两参数Weibull分布参数的联合置信区间

weibull函数Weibull函数是一种常见的概率分布函数，在工程、生物学、环境科学等领域都有广泛的应用。

本文将围绕Weibull函数展开详细的讲解。

一、Weibull函数的概念Weibull函数是von Weibull于1951年提出的一种数学函数，具有如下公式：f(x) = (k/λ) * [(x/λ)^(k-1)] * exp[-(x/λ)^k] (x>=0)其中，k和λ是Weibull函数的参数，k称为形状参数，反映随机变量的分布形状；λ称为尺度参数，反映随机变量的尺度大小。

二、Weibull函数的特点1、Weibull函数是典型的右偏分布，也称为正倾斜分布，这是由于右侧长尾的存在导致的。

2、Weibull函数可用于刻画各种不同类型的现象，如失效时间、断裂强度等。

3、Weibull函数在实际应用中具有广泛的应用领域，如可靠性分析、质量控制、产品寿命预测等。

三、Weibull函数的参数估计在实际应用中，我们需要估算Weibull函数的参数，目前常用的方法有极大似然估计和最小二乘估计。

1、极大似然估计极大似然估计是一种常用的参数估计方法，其原理是在已知样本数的情况下，通过求解最大的似然函数值，来获得Weibull函数的参数估计值。

2、最小二乘估计最小二乘估计是通过最小化误差平方和的方法来获得Weibull函数的参数估计值。

四、Weibull函数的应用Weibull函数是一种常见的概率分布函数，其应用范围非常广泛。

下面列举几个实际应用案例：1、可靠性分析Weibull函数可以用来描述机械零件的失效时间分布，通过对失效时间的估计，可以预测产品的寿命，并制定相关的维修和更换计划。

2、产品寿命预测基于Weibull函数的特点，可以通过对产品失效数据的分析得到不同时间段内的失效概率和相关的可靠性数据，从而预测产品的寿命。

3、质量控制Weibull函数可以用来描述产品的质量控制数据，通过对数据的分析，可以判断产品整体质量水平，及时发现和解决质量问题。

r计算weibull分布的尺度和形状参数
在R语言中，可以使用`weibull`函数来计算Weibull分布的尺度和形状参数。

首先，我们需要安装并加载`weibull`包。

如果尚未安装，可以使用以下代码进行安装：
ibull`包：
ibull`函数来拟合Weibull分布。

假设我们有一组数据`x`，我们可以使用以下代码来拟合Weibull分布并计算尺度和形状参数：
r
拟合Weibull分布
fit <- weibull(x, shape = 1, scale = 1)
输出拟合结果
summary(fit)
合结果中，`shape`参数表示形状参数，`scale`参数表示尺度参数。

这些参数可以通过最小化均方误差（MSE）来估计。

在上面的代码中，我们使用默认值1作为初始估计值。

如果需要手动计算尺度和形状参数，可以使用以下公式：
尺度参数（Scale）：`scale = 1 / lambda`，其中`lambda`是平均故障时间（MTTF）。

