江苏省海安高级中学2019届高三数学12月月考试题

江苏省海安高级中学2019-2020学年高一数学12月月考试题一、选择题：(本大题共13小题，每小题4分，其中1-10题为单选题，11-13为多选题.） 1．已知集合A ={x |-1≤x ≤3}，B ={x ∈Z|x 2<5}，则A ∩B=( )A ．{0，1}B ．{-1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{-2，-1，0，1，2} 2．函数f (xx +1)的定义域为 ( )A ．[12-，2]B ．[12-，2)C ．(12-，2]D ．(12-，2)3.2πsin()=3-（ ）A. B. 12- C. 2 D.124．向量a =(1，x +1)，b =(1- x ，2)，a ⊥b ，则(a +b )∙(a -b )=( ) A ．-15 B ．15 C ．-20 D ．20 5. 已知a =log52，b =log 73，c =12，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a < b < cB ．a < c < bC ．b < a < cD ．c < b < a6．已知将函数f (x )=sin(2ωx +π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位长度得到函数g (x )的图象，若函数g (x )图象的两条相邻的对称轴间的距离为π2，则函数g (x )的—个对称中心为( ) A ．(-π6，0) B ．(π6，0) C ．(-π12，0) D ．(π12，0)7．如图，已知△ABC 与△AMN 有一个公共顶点A ，且MN 与BC 的 交点O 平分 BC,若AB mAM =uu u r uuu r ，AC nAN =uuu r uuu r，则m n +的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．68．已知函数f (x )=log a x (a >0，a ≠1)的图象经过点(2，12).若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[-2，2]时，有g (x )=f (x )，且函数g (x +2)为偶函数，则下列结论正确的是：( )A ．g (π)<g (3)<g ．g (π)<g )<g (3) C ．g g (3)<g (π)D ．g )<g (π)<g (3)9．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数且(1)()f x f x +=-，则(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f +++++=（ ）A ．4B ．0C ．3D ．210．对于实数a ，b 定义运算“⊗”:22,b a a ba b b a a b -<⎧⊗=⎨-⎩≥，设f (x )=(2x -3)⊗(x -3)，若关于x 的方程f (x )=k (k ∈R)恰有三个互不相同的实根x 1，x 2，x 3则x 1x 2x 3取值范围为( )A ．(0，3)B ．(-1，0)C ．(-∞，0)D ．(-3，0)11．下列四个说法中，错误的选项有（ ）.A ．若函数()f x 在(,0]-∞,(0,)+∞上都是单调增函数，则函数()f x 在R 上是单调增函数B ．已知函数的解析式为2y x =，它的值域为[1,4]，这样的函数有无数个 C ．把函数22xy =的图像向右平移2个单位长度，就得到了函数222x y -=的图像 D ．若函数()f x 为奇函数，则一定有(0)0f = 12．下列命题中，正确的是（ ）.A.已知非零向量,a b 满足4a b =，且()2b a b ⊥+，则a 与b 的夹角为56π. B.若,,a b c 是平面内三个非零向量，则()()a b c a b c ⋅=⋅；C.若(sin ,1a θ=+，()1,1cos b θ=-，其中3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则a b ⊥；D.若O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，()0,λ∈+∞，则直线AP 一定经过ABC ∆的内心. 13．函数()()()2a xb f x x b c-=-+()0,,0a b R c ≠∈>，()()2g x m f x n =-⎡⎤⎣⎦()0mn >，下列结论：A.函数()f x 的图像关于x 轴上某点成中心对称；B.函数()f x 在R 上单调递增；C.存在实数q p ,，使得()p f x q ≤≤对于任意的实数x 恒成立；D.关于x 的方程()0g x =的解集可能为{}4,2,0,3--．正确结论为( ) 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共20分． 14. 函数()f x =的单调递减区间为 ▲ ．15.已知角θ的终边过点(3,4)-，则cos θ=_____▲______.16.已知函数(21),(1)()1log ,(01)3a a x x f x x x ->⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，当120,0x x >>且12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是 ▲ ．17.已知函数()()sin f x x ωϕ=+(016ω<<，02πϕ-<<),()04f π-=,对任意x R ∈恒有()()4f x f π≤且()f x 在区间(,)3216ππ上单调，则ϕ=____,ω的可能值有__________．三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．已知实数a 为常数，U =R ，设集合A ={x |31x x -+＞0}，B ={x |y=}，C ={x |x 2﹣(4+a )x +4a ≤0}．（1）求A ∩B ；（2）若∁U A ⊆C ，求a 的取值范围．19．设a =(x ，1)，b =(2，-1)，c =(x -m ，m -1)(x ∈R ，m ∈R).（1）若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围； （2）解关于x 的不等式|a +c |<|a -c |.20．我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数()f x 与第x 天近似地满足()88f x x=+（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费()g x 近似地满足()g 14322x x =--（元）．(1)求该村的第x 天的旅游收入()p x ,并求最低日收入为多少？（单位：千元，130x ≤≤，*N x ∈）； (2)若以最低日收入的20%作为每一天的纯收入计量依据，并以纯收入的5%税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？21．已知函数())f x x ϕ=+02πϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图象过点(0,1).（1）求724f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）利用五点作图作出函数在一个周期内的图像； （3）当5,248x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()f x k =恰有两个不同的实数解，求实数k 的取值范围.22．对于函数f 1(x )，f 2(x )，h (x )，如果存在实数a ，b 使得h (x )=af 1(x )+bf 2(x )，，那么称h (x )为f 1(x )，f 2(x )，的生成函数. （1）给出函数f 1(x )=lg 10x，f 2(x )=lg(10x )，h (x )=lg x ，h (x )是否为f 1(x )，f 2(x )的生成函数？并说明理由.（2）设f 1(x )=log 2x ，f 2(x )=log 12x ，a =2，b =1，生成函数.若不等式3h 2(x )+2h (x )+t >0在x∈[2，4]上恒成立，求实数t 的取值范围.23．已知函数()2327mx n h x x +=+为奇函数，()13x mk x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，其中m n R ∈、.(1)若函数()h x 的图像过点()1,1A ，求实数m 和n 的值； (2)若3m =，试判断函数()()()11f x h x k x =+在[3,)x ∈+∞上的单调性并证明； (3)设函数()()(),39,3h x x g x k x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩若对每一个不小于3的实数1x ，都恰有一个小于3的实数2x ，使得()()12g x g x =成立，求实数m 的取值范围.阶段测试（二）一、选择题：(本大题共13小题，每小题4分，其中1-10题为单选题，11-13为多选题.） 1． B 2． D 3. A 4． A 5. A 6．D 7． C 8. C 9． B 10． D 11． ACD 12． CD 13． AC三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 14. (],3-∞- ． 15. ________35___. 16. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦．17 ϕ=__4π-__, ____3,7,11______．三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．解：(1)()()[)3,,1,2,A B =+∞⋃-∞-=+∞则[)2,A B ⋂=+∞. (2) []1,3U C A =-，当[]{}[]4,4,;4,4;4,,4a C a a C a C a >===<=因为∁U A ⊆C ,则4,1a a <⎧⎨≤-⎩解得1a ≤-.19．解：（1）依题意得0a b ∙<且,a b 不反向共线，即210,2x x -<⎧⎨≠-⎩解得12x <且 2.x ≠- （2）依题意得0a c ∙<，即210x mx m -+-=当2,m =不等式的解集为空集； 当2m >，不等式的解集为()1,1m -；当2m <不等式的解集为()1,1m -.20．解：(1)依据题意，有()()()()8g 814322x f x x x p x ⎛⎫=⋅=+⋅-- ⎪⎝⎭(130x ≤≤,*N x ∈) 即()**9688976,122,N 132081312,2230,N x x x xp x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩，1当*122,N x x ≤≤∈时，()96889769761152x p x x =++≥= (当且仅当11x =时，等号成立) ． 因此，()()p 111152min p x == (千元) ．2当*2230,N x x <≤∈时，()132081312p x xx =-++． 易知函数132081312xy x =-++ 在(]22,30上单调递减，于是，()()301116min p x p == (千元) ． 又11521116>，所以，日最低收入为1116千元．(2)该村两年可收回的投资资金为111620%5%301228035.2⨯⨯⨯⨯⨯=(千元)= 803.52 (万元)．因为803.52万元> 800万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金． 21．【详解】（1）由题知()01fϕ==，∴cosϕ=，又02πϕ-<<，∴4πϕ=-，∴772242442fπππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)作图略（3）∵5,2,24843x xπππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦当2,043xππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦即在区间,248ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上f(x)为增函数; []20,,4xππ-∈即在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上f(x)为减函数，又242fπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，8fπ⎛⎫=⎪⎝⎭58fπ⎛⎫=⎪⎝⎭∴当方程()f x k=恰有两个不同实根时，2k∈⎣.22．解:(1)由题意得lg lg lg(10)()lg10xx a b x a b x b a=+=++-由1a bb a+=⎧⎨-=⎩解得1212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以h(x)是f1(x)，f2(x)的生成函数.（2）由题意得,2()log xh x=,令[]2log,1,2xm m=∈即232t m m>--在[]1,2m∈上恒成立解得5t>-.23．解;()1()2327mx nh xx+=+为奇函数()()h x h x ∴-=-，即22()327327mx n mx nx R x x -++=+∈-+恒成立，0n ∴=()h x 的图像过点()1,1A()11,h ∴=130m n+= 30,0m n ∴==()2有题意知()393x f x x x-=++，()f x 在[)3,+∞上单调递增证明：任取123x x ≤≤，则()()12331212129933x x f x f x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()1221123312933x x x x x x x x ----=+-123x x ≤≤210x x ∴->，129x x >，1233x x -<-()()21121290x x x x x x -∴-<123333x x --<()()12f x f x ∴<，函数()f x 在区间[3,)+∞上单调递增；()3当3x ≥时，()()2273273mx mg x h x x x x===++当3x <时，()()1993x mg x k x -⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭① 当0m ≤时， 3x ∀≥，()211111027327(3)mx mg x x h x x x ===≤++不满足条件()()2213,9903x mx g x k x -⎛⎫∀<==⋅> ⎪⎝⎭，舍；②当0 3m <<时，3x ∀≥，()211111()0,27327183mx m m g h x x x x x ⎛⎤===∈ ⎥+⎝⎦+ 23,0,x x m ∀<-≥()()(]221990,93x mg x k x -⎛⎫==⋅∈ ⎪⎝⎭由题可知(]0,0,918m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即918m ≤，162m ≤ 03m ∴<<③当3m ≥时，3x ∀≥，()211111()0,27327183mx m m g h x x x x x ⎛⎤===∈ ⎥+⎝⎦+ 23,30,x x m m ∀<->-≥()()32211990,933x mm g x k x --⎛⎤⎛⎫⎛⎫==⋅∈⋅ ⎥ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎥⎝⎦ 由题可知310,0,9183m m -⎛⎤⎛⎤⎛⎫∈⋅ ⎥ ⎪⎥ ⎝⎦⎝⎭⎥⎝⎦，即5318mm -<令()5318xxH x -=-单调递减，()60H = 5318x x-<，可得6m < 36m ∴≤<综上:()0,6m ∈。

