数学：第二章《点、直线、平面之间的位置关系》教案(新人教A版必修2)

平面与平面之间的位置关系教案一、教学目标：1、了解空间中平面与平面的两种位置关系；2、能够判断两个平面的位置关系；3、会用符号语言和图形语言表示平面和平面之间的位置关系。

二、教学重点、难点重点：平面与平面之间的位置关系。

难点：用图形表达平面与平面的位置关系。

三、学法与教学用具1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：多媒体、长方体模型四、教学过程（一）复习回顾、导入课题1、空间中两条直线有几种位置关系？分别是什么？（1）相交；（2）平行；（3）异面2、直线与平面存在几种位置关系？分别是什么？（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 —— 没有公共点教师以生活中的实例以及课本P50的思考题为载体，提出：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题）（二）研探新知1、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：（1）两个平面平行 —— 没有公共点（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为α∥β α∩β= L教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。

教材P50 探究让学生独立思考，稍后教师作指导，加深学生对这两种位置关系的理解教材P50 练习学生独立完成后教师检查、指导（三）归纳整理、整体认识教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。

（四）作业α β α β L1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。

2、教材P52 习题2.1 A组第7、8题。

教学设计
课题：直线与平面平行的性质
教材：普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修2§2.2.3
授课教师：
授课时间：
【三维目标】
1．知识与技能
通过教师的适当引导和学生的自主学习，使学生由直观感知获得猜想，经过逻辑论证，推导出直线与平面平行的性质定理，并掌握这一定理．
2．过程与方法
通过直观感知和操作确认的方法，发展几何直觉、运用图形语言进行交流的能力；体会和感受通过自己的观察、操作等活动进行合情推理发现并获得数学结论的过程；通过直线与平面平行的性质定理的实际应用，让学生体会定理的现实意义与重要性．3．情感、态度、价值观
通过主动参与、积极探究的学习过程，提高学习数学的自信心和积极性，培养合作意识和交往能力，领悟化归与转化的数学思想，提高学生分析解决问题的能力．
【教学重点与难点】
1．教学重点直线与平面平行的性质定理．
2．教学难点综合应用线面平行的判定定理和性质定理．
【教学过程】
b β=．b β=，所以 b α⊂//a α， 所以又因为，a β⊂，
c β=．因为//a α，c β=，
所以//a c ．
c ． 是平行四边形， 所以//EH FG ． ABC 平面， ABC 平面EFGH 平面
【布置作业】
教材P645、6．。

第二章空间点、直线、平面之间的位置关系第2. 1.4节平面与平面之间的位置关系【本节教材分析】（一）三维目标1.知识与技能结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系2．过程与方法进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换.3．情感态度与价值观进一步培养学生的空间想象能力，培养学生全面思考问题的能力.（二）教学重点空间平面与平面之间的位置关系。

平面与平面的相交和平行.（三）教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。

（四）教学建议空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系.【新课导入设计】导入一：(情境导入）拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？导入二：（事例导入）观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？图1【课堂结构】提出问题①什么叫做两个平面平行？②两个平面平行的画法.③回忆两个平面相交的依据.④什么叫做两个平面相交?⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系.活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义.问题②怎样体现两个平面平行的特点.问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交.问题④回忆公理三.问题⑤鼓励学生自我训练.讨论结果：①两个平面平行——没有公共点.②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.图2 图3③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理 3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.④两个平面相交——有一条公共直线.⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交.两平面平行与相交的图形表示如图4.图4例题讲解例1 已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,a⊂α,b⊂β,则直线a与直线b具有怎样的位置关系?活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.解：如图5,直线a与直线b的位置关系为平行或异面.图5例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图6.图6变式训练α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( )A.α、β都平行于直线l、mB.α内有三个不共线的点到β的距离相等C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥βD.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β分析：如图7,分别是A、B、C的反例.图7答案：D点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维.例3 平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明道理．解：不正确．如右下图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，an，…，它们是一组平行线．这时a1，a2，…，an，…，与平面β都平行，但此时α不平行于β，α∩β＝l.例4 在以下四个命题中，正确的命题是( )①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC 的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行；A ．③B ．②C ．②③D ．都不正确解析：如图所示正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对于①，平面A 1D 1DA 中，AD ∥平面A 1B 1C 1D 1，分别取AA 1、DD 1的中点E ，F ，连结EF ，则知EF ∥平面A 1B 1C 1D 1.但平面AA 1D 1D 与平面A 1B 1C 1D1是相交的，交线为A 1D 1，故命题①错．对于②，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的面AA 1D 1D 中，与AD 平行的直线有无数条，但平面AA 1D 1D 与平面A 1B 1C 1D 1不平行而是相交于直线A 1D 1，故②是错的．对于③，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，取AA 1，DD 1，BB 1，CC 1中点E ，F ，G ，H ，A 1，B ，C 到平面EFHG 的距离相等，而△A 1BC 与面EFHG 相交，故③是错的．答案：D课堂小结本节主要学习平面与平面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：①两个平面平行——没有公共点；②两个平面相交——有一条公共直线.另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.作业课本习题2.1 B 组1、2、3.当堂检测：。

