E (t (1))= (1+1m );(2)当n + 时,有|t (1)-E(t (1))| 0(渐进估计).其中,t (1)为样本的最小次序统计量.联立式(4)可得,一个估计式t(1)= (1+1m )和1n n i =1(t m i - m )I i = mG (p )p h(p ).这两方程形式很复杂,没有显式解,但利用数值解法,并借助于计算机总可解出m 及 的估计值及 .3 Monte Carlo 模拟本文作了大量的Monte Carlo 模拟实验,结果表明,上述两方程组的解存在且唯一.部分模拟结果与文[2]方法的模拟结果比较,如表1所示.表1中, m, 分别为m , 的偏差.n =20.在1~10组中表1 纠编法与文[2]方法模拟结果比较T ab.1 Co mparatio n o f the simulatio n g iv en the modifing and the thesls序号r 纠偏法m m纠偏法 文[2]的方法纠偏法 文[2]的方法114 1.0336 1.22460.03360.02130.22460.12562150.9107 1.0143-0.08930.01030.0143-0.0017315 1.0450 1.15610.0450-0.87600.15610.1385415 1.0374 1.10530.03740.01260.1053-0.02845120.84070.8354-0.15930.1432-0.16460.13266130.85460.9375-0.1454-0.1268-0.06250.0521716 1.2119 1.30460.21190.31450.30460.21688100.63000.7510-0.36910.0145-0.24900.11879110.80930.7841-0.19070.1452-0.21590.2136442华侨大学学报(自然科学版) 2007年续表Co nt inued table序号r 纠偏法m m纠偏法 文[2]的方法纠偏法 文[2]的方法10141.07761.04210.0776-0.01230.0421-0.203111151.87419.6140-0.12590.14890.38600.254112151.88439.4432-0.11570.1942-0.55680.110213112.075510.00120.07550.08200.00120.002614121.95439.88760.04570.0320-0.11240.014915132.16109.45780.1610-0.0259-0.54220.216216131.87209.7342-0.12800.01495-0.26580.256817121.75719.8765-0.2429-0.0214-0.12350.342618142.08128.43380.0812-0.0012-1.56620.325419112.04599.92190.04590.5487-0.0781-0.015320141.855410.05460.14460.01280.05460.079521130.25140.45130.00140.0152-0.04870.012422130.26770.47820.01770.1158-0.02180.149123160.20280.5034-0.04720.01560.00340.120624150.23590.4818-0.01410.2140-0.0192-0.015125110.26010.51700.00990.01620.0170-0.113226120.24970.5134-0.00030.01520.01340.568127140.24370.4867-0.05630.0118-0.01330.210628150.23750.4943-0.0125-0.0215-0.00570.104229130.25020.50150.0002-0.01640.00150.004330110.25120.48070.0012-0.0027-0.01930.1167取m =1.0, =1.0, =1.2;在11~20组中取m =2.0, =10, =10;在21~30组中取m =0.25, =0.5, =10.从表1可看出,与文[2]所述方法的结果相比,纠偏法有时偏差较大,有时偏差较小.当n 比较大时,参数估计的精度还是令人满意的.因此,这种利用纠偏的思想求出参数的估计的方法是可行的.参考文献:[1] 茆诗松,王玲玲.可靠性统计[M ].上海:华东师范大学出版社,1984:136 156.[2] RV A N CI M ,Y A NG G.Estimation of the W eibull parameter s under type I censor ing[J].JA SA ,1984,79:183 187.[3] 翟伟丽,茆诗松.定时截尾场合下双参数指数分布的参数估计[J].应用概率统计,2002,5(2):197 204.[4] 徐晓岭.两参数Weibull 分布定数、定时截尾下序进应力加速应力加速寿命试验的统计分析[J].