江苏省海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试数学试卷含附加题(PDF版含答案)(20200802204209).pdf

2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期阶段考试数学试题一、填空题1．已知集合{}1,0,3A =-，{1,2,3}B =，则A B =I _________. 【答案】{3}【解析】由交集的定义{3}A B ⋂=，应填答案{3}． 2．已知复数z 满足()12i z i -=+,则复数z 的模为_______.【解析】由已知得21i z i+=-,将其整理成1322z i =+,即可求出模.【详解】 解:由题意知, ()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+所以2z ==.故答案为: 2. 【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的模.本题的易错点在于化简时,错把2i 当成了1来计算.3．某人5次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9.则这组数据的平均数为_______. 【答案】10【解析】代入求解平均数的公式计算即可. 【详解】 解:平均数()112810119105=⨯++++=. 故答案为:10.【点睛】本题考查了平均数的计算.易错点为计算出错.4．如图，是一个算法的流程图，则输出的b 的值为_______.【答案】4【解析】根据流程框图进行循环计算,跳出循环时b 的值即为所求. 【详解】解:第一次循环:2,2b a ==;第二次循环:4,3b a ==.此时3a < 不成立 故答案为:4. 【点睛】本题考查了程序框图.对于循环结构是常考的题型,一般做法为根据框图,计算每次循环的结果,注意,临界即跳出循环时的计算结果.通常循环框图常和数列求和综合到一块. 5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221x y -=的右焦点与抛物线()220y px p =>的焦点重合，则p 的值为_______.【答案】2【解析】求出双曲线的右焦点)2,0,令22p=即可求出p 的值. 【详解】解:双曲线2112c =+=,即右焦点为)2,0.即抛物线()220y px p =>的焦点为)2,0所以2p=,解得p =.故答案为: . 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,考查了抛物线的方程.易错点是误把p 当做了抛物线焦点的横坐标.6．已知一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为____． 【答案】0.4【解析】从中一次随机摸2只球，写出基本事件总数n 和这2只球颜色相同包含的基本事件数m ，由古典概型概率公式计算即可． 【详解】一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球． 从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n ＝25C ＝10，这2只球颜色相同包含的基本事件个数m ＝2232C C +＝4，∴这2只球颜色相同的概率为p ＝410m n ==0.4． 故答案为：0.4． 【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力，是基础题．7．现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4.若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为_______. 【答案】4π【解析】求出圆锥的体积,则由题意,设球的半径为r ,可得34433r π=π,求出球的半径,进而可求球的表面积. 【详解】解:由题意知,圆锥的体积为2141433ππ⨯⨯⨯=.设球的半径为r 则34433r π=π,解得1r =.所以表面积为244r ππ=. 故答案为:4π. 【点睛】本题考查了圆锥的体积,考查了球的体积,考查了球的表面积.结合方程的思想,根据题意求出球的半径.对于球的问题,一般都要首先明确半径的大小.8．已知等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,11a =,639S S =,则3a 的值为_______. 【答案】4【解析】由639S S =可得()33319S q S +=,进而可求出公比的值,即可求3a 的值.【详解】解:()3333612345612312331S a a a a a a a a a a q a q a q S q =+++++=+++++=+639S S =Q ()33319S q S ∴+= 解得,2q =.所以2314a a q ==.故答案为:4. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前n 项和.等比数列问题,一般可采用基本量法进行求解,但是这种方法计算量比较大.因此,对于等比数列的问题,一般首先考虑利用性质简化计算.9．已知1e u r ，2e u u r 是夹角为60o的两个单位向量，1232a e e =+r u r u u r ，122b e ke =-r u r u u r()k R ∈，且a ⋅r ()8a b -=r r则k 的值为_______.【答案】67-【解析】由题意知()()()121212323228a a b e e e e e ke ⋅-=+⋅+-+=r r r r r r r r r ,进而可求k 的值. 【详解】解:()()()()()121212121232322322a a b e e e e e ke e e e k e ⋅-=+⋅+-+=+⋅++⎡⎤⎣⎦r r r r r r r r r r r r r()()()()221122733822+338cos60221182e k e e k e k k k =++⋅+=++++=+=o r r r r.解得67k =-. 故答案为:67-. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积.对于向量的数量积问题,若题目中无向量的坐标,则在求数量积时,一般套用定义求解;若题目中已知了向量的坐标,求数量积时一般代入数量积的坐标公式.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:280C x y x ++-=,直线():1,l y k x k R =-∈过定点A ，与圆C 交于点,B D ,过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ,则AEC ∆的周长为_______. 【答案】5【解析】由题意得()1,0A ,圆心为()1,0C -,半径为3r =,由平行可知EA EDCB CD=,化简后可得EA CE r +=,进而可求三角形的周长. 【详解】解:当1x = 时,0y = 与k 无关,则()1,0A .圆()2222:2819C x y x x y ++-=++= 所以,圆的圆心为()1,0C -,半径为3r =.则由题意知,ED r CE =-EA Q 与CB 平行 EA ED CB CD ∴= 即 EA r CEr r-=EA CE r ∴+= 则AEC ∆的周长235AC AE CE AC r =++=+=+=. 故答案为:5. 【点睛】本题考查了直线过定点的问题,考查了圆的标准方程.本题的关键在于,由平行得比例关系.若联立直线与圆的方程,求解各点的坐标,这种思路也可以求出最后答案,但计算量太大.11．如图，已知两座建筑物,AB CD 的高度分别为15m 和9m ，且AB BC CD >>，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角为CAD ∠，测得6tan 13CAD ∠=，则,B C 间的距离_______m .【答案】12【解析】由()tan tan 6BC BAD DAC BAC ∠==∠+∠,可得613156611315BC BC BC +=-⨯,进而可求,B C 间的距离.解:由题意知()tan tan 6BC BCBAD DAC BAC AB CD ∠===∠+∠-6tan tan 1315661tan tan 11315BCBC DAC BACBCDAC BAC +∠+∠==-∠⨯∠-⨯,整理得 22391800BC BC -+= ,解得12BC =或152BC = .9BC CD >=Q ，12BC ∴= 故答案为:12. 【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用.难点在于已知正切值的使用.有的同学可能由正切值求出正弦和余弦,结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解.由于本题所给的正切值求出的正弦余弦值数比较大,因此这种思路计算量较大,效率不高而且容易做错. 12．设曲线()0+1my m x =>在,1x t t =≠-处的切线为l ，则点()2,1P t -到l 的最大距离为_______.【解析】求出切线方程为()2120mx t y mt m ++--=,从而则()2,1P t - 到l 的距离可用t 表示出来,结合基本不等式即可求解. 【详解】 解:()2'1my x =-+ ()21l mk t ∴=-+ 则切线方程为()()211m m y x t t t -=--++ 整理得()2120mx t y mt m ++--=.则()2,1P t - 到l 的距离()()()()()242224222212121111t m m t m d m m t t t ++++===++++++()()222121m t m t ++≥+Q ,当且仅当()()22211m t t +=+即1t =±时等号成立2112d ∴≤+=即d ≤故答案为.本题考查了切线的求解,考查了点到直线的距离,考查了基本不等式.求最值常见的思路有导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.本题的难点是对距离进行变形整理.13．已知函数3cos()2y x ππ=+，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是_______. 【答案】31326t <≤或52t > 【解析】由诱导公式可知3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,令m x π=,结合函数图像,讨论最大值为12和1两种情况,进而求出t 的取值范围. 【详解】 解:3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ 令m x π=.则由55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭可得5,6m t ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭则5sin ,,6y m m t ππ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭.要使其既有最小值又有最大值 若最大值为12 则31326t πππ<≤,解得31326t <≤ 若最大值为1,则52t ππ>,解得52t >.综上所述: 31326t <≤或52t >. 故答案为: 31326t <≤或52t >. 【点睛】本题考查了诱导公式,考查了三角函数最值问题.本题的易错点是漏解,只考虑了最大值为1的情况.本题的难点是分界点能否取得的判断.14．已知函数1()1f x x =-，11()(())k k f x f f x +=，5k ≤，k *∈N .若函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点，则k 的取值集合为_______.【答案】{3,5}【解析】由题意写出12345(),(),(),(),()f x f x f x f x f x 的解析式,根据图像的平移变换,分别画出它们的图像,判断哪个函数图像与ln y x = 图像有三个交点,即为所求. 【详解】解:由题意知1()1f x x =-,2()11f x x =--,3()111f x x =---,4()1111f x x =----,5()11111f x x =-----.则其函数图像为由图像可知,当3k =或5时, 函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点. 故答案为: {3,5}. 【点睛】本题考查了函数的图像变换,考查了函数的零点.若函数()()()f x g x h x =-,则函数()f x 的零点个数就等同于函数(),()g x h x 图像的交点个数.本题的难点是画含绝对值的函数图像.对于()y f x =,首先画出()y f x = 的图像,然后将x 轴下方的图像向上翻折即可;对于()y f x = 的图像,首先画出()y f x = 的图像,然后将y 轴右侧向左翻折.二、解答题15．在平面直角坐标系xOy 中，设向量)()[]3sin ,sin ,cos ,sin ,0,a x x b x x x π==∈rr .（1）若a b =r r，求x 的值；（2）求a b ⋅r r的最大值及取得最大值时x 的值.【答案】(1)6π或56π;(2)最大值32,3x π=. 【解析】(1)求出||,||a b r r ,由||||a b =r r 可得1|sin |2x =,结合[0,]x π∈可求出所求.(2) 1sin 262a b x π⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭r r ,结合[0,]x π∈和正弦函数的图像,即可分析出最值及取得最大值时x 的值. 【详解】解:(1)因为3,sin ),(cos ,sin )a x x b x x ==r r所以2222||3sin sin 2|sin |,||cos sin 1a x x x b x x =+==+=r r因为||||a b =r r ,所以1|sin |2x =.因为[0,]x π∈,所以1sin 2x =于是6x π=或56π. (2)23sin cos sin a b x x x ⋅=+r r311sin 2cos 2222x x =-+1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 因为[0,]x π∈,所以112,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,于是113sin 22622x π⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭. 所以当226x ππ-=,即3x π=时,a b ⋅r r 取最大值32. 【点睛】本题考查了向量的模,考查了向量的数量积,考查了三角恒等变换,考查了三角函数的最值.对于()sin y A ωx φ=+ 型的函数,在求最值、对称轴、对称中心、单调区间时,一般都是采取整体的思想进行计算.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1A A 的中点.求证：（1）AC//平面1EDB ； （2）平面1EDB ⊥平面1B BD . 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)取1B D 的中点F ,连,OF EF ,通过证明//AC EF 从而证明线面平行. (2)通过AC BD ⊥,1B B AC ⊥推出1EF BB ⊥,EF BD ⊥,从而证明EF ⊥平面1B BD ,进而可证面面垂直. 【详解】证明:(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,设AC 与BD 相交于点O ,则O 为BD 的中点 取1B D 的中点F ,连,OF EF .所以1OF//BB ,112OF BB =. 在正方体1111ABCD A B C D -中,1111,//AA BB AA BB =.又点E 是1A A 的中点 所以,//AE OF AE OF =.于是四边形AEFO 是平行四边形,从而//AC EF . 又因为AC ⊄平面1EDB ,EF ⊂平面1EDB ,所以//AC 平面1EDB .(2)在正方体1111ABCD A B C D -中,1B B ⊥平面ABCD ,而AC ⊂平面ABCD , 所以1B B AC ⊥.又在正方体1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 为正方形 所以AC BD ⊥.由(1)知,//EF AC ,于是1EF BB ⊥,EF BD ⊥.又1B B ⊂平面1B BD ,BD ⊂平面1B BD ,1B B BD B ⋂=,所以EF ⊥平面1B BD . 又因为EF ⊂平面1EDB ,所以平面1EDB ⊥平面1B BD . 【点睛】本题考查了线面平行的判定,考查了面面垂直的判定.线面平行或者面面平行的判定,一般都归结为证明线线平行;线面垂直或者面面垂直的判定,一般都归结为证明线线垂直.此类问题如果采用逻辑推理的方法无法证明,有时也可以建立空间直角坐标系,运用空间向量证明平行和垂直.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 两点分别为椭圆22221,0x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点，且7AB =，右准线l 的方程为4x =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A 的直线交椭圆于另一点P ，交l 于点Q .若以PQ 为直径的圆经过原点，求直线PQ 的方程.【答案】(1)22143x y +=330x y --=330x y +-=.【解析】(1)由右准线l 的方程为4x =以及AB =可列出方程组22224a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨=⎩解得即可求出椭圆的方程.(2) 设PQ 的方程为(2)y k x =-,与椭圆方程联立,求出2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭;联立(2)4y k x x =-⎧⎨=⎩可得(4,2)Q k ,由OP OQ ⊥可知0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ,从而可求出k =,进而可求直线的方程. 【详解】解:(1)设椭圆的焦距为2(0)c c >.由题意得22224a c a b c⎧=⎪⎪⎪=+⎨=⎩,解得224,3a b ==. 所以椭圆的标准方程为:22143x y +=.(2)由题意得直线PQ 不垂直于x 轴,设PQ 的方程为(2)y k x =-联立22(2),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消y 得()2222431616120k x k x k +-+-=. 又直线PQ 过点(2,0)A ,则方程必有一根为2,则228643P k x k -=+. 代入直线(2)y k x =-,得点2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.联立(2)4y k x x =-⎧⎨=⎩,所以(4,2)Q k . 又以PQ 为直径的圆过原点,所以OP OQ ⊥.则222228612824420434343k k k OP OQ k k k k ---⋅=⋅+⋅==+++u u u r u u u r ,解得23k =,所以k =. 所以直线PQ0y --=0y +-=. 【点睛】本题考查了椭圆的准线方程,考查了椭圆的性质,考查了直线与椭圆相交问题,考查了向量的数量积.本题第二问的难点在于圆过原点这一条件得运用.一般若题目中已知圆过某点,则一般等量关系为:圆心到该点的距离为半径或者圆上两点与已知点的连线垂直. 18．下图是一块平行四边形园地ABCD ，经测量，20,10,AB m BC m ==120ABC ∠=o .拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计直路的宽度），将该园地分为面积之比为3:1的左，右两部分分别种植不同花卉.设,EB x EF y ==（单位：m ）.（1）当点F 与点C 重合时，试确定点E 的位置； （2）求y 关于x 的函数关系式；（3）试确定点,E F 的位置，使直路EF 的长度最短.【答案】(1)E 是AB 的中点;(2)2222525010100001001020x x x y x x x ⎧-+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩;(3) 当2.5EB m =,7.5FC m =时,EF 最短,其长度为3【解析】(1)由14BEC ABCD S S ∆=Y 可知1124EB h AB h ⋅=⋅,从而证明E 是AB 的中点.(2)求出平行四边形的面积为1003ABCD S =Y ,进而可求253EBF S ∆=从而用x 可将BF 表示出来,利用余弦定理即可得到y 关于x 的函数关系式.(3)当 010x ≤<,由二次函数的性质可求最值;当1020x ≤≤时,由基本不等式可求最值. 【详解】解:(1)当点F 与点C 重合时,由题设知,14BEC ABCD S S ∆=Y . 于是1124EB h AB h ⋅=⋅,其中h 为平行四边形AB 边上的高. 得12EB AB =,即点E 是AB 的中点.(2)因为点E 在线段AB 上,所以020x ≤≤.当1020x ≤≤时,由(1)知 点F 在线段BC 上.因为20,10,120AB m BC m ABC ︒==∠=所以3sin 201010032ABCD S AB BC ABC =⋅⋅∠=⨯⨯=Y 由1sin1202532EBF S x BF ︒∆=⋅⋅=,100BF x=.所以EBF ∆中,由余弦定理得y EF ===当010x ≤<时,点F 在线段CD 上,由1()10sin 602EBCF S x CF ︒=+⨯⨯=四边形得10CF x =-.当BE CF ≥时,EF = 当BE CF <时,EF =化简均为y EF ==综上,0101020x y x ⎧≤<=≤≤. (3)当010x ≤<时,y ==于是当52x =时,min y =此时15102CF x =-=. 当1020x ≤≤时,y =≥=当且仅当22100=00x x，即10x =时，取等号 综上： 当E 距点 2.5B m ，F 距点7.5C m 时，EF最短，其长度为【点睛】本题考查了函数模型的应用,考查了余弦定理,考查了基本不等式.本题的易错点是没有讨论自变量的取值,从而造成了漏解.求最值时,常用的方法有:导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.19．已知函数()y f x =的定义域为D ，若满足,()()x D x f x f x ∀∈⋅≥，则称函数()f x 为“L 型函数”.（1）判断函数xy e =和ln y x =是否为“L 型函数”，并说明理由；（2）设函数()(1)ln (1)ln ,0f x x x x a a =+-->，记()g x 为函数()f x 的导函数. ①若函数()g x 的最小值为1，求a 的值； ②若函数()f x 为“L 型函数”，求a 的取值范围.【答案】(1)xy e =不是,ln y x =是,理由见解析;(2)①a e =;②20a e <≤.【解析】(1)分别求出两个函数的定义域,判断,()()x D x f x f x ∀∈⋅≥即可.(2) ①求出1()()ln 1ln ,(0,)g x f x x a x x'==++-∈+∞,再求()g x ',通过导数探究当x 取何值时,()g x 取最小值,令最小值为1,即可求出a 的值.②由题意(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ∀∈+∞-=-+--≥恒成立,分别讨论当20a e <≤和2a e >时,通过探究()f x 的单调性判断是否使得不等式恒成立,从而求出a 的取值范围.【详解】解:(1)对于函数x y e =,定义域为R ,显然000e e ⋅≥不成立,所以xy e =不是“L 型函数”;对于函数ln y x =,定义域为(0,)+∞.当01x <<时,ln 0x <,所以(1)ln 0x x ->,即ln ln x x x >; 当1x ≥时,ln 0x ≥,所以(1)ln 0x x -≥,即ln ln x x x ≥.所以(0,)x ∀∈+∞,都有ln ln x x x ≥.所以函数ln y x =是“L 型函数”. (2)①因为11()()ln ln ln 1ln ,(0,)x g x f x x a x a x x x+'==+-=++-∈+∞ 所以22111()x g x x x x-'=-=.当(0,1)x ∈时,()0g x '<,所以()g x 在(0,1)上为减函数; 当(1,)x ∈+∞时,()0g x '>,所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. 所以min ()(1)2ln g x g a ==-.所以2ln 1a -=,故a e =. ②因为函数()(1)ln (1)ln f x x x x a =+--为“L 型函数”,所以(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ∀∈+∞-=-+--≥(). (ⅰ)当2ln 0a -≥,即20a e <≤时,由①得()0g x ≥,即()0f x '≥. 所以()f x 在(0,)+∞上为增函数,又(1)0f =,当(0,1)x ∈时,()0f x < 所以(1)()0x f x ->;当[1,)x ∈+∞时,()0f x ≥,所以(1)()0x f x -≥. 所以(0,)x ∀∈+∞,适合()式.(ⅱ)当2ln 0a -<,即2a e >时,(1)0g <,1()10g a a=+>. 所以由零点存在性定理得0(1,)x a ∃∈,使()00g x =,又()g x 在(1,)+∞上为增函数所以当()01,x x ∈时,()0<g x ,所以()f x 在()01,x 上为减函数又(1)0f =,所以当()01,x x ∈时,()0f x <,所以(1)()0x f x -<,不适合()式. 综上得,实数a 的取值范围为20a e <≤. 【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了函数的最值,考查了不等式恒成立问题.本题的难点在于最后一问,学生往往想不起来通过函数的单调性等来判断函数在某一区间的正负问题. 20．已知数列{}n a 的首项为1，各项均为正数，其前n 项和为n S ，112n nn n na a S a a ++=-,n *∈N .（1）求2a ,3a 的值;（2）求证：数列{}n a 为等差数列；（3）设数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=，求证：111ni ib =≥∑. 【答案】(1)22a =,33a =;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【解析】(1)令1,2n n == 即可求出2a ,3a 的值; (2)由112n n n n na a S a a ++=-得1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥-两式相减进行整理可得11(2)n n n n a a a a n +--=-≥,即可证明{}n a 为等差数列.(3)由(2)可知1n n b b n +=,11(2)n n b b n n -=-≥两式相减整理得111(2)n n nb b n b +-=-≥,则当2n ≥时,12111231111111nn n i i nb b b b b b b b b b +==++++=--++∑L ,通过放缩即可证明; 当1n =时,111b ≥.从而可证.【详解】解:(1)令1n =得,211212a a S a a =-,又11a =,解得22a =;令2n =得,122322a a S a a =-,即()1123222a a a a +=-,从而33a =.(2)因为112n n n n na a S a a ++=- ①;所以1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥- ② ①-②得,11112n n n n n n n n n a a a aa a a a a +-+-=---.因为数列{}n a 的各项均为正数,所以0n a >.从而11112n n n n n n a a a a a a +-+-=---.去分母得,()()()()1111112n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +----+--=---化简并整理得,21120n n n n n a a a a a +--+=,即112(2)n n n a a a n --=+≥,所以11(2)n n n n a a a a n +--=-≥.所以数列{}n a 为等差数列.(3)由(2)知,1n n b b n += ③.当1n =时,211b b =,又11b =,所以21b =. 由③知,11(2)n n b b n n -=-≥ ④.③-④得,111(2)n n n n b b b b n +--=≥ 即()111(2)n n n b b b n +--=≥,依题意,0n b ≠,所以111(2)n n nb b n b +-=-≥. 当2n ≥时,112311111ni i nb b b b b ==++++∑L 31425321111n n n n b b b b b b b b b b b -+-=+-+-+-++-+-L 12111n n b b b b b +=--++1≥1=,当1n =时,111b ≥,原不等式也成立. 