Weibull分布寿命数据的参数估计

weibull函数Weibull函数是一种常见的概率分布函数，在工程、生物学、环境科学等领域都有广泛的应用。

本文将围绕Weibull函数展开详细的讲解。

一、Weibull函数的概念Weibull函数是von Weibull于1951年提出的一种数学函数，具有如下公式：f(x) = (k/λ) * [(x/λ)^(k-1)] * exp[-(x/λ)^k] (x>=0)其中，k和λ是Weibull函数的参数，k称为形状参数，反映随机变量的分布形状；λ称为尺度参数，反映随机变量的尺度大小。

二、Weibull函数的特点1、Weibull函数是典型的右偏分布，也称为正倾斜分布，这是由于右侧长尾的存在导致的。

2、Weibull函数可用于刻画各种不同类型的现象，如失效时间、断裂强度等。

3、Weibull函数在实际应用中具有广泛的应用领域，如可靠性分析、质量控制、产品寿命预测等。

三、Weibull函数的参数估计在实际应用中，我们需要估算Weibull函数的参数，目前常用的方法有极大似然估计和最小二乘估计。

1、极大似然估计极大似然估计是一种常用的参数估计方法，其原理是在已知样本数的情况下，通过求解最大的似然函数值，来获得Weibull函数的参数估计值。

2、最小二乘估计最小二乘估计是通过最小化误差平方和的方法来获得Weibull函数的参数估计值。

四、Weibull函数的应用Weibull函数是一种常见的概率分布函数，其应用范围非常广泛。

下面列举几个实际应用案例：1、可靠性分析Weibull函数可以用来描述机械零件的失效时间分布，通过对失效时间的估计，可以预测产品的寿命，并制定相关的维修和更换计划。