数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合(){}30A x x x =-?，{B x y ==，则()U A B Çð等于（ ） A. ()0,2 B. ()0,3 C. Æ D. (]0,2 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式得集合A ，进而可得U A ð，求解函数定义域可得集合B ，利用交集求解即可. 【详解】因为集合(){}()300,3U A x x x =-<=ð，(],2B =-?，所以()(]0,2U A B ?ð，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的补集及交集的运算，属于基础题.2.复数z 满足(32)43i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 由题意得，43(43)(32)11732(32)(32)1313i i i iz i i i +++===+--+，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A. 3.已知向量()1,3a =，(),1b m =，若//a b ，则m = （ ） A. 13-B. 13C. 3-D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个向量平行的坐标表示列出方程求解即可.【详解】向量()()1,3,,1a b m ==，若//a b ，则113m ?，解得13m =.故选B.【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题. 4.已知函数()1112xf x e =-+，则()f x 是（ ） A. 奇函数，且在R 上是增函数 B. 偶函数，且在()0,+?上是增函数C. 奇函数，且在R 上是减函数D. 偶函数，且在()0,+?上是减函数【答案】C 【解析】 【分析】先判断定义域是否关于原点对称，进而利用()()0f x f x -+=可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.【详解】定义域为R ，关于原点对称，()1112x f x e --=-+ 112x x e e =-+，有()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数， 函数()1112xf x e =-+，显然是减函数. 故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（ ）A. 2B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】还原几何体得四棱锥P ABCD -，其中PA ^面ABCD ，分别计算各侧面的面积即可得解.【详解】还原三视图可得几何体如图所示，四棱锥P ABCD -，其中PA ^面ABCD ，11151,?2,222PADPABPCDSPA ADS PA AB S PDCD ======. PCB 中有PC BC PB =222BC PC PB +=，所以90PCB ??.所以132PCBSPC BC ==. 所以面积最大值是PAB D 的面积，等于2.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，并计算几何体的侧面积，需要一定的空间想象力，属于中档题.6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1352a a +=且2454a a +=，则55S a （ ）A. 256B. 255C. 16D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n 项和，从而可得nnS a ，令5n =求解即可.【详解】由1352a a +=，可得21152a a q +=； 由31154a q a q +=. 两式作比可得：可得12q =，12a =， 所以212n n a -骣琪=琪桫，2142n n S -骣琪=-琪桫，21n n n S a =-，所以5552131Sa =-=.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n 项公式，属于公式运用的题目，属于基础题. 7.把函数()sin cos f x x x =-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移3p，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为（ ） A. 175,66p p轾--犏犏臌 B. 57,66p p轾-犏犏臌 C. 24,33p p轾-犏犏臌 D. 719,66p p轾犏犏臌 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换可得函数()212x g x x p 骣琪-琪桫，再由22212x k p pp -?22k pp ?，k Z Î，可解得单调增区间，即可得解. 【详解】函数()sin cos f x x x =-=4x x p骣琪-琪桫的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，可得24x y x p 骣琪-琪桫的图象，再向左平移3p，得到函数()1234g x x p p 轾骣犏琪+-琪犏桫臌212x x p骣琪-琪桫的图象. 由22212x k p pp -?22k p p ?，k Z Î，得574466k xk p pp p -＃+，k Z Î. 当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间57,66p p轾-犏犏臌， 故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的单调性，注意三角函数的平移变换，平移是针对自变量“x”而言的，所以需要将x 的系数提出，属于中档题.8.若实数x ，y 满足约束条件2027030x y x y y ì--?ïï+-?íï-?ïî，则1x z y +=的最小值为（ ）A.23 B. 1 C. 2 D. 145【解析】 【分析】作出不等式的可行域，1x z y+=的几何意义是可行域内的点与点()1,0-连线的斜率的倒数，由斜率的最大值即可得解.【详解】作出不等式组构成的区域，1x z y+=的几何意义是可行域内的点与点()1,0D -连线的斜率的倒数，由图象知AD 的斜率最大，由2703x y y ì+-=ïí=ïî得13x y ì=ïí=ïî，所以()1,3A ，此时11233z +==. 故选A.【点睛】常见的非线性目标函数问题，利用其几何意义求解：z Ax By C =++的几何意义为可行域内的点到直线A 0x By C ++=()()22b z x a y =-+-的几何意义为可行域内的点到点()a,b 的距离的平方。

江苏省海安高级中学2019届高三上学期第二次月考数学试题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合 ， ，则 ______．2. 复数 的共轭复数在复平面内对应的点位于第______象限．3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间 中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间 内的汽车有______辆4. 袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______．5. 在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为______．6. 如图所示的算法流程图中，最后输出值为______．7. 已知m ，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面．若 ， ，则 ，若 ， ， ，则 ；若 ， ， ，则 ；若 ， ， ，则 ．上述命题中为真命题的是______ 填写所有真命题的序号 ．8. 公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何” 题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快 每天增加的数量相同 ，已知第一天织布5尺，一个月 天 共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为______尺匹 丈，1丈 尺9. 若 ，则 ______．10. 如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且 ，， ，则______． 11. 已知关于x 的方程 在 上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是______．12. 已知 ， ，且 ，则 的最小值等于______．13. 如图，已知 ，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点 不含端点A，B，，且，则的最大值为______．14.若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知内接于单位圆，且，求角C求面积的最大值．16.如图，在四面体ABCD中，，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且．若平面ABD，求实数的值；求证：平面平面AED．17.如图，长方形材料ABCD中，已知，点P为材料ABCD内部一点，于E，于F，且，现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足，点M，N分别在边AB，AD上．设，试将四边形材料AMPN的面积S表示为的函数，并指明的取值范围；试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值．18.已知椭圆E：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与E有两个交点A，B，线段AB的中点为M．若，点K在椭圆E上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；若l过点，射线OM与椭圆E交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线l斜率；若不能，说明理由．。