形状参数（Shape）：`shape = alpha`，其中`alpha`是形状参数。

在R语言中，可以使用以下代码来计算尺度和形状参数：
x为数据集，可以是寿命数据或其他连续数据
计算形状参数（假设数据符合指数分布）
shape <- 1 指数分布的形状参数为1，对于Weibull分布，形状参数可能需要根据实际情况进行调整
```。

学会使用WEIBULLDIST和WEIBULLINV 函数进行Weibull分布计算在Excel中，可以通过使用WEIBULLDIST和WEIBULLINV函数来进行Weibull分布的计算。

WEIBULLDIST函数用于计算Weibull分布的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF），而WEIBULLINV函数则用于计算Weibull分布的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）。

WEIBULLDIST函数的语法如下：WEIBULLDIST(x, alpha, beta, cumulative)其中，x为要计算PDF的数值，alpha为分布的形状参数，beta为分布的尺度参数，cumulative为是否计算累积分布函数。

如果cumulative 为TRUE（或省略），则计算CDF；如果cumulative为FALSE，则计算PDF。

WEIBULLINV函数的语法如下：WEIBULLINV(probability, alpha, beta)其中，probability为要计算CDF的概率值，alpha为分布的形状参数，beta为分布的尺度参数。

下面通过一个实际的例子来说明如何使用WEIBULLDIST和WEIBULLINV函数进行Weibull分布的计算。

假设某电子产品的寿命服从Weibull分布，已知该产品的形状参数为2，尺度参数为1000天。

现在需要计算不同时间点上该产品寿命的概率密度和累积分布。

首先，在Excel中输入以下数据：接下来，使用WEIBULLDIST函数计算不同时间点上的概率密度。

选择一个单元格，输入以下公式，并按下Enter键：`=WEIBULLDIST(A2,$B$2,$C$2,FALSE)`其中，A2为时间点的值，$B$2和$C$2为形状参数和尺度参数的位置，FALSE表示计算概率密度。

两参数Burr Ⅲ分布顺序统计量的矩及渐近分布姜培华【摘要】设{Xk,1≤k≤n}独立同分布,X(1),X(2),…,X(n)为其顺序统计量.当总体服从两参数BurrⅢ分布时,得到了统计量(X(i),X(j))和极端顺序统计量X(1)和X(n)的概率密度函数、期望和方差,给出了顺序统计量X(k)(1≤k≤n)的高阶原点矩的精确表达式.此外还研究了极端顺序统计量X(1)和X(n)的渐近分布.【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(029)003【总页数】5页(P1-5)【关键词】顺序统计量;两参数Burr Ⅲ分布;原点矩;渐近分布【作者】姜培华【作者单位】安徽工程大学数理学院,安徽芜湖241000【正文语种】中文【中图分类】O211.4BurrI W 于1942年基于微分方程的解，引入十二类重要的寿命分布，两参数Burr Ⅲ分布就是其中的一种. 这一分布在寿命试验、生存分析以及软件可靠性分析等领域得到广泛应用，引起人们的广泛关注和研究. 对于两参数Burr Ⅲ分布参数估计的研究文献较多，文献[1]研究了在完全样本下Burr Ⅲ分布参数的极大似然估计，联合置信区间估计；文献[2]讨论了应力强度服从Burr Ⅲ分布的可靠度参数的最小方差无偏估计以及置信区间估计；文献[3]研究了含异常点的Burr Ⅲ分布参数的M估计；刘满凤等在文献[4]中讨论了Burr Ⅲ分布参数的逆矩估计和置信区间估计问题. 对于两参数Burr Ⅲ分布顺序统计量的矩及渐近分布的研究并不多，众所周知顺序统计量，特别是极端值顺序统计量是概率统计中一类重要的随机变量,它的分布在随机过程和应用统计中都有着诸多的应用. 对于顺序统计量分布性质的研究已有很多，在文献[5]和[6]中研究了贝塔分布顺序统计量的矩的计算及再生关系；文献[7]和[8]分别研究了U[0,1]分布和双参数指数分布的样本区1间和顺序统计量的概率分布；匡能辉[9～12]中分别研究了瑞利分布、Pareto分布、混合指数分布和双截尾柯西分布顺序统计量的分布性质；姜培华[13]在中研究了威布尔分布顺序统计量的概率分布.本文将研究两参数Burr Ⅲ分布顺序统计量的高阶原点矩的计算、极端顺序统计量的概率分布及渐近性质.1 预备知识及引理定义1 若随机变量X具有密度函数f(x)=θαx-(α+1)(1+x-α)-(θ+1) x,θ,α>0则称X服从两参数Burr Ⅲ分布，记作Burr Ⅲ(θ,α)，其中θ为形状参数，α为不等式参数.