综上得,111ni ib=≥∑.【点睛】本题考查了由递推公式求项,考查了等差数列的定义,考查了放缩法,考查了数列求和.本题难点在于整理出111(2)n n nb b n b +-=-≥,从而对所证式子进行化简.涉及到n S 和n a 的递推公式时,一般代入公式11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 进行求解.21．已知a ，b R ∈，若M =13a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x-y=3变换成自身，试求实数a ，b ．【答案】【解析】【详解】 设则即此直线即为则..22．在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最大距离. 【答案】5【解析】将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，转化为求圆上的点到直线l 距离的最大值，求出圆心到直线l 距离，即可求出结论. 【详解】曲线C ：2ρ=化直角坐标方程为224x y +=表示圆，13sin 3,sin cos 332πρθρθθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 360x y -+=，圆C 上点P 到直线l 2225(3)1+=+.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值，考查数形结合思想，属于基础题.23．设a,b,c 为正实数，6a b c ++=1233a b c ++… 【答案】证明见解析【解析】根据柯西不等式()()()2222222112233123123x y x y x y x x x yy y ++≤++++，将原式进行配凑并结合已知条件6a b c ++=加以计算，即可得证； 【详解】证明：因为a,b,c 为正实数，6a b c ++=，所以)22111=++()()1211127a b c ≤++++++===，即3a =，2b =，1c =时取等号，，得证； 【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题.24．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为(01)p p <<.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是2125. (1)求p 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望()E X . 【答案】（1）35；（2）分布列见解析，期望为213125． 【解析】分析：(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”,所以, ()()1P A P A =- ()2211125p =--=(2) X 的所有可能值为0,1,2,3,计算其对应概率即可.详解：(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”, 依题意, ()()1P A P A =- ()2211125p =--=， 解得35p =. (2)依题意, X 的所有可能值为0,1,2,3, 且()()240125P X p ==-=,()()211P X p p ==- ()()2411125p p p +--=， ()3273125P X p ===， 故()()210P X P X ==-= ()()5413125P X P X -=-==. X 的概率分布列为:数学期望()242125E X =+⨯ 54272133125125125+⨯=. 点睛：利用对立事件计算概率是概率问题中长用的方法，所以出现“至多”“至少”等其他关键字眼时要注意利用对立事件的思路解题，往往能够简化计算.25．设4124k k S a a a =+++L （*N k ∈），其中{}0,1i a ∈（1,2,,4i k =L ）．当4k S 除以4的余数是b （0,1,2,3b =）时，数列124,,,k a a a L 的个数记为()m b ． （1）当2k =时，求()1m 的值； （2）求()3m 关于k 的表达式，并化简． 【答案】（1）64；（2）()2134k m -=【解析】（1）（1）根据定义，确定条件：8个数的和除以4的余数是1，因此有1个1或5个1，其余为0，从而158864m C C =+=；（2）个数的和除以4的余数是3，因此有3个1，或7个1，或11个1，…，或()41k -个1 ，其余为0，()37114144443k k k k k m C C C C -=++++L ，再根据组合数性质即可化简求值. 【详解】（1）当2k =时，数列123,,,,n a a a a L 中有1个1或5个1，其余为0，所以158864m C C =+=．（2）依题意，数列124,,,k a a a L 中有3个1，或7个1，或11个1，…， 或()41k -个1 ，其余为0，所以()37114144443k k k k k m C C C C -=++++L ．第 21 页 共 21 页 同理，得()1594344441k k k k k m C C C C -=++++L ． 因为()4443,7,11,,41i k i k k C C i k -==-L ， 所以()()13m m =．又()()13943414144444132k k k k k k k k m m C C C C C ---+=+++++=L ， 所以()4221324k k m --==【点睛】 本题考查组合数的性质，组合数的运算，属中档题.。

（第6题）数学参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的标准差211()ni i s x x n ==-∑11nii x x n ==∑；柱体的体积公式：V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．锥体的体积公式：13V Sh=，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上． 1．已知全集{}21012U =--，，，，，集合{}2 1 1A =--，，，则UA = ▲ ．2．已知复数()()z 1i i a =-⋅+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．3．数据1，3，5，7，9的标准差为 ▲ ． 4．函数()12xf x -的定义域是 ▲ ．5．在一底面半径和高都是2m 的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出23m 的种子，则取出了带麦锈病种子的概率是 ▲ ． 6．右图是一个算法的伪代码，则输出的i 的值为 ▲ ．7. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b -=>经过点()34，，则该双曲线的准线方程为 ▲ ．8. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，396S S S ，，成等差数列，则258a a a +的值为 ▲ ． 9．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 ▲ ．（写出所有正确命题的序号）①因为当π3x =时，()2πsin sin 3x x+≠，所以2π3不是函数sin y x =的周期；②对于定义在R 上的函数()f x ，若()()22f f -≠，则函数()f x 不是偶函数；③“M N >”是“22log log M N >”成立的充分必要条件；④若实数a 满足24a <，则2a ≤．（第15题）10. 如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为 ▲ ．11.在平面直角坐标系xOy 中，若函数()ln f x x ax =-在1=x 处的切线与圆C ：01222=-++-a y x x 存在公共点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．12. 已知函数()32f x ax bx cx =++，若关于x 的不等式()0f x <的解集是()()102-∞-，，，则b ca+的值为 ▲ ． 13.在边长为4的菱形ABCD 中，A =60°，点P 在菱形ABCD 所在的平面内．若3PA =，PC =则PB PD ⋅= ▲ ．14.设函数()()21722040k x x f x x x ⎧+-+⎪=⎨⎪>⎩，，，，≤，()()43g x k x =-，其中0k >．若存在唯一的整数x ，使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，M 为棱PD 的中点，MA =MC ． 求证：（1）PB //平面AMC ；（2）平面PBD ⊥平面AMC ．16.（本小题满分14分）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知tan A ，tan B ，tan C 成等差数列，cos Acos B 成等比数列． （1）求A 的值；（2）若△ABC 的面积为1，求c 的值.17．(本小题满分14分)某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB 为直径的圆，且300AB =米，景观湖边界CD 与AB平行且它们间的距离为米．开发商计划从A 点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ ．设2AOP θ∠=． （1）用θ表示线段PQ ，并确定sin 2θ的范围；（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ 的长度设计到最长，求PQ 的最大值．18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，右顶点A (2，0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为12．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两点，设P (－4，0)，连接PM 交椭圆C 于另一点E ．求证：直线NE 过定点B ，并求出点B 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点B 的直线交椭圆C 于S ，T 两点，求OS OT ⋅的取值范围． 19．(本小题满分16分)已知函数()212ax f x bx +=，其中0a >，0b >． （1）①求函数()f x 的单调区间； ②若x 1，x 2满足)12i x i >=，，且120x x +>，20x >．求证：()()122f x f x +>．（2）函数()21ln 2g x ax x =-．若对任意(120x x ∈，，12x x ≠，都有|f (x 1)－f (x 2)|＞|g (x 1)－g (x 2)|，求b a -的最大值．20．(本小题满分16分)已知{a n }，{b n }，{c n }都是各项不为零的数列，且满足*1122n n n n a b a b a b c S n +++=∈N ，，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，{c n }是公差为()0d d ≠的等差数列．（1）若数列{a n }是常数列，d ＝2，c 2＝3，求数列{b n }的通项公式； （2）若a n ＝λn (λ是不为零的常数)，求证：数列{b n }是等差数列；（3）若11a c d k === （k 为常数，*k ∈N ），()*2n n kb c n n +=∈N ≥，． 求证：对任意的*2n n ∈N ≥，，11n n n n b b a a ++>恒成立．数学II （附加题）21. 【选做题】 在A ，B ，C 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4-2：矩阵与变换已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32．求矩阵A ．B. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝22．点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．C. 选修4-5：不等式选讲若正数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. （本小题满分10分）如图，在正四棱锥P －ABCD 中，底面正方形的对角线AC ，BD 交于点O 且OP ＝12AB ．（1）求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值； （2）求锐二面角B －PD －C 的大小．23. （本小题满分10分）（第22题）定义：若数列{}n a 满足所有的项均由11-，构成且其中1-有m 个，1有p 个()3m p +≥，则称{}n a 为“()m p -，数列”．（1）()i j k a a a i j k <<，，为“()34-，数列”{}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a =的取法有多少种?（2）()i j k a a a i j k <<，，为“()m p -，数列”{}n a 中的任意三项，则存在多少正整数对()m p ，使得1100m p ≤≤≤，且1i j k a a a =的概率为12?数学答案参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的标准差s =11nii x x n ==∑；柱体的体积公式：V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．锥体的体积公式：13V Sh=，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 二、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上 1． 答案：{}02，2．答案：1- 3．答案：4．答案：(]0-∞，5．答案：14π6． 答案：5 7.答案：x =8.答案：2（必修五P.62第10题改编） 9．答案：①②④ 10.11.答案：(][)012+∞，，12. 答案：3- 13. 答案：-1 14.答案：1763⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 三、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分14分)证明：（1）连结OM ，因为O 为菱形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以O 为BD 的中点． …… 2分 又M 为棱PD 的中点，所以//OM PB ， …… 4分 又OM ⊂平面AMC ，PB ⊄平面AMC ，所以PB //平面AMC ； …… 6分（2）在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，且O 为AC 的中点，又MA =MC ，故AC ⊥OM ， …… 8分 而OMBD O =，OM ，BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ， …… 11分 又AC ⊂平面AMC ，所以平面PBD ⊥平面AMC ． …… 14分16. （本小题满分14分）解：（1）由题意知：tan tan 2tan cos cos cos A C B A B C +=⎧⎨⋅=⎩，，因为πA B C ++=，所以()cos cos cos cos sin sin cos cos C A B A B A B A B =-+=-+= 又因为△ABC 为锐角三角形，所以sin sin tan tan 2cos cos A BA B A B==①， …… 2分所以()tan tan tan tan tan tan tan tan 1A BC A B A B A B +=-+==+-，所以tan 2tan B A =，与①式联立，解得tan 1A =（负舍）， …… 4分又()0,πA ∈，所以π4A =． …… 6分 （2）由（1）知，tan 1A =，tan 2tan 2B A ==，且tan 3C =，又22sin tan 2cos sin cos 1B B B B B ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，结合()0πB ∈，解出sin B =， …… 8分同理解出sin C =…… 10分 在△ABC 中，由正弦定理知：sin sin b cB C=，因此sin 53sin 3B b c C =⋅==， …… 12分 又1sin 12bc A =，由此解出c =． …… 14分17．(本小题满分14分)解：（1）过点Q 作QH AB ⊥于点H，则QH =在三角形AOP 中，因为300AB =，2AOP θ∠=，所以π2OAP θ∠=-，300sin AP θ=，所以AQ =，故300sin PQ AP AQ θ=-=． …… 4分因为300sin 0cos PQ θθ=->，即sin 23θ>，且()20πθ∈，． …… 6分（2）因为(300sin 506sin PQ AP AQ θθ=-==-，令()6sin f θθ=，sin 2θ>，且()20πθ∈，． …… 8分所以()()36cos tan tan f θθθθθ'==⋅-，令()0f θ'=，即3tan tan 0θθ+-=，所以()2tan tan 30θθθ+=， …… 10分记0tan θ=()0π02θ∈，，所以当00θθ<<时，()0f θ'>，()f θ单调递增；所以当0π2θθ<<时，()0f θ'<，()f θ单调递减，又因为0sin 2θ=，所以当tan θ()f θ取最大值．此时sin cos 33θθ==，所以PQ 的最大值为答：湖上桥面PQ 长度的最大值为 …… 14分 18．解：（1）设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，由题意得a ＝2，e ＝12， …… 2分即12c a =，所以c ＝1，2223b a c =-=． 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1． …… 4分（2）证明：根据对称性，直线NE 过的定点B 一定在x 轴上．由题意可知直线PM 的斜率存在，设直线PM 的方程为y ＝k (x ＋4)．由()224143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得 (4k 2＋3)x 2＋32k 2x ＋64k 2－12＝0．设点M (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3， …… 6分又因为N (x 1，－y 1)，所以直线NE 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)．令y ＝0，得x ＝x 2－y 2x 2－x 1y 2＋y 1．将y 1＝k (x 1＋4)，y 2＝k (x 2＋4)代入上式并整理， 得()121212248x x x x x x x ++=++．整理得()()2222128241281322432k k x k k --==--++．所以，直线NE 过x 轴上的定点B (－1，0)． …… 10分 （3）当过点M 的直线ST 的斜率不存在时，直线ST 的方程为x ＝－1，S (－1，32)，T (－1，－32)，此时OS →·OT →＝－54．…… 12分当过点B 的直线ST 的斜率存在时，设直线ST 的方程为y ＝m (x ＋1)，且S (x S ，y S )，T (x T ，y T )在椭圆C 上， 由()221143y m x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得(4m 2＋3)x 2＋8m 2x ＋4m 2－12＝0，则Δ＝(8m 2)2－4(4m 2＋3)(4m 2－12)＝144(m 2＋1)>0．故有x S ＋x T ＝－8m 24m 2＋3，x S x T ＝4m 2－124m 2＋3， …… 14分从而y S y T ＝m 2(x S ＋1)(x T ＋1)＝m 2[(x S ＋x T )＋x S x T ＋1]＝－9m 24m 2＋3．所以OS →·OT →＝x S x T ＋y S y T ＝－5m 2＋124m 2＋3＝－54－334(4m 2＋3)．由20m ≥，得)544OS OT ⎡⋅∈--⎢⎣，． 综上，OS →·OT →的取值范围是544⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，． …… 16分 19．(本小题满分16分)解：（1）①因为f ′ (x )＝ax 2－12bx 2，0x ．令f ′ (x )＞0，得x ＜－1a 或x ＞1a， 所以f (x )的单调增区间为(－∞，－1a )和(1a，＋∞)． ……2分 令f ′ (x )<0，得－1a ＜x ＜0或0＜x ＜1a， 所以f (x )的单调减区间为(－1a ，0)和(0，1a)． ……4分 ②因为x 1＋x 2＞0，x 2＞0，所以x 1＞0，或x 1＜0． 若x 1＞0，因为|x i |＞1a (i ＝1，2)，所以x 1＞1a ，x 2＞1a， 由①，知f (x )在(1a，＋∞)上是增函数， 所以f (x 1)＋2f (x 2)＞f (1a )＋2f (1a)＝3a b ＞a b ． ……5分若x 1＜0，由|x 1|＞1a ，得x 1＜－1a， 因为x 1＋x 2＞0，x 2＞0，所以x 2＞－x 1＞1a， 由①，知f (x )在(1a，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)＋2f (x 2)＞f (x 1)＋2f (－x 1)＝f (－x 1)>a b ．综上，f (x 1)＋2f (x 2)＞ab． ……8分 （2）g′ (x )＝ax －1x ＝ax 2－1x ，x ∈(0，1a)，所以g ′ (x )＜0，所以函数g (x )在(0，1a)上是减函数． 不妨假设x 1＜x 2． 由（1），知f (x ) 在(0，1a)上是减函数， 所以不等式|f (x 1)－f (x 2)|＞|g (x 1)－g (x 2)|等价于f (x 1)－f (x 2)＞g (x 1)－g (x 2)， ……10分 即[f (x 1)－g (x 1)]－[f (x 2)－g (x 2)]＞0． 令M (x )＝f (x )－g (x )，x ∈(0，1a)，则M (x )为减函数． 因为M ′ (x )＝f ′ (x )－g′ (x )＝ax 2－12bx 2－ax ＋1x ＝(ax 2－1)(1－2bx )2bx 2，所以(ax 2－1)(1－2bx )2bx 2≤0在区间(0，1a )上恒成立，即1－2bx ≥0在区间(0，1a)上恒成立，所以1－2b a≥0，即b ≤a2． ……14分所以b －a ≤a 2－a ＝－(a －14)2＋116≤116． 所以b －a 的最大值为116． ……16分20．(本小题满分16分)解：（1）因为d ＝2，c 2＝3，所以c n ＝2n －1．因为数列{a n }是各项不为零的常数列，所以a 1＝a 2＝…＝a n ，S n ＝na 1，则由S n c n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 及c n ＝2n －1，得n (2n －1)＝b 1＋b 2＋…＋b n ， 当n ≥2时，(n －1)(2n －3)＝b 1＋b 2＋…＋b n －1， 两式相减得b n ＝4n －3．当n ＝1时，b 1＝1，也满足b n ＝4n －3，故b n ＝4n －3(n ∈N *)． ……4分 （2）因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝S n c n ，当n ≥2时，S n －1c n －1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1， 两式相减得S n c n －S n －1c n －1＝a n b n ，即(S n －1＋a n ) c n －S n －1c n －1＝a n b n ，S n －1 (c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，即S n －1d ＋λnc n ＝λnb n ． ……7分 又S n －1＝λn (n －1)2，所以λn (n －1)2d ＋λnc n ＝λnb n ，即n －12d ＋c n ＝b n ，所以当n ≥3时，n －22d ＋c n －1＝b n －1，两式相减得b n －b n －1＝32d (n ≥3)，所以数列{b n }从第二项起是公差为32d 等差数列．又当n ＝1时，由S 1c 1＝a 1b 1，得c 1＝b 1，当n ＝2时，由b 2＝2－12d ＋c 2＝12d ＋c 1＋d ＝b 1＋32d ，得b 2－b 1＝32d ．故数列{b n }是公差为32d 等差数列． ……10分（3）由（2）得当n ≥2时，S n －1 (c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，即S n －1d ＝a n (b n －c n )， 因为b n ＝c n ＋k ，所以b n ＝c n ＋kd ，即b n －c n ＝kd ，所以S n －1d ＝a n ·kd ，即S n －1＝ka n ． 所以S n ＝S n －1＋a n ＝(k ＋1)a n ． 当n ≥3时，S n －1＝(k ＋1)a n －1＝ka n ，即a n ＝k ＋1k a n －1，故从第二项起数列{a n }是等比数列．所以当n ≥2时，a n ＝a 2(k ＋1k )n －2． ……12分b n ＝c n ＋k ＝c n ＋kd ＝c 1＋(n －1)k ＋k 2＝k ＋(n －1)k ＋k 2＝k (n ＋k )．另外由已知条件得，(a 1＋a 2)c 2＝a 1b 1＋a 2b 2，又c 2＝2k ，b 1＝k ，b 2＝k (2＋k )， 所以a 2＝1，因而a n ＝(k ＋1k)n －2．令d n ＝b n a n ，则d n ＋1d n －1＝b n ＋1a n a n ＋1b n －1＝(n ＋k ＋1)k (n ＋k )(k ＋1)－1＝－n(n ＋k )(k ＋1)＜0，对任意的*2n n ∈N ≥，，11n n n n b b a a ++>恒成立． ……16分数学II （附加题）21. 【选做题】 在A ，B ，C 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4-2：矩阵与变换解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1＝λ1α1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1. ……5分 同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8，解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1. 因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321． ……10分B. 选修4-4：坐标系与参数方程解：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22化简为ρcos θ＋ρsin θ＝4， 则直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4. ……4分 设点P 的坐标为(2cos α，sin α)，得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|2，即d ＝|5sin (α＋φ)－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25. ……8分当sin(α＋φ)＝－1时，d max ＝22＋102． ……10分 C. 选修4-5：不等式选讲解：因为正数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，所以⎝⎛⎭⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥(1＋1＋1)2， ……5分即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1， 当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，原式取最小值1． ……10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. （本小题满分10分）解：（1）在正四棱锥P －ABCD 中，底面正方形的对角线AC ，BD 交于点O ，所以OP ⊥平面ABCD ，取AB 的中点E ，BC 的中点F ， 所以OP ，OE ，OF 两两垂直，故以点O 为坐标原点， 以OE ，OF ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.设底面正方形边长为2，因为OP ＝12AB ，所以OP ＝1，所以B (1，1，0)，C (－1，1，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，1)，所以BP →＝(－1，－1，1)， ……2分 设平面PCD 的法向量是→n ＝(x ，y ，z )， 因为CD →＝(0，－2，0)，CP →＝(1，－1，1)， 所以CD →·→n ＝－2y ＝0，CP →·→n ＝x －y ＋z ＝0， 取x ＝1，则y ＝0，z ＝－1，所以→n ＝(1，0，－1)， 所以cos<BP →，→n >＝BP →·→n |BP →|·|→n |＝－63，所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为63. ……5分 （2）设平面BPD 的法向量是→m ＝(x ，y ，z )，因为BP →＝(－1，－1，1)，BD →＝(－2，－2，0)， 所以BP →·→m ＝－x －y ＋z ＝0，BD →·→m ＝－2x －2y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝0，所以→m ＝(1，－1，0)， ……7分 由（1）知平面PCD 的法向量是→n ＝(1，0，－1)， 所以cos<→m ，→n >＝→m ·→n|→m |·|→n |＝12，所以<→m ，→n >＝60°，所以锐二面角B －PD －C 的大小为60°． ……10分23. （本小题满分10分）解：（1）三个数乘积为1有两种情况：“1,1,1--”“1,1,1” ，“1,1,1--”：共有2134C C =12⋅种；“1,1,1”：共有34C =4种.利用分类计数原理，1i j k a a a =共有12416+=种取法. ……2分 （2）与（1）基本同理，“1,1,1--”共有21C C m p ⋅种；“1,1,1”：共有3C p 种.而在“(),m p -数列”中任取三项共有3C m p +种，所以根据古典概型有：2133C C C 12C m p pm p++=， ……4分 再根据组合数的计算公式能得到：()()2232320p m p p mp m m ---+--=，① p m =时，应满足11003m p m p p m ⎧⎪+⎨⎪=⎩≥≤≤≤，所以()(){},,,2,3,4,,100m p k k k =∈⋅⋅⋅，共有99个． ……6分② 2232320p p mp m m --+--= 时，应满足221100332320m p m p p p mp m m ⎧⎪+⎨⎪--+--=⎩≥≤≤≤，视m 为常数，可解得()232m p +±=.因为1m ≥5，根据p m ≥可知，()232m p ++=（否则1p m -≤）下设k =p 为正整数知k 必为正整数， 又因为1100m ≤≤，所以549k ≤≤.化简上述关系式可以知道：()()21112424k k k m -+-==， 所以1,1k k -+均为偶数，所以设()*21k t t =+∈N ，则224t ≤≤，所以()211246t t k m +-==，由于,1t t +中必存在偶数， 故只需,1t t +中存在数为3的倍数即可，所以2,3,5,6,8,9,11,,23,24t =⋅⋅⋅， 所以5,11,13,,47,49k =⋅⋅⋅, ……8分检验：()()()2311485010022424m k k p ++-+⨯===≤符合题意，所以共有16个.综上所述：共有115个数对(),m p 符合题意． ……10分。