海安高级中学2019届高三阶段测试数学试卷一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．设全集U =R ，若集合{}{}1234|23A B x x ==，，，，≤≤，则U A B =ð .{}14， 2．已知复数z 满足30z z+=，则||z = .3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 .564．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 .1155．双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的离心率为线方程为. y =6．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．1 7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．28．若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 3π9．若12cos cos sin sin sin 2sin 223x y x y x y +=+=，，则()sin x y += .2310．已知数列{}n a 和{}n b ，其中2()n a n n *=∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，数列{}n b 中的第n a 项等于{}n a 中的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b = .211．设函数()332x x x af x x x a ⎧-=⎨->⎩，≤，，若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．1a <-12．在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD △与ACD △面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅= ．1615-13． 已知圆O ：221x y +=，定点()30A ，，过点A 的直线l 与圆O 相较于B ，C 两点，两点B ，C 均在x 轴上方，若OC 平分AOB ∠，则直线l 的斜率为.14．已知正实数a ，b 满足23a b +=，则222122a b a b +-++的最小值是 ．135二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.（1）求证：PE ⊥BC ； （2）求证：EF ∥平面PCD .【解析】（1）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =， ∴PE ⊥平面ABCD .∵BC ⊂面ABCD ，∴PE ⊥BC .（2）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =∥， ∴ED FG ∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， ∴EF GD ∥.又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ， ∴EF ∥平面PCD .16．已知函数f (x )=4tan sin cos 23x x x ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求f (x )的定义域与最小正周期；（2）讨论f (x )在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的单调性.【解析】（1）()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭)=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== （2）由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.17．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛= ⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； （2） 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？ 【解析】（1）如图建立直角坐标系，则城市()00A ，，当前台风中心(P -，设t 小时后台风中心P 的坐标为(),x y ，则302102x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，184.4PA ≈km ，台风的半径为=r 160km ，因为r PA <，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，则()6010t + 210800864000300t t -+⇒≤，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤ 答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时.18．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，求AB 的最大值；（3）设(20)P -，，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ，D 和点71()44Q -，共线，求k .【解析】（1）由题意得2c=，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-==易得当20m =时，max ||AB ，故||AB． （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =.19．已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)02nn n n n n n b a a b a b ++++-++==，，*n ∈N ，且 1224a a ==，．（1）求345a a a ，，的值；（2）设*2121n n n c a a n -+=+∈N ，，证明：{}n c 是等比数列； （3）设*242k k S a a a k =++⋅⋅⋅+∈N ，，证明：4*17()6nk k kS n a =<∈∑N ． 【解析】（1）解：由3(1)2nn b +-=，*n ∈N ，可得12n n b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数又1120n n n n n b a a b a +++++=，123123234434541202432205320 4.n a a a a a a n a a a a n a a a a =++====-=++==-=++==当时，，由，，可得；当时，，可得；当时，，可得（2）证明：对任意*,n N ∈2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++= ② 21222320,n n n a a a +++++=③ ②—③，得223.n n a a +=④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+ 即*1()n n c c n N +=-∈又1131,0,n c a a =+=-≠故c 因此11,{}n n nc c c +=-所以是等比数列. （3）证明：由（2）可得2121(1)kk k a a -++=-，于是，对任意*2k k ∈N 且≥，有 133********()11(1)() 1.k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-，，，将以上各式相加，得121(1)(1),kk a a k -+-=-- 即121(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k =1时也成立.由④式得12(1)(3).k k a k +=-+从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-2124 3.k k k S S a k -=-=+所以，对任意*2n n ∈N ，≥， 44342414114342414()nnk m m m mk m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑12221232()2222123nm m m m mm m m m =+-+=--++++∑ 123()2(21)(22)(22)nm m m m m ==++++∑2253232(21)(22)(23)nm m m n n ==++⨯+++∑ 21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++-+++∑ 151111113[()()()]3235572121(22)(23)n n n n =+⋅-+-++-+-+++ 1551336221(22)(23)7.6n n n =+-⋅++++<对于n =1，不等式显然成立. 所以，对任意*,n N ∈2121212212n nn nS S S S a a a a --++++ 32121241234212()()()n nn nS S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)n nn =--+--++----- 22211121()()()41244(41)44(41)n n n n n =-+-+--+-- 111().4123n n -+=-≤20．已知函数ln ()xf x x=，2()2g x x x =-． （1）求()f x 在点P (1，()1f )处的切线方程；（2）若关于x 的不等式2()()0f x tf x +>有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围； （3）若()()4()h x g x xf x =+存在两个正实数1x ，2x 满足221212()()0h x h x x x +-=，求证：123x x +≥．【解析】（1），，所以点坐标为； 又，，则切线方程为， 所以函数在点处的切线方程为．（2）由， 得；① 时，或，满足条件的整数解有无数个，舍；② 时，，得且，满足条件的整数解有无数个，舍； ③ 时，或，当时，无整数解； 当时，不等式有且仅有三个整数解，又，， 因为在递增，在递减；所以， 即，即；所以实数的取值范围为． （3），因为，所以， 即，令，， 则， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增． 所以函数在时，取得最小值，最小值为3．因为存在两个正实数，满足，所以，即，所以或． 因为为正实数，所以．ln ()xf x x=(1)0=f P (1,0)21ln '()xf x x -='(1)1=f 01-=-y x ()f x (1,(1))P f 10--=x y 21ln '()(0)-=>xf x x 2()()0f x tf x +>()[()]0+>f x f x t 0t >()0f x >()f x t <-0t =()0f x ≠0x >1x ≠0t <()0f x <()f x t >-()0f x <()f x t >-ln3(3)3f =ln 2(2)(4)2f f ==ln5(5)5f =()f x (0,)e (,)e +∞(5)(4)f t f ≤-<ln5ln 252t ≤-<ln 2ln525t -<≤-t ln 2ln525t -<≤-2()24ln =-+h x x x x 221212()()0+-=h x h x x x 22221112221224ln 24ln 0x x x x x x x x -++-+-=2221212121212()2()24ln x x x x x x x x x x +-+=+-12t x x =2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->2(1)(2)4()22(0)t t t t t ttϕ-+'=+-=>(0,1)t ∈()0t ϕ'<2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->(0,1)(1,)t ∈+∞()0t ϕ'>2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->(1,)+∞2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->1t =12,x x 221212()()0+-=h x h x x x 21212()2()3x x x x +-+≥21212()2()30x x x x +-+-≥123x x +≥121x x +-≤12,x x 123x x +≥（附加题）21．（B ）已知矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值λ1=-1及对应的特征向量11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，求矩阵M 的逆矩阵.【解析】由题知， - = -- =-1· - = - ⇒ - - ， - ，所以a=2，b=2，M=.det(M )==1×2-2×3=-4，所以M -1= --.21．（C ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(12)，，求l 的斜率．【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(12)，在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2c o s s i n 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-． 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点F (1，0)，直线x=-1与动直线y=n 的交点为M ，线段MF 的中垂线与动直线y=n 的交点为P . （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过动点M 作曲线E 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：∠AMB 的大小为定值.【解析】(1) 因为直线y=n 与x=-1垂直，所以MP 为点P 到直线x=-1的距离. 连接PF ，因为P 为线段MF 的中垂线与直线y=n 的交点，所以MP=PF . 所以点P 的轨迹是抛物线， 焦点为F (1，0)，准线为x=-1. 所以轨迹E 的方程为y 2=4x.(2) 由题意，过点M (-1，n )的切线斜率存在，设切线方程为y -n=k (x+1)， 联立， ，得ky 2-4y+4k+4n=0，所以Δ1=16-4k (4k+4n )=0， 即k 2+nk -1=0，(*)因为Δ2=n 2+4>0，所以方程(*)存在两个不相等的实数根，设为k 1，k 2， 因为k 1·k 2=-1，所以∠AMB=90°，为定值.23．设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N *，记M 1<M 2<…<M n 的概率为P n . （1）求P 2的值；（2）求证：P n >()211n C n ++！.【解析】(1) 由题意知P 2== ，即P 2的值为. (2) 先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为=;去掉第n 行已经排好的n 个数，则余下的 - n= -个数中最大数在第n -1行的概率为 - -= ;… 故P n = ··…·= - · ·…· =.由于2n =(1+1)n = + + +…+ ≥ + + > + = ，所以>，即P n >.。

高三年级阶段测试（三）数学试卷一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．设全集U =R ，若集合{}{}1234|23A B x x ==，，，，≤≤，则B C A U . 2．已知复数z 满足30z z+=，则||z = . 3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 .4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 .5．双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，为 .6．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ． 7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．8．若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 .9．若12cos cos sin sin sin 2sin 223x y x y x y +=+=，，则()sin x y += .10．已知数列{}n a 和{}n b ，其中2()n a n n *=∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，数列{}n b 中的第n a 项等于{}n a 中的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b = .11．设函数()332x x x af x x x a ⎧-=⎨->⎩，≤，，若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．12．在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD △与ACD △面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅=．13． 已知圆O ：221x y +=，定点()30A ，，过点A 的直线l 与圆O 相较于B ，C 两点，两点B ，C 均在x 轴上方，若OC 平分AOB ∠，则直线l 的斜率为 .14．已知正实数a ，b 满足23a b +=，则222122a b a b +-++的最小值是 ． 二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.（1）求证：PE ⊥BC ； （2）求证：EF ∥平面PCD .16．已知函数f (x )=4tan sin cos 23x x x ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求f (x )的定义域与最小正周期； （2）讨论f (x )在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的单调性.17．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛= ⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由；（2） 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？18．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，求AB 的最大值；（3）设(20)P -，，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ，D 和点71()44Q -，共线，求k .19．已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)02nn n n n n n b a a b a b ++++-++==，，*n ∈N ，且 1224a a ==，．（1）求345a a a ，，的值；（2）设*2121n n n c a a n -+=+∈N ，，证明：{}n c 是等比数列； （3）设*242k k S a a a k =++⋅⋅⋅+∈N ，，证明：4*17()6nk k kS n a =<∈∑N ．20．已知函数ln ()xf x x=，2()2g x x x =-．（1）求()f x 在点P (1，()1f )处的切线方程；（2）若关于x 的不等式2()()0f x tf x +>有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围； （3）若()()4()h x g x xf x =+存在两个正实数1x ，2x 满足221212()()0h x h x x x +-=，求证：123x x +≥．高三阶段测试数学试卷一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．.{}14，2．3．56 4． 1155． y = 6． 1 7． 2 8．3π9． 2310． 2 11． 1a <- 12． 1615-13． 14．135 二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【解析】（1）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =， ∴PE ⊥平面ABCD .∵BC ⊂面ABCD ，∴PE ⊥BC .（2）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =∥， ∴ED FG ∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， ∴EF GD ∥.又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ， ∴EF ∥平面PCD . 16．【解析】（1）()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 22x x x x x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭)=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== （2）由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ .所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.17．【解析】（1）如图建立直角坐标系，则城市()00A ，，当前台风中心(P -，设t 小时后台风中心P 的坐标为(),x y，则x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，184.4PA ≈km ，台风的半径为=r 160km ， 因为r PA <，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，则()6010t +210800864000300t t -+⇒≤，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. 18．【解析】（1）由题意得2c=，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2 AB x x=-=，易得当20m=时，max||AB=||AB（3）设11(,)A x y，22(,)B x y，33(,)C x y，44(,)D x y，则221133x y+=①，222233x y+=②，又(2,0)P-，所以可设1112PAyk kx==+，直线PA的方程为1(2)y k x=+，由122(2)13y k xxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y可得2222111(13)121230k x k x k+++-=，则2113211213kx xk+=-+，即2131211213kx xk=--+，又1112ykx=+，代入①式可得13171247xxx--=+，所以13147yyx=+，所以1111712(,)4747x yCx x--++，同理可得2222712(,)4747x yDx x--++．故3371(,)44QC x y=+-，4471(,)44QD x y=+-，因为,,Q C D三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y+--+-=，将点,C D的坐标代入化简可得12121y yx x-=-，即1k=.19．【解析】（1）解：由3(1)2nnb+-=，*n∈N，可得12nnbn⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数又112n n n n nb a a b a+++++=，123123234434541202432205320 4.n a a a a a an a a a an a a a a=++====-=++==-=++==当时，，由，，可得；当时，，可得；当时，，可得（2）证明：对任意*,n N∈2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++= ② 21222320,n n n a a a +++++=③ ②—③，得223.n n a a +=④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+ 即*1()n n c c n N +=-∈ 又1131,0,n c a a =+=-≠故c 因此11,{}n n nc c c +=-所以是等比数列. （3）证明：由（2）可得2121(1)k k k a a -++=-， 于是，对任意*2k k ∈N 且≥，有 133********()11(1)() 1.k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-，，，将以上各式相加，得121(1)(1),k k a a k -+-=-- 即121(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k =1时也成立.由④式得12(1)(3).k k a k +=-+ 从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-2124 3.k k k S S a k -=-=+所以，对任意*2n n ∈N ，≥， 44342414114342414()nnk m m m mk m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑ 12221232()2222123nm m m m mm m m m =+-+=--++++∑ 123()2(21)(22)(22)nm m m m m ==++++∑2253232(21)(22)(23)nm m m n n ==++⨯+++∑ 21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++-+++∑ 151111113[()()()]3235572121(22)(23)n n n n =+⋅-+-++-+-+++ 1551336221(22)(23)7.6n n n =+-⋅++++<对于n =1，不等式显然成立. 所以，对任意*,n N ∈2121212212n n n nS S S S a a a a --++++ 32121241234212()()()n n n nS S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)n n n =--+--++-----22211121()()()41244(41)44(41)n n n n n =-+-+--+--111().4123n n -+=-≤20．【解析】（1）ln ()xf x x=，(1)0=f ，所以P 点坐标为(1,0)； 又21ln '()xf x x-=，'(1)1=f ，则切线方程为01-=-y x ， 所以函数()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程为10--=x y ． （2）21ln '()(0)-=>xf x x由2()()0f x tf x +>， 得()[()]0+>f x f x t ；① 0t >时，()0f x >或()f x t <-，满足条件的整数解有无数个，舍；② 0t =时，()0f x ≠，得0x >且1x ≠，满足条件的整数解有无数个，舍； ③ 0t <时，()0f x <或()f x t >-，当()0f x <时，无整数解；当()f x t >-时，不等式有且仅有三个整数解，又ln3(3)3f =，ln 2(2)(4)2f f ==，ln5(5)5f = 因为()f x 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减；所以(5)(4)f t f ≤-<， 即ln5ln 252t ≤-<，即ln 2ln 525t -<≤-；所以实数t 的取值范围为ln 2ln525t -<≤-． （3）2()24ln =-+h x x x x ， 因为221212()()0+-=h x h x x x ，所以22221112221224ln 24ln 0x x x x x x x x -++-+-=，即2221212121212()2()24ln x x x x x x x x x x +-+=+-，令12t x x =，2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->，则2(1)(2)4()22(0)t t t t t t tϕ-+'=+-=>， 当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'<，所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在(0,1)上单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在(1,)+∞上单调递增． 所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在1t =时，取得最小值，最小值为3．因为存在两个正实数12,x x ，满足221212()()0+-=h x h x x x ，所以21212()2()3x x x x +-+≥， 即21212()2()30x x x x +-+-≥，所以123x x +≥或121x x +-≤．因为12,x x 为正实数，所以123x x +≥．（附加题）21．（B ）【解析】由题知，==-1·=⇒所以a=2，b=2，M=.det(M )==1×2-2×3=-4，所以M -1=.21．（C ） 【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-，当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(12)，在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2c o s s i n 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．22． 【解析】(1) 因为直线y=n 与x=-1垂直，所以MP 为点P 到直线x=-1的距离. 连接PF ，因为P 为线段MF 的中垂线与直线y=n 的交点，所以MP=PF . 所以点P 的轨迹是抛物线，焦点为F (1，0)，准线为x=-1.所以轨迹E 的方程为y 2=4x. (2) 由题意，过点M (-1，n )的切线斜率存在，设切线方程为y -n=k (x+1)， 联立 得ky 2-4y+4k+4n=0，所以Δ1=16-4k (4k+4n )=0，即k 2+nk -1=0，(*)因为Δ2=n 2+4>0，所以方程(*)存在两个不相等的实数根，设为k 1，k 2， 因为k 1·k 2=-1，所以∠AMB=90°，为定值.23．【解析】(1) 由题意知P2==，即P2的值为.(2) 先排第n行，则最大数在第n行的概率为=;去掉第n行已经排好的n个数，则余下的- n=个数中最大数在第n-1行的概率为=;…故P n=··…·==.由于2n=(1+1)n=+++…+≥++>+=，所以>，即P n>.。