引理1 若X～Burr Ⅲ(θ,α)，则其分布函数、k阶原点矩和方差分别为(1) F(x)=(1+x-α)-θ；其中，B(,)表示贝塔函数.引理2[14] 设{Xk,1≤k≤n}独立同分布,具有密度函数f(x)和分布函数F(x)，X(1),X(2),…,X(n)为其顺序统计量，则(1) X(k)的密度函数为特别地，当k取1和n时，可得X(1)和X(n)的密度函数分别为f1(x)=n[1-F(x)]n-1f(x) fn(x)=n[F(x)]n-1f(x)(2)(X(i),X(j))的联合密度函数为设随机变量X的分布函数为F(x)，令α(F)=inf{x:F(x)>0} w(F)=sup{x:F(x)<1}引理3[15] 设{Xk,1≤k≤n}独立同分布，有公共的分布函数F(x),X(1),X(2),…,X(n)为其顺序统计量. 若α(F)有限，且假定分布函数F*(x)=F(α(F)-x-1),x<0，满足：存在常数γ>0，使得对一切x>0，有则存在序列cn和dn>0,使得其中并且序列cn和dn可分别取为cn=α(F) dn=sup{x:F(x)≤n-1}-α(F)引理4[15] 设{Xk,1≤k≤n}独立同分布，有公共的分布函数F(x),X(1),X(2),…,X(n)为其顺序统计量.若w(F)=+∞，且假定存在常数γ>0，使得对一切x>0，有则存在序列bn>0,使得其中并且bn可取为inf{x:1-F(x)≤n-1}.2 主要结果及证明定理1 设{Xk,1≤k≤n}独立同分布于Burr Ⅲ(θ,α)，X(1),X(2),…,X(n)为其顺序统计量，则(1) X(k)(1<k<n)的密度函数为(2) X(1)的密度函数为f1(x)=nθαx(-α+1)[1-(1+x-α)-θ]n-1(1+x-α)-(θ+1) x>0(1)(3) X(n)的密度函数为fn(x)=(nθ)αx-α+1)(1+x-α)-(nθ+1) x>0(2)(4) (X(i),X(j))的联合密度函数为(3)证明由引理2及两参数Burr Ⅲ分布的密度和分布函数可知上述结论成立.注：(i) 最大顺序统计量X(n)仍然服从两参数Burr Ⅲ分布，即X(n)～BurrⅢ(nθ,α).(ii) 最小顺序统计量X(1)不服从两参数Burr Ⅲ分布，但有趣的是其概率密度可以表示为n个参数不同的两参数Burr Ⅲ分布密度函数的线性组合. 事实上，式(2)中密度函数的非零部分为f1(x) =nθαx-(α+1)[1-(1+x-α)-θ]n-1(1+x-α))-(θ+1)其中，式子[(i+1)θαx-(α+1)(1+x-α)-[(1+i)θ+1]]刚好是参数为[(i+1)θ,α]的两参数Burr Ⅲ分布的密度函数.由此可见，其概率密度可以表示为n个参数为[(i+1)θ,α](0≤i≤n-1) 的两参数Burr Ⅲ分布的密度函数的线性组合.(iii) 顺序统计量(X(i),X(j))的联合密度函数可以表示为一系列参数不同的两参Burr Ⅲ分布密度函数乘积的线性组合. 事实上，(3)中式子{(k+i)θαx-(α+1)(1+x-α)-[(k+i)θ+1]×(l+j-i-k)θαy-(α+1)(1+y-α)-[(l+j-k-i)θ+1]}刚好是参数为[(k+i)θ,α]和[(l+j-i-k)θ,α]的两参数Burr Ⅲ分布密度函数的乘积.定理2 设{Xk,1≤k≤n}独立同分布于Burr Ⅲ(θ,α)，X(1),X(2),…,X(n)为其顺序统计量, 对任意的1≤k≤n，q∈Z+有其中，表示贝塔函数.证明由定理1中结论(1)可知，X(k)的密度函数为从而可得故定理2成立.仿效定理2的证明思路和方法，类似可得下述定理3成立.定理3 设{Xk,1≤k≤n}独立同分布于Burr Ⅲ(θ,α)，X(1),X(n)为其极端值顺序统计量，则对于k,l∈Z+有定理4 设{Xk,1≤k≤n}独立同分布，且X～Burr Ⅲ(θ,α)，X(1)=m in{X1,X2,…,Xn}为其最小顺序统计量, 则存在序列cn和dn>0,使得其中并且序列cn和dn可分别取为证明易知α(F)=0，F*(x)=F(-x-1)，x<0,满足对一切x>0，由洛必达法则可知所以取γ=αθ，引理3的条件满足，且cn和dn可分别取为从而定理4成立.定理5 设{Xk,1≤k≤n}独立同分布，且X～Burr Ⅲ(θ,α)，X(n)=max{X1,X2,…,Xn}为其最大顺序统计量, 则存在序列bn>0使得其中并且序列bn可取为bn=.证明对于F(x)=(1+x-α)-θ，易知w(F)=+∞，且对于一切的x>0，有所以取γ=α，引理4的条件满足，且其中bn可取为bn =inf{x:1-F(x)≤n-1}=inf{x:1-(1+x-α)-θ≤n-1}=inf{x:(1+x-α)-θ≥(n-1)/n}=从而定理5成立.