数理统计与应用概率统计,1995,3(1):87 93.Approximate Parameter Estimation of Weibull Distributionunder Type I Censoring S ampleT IA N T ing(S chool of M athematics Science,Hu aqiao U nivers ity,Quanzh ou 362021,China)Abstract: A ppr ox imate pa rameter estimation is pr ov ided and the M ante Car lo simulation is done for t wo par amet ers Weibull distributio n under type I censoring by the tho ug ht o f modify ing.It is sho wn by comparing o ur simulation with the simulatio n pr ovided by Sirv anci:T he dev iation so metimes is larg e and so metimes is small.Ho wever ,the pr ecision of the par ameter estimation under a lar ge amount o f samples is all r ight.I t is also show n by the analysis that the estimation met ho d w ith tw o parameter s is suitable.Keywords: W eibull distr ibut ion;t ype I censor ing;no rmal ex ponent ial distr ibution;approx imate estimat ion(责任编辑:黄仲一)443第4期 田 霆,等:定时截尾的W eibull 分布双参数近似估计。
定时截尾Weibull分布的双参数的矩估计_田霆
25 0.25 0.5 10 20 11 0.260 7
26 0.25 0.5 10 20 12 0.229 7
27 0.25 0.5 10 20 14 0.283 7
28 0.25 0.5 10 20 15 0.227 5
29 0.25 0.5 10 20 13 0.257 7
30 0.25 0.5 10 20 11 0.243 2
=ln f （x）， 得 到 g′ （x） =0， 从 而 得 到 f ′（x） >0， 过程比较复杂。 显然利用式 （7） 的结论会简洁一 些。
DIANZI CHANPIN KEKAOXING YU HUANJING SHIYAN
第1期
田霆等： 定时截尾 Weibull 分布的双参数的矩估计
表 1 模拟试验的部分结果
2 基本知识
假设 X 表示某产品的寿命， 其分布函数为 F （x）， 若产品工作到时刻 t， 仍能正常工作的时间为 y 的概率为 Ft （y）， 则
此时 Ft （y） 被称为剩余寿命分布函数 。 令 m （t） 为产品工作到时间 t 仍能正常工作条件下， 继 续工作的平均时间， 则
收稿日期： 2008-09-02 作者简介： 田霆 （1972-）， 男， 湖北襄樊人， 国立华侨大学数学系讲师， 硕士， 主要从事产品可靠性的教学与研究工作。
37 0.5 15 25 20 14 0.466 5
38 0.5 15 25 20 13 0.471 1
39 0.5 15 25 20 16 0.482 4
40 0.5 15 25 20 13 0.519 8
( (
η 1.229 6 1.009 3 1.172 1 1.102 3 0.867 8 0.951 5 1.308 1 0.655 0 0.786 1 1.141 0 9.523 0 9.421 4 10.01 1 9.392 0 9.461 8 9.732 7 9.840 4 8.463 8 9.521 9 10.153 6 0.411 9 0.400 2 0.505 6 0.480 8 0.570 0 0.521 4 0.485 7 0.494 9 0.501 2 0.471 7 15.228 8 14.771 8 14.662 8 15.269 1 14.883 6 15.117 8 14.583 4 15.324 1 14.972 1 14.689 5
定时截尾试验下Weibull分布尺度参数的可容许Bayes估计
定时截尾试验下Weibull分布尺度参数的可容许Bayes估计
作者：崔晓丽刘丹丹
来源：《科技创新导报》2016年第26期
摘要：可靠性试验是获得可靠性指标的方法，是统计分析的主要研究方向之一，Weibull 分布是重要的产品寿命分布，Bayes方法能利用经验减少试验的量，同时，定时截尾试验方式可以有效控制试验时间，节约试验经费。
本文是在平方损失函数下，先验分布取Gamma分布，得到并证明了定时截尾试验下，Weibull分布的尺度参数的可容许Bayes估计量，可容许的Bayes估计量是很优良的估计量。
关键词：定时截尾试验可容许性 Weibull分布
中图分类号：O1 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）09（b）-0174-02
证明：由于平方损失函数是严格凸函数，则其Bayes估计量一定是唯一的，由引理1得，定时截尾试验下Weibull分布的尺度参数的Bayes估计是可容许估计的。
参考文献
[1] 茆诗松，程依鸣，濮晓龙.高等数理统计[M].北京：高等教育出版社，2006.
[2] 许勇，师小琳.指数分布族参数的渐近最优与可容许的经验Bayes估计[J].数理统计与管理，2003（2）：34-36.