阶段性测试（三）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．锥体的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若U A =ð{1，2，5}，则集合A = ▲ ． 2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．3. 已知样本数据1234a a a a ，，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ． 4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7. 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ▲ ．8. 设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ▲ ．9. 在锐角三角形ABC 中，若3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ▲ ．10. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且211a =，则S 20的值为 ▲ ． 11. 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ． 12. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F（第4题）CA 1分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ．13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②()4x ∃∈-∞-，，()()0f x g x ⋅<，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知△ABC的面积为()18AC AB CB ?=u u u r u u u ru u u r，向量(tan tan sin 2)A B C =+,m 和(1cos cos )A B =,n 是共线向量.（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分（第16题）AOBPQMN（第17题）钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，r =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（*n ∈N ）． （1）求b 1，b 2的值； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t ＋a )， f (x )＜a －1．数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 【答案】{3，5}2. 【答案】33. 【答案】84. 【答案】1011 5. 【答案】356. 【答案】y ＝±3x7. 【答案】48. 【答案】（1，2）9. 【答案】79 10. 【答案】1 24011. 【答案1 12. 【答案】9 13．【答案】4514．【答案】()42--，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量，所以()cos cos tan tan sin 20A B A B C +-=， ……2分 即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. ……4分 因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = ……6分（2）()()218AC AB CB AC BC BA AC =?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，于是AC =. ……8分因为△ABC 的面积为1sin 2CA CB C ?，即1πsin 23CB ，解得CB = …… 11分 在△ABC 中，由余弦定理得((2222212cos 254.2AB CA CB CA CB C=+-?+-创所以AB = …… 14分16．（本题满分14分）证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， 因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12C D ． ……2分又因为E 为AB 中点，所以AE //CD ，且AE ＝12C D ． ……4分所以AE //FG ，AE ＝FG ．故四边形AEFG 为平行四边形． 所以EF //AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF //平面PA D ． ……6分（2）设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点得AG CG ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以AC ＝3，AG ＝13AC ＝33． 所以AG AE ＝AB AC ＝23，又∠BAD 为公共角，所以△GAE ∽△BA C ．所以∠AGE ＝∠ABC ＝90︒，即DE ⊥A C ． ……10分 又DE ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ，所以DE ⊥平面PA C ． ……12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ……14分17．（本题满分14分）解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则由题设得：A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，．，解得03x =，所以()3 3Q ，． ……2分 故直线AQ 的方程为()6y x =--，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故AB == …… 5分答：水上旅游线AB 的长为． ……6分 （2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )．若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， ……10分 当t ＝0时，上式成立，当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t －6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号， 因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．……13分 答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ……14分18．解：（1）设椭圆焦距为2c，所以223121 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=； ……4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， ……8分所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，， ()22002200488488y y y y --=+=++． ……10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，()020200208822828PB y y k y y y +==----+，由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =， 所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． ……16分 19．（本题满分16分）解：（1）由已知得，41a k =+， 所以1312=2a a b a +=，2423121a a k k kb a k k ++++===． ……2分 （2）由条件可知：()1213n n n n a a k a a n +--=+≥，①所以()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥.② ……4分 ①－②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+．因此：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=， ……6分故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k+=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． ……8分（3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数． ……10分由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩L ，，③ 由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2， ……12分检验：当1k =时，312=+kk 为整数， 利用123Z a a a ∈，，结合③，{a n }各项均为整数； ……14分 当2k =时③变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩L ，， 消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥ 由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}12，. ……16分 20．（本题满分16分）解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析x (0，1) 1 (1，＋∞)f’(x ) － 0 ＋ f (x ) 单调递减单调递增故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……3分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －ax ，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g ’(x )＝ln x ＋1,令g ’(x )＝0，x ＝1e ，列表分析g (x )min ＝g (1e )＝－1e －a ， ……5分而f’(1e )＝ln 1e －a e ＝－1－a e ，()2e f -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f’(e 2)＝2－a e 2＝1e 2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0， 故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减， 当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0， f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点；综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e 2)． ……10分 （3）存在1t =：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． ……11分 证明如下：由（2）得g (x )在(1e ，＋∞)上单调递增， 且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． ……13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)， 所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)． 即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1． ……15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F ’(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增． 所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x ． 补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G ’(x )＝1x －1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．……16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4－2：矩阵与变换【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩， ……5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321， ， ， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ……10分B ．解：因为A ( 1，π3 )，B ( 9，π3)，所以线段AB 的中点坐标为(5，π3)， ……2分设点P (ρ，θ)为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，ρcos(θ－π3)＝5，所以，l 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝5， ……6分令θ＝0，得ρ＝10，即C (10，0)． …… 8分 所以，△ABC 的面积为：12×(9－1)×10×sin π3＝203． ……10分C ．证明：因为|a ＋b |≤2，所以|a 2＋2a －b 2＋2b |＝|a ＋b ||a －b ＋2| ＝|a ＋b ||2a －(a ＋b )＋2| ≤|a ＋b |(|2a |＋|a ＋b |＋2)≤4(|a |＋2)． ……10分22．解：依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz 则B (1，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，因为DC →＝λAB →，所以C (λ，2，0)， ……2分 （1）从而PC →＝(λ，2，－2)，BD →＝(－1，2， 0)， 则cos ＜PC →，BD →＞＝PC →·BD →|PC →|·|BD →|＝4－λλ2＋8×5＝1515，解得λ＝2；（第22题）（2）易得PC →＝(2，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)， 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·PC →＝0，且n ·PD →＝0， 即x ＋y －z ＝0，且y －z ＝0， 所以x ＝0，不妨取y ＝z ＝1，则平面PCD 的一个法向量n ＝(0，1，1)， …… 8分 又易得PB →＝(1，0，－2)，故cos ＜PB →，n ＞＝PB →·n |PB →|·|n |＝－22×5＝－105，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105． ……10分 23．(本小题满分10分)解：（1）S 1＝C 11a 1＝1，S 2＝C 12a 1＋C 22a 2＝3． ……2分（2）记α＝1＋52，β＝1－52．则S n ＝15∑n i ＝1C i n (αi －βi )＝15∑n i ＝0C i n (αi －βi )＝15(∑n i ＝0C i n αi －∑n i ＝0C i n βi)＝15[(1＋α)n －(1＋β)n ]＝15[(3＋52)n －(3－52)n ]． ……6分因为(3＋52)×(3－52)＝1．故S n ＋2＝15{[(3＋52)n ＋1－(3－52)n ＋1][ (3＋52)＋(3－52)]－[(3＋52)n － (3－52)n]}＝3S n ＋1－S n ．所以存在=3λ，使得213n n n S S S +++=恒成立． ……10分。