定理6 设{Xk,1≤k≤n}独立同分布，且X～Burr Ⅲ(θ,α)，X(n)=max{X1,X2,…,Xn}为其最大顺序统计量，则证明利用定理1中结论(3)，考虑到X(n)的非负性，对于∀ε>0，有即当n+∞时，成立.定理7 设{Xk,1≤k≤n}独立同分布，且X～Burr Ⅲ(θ,α)，X(1)=min{X1,X2,…,Xn}为其最小顺序统计量，则证明利用定理1中结论(2)，考虑到X(1)的非负性，对于∀ε>0，有P{|X(1)-0| ≤ε}=P{0≤X(1)≤ε}=f1(x)dx=nθαx-(α+1)[1-(1+x-α)-θ]n-1(1+x-α)-(θ+1)dx即当n+∞时，成立.【相关文献】[1] Asgharzadeh A, Abdi M. Point and Interval Estimatio n for the Burr Ⅲ Distribution [J].J Stat Res Iran, 2008，46(5):387～398.[2] Shawky A I , Al-kashkari F H. On a stress-strength Model in Burr of Type Ⅲ[J]. METRON:Int J Stat, 2007，32(4):481～490.[3] Wang F, Lee C. M-estimator with Asymmetric Influence Function for Esimating the Burr Type Ⅲ Parameters with Outliers [J]. Comput Math Appl, 2011,62(2): 196～205.[4] 刘满凤，任海平，宋颖.基于逆矩估计法的Burr Type Ⅲ分布的统计推断[J].统计与决策，2014，(2)：15～17.[5] Nadarajah S. Explict expressions for moments of order statistics[J]. Stat ProbabilLett,2008,78(2):196～205.[6] Thomas P Y, Samuel P. Recurrence relations for the moment of order statistics from a beta distribution[J]. Stat Pap, 2008,49(1): 139～146.[7] 邓宇辉.样本区间的概率分布[J].数学杂志，2004，24(6)：685～689.[8] 姜培华.双参数指数分布顺序统计量的概率分布性质[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2013，29(5)： 25～28.[9] 匡能晖.关于两参数瑞利分布顺序统计量的分布性质[J].江西师范大学学报(自然科学版)，2009，33(6)：648～651.[10] 匡能晖.三参数的Pareto分布顺序统计量的分布性质[J].郑州大学学报(理学版)，2011，43(2)：10～15.[11] KUANG N H. On properties of order statistics from the mixed exponential distribution[J]. 浙江大学学报(理学版)，2011，38(2):135～139.[12] 匡能晖.双截尾的分布顺序统计量的渐近分布[J].北京大学学报(自然科学版)，2011，47(3)：385～388.[13] 姜培华.关于Weibull分布顺序统计量的分布性质[J].安庆师范学院学报(自然科学版)，2012，18(1):47～50.[14] 茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2011.[15] Galambos J. The Asymptotic Theory of Extreme Order Statistics(2nd ed)[M]. New York: Robert E Krieger Publishing Go Inc, 2001.51～59.。

weibull分布函数公式
韦布尔分布，即韦伯分布（Weibull distribution），又称韦氏分布或威布尔分布，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。

威布尔分布在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。

由于它可以利用概率值很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用于各种寿命试验的数据处理。