[3] E.L.Lehmann，George Casella.点估计理论[M].北京：中国统计出版社，2003.。
定数截尾场合下Weibull分布的形状参数置信下限
设 产 品 的寿 命 服 从 两 参 数 Ｗｅｂ ｌ 分 布 （ ） ｉｕ１ １，
现假 定有 ｎ个 产 品进 行 寿命 试 验 ，直 到有 ｒ 产 品 个 失效 时 停 止试 验 （ 即定 数 截 尾 寿命 试 验 ） ，其 次 序
作 者 简 介 ：田 霆 （９ ２ ， 男 ，湖 北 襄 樊 人 ， 国立 华侨 大 学数 学 系讲 师 ，硕 士 ，主 要 从 事 产 品 可 靠性 的教 学 与研 究工 作 。 １７ 一）
维普资讯
电 子 产 品 可 靠 性 与 环 境 试 验
ＶＬ ５Ｎｏ ｕ．２ ０ ｏ２ ． ４Ａ ｇ ０ ７ ，
定数截尾 场合下 Ｗｅｂ ｌ分布 的形状参数 置信 下 限★ ｉｕ１
田 霆 ． 刘 次 华
（ 国立 华 侨 大 学 数 学 系 ，福 建
ｄｓ ｉｕｉｎｕ ｄ ｒＭｕ ｉｌ Ｔ ｐ － Ｉ ｈ ｔｔ ｔ ｓＴ Ｊ ） ｉｒ ｔ ｎ ｅ ｐｙ ｙ ｅ Ｉ，ｔｅｓａｉ ｉ Ｉ（１ ｔｂ ｏ ｓｃ ，
ｓｃ ｎ ｔｕ ｔｄ ｔｉ ｐ ｏ ｅ ｏ ｓｒ ｃｅ ・Ｉ ｓ ｒ ｖｄ
ｔ ａｔ ｉｓ ｄｉｔ ｉ ｔｏ ｉ ｎｄｅ ｎ ｎ ｎ ｈｅ ｐａ ａ ｅ ｅ ｓ ｍ ｎｄ ， ａ ｈ ｔ ｓｒ ｂｕ ｉ ｎ ｓ ｉ ｐｅ ｄｅ ｔ ｏ ｔ ｒ ｍ ｔ ｒ ａ ｎｄ ｈｅ ｃ ｃ ｌ ｔｏ ｆ ｉ ｔ ａ ｕ ａ ｉ ｎ ｏ ｔ ｓ ｐｅ ｃ ｎ ｉｅ ｓ ｓｍ ｐｌ．Ｂｙ ｔ ｓ ｗａｙ， ｔ ｅ ｌ ｗｅ ｏ ｉｄ ｎｃ ｉ ｉ ｏ ｈｅ ｓ ｐｅ ｐａｒ ｍ ｅ ｅ ｉ ｒ ｅ ｔｌｓ ｉ ｉ ｅ ｈｉ ｈ ｏ ｒ ｃ ｎｆ ｅ ｅ ｌｍ ｔｆ ｒ ｔ ｈａ ａ ｔ ｒ ｍ ｓ ｏｂ ａｉ ｄ ａ ｔ ｎｅ ｎｄ ｉ ｉ ｐｒ ｅ ｔ ｓ ｏｖ ｄ ｔ ｂｅ ｏ ｕｎｂｉ ｅ Ｗ ｉｈ ｎｕ ａｓ ｄ． ｔ ａ ｍｂｅ ｏ Ｍａ ｔ —Ｃａ ｌ ｓｍｕｌｔｏ ｒ ｆ ｎｅ ｒｏ ｉ ａ ｉ ｎ ｅ ｐ ｒｍｅ ｔ ｔ ｅ ｓｂ ｌｔ ｆｔ ｓｍｅｈｏ ｓｄｅ ｎ ｔａ ｅ ． ｘｅ ｉ ｎ ｓ， ｈｅ ｆ ａ ｉ ｉｉｙ ｏ ｈｉ ｔ ｄ ｉ ｍｏ ｓｒ ｔ ｄ
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Abstract: Model adjustment is a critical step in the procedure of virtual specific human face design by 3D human face synthesis technique. In the paper, the author brings a new method of feature point adjustment based on RBF. By adopting the inverse multi-quadratic, the RBF obtains a good result of model adjustment. Key words: facial model adjustment; feature point; RBF interpolation
∑ ∑ Fi = k 2mi S(i) 2(r −1)
= (k −1)mi S(i) ~ F[2(r −1), 2(r −1)(k −1)] k
2ml S(l) 2(r −1)(k −1)
ml S (l)
l =1
l =1
l≠i
l≠i
∑ ∑ 取
Fmin
=
min
1≤i≤k
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
分析主要有以下几种原因：
1) 由于该模型是由 6 683 个三角形构成的，图中不免有若干点的某个坐标分量（例如 x 或 y 坐标）值相
同．假如选取的控制点中存在两点的某一维坐标值相同时，便产生溢出问题．
2) 由于数据点的分布不均匀，RBF 内插的局部性不易保证．所以对于 RBF 内插，必须限制控制点的影
分布的统计总体． Ti
的分布函数为
Fi (ti )
=
1−
−(
e
ti ηi
)mi
, ti
≥
0, i
= 1, 2,"k.