2019届江苏省高三12月月考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二总分得分一、填空题1. 已知集合，则______________ ．2. 如果复数为纯虚数，则 = ______________ ．3. 如图程序运行的结果是 ___________ ．4. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是________ ．5. 甲?乙两个样本数据的茎叶图（如图），则甲?乙两样本方差中较小的一个方差是．6. 已知三个球的半径、、满足，记它们的表面积分别为、、，若，则．7. 经过函数上一点引切线与轴、轴分别交于点和点，为坐标原点，记的面积为，则 = ．8. 函数f （ x ）＝A sin （ωx＋φ）（ A，ω，φ是常数，A ＞ 0，ω＞ 0 ）的图象如图所示，若，则 =____________________ ．9. 在△ ABC 中，所对边的长分别为 a ， b ， c ．已知 a ＋c ＝2 b ，sinB＝ sinC，则＝ ______________________________ ．10. 如图，线段的长度为，点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作等边三角形，为坐标原点，则的取值范围是 ______________ ．11. 已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是 ______________ ．12. 已知函数，则不等式的解集为______________________________ ．13. 集合，则集合中的元素个数为 ______________ ．14. 实数，满足，如果它们的平方组成公差的等差数列，当取最小值时， = ．二、解答题15. 在平面直角坐标系 xOy 中，点的坐标为，点的坐标为，其中，设（为坐标原点）．（Ⅰ）若，为的内角，当时，求的大小；（Ⅱ）记函数的值域为集合，不等式的解集为集合．当时，求实数的最大值．16. 如图，在三棱柱中，D，E分别为 A 1 C 1 ，BB 1 的中点，B 1 C ⊥AB，侧面BCC 1 B 1 为菱形．求证：（Ⅰ）DE∥平面ABC 1 ；（Ⅱ） B 1 C ⊥ＤE ．17. 某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求总量（万吨）与的函数关系为，若区域外前4个月的需求总量为20万吨．（Ⅰ）试求出当第个月的石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；（Ⅱ）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．18. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆：的离心率为，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）（1）设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为，当为定值时求的值；（2）在（1）的条件下，当两条切线分别交椭圆于时，试探究是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由．19. 设函数．（Ⅰ）若，函数在的值域为，求函数的零点；（Ⅱ）若，，．（1）对任意的 , 恒成立, 求实数的最小值；（2）令 ,若存在使得,求实数的取值范围．20. 已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数k，使成等比数列，若数列的公差为d，求d的所有可能取值之和．21. 已知矩阵 A ＝，若矩阵 A属于特征值6的一个特征向量为α 1 ＝，属于特征值1 的一个特征向量为α 2 ＝．求矩阵 A ，并写出 A 的逆矩阵．22. 在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点P 的直角坐标．23. 抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x，y ．记表示的整数部分，如：，设为随机变量，．（Ⅰ）求概率；（Ⅱ）求的分布列，并求其数学期望．24. 数学运算中，常用符号来表示算式，如 = ，其中，．（Ⅰ）若，，，…，成等差数列，且，公差，求证：；（Ⅱ）若，，记，且不等式对于恒成立，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

2019届高三年级阶段测试（三）数学试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡 一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．设全集U =R ，若集合{}{}1234|23A B x x ==，，，，≤≤，则B C A U . 2．已知复数z 满足30z z+=，则||z = . 3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 .4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 .5．双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，则其渐近线方程为 .6．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ． 7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．8．若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 .9．若12cos cos sin sin sin 2sin 223x y x y x y +=+=，，则()sin x y += .10．已知数列{}n a 和{}n b ，其中2()n a n n *=∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，数列{}n b 中的第n a 项等于{}n a 中的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b = .11．设函数()332x x x af x x x a ⎧-=⎨->⎩，≤，，若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．12．在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD △与ACD △面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅= ．13． 已知圆O ：221x y +=，定点()30A ，，过点A 的直线l 与圆O 相较于B ，C 两点，两点B ，C 均在x 轴上方，若OC 平分AOB ∠，则直线l 的斜率为 .14．已知正实数a ，b 满足23a b +=，则222122a b a b +-++的最小值是 ． 二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.（1）求证：PE ⊥BC ； （2）求证：EF ∥平面PCD .16．已知函数f (x )=4tan sin cos 23x x x ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求f (x )的定义域与最小正周期； （2）讨论f (x )在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的单调性.17．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛= ⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； （2） 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？18．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，求AB 的最大值；（3）设(20)P -，，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ，D 和点71()44Q -，共线，求k .19．已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)02nn n n n n n b a a b a b ++++-++==，，*n ∈N ，且 1224a a ==，．（1）求345a a a ，，的值；（2）设*2121n n n c a a n -+=+∈N ，，证明：{}n c 是等比数列； （3）设*242k k S a a a k =++⋅⋅⋅+∈N ，，证明：4*17()6nk k kS n a =<∈∑N ．20．已知函数ln ()xf x x=，2()2g x x x =-． （1）求()f x 在点P (1，()1f )处的切线方程；（2）若关于x 的不等式2()()0f x tf x +>有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围；（3）若()()4()h x g x xf x =+存在两个正实数1x ，2x 满足221212()()0h x h x x x +-=，求证：123x x +≥．高三阶段测试数学试卷一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．.{}14，2．3． 564． 115 5． y = 6． 1 7． 28．3π9． 23 10． 2 11． 1a <- 12． 1615- 13． 14． 135 二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【解析】（1）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，∴PE ⊥平面ABCD .∵BC ⊂面ABCD ，∴PE ⊥BC .（2）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =∥， ∴ED FG ∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， ∴EF GD ∥.又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF ∥平面PCD .16． 【解析】（1）()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭)=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== （2）由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 17．【解析】（1）如图建立直角坐标系，则城市()00A ，，当前台风中心(P -，设t 小时后台风中心P 的坐标为(),x y ，则x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，184.4PA ≈km ，台风的半径为=r 160km ， 因为r PA <，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，则()6010t +210800864000300t t -+⇒≤，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤ 答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. 18．【解析】（1）由题意得2c =c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2AB x x =-==，易得当20m =时，max ||AB =||AB（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ， 则221133x y += ①，222233x y += ②， 又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =.19．【解析】（1）解：由3(1)2nn b +-=，*n ∈N ，可得12n n b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数又1120n n n n n b a a b a +++++=，123123234434541202432205320 4.n a a a a a a n a a a a n a a a a =++====-=++==-=++==当时，，由，，可得；当时，，可得；当时，，可得（2）证明：对任意*,n N ∈2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++= ② 21222320,n n n a a a +++++=③ ②—③，得223.n n a a +=④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+ 即*1()n n c c n N +=-∈ 又1131,0,n c a a =+=-≠故c 因此11,{}n n nc c c +=-所以是等比数列. （3）证明：由（2）可得2121(1)k k k a a -++=-， 于是，对任意*2k k ∈N 且≥，有133********()11(1)() 1.k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-，，，将以上各式相加，得121(1)(1),k k a a k -+-=-- 即121(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k =1时也成立.由④式得12(1)(3).k k a k +=-+ 从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-2124 3.k k k S S a k -=-=+所以，对任意*2n n ∈N ，≥， 44342414114342414()nnk m m m mk m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑ 12221232()2222123nm m m m mm m m m =+-+=--++++∑ 123()2(21)(22)(22)nm m m m m ==++++∑2253232(21)(22)(23)nm m m n n ==++⨯+++∑ 21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++-+++∑ 151111113[()()()]3235572121(22)(23)n n n n =+⋅-+-++-+-+++ 1551336221(22)(23)7.6n n n =+-⋅++++<对于n =1，不等式显然成立.所以，对任意*,n N ∈2121212212n nn nS S S S a a a a --++++32121241234212()()()n nn nS S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)n n n=--+--++----- 22211121()()()41244(41)44(41)n n nn n =-+-+--+-- 111().4123n n -+=-≤20．【解析】（1）ln ()xf x x=，(1)0=f ，所以P 点坐标为(1,0)； 又21ln '()xf x x-=，'(1)1=f ，则切线方程为01-=-y x ， 所以函数()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程为10--=x y ． （2）21ln '()(0)-=>xf x x x由2()()0f x tf x +>， 得()[()]0+>f x f x t ；① 0t >时，()0f x >或()f x t <-，满足条件的整数解有无数个，舍； ② 0t =时，()0f x ≠，得0x >且1x ≠，满足条件的整数解有无数个，舍； ③ 0t <时，()0f x <或()f x t >-，当()0f x <时，无整数解； 当()f x t >-时，不等式有且仅有三个整数解，又ln3(3)3f =，ln 2(2)(4)2f f ==，ln5(5)5f = 因为()f x 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减；所以(5)(4)f t f ≤-<，即ln5ln 252t ≤-<，即l n 2l n 525t -<≤-；所以实数t 的取值范围为ln 2ln525t -<≤-． （3）2()24ln =-+h x x x x ，因为221212()()0+-=h x h x x x ，所以22221112221224ln 24ln 0x x x x x x x x -++-+-=， 即2221212121212()2()24ln x x x x x x x x x x +-+=+-，令12t x x =，2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->， 则2(1)(2)4()22(0)t t t t t ttϕ-+'=+-=>， 当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'<，所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在(0,1)上单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在(1,)+∞上单调递增． 所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在1t =时，取得最小值，最小值为3．因为存在两个正实数12,x x ，满足221212()()0+-=h x h x x x ，所以21212()2()3x x x x +-+≥，即21212()2()30x x x x +-+-≥，所以123x x +≥或121x x +-≤． 因为12,x x 为正实数，所以123x x +≥．（附加题）21．（B ）【解析】由题知，==-1·=⇒所以a=2，b=2，M=.det(M )==1×2-2×3=-4，所以M -1=.21．（C ）【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①第 11 页 共 11 页 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(12)，在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-． 22．【解析】(1) 因为直线y=n 与x=-1垂直，所以MP 为点P 到直线x=-1的距离. 连接PF ，因为P 为线段MF 的中垂线与直线y=n 的交点，所以MP=PF . 所以点P 的轨迹是抛物线，焦点为F (1，0)，准线为x=-1.所以轨迹E 的方程为y 2=4x. (2) 由题意，过点M (-1，n )的切线斜率存在，设切线方程为y -n=k (x+1)， 联立 得ky 2-4y+4k+4n=0，所以Δ1=16-4k (4k+4n )=0，即k 2+nk -1=0，(*)因为Δ2=n 2+4>0，所以方程(*)存在两个不相等的实数根，设为k 1，k 2， 因为k 1·k 2=-1，所以∠AMB=90°，为定值.23． 【解析】(1) 由题意知P 2==，即P 2的值为.(2) 先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为=;去掉第n 行已经排好的n 个数， 则余下的 - n=个数中最大数在第n -1行的概率为=;…故P n =··…·==.由于2n =(1+1)n =+++…+≥++>+=， 所以>，即P n >.。