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）第二章点、直线、平面之间的位置关系2. 1空间点、直线、平面之间的位置关系教案 A第 1 课时教学内容： 2. 1. 1平面教学目标一、知识与技能1.利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2.掌握平面的基本性质及作用，提高学生的空间想象能力.二、过程与方法在师生的共同讨论中，形成对平面的感性认识.三、情感、态度与价值观通过实例认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.教学重点、难点教学重点：1.平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.教学难点：平面基本性质的掌握与运用.教学关键：让学生理解平面的概念，熟记平面的性质及性质的应用，使学生对平面的概念及其性质由感性认识上升到理性认识.教学突破方法：对三个公理要结合图形进行理解，清楚其用途.教法与学法导航教学方法：探究讨论，讲练结合法．学习方法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标.教学准备教师准备：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板．学生准备：直尺、三角板．教学过程教学教学内容师生互动设计过程意图创设什么是平面？师：生活中常见的如黑板、情境一些能看得见的平面实桌面等，给我们以平面的印象，形成平导入例 .你们能举出更多例子吗？那么面的概新课平面的含义是什么呢？这就是念我们这节课所要学习的内容 .1教师备课系统──多媒体教案续上表1.平面含义随堂练习判定下列命题是否正确：主题① 书桌面是平面；探究② 8 个平面重叠起来要比合作 6 个平面重叠起来厚；交流③ 有一个平面的长是50m，宽是 20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念 .师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说加强对知的平面，就是从这样的一些识的理解物体中抽象出来的，但是，培养，自几何里的平面是无限延展觉钻研的的 .学习习惯 . 数形结合，加深理解 .2.平面的画法及表示师：在平面几何中，怎（1）平面的画法：水平放样画直线？（一学生上黑板置的平面通常画成一个平行四画）边形，锐角画成 45°，且横边之后教师加以肯定，解说、画成邻边的 2 倍长（如图）．类比，将知识迁移，得出平面的画法：D CαA B如果几个平面画在一起，主题当一个平面的一部分被另一个探究平面遮住时，应画成虚线或不合作画（打出投影片）．交流（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC 、平面 ABCD等.（3）平面内有无数个点，平面可以看成点的集合 .点 A 在平面α内，记作：A ∈ α ; 点B 在平面α外，记作： Bα．β通过类比α探索，培养学生知识迁移能β力，加强知识的系统性 .α·B·Aα2续上表人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）3.平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．A Bα· C··教师引导学生思考教材P41 的思考题，让学生充分发表自己的见解 .师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出公理主题探究合作交流符号表示为A ∈ LB∈ L? L ? α．A ∈ αB∈ α公理 1：判断直线是否在平面内．公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 .A· Bα·L符号表示为： A 、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面α，使A ∈ α、 B∈ α、 C∈ α.公理 2 作用：确定一个平面的依据 .公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .βPα·L符号表示为： P∈ α∩β? α∩β =L，且P∈ L ．公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 .1．教师引导学生阅读教材P42 前几行相关内容，并加以解析．师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等．通过类比引导学生归纳出公理探索，培2．养学生知教师用正（长）方形识迁移能模型，让学生理解两个平力，加强面的交线的含义.知识的系注意：（ 1）公理中“有统性 .且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形唯一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“ 有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面 . ”引导学生阅读P42 的思考题，从而归纳出公理3．3教师备课系统──多媒体教案续上表拓展 4. 教材 P43 例 1教师及时评价和纠正同创新通过例子，让学生掌握图形学的表达方法，规范画图和巩固应用中点、线、面的位置关系及符号符号表示 .提高．提高的正确使用 .1．平面的概念，画法及表示方法 .培养学2．平面的性质及其作用．生归纳3．符号表示．整合知4．注意事项．学生归纳总结、教师给识能小结力，以予点拨、完善并板书 .及思维的灵活性与严谨性 .课堂作业1.下列说法中，（1）铺得很平的一张白纸是一个平面；（ 2）一个平面的面积可以等于 6cm 2；（ 3）平面是矩形或平行四边形的形状. 其中说法正确的个数为（）．A . 0 B . 1 C. 2 D . 32.若点 A 在直线 b 上，在平面内，则 A， b，之间的关系可以记作（）．A . A b B. A b C. A b D . A b3.图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（）．A B C D4.空间中两个不重合的平面可以把空间分成（）部分.答案： 1. A 2. B 3. D 4. 3 或 4第 2 课时教学内容2.1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中两条直线的位置关系；4人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2.理解异面直线的概念、画法，提高空间想象能力；3.理解并掌握公理 4 和等角定理；4.理解异面直线所成角的定义、范围及应用.二、过程与方法1.经历两条直线位置关系的讨论过程，掌握异面直线所成角的基本求法.2.体会平移不改变两条直线所成角的基本思想和方法.三、情感、态度与价值观感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣.教学重点、难点教学重点1.异面直线的概念 .2.公理 4 及等角定理 .教学难点异面直线所成角的计算.教学关键提高学生空间想象能力，结合图形来判断空间直线的位置关系，使学生掌握两异面直线所成角的步骤及求法 .教学突破方法结合图形，利用不同的分类标准给出空间直线的位置关系，由两异面直线所成角的定义求其大小，注意两异面直线所成角的范围.教法与学法导航教学方法探究讨论法．学习方法学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成教学目标.教学准备教师准备投影仪、投影片、长方体模型、三角板．学生准备三角板 .教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计环节意图创设通过身边实物，相互设疑激情境异面直线的概念：不同在任何一个交流异面直线的概念．趣点出导入平面内的两条直线叫做异面直线.师：空间两条直线有主题．新课多少种位置关系？1. 空间的两条直线的位置关系教师给出长方体模多媒体5教师备课系统──多媒体教案相交直线：同一平面内，有且只有型，引导学生得出空间的演示提一个公共点；两条直线有如下三种关高上课平行直线：同一平面内，没有公共系．效率 .探索点；异面直线：不同在任何一个平面内，教师再次强调异面直新知没有公共点 .线不共面的特点．师生互异面直线作图时通常用一个或两个动，突平面衬托，如下图：破重点 .2. 平行公理师：在同一平面内，例 2 的思考：长方体ABCD-A'B'C'D' 中，如果两条直线都与第三条讲解让BB' ∥AA'， DD' ∥AA'，那么 BB' 与直线平行，那么这两条直学生掌DD' 平行吗？线互相平行 . 在空间中，是握了公否有类似的规律？理 4 的运用．生：是．强调：公理 4 实质上探索是说平行具有传递性，在新知公理 4：平行于同一条直线的两条平面、空间这个性质都适直线互相平行 .用．符号表示为：设a、b、c 是三条直线如果 a//b， b//c，那么 a//c.例 2 空间四边形ABCD 中， E、 F、G、 H 分别是AB 、BC 、 CD 、 DA 的中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形 .