2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷(3月份)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.集合A={1,2，3，4}，B={1,3，5，7}，则A∩B=______．2.在复平面内，复数1+i对应的点位于第______象限．i3.5000辆汽车经过某一雷达测速区，其速度频率分布直方图如图所示，则时速超过70km/ℎ的汽车数量为______ ．4.袋中装有3个红球，2个白球，某人一次从中摸出两个小球，则摸出的两个小球颜色相同的概率为________．5.在一次知识竞赛中抽取10名选手，成绩分布情况如表：成绩4分5分6分7分8分9分10分人数分2013211布则这组样本的方差为_______.6.如图所示的流程图中，输出的结果是______ ．7. 设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题中(1)若a ⊥α，a ⊆β，则α⊥β； (2)若a//α，α⊥β，则a ⊥β；(3)若a ⊥β，α⊥β，则a//α； (4)若a ⊥α，b ⊥α，则a//b ．其中所有真命题的序号是______．8. 《张邱建算经》是我国古代数学著作大约创作于公元五世纪，书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈，问日益几何？”该题大意是：“一女子擅长织布，一天比一天织的快，而且每天增加的量都一样，已知第一天织了5尺，一个月后，共织布390尺，问该女子每天增加______ 尺．(一月按30天计)9. 若sinα=3sin(α+π6)，则tan (α+π12)=____.10. 如图，已知O 为矩形 P 1P 2P 3P 4 内的一点，满足 OP 1=4，OP 3=5，P 1P 3=7，则 OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______11. 方程(12)x =|lnx|的解的个数为______．12. 若a >0，b >0，且1a +1b =√ab ，则a 3+b 3的最小值为______ ．13. 如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，AD ⊥AB ，AD =DC =12AB =2，点N 是CD 边上一动点，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．14. 当x ∈[−2,1]时，不等式ax 3−x 2+4x +3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______．二、解答题（本大题共12小题，共162.0分）15. 已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bsin(B +C)=acos(π6−B)．(1)求tan(B +π4)的值；(2)若b 2=ac ，△ABC 的面积为3√3，求△ABC 的周长．16. 如图，在三棱锥P −ABC 中，ΔPBC 为等边三角形，点O 为BC 的中点，AC ⊥PB ，平面PBC ⊥平面ABC ．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)已知E为PO的中点，F是AB上的点，AF=λAB.若EF//平面PAC，求λ的值．17.如图，有一块平行四边形绿地ABCD，经测量BC=2百米，CD=1百米，，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度)，EF将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍．设EC=x百米，EF=y百米．(1)当点F与点D重合时，试确定点E的位置；(2)试求x的值，使直路EF的长度y最短．18.已知点A(0,−2)，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为2√33，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，求ΔOPQ面积的取值范围。

2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷（4月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={-1，0，2}，B={x|x=2n-1，n∈Z}，则A∩B=______．2.sin（-300°）=______．3.已知复数z=-i（1+2i），其中i是虚线单位，则|z|=______．4.对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为______．5.如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为______．6.从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，记为b，则a≤b的概率为______．7.在平面直角坐标系xoy中，若双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为______．8.一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为______．9.已知0＜y＜x＜π，且tan x tan y=2，，则x-y=______．10.已知等边△ABC的边长为2，若，，则△APQ的面积为______．11.在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x-y+m=0上存在点P使得PA=PB，则实数m的取值范围是______．12.以知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x（x-1），则关于m的不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0的解集为______．13.已知实数a1，a2，a3，a4满足a1+a2+a3=0，a1a42+a2a4-a2=0，且a1＞a2＞a3，则a4的取值范围是______．14.已知数列{a n}的通项公式是，数列{b n}的通项公式是b n=3n-1，集合A={a1，a2，…，a n}，B={b1，b2，…，b n}，n∈N*．将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{c n}，则数列{c n}的前45项和S45=______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的所对边的长，若a cos B=1，b sin A=，且A-B=．（1）求a的值；（2）求tan A的值．16.如图，在四面体ABCD中，AD=BD，∠ABC=90°，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD．求证：（1）EF=BC；（2）平面EFD⊥平面ABC．17.某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐（上下底面及侧面的厚度不计），易拉罐的体积为108πml．设圆柱的高度为hcm，底面半径半径为rcm，且h≥4r，假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关，已知易拉罐侧面制造费用为m元/cm2，易拉罐上下底面的制造费用均为n元/cm2（m，n为常数）（1）写出易拉罐的制造费用y（元）关于r（cm）的函数表达式，并求其定义域；（2）求易拉罐制造费用最低时r（cm）的值．18.在平面直角坐标系xoy中，设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，左准线为l．P为椭圆C上任意一点，直线OQ⊥FP，垂足为Q，直线OQ与l交于点A．（1）若b=1，且b＜c，直线l的方程为x=-（i）求椭圆C的方程（ii）是否存在点P，使得？，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（2）设直线FP与圆O：x2+y2=a2交于M，N两点，求证：直线AM，AN均与圆O 相切．19.设函数f（x）=e x-ax+a（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若函数f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2，求a的取值范围；（3）证明：＜0（f'（x）为函数f（x）的导函数）．20.已知数列{a n}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{b n}是首项为1，公比为q（q＞1）的等比数列．（1）若a5=b5，q=3，求数列{a n•b n}的前n项和；（2）若存在正整数k（k≥2），使得a k=b k．试比较a n与b n的大小，并说明理由．21.在平面直角坐标系xOy中，先对曲线C作矩阵A=（0＜θ＜2π）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵B=（0＜k＜1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为，求k，θ的值．22.在极坐标系中，已知A（ 1，），B（ 9，），线段AB的垂直平分线l与极轴交于点C，求l的极坐标方程及△ABC的面积．23.已知实数a，b满足|a+b|≤2，求证：|a2+2a-b2+2b |≤4（|a|+2）．24.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若=λ，且向量与夹角的余弦值为．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．25.已知数列{a n}的通项公式为，n∈N*，n∈N*．记S n=．（1）求S1，S2的值；（2）求证：对任意正整数n，为定值．-------- 答案与解析 --------1.答案：{-1}解析：解：由集合A={-1，0，2}，根据集合A中的关系式x=2n-1，n∈Z，得到集合B为所有的奇数集，则集合A∩B={-1}．故答案为：{-1}．观察发现集合B为所有的奇数集，所以找出集合A解集中的奇数解即为两集合的交集．此题属于以不等式解集中的奇数解为平台，考查了交集的运算，是一道基础题．也是高考中常考的题型．2.答案：解析：解：sin（-300°）=sin（360°-300°）=sin60°=，故答案为．由sin（α+2π）=sinα及特殊角三角函数值解之．本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．3.答案：解析：解：|z|=|-i（1+2i）|=|-i||1+2i|=|1+2i|=，故答案为：．复数乘积的模，就是模的乘积，容易得到结果．考查复数的模的运算法则，是基础题．4.答案：100解析：解：根据频率分布直方图可知，三等品的数量是[（0.0125+0.025+0.0125）×5]×400=100（件）．故答案为：100由频率分布直方图可知，算出三等品所占的比例乘以样本容量得出三等品的件数．本题主要考查频率分布直方图的读图能力，属于简单题型，注意纵坐标意义．5.答案：解析：解：模拟执行伪代码，可得：S=0+++…+=（1-）+（-）+…+（-）=1-=．故答案为：．模拟执行伪代码，可得伪代码的功能是计算并输出S=0+++…+的值，从而得解．本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查．6.答案：解析：【分析】本题考查了古典概型的概率和互斥事件的概率问题，属于基础题．先确定所有的基本事件，共有9种，再求出a＞b的概率，根据互斥事件的概率公式计算即可．【解答】解：从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，记为b,有（1,2），（1,3），（1,4），（2,2），（2,3），（2,4），（3,2），（3,3），（3,4），共9种，因为a＞b的取法只有一种：a=3，b=2，所以a＞b的概率是，所以a≤b的概率是1-=．故答案为：．7.答案：y=±3x解析：解：因为（）2=1+（）2=10，所以=3，所以渐近线方程为y=±3x．故答案为：y=±3x．利用（）2=1+（）2=10，可得=3，即可求出双曲线的渐近线方程．本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．8.答案：3π解析：解：如图，∵一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，∴原正四面体的棱长为，设底面三角形的中心为G，则，正四面体的高PG=．再设正四面体外接球的球心为O，连接OA，∴该四面体的外接球的表面积为．故答案为：3π．由题意画出图形，求出正四面体的棱长，进一步求得外接球的半径，代入球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9.答案：解析：解：由题意可得tan x tan y==2，解得cos x cos y=，故cos（x-y）=cos x cos y+sin x sin y=故x-y=2kπ±，k∈Z，又0＜y＜x＜π，所以0＜x-y＜π．所以x-y=故答案为：由题意可得cos x cos y=，进而可得cos（x-y）=cos x cos y+sin x sin y=，由余弦函数可知x-y的值．本题考查同角三角函数的基本关系，以及两角和与差的余弦函数，属基础题．10.答案：解析：解：如图，由，可知点P为△ABC的重心，由，得，由题意可得，AP=，PQ=1，且AP⊥PQ，故答案为：．由第一个条件可知P为重心，由第二个条件可得，确定Q的位置，可得△APQ为直角三角形，从而可求得△APQ的面积．此题考查了向量加减法的几何意义及应用，难度适中．11.答案：解析：解：设P（x，x+m），∵PA=PB，∴4|PA|2=|PB|2，∴4（x-1）2+4（x+m）2=（x-4）2+（x+m）2，化为（x+m）2=4-x2，∴4-x2≥0，解得x∈[-2，2]，∴m=-x±，令x=2cosθ，θ∈[0，π]，∴m=-2cosθ±2sinθ=∈，实数m的取值范围是，故答案为：．设P（x，x+m），由PA=PB，可得4|PA|2=|PB|2，利用两点之间的距离公式化为：（x+m）2=4-x2，可得：m=-x±，x∈[-2，2]．通过三角函数代换即可得出．本题考查了两点之间的距离公式、和差化积、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：[0，1）解析：解：由题意，奇函数f（x）是定义在[-1，1]上的减函数，不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0，即f（1-m）＜f（m2-1），则，即，解得0≤m＜1，即m∈[0，1）．故答案为：[0，1）．根据函数奇偶性的性质将不等式进行转化即可．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．13.答案：解析：解：a1+a2+a3=0得a1≥0，a3≤0，a1≥|a2|-a3≥|a2|．a4==-•±•，设=x，由a1≥|a2|．当a4=-x+时，有当x=1，a4取最大，最大值a4=-+；当a4=-x-时，有当x=1，a4取最小，最小值a4=--；则a4的取值范围是．故答案为：．先根据题意a1+a2+a3=0得a1≥0a3≤0a1≥|a2|-a3≥|a2|．对于方程a1a42+a2a4-a2=0，将a4看成未知数，解二次方程得a4=-•±•，设=x，由a1≥|a2|知-1≤x≤1，利用a4=-x±的单调性结合x的取值范围，即可得出a4的取值范围．本小题主要考查函数单调性的应用、不等式的解法、进行简单的演绎推理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于验证题．14.答案：245-3017解析：解：数列{a n}的通项公式是，数列{b n}的通项公式是b n=3n-1，所以：，故：=，由于两个数列中有公共元素，2，8，32．故：-2-8-32=245-3017．故答案为：245-3017首先利用分组法求数列的和，进一步减去公共的项对应的值．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.答案：解：（1）由正弦定理知，b sin A=a sin B=，①，又a cos B=1，②①，②两式平方相加，得（a sin B）2+（a cos B）2=3，因为sin2B+cos2B=1，所以a=（负值已舍）；（2）①，②两式相除，得=，即tan B=，因为A-B=，∴A=B+，∴tan A=tan（B+）===--3-2得答案．本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中边角问题是解决三角形问题的关键．16.答案：证明：（1）因为平面EFG∥平面BCD，平面ABD∩平面EFG=EG，平面ABD∩平面BCD=BD，所以EG∥BD，…（4分）又G为AD的中点，故E为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，所以EF=BC．…（7分）（2）因为AD=BD，由（1）知，E为AB的中点，所以AB⊥DE，又∠ABC=90°，即AB⊥BC，由（1）知，EF∥BC，所以AB⊥EF，又DE∩EF=E，DE，EF⊂平面EFD，所以AB⊥平面EFD，…（12分）又AB⊂平面ABC，故平面EFD⊥平面ABC．…（14分）解析：（1）利用平面与平面平行的性质，可得EG∥BD，利用G为AD的中点，可得E 为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，即可证明EF=BC；（2）证明AB⊥平面EFD，即可证明平面EFD⊥平面ABC．本题考查平面与平面平行的性质，考查平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.答案：解：（1）由题意，体积V=πr2h，得h=．y=2πrh×m+2πr2×n=2π（+nr2）．因为h≥4r，即≥4r，所以r≤3，即所求函数定义域为（0，3]．（2）令f（r）=+nr2，则f'（r）=-+2nr．由f'（r）=0，解得r=．①若．＜1，当n＞2m时，．∈（0，3]，由R（0，）．．（．，3]f'（r）-0+f（r）减增得，当r =．时，f（r）有最小值，此时易拉罐制造费用最低．②若．≥1，即n≤2m时，由f'（r）≤0知f（r）在（0，3]上单调递减，当r=3时，f（r）有最小值，此时易拉罐制造费用最低．解析：本题主要考查导数在实际应用题中的应用，利用导数求得单调区间求出满足题意的结果,属于中档题．（1）由题意，体积V=πr2h，可求得h，再由易拉罐的制造费用公式求得费用，根据函数得意义求得定义域．（2）利用导数求出函数的单调区间，继而求得函数在定义域内的最值．18.答案：解：（1）（i）由题意，b=1，=，又a2=b2+c2，所以2c2-5c+2=0，解得c=2，或c=（舍去）．故a2=5．所求椭圆的方程为+y2=1．（ii）设P（m，n），则+n2=1，即n2=1-．当m=-2，或n=0时，均不符合题意；当m≠-2，n≠0时，直线FP的斜率为，直线FP的方程为y=（x+2）．故直线AO的方程为y=-x，Q点的纵坐标y Q=，所以=||=||=||，令=，得4m2+21m+27=0 ①，或4m2+19m+23=0 ②，由4m2+21m+27=0，解得m=-3，m=-，又-≤m≤，所以方程①无解．由于△=192-4×4×23＜0，所以方程②无解，故不存在点P使=．（3）设M（x0，y0），A（-，t），则=（x0+c，y0），=（-，t）．因为OA⊥FM，所以•=0，即（x0+c）（-）+ty0=0，由题意y0≠0，所以t=•．所以A（-，•）．因为=（x0+，y0-•），=（x0，y0），所以•=（x0+）x0+（y0-•）y0=x02+y02+x0-•y0=x02+y02+x0-x0-a2=x02+y02-a2．因为M（x0，y0）在圆O上，所以•=0．即AM⊥OM，所以直线AM与圆O相切．同理可证直线AN与圆O相切．解析：（1）（i）将b=1代入椭圆的方程，根据椭圆的性质从而求出b，c；（ii）设P （m，n），表示出P点的坐标，根据FP、FQ的关系从而得到答案；（2）设出M（x0，y0），表示出A（-，t），求出，的坐标，由•=0，求出t，得到•的表达式，从而证出结论．本题考察了直线和椭圆的关系，考察椭圆的方程问题，考察向量的应用，本题是一道难题．19.答案：解：（1）f（x）=e x-x+1的导数为f′（x）=e x-1，可得f（x）在x=0处的切线斜率为0，切点为（0，2），可得切线方程为y=2；（2）f（x）的导数为f′（x）=e x-a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上递增，与题意不符；当a＞0时，由f′（x）=0，可得x=ln a，当x＞ln a时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜ln a时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得x=ln a处f（x）取得极小值a（2-ln a），函数f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2，可得a（2-ln a）＜0，即a＞e2，存在1＜ln a，f（1）=e＞0，存在a＞ln a，f（3ln a）=a3-3a lna+a＞a3-3a2+a＞0，又f（x）在（-∞，ln a），（ln a，+∞）的单调性和f（x）的图象在R上不间断，可得a＞e2为所求取值范围；（3）证明：e-ax1+a=0，e-ax2+a=0，两式相减可得a=，设s=（s＞0），则f′（）=e-=[2s-（e s-e-s）]，设g（s）=2s-（e s-e-s），g′（s）=2-（e s+e-s）＜0，可得g（s）在（0，+∞）递减，即有g（s）＜g（0）=0，而＞0，可得f′（）＜0，由f′（x）=e x-a为递增函数，＞，可得＜f′（）＜0，即原不等式成立．解析：（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；（2）求得f（x）的导数，讨论当a≤0时，当a＞0时，判断函数的单调性，求得极值，由题意可得极小值小于0，结合函数零点存在定理，可得所求范围；（3）求得a=，设s=（s＞0），求得f′（）=[2s-（e s-e-s）]，设g（s）=2s-（e s-e-s），求得g（s）的导数，判断单调性，结合基本不等式，可得证明．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查函数零点的判断和不等式的证明，考查转化思想和构造函数法，以及运算能力，属于难题．20.答案：解：（1）依题意，，故，所以a n=1+20（n-1）=20n-19，令，①则，②①-②得，==（29-20n）•3n-29，所以．（2）因为a k=b k，所以1+（k-1）d=q k-1，即，故，又，所以==，（ⅰ）当1＜n＜k时，由q＞1知，=＜0；（ⅱ）当n＞k时，由q＞1知，=（q-1）2q k-2（n-k）＞0，综上所述，当1＜n＜k时，a n＞b n；当n＞k时，a n＜b n；当n=1时，a n=b n．解析：（1）由q=3，b1=1可求得b5，从而得到a5，由a1=1及通项公式可求得a n，利用错位相减法即可求得数列{a n•b n}的前n项和；（2）由a k=b k，即1+（k-1）d=q k-1，得，，作差b n-a n变形，然后分1＜n＜k时，当n＞k时，n=1三种情况讨论讨论差的符号即可作出大小比较；本题考查等差数列、等比数列的综合、数列求和，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度较大．21.答案：解：∵A=（0＜θ＜2π），B=（0＜k＜1），∴由题意可得：BA==，∴=，解得：，∵0＜θ＜2π，0＜k＜1，∴解得：k=，θ=．解析：由题意及矩阵乘法的意义可得：BA==，由矩阵的相等及参数的范围即可求解．本题主要考查了矩阵乘法的意义，相等矩阵等知识的应用，属于基础题．22.答案：解：由题意，线段AB的中点坐标为（5，），设点P（ρ，θ）为直线l上任意一点，在直角三角形OMP中，ρcos（θ-）=5，所以，l的极坐标方程为ρcos（θ-）=5，（6分）令θ=0，得ρ=10，即C（10，0）．（8分）所以，△ABC的面积为：×（9-1）×10×sin=20．（10分）解析：求出线段AB的中点坐标，在直角三角形OMP中，ρcos（θ-）=5，可得l的极坐标方程，求出C点坐标，即可求出△ABC的面积．本题考查l的极坐标方程及△ABC的面积，考查学生的计算能力，比较基础．23.答案：证明：由|b|-|a|≤|a+b|≤2，可得|b|≤|a|+2，| a2+2 a- b2+2 b |=|（a+b）（a-b）+2（a+b）|=|a+b|•|a-b+2|≤2|a-b+2|，要证| a2+2 a- b2+2 b |≤4（| a|+2），即证|a-b+2|≤2（| a|+2），由于|a-b+2|≤|a|+|b|+2，即证|a|+|b|+2≤2（| a|+2），即为|b|≤| a|+2，显然成立．故原不等式成立．解析：运用绝对值不等式可得|b|-|a|≤|a+b|≤2，可得|b|≤|a|+2，将原不等式左边分解因式，结合分析法证明，即可得证．本题考查不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及分析法证明，考查推理能力，属于中档题．24.答案：解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；则：A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2）；=λ，可得C（λ，2，0）．（1）=（λ，2，-2），=（-1，2，0），向量与夹角的余弦值为．可得=，解得λ=10（舍去）或λ=2．实数λ的值为2．；（2）=（2，2，-2），=（0，2，-2），平面PCD的法向量=（x，y，z）．则且，即：x+y-z=0，y-z=0，∴x=0，不妨去y=z=1，平面PCD的法向量=（0，1，1）．又=（1，0，2）．故cos==．直线PB与平面PCD所成角的正弦值为：．解析：（1）根据已知条件即可建立坐标系：以A为坐标原点，分别以边AB，AD，AP 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后即可根据已知条件求出点P，A，B，C，D点的坐标，利用向量与夹角的余弦值为求出λ的值．（2）求出平面PCD的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解直线PB与平面PCD所成角的正弦值．考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角，直线和平面所成角的方法，能求空间点的坐标，向量坐标的数乘运算，向量夹角余弦的坐标公式，理解平面法向量的概念，弄清直线和平面所成角，与直线的方向向量和法向量所成角的关系．25.答案：解：（1）S1=a1=a1=1，S2=a1+a2=2a1+a2=3；（2）设α=，β=，则a n=，S n=====，∵∴S n+2==3S n+1-S n，∴=3∴对任意正整数n，为定值3．解析：（1）由题意，代入可得求S1、S2的值；（2）首先利用级数求出S n，找出S n+2与S n，S n+1的关系，即可得解．本题考查了数列求和，熟练掌握级数和组合公式是解本题的关键，属难题．。