2、产品寿命预测基于Weibull函数的特点，可以通过对产品失效数据的分析得到不同时间段内的失效概率和相关的可靠性数据，从而预测产品的寿命。

3、质量控制Weibull函数可以用来描述产品的质量控制数据，通过对数据的分析，可以判断产品整体质量水平，及时发现和解决质量问题。

基于Matlab和GM（1,1）模型的W eibull分布参数估计第28卷第3期20l0年6月江西科学LjIANGXiSCNCEV o1.28No.3Jun.2()lO文章编号:IO01—3679(2010)03—029l一04基于Matlab和GM(1,1)模型的Weibul1分布参数估计史景钊,陈新昌,张峰(河南农业大学f』【电工程学院,河南郑州450002)摘要:介绍了随机截尾情况下计算样蕾失效概率的Johnson算法和GM(1,1)模型估计三参数Weibul1分布参数的方法;提出了结合JollrlSOi'l搏法币,CM,1,1,模型估计随机栽黾情况下Weibul1分布参数的方法,编写了相应的Matlab函数,实例计算表明这种方法的计算精度可满足工程需要.关键词:可靠性;Weibu]1分布;参数估什:GM(1,1)模型;Matlab中图分类号:TB114.3文献标识码:A3.ParameterWeibullDistributionParameterEstimationBasedonMatlabandGM(1,I)ModelSHIJing—zhao,CHENXin—chang,ZHANGFeng (HenanAgriculturaJUniversity,HenanZhengzhou450002PRC)Abstract:Introducedarandomsampleofcensoredcases,thefailureprobabilitycalculationof John—sonalgorithmandtheuseofGM(1,1)model,Weibulldistributionparametersestimationtheory,proposedcombinationofJohnsonalgorithmandGM(1,1)modeltoestimateWeibulldistribu tionpa—rametersofthemethod,preparationofMatlabfunction,aninstanceofestimatedresultsshowt hatthemethodiSreliable.Keywords:Reliability.WeibulldistIibution,Parameterestimation,GM(1,1)model,Matlab O前言在产品的寿命试验中有完全寿命试验和截尾寿命试验2种类型.其中截尾寿命试验又分为定时截尾,定数截尾和随饥截尾等.参加试验的部分产品由于某种原因(如人为因素造成产品损坏,统计数据丢失,试验设备失效,根据试验计划有意撤出等)还没有失效就巾途退出试验,这样得到的数据即为随机戳尾数据(也称为右删失数据).随机截尾寿命试验是可靠性寿命试验中最一般的情况,其他寿命试验都可看作它的一个特例.Weibul1分布模型能够根据形状参数的变化表现为各种不同的形状,较好地适用于各类寿命试验,因而在可靠性分析中应用十分广泛.对于服从Weibul1分布的随机截尾寿命数据的参数估计,国内外学者进行了大量的研究,提出了一些参数估计方法,主要有极大似然估计法¨"J,贝叶斯估计法],最小二乘法j,图估计法u叫等.本文根据文献[11]介绍的方法计算样本失效概率,收稿日期:2010—03—23;修订日期:2010—04一】4作者简介:史景钊(1963一),男,河南柘城人,副教授,主要从事农业装备可靠性方面的研究工作.基金项目:河南农业大学博士基金项目(30500022).292?结合文献[12]介的cM(J,J)十I!逊啦饥截尾条件下的三参数weibul1分m参数估计,并征Matlab中实现了这一算法.l样本失效概率的计算假设投入寿命试验的产品数量(即样本容量)为n,产品的寿命为随机变量71,其分布函数为F(t),相应的样本失效概率为F(t),在试验结束时其中有r个产品发生了失效,其失效时间为1s2…,,有=几一r个产品由于各种原因中途撤出了试验,其撤出时间分别为Ys…Y,则观察到的随机截尾寿命数据其时间按从小到大排序后可表示为:f,产品失效时,:l,2,…,r.,【Y产品撤出时,m=1,2t,…,,'.={=1.2.….n显然这类数据不能按照完全样本数据的处理方法计算样本失效概率,必须寻找其他合适的方法.常用的方法有平均次序号法口¨和残存比率法,以下介绍平均次序号法.Johnson认为中途撤出试验的产品会造成失效产品的时问次序发生变化,应该计算失效产品的平均次序号,第r个失效产品的平均次序号为: J=J+,,(1),:(2)2i'+一\一/式中,r为产品的失效序号;J,为第r个失效数据的平均次序号,并假定Jo=0;,,为第r个失效数据平均次序号的增量;i为第r个失效数据的自然序号(包括中途撤出的数据).