从概率论和统计学角度看，Weibull Distribution是连续性的概率分布，其概率密度为：
其中，x是随机变量，λ>0是比例参数（scale parameter），k>0是形状参数（shape parameter）。

显然，它的累积分布函数是扩展的指数分布函数，而且，Weibull distribution与很多分布都有关系。

如，当k=1，它是指数分布；k=2且时，是Rayleigh distribution（瑞利分布）。

威布尔分布如何根据形状参数,尺度参数,截距等拟合公
式
威布尔分布是一种概率分布，广泛用于寿命测试和可靠性工程。

它是由形状参数（k）、尺度参数（η）和截距（T）确定的。

以下是根据给定的参数来描述威布尔分布的公式：
1. 概率密度函数（PDF）：
\(f(t) = \frac{k}{\eta} \left( \frac{t}{\eta} \right)^{k-1} e^{-
\left( \frac{t}{\eta} \right)^k}\)
其中，\(t\) 是观察的时间，\(k\) 是形状参数，\(\eta\) 是尺度参数。

2. 累积分布函数（CDF）：
\(F(t) = 1 - e^{- \left( \frac{t}{\eta} \right)^k}\)
其中，\(t\) 是观察的时间，\(k\) 是形状参数，\(\eta\) 是尺度参数。

3. 均值（期望值）：
\(\mu = \eta \Gamma(1+1/k)\)
其中，\(\Gamma\) 是伽玛函数。

4. 方差：
\(\sigma^2 = \eta^2 \left[ \Gamma(1+2/k) - \Gamma^2(1+1/k)
\right]\)
其中，\(\Gamma\) 是伽玛函数。

这些公式可以根据给定的参数（形状参数、尺度参数和截距）进行拟合。

在实践中，通常会使用最大似然估计法（MLE）或其它统计方法来估计这些参数。

关于Weibull分布条件方法的研究
周源泉;李宝盛
【期刊名称】《质量与可靠性》
【年(卷),期】2007(000)005
【摘要】推导了Weibull分布单样预测区间的条件方法的简便表达式。

并对Weibull分布参数与特征的置信区间的条件方法、单样预测区间的条件方法的性质给予了初等证明。

给出了单样预测区间的计算方法，并用数值例作了说明。

【总页数】6页(P7-12)
【作者】周源泉;李宝盛
【作者单位】北京强度环境研究所;北京航天动力研究所
【正文语种】中文
【中图分类】O213.2
【相关文献】
1.风电场风频weibull分布参数的估计方法研究 [J], 陈继传;段巍;叶芳
2.Weibull分布下的系统可靠性评估方法研究 [J], 朱寿雷;彭绍雄;董蒙
3.风速的Weibull分布参数确定方法研究 [J], 徐宝清;田德;吴骅;刘慧文
4.基于Weibull分布的岸桥铰点退化特征提取方法研究 [J], 侯美慧; 胡雄; 王冰; 孙德建
5.基于Weibull分布的测控装备寿命预测方法研究 [J], 金山
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韦伯分布曲线
韦伯分布（Weibull distribution）是概率统计学中常用的一种
概率分布函数，具有广泛的应用。

韦伯分布的概率密度函数（PDF）可以表示为：
f(x) = \begin{cases} \frac{k}{\lambda}(\frac{x}{\lambda})^{k-
1}\exp(-(x/\lambda)^k),\ x\geq0 \\ 0,\ x<0 \end{cases}
其中，k和λ为分布的形状参数和尺度参数，分别控制分布的
形态和尺度。

韦伯分布曲线呈现出特征明显的“S形”，主要呈现在x>λ时，
随着k的增大，曲线变陡峭，表现出更明显的峰值和尾部陡降，此时分布更加集中。

而随着λ的增大，曲线整体右移，表现出尺度变大的趋势，此时分布更加稀疏。

韦伯分布广泛应用于可靠性分析、寿命分析、风速分析等领域。

在可靠性分析中，常用韦伯分布来描述产品的失效概率随时间的变化规律；在寿命分析中，韦伯分布可以描述生物体、机械设备等在特定环境下的寿命分布规律；在风速分析中，韦伯分布可以描述风速分布的尾部情况，对于输电线路风荷载的研究具有重要的意义。

weibull累积分布函数Weibull分布最初是一种概率分布，用于描述事件内部故障的概率。

随着时间的推移，Weibull分布被应用到许多领域，包括财务、工业、医疗保健和环境。

在统计学中，Weibull分布是一种连续概率分布，用于描述可靠性系统的寿命。