海安中学2020届高三阶段测试三数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集{1U =，2，3，4，5}，若{1UA =，2，4}，则集合A = ．解：全集{1U =，2，3，4，5}， 若{1UA =，2，4}，则集合{3A =，5}． 故答案为：{3，5}．2．已知复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），则z 的模为 ． 解：复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），21()(1)22i i i z i i +-+∴=+=+-213i i =+-=-，||z ∴=，3．已知一组数据123,,,n a a a a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据12+1a ，22+1a ，32+1a ，2+1n a 的方差为_____.故答案为：24S4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．解：模拟执行伪代码，可得：111111111100(1)()()11223101122310111111S =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯．故答案为：1011． 5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ．解：从0、2中选一个数字0，则0不只能排在百位，从1、3、5中选两个数字之一排在百位，共有122312A A =种； 从0、2中选一个数字2，从1、3、5中选两个数字全排列，共有233318C A =种； 故共有121830+=种． 故答案为：30．6．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>线C 的渐近线方程为 ．解：因为22()1()10c b a a =+=，所以3ba =，所以渐近线方程为3y x =±．故答案为：3y x =±． 7．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象，则()4f π的值为 ．解：由将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象， 可得把函数4sin(2)3y x π=-的图象向左平移6π个单位后得函数()f x 的图象，故()4sin(2)4sin 233f x x x ππ=+-=，则()4sin 442f ππ==，故答案为：4．8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调减函数，且2(3)f x x f -+（2）0>，则实数x 的取值范围是 ．解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数()f x ，且在区间[0，)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0])-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，2(3)f x x f -+（2）20(3)f x x f >⇒->-（2）22(3)(2)32f x x f x x ⇒->-⇒-<-，解可得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)；故答案为：(1,2)．9．在锐角三角形ABC中，3sin5A=，1tan()3A B-=-，则3tan C的值为．解：锐角三角形ABC中，3sin5A=，1tan()3A B-=-，A B∴<，4cos5A==，sin3tancos4AAA==．3tan1tan tan4tan()331tan tan1tan4BA BA BA B B---=-==++，13tan9B∴=．则tan tan3tan3tan()3791tan tanA BC A BA B+=-+=-=-，故答案为：79．10．设nS为数列{}na的前n项和，若*3(1)()n nS na n n n N=--∈，且211a=，则20S的值为．解：由2122232(21)S a a a=+=-⨯-，211a=，可得15a=．解法1：当2n时，由1n n na S S-=-，得13(1)[(1)3(1)(2)]n n na na n n n a n n-=-------，1(1)(1)6(1)n nn a n a n-∴---=-，即*16(2,)n na a n n N--=∈，∴数列{}na是首项15a=，公差为6的等差数列，202019205612402S⨯∴=⨯+⨯=．解法2：当2n时，由13(1)()3(1)n n n nS na n n n S S n n-=--=---，可得1(1)3(1)n nn S nS n n---=-，∴131n nS Sn n--=-，∴数列{}nSn是首项151S=，公差为3的等差数列，∴2053196220S=+⨯=，201240S∴=．11.设正实数x，y满足x yxyx y+=-，则实数x的最小值为．解：由正实数x，y满足x yxyx y+=-，化为22(1)0xy x y x+-+=，∴22221212(1)401010x x x y y x y y ⎧=--⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎩，化为426101x x x ⎧-+⎨>⎩， 解得21x+．因此实数x1．1．12．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为 ．解：连接DE ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， ∴11A AED A FED V V --=，∴11113A AED E A AD A ADV V SAB --==111111119662A ADD ABCD A C D S AB V -===， ∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=．故答案为：9．13．已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，||2b =，则a c 的值为 ．解：可设ABa =，BCb =，CAc =，由题意可得1tan 2B =，1tan 3C =， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A =︒，又B ，C 为锐角，22sin cos 1B B +=，sin 1cos 2B B =，可得sin B =同理可得sin C =由正弦定理可得2sin1355==︒ 即有210||5c =，25||5a =， 则2102524||||cos455525a c c a =︒==．故答案为：45．14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ． 解：对于①()22x g x =-，当1x <时，()0g x <，又①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <()(2)(3)0f x m x mx m ∴=-++<在1x 时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左面 则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩40m ∴-<<即①成立的范围为40m -<<又②(,4)x ∈-∞-，()()0f x g x < ∴此时()220x g x =-<恒成立()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比1x ，2x 中的较小的根大即可，()i 当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立， ()ii 当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，()iii 当41m -<<-时，较小的根为2m ，24m <-即2m <-成立．综上可得①②成立时42m -<<-． 故答案为：(4,2)--．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积为，且()18AC AB CB -=，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+和向量(1,cos cos )n A B =是共线向量．（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c ． 解：（1）//m n ，(tan tan )cos cos sin 2A B A B C ∴+=，即sin cos cos sin sin2A B A B C +=，sin()sin 2A B C ∴+=，sin 2sin cos C C C ∴= sin 0C ≠，∴1cos 2C =， (0,)C π∈ ∴3C π=（2）由()18AC AB CB -=得：2()18AC AB BC AC +==，∴113sin 3293222b ab C a ====∴a =2222cos 54c a b ab C ∴=+-=，∴c =16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，且AB =1BC =，E ，F 分别为AB ，PC 中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面PDE ．证明：（1）方法一：取线段PD 的中点M ，连接FM ，AM ．因为F 为PC 的中点，所以//FM CD ，且12FM CD =．因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以//EA CD ，且12EA CD =．所以//FM EA ，且FM EA =． 所以四边形AEFM 为平行四边形． 所以//EF AM ．又AM ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． 方法二：连接CE 并延长交DA 的延长线于N ，连接PN ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以//AD BC ， 所以BCE ANE ∠=∠，CBE NAE ∠=∠．又AE EB =，所以CEB NEA ∆≅∆．所以CE NE =． 又F 为PC 的中点，所以//EF NP ．⋯（5分）又NP ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． 方法三：取CD 的中点Q ，连接FQ ，EQ ．在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE DQ =，且//AE DQ ． 所以四边形AEQD 为平行四边形，所以//EQ AD ．又AD ⊂平面PAD ，EQ ⊂/平面PAD ，所以//EQ 平面PAD ． 因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以//FQ PD ． 又PD ⊂平面PAD ，FQ ⊂/平面PAD ，所以//FQ 平面PAD ． 又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQEQ Q =，所以平面//EQF 平面PAD ．因为EF ⊂平面EQF ，所以//EF 平面PAD ． （2）设AC ，DE 相交于G ．在矩形ABCD 中，因为AB ，E 为AB 的中点．所以DA CDAE DA= 又DAE CDA ∠=∠，所以DAE CDA ∆∆∽，所以ADE DCA ∠=∠． 又90ADE CDE ADC ∠+∠=∠=︒，所以90DCA CDE ∠+∠=︒． 由DGC ∆的内角和为180︒，得90DGC ∠=︒．即DE AC ⊥． 因为平面PAC ⊥平面ABCD因为DE ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥平面PAC ， 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本小题满分14分）如图，OM ，ON 是两条海岸线，Q 为海中一个小岛，A 为海岸线OM 上的一个码头．已知tan 3MON ∠=-，6OA km =，Q 到海岸线OM ，ON 的距离分别为3km ．现要在海岸线ON 上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB 经过小岛Q ． （1）求水上旅游线AB 的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6km 处的海中有一个圆形强水波P ，从水波生成th 时的半径为r a =为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以/h 的速度自码头A 开往码头B ，问实数a 在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示． 则由题设得：(6,0)A ，直线ON 的方程为3y x =-，0(Q x ，03)(0)x >．=00x > 得03x =，(3,3)Q ∴． ∴直线AQ 的方程为(6)y x =--，即60x y +-=，由360y xx y =-⎧⎨+-=⎩ 得39x y =-⎧⎨=⎩ 即(3,9)B -，∴AB ==即水上旅游线AB 的长为． （2）设试验产生的强水波圆P ，由题意可得(3,9)P ，生成t 小时时，游轮在线段AB 上的点C 处，则AC =，102t，(618,18)C t t ∴-． 强水波不会波及游轮的航行即2210,2PC r t ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦对恒成立．2222(183)(189)9PC t t r at =-+->=，当0t = 时，上式恒成立，当10,0,2t t ⎛⎤≠∈ ⎥⎝⎦时即时，()101017248.7248,0,2a t g t t t t t ⎛⎤<+-=+-∈ ⎥⎝⎦令，10()724824548g t t t=+--，当且仅当1(0,]2t 时等号成立，所以，在048a << 时r PC < 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，其左、右焦点分别为1F 、2F，离心率为2． （1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．()i 求证：OP OM 为定值；()ii 设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由． 解：（1）由题意可得2213122a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c -=，解得2a =，b =，即有椭圆方程为22142x y +=； （2）()i 证明：由(2,0)A -，(2,0)B ，MB AB ⊥， 设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ， 可得00:42y y MA y x =+， 代入椭圆方程可得，2222000(1)40822y y y x x +++-=，由201204(8)28y x y --=+，可得201202(8)8y x y -=-+，00011208428y y yy x y ==+=+，则200022004(8)8488y y OP OM y y y -=-+=++为定值； ()ii 直线MQ 过定点(0,0)O ．理由如下：由题意可得2001222100088282(8)2(8)PBy y y k x y y y +==-+---+02y =-， 由PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ， 可得MQ PB ⊥，即有02MQ y k =． 则直线0:0(2)2y MQ y y x -=-， 即02y y x =， 故直线MQ 过定点(0,0)O ． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0)k >，*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈．数列{}n b 满足：*21()n n n n a a b n N a +++=∈． （1）求1b ，2b ，3b ，4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由．解：（1）由已知可知：41a k =+，52a k =+，624a k k=++． 把数列{}n a 的项代入21n n n n a a b a +++=，求得132b b ==，2421k b b k+==；（2）由*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈，可知：121n n n n a a k a a +--=+．⋯① 则：211n n n n a a k a a +-+=+．⋯② ①-②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -= ∴132123122n n a a b b b a --+==⋯===，242222321n n a a k b b b a k-++==⋯===． ∴41(1)22nn k b k k+-=+；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数， 则由（2）可知：2122122212221n n n n n n a a a k a a a k +-++=-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，⋯③ 由1a k Z =∈，624a k Z k =++∈，可知1k =，2．当1k =时，213k k+=为整数，利用1a ，2a ，3a Z ∈，结合③式，可知{}n a 的每一项均为整数；当2k =时，③变为2122122212252n n n n n n a a a a a a +-++=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，⋯④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数．1n =时，结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立． 故数列{}n a 是整数列．综上所述，k 为1，2时，数列{}n a 是整数列． 20．（本小题满分16分）设函数()()f x x a lnx x a =--+，a R ∈． （1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间2(e -，2)e 内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-． 解：（1）当0a =时，()f x xlnx x =-，()f x lnx '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析故()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞． （2）()()f x x a lnx x a =--+，()af x lnx x'=-，其中0x >，令()g x xlnx a =-，分析()g x 的零点情况．()1g x lnx '=+，令()0g x '=，1x e=，列表分析11()()min g x g a e e==--，而11()1f ln ae ae e e '=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+，221()2(2)22a f e e a e e '=-=-，①若1a e -，则()0a f x lnx x '=-，故()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；②若122a e e -<<-，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+>，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有两个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点； ③若202a e -<，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有一个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点；综上所述，当(a ∈-∞，1]e -时，()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；当1(a e ∈-，2)2e -时，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点；当2[2a e ∈-，0)时，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点． （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立． 证明如下：由（2）得()g x 在1(e ，)+∞上单调递增，且g （1）0a =-<，(1)(1)(1)g a a ln a a +=++-．因为当1x >时，11(*)lnx x >-，所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+．故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x ． 由知，(1,1)x a ∈+，(){f x max f <（1），(1)}f a +． 又(1)(1)1f a ln a +=+-，而1x >时，1(**)lnx x <-， 所以(1)(1)111f a a a f +<+--=-=（1）． 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-．所以对任意的正数a ，都存在实数1t =，使对任意的(,)x t t a ∈+，使()1f x a <-． 补充证明(*): 令1()1F x lnx x =+-，1x ．111()022x F x x x x -'=-=， 所以()F x 在[1，)+∞上单调递增．所以1x >时，()F x F >（1）0=，即11lnx x>-． 补充证明(**)令()1G x lnx x =-+，1x ．1()10G x x'=-， 所以()G x 在[1，)+∞上单调递减．所以1x >时，()G x G <（1）0=，即1lnx x <-．海安中学2020届高三阶段测试三数学附加题21．[选做题，本题包括三小题，请选定其中两题，并在相应区域作答] A.已知二阶矩阵[]a b A c d =，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为11[]1a =-，属于特征值24λ=的一个特征向量为13[]2a =．求矩阵A ．解：由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=， 即1111111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=-⎧⎨-=⎩ 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩ 解得2a =，3b =，2c =，1d =．因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． B ．在极坐标系中，已知(A 1，3π )，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积． 解：由题意，线段AB 的中点坐标为(5,)3π，设点(,)P ρθ为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，cos()53πρθ-=，所以，l 的极坐标方程为cos()53πρθ-=，令0θ=，得10ρ=，即(10,0)C ．（8分）所以，ABC ∆的面积为：1(91)10sin 23π⨯-⨯⨯=．22．已知实数a ，b 满足||2a b +，求证：22|22|4(||2)a a b b a +-++． 证明：由||||||2b a a b -+，可得||||2b a +，22|22||()()2()|a a b b a b a b a b +-+=+-++|||2|2|2|a b a b a b =+-+-+，要证22|22|4(||2)a a b b a +-++，即证|2|2(||2)a b a -++， 由于|2|||||2a b a b -+++，即证||||22(||2)a b a +++， 即为||||2b a +，显然成立．故原不等式成立．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若DC AB λ=，且向量PC 与BD ． （1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系； 则：(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0D ，2，0)，(0P ，0，2)；DC AB λ=， 可得(C λ，2，0)．（1）(PC λ=，2，2)-，(1BD =-，2，0)，向量PC 与BD ．4814+=+，解得10λ=（舍去）或2λ=．实数λ的值为2．；（2）(2PC =，2，2)-，(0PD =，2，2)-，平面PCD 的法向量(n x =，y ，)z ． 则0n PC =且0n PD =，即：0x y z +-=，0y z -=，0x ∴=，不妨去1y z ==， 平面PCD 的法向量(0n =，1，1)．又(1PB =，0，2)．故cos ,||||n PB n PB n PB <>==-．直线PB 与平面PCD ．24．已知数列{}n a 的通项公式为]n nn a -，*n N ∈．记1212nn n n n n S C a C a C a =++⋯+．（1）求1S ，2S 的值；（2）求所有正整数n ，使得n S 能被8整除．解：（1）1212nn nn n n S C a C a C a =++⋯+ 122151515()())222nn nn n C C C +++=++⋯+- 122151515(()())]222nn nn n C C C ---++⋯+(1]n n=+-+]n n =-， 即有151S ==；2353S ==；（2）]n nn S =-，222]]n n n n n S +++=-=-1]3n nn n S S +--=-， 即213n n n S S S ++=-，*n N ∈，因此2n S +除以8的余数，完全由1n S +，n S 除以8的余数确定， 因为11a =，21a =，所以11111S C a ==，12221223S C a C a =+=，3213918S S S =-=-=， 432324321S S S =-=-=，543363855S S S =-=-=， 654316521144S S S =-=-=，765343255377S S S =-=-=， 87631131144987S S S =-=-=，987329613772584S S S =-=-=，由以上计算及213n n n S S S ++=-可知，数列{}n S 各项除以8的余数依次是： 1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，⋯，它是一个以6为周期的数列，从而n S 除以8的余数等价于n 除以3的余数， 所以3n k =，*k N ∈，即所求集合为：{|3n n k =，*}k N ∈．。