计算出平均次序号.,后,再以.,,通过中位秩算法或平均秩算法计算失效数据的样本失效概率.中位秩算法:(3)平均秩算法:()(4)实现这一算法的Matlab函数(Johnson.111)为:function[Fn]=Johnson(t,state)=length(t);r=0;fori=1:nif(state(i)==1)r=r+1:20l0年第28卷it(r==1)./(r)=(n+I)/(tl+2一i);%t,(r)为甲均次序数else.,(r)=_,(r—1)+(+l一(r～1))/(n+2一i);end(r)=￡(i);(r)=(J(r)-0.3)/(17,+0.4);%此处也可使用平均秩算法(r)=J(r)/(十1);endend在上述函数中,t为寿命试验数据向量,包括失效数据及中途撤出数据;state为状态向量,失效时state(i)=1,撤出时state(i)=0;输出参数为失效数据向量及其中位秩向量.2利用GM(1,1)模型估计Weibul1分布参数2.1Weibul1分布参数与GM(1,1)模型的关系Weibul1分布的寿命分布函数由下式给出()=1一exp[一()](5),式中,m称为形状参数,m>0;77称为尺度参数,叼>0;y称为位置参数,对于产品寿命有O,=0时即是二参数Weibul1分布;是产品的工作时间,.式(5)经过变形处理也可表示为:=y+~Texp(1止)(6)令=In[一ln(1一F())],i=1,2,…,r,并记77=c,n:一1/m,:6,则式(6)可转化为:=cexp(一.tr)+b(7)灰色系统GM(1,1)模型的微分方程为:(f)(∈R)(8)其时间响应模型为:(￡):cexp(一口￡)+_(9)显然,方程(7)和方程(9)具有相同的形式,若视(,)为一时间序列,则可用GM(1,1)模型对参数a,,进行估计,进而得到m,叩的估计值.CM(1,1)模型各参数的估计值可用最小二乘法得到:3icj】景钏等:Matlabf1jGM(1,1)馍的Weltrol1分币参数汁.293. ,=(10)D=exp(一Ⅲz(1).￡(),%汁D;polyf]t(B,】'IZ,1),%求形状参数千¨…..,一7-—1[bc=(DD)DX(11)式中,.:[】":::"】,-Y=[…,].由式(10)得到a和u,由式(11)得到c,比较式(7)和式(9)可知Weibul1分布参数与n,",C的关系],即m=一1/a,y:b:u/a,'7=c,式(11)算出的b是的进一步优化值.2.2参数估计以下以具体实例说明参数估计的过程.考察某机械零件的可靠性,投人10件产品进行寿命试验,试验过程中6件发生了失效,中途有4件撤出试验,失效时问及撤出时问按先后顺序排列如表1所示.表1某机械零件寿命试验表根据式(10)和式(11),编写Matlab函数(Gray.m)完成参数估计.函数代码为:functionP=Gray(,Fn)r=length();%r为失效数;tau:log(1og(1./(1一Fn))),%计算,此处用tau表示;B=一0.5.diff()一([1:r一1]),%计算B;gn=diff()./d~fr(tau),%汁算;位嚣参数初值;bc=polyfit(D,X,1),%优化位黄参数,求尺度参数;P=[一1/au(1),bc(1),bc(2)j.函数的输入为失效时问向量_干IJ佯本失效概率向量F,输出为威布尔分布参数向量P,其中P (1:1为形状参数m,P(2)为尺度参数叼,P(3)为位置参数y.在Marlab的命令窗口中输人试验数据向量及状态向量:t=[544,663,702,727,807,914,939,1084,1199,l265];state=[1,1,0,0,1,1,0,1,1,0];用[,F]=Johnson(t,state)的形式调用样本失效概率的计算函数,计算结果如表1所示. 然后用P:Gray(,F)的形式调用Gray函数即可得到估计结果.上例若用Johnson中位秩法计算样本失效概率, 得到的估计结果为P=[3.086,1026.408,92.699], 即该批零件服从形状参数为3.086,尺度参数为1026.408,位置参数为92.699的Weibul1分布. 各失效数据减去位置参数后在Weibu|l概率纸上描点(图1),可看到各点基本在一条直线上,说明试验数据确实服从三参数威布尔分布,计算结果是正确的.//.,/,夕///,/r图1用Weibull概率纸进行分布检验3结语与讨论有中途撤出的服从Weibul1分布的随机截尾数据的参数估计是比较复杂的,用Matlab强大的数学运算功能仅需不多代码即可完成,大大减轻了编程负担,提高了运算效率.实例计算表明,结合Johnson算法与GM(1,—l一"¨～+.:一ll一一,_r●●●●l"lJn式294?1)模型估l}I'三参数Wcil川¨的参敦址f,的,¨既可州于完全样本.吖川J:随饥样小.