其中
mi
为形状参数,
η i
为尺度参数．
欲检验原假设 H0 : m1 = m2 = " = mk ; 备择假设 H1 : m1, m2 ,", mk 中至少有两个不相等．
现假定有 n 个产品进行寿命试验，到有 r 个产品失效时就停止试验(即定数截尾寿命试验)．其次序失效数
F
=
2m1S (1) 2m2S (2)
2(r −1) 2(r −1)
=
m1S (1) m2S (2)
~
F[2(r
−1), 2(r
−1)]
（下转第 38 页）
38
衡水学院学报
第 12 卷
4 利用 RBF 内插调整模型特征点的局限性 采用 RBF 内插调整模型特征点还存在一定的局限性．实验中笔者发现个别地方出现图像失真问题．通过
2 特殊的、完全样本时的情况
当样本为完全样本时，也即 r = n 时，有：对任意 i,(i=1,2,…,k)
∑ ∑ Fi = k 2mi S(i) 2(n −1)
=
(k
−1)mi S(i)
k
~
F[2(n −1), 2(n −1)(k
−1)]
2ml S(l) 2(n −1)(k −1)
ml S (l)
ml S
=1 ≠i
S (i) (l )
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
=
max
1≤i≤k
{Fi
}
α 对于给定的显著性水平
，取
Fα
2
和
F 1−
α
2
分别为
F
分布
F[2(n −1), 2(n −1)(k
−1)]
的下侧
α 2
分位数和下侧
1− α 2
分位数．若有 Fα
2
<
Fmin
< Fmax
<
F 1−
α
2
．则不能拒绝
响范围．否则效果无法保证．
On Adapting Feature Point of Facial Neutral Model
LI Ya-hui (College of Mathematics and Computer Science, Hengshui University, Hengshui, Hebei 053000, China)
l =1
l =1
l≠i
l≠i
∑ ∑ 取
Fmin
=
min
1≤i≤k
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
(k
l l
−1)mi
k
ml S
=1 ≠i
S (i (l)
)
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
=
min
1≤i≤k
{Fi
}
和
Fmax
=
max
1≤i≤k
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
(k
l l
−1)mi
k
S(1) ~ Ga(r −1, m1) ， S(2) ~ Ga(r −1, m2 ) ．因此有：
2nλ1S
(1)
~
Ga
(r
−1,
1 2
)
=
χ2
[2(r
−1)]
和
2nλ2
S
(2)
~
Ga(r
−1,
1 2
)
=
χ
2
[2(r
−1)]
因为各个样本之间是相互独立的，所以 S(1), S(2) 也是相互独立的．
若原假设成立并且根据分布的可加性和引理 1，有：
服从标准极小值分布[3]．由引理 2
可知：
i
mi (Lntr (i) − Lntr−1(i)) ≤ mi (Lntr (i) − Lntr−2 (i)) ≤ "≤ mi (Lntr − Lnt1(i)) 是近似地为样本大小为 (r-1)的指数分布为
mie−mix 的前(r-1)个次序统计量．进而 Lntr (i) − Lntr−1(i) ≤ Lntr (i) − Lntr−2 (i) ≤ " ≤ Lntr − Lnt1(i) 是近似地为样本
摘 要：在分析产品的可靠性时，常常需要进行寿命试验．而这些产品的寿命大多是服从指数分布或 Weibull 分布的．给