2020届高三阶段性检测试题数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上.3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚. 参考公式：锥体的体积公式 13V Sh =锥体，其中S 为锥体的底面积，h 为高.球的体积公式343V R =π球，球的表面积公式24S R π=球，其中R 为球的半径. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合{}1,0,3A =-，{1,2,3}B =，则A B =_________.【答案】{3} 【解析】由交集的定义{3}A B ⋂=，应填答案{3}．2.已知复数z 满足()12i z i -=+,则复数z 的模为_______.【答案】102【解析】 【分析】由已知得21i z i+=-,将其整理成1322z i =+,即可求出模.【详解】解:由题意知, ()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+所以223211022z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:102. 【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的模.本题的易错点在于化简时,错把2i 当成了1来计算.3.某人5次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9.则这组数据的平均数为_______. 【答案】10 【解析】 【分析】代入求解平均数的公式计算即可. 【详解】解:平均数()112810119105=⨯++++=. 故答案为:10.【点睛】本题考查了平均数的计算.易错点为计算出错. 4.如图，是一个算法的流程图，则输出的b 的值为_______.【答案】4【解析】 【分析】根据流程框图进行循环计算,跳出循环时b 的值即为所求.【详解】解:第一次循环:2,2b a ==;第二次循环:4,3b a ==.此时3a < 不成立 故答案为:4.【点睛】本题考查了程序框图.对于循环结构是常考的题型,一般做法为根据框图,计算每次循环的结果,注意,临界即跳出循环时的计算结果.通常循环框图常和数列求和综合到一块.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221x y -=的右焦点与抛物线()220y px p =>的焦点重合，则p 的值为_______.【答案】【解析】 【分析】求出双曲线的右焦点),令2p=即可求出p 的值.【详解】解:双曲线2112c =+=,即右焦点为).即抛物线()220y px p =>的焦点为)所以2p=,解得p =.故答案为: 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,考查了抛物线的方程.易错点是误把p 当做了抛物线焦点的横坐标.6.已知一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为____． 【答案】0.4 【解析】 【分析】从中一次随机摸2只球，写出基本事件总数n 和这2只球颜色相同包含的基本事件数m ，由古典概型概率公式计算即可．【详解】一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球．从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n ＝25C ＝10，这2只球颜色相同包含的基本事件个数m ＝2232C C +＝4，∴这2只球颜色相同的概率为p ＝410m n ==0.4． 故答案为0.4．【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力，是基础题．7.现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4.若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为_______. 【答案】4π 【解析】 【分析】求出圆锥的体积,则由题意,设球的半径为r ,可得34433r π=π,求出球的半径,进而可求球的表面积.【详解】解:由题意知,圆锥的体积为2141433ππ⨯⨯⨯=.设球的半径为r 则34433r π=π,解得1r =.所以表面积244r ππ=.故答案为:4π.【点睛】本题考查了圆锥的体积,考查了球的体积,考查了球的表面积.结合方程的思想,根据题意求出球的半径.对于球的问题,一般都要首先明确半径的大小.8.已知等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,11a =,639S S =,则3a 的值为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】由639S S =可得()33319S q S +=,进而可求出公比的值,即可求3a 的值.【详解】解:()3333612345612312331S a a a a a a a a a a q a q a q S q =+++++=+++++=+639S S = ()33319S q S ∴+= 解得,2q.所以2314a a q ==.故答案为:4.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前n 项和.等比数列问题,一般可采用基本量法进行求解,但是这种方法计算量比较大.因此,对于等比数列的问题,一般首先考虑利用性质简化计算.9.已知1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，1232a e e =+，122b e ke =-()k R ∈，且a ⋅()8ab -=则k 的值为_______.【答案】67- 【解析】 【分析】由题意知()()()121212323228a a b e e e e e ke ⋅-=+⋅+-+=,进而可求k 的值.【详解】解:()()()()()121212121232322322a a b e e e e e ke e e e k e ⋅-=+⋅+-+=+⋅++⎡⎤⎣⎦()()()()221122733822+338cos60221182e k e e k e k k k =++⋅+=++++=+=. 解得67k =-. 故答案为:67-. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积.对于向量的数量积问题,若题目中无向量的坐标,则在求数量积时,一般套用定义求解;若题目中已知了向量的坐标,求数量积时一般代入数量积的坐标公式.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:280C x y x ++-=,直线():1,l y k x k R =-∈过定点A ，与圆C 交于点,B D ,过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ,则AEC ∆的周长为_______. 【答案】5 【解析】 【分析】由题意得1,0A ,圆心为()1,0C -,半径为3r =,由平行可知EA EDCB CD=,化简后可得EA CE r +=,进而可求三角形的周长.【详解】解:当1x = 时,0y = 与k 无关,则1,0A .圆()2222:2819C x y x x y ++-=++=所以,圆的圆心为()1,0C -,半径为3r =.则由题意知,ED r CE =-EA 与CB 平行 EA ED CB CD ∴= 即 EA r CEr r-= EA CE r ∴+= 则AEC ∆的周长235AC AE CE AC r =++=+=+=. 故答案为:5.【点睛】本题考查了直线过定点的问题,考查了圆的标准方程.本题的关键在于,由平行得比例关系.若联立直线与圆的方程,求解各点的坐标,这种思路也可以求出最后答案,但计算量太大.11.如图，已知两座建筑物,AB CD 的高度分别为15m 和9m ，且AB BC CD >>，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角为CAD ∠，测得6tan 13CAD ∠=，则,B C 间的距离_______m .【答案】12 【解析】 【分析】由()tan tan 6BC BAD DAC BAC ∠==∠+∠,可得613156611315BC BC BC +=-⨯,进而可求,B C 间的距离.【详解】解:由题意知()tan tan 6BC BCBAD DAC BAC AB CD ∠===∠+∠-6tan tan 1315661tan tan 11315BCBC DAC BACBCDAC BAC +∠+∠==-∠⨯∠-⨯,整理得22391800BC BC -+= ,解得12BC =或152BC =.9BC CD >=，12BC ∴=故答案为:12.【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用.难点在于已知正切值的使用.有的同学可能由正切值求出正弦和余弦,结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解.由于本题所给的正切值求出的正弦余弦值数比较大,因此这种思路计算量较大,效率不高而且容易做错. 12.设曲线()0+1my m x =>在,1x t t =≠-处的切线为l ，则点()2,1P t -到l 的最大距离为_______.【解析】 【分析】求出切线方程为()2120mx t y mt m ++--=,从而则()2,1P t - 到l 的距离可用t 表示出来,结合基本不等式即可求解. 【详解】解:()2'1my x =-+ ()21l mk t ∴=-+ 则切线方程为()()211m m y x t t t -=--++ 整理得()2120mx t y mt m ++--=.则()2,1P t - 到l 的距离()()()()()242224222212121111t m m t m d m m t t t ++++===++++++ ()()222121m t m t ++≥+,当且仅当()()22211m t t +=+即1t =± 时等号成立2112d ∴≤+=即d ≤故答案为.【点睛】本题考查了切线的求解,考查了点到直线的距离,考查了基本不等式.求最值常见的思路有导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.本题的难点是对距离进行变形整理. 13.已知函数3cos()2y x ππ=+，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是_______. 【答案】31326t <≤或52t > 【解析】 【分析】由诱导公式可知3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,令m x π=,结合函数图像,讨论最大值为12和1两种情况,进而求出t 的取值范围. 【详解】解:3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ 令m x π=.则由55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭可得5,6m t ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭则5sin ,,6y m m t ππ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭.要使其既有最小值又有最大值 若最大值为12 则31326t πππ<≤,解得31326t <≤若最大值为1,则52t ππ>,解得52t >.综上所述: 31326t <≤或52t >. 故答案为:31326t <≤或52t >. 【点睛】本题考查了诱导公式,考查了三角函数最值问题.本题的易错点是漏解,只考虑了最大值为1的情况.本题的难点是分界点能否取得的判断.14.已知函数1()1f x x =-，11()(())k k f x f f x +=，5k ≤，k *∈N .若函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点，则k 的取值集合为_______. 【答案】{3,5} 【解析】 【分析】由题意写出12345(),(),(),(),()f x f x f x f x f x 的解析式,根据图像的平移变换,分别画出它们的图像,判断哪个函数图像与ln y x = 图像有三个交点,即为所求.【详解】解:由题意知1()1f x x =-,2()11f x x =--,3()111f x x =---,4()1111f x x =----,5()11111f x x =-----.则其函数图像为由图像可知,当3k =或5时, 函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点. 故答案为: {3,5}.【点睛】本题考查了函数的图像变换,考查了函数的零点.若函数()()()f x g x h x =-,则函数()f x 的零点个数就等同于函数(),()g x h x 图像的交点个数.本题的难点是画含绝对值的函数图像.对于()y f x =,首先画出()y f x = 的图像,然后将x 轴下方的图像向上翻折即可;对于()y f x = 的图像,首先画出()y f x = 的图像,然后将y 轴右侧向左翻折. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 15.在平面直角坐标系xOy 中，设向量()()[]3sin ,sin ,cos ,sin ,0,a x x b x x x π==∈.（1）若a b =，求x 的值；（2）求a b ⋅的最大值及取得最大值时x 的值. 【答案】(1)6π或56π;(2)最大值32,3x π=. 【解析】 【分析】(1)求出||,||a b ,由||||a b =可得1|sin |2x =,结合[0,]x π∈可求出所求. (2) 1sin 262a b x π⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭,结合[0,]x π∈和正弦函数的图像,即可分析出最值及取得最大值时x 的值.【详解】解:(1)因为(3sin ,sin ),(cos ,sin )a x x b x x == 所以2222||3sin sin 2|sin |,||cos sin 1a x x x b x x =+==+=因为||||a b =,所以1|sin |2x =.因为[0,]x π∈,所以1sin 2x =于是6x π=或56π. (2)23sin cos sin a b x x x ⋅=+311sin 2cos 222x x =-+1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为[0,]x π∈,所以112,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,于是113sin 22622x π⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭. 所以当226x ππ-=,即3x π=时,a b ⋅取最大值32. 【点睛】本题考查了向量的模,考查了向量的数量积,考查了三角恒等变换,考查了三角函数的最值.对于()sin y A ωx φ=+ 型的函数,在求最值、对称轴、对称中心、单调区间时,一般都是采取整体的思想进行计算.16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1A A 的中点.求证：（1）AC//平面1EDB ； （2）平面1EDB ⊥平面1B BD .【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)取1B D 的中点F ,连,OF EF ,通过证明//AC EF 从而证明线面平行.(2)通过AC BD ⊥,1B B AC ⊥推出1EF BB ⊥,EF BD ⊥,从而证明EF ⊥平面1B BD ,进而可证面面垂直.【详解】证明:(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,设AC 与BD 相交于点O ,则O 为BD 的中点取1B D 的中点F ,连,OF EF .所以1OF//BB ,112OF BB =.在正方体1111ABCD A B C D -中,1111,//AA BB AA BB =.又点E 是1A A 的中点 所以,//AE OF AE OF =.于是四边形AEFO 是平行四边形,从而//AC EF . 又因为AC ⊄平面1EDB ,EF ⊂平面1EDB ,所以//AC 平面1EDB .(2)在正方体1111ABCD A B C D -中,1B B ⊥平面ABCD ,而AC ⊂平面ABCD , 所以1B B AC ⊥.又在正方体1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 正方形所以AC BD ⊥.由(1)知,//EF AC ,于是1EF BB ⊥,EF BD ⊥.又1B B ⊂平面1B BD ,BD ⊂平面1B BD ,1B B BD B ⋂=,所以EF ⊥平面1B BD . 又因为EF ⊂平面1EDB ,所以平面1EDB ⊥平面1B BD .【点睛】本题考查了线面平行的判定,考查了面面垂直的判定.线面平行或者面面平行的判定,一般都归结为证明线线平行;线面垂直或者面面垂直的判定,一般都归结为证明线线垂直.此类问题如果采用逻辑推理的方法无法证明,有时也可以建立空间直角坐标系,运用空间向量证明平行和垂直.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 两点分别为椭圆22221,0x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点，且7AB =，右准线l 的方程为4x =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A 的直线交椭圆于另一点P ，交l 于点Q .若以PQ 为直径的圆经过原点，求直线PQ的方程.【答案】(1)22143x y +=0y --=0y +-=.【解析】 【分析】(1)由右准线l 的方程为4x =以及AB =可列出方程组22224a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨=⎩解得即可求出椭圆的方程.(2) 设PQ 的方程为(2)y k x =-,与椭圆方程联立,求出2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭;联立(2)4y k x x =-⎧⎨=⎩可得(4,2)Q k ,由OP OQ ⊥可知0OP OQ ⋅=,从而可求出k =进而可求直线的方程.【详解】解:(1)设椭圆的焦距为2(0)c c >.由题意得22224a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨=⎩,解得224,3a b ==.所以椭圆的标准方程为:22143x y +=.(2)由题意得直线PQ 不垂直于x 轴,设PQ 的方程为(2)y k x =-联立22(2),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消y 得()2222431616120k x k x k +-+-=.又直线PQ 过点(2,0)A ,则方程必有一根为2,则228643P k x k -=+. 代入直线(2)y k x =-,得点2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.联立(2)4y k x x =-⎧⎨=⎩,所以(4,2)Q k .又以PQ 为直径的圆过原点,所以OPOQ ⊥.则222228612824420434343k k k OP OQ k k k k ---⋅=⋅+⋅==+++,解得23k =,所以3k =±. 所以直线PQ 的方程为3230x y --=或3230x y +-=.【点睛】本题考查了椭圆的准线方程,考查了椭圆的性质,考查了直线与椭圆相交问题,考查了向量的数量积.本题第二问的难点在于圆过原点这一条件得运用.一般若题目中已知圆过某点,则一般等量关系为:圆心到该点的距离为半径或者圆上两点与已知点的连线垂直.18.下图是一块平行四边形园地ABCD ，经测量，20,10,AB m BC m ==120ABC ∠=.拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计直路的宽度），将该园地分为面积之比为3:1的左，右两部分分别种植不同花卉.设,EB x EF y ==（单位：m ）.（1）当点F 与点C 重合时，试确定点E 的位置； （2）求y 关于x 的函数关系式；（3）试确定点,E F 的位置，使直路EF 的长度最短.【答案】(1)E 是AB 的中点;(2)2222525010100001001020x x x y x x x ⎧-+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩;(3) 当2.5EB m =,7.5FC m =时,EF 最短,其长度为53.【解析】 【分析】 (1)由14BEC ABCD S S ∆=可知1124EB h AB h ⋅=⋅,从而证明E 是AB 的中点. (2)求出平行四边形的面积为1003ABCDS=,进而可求253EBF S ∆=从而用x 可将BF表示出来,利用余弦定理即可得到y 关于x 的函数关系式.(3)当 010x ≤<,由二次函数的性质可求最值;当1020x ≤≤时,由基本不等式可求最值. 【详解】解:(1)当点F 与点C 重合时,由题设知,14BEC ABCDS S ∆=.于是1124EB h AB h ⋅=⋅,其中h 为平行四边形AB 边上的高. 得12EB AB =,即点E 是AB 的中点.(2)因为点E 在线段AB 上,所以020x ≤≤.当1020x ≤≤时,由(1)知 点F 在线段BC 上.因为20,10,120AB m BC m ABC ︒==∠=所以sin 20102ABCDSAB BC ABC =⋅⋅∠=⨯⨯=.由1sin1202EBF S x BF ︒∆=⋅⋅=,100BF x=.所以EBF ∆中,由余弦定理得y EF ===当010x ≤<时,点F 在线段CD 上,由1()10sin 602EBCF S x CF ︒=+⨯⨯=四边形得10CF x =-.当BE CF ≥时,EF =当BE CF <时,EF =化简均为y EF ==综上,0101020x y x ⎧≤<=≤≤. (3)当010x ≤<时,y ==于是当52x =时,min y =,此时15102CF x =-=. 当1020x ≤≤时,y =≥=当且仅当22100=00x x ，即10x =时，取等号 综上： 当E 距点 2.5B m ，F 距点7.5C m 时，EF最短，其长度为.【点睛】本题考查了函数模型的应用,考查了余弦定理,考查了基本不等式.本题的易错点是没有讨论自变量的取值,从而造成了漏解.求最值时,常用的方法有:导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.19.已知函数()y f x =的定义域为D ，若满足,()()x D x f x f x ∀∈⋅≥，则称函数()f x 为“L 型函数”.（1）判断函数xy e =和ln y x =是否为“L 型函数”，并说明理由；（2）设函数()(1)ln (1)ln ,0f x x x x a a =+-->，记()g x 为函数()f x 的导函数. ①若函数()g x 的最小值为1，求a 的值； ②若函数()f x 为“L 型函数”，求a 的取值范围.【答案】(1)xy e =不是,ln y x =是,理由见解析;(2)①a e =;②20a e <≤.【解析】 【分析】(1)分别求出两个函数的定义域,判断,()()x D x f x f x ∀∈⋅≥即可. (2) ①求出1()()ln 1ln ,(0,)g x f x x a x x'==++-∈+∞,再求()g x ',通过导数探究当x 取何值时,()g x 取最小值,令最小值为1,即可求出a 的值.②由题意(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ∀∈+∞-=-+--≥恒成立,分别讨论当20a e <≤和2a e >时,通过探究()f x 的单调性判断是否使得不等式恒成立,从而求出a 的取值范围.【详解】解:(1)对于函数xy e =,定义域为R ,显然000e e ⋅≥不成立,所以xy e =不是“L 型函数”;对于函数ln y x =,定义域为(0,)+∞.当01x <<时,ln 0x <,所以(1)ln 0x x ->,即ln ln x x x >; 当1x ≥时,ln 0x ≥,所以(1)ln 0x x -≥,即ln ln x x x ≥.所以(0,)x ∀∈+∞,都有ln ln x x x ≥.所以函数ln y x =是“L 型函数”. (2)①因为11()()ln ln ln 1ln ,(0,)x g x f x x a x a x x x+'==+-=++-∈+∞ 所以22111()x g x x x x-'=-=.当(0,1)x ∈时,()0g x '<,所以()g x 在(0,1)上为减函数;当(1,)x ∈+∞时,()0g x '>,所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. 所以min ()(1)2ln g x g a ==-.所以2ln 1a -=,故a e =. ②因为函数()(1)ln (1)ln f x x x x a =+--为“L 型函数”,所以(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ∀∈+∞-=-+--≥(*). (ⅰ)当2ln 0a -≥,即20a e <≤时,由①得()0g x ≥,即()0f x '≥. 所以()f x 在(0,)+∞上增函数,又(1)0f =,当(0,1)x ∈时,()0f x <所以(1)()0x f x ->;当[1,)x ∈+∞时,()0f x ≥,所以(1)()0x f x -≥. 所以(0,)x ∀∈+∞,适合(*)式.(ⅱ)当2ln 0a -<,即2a e >时,(1)0g <,1()10g a a=+>. 所以由零点存在性定理得0(1,)x a ∃∈,使()00g x =,又()g x 在(1,)+∞上为增函数 所以当()01,x x ∈时,()0<g x ,所以()f x 在()01,x 上为减函数又(1)0f =,所以当()01,x x ∈时,()0f x <,所以(1)()0x f x -<,不适合(*)式. 综上得,实数a 的取值范围为20a e <≤.【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了函数的最值,考查了不等式恒成立问题.本题的难点在于最后一问,学生往往想不起来通过函数的单调性等来判断函数在某一区间的正负问题. 20.已知数列{}n a 的首项为1，各项均为正数，其前n 项和为n S ，112n nn n na a S a a ++=-,n *∈N .（1）求2a ,3a 的值;（2）求证：数列{}n a 为等差数列；（3）设数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=，求证：111ni ib =≥∑. 【答案】(1)22a =,33a =;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)令1,2n n == 即可求出2a ,3a 的值; (2)由112n n n n na a S a a ++=-得1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥-两式相减进行整理可得11(2)n n n n a a a a n +--=-≥,即可证明{}n a 为等差数列.(3)由(2)可知1n n b b n +=,11(2)n n b b n n -=-≥两式相减整理得111(2)n n nb b n b +-=-≥,则当2n ≥时,12111231111111nn n i i n b b b b b b b b b b +==++++=--++∑,通过放缩即可证明; 当1n =时,111b ≥.从而可证.【详解】解:(1)令1n =得,211212a a S a a =-,又11a =,解得22a =;令2n =得,122322a a S a a =-,即()1123222a a a a +=-,从而33a =. (2)因为112n n n n na a S a a ++=- ①;所以1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥- ② ①-②得,11112n n n n n n n n n a a a aa a a a a +-+-=---.因为数列{}n a 的各项均为正数,所以0n a >.从而11112n n n n n n a a a a a a +-+-=---.去分母得,()()()()1111112n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +----+--=---化简并整理得,21120n n n n n a a a a a +--+=,即112(2)n n n a a a n --=+≥,所以11(2)n n n n a a a a n +--=-≥.所以数列{}n a 为等差数列.(3)由(2)知,1n n b b n += ③.当1n =时,211b b =,又11b =,所以21b =. 由③知,11(2)n n b b n n -=-≥ ④.③-④得,111(2)n n n n b b b b n +--=≥ 即()111(2)n n n b b b n +--=≥,依题意,0n b ≠,所以111(2)n n nb b n b +-=-≥.当2n ≥时,112311111ni inb b b b b ==++++∑ 31425321111n n n n b b b b b b b b b b b -+-=+-+-+-++-+-12111n n b b b b b +=--++ 121n n b b +≥-21n a =-,当1n =时,111b ≥,原不等式也成立.综上得,1121nn i ia b =≥-∑. 【点睛】本题考查了由递推公式求项,考查了等差数列的定义,考查了放缩法,考查了数列求和.本题难点在于整理出111(2)n n nb b n b +-=-≥,从而对所证式子进行化简.涉及到n S 和n a 的递推公式时,一般代入公式11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 进行求解.Ⅱ（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题（第21～23题）.