江苏省海安高级中学201９届高三数学上学期第二次月考试题说明:1、 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上; 2、 本卷总分160分,考试时间120分钟、 方差公式,其中。

一、填空题:本大题共14小题,每小题５分,共70分、不需要写出解答过程,请把答案直截了当填在答题卡相应位置上．．．．．．．．、 1、已知集合,,则 ▲ 。

2、复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限、3、为了解某一段公路汽车通过时的车速情况,现随机抽测了通过这段公路的２0０辆汽车的时速,所得数据均在区间[40,８0]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的200辆汽车中,时速在区间［40,６０]内的汽车有 ▲ 辆、4、袋中装有5个大小相同的球,其中3个黑球,２个白球,从中一次摸出2个球,则摸出1个黑球和１个白球的概率等于 ▲ 。

５、在一次知识竞赛中,抽取5名选手,答对的题数分布情况如下表,则这组样本的方差为 ▲ 、6、如右图所示的算法流程图中,最后输出值为 ▲ 、7、已知,是两条不同的直线,,是两个不同的平面。

①若,,则; ②若,,,则; ③若,,,则; ④若,,,则、上述命题中为真命题的是 ▲ 、(填写所有真命题的序号)。

８、公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈,问日益几何"、题目的意思是:有个女子善于织布,一天比一天织得快(每天增加的数量相同),已知第一天织布5尺,一个月(30天)共织布9匹3丈,则该女子每天织尺布的增加量为 ▲ 尺、(１匹=4丈,1丈=10尺) 9、若,则 ▲ 、10。

如图,已知为矩形内的一点,且,,,则 ▲ 、答对题数 ４ 8 ９ 10 人数分布１１２1BAOCD第6题图(第3题图)(第5题表)11。

已知关于的方程在上有三个相异实根,则实数的取值范围是 ▲ 、 １２、已知,且,则的最小值等于 ▲ 、１３、如图,已知,为的中点,分别以为直径在的同侧作半圆,分别为两半圆上的动点(不含端点),且,则的最大值为 ▲ 、14、若关于的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立,则实数的取值范围是 ▲ 、二、解答题:本大题共6小题,共9０分。

2019年高三12月月考数学文含答案一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． 1．已知全集，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则 A. B. C. D. 2．在中，“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）： ①“若a,b ”类比推出“若a,b ”；②“若a,b,c,d d b c a di c bi a R ==⇒+=+∈,,则复数”类比推出“若a,b,c,d则d b c a d c b a ==⇒+=+,22”；③“若a,b ” 类比推出“若a,b ”；其中类比结论正确的个数是 （ ） (A). 0 (B). 1 (C). 2 (D). 34．已知等比数列的前项和为，，则实数的值是A ．B ．C ．D ． 5．已知非零向量、，满足，则函数是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 偶函数D. 奇函数 6．已知函数，则A ．B ．C ．D ．7．，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) (A)， （B ），(C) ，，共面 （D ），，共点，，共面8．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的解析式为 A ． B ．C ． D.9．已知是所在平面内一点，为边中点，且，则A ． B ． C ． D ． 10．若函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是 A ． B ．或C ．D ．11、设是定义在上的奇函数，当时，，则（A ） (B) （Ｃ）１ （Ｄ）３ 12．已知函数，且，则A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知复数满足,为虚数单位,则复数 .14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x，则的值为 ；15．设正项等比数列的前项和为，若，则 ；16．已知定义在上的奇函数满足，且时，，甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：；乙：函数在上是减函数；丙：函数关于直线对称；丁：若，则关于的方程在上所有根之和为，其中正确的是 、 三、解答题：本大题共6小题,共74分, 17．（本小题满分12分）在中，分别是角的对边，已知．（Ⅰ）若，求的大小； （Ⅱ）若，的面积，且，求． 18．（本小题满分12分）设是公差大于零的等差数列，已知，. （Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是以函数的最小正周期为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和. 19．（本小题满分12分）已知向量22(cos sin ,sin )a x x x ωωω=-，，设函数的图象关于直线对称，其中为常数，且. （Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）若将图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到的图象， 若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围.20、（本小题满分12分）如图，在四面体PABC 中，点D ，E ，F ，分别是棱AP ，AC ，BC 的中点．(1)若G 为PB 的中点，且PC ⊥AB ，求证：四边形DEFG 为矩形；(2)过D ，E ，F 的平面与PB 交于G ，试确定四边形DEFG 的形状？并说明理由？ 21．（本小题满分13分） 已知函数为偶函数．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-，21lg 2lg 2lg5lg54λ=++-，判断与的关系；（Ⅲ）当时，若函数的值域为，求的值.22、（本小题满分13分）已知函数()）（R a x ax x x f ∈-+=ln 2(1)若函数y=在[1,2]内是减函数，求实数的取值范围（2）令，是否存在实数,当（e 是自然对数的底数）时，函数的最小值为3，若存在求出值;若不存在，说明理由。

江苏海安高级中学2019高三12月检测试题-数学【一】填空题：〔本大题共14小题，每题5分，共70分、请将答案填在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．〕 1、 复数2i1iz =-〔i 为虚数单位〕的实部是 ▲ 、【答案】—1 2、 集合{}3,2a A =，{},B a b =，假设{}2AB =，那么AB = ▲ 、【答案】{1,2,3} 3、 等比数列{}n a 的各项都为正数，它的前三项依次为1，a +1，2a +5，那么数列{}n a 的通项公式n a = ▲ 、【答案】13n -4、 假设()ππ,42θ∈，且1sin 216θ=，那么cos sin θθ-的值是 ▲ 、【答案】5、 设,,a b c 是单位向量，且=+a b c ，那么向量a,b 的夹角等于 ▲ 、【答案】3π 6、 假设函数ln 26y x x =+-的零点为0x ，那么满足0k x ≤的最大整数k = ▲ 、【答案】27、 定义在R 上的可导函数()y f x =满足()()5f x f x +=-，()()250x f x '->、错误！未找到引用源。