续上表3. 思考：在平面上，我们容易证明让学生观察、思考：等角定“如果一个角的两边与另一个角的两边理为异探索分别平行，那么这两个角相等或互补”.面直线新知空间中，结论是否仍然成立呢？所成的等角定理：空间中如果两个角的两角的概边分别对应平行，那么这两个角相等或念作准6人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）互补 .∠ ADC与A'D'C' 、备.∠ ADC与∠ A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ ADC = A'D'C' ，∠ ADC +∠ A'B'C' = 180°4.异面直线所成的角如图，已知异面直线 a、b，经过空探索间中任一点 O 作直线 a'∥ a、b'∥ b，我新知们把 a'与 b'所成的锐角（或直角）叫异面直线 a 与 b 所成的角（夹角）．教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下等角定理．师：① a'与 b'所成的角的以教师大小只由 a、b 的相互位置讲授为来确定，与 O 的选择无关，主，师为了简便，点 O 一般取在生共同两直线中的一条上；交流，② 两条异面直线所成的导出异角θ∈（ 0，π）；面直线2所成的③ 当两条异面直线所成角的概探索的角是直角时，我们就说念 .新知这两条异面直线互相垂例 3 让直，记作 a⊥ b；学生掌④ 两条直线互相垂直，有握了如共面垂直与异面垂直两种何求异情形；面直线⑤ 计算中，通常把两条异所成的例 3（投影）面直线所成的角转化为两角，从条相交直线所成的角 .而巩固了所学知识 .续上表充分调动学拓展生动手创新教材 P49 练习 1、 2．生完成练习，教师当的积极应用堂评价 .性，教提高师适时7教师备课系统──多媒体教案给予肯定 .本节课学习了哪些知识内容？小结知2．计算异面直线所成的角应注意什学生归纳，然后老师补识，形小结么？充、完善．成整体思维．课堂作业1. 异面直线是指（）．A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线2.如右图所示，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）．A. 2 对 B . 3 对 C. 4 对 D. 6 对3.正方体 ABCD-A 1B1C1D1中与棱AA1平行的棱共有（）．A. 1 条 B . 2 条 C. 3 条 D. 4 条4.空间两个角、，且与的两边对应平行，若=60 °，则的大小为（）．.答案： 1. D 2.B 3. C 4. 60 °或 120°第 3 课时教学内容8人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2. 1. 3 空间中直线与平面之间的位置关系 2. 1. 4 平面与平面之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中直线与平面的位置关系，了解空间中平面与平面的位置关系；2.提高空间想象能力 .二、过程与方法1.通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；2.利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.三、情感、态度与价值观感受空间中图形的基本位置关系，形成严谨的思维品质.教学重点、难点教学重点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.教学关键借助图形，使学生清楚直线与平面，平面与平面的分类标准，并能依据这些标准对直线与平面、平面与平面的位置关系进行分类及判定.教学突破方法恰当地利用图形，用符号语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系.教法与学法导航教学方法借助实物，让学生观察事物、思考关系，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标.学习方法探究讨论，自主学习法.教学准备教师准备多媒体课件，投影仪，三角板，直尺.学生准备三角板，直尺．教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计过程意图创设问题1：空间中直线和直线有几生 1：平行、相交、异复习9教师备课系统──多媒体教案情境种位置关系？面；回顾，导入问题 2：一支笔所在的直线和一生 2：有三种位置关系：激发新课个作业本所在平面有几种位置关（1）直线在平面内；学习系？（2）直线与平面相交；兴趣 .（3）直线与平面平行．师肯定并板书，点出主题 .1．直线与平面的位置关系 .师：有谁能讲出这三种（ 1）直线在平面内——有无数位置有什么特点吗？个公共点 .生：直线在平面内时二（ 2）直线与平面相交——有且者有无数个公共点 .仅有一个公共点 .直线与平面相交时，二（ 3）直线在平面平行——没有者有且仅有一个公共点 .公共点 .直线与平面平行时，三其中直线与平面相交或平行的者没有公共点（师板书）．情况，统称为直线在平面外，记作师：我们把直线与平面加强a.相交或直线与平面平行的对知直线 a 在面内的符号语言是情况统称为直线在平面外 .识的a. 图形语言是：师：直线与平面的三种理解位置关系的图形语言、符号培养，主题语言各是怎样的？谁来画自觉探究图表示一个和书写一下 .钻研合作学生上台画图表示 .的学交流直线 a 与面相交的 a∩ = A.师；好 . 应该注意：画习习图形语言是符号语言是：直线在平面内时，要把直线惯，数画在表示平面的平行四边形结形内；画直线在平面外时，合，加应把直线或它的一部分画深理在表示平面的平行四边形解 .外 .直线 a 与面平行的符号语言是a∥. 图形语言是：10人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）续上表2．平面与平面的位置关系师：下面请同学们思考以（ 1）问题 1：拿出两本书，看下两个问题（投影）．作两个平面，上下、左右移动和翻生：平行、相交 .转，它们之间的位置关系有几种？师：它们有什么特点？（ 2）问题 2：如图所示，围成生：两个平面平行时二者长方体 ABCD –没有公共点，两个平面相交A′B′C′D′的六个时，二者有且仅有一条公共直通过面，两两之间的线（师板书）．类比位置关系有几师：下面请同学们用图形探索，种？和符号把平面和平面的位置培养主题关系表示出来⋯⋯学生（ 3）平面与平面的位置关系探究——没有公师：下面我们来看几个例知识平面与平面平行合作子（投影例 1）．迁移共点 .交流能力 .平面与平面相交——有且只有一条公共直线 .加强平面与平面平行的符号语言知识是∥ . 图形语言是：的系统性 .11教师备课系统──多媒体教案续上表拓展创新应用提高例 1 下列命题中正确的个数是（ B ）．①若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l∥ .②若直线l 与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 .③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 .④若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线没有公共点 .A . 0B . 1 C. 2 D. 3例 2 已知平面∥，直线a，求证 a∥ .证明：假设 a 不平行，则 a在内或 a 与相交 .∴ a 与有公共点 .又 a.∴ a与有公共点，与面∥面矛盾 .∴∥ .学生先独立完成，然后讨例 1 通论、共同研究，得出答案. 教师过示范利用投影仪给出示范 .传授学师：如图，我们借助长方体生一个模型，棱 AA 1所在直线有无数点通过模在平型来研面究问题ABCD的方外，但法，加棱 AA 1深对概所在直线与平面ABCD 相交，所念的理以命题①不正确； A1B1所在直线解. 例 2平行于平面 ABCD ，A1B1显然不目标训平行于 BD，所以命题②不正确；练学生A1 B1∥AB，A1B1所在直线平行于思维的平面 ABCD ，但直线 AB平灵活，面 ABCD ，所以命题③不正确；并加深l 与平面平行，则 l 与无公对面面共点， l与平面内所有直线都平行、没有公共点，所以命题④正确，线面平应选 B .行的理师：投影例2，并读题，先解.让学生尝试证明，发现正面证明并不容易，然后教师给予引导，共同完成，并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解 .1．直线与平面、平面与平培养学面的位置关系 .生整合2．“正难到反”数学思想知识能与反证法解题步骤 .学生归纳总结、教师给予点力，以小结拨、完善并板书 .及思维3. “分类讨论”数学思想．的灵活性与严谨性 . 12人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）课堂作业1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）．A ．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交 D ．