本卷满分为40分，考试时间为30分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔正确填涂考试号.3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚.21.已知a ，b R ∈，若M =13a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x-y=3变换成自身，试求实数a ，b ． 【答案】【解析】 【详解】设则即此直线即为则..22.在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最大距离. 【答案】5 【解析】 【分析】将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，转化为求圆上的点到直线l 距离的最大值，求出圆心到直线l 距离，即可求出结论.【详解】曲线C ：2ρ=化直角坐标方程为224x y +=表示圆，13sin 3,sin cos 332πρθρθθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 360x y -+=，圆C 上点P 到直线l 2225(3)1+=+.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值，考查数形结合思想，属于基础题.23.设a,b,c 为正实数，6a b c ++=1233a b c ++. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据柯西不等式()()()2222222112233123123x y x y x y x x x y y y ++≤++++，将原式进行配凑并结合已知条件6a b c ++=加以计算，即可得证；【详解】证明：因为a,b,c 为正实数，6a b c ++=，所以)22111=+ ()()1211127a b c ≤++++++=33，当且仅当==，即3a =，2b =，1c =时取等号，33，得证；【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为(01)p p <<.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是2125. (1)求p 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望()E X .【答案】（1）35；（2）分布列见解析，期望为213125． 【解析】分析：(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”, 所以, ()()1P A P A =- ()2211125p =--=(2) X 的所有可能值为0,1,2,3,计算其对应概率即可.详解：(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”, 依题意, ()()1P A P A =- ()2211125p =--=， 解得35p =. (2)依题意, X 的所有可能值为0,1,2,3,且()()240125P X p ==-=, ()()211P X p p ==- ()()2411125p p p +--=， ()3273125P X p ===， 故()()210P X P X ==-= ()()5413125P X P X -=-==. X 的概率分布列为:数学期望()242125E X =+⨯ 54272133125125125+⨯=. 点睛：利用对立事件计算概率是概率问题中长用的方法，所以出现“至多”“至少”等其他关键字眼时要注意利用对立事件的思路解题，往往能够简化计算.25.设4124k k S a a a =+++（*N k ∈），其中{}0,1i a ∈（1,2,,4i k =）．当4k S 除以4的余数是b （0,1,2,3b =）时，数列124,,,k a a a 的个数记为()m b ． （1）当2k =时，求()1m 的值；（2）求()3m 关于k 的表达式，并化简．【答案】（1）64；（2）()2134k m -=【解析】分析】 （1）（1）根据定义，确定条件：8个数的和除以4的余数是1，因此有1个1或5个1，其余为0，从而158864m C C =+=；（2）个数的和除以4的余数是3，因此有3个1，或7个1，或11个1，…，或()41k -个1 ，其余为0，()37114144443k k k k k m C C C C -=++++，再根据组合数性质即可化简求值. 【详解】（1）当2k =时，数列123,,,,n a a a a 中有1个1或5个1，其余为0，所以158864m C C =+=． （2）依题意，数列124,,,k a a a 中有3个1，或7个1，或11个1，…，或()41k -个1 ，其余为0，所以()37114144443k k k k k m C C C C -=++++．同理，得()1594344441k k k k km C C C C -=++++． 因为()4443,7,11,,41i k i k k C C i k -==-，所以()()13m m =．又()()13943414144444132k k k k k k k km m C C C C C ---+=+++++=， 所以()4221324k k m --==【点睛】本题考查组合数的性质，组合数的运算，属中档题.。

2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期模拟考试数学试题一、填空题1．已知全集2,1,0,1,{}2U ＝﹣﹣，集合2,,}1,{1A ＝﹣﹣则UA ＝_____．【答案】{}0,2【解析】根据补集的定义求解即可. 【详解】解：2,1,0,1,2{}{,2,1,1,}U A ＝﹣﹣＝﹣﹣ {}0,2U A ∴＝．故答案为{}0,2． 【点睛】本题主要考查了补集的运算,属于基础题.2．已知复数()()1z i a i =⋅+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为_____． 【答案】1﹣【解析】利用复数的乘法求解z 再根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】解：复数()()()111z i a i a a i ⋅+++＝﹣＝﹣为纯虚数, 10,10,a a ∴+≠＝﹣解得1a =﹣． 故答案为：1﹣． 【点睛】本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题. 3．数据1,3,5,7,9的标准差为_____．【答案】【解析】先计算平均数再求解方差与标准差即可. 【详解】解：样本的平均数1357955x ++++==,∴这组数据的方差是()()()()()222222115355575955S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦ 28,S ∴＝标准差22S ＝, 故答案为：22 【点睛】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题. 4．函数()12x f x =-的定义域是__________． 【答案】(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.5．在一底面半径和高都是2m 的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出的32m 种子，则取出了带麦锈病种子的概率是_____． 【答案】14π【解析】求解32m 占圆柱形容器的的总容积的比例求解即可. 【详解】解：由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率221224ππ==⨯⨯．故答案为：14π． 【点睛】本题主要考查了体积类的几何概型问题,属于基础题.6．如图是一个算法伪代码，则输出的i 的值为_______________.【答案】5【解析】执行循环结构流程图，即得结果. 【详解】执行循环结构流程图得9123410S =----=-<,结束循环，输出415i =+=. 【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析与运算能力，属基础题.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()22210y x b b-=>经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为_____．【答案】3x ±＝ 【解析】代入()3,4求解得b ,再求准线方程即可. 【详解】解：双曲线()22210y x b b-=>经过点()3,4,221631b∴=﹣,解得22b ＝,即b ．又1,a ∴＝c ==故该双曲线的准线方程为：3x ±＝ ．故答案为：3x ±＝． 【点睛】本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题.8．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，396,,S S S 成等差数列，则258a a a +的值为_____． 【答案】2【解析】设等比数列{}n a 的公比设为,q 再根据396,,S S S 成等差数列利用基本量法求解,q 再根据等比数列各项间的关系求解258a a a +即可. 【详解】解：等比数列{}n a 的公比设为,q396,,S S S 成等差数列,可得9362,S S S +＝若1,q ＝则1111836,a a a +＝ 显然不成立,故1,q ≠则()()()9361111112111a q a q a q qqq---⋅=+---,化为6321,q q +＝解得312q ＝﹣,则43251176811112214a a a q a q qa a q q -+++====故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及运用,属于中档题.9．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是______.（写出所有正确命题的序号） ①因为当3x π=时，2sin sin 3x x π⎛⎫+≠⎪⎝⎭，所以23π不是函数sin y x =的周期； ②对于定义在R 上的函数()f x ，若()()22f f -≠，则函数()f x 不是偶函数； ③“M N >”是“22log log M N >”成立的充分必要条件； ④若实数a 满足24a <，则2a ≤. 【答案】①②④.【解析】由周期函数的定义判断①；由偶函数的概念判断②；由充分必要条件的判定判断③；求解一元二次不等式判断④. 【详解】 因为当3x π=时，2sin sin 3x x π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，所以由周期函数的定义知23π不是函数sin y x =的周期，故①正确；对于定义在R 上的函数()f x ，若()()22f f -≠，由偶函数的定义知函数()f x 不是偶函数，故②正确；由M N >，不一定有22log log M N >，反之成立，则“M N >”是“22log log M N >”成立的必要不充分条件，故③错误；若实数a 满足24a <，则22a -≤≤，所以2a ≤成立，故④正确. ∴正确命题的序号是①②④. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题. 10．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____．【答案】43【解析】画图直观图可得该几何体为棱锥,再计算高求解体积即可. 【详解】解：如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为2的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,∴此四棱锥S ABCD ﹣中,ABCD 是边长为2的正方形,SAD 是边长为2的等边三角形,故CD AD ⊥,又CD SD ⊥,AD SD D ⋂= 故平面SAD ⊥平面ABCD ,∴SAD 的高SE 是四棱锥S ABCD ﹣的高, ∴此四棱锥的体积为:112233ABCD V S SE ⨯=⨯⨯=正方形＝故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意11．在平面直角坐标系xOy 中，若函数()f x lnx ax ＝﹣在1x ＝处的切线与圆22210C x x y a ++：﹣﹣＝存在公共点，则实数a 的取值范围为_____．【答案】(][)0,12,+∞【解析】利用导数的几何意义可求得函数()f x lnx ax ＝﹣在1x ＝处的切线,再根据切线与圆存在公共点,利用圆心到直线的距离满足的条件列式求解即可. 【详解】解：由条件得到()1'f x a x=- 又()()1,'11f a f a =-=-所以函数在1x ＝处的切线为()()()1111y a x a a x ＝﹣﹣-＝﹣﹣, 即()110a x y ﹣﹣﹣＝ 圆C 方程整理可得：()221x y a -+= 即有圆心()1,0C 且0a ＞ 所以圆心到直线的距离d ==≤,≤解得2a ≥或01≤＜a , 故答案为：(][)0,12,+∞．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题,同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题,属于基础题.12．已知函数()32,f x ax bx cx ++＝若关于x 的不等式()0f x ＜的解集是()(),10,2∞⋃﹣﹣，则b ca+的值为_____． 【答案】3-【解析】根据题意可知20ax bx c ++＝的两根为1,2-,再根据解集的区间端点得出参数的关系,再求解b ca+即可. 【详解】解：因为函数()()322f x ax bx cx x ax bx c =++=++,关于x 的不等式()0f x <的解集是()(),10,2-∞-⋃20ax bx c ∴++＝的两根为：1﹣和2；所以有：()12ba +﹣=-且()12c a⨯﹣=； b a ∴＝﹣且2c a ＝﹣；23b c a aa a+--∴==-； 故答案为：3﹣ 【点睛】本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系,属于基础题.13．在边长为4的菱形ABCD 中，60,A ︒＝点P 在菱形ABCD 所在的平面内．若3,PA PC ＝PB PD ⋅=_____．【答案】1-【解析】以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设(),P x y ,根据3,PA PC ＝P 的坐标,进而求得PB PD ⋅即可.【详解】解：连接,,AC BD 设,AC BD 交于点,O 以点O 为原点, 分别以直线,OC OD 为,x y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则：()23,23()0202()(),A C B D --，，,，,， 设(),P x y321,PA PC ==,((2222392321x y x y ⎧++=⎪∴⎨⎪-+=⎩①﹣②得,312,x =-解得3x =, 32y ∴=±, 332P ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭或332P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,显然得出的PB PD ⋅是定值,∴取332P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭则3731,,,2222PB PD ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 37144PB PD ∴⋅=-=-． 故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.14．设函数()21722,04,k x x f x x x ⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩，()43g x k x ⎛⎫⎪⎝⎭＝-，其中0k >．若存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是_____． 【答案】17[3,6] 【解析】根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数x 使得()()f x g x <数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可. 【详解】解：函数()21722,04,0k x x f x x x ⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩,且0,k ＞ 画出()f x 的图象如下：因为()43g x k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,且存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <, 故()g x 与()f x 在0x <时无交点,174k k +∴≥,得173k ≥； 又()43g x k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,()g x ∴过定点4,03⎛⎫⎪⎝⎭又由图像可知,若存在唯一的整数x 使得()()f x g x <时43x >,所以2x ≥ ()()58533939g k f ≥≥=＝,∴存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <所以()()22243g k f =≤=6k ⇒≤ ()()844163g k f ∴≤=＝6k ⇒≤.根据图像可知,当4x ≥时, ()()f x g x >恒成立.综上所述, 存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <,此时1763k ≤≤ 故答案为：17[3,6] 【点睛】本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭右边的整数点中3x =为满足条件的唯一整数,再数形结合列出2,4x =时的不等式求k 的范围.属于难题.二、解答题15．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线,AC BD 交于点,O M 为棱PD 的中点，MA MC =．求证：（1）//PB 平面AMC ； （2）平面PBD ⊥平面AMC ． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】(1) 连结,OM 根据中位线的性质证明//PB OM 即可. (2) 证明AC BD ⊥,AC PD ⊥再证明AC ⊥平面PBD 即可.【详解】解：()1证明：连结,OMO 是菱形ABCD 对角线AC BD 、的交点,O ∴为BD 的中点, M 是棱PD 的中点, //,OM PB ∴OM ⊂平面,AMC PB ⊄平面,AMC//PB ∴平面,AMC()2解：在菱形ABCD 中,,AC BD ⊥且O 为AC 的中点,,MA MC ＝AC OM ∴⊥, OM BD O ⋂＝, AC ∴⊥平面,PBD AC ⊂平面AMC ,∴平面PBD ⊥平面AMC ．【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.16．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知tan ,tan ,tan A B C 成等差数列，cos cos ,cos A C B 成等比数列． （1）求A 的值；（2）若ABC 的面积为1,求c 的值． 【答案】（1）4A π＝；（2）3c ＝【解析】(1)根据,,tanA tanB tanC 成等差数列与三角形内角和可知()tanC tan A B =-+,再利用两角和的正切公式,代入2,tanB tanA tanC +＝化简可得22tan tan tan 3A B A -=,同理根据三角形内角和与余弦的两角和公式与等比数列的性质可求得2tanAtanB ＝,联立即可求解求A 的值.(2)由(1)可知2,tan 3tanB C =＝,再根据同角三角函数的关系与正弦定理可求得b ,再结合ABC 的面积为1,利用面积公式求解即可. 【详解】解：()1,,tanA tanB tanC 成等差数列, 可得2,tanB tanA tanC +＝ 而()1tanA tanB tanC tan A B tanAtanB +=-+-＝,即tan tan 2tan tan tan tan 1A BB A A B +-=-,展开化简得222tan tan 2tan tan tan tan A B B A B B --=,因为tan 0B ≠,故 22tan tan tan 3A B A -=①又cosA cosB 成等比数列,可得()cosAcosB cosC cos A B sinAsinB cosAcosB +＝＝-＝-, 即2sinAsinB cosAcosB ＝, 可得2,tanAtanB ＝②联立①②解得1tanA ＝（负的舍去）, 可得锐角4A π＝；()2由()1可得2,3tanB tanC ＝＝,由sin 2cos BtanB B ＝＝22,1,sin B cos B B +＝为锐角,解得5sinB ＝,因为sin 3cos C tanC C =＝22,1,sin C cos C C +＝为锐角,故可得sinC ,由正弦定理可得sin2253sin10c Bb c cC==＝,又ABC的面积为1,可得21122212232bcsinA c⋅⋅=＝,解得3c＝．【点睛】本题主要考查了等差等比中项的运用以及正切的和差角公式以及同角三角函数关系等.同时也考查了正弦定理与面积公式在解三角形中的运用,属于中档题.17．某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB为直径的圆，且300AB=米，景观湖边界CD与AB平行且它们间的距离为502米．开发商计划从A点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ．设2AOPθ∠=．（1）用θ表示线段,PQ并确定sin2θ的范围；（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ的长度设计到最长，求PQ的最大值．【答案】（1）502300sincosPQθθ-＝2sin21θ<≤；（2）6.【解析】(1)过点Q作QH AB⊥于点,H再在AOP中利用正弦定理求解AP,再根据sin2QHAQπθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝求解AQ,进而求得PQ.再根据0PQ>确定sin2θ的范围即可.(2)根据(1)有150232cosPQ sinθθ⎫=-⎪⎭,再设()132cosf sinθθθ=-,求导分析函数的单调性与最值即可. 【详解】 解：()1过点Q 作QH AB ⊥于点,H 则502QH ＝在AOP 中,150,2OA OP AOP θ∠＝＝＝,2OAP πθ∴∠-＝, 由正弦定理得：sin 2sin 2OP APπθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭,300AP sin θ∴＝,502cos sin 2QH AQ πθθ∴=⎛⎫- ⎪⎝⎭＝, 502==300cos PQ AP AQ sin θθ∴--, 5023000cos PQ sin θθ->＝,因为cos 0θ>, 化简得2sin 213θ<≤ ()2502130050232cos PQ sin sin θθθ⎫=-⎪⎭＝, 令()132cos fθθθ=-2sin 21θ<≤,且2(0,)θπ∈, ()22sin tan '32cos 32cos cos f θθθθθθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()222sin cos tancoscosθθθθθ⎛⎫+⎪=⎪⎝⎭()()23cos tan1tan cos tan tanθθθθθθ⎡⎤=+=-⎣⎦因为(0,)2πθ∈,故cos0θ>令'()0,fθ＝即3tan tan0θθ+-=,230(,)tan tanθθθ∴+=记000,2tanθθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,当00θθ＜＜时,()()'0,f fθθ>单调递增；当02πθθ＜＜时,()()'0,f fθθ<单调递减,又233sinθ=>,∴当tanθ时,()fθ取最大值,此时33sin cosθθ,1c osPQθθ⎫=-=⎪⎭PQ∴的最大值为【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用,需要根据题意建立角度与长度间的关系,进而求导分析函数的单调性,根据三角函数值求解对应的最值即可.属于难题.18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为坐标原点,O焦点在x轴上，右顶点()2,0A到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为12．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若,M N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设()4,0P-，连接PM交椭圆C 于另一点E．求证：直线NE过定点,B并求出点B的坐标；（3）在（2）的条件下，过点B的直线交椭圆C于,S T两点，求OS OT⋅的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明详见解析，()1,0B -；（3）54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)根据题意列出关于,,a b c 的等式求解即可.(2)先根据对称性,直线NE 过的定点B 一定在x 轴上,再设直线PM 的方程为(4)y k x +＝,联立直线与椭圆的方程, 进而求得NE 的方程,并代入11(4)y k x +＝,22(4)y k x +＝化简分析即可.(3)先分析过点B 的直线ST 斜率不存在时OS OT ⋅的值,再分析存在时,设直线ST 的方程为(1)y m x +＝,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入3434OS OT x x y y ⋅=+求解出关于k 的解析式,再求解范围即可. 【详解】解：()1设椭圆C 的标准方程()222210,x y a b a b+=>>焦距为2c ,由题意得,2,a ＝由212a c c a a a c-==-,可得1,c ＝则2223b a c ＝﹣＝,所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；()2证明：根据对称性,直线NE 过的定点B 一定在x 轴上,由题意可知直线PM 的斜率存在, 设直线PM 的方程为(4)y k x +＝,联立22(4)143y k x x y +⎧⎪⎨+=⎪⎩＝,消去y 得到()2222433264120k x k x k +++﹣＝, 设点1122(,),(,)M x y E x y ,则11(,)N x y ﹣． 所以22121222326412,4343k k x x x x k k -+=-=++,所以NE 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--,令0,y ＝得()221221y x x x x y y -==+,将11(4)y k x +＝,22(4)y k x +＝代入上式并整理,()121212248x x x x x x x ++=++,整理得()()2222128241281322432k k x k k --==--++,所以,直线NE 与x 轴相交于定点(1,0)B -．()3当过点B 的直线ST 的斜率不存在时,直线ST 的方程为1x =-331,1,22S T ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,, 此时54OS OT ⋅=-, 当过点B 的直线ST 斜率存在时,设直线ST 的方程为(1)y m x =+,且3344(,),(,)S x y T x y 在椭圆C 上,联立方程组22(1)143y m x x y +⎧⎪⎨+=⎪⎩＝,消去y ,整理得22224384120m x m x m +++（）﹣＝, 则()()()()22222844341214410mmm m ++＝﹣﹣＝＞．所以223434228412,,4343m m x x x x m m -+=-=++ 所以()()()222343434324439111m y y m x x m x x x m x =++=++=-++, 所以()2342342451253344343m OS OT x x y m m y +⋅=+=-=-++-, 由20,m ≥得54,4OS OT ⎡⎫⋅∈--⎪⎢⎣⎭,综上可得,OS OT ⋅的取值范围是54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题,需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理以及所求的解析式,结合参数的范围进行求解.属于难题.19．已知函数()212ax f x bx+＝，其中0,0a b >>．