试验数据能较好地服从Weibul1分布时,仙汁结具有较高的精度,完全可满足一股f程需要.GM(1,1)模型一次性计算出3个参数,且无需迭代计算,快捷,方便,仉无法应』r参数Weibul1分布.参考文献:[1]李海波,张正平,胡彦平,等.基于随机战尾数下Weibul1分布的参数极大似然估汁与应片】[J强度与环境,2009,36(4):6O一64.[2]陈家鼎.随机裁尾情形下Weibul1分布参数的最大似然估计的相合性[J].应用概率统计,1989,5(3): 226—233.[3]师义民,杨昭军.随机截尾寿命试验三参数Weibul1 分布的统计分析[J].西北大学(自然科学版),1996,26(4):285—288.[4]BalakrishnanaN,KateriM.Onthemaxinmmlikelihood estimationofparametersofWeibulldistributionbased oncompleteandcensoreddata.StatisticsandProba～bilityLetters[J].2008,78:2971—2975.[5]林静,韩玉启,朱慧明.一种随机截尾恒加寿命试验的贝叶斯评估[J].系统工程与电子技术,2007,29(2):320—323.20l()年第2};卷[6,J恍,汤/j',必鹤R.删失效f{I戚布尔分币参数的【j!叶断挽汁分忻[J].上海帅池火学(自然科学舨),2008,37(1):28—34.[7关云,术乾坤.一参数WeibuI1分布下随机敲尾恒加寿命试验的Bayes统汁分忻[J].西南民族学院(自然科学版),1997,23(2):l44—148.f8]AlMel～WahidAA,\VinterbottomA.Approximate BayesianestimatesfortheWeibullreliabilityfunctionandhazardratefromcensoreddata『J].JournalofSta. tisticalPlanningandInference,1987.16:277—283.[9]Zhang1F,XieM,TangLC.Biascorrectionforthe]eastsquaresestimatorofWeibullshapeparameterwith completeandL.ensoreddata[J].ReliabilityEngineer- ingandSystemSafety,2006,91:930—939.[10]ZhangLF,XieM,TangLC.Astudyoftwoestimation approachesforparametersofWeibulldistributionbased onWPP[J].ReliabilityEngineeringandSystemSafe-ty,2007,92:360—368.[11]JohnsonLG.TheoryandTechniqueofV ariableRe. search[M].NewY ork:ElsevierPublishingCo.,l964.[12]邓聚龙.灰色系统基本方法[M].武汉:华中理工大学出版社,2Oo5.[13]郑荣跃,秦子增.Weibul1分布参数估计的灰色方法[J].强度与环境,1989,(2):34—4O.(上接第284页)的爆破[J].华东交通大学,2009,26(2):111—114.[3]ZhuXu—sheng,WangGuangchao.TheglobalExj:denee oftheregularsolutionsofthecompressibleEulerequa—tionswithdegeneratelineardamping[J].Journalof Mathematics,2009,29(4):401—408.[4]ThomasC.Sideris.Formationofsingularitiesinthree—di—mensionalcompressiblefluids『J].Communicationsin MathematicalPhysics,1985,10l:475—485.[5]ZhuXu—sheng,WangWei—ke.Theregularsolutionsof theisentropicEulerequationswithdegeneratelinear damping[J].ChineseAnnalsofMathematics,2005,26B(4):583—598[6]SergeA,Blowupnonlinearhyperbolicequations[M]. Boston:BrikhuserPress,1995.[7]WangWei—ke,Y angTong.Thepointwiseeatimatesofso- lutionsforEulerequationswithdmpinginmulti—,dimen?- sions[J].JournalofDifferentialEquations,2000,173,4l0—450.。