无数条直线都不相交【解析】直线与平面平行，则直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C.2. “平面内有无穷条直线都和直线l 平行”是“l //”的（）．A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选 B.3．如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线：（ 1）AB 没有被平面遮挡；（ 2）AB 被平面遮挡.答案：略4．已知，，直线a，b，且∥，a，b，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？【解析】平行或异面．5．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.【解析】三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.6.求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内 .已知： l ∥，点P∈，P∈ m，m∥ l，求证： m.证明：设 l 与 P 确定的平面为，且= m′，则 l ∥ m′.又知 l ∥ m， m m P ，由平行公理可知，m 与 m′重合 .所以 m.13教师备课系统──多媒体教案教案 B第 1 课时教学内容： 2. 1. 1 平面教学目标1.了解平面的概念，掌握平面的画法、表示法及两个平面相交的画法；2.理解公理一、二、三，并能运用它们解决一些简单的问题；3.通过实践活动，感知数学图形及符号的作用，从而由感性认识提升为理性认识，注意区别空间几何与平面几何的不同，多方面培养学生的空间想象力.教学重点：公理一、二、三，实践活动感知空间图形．教学难点：公理三，由抽象图形认识空间模型．学法指导：动手实践操作，由模型到图形，由图形到模型不断感知.教学过程一、引入在平面几何中，我们已经了解了平面图形都是由点和线构成的，我们所做的一切都是在一个无形的平面中进行，请同学谈谈到底平面是什么样子的？可以举实例说明.在平面几何中，我们也知道直线是无限延伸的，我们是怎样表示这种无限延伸的？那么你认为平面是否有边界？你又认为如何去表示平面呢？二、新课以上问题经过学生分小组充分讨论，由各小组代表陈述你这样表示的理由？教师暂不作评判，继续往下进行 .实践活动：1.仔细观察教室，举出空间的点、线、面的实例.2.只准切三刀，请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都相同的八块.3.请你准备六根游戏棒，以每根游戏棒为一边，设法搭出四个正三角形.以上这些问题已经走出了平面的限制，是空间问题. 今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系.图 1问题：指出上述活动中几何体的面，并想想如何在一张纸上画出这个几何体？至此我们应感受到画几何体与我们的视角有一定的关系.练习一：试画出下列各种位置的平面.1.水平放置的平面2.竖直放置的平面14人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）图 2（ 1）图2（2）3.倾斜放置的平面图 34.请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．图 4（1）图4（2）图4（3）图4（4）小结：平面的画法和表示法.我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示一个平面，如图 5.平行四边形的锐角通常画成45o，且横边长等于其邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图 6.βFA DA DααB E CB C图 5图 6图 7平面常用希腊字母, ,等表示（写在代表平面的平行四边形的一个角上），如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或相对的两个顶点的大写英文字母作为平面的名称，图 5 的平面，也可表示为平面ABCD ，平面 AC 或平面BD .前面我们感受了空间中面与面的关系及画法，现在让我们研究一下点、线与一个平面会有怎样的关系？15教师备课系统──多媒体教案显然，一个点与一个平面有两种位置关系：点在平面内和点在平面外.我们知道平面内有无数个点，可以认为平面是由它内部的所有的点组成的点集，因此点和平面的位置关系可以引用集合与元素之间关系.从集合的角度，点 A 在平面内，记为A；点B在平面外，记为B （如图 7）.再来研究一下直线与平面的位置关系.将学生分成小组，并动手实践操作后讨论：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的整个边缘就落在桌面上吗？请同学们再试着想一下，如何用图形表示直线与平面的这些空间关系？由“两点确定一条直线”这一公理，我们不难理解如下结论：公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 .A l ,B l , 且 A, B,l．A l Bα图8例1 分别用符号语言、文字语言描述下列图形．AA aa图 9（ 1）图 9（ 2）图 9（ 3）例 2 识图填空（在空格内分别填上, , ,）．A____ a；A____ α，B____ a； B____ α，Aa____ α；a____ α = B，B bb____ α；B____ b．a图 10图 11问题情景：制作一张桌子，至少需要多少条腿？为什么？公理 2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平A面 .CB实践活动：取出两张纸演示两个平面会有怎样的位置关α图 12系，并试着用图画出来 .图 12试问：如图13 是两个平面的另一种关系吗？（相对于同学们得出的关系）由平面的无限延展性，不难理解如下结论：公理 3如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个公共点16人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）的直线 .βP l 且P l．αP l图 13例 3如图14用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.l【分析】根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.【解析】在（1）中，l , a A , a B .l , a, b, a l P , B l P .在（ 2）中，三、巩固练习教材 P43 练习 1— 4.四、课堂小结（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？（3）判断共面的方法 .五、布置作业P51 习题 A 组 1， 2．第 2 课时教学内容： 2. 1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标：一、知识目标1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；3.理解并掌握公理 4．二、能力目标1.让学生在观察中培养自主思考的能力；17教师备课系统──多媒体教案2.通过师生的共同讨论培养合作学习的能力.三、情感、态度与价值观让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.教学重点、难点教学重点： 1.异面直线的概念； 2.公理 4.教学难点：异面直线的概念.学法与教学用具1.学法：学生通过观察、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标；2.教学用具：多媒体、长方体模型、三角板．教学过程一、复习引入1．平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线）．相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）．2．实例 . 十字路口——立交桥．立交桥中，两条路线 AB ， CD 既不平行，又不相交（非平面问题）．六角螺母DCA B二、新课讲解1.异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．练习：在教室里找出几对异面直线的例子．注1：两直线异面的判别一 : 两条直线既不相交、又不平行．两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内．合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？答：不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行．空间两直线的位置关系：按平面基本性质分（1）同在一个平面内：相交直线、平行直线；（ 2）不同在任何一个平面内：异面直线．按公共点个数分（ 1）有一个公共点 : 相交直线；（ 2）无公共点：平行直线、异面直线．2．异面直线的画法说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托. 18。