（1）①求函数()f x 的单调区间； ②若12,x x 满足)1,2i x i =>，且1220,0x x x >+>．求证：()()122f x f x b>+ ． （2）函数()2ln 12g x ax x -＝．若12,x x ⎛∈ ⎝对任意，12,x x ≠都有()()()()1212||||f x f x g x g x ->-，求b a -的最大值．【答案】（1）①单调递增区间⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎭，单调递减区间⎛ ⎝；②详见解析；（2）116. 【解析】(1)①求导可得()221,02ax f x x bx-'=≠,再分别求解()0f x '>与()0f x '<的解集,结合定义域分析函数的单调区间即可.②根据(1)中的结论,求出()()122f x f x +的表达式,再分10x ＜与1>0x 两种情况,结合函数的单调性分析()()122f x f x +的范围即可.(2)求导分析()2ln 12g x ax x -＝的单调性,再结合()f x 单调性,设12,x x <去绝对值化简可得()()()()11220[]f x g x f x g x ---＞,再构造函数()()()M x f x g x ＝﹣,x⎛∈ ⎝,根据函数的单调性与恒成立问题可知10≥,再换元表达b a -求解最大值即可. 【详解】解：()()2211,02ax f x x bx -'=≠,由()0f x '>可得x>或x <由()0f x '<可得x<<故函数的单调递增区间⎛-∞ ⎝,⎫+∞⎪⎭,单调递减区间⎛ ⎝；1220,0x x x +②＞＞,10x ∴＞或10x ＜,若10x ＞,因为i x ,故1x ＞2x由①知f x （）在⎫+∞⎪⎭上单调递增,()()1223f x f x f b b +=>＞, 若10,x ＜由1x 可得1x <x 1, 因为1220,0x x x +＞＞, 所以21x x ＞﹣, 由f x ①（）在⎫+∞⎪⎭上单调递增,()()()()()1211122f x f x f x f x f x ++-->＞=综上()()122f x f x +． ()20x＜时,()2110axg x ax x x -'=-=<,g x （）在⎛ ⎝上单调递减,不妨设12,x x ＜ 由(1)()f x 在⎛ ⎝上单调递减,由()()()()1212f x f x g x g x ->-, 可得()()()()1212f x f x g x g x ->-, 所以()()()()11220[]f x g x f x g x ---＞,令()()()M x f x g x ＝﹣,x ⎛∈ ⎝, 可得M x （）单调递减, 所以()()()222211211022ax bx ax M x ax bx x bx---'=-+=≤在⎛ ⎝上恒成立, 即120bx ≥﹣在⎛ ⎝上恒成立,即10≥,所以b ≤,2111241616b a a ⎫≤-=-+≤⎪⎭﹣ ,所以b a ﹣的最大值116． 【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题,同时也考查了利用导数求解函数不等式以及构造函数分析函数的最值解决恒成立的问题.需要根据题意结合定义域与单调性分析函数的取值范围与最值等.属于难题.20．已知{}{}{},,n n n a b c 都是各项不为零的数列，且满足1122,*,n n n n a b a b a b c S n N ⋯+=++∈其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，{}n c 是公差为()0d d ≠的等差数列．（1）若数列{}n a 是常数列，2d =，23c =，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n a n λ=λ（是不为零的常数），求证：数列{}n b 是等差数列； （3）若11a c d k ===（k 为常数，*k N ∈），()2,*n n k b c n n N +≥∈=．求证：对任意112,*,n n n n b b n n N a a ++≥∈>的恒成立． 【答案】（1）43n b n -＝；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】(1)根据2d =,23c =可求得n c ,再根据{}n a 是常数列代入1122,*,n n n n a b a b a b c S n N ⋯+=++∈根据通项与前n 项和的关系求解{}n b 即可.(2)取1n =,并结合通项与前n 项和的关系可求得11,n n n n n n S c S c a b ﹣﹣﹣＝再根据1n n n a S S -=-化简可得1n n n S d nc nb λλ+﹣＝,代入()112n n n S λ--=化简即可知()1332n n b n b d --=≥,再证明2132b b d -=也成立即可. (3)由(2) 当2n ≥时,11()n nn n n n n S c c a c a b +﹣﹣﹣＝,代入所给的条件化简可得1,n n S ka ﹣＝()11n n n n S S a k a ++﹣＝＝,进而证明可得11n n k a a k-+=,即数列{}n a 是等比数列.继而求得21n n k a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,再根据作商法证明11n n n n b b a a ++>即可. 【详解】()1解：22,3,d c ＝＝21n c n ∴＝﹣．{}n a 是各项不为零的常数列,12,n a a a ∴⋯＝＝＝则1n S na ＝,则由1122n n n n c S a b a b a b ++⋯+＝,及21,n c n＝﹣得()1221n n n b b b ++⋯+﹣＝, 当2n ≥时,()()121123n n n b b b ++⋯+﹣﹣﹣＝,两式作差,可得43n b n＝﹣． 当1n ＝时,11b ＝满足上式,则43n b n＝﹣； ()2证明：1122n n n n a b a b a b c S ++⋯+＝,当2n ≥时,11221111n n n n a b a b a b c S ++⋯+﹣﹣﹣﹣＝,两式相减得：11,n n n n n n S c S c a b ﹣﹣﹣＝ 即()()11111,n n n n n n n n n n n n n n S a c S c a b S c c a c a b ++﹣﹣﹣﹣﹣﹣＝﹣＝．即1n n n S d nc nb λλ+﹣＝．又()112n n n S λ--=,()12n n n n d nc nb λλλ-∴+=,即12n n n d c b -+=． ∴当3n ≥时,1122n n n d c b ---+=,两式相减得：()1332n n b n b d --=≥．∴数列{}n b 从第二项起是公差为32d 的等差数列．又当1n ＝时,由1111,S c a b ＝得11c b ＝,当2n ＝时,由22112113222b d c d c d b d -=+=++=+,得2132b b d -=． 故数列{}n b 是公差为32d 的等差数列；()3证明：由()2,当2n ≥时,()11n n n n n n n S c c a c a b +﹣﹣﹣＝,即()1n n nn S d a b c ﹣＝﹣, n n k b c +＝,n n b c kd ∴+＝,即n n b c kd ﹣＝, 1•,n n S d a kd ∴﹣＝即1n n S ka ﹣＝． ()11n n n n S S a k a ∴++﹣＝＝,当3n ≥时,()111,n n n S k a ka +﹣﹣＝＝即11n n k a a k-+=． 故从第二项起数列{}n a 是等比数列,∴当2n ≥时,221n n k a a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．()()()22111n n k n b c c kd c n k k k n k k k n k +++-+=+-+=+＝＝＝．另外,由已知条件可得()1221122a a c a b a b ++＝, 又()2122,,2c k b k b k k +＝＝＝,21a ∴＝,因而21n n k a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．令nn nb d a =, 则()()()()()11111111101n n n n n n n k k n k d b a nd a k k b n +++-=++-=-=-+++<+． 故对任意的2,*,n n N ≥∈11n n n n b b a a ++>恒成立． 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用,需要熟练运用通项与前n 项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公式或证明等差数列等.同时也考查了数列中的不等式证明等,需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项,再利用作商法证明.属于难题.21．已知二阶矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111α⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值24λ=的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.求矩阵A .【答案】2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A 【详解】由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=，即11111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得1,1.a b c d -=-⎧⎨-=⎩同理可得3212,328.a b c d +=⎧⎨+=⎩解得2a =，3b =，2c =，1d =.因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为2cos {sin x y αα== （α为参数）．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【答案】（1）2214x y +=，4x y +=（2）max 2d = 【解析】【详解】试题分析：利用cos ,sin x y ρθρθ==将极坐标方程化为直角坐标方程：cos()4πρθ-=ρcosθ＋ρsinθ＝4，即为x ＋y ＝4．再利用点到直线距离公式得：设点P 的坐标为（2cosα，sinα），得P 到直线l 的距离2d =≤试题解析：解：cos()4πρθ-=化简为ρcosθ＋ρsinθ＝4，则直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4．设点P 的坐标为（2cosα，sinα），得P 到直线l 的距离2d =≤，d max ＝2． 【考点】极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式 23．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值.【答案】1【解析】试题分析：由柯西不等式得[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=，所以1111323232a b c ++≥+++试题解析：因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=， 所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是由均值不等式可知[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++⎪+++⎝⎭33133(32)(32)(32)9(32)(32)(32)a b c a b c ≥⋅+++=+++，当且仅当13a b c ===时，上式等号成立． 从而1111323232a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===．【考点】柯西不等式24．如图，在正四棱锥P ABCD ﹣中，底面正方形的对角线,AC BD 交于点O 且12OP AB ＝．（1）求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值； （2）求锐二面角B PD C --的大小． 【答案】（16（2）60︒. 【解析】(1) 以,,OE OF OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 设底面正方形边长为2,再求解BP 与平面PCD 的法向量,继而求得直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值即可.(2)分别求解平面BPD 与平面PDC 的法向量,再求二面角的余弦值判断二面角大小即可. 【详解】解：()1在正四棱锥P ABCD ﹣中,底面正方形的对角线,AC BD 交于点,O 所以OP ⊥平面,ABCD 取AB 的中点,E BC 的中点,F 所以,,OP OE OF 两两垂直,故以点O 为坐标原点,以,,OE OF OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系．设底面正方形边长为2, 因为1,2OP AB ＝所以1,OP ＝所以()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1B C D P ﹣﹣﹣, 所以()1,1,1BP ＝﹣﹣,设平面PCD 的法向量是(),,n x y z =,因为()0,2,0CD =-,()1,1,1CP =﹣, 所以20CD n y ⋅=-＝,0CP n x y z ⋅+＝﹣＝,取1,x ＝则0,1y z ＝＝﹣, 所以()1,0,1n =- 所以6,BP n cos BP n BP n⋅=＜＞＝所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为63． ()2设平面BPD 的法向量是(),,n x y z =,因为()1,1,1BP ＝﹣﹣,()-2,-2,1BD =,所以0,BP n x y z ⋅+＝﹣﹣＝220BD n x y ⋅＝﹣﹣＝,取1,x ＝则1,0,y z ＝﹣＝ 所以()1,1,0n =-,由()1知平面PCD 的法向量是()1,0,1n =-,所以12m ncos m n m n ⋅＜,＞＝＝ 所以,60m n ︒＜＞＝,所以锐二面角B PD C ﹣﹣的大小为60︒． 【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及二面角的问题,属于中档题.25．定义：若数列{}n a 满足所有的项均由1,1﹣构成且其中1﹣有m 个，1有p 个()3m p +≥，则称{}n a 为“(),m p ﹣数列”．（1）(),,i j k a a a i j k ＜＜为“()3,4﹣数列”{}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a ＝的取法有多少种？（2）(),,i j k a a a i j k ＜＜为“(),m p ﹣数列”{}n a 中的任意三项，则存在多少正整数(),m p 对使得1100,m p ≤≤≤且1i j k a a a =的概率为12. 【答案】（1）16；（2）115.【解析】(1)易得使得1i j k a a a ＝的情况只有“1,1,1﹣﹣”,“1,1,1”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.(2)易得“1,1,1﹣﹣”共有21m p C C 种,“1,1,1”共有3P C 种.再根据古典概型的方法可知213312m p pm pC C C C ++=,利用组合数的计算公式可得()()2232320pm p p mp m m +﹣﹣﹣﹣﹣＝,当p m =时根据题意有()(),,,2,3,4,{},100m p k k k ∈⋯=,共99个；当2232320p p mp mm +﹣﹣﹣﹣＝时求得()232m p +＝,再根据1100,m p ≤≤≤换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.【详解】解：（1）三个数乘积为1有两种情况：“1,1,1﹣﹣”,“1,1,1”, 其中“1,1,1﹣﹣”共有：213412C C ＝种, “1,1,1”共有：344C =种,利用分类计数原理得：(),,i j k a a a i j k ＜＜为“()3,4﹣数列”{}n a 中的任意三项,则使得1i j k a a a ＝的取法有：12416+＝种．（2）与(1)同理,“1,1,1﹣﹣”共有21m p C C 种, “1,1,1”共有3P C 种,而在“(),m p ﹣数列”中任取三项共有3m p C +种,根据古典概型有：213312m p pm pC C C C ++=, 再根据组合数的计算公式能得到：()()2232320pm p p mp m m +﹣﹣﹣﹣﹣＝, p m ①＝时,应满足11003m p m p p m ≤≤≤⎧⎪+≥⎨⎪=⎩,()(),,,2,3,{,}4,100m p k k k ∴∈⋯=,共99个,2232320p p mp m m +②﹣﹣﹣﹣＝时,应满足221100332320m p m p p p mp m m <≤<⎧⎪+≥⎨⎪--+--=⎩,视m 为常数,可解得()232m p +±＝,1,m ≥5≥,根据p m ≥可知,()232m p ++＝,1m ≥,5≥,根据p m ≥可知,()232m p ++＝,（否则1p m≤﹣）,下设k则由于p 为正整数知k 必为正整数,1100m ≤≤, 549k ∴≤≤,化简上式关系式可以知道：()()21112424k k k m -+-=＝, 1,1k k ∴+﹣均为偶数, ∴设()*21,k t t N +∈＝,则224,t ≤≤()211246t t k m +-∴=＝, 由于,1t t +中必存在偶数,∴只需,1t t +中存在数为3的倍数即可,2,3,5,6,8,9,11,,23,24t ∴⋯＝, 5,11,13,,47,49k ∴⋯＝．检验：()()()23114850100,22424m k k p ++-++=≤＝＝ 符合题意,∴共有16个,综上所述：共有115个数对(),m p 符合题意． 【点睛】本题主要考查了排列组合的基本方法,同时也考查了组合数的运算以及整数的分析方法等,需要根据题意。

2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷（5月份）一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知全集U={−2,−1,0,1,2}，集合A={−2,−1,1}，则∁U A=______．2.已知复数z=(1−i)⋅(a+i)(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为______．3.数据1，3，5，7，9的标准差为______．4.函数f(x)=√1−2x的定义域为______ ．5.在一底面半径和高都是2m的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出2m3的种子，则取出了带麦锈病种子的概率是______．6.如图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为______．7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y2b2=1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的准线方程为______．8.设S n是等比数列{a n}的前n项的和，S3，S9，S6成等差数列，则a2+a5a8的值为______．9.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是______.(写出所有正确命题的序号)①因为当x=π3时，sin(x+2π3)≠sinx，所以2π3不是函数y=sinx的周期；②对于定义在R上的函数f(x)，若f(−2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；③“M>N”是“log2M>log2N”成立的充分必要条件；④若实数a满足a2<4，则a≤2．10.如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为______．11.在平面直角坐标系xOy中，若函数f(x)=lnx−ax在x=1处的切线与圆C：x2−2x+y2+1−a=0存在公共点，则实数a的取值范围为______．12. 已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx ，若关于x 的不等式f(x)<0的解集是(−∞,−1)∪(0,2)，则b+c a的值为 ．13. 在边长为4的菱形ABCD 中，A =60°，点P 在菱形ABCD 所在的平面内．若PA =3，PC =√21，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 14. 设函数f(x)={2−|(k+174)x +2|,x ≤0x 2,x >0，g(x)=k(x −43)，其中k >0.若存在唯一的整数x ，使得f(x)<g(x)，则实数k 的取值范围是______． 二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，M 为棱PD的中点，MA =MC.求证： (1)PB//平面AMC ； (2)平面PBD ⊥平面AMC ．16. 在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知tanA ，tanB ，tanC 成等差数列，cosA ，√cosC ，cosB 成等比数列． (1)求A 的值；(2)若△ABC 的面积为1，求c 的值．17. 某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB 为直径的圆，且AB =300米，景观湖边界CD 与AB 平行且它们间的距离为50√2米．开发商计划从A 点出发建一座景观桥(假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行)，桥面在湖面上的部分记作PQ.设∠AOP =2θ． (1)用θ表示线段PQ ，并确定sin2θ的范围；(2)为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ 的长度设计到最长，求PQ 的最大值．18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，右顶点A(2,0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为12． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若M ，N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两点，设P(−4,0)，连接PM 交椭圆C 于另一点E.求证：直线NE 过定点B ，并求出点B 的坐标；(3)在(2)的条件下，过点B 的直线交椭圆C 于S ，T 两点，求OS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OT ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．19.已知函数f(x)=ax2+12bx，其中a>0，b>0．(1)①求函数f(x)的单调区间；②若x1，x2满足|x i|>√a =1,2)，且x1+x2>0，x2>0.求证：f(x1)+2f(x2)>√ab．(2)函数g(x)=12ax2−lnx.若对任意x1，x2∈√a)，x1≠x2，都有|f(x1)−f(x2)|>|g(x1)−g(x2)|，求b−a的最大值．20.已知{a n}，{b n}，{c n}都是各项不为零的数列，且满足a1b1+a2b2+⋯+a n b n=c n S n，n∈N∗，其中S n是数列{a n}的前n项和，{c n}是公差为d(d≠0)的等差数列．(1)若数列{a n}是常数列，d=2，c2=3，求数列{b n}的通项公式；(2)若a n=λn(λ是不为零的常数)，求证：数列{b n}是等差数列；(3)若a1=c1=d=k(k为常数，k∈N∗)，b n=c n+k(n≥2,n∈N∗).求证：对任意的n≥2，n∈N∗，b na n>b n+1a n+1恒成立．21. 已知二阶矩阵A =[abc d ]，矩阵A 属于特征值λ1=−1的一个特征向量为α1⃗⃗⃗⃗ =[1−1]，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2⃗⃗⃗⃗ =[32].求矩阵A ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα(α为参数).以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=2√2.点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．23. 若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求13a+2+13b+2+13c+2的最小值．24. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，底面正方形的对角线AC ，BD 交于点O 且OP =12AB ．(1)求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值；(2)求锐二面角B−PD−C的大小．25.定义：若数列{a n}满足所有的项均由−1，1构成且其中−1有m个，1有p个(m+p≥3)，则称{a n}为“(m,p)−数列”．(1)a i，a j，a k(i<j<k)为“(3,4)−数列”{a n}中的任意三项，则使得a i a j a k=1的取法有多少种？(2)a i，a j，a k(i<j<k)为“(m,p)−数列”{a n}中的任意三项，则存在多少正整．数对(m,p)使得1≤m≤p≤100，且a i a j a k=1的概率为12答案和解析1.【答案】{0,2}【解析】解：∵U={−2,−1,0,1,2}，A={−2,−1,1}，∴∁U A={0,2}．故答案为：{0,2}．进行补集的运算即可．本题考查了列举法的定义，全集和补集的定义及补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】−1【解析】解：复数z=(1−i)⋅(a+i)=a+1+(1−a)i为纯虚数，∴a+1=0，1−a≠0，解得a=−1．故答案为：−1．利用复数运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】2√2【解析】【分析】首先做出这组数据的平均数，再利用方差的公式，代入数据做出这组数据的方差，最后把方差开方做出这组数据的标准差．本题考查一组数据的标准差，我们需要先求平均数，在求方差，最后开方做出标准差，属于基础题．【解答】=5，解：样本的平均数x=1+3+5+7+95[(1−5)2+(3−5)2+(5−5)2+(7−5)2+(9−5)2]，∴这组数据的方差是S2=15∴S2=8，标准差S=2√2，故答案为：2√2，4.【答案】{x|x≤0}【解析】解：由1−2x≥0，即2x≤1=20，解得x≤0，定义域为{x|x≤0}．故答案为：{x|x≤0}．由1−2x≥0，结合指数函数的单调性，即可得到所求定义域．本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式和指数函数的性质，属于基础题．5.【答案】14π【解析】解：由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率=2π×22×2=14π．故答案为：14π．利用几何概率计算公式即可得出．本题考查了几何概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】5【解析】解：由算法语句知：算法的功能是求满足S=9−(1+2+3+⋯+i)<0的最小正整数i+1的值，∵S=9−(1+2+3)=3>0，S=9−(1+2+3+4)=−1<0，∴输出的i值为5．故答案为：5．算法的功能是求满足S=9−(1+2+3+⋯+i)<0的最大正整数i+1的值，计算S的值确定输出i的值．本题考查了当型循环结构的程序语句，根据算法的流程判断算法的功能是解题的关键．7.【答案】x=±√33【解析】解：∵双曲线x2−y2b2=1(b>0)经过点(3,4)，∴32−16b2=1，解得b2=2，即b=√2．又a=1，∴该双曲线的准线方程为：x=±√33．故答案为：x=±√33．把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．8.【答案】2【解析】解：等比数列{a n}的公比设为q，S3，S9，S6成等差数列，可得2S9=S3+S6，若q=1，则18a1=3a1+6a1，显然不成立，故q≠1，则2⋅a1(1−q 9)1−q =a1(1−q3)1−q+a1(1−q6)1−q，化为2q6=1+q3，解得q3=−12，则a2+a5a8=a1q+a1q4a1q7=1+q3q6=1−1214=2，故答案为：2．等比数列{a n}的公比设为q，判断公比q不为1，由等比数列的求和公式和等差数列的通项公式，解方程可得q3=−12，再由等比数列的通项公式，计算可得所求值．