weibull分布形状参数
Weibull分布的形状参数（shape parameter）也被称为Weibull斜率（Weibull slope），它用于描述数据的分布方式。

形状参数的取值范围通常是大于零的实数。

当形状参数等于1时，Weibull分布的分布形状近似于正态分布曲线。

这意味着失效率随着时间的推移保持一致，即产品的失效率在一段时间内是均匀的。

这种形状适用于随机失效和多原因失效，并可用于对产品的使用寿命进行建模。

形状参数的取值可以影响Weibull分布的形状，从而影响失效率的分布情况。

如果形状参数的值较小，则Weibull 分布的分布形状会更接近正态分布曲线，而如果形状参数的值较大，则Weibull分布的分布形状会更加不对称，且失效率的分布会更加不均匀。

可靠性测试之寿命计算可靠性测试是一种评估产品或系统在一段时间内能够正常工作的能力的测试。

在可靠性测试中，寿命计算是衡量产品或系统可靠性的重要指标之一、本文将探讨可靠性测试中的寿命计算方法，其中包括可靠性函数、故障率、可用性等关键概念，并介绍了几种常用的寿命计算模型。

首先，我们需要了解几个重要的概念。

可靠性函数是描述在一定时间内系统能够正常工作的概率分布函数。

故障率是描述系统在单位时间内发生故障的概率。

可用性是描述系统在特定时间内能够正常工作的概率。

寿命是系统从开始使用到发生故障之间的时间间隔。

寿命计算的方法通常有两种：基于试验数据的寿命计算和基于理论模型的寿命计算。

基于试验数据的寿命计算常用的方法有：最大似然估计法、贝叶斯估计法和参数回归法。

这些方法的基本思想是通过分析观测到的故障数据，估计出概率密度函数或故障模型的参数，从而计算出系统的寿命。

最大似然估计法假设系统的寿命服从一些已知的概率分布函数，通过最大化样本观测值出现的概率来估计参数的值。

贝叶斯估计法则根据已知的先验信息和观测到的故障数据，计算出参数的后验概率分布，并根据后验概率分布计算系统的寿命。

参数回归法则通过拟合故障数据与时间的关系，得到参数的数学公式，并根据公式计算系统的寿命。

基于理论模型的寿命计算常用的方法有：指数模型、Weibull模型和可靠性增长模型。

指数模型假设系统的故障率在使用寿命的任意时刻都是恒定的，即服从指数分布。

通过测量系统的故障率，根据指数分布的公式计算出系统的寿命。

Weibull模型则是常用的一种非常灵活的寿命计算模型。

Weibull分布可以根据数据的分布情况进行调整，可以模拟不同类型的故障模式。

通过根据观测到的故障数据，拟合出Weibull分布的参数，再根据分布计算系统的寿命。

可靠性增长模型则是根据系统在不同阶段的故障数据，通过曲线拟合方法，估计出系统在未来的寿命。

其中常用的模型有线性模型、指数模型、对数模型等。

最大似然估计法计算威布尔参数的方法python程序最大似然估计法是一种统计方法，用于估计概率分布的参数。

威布尔分布是一种连续概率分布，常用于寿命测试和可靠性工程。

威布尔分布的参数通常包括形状参数（α）、尺度参数（β）和位置参数（μ）。

以下是使用Python和SciPy库实现最大似然估计法来计算威布尔分布的参数的示例代码：pythonimport numpy as npfrom scipy.optimize import minimizedef weibull_log_likelihood(params, data):alpha, beta, mu = paramsx = datall = np.sum(np.log(beta / (alpha * (np.power((mu / beta), alpha)))) + alpha * np.log(x) -beta * ((np.power(x, alpha) - mu) / alpha))return -ll # minimize_scalar requires minimization of the negative log-likelihood# 模拟数据data = np.random.weibull(shape=2, scale=100, size=1000)# 初始参数值initial_params = [2, 100, 0]# 使用SciPy的minimize函数进行优化result = minimize(weibull_log_likelihood, initial_params, args=(data,), method='Nelder-Mead')# 输出最大似然估计的参数值print("Estimated parameters: ", result.x)这段代码首先定义了威布尔分布的对数似然函数，然后使用SciPy的minimize函数找到使对数似然函数最小的参数值。

极值波高Weibull分布的参数估计方法对比分析王志旭;陈子燊【摘要】介绍了三参数威布尔分布及其4种参数估计方法:极大似然估计法、相关系数优化法、灰色估计法和概率权重矩法.利用蒙特卡罗法对以上参数估计方法进行不同样本尺度的模拟,通过偏差、标准差和均方误差对比分析各种方法的特点、精度和适用性.运用上述方法结合涠洲站34a实测年极值波高,推算涠洲岛的设计波高,从相关系数、均方根误差和Q统计值分析各种方法的差异及优劣性.结果表明,小样本情况下各估计法的差别较大,而大样本时差别较小,极大似然估计法能较好拟合各种大小的样本,相关系数优化法次之；选取合适的经验频率会提高参数估计精度；各种参数估计方法计算而得的设计波高相差不大,其中极大似然估计法的精度最高.【期刊名称】《海洋通报》【年(卷),期】2013(032)002【总页数】6页(P127-132)【关键词】设计波高;威布尔分布;参数估计方法;涠洲岛海域【作者】王志旭;陈子燊【作者单位】中山大学水资源与环境系,广东广州 510275;中山大学水资源与环境系,广东广州 510275【正文语种】中文【中图分类】P426在海岸工程建设设计中，最重要的又难以决定的问题之一是设计波浪标准的选择，选用的设计波高有少量变化就会明显影响到工程的费用、涉及工程安全和维修方案。

在得到波高长期样本数据后，可通过概率分布函数来拟合实测数据，并推算设计波高。

Goda等（1990）、Ferreira等（2000）和Todd（2000）对各种分布函数做过分析比较，发现各种函数有其适用性。

目前常用的分布函数有对数正态分布、Gumbel分布、皮尔逊Ⅲ型分布、Weibull分布。

我国海港水文规范规定，对于年极值波高及其对应的周期的理论频率曲线，一般采用皮尔逊Ⅲ型曲线，也可以实测经验累积频率点拟合最佳为原则，选用其他理论频率曲线。

1927年，Fréchet首先给出威布尔分布的定义，即极值Ⅲ型分布。

2017年10月强度与环境Oct.2017 445STRUCTURE&ENVIRONMENT ENGINEERING Vol.44No.5文章编号：1006-3919(2017)05-0047-05威布尔分布零失效场合形状参数m的估计李宝盛佟红宇（北京航天动力研究所，北京100076）摘要：给出了威布尔分布寿命型产品，在零失效试验数据场合，威布尔分布形状参数m的修正极大似然估计方法和求解方程。

例示了某型液体火箭发动机m数的求解和可靠性评估，以及某型液体火箭发动机研制试验方案策划。

关键词：威布尔分布；零失效；形状参数m中图分类号：O213.2文献标识码：A DOI:10.19447/ki.11-1773/v.2017.05.008The estimation of shape parameter m in Weibull distribution on zerofailure productsLI Baosheng TONG Hongyu(Beijing Aerospace Propulsion Institute,Beijing100076,China)Abstract:The method and the formulation to solve the modified maximum likelihood estimation of theshape parameter m in weibull distribution are given on the weibull distributed products in zero failures.Thesolution of m and the reliability evaluation of a liquid propellant rocket engine are illustrated.Thedeveloping test plan’s design of another liquid propellant rocket engine is illustrated.Key words:weibull distribution;zero failure;shape parameter m0引言寿命为威布尔分布，在零失效场合，是用途广泛和非常重要的一类产品，工程中常见的这类产品是航空航天产品、可靠性要求甚高的各种军工产品，典型的如液体火箭发动机及其组件等。