第一课时 2.1.1 平面教学要求：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理.教学重点：理解三条公理，能用三种语言分别表示.教学难点：理解三条公理.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：长方体的8个顶点、12条棱所在直线、6个面之间有和位置关系？2. 举例：生活中哪些物体给我们以平面的形象？二、讲授新课：1. 教学平面的概念及表示：① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；理解两点：无限好比在平面上画直线；一个平面把空间分成两部分。

② 平面的画法：A.任意角度观察桌面、黑板面，感到象什么？美术中如何画一张纸？B.画法：通常画平行四边形来表示平面。

（注意通常两字）水平平面：通常画成锐角成45°，横边等于邻边的两倍。

非水平平面：只要画成平行四边形。

直立的平面：一组对边为铅垂线。

相交的平面：一定要画出交线；遮住部分的线段画虚线或不画。

C.练习： 画一个平面、相交平面③ 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。

④ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉.2. 教学公理1：①揭示公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）②应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内③符号：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l ；直线l 的平面α内，记作l ⊂α。

④用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂3.教学公理2：①揭示公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

点、直线、平面之间的位置关系复习（一）课型：复习课一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。

2、过程与方法利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。

3情态与价值学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。

二、教学重点、难点重点：各知识点间的网络关系；难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。

三、教学设计（一）知识回顾，整体认识1、本章知识回顾（1）空间点、线、面间的位置关系；（2）直线、平面平行的判定及性质；（3）直线、平面垂直的判定及性质。

2、本章知识结构框图平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空间直线、平面的位置关系直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系（二）整合知识，发展思维1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。

公理1——判定直线是否在平面内的依据；公理2——提供确定平面最基本的依据；公理3——判定两个平面交线位置的依据；公理4——判定空间直线之间平行的依据。

2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；3、空间平行、垂直之间的转化与联系：4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。

（三）应用举例，深化巩固1、P.73 A 组第1题2、P.74 A 组第6、8题（四）、课堂练习：1．选择题 （1）如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是（ ） （A ）4个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个（2）直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线（ ） （A ）没有 （B ）有一条 （C ）有无数条 （D ）α内所有直线 答案：（1）D (2) C2．填空题（1）边长为a 的正六边形ABCDEF 在平面α内，PA ⊥α，PA =a ，则P 到CD 的距离为 ，P 到BC 的距离为 .（2）AC 是平面α的斜线，且AO =a ，AO 与α成60º角，OC ⊂α，AA ＇⊥α于A ＇，∠A ＇OC =45º，则A 到直线OC 的距离是 ， ∠AOC 的余弦值是 . 答案：（1）a a 27,2; （2）42,414a 3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D .分析：A 1C 在上底面ABCD 的射影AC ⊥BD, A 1C 在右侧面的射影D 1C ⊥C 1D,所以A 1C ⊥BD, A 1C ⊥C 1D,从而有A 1C ⊥平面BC 1D .直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行直线与直线垂直直线与平面垂直 平面与平面垂直 A A ′CαODCPαABC 1B 11D 1DC课后作业1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；2、P.76 B组第2题。