本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．9.【答案】①②④【解析】解：因为当x=π3时，sin(x+2π3)≠sinx，所以由周期函数的定义知2π3不是函数y=sinx的周期，故①正确；对于定义在R上的函数f(x)，若f(−2)≠f(2)，由偶函数的定义知函数f(x)不是偶函数，故②正确；由M>N，不一定有log2M>log2N，反之成立，则“M>N”是“log2M>log2N”成立的必要不充分条件，故③错误；若实数a满足a2<4，则−2≤a≤2，所以a≤2成立，故④正确．∴正确命题的序号是①②④．故答案为：①②④．由周期函数的定义判断①；由偶函数的概念判断②；由充分必要条件的判定判断③；求解一元二次不等式判断④．本题考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．10.【答案】4√33【解析】解：如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，∴此四棱锥S−ABCD中，ABCD是边长为2的正方形，△SAD是边长为2的等边三角形，平面SAD⊥平面ABCD，∴△SAD的高AD是四棱锥S−ABCD的高，∴此四棱锥的体积为：V=13S正方形ABCD×SE=13×2×2×√4−1=4√33．故答案为：4√33．此四棱锥S−ABCD中，ABCD是边长为2的正方形，△SAD是边长为2的等边三角形，平面SAD⊥平面ABCD，△SAD的高AD是四棱锥S−ABCD的高，由此能求出此四棱锥的体积．本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】【解析】解：由条件得到f′(x)=1x−a，则当x=1时，f(1)=−a，f′(1)=1−a，所以函数在x=1处的切线为y=(1−a)(x−1)−a=(1−a)x−1，即(1−a)x−y−1=0圆C方程整理可得：(x−1)2+y2=a，即有圆心C(1,0)，且a>0所以圆心到直线的距离d=√(1−a)²+1=√a2−2a+2≤√a，解得a≥2或0<a≤1，故答案为：(0,1]∪[2,+∞)．利用导数可求出切线方程，则切线与圆存在公共点等价于圆心到直线的距离d小于等于半径，解出不等式即可本题考查曲线上某点的切线方程，考查直线与圆存在公共点问题，属于中档题．12.【答案】−3【解析】【分析】根据题意并结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得方程ax2+bx+c=0的两根分别为−1和2，由此建立关于a、b，c的方程组并解之，即可得到实数a、b，c之间的关系，进而求出结论．本题给出三次函数，讨论不等式f(x)<0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识．【解答】解：因为函数f(x)=ax3+bx2+cx=x(ax2+bx+c)，∵关于x的不等式f(x)<0的解集是(−∞,−1)∪(0,2)，∴ax2+bx+c=0的两根为：−1和2；所以有：(−1)+2=−ba 且(−1)×2=ca；∴b=−a且c=−2a；∴b+ca =−a−2aa=−3；故答案为：−3 13.【答案】−1【解析】解：连接AC ，BD ，设AC ，BD 交于点O ，以点O 为原点，分别以直线OC ，OD 为x ，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：A(−2√3,0),C(2√3,0),B(0,−2),D(0,2)，设P(x,y)，∵PA =3,PC =√21，∴{(x +2√3)2+y 2=9①(x −2√3)2+y 2=21②， ①−②得，8√3x =−12，解得x =−√32，∴y =±32，∴P(−√32,−32)或P(−√32,32)，显然得出的PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是定值，∴取P(−√32,32)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−72),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12)， ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =34−74=−1．故答案为：−1．可连接AC ，BD ，并设AC 与BD 交于点O ，然后以点O 为原点，OC ，OD 分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，从而可求出A(−2√3,0),C(2√3,0),B(0,−2),D(0,2)，并设P(x,y).根据PA =3,PC =√21即可求出P 点的坐标，进而可求出向量PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，从而进行数量积的坐标运算即可求出PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，两点间的距离公式，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于中档题．14.【答案】【解析】解：∵函数f(x)={2−|(k+174)x +2|,x ≤0x 2,x >0，且k >0， 画出f(x)的图象如下：∵g(x)=k(x −43)，又∵存在唯一的整数x ，使得f(x)<g(x)， ∴k ≥k+174，得k ≥173；又∵g(x)=k(x −43)， ∴g(x)过定点(43,0)， ∵g(2)=23k ≥349<f(2)，g(3)=53k ≥859>f(3)，∴存在唯一的整数x =3， ∴g(4)=83k ≤f(4)=16， ∴k ≤6． 故答案为：[173,6]本题利用f(x)，g(x)的图象特点寻找整数x 的大致范围，再代入数字检验，确定k 的取值范围．本题考查了分段函数、带绝对值号函数的图象画法，以及数形结合思想，需要学生有较强的逻辑思维能力，分析出k 的范围．属于中档题．15.【答案】解：(1)证明：连结OM ，∵O 是菱形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，∴O 为BD 的中点，∵M 是棱PD 的中点，∴OM//PB ， ∵OM ⊂平面AMC ，PB ⊄平面AMC ， ∴PB//平面AMC ．(2)解：在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，且O 为AC 的中点，∵MA =MC ，∴AC ⊥OM ， ∵OM ∩BD =O ，∴AC ⊥平面PBD ， ∵AC ⊂平面AMC ，∴平面PBD ⊥平面AMC ．【解析】(1)连结OM ，推导出OM//PB ，由此能证明PB//平面AMC ． (2)推导出AC ⊥OM ，从而AC ⊥平面PBD ，由此能证明平面PBD ⊥平面AMC ． 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】解：(1)tanA ，tanB ，tanC 成等差数列，可得2tanB =tanA +tanC ，而tanC =−tan(A +B)=tanA−tanBtanAtanB−1，所以tanB =2tanA ，① 又cosA ，√cosC ，cosB 成等比数列，可得cosAcosB =cosC =−cos(A +B)=sinAsinB −cosAcosB ， 即sinAsinB =2cosAcosB ，可得tanAtanB =2，② 联立①②解得tanA =1(负的舍去)， 可得锐角A =π4；(2)由(1)可得tanB =2tanA =2，tanC =3， 由tanB =sinBcosB =2，sin 2B +cos 2B =1，B 为锐角， 解得sinB =2√55，同理可得sinC =3√1010，由正弦定理可得b =csinB sinC=2√53√10c =2√23c ， 又△ABC 的面积为1，可得12bcsinA =12⋅2√23c 2⋅√22=1，解得c =√3．【解析】(1)运用等差数列和等比数列的中项性质，结合诱导公式、两角和的余弦公式、正切公式，化简计算可得tanA =1，进而得到所求角；(2)运用同角的基本关系式，求得sinB ，sinC ，再由正弦定理和面积公式，解方程可得所求值．本题考查等差数列和等比数列的中项性质，三角形的正弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的同角公式、两角和的余弦、正切公式，考查化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，则QH =50√2，在△AOP 中，∵OA =OP =150，∠AOP =2θ， ∴∠OAP =π2−θ， 由正弦定理得：OP sin(π2−θ)=APsin2θ，∴AP =300sinθ，∴AQ =QHsin(π2−θ)=50√2cosθ， ∴PQ =AP −AQ =300sinθ−50√2cosθ，∵PQ =300sinθ−50√2cosθ>0，即sin2θ>√23，且2θ∈(0,π)；(2)∵PQ =300sinθ−50√2cosθ=50(6sinθ−√2cosθ)， 令f(θ)=6sinθ−√2cosθ，sin2θ>√23，且2θ∈(0,π)，∴f′(θ)=6cosθ−√2sinθcos 2θ=√2cosθ⋅(3√2−tanθ−tan 3θ)，令f′(θ)=0，即tan 3θ+tanθ−3√2=0，∴(tanθ−√2)(tan 2θ+√2tanθ+3)=0， 记tanθ0=√2，θ0∈(0,π2)，∴当0<θ<θ0时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增；当θ0<θ<π2时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减， 又∵sin2θ0=2√23>√23， ∴当tanθ=√2时，f(θ)取最大值，此时sinθ=√63，cosθ=√33，∴PQ 的最大值为50√6米．【解析】(1)过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，则QH =50√2，所以∠OAP =π2−θ，由正弦定理求得AP =300sinθ，所以AQ QHsin(π2−θ)=50√2cosθ，所以PQ =300sinθ−50√2cosθ，又PQ =300sinθ−50√2cosθ>0，即sin2θ>√23，且2θ∈(0,π)；(2)因为PQ =300sinθ−50√2cosθ=50(6sinθ−√2cosθ)，令f(θ)=6sinθ−√2cosθ，利用导数得到当tanθ=√2时，f(θ)取最大值，此时sinθ=√63，cosθ=√33，所以PQ 的最大值为50√6米．本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．18.【答案】解：(1)设椭圆C 的标准方程x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)，焦距为2c ， 由题意得，a =2，由a−c a 2c−a =c a =12，可得c =1，则b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；(2)证明：根据对称性，直线NE 过的定点B 一定在x 轴上，由题意可知直线PM 的斜率存在，设直线PM 的方程为y =k(x +4)， 联立{y =k(x +4)x 24+y 23=1，消去y 得到(4k 2+3)x 2+32k 2x +64k 2−12=0，设点M(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，则N(x 1,−y 1). 所以x 1+x 2=−32k 24k 2+3，x 1x 2=64k 2−124k 2+3，所以NE 的方程为y −y 2=y 2+y1x 2−x 1(x −x 2)，令y =0，得x =x 2−y 2(x 2−x 1)y 2+y 1，将y 1=k(x 1+4).y 2=k(x 2+4)代入上式并整理，x =2x 1x 2+4(x 1+x 2)x 1+x 2+8，整理得x =(128k 2−24)−128k 2−32k 2+(24+32k 2)=−1，所以，直线NE 与x 轴相交于定点B(−1,0)．(3)当过点M 的直线ST 的斜率不存在时，直线ST 的方程为x =−1，S(−1,32)，T(−1,−32)，此时OS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OT ⃗⃗⃗⃗⃗ =−54， 当过点B 的直线ST 斜率存在时，设直线ST 的方程为y =m(x +1)，且S(x 3,y 3)，T(x 4,y 4)在椭圆C 上，联立方程组{y =m(x +1)x 24+y 23=1，消去y ，整理得(4m 2+3)x 2+8m 2x +4m 2−12=0，则△=(8m 2)2−4(4m 2+3)(4m 2−12)=144(m 2+1)>0． 所以x 3+x 4=−8m 24m 2+3，x 3x 4=4m 2−124m 2+3，所以y 3y 4=m 2(x 3+1)(x 4+1)=m 2(x 3x 4+x 3+x 4+1)=−9m 24m 2+3，所以OS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OT ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 3x 4+y 3y 4=−5m 2+124m 2+3=−54−334(4m 2+3)， 由m 2≥0，得OS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OT ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−4,−54), 综上可得，OS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OT ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−4,−54]．【解析】(1)根据题意，设椭圆方程，根据题意可知，a =2，c =1，即可求得b 的值，求得椭圆方程；(2)设直线PM 的方程．代入椭圆方程，根据直线点斜式方程结合韦达定理，即可求得B 点坐标；(3)分类讨论，当直线ST 的斜率存在，设直线ST 的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及向量的坐标运算，即可求得OS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OT ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查转化思想，分类讨论思想，计算能力，属于难题．19.【答案】解：(1)f′(x)=ax 2−12bx 2，x ≠0， 由f′(x)>0可得x >√a 或x <√a ，由f′(x)<0可得√a <x <√a ， 故函数的单调递增区间(−∞,√a )，(√a +∞)，单调递减区间√a √a )； ②∵x 1+x 2>0，x 2>0， ∴x 1>0或x 1<0，若x 1>0因为|x i |>√a ，|x 1|>√a ，|x 2|>√a ，由①知f(x)在(√a +∞)上单调递增，f(x 1)+2f(x 2)>3f(√a)=3√a b>√ab， 若x 1<0，由|x 1|>√a 可得x 1<√a ，因为x 1+x 2>0，x 2>0，所以x 2>−x 1>√a ，由①f(x)在(√a +∞)上单调递增，f(x 1)+2f(x 2)>f(x 1)+2f(−x 1)=f(−x 1)>√ab综上f(x 1)+2f(x 2)>√ab ．(2)0<x <√a 时，g′(x)=ax −1x=ax 2−1x<0，g(x)在√a )上单调递减，不妨设x 1<x 2，由(1)f(x)在√a )上单调递减，由|f(x 1)−f(x 2)|>|g(x 1)−g(x 2)|，可得f(x 1)−f(x 2)>g(x 1)−g(x 2)， 所以f(x 1)−g(x 1)−[f(x 2)−g(x 2)]>0，令M(x)=f(x)−g(x)，x ∈√a )，可得M(x)单调递减， 所以M′(x)=ax 2−12bx 2−ax +1x =(ax 2−1)(1−2bx)2bx 2≤0在√a )上恒成立，即1−2bx ≥0在√a )上恒成立，即1√a ≥0， 所以b ≤√a2，b −a ≤√a2−a =−(√a −14)2+116≤116，所以b −a 的最大值116．【解析】(1)①先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调区间； ②结合①的单调性及x 1，x 2的范围即可证明；(2)结合函数的单调性，把所要证明的不等式转化为同一函数的不同函数值的大小比较，进行合理的构造函数，结合单调性可求．本题综合考查了函数的性质及导数的综合应用，考查了考试分析及解决问题的能力，试题具有一定的难度．20.【答案】(1)解：∵d =2，c 2=3，∴c n =2n −1．∵{a n }是各项不为零的常数列，∴a 1=a 2=⋯=a n ，则S n =na 1，则由c n S n =a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n ，及c n =2n −1，得n(2n −1)=b 1+b 2+⋯+b n ， 当n ≥2时，(n −1)(2n −3)=b 1+b 2+⋯+b n−1， 两式作差，可得b n =4n −3．当n =1时，b 1=1满足上式，则b n =4n −3； (2)证明：∵a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n =c n S n ， 当n ≥2时，a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n−1b n−1=c n−1S n−1， 两式相减得：S n c n −S n−1c n−1=a n b n ，即(S n−1+a n )c n −S n−1c n−1=a n b n ，S n−1(c n −c n−1)+a n c n =a n b n ． 即S n−1d +λnc n =λnb n ． 又S n−1=λn(n−1)2，∴λn(n−1)2d +λnc n =λnb n ，即n−12d +c n =b n ．∴当n ≥3时，n−22d +c n−1=b n−1，两式相减得：b n −b n−1=32d(n ≥3)．∴数列{b n}从第二项起是公差为32d的等差数列．又当n=1时，由S1c1=a1b1，得c1=b1，当n=2时，由b2=2−12d+c2=12d+c1+d=b1+32d，得b2−b1=32d．故数列{b n}是公差为32d的等差数列；(3)证明：由(2)，当n≥2时，S n−1(c n−c n−1)+a n c n=a n b n，即S n−1d=a n(b n−c n)，∵b n=c n+k，∴b n=c n+kd，即b n−c n=kd，∴S n−1d=a n⋅kd，即S n−1=ka n．∴S n=S n−1+a n=(k+1)a n，当n≥3时，S n−1=(k+1)a n−1=ka n，即a n=k+1ka n−1．故从第二项起数列{a n}是等比数列，∴当n≥2时，a n=a2(k+1k)n−2．b n=c n+k=c n+kd=c1+(n−1)k+k2=k+(n−1)k+k2=k(n+k)．另外，由已知条件可得(a1+a2)c2=a1b1+a2b2，又c2=2k，b1=k，b2=k(2+k)，∴a2=1，因而a n=(k+1k)n−2．令d n=b na n ，则d n+1d n−1=b n+1a na n+1b n−1=(n+k+1)k(n+1)(k+1)−1=−n(n+k)(k+1)<0．故对任意的n≥2，n∈N∗，b na n>b n+1a n+1恒成立．【解析】(1)由已知得c n=2n−1.由{a n}是各项不为零的常数列，得S n=na1，结合已知可得n(2n−1)=b1+b2+⋯+b n，则当n≥2时，(n−1)(2n−3)=b1+b2+⋯+b n−1，两式作差可得b n=4n−3.已知b1=1满足，得b n=4n−3；(2)由a1b1+a2b2+⋯+a n b n=c n S n，得n≥2时，a1b1+a2b2+⋯+a n−1b n−1=c n−1S n−1，两式相减得：S n−1d+λnc n=λnb n.进一步得到b n−b n−1=32d(n≥3).可得数列{b n}从第二项起是公差为32d的等差数列；(3)由(2)，当n≥2时，S n−1(c n−c n−1)+a n c n=a n b n，即S n−1d=a n(b n−c n)，结合b n=c n+k，得b n−c n=kd，进一步得到a n=k+1ka n−1.故从第二项起数列{a n}是等比数列，求得当n≥2时，a n=a2(k+1k )n−2.令d n=b na n，则d n+1d n−1=b n+1a na n+1b n−1=(n+k+1)k(n+1)(k+1)−1=−n(n+k)(k+1)<0.故对任意的n≥2，n∈N∗，b na n>b n+1a n+1恒成立．本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的性质，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查运算能力，属难题．21.【答案】解：由特征值、特征向量定义可知，A α1⃗⃗⃗⃗ =λ1α1⃗⃗⃗⃗ ，A α2⃗⃗⃗⃗ =λ2α2⃗⃗⃗⃗ ， ∵二阶矩阵A =[abcd ]，矩阵A 属于特征值λ1=−1的一个特征向量为a 1⃗⃗⃗⃗ =[1−1]， 属于特征值λ2=4的一个特征向量为a 2⃗⃗⃗⃗ =[32]． ∴[ab c d ][1−1]=−1×[1−1]=[−11]，[ab cd ][32]=4[32]=[128]，∴{a −b =−1c −d =1，且{3a +2b =123c +2d =8，解得a =2，b =3，c =2，d =1． ∴矩阵A =[2321]．【解析】由特征值、特征向量定义可知，A α1⃗⃗⃗⃗ =λ1α1⃗⃗⃗⃗ ，A α2⃗⃗⃗⃗ =λ2α2⃗⃗⃗⃗ ，由此可建立方程组，从而可求矩阵A ．本题考查待定系数法求矩阵，考查特征值、特征向量定、矩阵乘法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．22.【答案】解：直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=2√2.转换为直角坐标方程为x +y −4=0．设点P(2cosα,sinα)为曲线上任意一点， 则：点P 到直线的距离d =√2=√5sin(α+θ)−4|√2，当sin(α+θ)=−1时，d max =√5+4√2=√10+4√22．【解析】首先把极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：∵正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，∴(13a+2+13b+2+13c+2)[(3a +2)+(3b +2)+(3c +2)]≥(1+1+1)2， 即13a+2+13b+2+13c+2≥1，当且仅当a =b =c =13时，取等号， ∴当a =b =c =13时，13a+2+13b+2+13c+2的最小值为1．【解析】本题考查求最小值，解题的关键是利用柯西不等式进行求解，属于中档题． 利用柯西不等式，即可求得13a+2+13b+2+13c+2的最小值．24.【答案】解：(1)在正四棱锥P −ABCD 中，底面正方形的对角线AC ，BD 交于点O ，所以OP ⊥平面ABCD ，取AB 的中点E ，BC 的中点F ，所以OP ，OE ，OF 两两垂直，故以点O 为坐标原点，以OE ，OF ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设底面正方形边长为2，因为OP =12AB ，所以OP =1，所以B(1,1,0)，C(−1,1,0)，D(−1,−1,0)，P(0,0,1)，所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，设平面PCD 的法向量是n⃗ =(x,y,z)， 因为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,0)，CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,1)， 所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2y =0，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x −y +z =0，取x =1，则y =0，z =−1，所以n⃗ =((1,0,−1)， 所以cos <BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=−√63， 所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为√63． (2)设平面BPD 的法向量是m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,0)， 所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−x −y +z =0，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2x −2y =0，取x =1，则y =−1，z =0，所以m⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 由(1)知平面PCD 的法向量是n⃗ =(1,0,−1)， 所以cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12，所以<m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=60°， 所以锐二面角B −PD −C 的大小为60°．【解析】(1)取AB 的中点E ，BC 的中点F ，以点O 为坐标原点，以OE ，OF ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设底面正方形边长为2，求出平面PCD 的法向量，以及CP⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后利用空间向量的数量积求解直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值． (2)求出平面BPD 的法向量，平面PCD 的法向量，然后求解锐二面角B −PD −C 的大小． 本题考查直线与平面所成角的求法，二面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．25.【答案】解：(1)三个数乘积为1有两种情况：“−1，−1，1”，“1，1，1”，其中“−1，−1，1”共有：C 32C 41=12种，“1，1，1”共有：C 43=4种，利用分类计数原理得：a i ，a j ，a k (i <j <k)为“(3,4)−数列”{a n }中的任意三项，则使得a i a j a k =1的取法有：12+4=16种．(2)与(1)基本同理，“−1，−1，1”共有C m 2C p 1种，“1，1，1”共有C p 3种，而在“(m,p)−数列”中任取三项共有C m+p 3种，根据古典概型有：C m 2C p 1+C p3C m+p 3=12， 再根据组合数的计算公式能得到：(p −m)(p 2−3p −2mp +m 2−3m −2)=0，①p =m 时，应满足{1≤m ≤p ≤100m +p ≥3p =m， ∴(m,p)=(k,k)，k ∈{2,3,4,…,100}，共99个，②p 2−3p −2mp +m 2−3m −2=0时，应满足{1≤m ≤p ≤100m +p ≥3p 2−3p −2mp +m 2−3m −2=0，视m 为常数，可解得p =(2m+3)±√24m+12， ∵m ≥1，∴√24m +1≥5，根据p ≥m 可知，p =(2m+3)+√24m+12，∵m ≥1，∴√24m +1≥5，根据p ≥m 可知，p =(2m+3)+√24m+12，(否则p ≤m −1)，下设k =√24m +1，则由于p 为正整数知k 必为正整数，∵1≤m ≤100，∴5≤k ≤49，化简上式关系式可以知道：m =k 2−124=(k+1)(k+1)24，∴k −1，k +1均为偶数，∴设k =2t +1，(t ∈N ∗)，则2≤t ≤24，∴m =k 2−124=t(t+1)6，由于t ，t +1中必存在偶数，∴只需t ，t +1中存在数为3的倍数即可，∴t =2，3，5，6，8，9，11，…，23，24，∴k =5，11，13，…，47，49．检验：p =(2m+3)+√24m+12=(k−1)(k+1)24≤48+5024=100，符合题意，∴共有16个，综上所述：共有115个数对(m,p)符合题意．【解析】(1)三个数乘积为1有两种情况：“−1，−1，1”，“1，1，1”，其中“−1，−1，1”共有：C 32C 41=12种，“1，1，1”共有：C 43=4种，利用分类计数原理能求出使得a i a j a k =1的取法种数．(2)“−1，−1，1”共有C m 2C p 1种，“1，1，1”共有C p 3种，而在“(m,p)−数列”中任取三项共有C m+p 3种，根据古典概型有：C m 2C p 1+C p 3C m+p 3=12，再根据组合数的计算公式能得到(p −m)(p 2−3p −2mp +m 2−3m −2)=0，利用p =m 和p 2−3p −2mp +m 2−3m −2=0分类讨论经，能求出存在多少正整数对(m,p)使得1≤m ≤p ≤100，且a i a j a k =1的概率为12． 本题考查不同的取法种数的求法，考查分类计数原理、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。