出定数截尾下多个样本个数相同的 Weibull 分布总体形状参数的假设检验以及特殊情况下——即完全样本及两个总体时的
检验．
关键词：可靠性；Weibull 分布；定数截尾样本；假设检验
中图分类号：O213.2
2. School of Mathematics, Jilin Normal University, Siping, Jilin136000, China） Abstract: Life testing is often needed when analyzing the reliability of the products. And for the most part of the products, life span obeys the exponential distribution or Weibull distribution. In the paper, it offers an hypothesis testing on the parameter of a perspective Weibull distribution shape of the multiple number of samples under TypeⅡ-Censoring test. And the test of the complete samples and the two populations is also given an analysis． Key words: reliability; Weibull distribution; TypeⅡ-censoring test sample; hypothesis testing
}
对于给定的显著性水平
α
，取
Fα
2
和
F 1−
α
2
分别为
F
分布
F[2(r
−1), 2(r
−1)(k
−1)]
的下侧
α 2
分位数和下侧
1− α 2
分位数．若有 Fα
2
<
Fmin
< Fmax
<
F 1−
α
2
，则不能拒绝
H0 ;而当 Fmin
<
Fα
2
或
Fmax
>
F 1−
α
2
时，则拒绝
H0 ，认为
k 个 weibull 分布总体形状参数不相等．
Hypothesis Testing on the Parameter of the Weibull Distribution Shape Under
TypeⅡ-Censoring Test
SUN Yan-jun1, SONG Li-xin2
(1. Boda College, Jilin Normal University, Siping, Jilin136000, China;
H0 ；而当
Fmin
<
Fα
2
或
Fmax
>
F1−α 2
时，则拒绝
H0 ，认
为 k 个 weibull 分布总体形状参数不相等．
3 特殊的、两个 weibull 分布总体形状参数的检验
容量为
n
的样本
X1
,
X
2
,"
X
n
来自
weibull
∑ ∑ Fi = k 2mi S(i) 2(r −1)
= (k −1)mi S(i) ~ F[2(r −1), 2(r −1)(k −1)] k
2ml S(l) 2(r −1)(k −1)
ml S (l)
l =1
l =1
l≠i
l≠i
∑ ∑ 取
Fmin
=
min
1≤i≤k
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
分析主要有以下几种原因：
1) 由于该模型是由 6 683 个三角形构成的，图中不免有若干点的某个坐标分量（例如 x 或 y 坐标）值相
同．假如选取的控制点中存在两点的某一维坐标值相同时，便产生溢出问题．
2) 由于数据点的分布不均匀，RBF 内插的局部性不易保证．所以对于 RBF 内插，必须限制控制点的影
分布的统计总体． Ti
的分布函数为
Fi (ti )
=
1−
−(
e
ti ηi
)mi
, ti
≥
0, i
= 1, 2,"k.