2.2.4 平面与平面平行的性质一、教学目标1.知识与技能⑴通过实例了解平面与平面平行的特点⑵理解平面与平面平行的性质⑶利用平面与平面平行的性质解决问题2.过程与方法通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是培养学生分析问题，解决问题和转化问题的能力3.情感态度与价值观用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。

培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辩证思想二、教学重难点1. 重点：理解平面与平面平行的性质2. 难点：利用平面与平面平行的性质解决问题三、教学过程Ⅰ复习提问、引入新课复习：如何判断平面和平面平行?答:有两种方法:一是用定义法,须判断两个平面没有公共点;二是用平面和平面平行的判定定理,须判断一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行.[提出问题]2010年在上海举行的世界博览会给全世界的游客留下了深刻的印象，作为东道主的中国国家馆被永久保留，成为上海市的又一标志性建筑．中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉．问题1：展馆的每两层所在的平面平行，那么上层面上任一直线状物体与下面地面有何位置关系？提示：平行．问题2：上层面上任何一直线状物体与下层面上任何一直线状物体有何位置关系？ 提示：平行或异面．问题3：上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？ 提示：平行．Ⅱ 研探新知例1、如图，已知平面α、β、γ满足b a ==γβγαβα ,,//，求证：a // b 。

证明：因为b a ==γβγα ,，所以βα⊂⊂b a ,，又因为βα//，所以a ，b 没有公共点，又因为a ，b 同在平面γ内，所以a // b 。

[导入新知]面面平行的性质定理(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行(2)图形语言：(3)语言：b a b a //,,//⇒==γβγαβα(4)作符号用：面面平行⇒线线平行[化解疑难]对面面平行性质定理的理解(1)面面平行的性质定理的条件有三个：①α∥β；②α∩γ＝a ；③β∩γ＝b .三个条件缺一不可．(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行．(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．Ⅲ 定理应用:例1. 求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.已知:平面α //平面β,AB 和DC 为夹在α与β间的平行线段。

高考数学点、直线、平面之间的位置关系复习（一）课型：复习课一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。

2、过程与方法利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。

3情态与价值学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。

二、教学重点、难点重点：各知识点间的网络关系；难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。

三、教学设计（一）知识回顾，整体认识1、本章知识回顾（1）空间点、线、面间的位置关系；（2）直线、平面平行的判定及性质；（3）直线、平面垂直的判定及性质。

2、本章知识结构框图平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空间直线、平面的位置关系直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系（二）整合知识，发展思维1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。

公理1——判定直线是否在平面内的依据；公理2——提供确定平面最基本的依据；公理3——判定两个平面交线位置的依据；公理4——判定空间直线之间平行的依据。

2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；3、空间平行、垂直之间的转化与联系：4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。

（三）应用举例，深化巩固1、P.73 A 组第1题2、P.74 A 组第6、8题（四）、课堂练习：1．选择题 （1）如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是（ ） （A ）4个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个（2）直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线（ ） （A ）没有 （B ）有一条 （C ）有无数条 （D ）α内所有直线 答案：（1）D (2) C2．填空题（1）边长为a 的正六边形ABCDEF 在平面α内，PA ⊥α，PA =a ，则P 到CD 的距离为 ，P 到BC 的距离为 .（2）AC 是平面α的斜线，且AO =a ，AO 与α成60º角，OC ⊂α，AA ＇⊥α于A ＇，∠A ＇OC =45º，则A 到直线OC 的距离是 ， ∠AOC 的余弦值是 . 答案：（1）a a 27,2; （2）42,414a 3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D .分析：A 1C 在上底面ABCD 的射影AC ⊥BD, A 1C 在右侧面的射影D 1C ⊥C 1D,所以A 1C ⊥BD, A 1C ⊥C 1D,从而有A 1C ⊥平面BC 1D .直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行直线与直线垂直直线与平面垂直 平面与平面垂直 A A ′CαODCPαABC 1B 11D 1DC课后作业1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；2、P.76 B组第2题。

点、直线、平面之间的地点关系复习（一）课型：复习课一、教课目的1、知识与技术（ 1）使学生掌握知识构造与联系，进一步稳固、深入所学知识；（ 2）经过对知识的梳理，提升学生的概括知识和综合运用知识的能力。

2、过程与方法利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简洁再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。

3神态与价值学生经过知识的整合、梳理，理睬空间点、线面间的地点关系及其相互联系，进一步培育学生的空间想象能力和解决问题能力。

二、教课要点、难点要点：各知识点间的网络关系；难点：在空间怎样实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转变。

三、教课方案（一）知识回首，整体认识1、本章知识回首（1）空间点、线、面间的地点关系；（2）直线、平面平行的判定及性质；（3）直线、平面垂直的判断及性质。

2、本章知识构造框图平面（公义 1、公义 2、公义 3、公义 4）空间直线、平面的地点关系直线与直线的地点关系直线与平面的地点关系平面与平面的地点关系（二）整合知识，发展思想1、刻画平面的三个公义是立体几何公义系统的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。