Weibull分布可以是正态分布、指数分布或Gompertz分布的一般化，具有广泛适用性。

Weibull分布的累积分布函数（CDF）是用于描述一组数据中所有小于（或等于）给定值的数据所占比例的函数。

它被定义为：F(x) = 1 - e^{-(x/\lambda)^k}其中，x是寿命，λ（小写的“L”）是比例参数，k是形状参数。

λ和k的值可以根据数据适应，也可以通过最大似然估计法计算。

- 生存函数：它是CDF的补充，用于描述一组数据中所有大于给定值的数据所占比例的函数。

如果F(x)是CDF，那么生存函数S(x)可以表示为：- 密度函数：它是CDF的导数，表示一个寿命的概率密度。

其公式为：- 中位数：它是CDF的变体，表示将数据分成两等份的值。

中位数可以通过解方程F(x) = 0.5计算得出。

- 百分位数：它是CDF的另一种变体，表示取值小于或等于该值的数据所占的百分比。

例如，90th百分位数表示小于或等于该值的数据占总数据的90％。

Weibull分布的CDF有几个重要的特性。

首先，当k = 1时，Weibull分布变成指数分布，其CDF为：这意味着，如果一个系统的寿命服从指数分布，那么它的寿命是不可改变的。

其次，当k < 1时，CDF是下凸的，表示系统的故障率随着时间的推移而降低。

这种系统称为“优质的”或“逆可靠性”，因为它的故障率可能随着使用时间的增加而减少。

当k > 1时，CDF是上凸的，表示系统的故障率随着时间的推移而提高。

这意味着系统可能开始使用时很可靠，但随着时间的推移，它的故障率可能会增加。

在使用Weibull分布时，需要注意一些问题。

weibull 模型公式
Weibull模型是一种常用的可靠性分析模型，通常用于描述产品的寿命分布。

其概率密度函数可以表示为f(x) = (c/λ)
(x/λ)^(c-1) exp(-(x/λ)^c)，其中x为随机变量（通常表示产品的寿命），λ为尺度参数，c为形状参数，exp表示自然指数函数，^表示幂运算。

这个公式描述了Weibull分布的概率密度函数，其中c决定了分布的形状，当c=1时，Weibull分布退化为指数分布；当c>1时，分布呈现递增的风险率函数，表示产品的失效率随时间增长；当c<1时，分布呈现递减的风险率函数，表示产品的失效率随时间减小。

λ则决定了分布的缩放参数，影响分布的分布的位置。

在可靠性工程和寿命分析中，Weibull模型被广泛应用于产品寿命分布的建模和分析，有助于预测产品的寿命特性，进行可靠性评估和维修策略制定。

需要注意的是，Weibull模型的参数估计和拟合方法需要谨慎选择，以确保模型的准确性和可靠性。

《白话统计》读书笔记读书笔记2019/4/28王申月《白话统计》是学生统计学主题阅读的第1本书，这本书虽然说叫白话统计，但主要体现在讲的更全、更深，下面是学生阅读《白话统计》这本书是做的摘抄和笔记。

这本书的作者是北京大学医学部博士冯国双，所用案例多为医疗数据。

主要提供的是数据分析的思路，而不是公式、工具。

分为基础篇、实用篇。

基础篇主要介绍概念，实用篇侧重介绍各种方法的思路及实现。

学生在本科阶段主修过《社会调查与统计》课程，但对统计方面还是懵懵懂懂，在基础知识和实际操作上存在着很大不足，希望自己能够在老师的指导下取得进步。

第一篇：基础篇一、为什么学统计统计能够助力科研、工作，提供理性看待事物的能力。

二、谈概率分布（1）作者借助金庸小说《神雕侠侣》郭靖的内力能撑多久来解读概率分布，感觉非常有趣，其中累计分布函数一般用F（x）来表示，概率密度函数一般用f（x）来表示，密度与累积分布的关系是：密度=累积分布的增加量/长度。

（2）Weibull分布——常用于生存数据的拟合，描述死亡人数（并非直观意义上的死亡）的变化规律。

Weibull分布的形状主要有两个参数来决定，参数λ反映曲线位置，参数ρ控制曲线形状。

（3）Logistic分布——常用于研究一些物种的生命周期演变，如人口变化、种群变化、疾病感染变化等，也被称作生长曲线，有发生、发展、成熟、饱和4个阶段。

在医学研究中，Logistic分布通常是三参数或二参数的形式。

三参数Logistic曲线可表达为y=k1+e−a(x−b)，其中K表示上限值，a反映了增长速度，b表示拐点（即从b点开始上升速度变慢）；二参数Logistic曲线表达为y= 11+e（4）正态分布——横轴为分类、纵轴为概率。

正态分布的概率密度函数为f（x）=σ√2π(−(x−μ)22σ2)，x−μσ=Z,μ表示均数，σ表示标准差，从公式中可以看出来，正态分布主要有两个参数决定，即均数和标准差，均数是位置参数，决定正态分布的位置；标准差是形状参数，决定了分布的分散程度，标准差越大，分布越“矮胖”；标准差越小，分布越“瘦高”。