其中
mi
为形状参数,
η i
为尺度参数．
欲检验原假设 H0 : m1 = m2 = " = mk ; 备择假设 H1 : m1, m2 ,", mk 中至少有两个不相等．
现假定有 n 个产品进行寿命试验，到有 r 个产品失效时就停止试验(即定数截尾寿命试验)．其次序失效数
F
=
2m1S (1) 2m2S (2)
2(r −1) 2(r −1)
=
m1S (1) m2S (2)
~
F[2(r
−1), 2(r
−1)]
（下转第 38 页）
38
衡水学院学报
第 12 卷
4 利用 RBF 内插调整模型特征点的局限性 采用 RBF 内插调整模型特征点还存在一定的局限性．实验中笔者发现个别地方出现图像失真问题．通过
2 特殊的、完全样本时的情况
当样本为完全样本时，也即 r = n 时，有：对任意 i,(i=1,2,…,k)
∑ ∑ Fi = k 2mi S(i) 2(n −1)
=
(k
−1)mi S(i)
k
~
F[2(n −1), 2(n −1)(k
−1)]
2ml S(l) 2(n −1)(k −1)
ml S (l)
ml S
=1 ≠i
S (i) (l )
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
=
max
1≤i≤k
{Fi
}
α 对于给定的显著性水平
，取
Fα
2
和
F 1−
α
2
分别为
F
分布
F[2(n −1), 2(n −1)(k
−1)]
的下侧
α 2
分位数和下侧
1− α 2
分位数．若有 Fα
2
<
Fmin
< Fmax
<
F 1−
α
2
．则不能拒绝
响范围．否则效果无法保证．
On Adapting Feature Point of Facial Neutral Model
LI Ya-hui (College of Mathematics and Computer Science, Hengshui University, Hengshui, Hebei 053000, China)
l =1
l =1
l≠i
l≠i
∑ ∑ 取
Fmin
=
min
1≤i≤k
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
(k
l l
−1)mi
k
ml S
=1 ≠i
S (i (l)
)
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
=
min
1≤i≤k
{Fi
}
和
Fmax
=
max
1≤i≤k
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
(k
l l
−1)mi
k
S(1) ~ Ga(r −1, m1) ， S(2) ~ Ga(r −1, m2 ) ．因此有：
2nλ1S
(1)
~
Ga
(r
−1,
1 2
)
=
χ2
[2(r
−1)]
和
2nλ2
S
(2)
~
Ga(r
−1,
1 2
)
=
χ
2
[2(r
−1)]
因为各个样本之间是相互独立的，所以 S(1), S(2) 也是相互独立的．
若原假设成立并且根据分布的可加性和引理 1，有：
服从标准极小值分布[3]．由引理 2
可知：
i
mi (Lntr (i) − Lntr−1(i)) ≤ mi (Lntr (i) − Lntr−2 (i)) ≤ "≤ mi (Lntr − Lnt1(i)) 是近似地为样本大小为 (r-1)的指数分布为
mie−mix 的前(r-1)个次序统计量．进而 Lntr (i) − Lntr−1(i) ≤ Lntr (i) − Lntr−2 (i) ≤ " ≤ Lntr − Lnt1(i) 是近似地为样本
摘 要：在分析产品的可靠性时，常常需要进行寿命试验．而这些产品的寿命大多是服从指数分布或 Weibull 分布的．给
出定数截尾下多个样本个数相同的 Weibull 分布总体形状参数的假设检验以及特殊情况下——即完全样本及两个总体时的
检验．
关键词：可靠性；Weibull 分布；定数截尾样本；假设检验
中图分类号：O213.2
2. School of Mathematics, Jilin Normal University, Siping, Jilin136000, China） Abstract: Life testing is often needed when analyzing the reliability of the products. And for the most part of the products, life span obeys the exponential distribution or Weibull distribution. In the paper, it offers an hypothesis testing on the parameter of a perspective Weibull distribution shape of the multiple number of samples under TypeⅡ-Censoring test. And the test of the complete samples and the two populations is also given an analysis． Key words: reliability; Weibull distribution; TypeⅡ-censoring test sample; hypothesis testing
}
对于给定的显著性水平
α
，取
Fα
2
和
F 1−
α
2
分别为
F
分布
F[2(r
−1), 2(r
−1)(k
−1)]
的下侧
α 2
分位数和下侧
1− α 2
分位数．若有 Fα
2
<
Fmin
< Fmax
<
F 1−
α
2
，则不能拒绝
H0 ;而当 Fmin
<
Fα
2
或
Fmax
>
F 1−
α
2
时，则拒绝
H0 ，认为
k 个 weibull 分布总体形状参数不相等．
Hypothesis Testing on the Parameter of the Weibull Distribution Shape Under
TypeⅡ-Censoring Test
SUN Yan-jun1, SONG Li-xin2
(1. Boda College, Jilin Normal University, Siping, Jilin136000, China;
H0 ；而当
Fmin
<
Fα
2
或
Fmax
>
F1−α 2
时，则拒绝
H0 ，认
为 k 个 weibull 分布总体形状参数不相等．
3 特殊的、两个 weibull 分布总体形状参数的检验
容量为
n
的样本
X1
,
X
2
,"
X
n
来自
weibull