公义 1——判断直线能否在平面内的依照；公义 2——供给确立平面最基本的依照；公义 3——判断两个平面交线地点的依照；公义 4——判断空间直线之间平行的依照。

word2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；3、空间平行、垂直之间的转变与联系：直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直4、察看和推理是认识世界的两种重要手段，二者相辅相成，缺一不行。

（三）应用举例，深入稳固1、P.73 A 组第 1题2、P.74 A 组第 6、 8 题（四）、讲堂练习：1．选择题P（1）如图BC是R t ⊿ABC的斜边，过A作⊿ABC所在平面A PB、 PC，过 A 作 AD⊥ BC于 D，连 PD，那么图中直角三角形（）B D（）4个（）6个（）7个（）8个CA B C D（2）直线a与平面斜交，则在平面内与直线 a 垂直的直线（）（ A）没有（B）有一条（ C）有无数条（ D）内全部直线答案：（ 1） D (2) C 垂线AP，连的个数是2．填空题（ 1）边长为a的正六边形ABCDEF在平面内， PA⊥，PA=a，则 P到 CD的距离为，P到 BC 的距离为.（ 2）AC是平面的斜线，且 AO=a， AO与成60o角，OC，AA＇⊥于 A＇，∠ A＇ OC=45o，A则A 到直线的距离是，OC∠ AOC的余弦值是.答案：（ 1）2a,7a ;（2）14 a,2244O A′C3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证： A1C⊥平面 BC1D.剖析： A1C在上底面 ABCD的射影AC⊥BD,D1C1 A 1C在右边面的射影D1C⊥ C1D,因此 A1C⊥BD, A1C⊥ C1D,进而有 A1C⊥平面 BC1D.A1B1D C A Bword课后作业1、阅读本章知识内容，从中领会知识的发展过程，理睬问题解决的思想方法；2、P.76 B 组第 2 题。