12x x <，那么“()()12f x f x >”是“125x x +<”错误！未找到引用源。

的 ▲ 条件. 【答案】充分必要8、 函数()32f x x ax bx c =+++的图象过点A 〔2，1〕，且在点A 处的切线方程2x —y + a = 0，那么a + b + c = ▲ 、【答案】09、 在平面直角坐标系中，两条平行直线的横截距相差20，纵截距相差15，那么这两条平行直线间的距离为 ▲ 、【答案】1210、半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四点，且满足AB ⊥AC ，AC ⊥AD ，AD ⊥AB ，那么ABC S ∆+ACD ADB S S ∆∆+的最大值为〔S 为三角形的面积〕 ▲ 、【答案】32 11、(A ，O 是原点，点P 的坐标为〔x ，y 〕满足条件0200y x y -≤-+≥⎨⎪≥⎪⎩，那么||OA OP z OP ⋅=的取值范围是 ▲ 、【答案】[]3,3-12、假设对任意[],1,2x y ∈，x y =2，总有不等式2—x ≥4a y -成立，那么实数a 的取值范围是▲ 、【答案】a ≤0①“k =1”是“函数22cos sin y kx kx =-的最小正周期为π”的充要条件；②函数()πsin 26y x =-的图像沿x 轴向右平移π6个单位所得的图像的函数表达式是cos2y x =；③函数()2lg 21y ax ax =-+的定义域为R ，那么实数a 的取值范围是〔0，1〕；④设O 是△ABC 内部一点，且2OA OB OC ++=0，那么△AOB 和△AOC 的面积之比为1：2； 其中真命题的序号是▲、〔写出所有真命题的序号〕【答案】④14、定义在R 上的函数满足()()()1(0)0,11,()52x f f x f x f f x =+-==，且当1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，那么1()2012f =▲、【答案】132 【二】解答题：〔本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕 15、〔本大题总分值14分〕如图，A 、B 是海面上位于东西方向相距(53+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45，B 点北偏西60的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60且与B 点相距C 点救援船马上前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？ 【答案】由题意知AB =(53+海里，906030DBA ∠=-=，904545DAB ∠=-=，∴()1804530105ADB ∠=-+=、在ABD ∆中，由正弦定理得：sin sin DB AB DAB ADB =∠∠，∴(53sin 45sin sin sin105AB DAB DB ADB⋅⋅∠===∠又()30906060DBC DBA ABC ∠=∠+∠=+-=，BC = 在DBC ∆中，由余弦定理得：22212cos 300120029002CD BD BC BD BC DBC =+-⋅⋅∠=+-⨯=∴30CD =〔海里〕∴需要的时间30130t ==〔小时〕故救援船到达D 点需要1小时、16、〔本大题总分值14分〕如图，,,M N K 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱11,,AB CD C D 的中点、 〔1〕求证：AN //平面1A MK ； 〔2〕求证：平面11A B C ⊥平面1A MK 、 【答案】〔1〕证明：连结NK . 在正方体1111ABCD A B C D -中， 四边形1111,AA D D DD C C 都为正方形，1111//,,AA DD AA DD ∴= 1111//,.C D CD C D CD =,N K 分别为11,CD C D 的中点，11//,.DN D K DN D K ∴=1DD KN ∴为平行四边形. 11/,.KN DD KN DD ∴= 11//,.AA KN AA KN ∴=1AA KN ∴为平行四边形.1//.AN A K ∴ 1A K ⊂平面1,A MK AN ⊄平面1A MK ，//AN ∴平面1.A MK〔2〕连结1.BC在正方体1111ABCD A B C D -中，1111//,.AB C D AB C D =,M K 分别11,AB C D 中点，11//,.BM C K BM C K ∴=∴四边形1BC KM 为平行四边形.1//.MK BC ∴在正方体1111ABCD A B C D -中，11A B ⊥平面111,BB C C BC ⊂平面11,BB C C111.A B BC ∴⊥D 1A 1B 1C 1KNCBA M DD 1A 1B 1KND111//,.MK BC A B MK ∴⊥11BB C C 为正方形，11.BC B C ∴1.MK B C ⊥ 11A B ⊂平面111,A B C B C ⊂平面111111,,A B C A B B C B =MK ∴⊥平面11.A B CMK ⊂平面1,A MK ∴平面1A MK ⊥平面11.A B C17、〔本大题总分值14分〕如图：在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A 、B 两点、 〔1〕假设A 、B 两点的纵坐标分别为45、1213，求()cos βα-的值；〔2〕点(C -，求函数()f OA OC α=⋅的值域、 【答案】〔1〕依照三角函数的定义，得4sin 5α=，12sin 13β=、 又α是锐角，因此3cos 5α=、由12sin 13β=；因为β是钝角，因此5cos 13β=-、因此5312433c o s ()c o s c o ss i n s i n ()13513565βαβαβα-=+=-⨯+⨯=、 〔2〕由题意可知，(c o s s i n)O A αα=，，(O C 、 因此()3s i nc o s 2s i n ()6f O A O C παααα=⋅=-=-， 因为02πα<<，因此663πππα-<-<，1s i n ()26a π-<-从而1()f α-<，因此函数()f O A O C α=⋅的值域为(1-、 18、〔本大题总分值16分〕O 为平面直角坐标系的原点，过点()2,0M -的直线l 与圆221x y +=交于P 、Q 两点、〔1〕假设12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程；〔2〕假设OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，求直线l 的斜率、 【答案】〔1〕依题意，直线l 的斜率存在，因为直线l 过点(2,0)M -，可设直线l ：(2)y k x =+、因为Q P ,两点在圆221x y +=上，因此1OP OQ ==，因为12OP OQ ⋅=-，因此1cos 2OP OQ OP OQ POQ ⋅=⋅⋅∠=-. 因此120POQ ︒∠=因此O 到直线l的距离等于12、12=，得15k =±.因此直线l 的方程为20x +=或20x ++=、 〔2〕因为OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，因此2MQ MP =，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因此22(2,)MQ x y =+，11(2,)MP x y =+、 因此⎩⎨⎧=+=+,12122),2(22y y x x 即⎩⎨⎧=+=.12122),1(2y y x x 〔*〕因为P ，Q 两点在圆上，因此⎩⎨⎧=+=+.1,122222121y x y x 把〔*〕代入得⎩⎨⎧=++=+.14)1(4,121212121y x y x 因此11788x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩， 故直线l 的斜率9MP k k ==±，即9k =±、 19、〔本大题总分值16分〕函数()()322152f x x k k x x =--++-，()221g x k x kx =++，其中k ∈R 、 〔1〕设函数()()()p x f x g x =+，假设()p x 在区间〔0,3〕是单调函数，求k 的取值范围；〔2〕设函数()()(),0,0g x x q x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，是否存在实数k ，对任意给定的非零实数1x ，存在惟一的非零实数()221x x x ≠，使得()()21q x q x ''=成立？假设存在，求k 的值；假设不存在，请说明理由、【答案】〔1〕因32()()()(1)(5)1P x f x g x x k x k =+=+-++- ()232(1)(5)p x x k x k '=+-++，∵()p x 在区间(0,3)上单调．．恒成立或00≤'≥'∴)()(x P x P)523()12()523()12(22+--≤++--≥+x x x k x x x k 或即恒成立01230>+∴∈x x ),( ∴125231252322++--≤++--≥x x x k x x x k 或恒成立 设()()2325391*********x x F x x x x -+⎡⎤=-=-++-⎢⎥++⎣⎦ 令21,t x =+有()1,7t ∈，记9(),h t t t=+由函数()h t 的图像可知，()h t 在(]1,3上单调递减，在[)3,7上单调递增，∴()[)6,10h t ∈，因此],()(25--∈x F ∴5,2-≤-≥k k 或 〔2〕当0x <时有()()2232(1)5q x f x x k k x ''==--++；当0x >时有()()22q x g x k x k''==+，因为当0k =时不合题意，因此0k ≠，……8分下面讨论0k ≠的情形，记}|)({},|)({00<'=>'=x x f B x x g A 求得A (,)k =+∞，B=()5,+∞〔ⅰ〕当10x >时，()q x '在()0,+∞上单调递增，因此要使()()21q x q x ''=成立，只能20x <且A B ⊆，因此有5k ≥〔ⅱ〕当10x <时，()q x '在()0,+∞上单调递减，因此要使()()21q x q x ''=成立，只能20x >且A B ⊆，因此5k ≤综合〔ⅰ〕〔ⅱ〕5k =当5k =时A=B ，那么()110,x q x B A'∀<∈=，即20,x ∃>使得()()21q x q x ''=成立，因为()q x '在()0,+∞上单调递增，因此2x 的值是唯一的；…13分同理，10x ∀<，即存在唯一的非零实数221()x x x ≠，要使()()21q x q x ''=成立，因此5k =满足题意.20、〔本大题总分值16分〕设集合W 由满足以下两个条件的数列{}n a 构成：①212n n n a a a +++<；②存在实数M ，使n a M ≤〔n 为正整数〕、 〔1〕在只有5项的有限数列{}n a ，{}n b 中，其中123451,2,3,4,5a a a a a =====； 123451,4,5,4,1b b b b b =====；试判断数列{}n a ，{}n b 是否为集合W 的元素；〔2〕设{}n c 是各项为正的等比数列，n S 是其前n 项和，314c =，374S =，证明：数列{}n S W ∈；并写出M 的取值范围；〔3〕设数列{}n d W ∈，且对满足条件的M 的最小值0M ，都有()*0n d M n ≠∈N 、求证：数列{}n d 单调递增、 【答案】〔1〕关于数列{}n a ，取13222a a a +==，显然不满足集合W 的条件，① 故{}n a 不是集合W 中的元素， 关于数列{}nb ，当{1,2,3,4,5}n ∈时，不仅有13232b b b +=<，24342b bb +=<，33432b b b +=<，而且有5n b ≤，显然满足集合W 的条件①②， 故{}n b 是集合W 中的元素、〔2〕∵{}n c 是各项为正数的等比数列，n S 是其前n 项和，3317,,44c S ==设其公比为0q >， ∴333274c c c q q ++=，整理得2610q q --=、 ∴12q =，∴1111,2n n c c -==，1122n n S -=-关于*n ∀∈N ，有222111222222n n n n n n S S S ++++=--<-=，且2n S <，故{}n S W ∈，且[)2,M ∈+∞〔3〕证明：〔反证〕假设数列{}n d 非单调递增，那么一定存在正整数k ， 使1k k d d +≥，易证于任意的n k ≥，都有1k k d d +≥，证明如下： 假设()n m m k =≥时，1k k d d +≥当1n m =+时，由212m m m d d d +++<，212m m m d d d ++<-、而12111(2)0m m m m m m m d d d d d d d +++++->--=-≥ 因此12,m m d d ++>因此关于任意的n k ≥，都有1m m d d +≥、 显然12,,,k d d d 这k 项中有一定存在一个最大值，不妨记为0n d ；因此0*()n n d d n ∈N ≥，从而00n d M =与这题矛盾、 因此假设不成立，故命题得证、。