第二章点、直线、平面之间的位置关系章末归纳提升点、线、面的位置关系空间中直线与直线的位置关系包括相交、平行和异面三种位置关系，其中异面直线的判断是学习的重难点之一；空间中直线与平面的位置关系包括直线在平面内、直线与平面平行及直线与平面相交三种位置关系，其中直线与平面相交及直线与平面平行统称为直线在平面外，这是本章学习的易错点之一；空间中平面与平面具有相交、平行两种位置关系．另外学习中应体会公理1、2、3、4在处理点、线、面位置关系中的作用，掌握好“点共线〞、“线共点〞等问题的求解策略．如下图，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)EG与HF的交点在直线AC上．【思路点拨】(1)利用三角形的中位线性质及公理4证明EF∥GH便可．(2)先证明EG与HF相交，再说明交点落在平面ABC与平面ACD的交线上．【标准解答】(1)∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD.∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．(2)∵G，H不是BC，CD的中点，∴EF∥GH，且EF≠GH，故EFHG为梯形．∴EG与FH必相交，设交点为M，而EG?平面ABC，FH?平面ACD，∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD.又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴M∈AC，即GE与HF的交点在直线AC上．正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M.求证：点C1、O、M共线．【证明】如图，因为A1A∥C1C，所以直线A1A，C1C确定平面A1C.因为O∈A1C，A1C?平面A1C，所以O∈平面A1C.因为平面BC1D∩直线A1C＝O，所以O∈平面BC1D，所以O在平面A1C与平面BC1D的交线上．因为AC∩BD＝M，所以M∈平面BC1D，且M∈平面A1C.所以平面BC1D∩平面A1C＝C1M.所以O∈C1M.即O、C1、M三点共线.空间中的平行关系在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维〞到“高维〞的转化，即从“线线平行〞到“线面平行〞，再到“面面平行〞；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维〞的性质定理就是“低维〞的判定定理．特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．如下列图所示是平行关系相互转化的示意图．∥如下图，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？假设存在，请确定点F的位置；假设不存在，请说明理由．【思路点拨】平面AFPM与平面又PB＝2MA，那么点【标准解答】假设存在满足条件的点F，由于平面AFC∥平面PMD，且AFC、平面PMD分别交于直线AF、PM，那么必有AF∥PM，F是PB的中点．当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：1如图连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝2PB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OF∥PD.又OF?平面PMD，PD?平面PMD，1∴OF∥平面PMD.又MA綊2PB，∴PF綊MA.∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD.∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点．求证：平面EB1D1∥平面FBD.【证明】如图，取BB1的中点G，连接EG，GC1.∵AC1是正方体，∴四边形EGC1D1是平行四边形，∴C1G∥ED1.又∵四边形GBFC1是平行四边形，∴C1G∥BF，所以ED1∥BF，∵ED1?平面FBD，BF?平面FBD，∴ED1∥平面FBD.又∵B1D1∥BD，∴B1D1∥平面FDB，且ED1∩B1D1＝D1，∴平面EB1D1∥平面FBD.空间中的垂直关系在本章中，空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章内容的核心，学习时要突出三者间的互化意识．如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，假设这样的垂线不存在，那么可通过作辅助线来解决．如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．如下图，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)假设D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，假设AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.【思路点拨】(1)由面面垂直的性质可证．(2)先证明C1N⊥侧面BB1C1C，再证截面MBC1⊥侧面BB1C1C.【标准解答】(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C.∴AD⊥CC1.(2)延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.∵A1C1＝A1N＝A1B1，∴C1N⊥B1C1，∴C1N⊥侧面BB1C1C.∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，假设G为AD边的中点．(1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)假设E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．【解】(1)证明：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD.平面PAD∩平面ABCD＝AD.所以BG⊥平面PAD.(2)证明：连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G.PG?平面PGB，BG?平面PGB.所以AD⊥平面PGB.因为PB?平面PGB，所以AD⊥PB.(3)解当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.取PC的中点F，连接DE、EF、DF，在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DEE ，所以平面DEF ∥平面PGB ，由(1)得PG ⊥平面ABCD ，而PG?平面PGB ，所以平面PGB ⊥平面ABCD.所以平面DEF ⊥平面ABCD.空间角的求法1.空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角．空间角的题目一般都是各种知识的交汇点，因此，它是高考重点考查的内容之一，应引起足够重视．2．求异面直线所成的角常用平移转化法 (转化为相交直线的夹角)．3．求直线与平面所成的角常用射影转化法 (即作垂线、找射影)．4．二面角的平面角的作法常有三种： (1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法．如图，正方体的棱长为 1，B ′C ∩BC ′＝O ，求：(1)AO 与A ′C ′所成角的度数；(2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值；(3)平面AOB 与平面AOC 所成角的度数．【思路点拨】先找出(或作出)空间角的平面角，再用解三角形的方法求其大小． 【标准解答】 (1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC.∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BCC ′B ′，∴OC ⊥AB 且AB ∩BO ＝B.∴OC ⊥平面ABO.又OA?平面ABO ，∴OC ⊥OA.在Rt △AOC 中，OC ＝2 2，AC ＝OC 1 2，sin ∠OAC ＝AC ＝2，∴∠OAC ＝30°，即AO 与A ′C ′所成角的度数为 30°. (2)如图，作OE ⊥BC 于E ，连接AE ，∵平面BCC ′B ′⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD ，∴∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角．1212 5 OE 5 在Rt △OAE 中，OE ＝ 2，AE ＝ 1＋ 2＝ 2，∴tan ∠OAE ＝AE ＝ 5.(3)∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ∩OB ＝O ，∴OC ⊥平面AOB.又∵OC?平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC ，即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.AB⊥平面BCD，CD⊥CB，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB＝BC.(1)求AD与平面ABC所成角的大小；(2)求二面角C—AD—B的余弦值．【解】(1)如下图，∵AB⊥平面BCD，∴∠ADB＝30°.∵DC⊥CB，AB⊥CD，∴DC⊥平面ABC，设AB＝BC＝a，那么AC＝2a，BD＝3a，AD＝2a，AC2a2在Rt△ACD中，cos∠CAD＝AD＝2a＝2.∴∠CAD＝45°.即AD与平面ABC所成的角为45°.(2)取AD的中点E，连接CE.∵△ACD为等腰直角三角形，AD为斜边，∴CE⊥AD.又AB⊥平面BCD，AB?平面ABD.∴平面BCD⊥平面ABD，过点C作CF⊥BD于F，∴CF⊥平面ABD.连接EF，那么EF⊥AD，那么∠CEF为二面角C—AD—B的平面角，在Rt△CEF中，CE＝1＝，＝·＝°32AD a EF atan303a.EF33cos∠CEF＝CE＝3.即二面角C－AD－B的余弦值为3.等价转化思想通过添加辅助线或面，将空间几何问题转化为平面几何问题，这是一种降维转化思想．线线、线面、面面的位置关系可以相互转化，使它们建立联系，揭示本质．点面距、线面距、面面距、点线距之间也可相互转化．例如求点面距时，可沿平行线平移，找到一个适宜的点求点面距离，这就表达了“点面距→线面距→点面距〞的转化思想．如下图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，沿对角线BD将△ABD折起，使点A移至点P，P在平面BCD内的射影为O，且O在DC上．(1)求证：PD⊥PC；(2)求二面角P－DB－C的平面角的余弦值．【思路点拨】(1)证明PD⊥PC，可以转化为证线面垂直．(2)求二面角时，一般是在棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作棱的垂线，两垂线的夹角即为S△BOD二面角．但这里我们可转化为求两个面积的比，即求，求得的值即为所求S PBD△二面角的余弦值．【标准解答】(1)P在平面BCD内的射影为O，那么PO⊥平面BCD，∵BC?平面BCD，∴PO⊥BC.∵BC⊥CD，CD∩PO＝O，∴BC⊥平面PCD.∵DP?平面PCD，∴BC⊥DP.又∵DP⊥PB，PB∩BC＝B，∴DP⊥平面PBC.而PC?平面PBC，∴PD⊥PC.1(2)△PBD在平面BCD内的射影为△OBD，且S△PBD＝2×6×23＝63，1S△OBD＝S△CBD－S△BOC＝63－2×23×OC.在Rt△DPC中，PC2＝DC2－DP2＝24.设OC＝x，那么OD＝6－x，∴PC2－OC2＝DP2－DO2，即24－x2＝12－(6－x)2.解得x＝4.∴S△BOD＝6 3－4 3＝2 3.过点P作PQ⊥DB，连接OQ，那么DB⊥平面OPQ，∴∠OQP即为二面角P－DB－C的平面角，S△BOD231∴cos∠OQP＝＝＝.S△PBD633如下图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G.(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离．【解】(1)证明：连接AC.∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD.又AC⊥DD1，且BD∩DD1＝D，故AC⊥平面BDD1B1，∵E，F分别为棱AB，BC的中点，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1，又∵EF?平B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.(2)由(1)平面B1EF⊥平面BDD1B1且交线为B1G，所以作D1H⊥B1G于H，那么D1H⊥平面B1EF，即D1H为D1到平面B1EF的距离．4∵B1D1∥BD，∴∠D1B1H＝∠B1GB，∴sin∠D1B1H＝sin∠B1GB＝42＋12＝4.17△D11中，11＝4，sin∠D11＝4，∴D1H＝16＝1617BH DB BH171717.。