江苏省海安高级中学2019-2020学年高一数学12月月考试题（创新班）一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分.单选题1~10，多选题11~13） 1.已知集合{1,3,5}A =，{}(1)(3)0B x x x =--=，则A B =I （ ） A. ∅ B. {1}C. {3}D. {1,3}2.2πsin()=3-（ ） A. 3-B. 12-C.32D.123.设a 、b 、R c ∈，且b a >，则( )． A ．bc ac > B ．11<a bC ．22b a >D ．33b a > 4．已知()13ln2a =，()13ln3b=，2log 0.7c=，则a ， b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<5. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥6. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则A ＝( )A.30° B．45° C．60° D．75° 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22-=n n a S ，则2a 等于( )A ．4B ．2C ．1D ．－28. 函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象 （ ）A. 每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）， 再向左平移π3个单位 B. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位C. 先向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D. 先向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） 9. 已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A. 0x a <B. 0x a >C. 0x c <D. 0x c >10.如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O ，P 为半圆上与,A B 不重合的一动点，下面关于PA PB PD ++u u u r u u u r u u u r的说法正确的是（ ）A. 无最大值，但有最小值B. 既有最大值，又有最小值C. 有最大值，但无最小值D. 既无最大值，又无最小值11. 定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期．下列函数是线周期函数的是A.2xy = B.2log y x =C.[]y x =（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），D.sin y x x =+ 12.已知函数()sin f x x ω=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则下列结论正确的是_______ A. ω一定为正数；B. 函数()sin f x x ω=在区间,06π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数； C. 满足条件的正整数ω的最大值为3；D. 412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13.如图所示,已知OAB V ,由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量:A. 12OM OA OB =+u u u u v u u u v u u u v;B. 23143OM OA OB u u u u u v u u u v u u u v =+;C. 31123OM OA OB =+u u u u u v u u u v u u u v;D. 43145OM OA OB u u u u u v u u u v u u u v=+.对于点1M ,2M ,3M ,4M ,落在阴影区域内（不含边界）的有_____.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 14.已知角θ的终边过点(3,4)-，则cos θ=____________.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22-=n n a S ，则2a 等于____________.16.函数2,(),0.x x t f x x x t ，⎧≥=⎨<<⎩（0t >）是区间(0,)+∞上的增函数，则t 的取值范围是_____________.17.已知π(0)2αα<<的终边与单位圆交于点P ,点P 关于直线y x =对称后的点为M ,点M 关于y 轴对称后的点为N ,设角β终边为射线ON .（1）β与α的关系为______;（2）若1sin 3α=,则tan β=______. 三、解答题（本大题共6小题，共82分.18题12分，其余每题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18. 如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧面11ACC A 是矩形,侧面11BCC B 是菱形, M 是1AB 的中点. N 是1BC 与1B C 的交点, 1AC B C ⊥，求证:(1) MN ∥平面11ACC A ； (2) 1BC ⊥平面1ABC .19.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整；函数()f x 的解析式为()f x = （直接写出结果即可）； （2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值和最小值．20.（本小题满分14分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为315,12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值; （II ）求πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.21.已知函数()()2f x x ax b a b R =+-∈，．(1)若1b =-，且函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围； (2)当1b a =-时，解关于x 的不等式()0f x ≤； (3)若正数a b ，满足43a b+≤，且对于任意的[)()10x f x ∈+∞≥，，恒成立，求实数a b，的值．22.某水产养殖户制作一体积为1200立方米的养殖网箱(无盖),网箱内部被隔成体积相等的三块长方体区域(如图),网箱.上底面的一边长为20米,网箱的四周与隔栏的制作价格是200元/平方米,网箱底部的制作价格为90元/平方米.设网箱上底面的另一边长为x 米,网箱的制作总费用为y 元.(1)求出y 与x 之间的函数关系,并指出定义域；(2)当网箱上底面的另一边长x 为多少米时,制作网箱的总费用最少.23.已知{}n a 是公差不为零的等差数列, {}n b 是等比数列,且221a b ==,331a b -=,441a b -=.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；(2)记n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和n S ；(3)若满足不等式18n m n n na mb a b ++++<成立的n 恰有3个,求正整数m 的值.高一数学月考一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分.单选题1~10，多选题11~13） 1. 【解析】{}()(){}{}{}1,3,5,1301,3,1,3.A B x x x A B ==--==∴⋂==Q故选D. 2. 【答案】A 【解析】2π2πππsin()=-sin =-sin -sin 3333π⎛⎫--== ⎪⎝⎭ 故选D. 3. 【答案】D 4． 【答案】B【解析】22log 0.7log 10c =<=，()()11330ln21ln3a b <=<<=，故c a b <<，故选B ． 5. 【答案】B 6. 【答案】A 7. 【答案】A 8. 【答案】C 【解析】根据函数()f x 的图象，设f x Asin x ωϕ=+（）（），可得12222236A ，，．πππωω=⋅=-∴=再根据五点法作图可得2022633f x sin xπππϕϕ⨯+=∴=-=-，，（）（）， 故可以把函数()f x 的图象先向左平移6π个单位，得到222233y sinx sin x ππ=+-=（） 的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到2y sinx = 函数的图象， 故选：C ． 9. 【答案】B 【解析】∵()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在∞（0，+）上是增函数0a b c ，＜＜＜，且()()()0f a f b f c <，f a f b f c （）、（）、（）∴ 中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数； 即：00f a f b f c （）＜，＜（）＜（）；或0f a f b f c （）＜（）＜（）＜； 由于实数0 x 是函数y f x =（）的一个零点， 当00f a f b f c （）＜，＜（）＜（）时，0a x b ＜＜， 当0f a f b f c （）＜（）＜（）＜ 时，0x a ＞，故选B 10. 【答案】D 【解析】【详解】设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D （-1，2），P （cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）()()22cos ,2sin 1cos ,2sin PA PB PD PO PD θθθθ++=+=--+---u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v()13cos ,3sin θθ=---PA PB PD ∴++==u u u v u u u v u u u v ∵cos θ∈（-1，1），∴PA PB PD ++u u u v u u u v u u u v ∈（4，16）.故选D.点睛：本题考查了向量的加法及向量模的计算，利用建系的方法，引入三角函数来解决使得思路清晰，计算简便，遇见正方形，圆，等边三角形，直角三角形等特殊图形常用建系的方法. 11. 【答案】CD 12. 【答案】ABCD【解析】由题函数()sin f x x ω=在区间π06（，）上是增函数，则由f x sin x sin x f x ωω-=-=-=-（）（）（），可得f x （）为奇函数，则B 函数()sin f x x ω=在区间(π6-,0)上是增函数，正确； 由 62，ππω≤可得3ω≤ ，即有满足条件的正整数ω的最大值为3，故C 正确； 由于 212436ππππ+==⨯， 由题意可得对称轴6x π≥ ，即有ππ412f f ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.，故D 正确．【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质，重点是对称性和单调性的运用，考查运算能力，属于中档题． 13. 【答案】AB若D 为AB 中点,则由向量的加法法则可得()12OD OA OB =+u u u v u u u v u u u v； 设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ，则存在实数01]t ∈（，，使得1? 1ON tOA t OB u u u v u u u v u u u v（）（），=+-且存在实数1r ≥，使得 O M rON u u u u v u u u v ，= 从而 1OM rtOA r t OB =+-u u u u v u u u v u u u v（），且 11rt r t r +-=≥（）． 又由于 01t ≤≤ ，故 10r t -≥（）． 对于①中112rt r t ，（）=-= ，解得233r t ==，， 满足1r ≥也满足 10r t -≥（）．，故①满足条件． 对于②31143rt r t =-=，（）， 解得1391213r t ==， ，满足1r ≥也满足 10r t -≥（）．故②满足条件，对于③11123rt r t =-=，（）， 解得5365r t ==，，不满足1r ≥，故③不满足条件， 对于④31145rt r t ，（），=-= 解得19152019r t ==， ，不满足1r ≥，故④不满足条件， 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上） 14. 【答案】35【解析】∵角θ的终边经过点34345x y r -∴==-=（，），，，， 则35x cos r θ==． 故答案为35． 15． 【答案】4 16.【答案】1t ≥ 【解析】函数()2,,0.x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩，（0t >）的图象如图：由图像可知函数()2,,0.x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩，（0t >）是区间()0,+∞上的增函数，则须1t ≥． 故答案为1t ≥．【点睛】本题考查函数的图象的画法，分段函数的应用，函数的单调性的应用，解题时注意数形结合思想的应用 17.【答案】 (1). 90βα=+︒ (2). -【解析】（1）β与α的关系为由题意可得：点P 为单位圆上点，并且以射线OP 为终边的角的大小为α， 所以P cos sin αα（，），又因为P M ， 两点关于直线y x = 对称， 所以M sin cos （，）．αα 即cos sin 22M ππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（，）．即2πβα=+（2）1,cos cos sin ,223ππβαβαα⎛⎫=+∴=+=-=- ⎪⎝⎭Qπ0,sin sin cos 223παβαα⎛⎫<<∴=+== ⎪⎝⎭Q 故sin tan cos βββ==-即答案为(1). 90βα=+︒ (2). -三、解答题（本大题共6小题，共82分.18题12分，其余每题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.【答案】详见解析； 【解析】分析：(1)由三角形中位线定理可得MN AC P ，根据线面平行的判定定理可得MN P 平面11ACC A ；(2)先证明AC ⊥平面11BCC B ,则1AC B C ⊥，由菱形的性质,可得11B C B C ⊥，根据线面垂直的判定定理可得1B C ⊥平面1AB C . 详解： (1)由四边形11BCC B 是菱形,可得N 为1B C 中点,又因为M 为1AB 的中点,可得MN AC P ， 又因为MN ⊄平面11ACC A ,AC ⊂平面11ACC A ， 可得MN ∥平面11ACC A ；(2) 由四边形11ACC A 为矩形,可得1AC CC ⊥，又因为1AC B C ⊥,1CC ⊂平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，11CC B C C ⋂=， 可得AC ⊥平面11BCC B ,则1AC B C ⊥， 由四边形11BCC B 是菱形,可得11B C B C ⊥，因为1AC B C ⊥,11B C B C ⊥,AC ⊂平面1AB C ,1B C ⊂平面1AB C ，1AC B C C ⋂=， 可得1B C ⊥平面1AB C . 19.【答案】（1）π()2sin(2)6f x x =+；（2）πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（3）见解析【解析】【详解】试题分析：（1）由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的单调性，求得函数()f x ）的单调递增区间． （3）利用正弦函数的定义域、值域，求得函数()f x ）在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值 试题解析： （1）根据表格可得 2236ωω⋅=-∴=，． 再根据五点法作图可得2626πππϕϕ⨯+=∴=， ，故解析式为：()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）令22226236k x k k x k ，求得πππππππππ-≤+≤+-≤≤+函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.（3）因为π02x -≤≤，所以5πππ2666x -≤+≤. 得：π11sin 262x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 所以,当ππ262x +=-即π3x =-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-.当ππ266x +=即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 【点睛】本题主要考查由函数y Asin x ωϕ=+（）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，正弦函数的单调性以及定义域、值域，属于基础题．19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）依题意，113nn n n n S S a S ++-==+，即123nn n S S +=+， 由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ······················· 4分因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．①···················· 6分（Ⅱ）由①知13(3)2nn n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦g ， 当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔+- ⎪⎝⎭g ≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，． ··················· 12分 20.（本小题满分14分） 【答案】（I ）a=8,sin C =（II.解(1) 在三角形ABC 中，由sin sin b cB C=及C B sin 6sin =，可得b =又b c a 66=-，有2a c =，所以222cos 2b c a A bc +-=== (2) 在三角形ABC中，由cos A =，可得sin A =，于是21cos 22cos 1,sin 22sin cos 4A A A A A =-=-==，所以cos(2)cos 2cos sin 2sin 666A A A πππ-=+=21.【答案】(1) (,2][2,)-∞-+∞U ；(2) 2a <时[1,1]a --；2a =时{}1-；2a >时[1,1]a --； (3) 1,2a b ==； 【解析】 【分析】(1)由240a ∆=-≥可得结果；(2)1b a =-时，()21f x x ax a =++-()()11x x a =++-，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；(3)[)1x ∈+∞，时()0f x ≥恒成立，当且仅当()10f ≥，即10a b +-≥，即1a b ≥-，由43a b +≤，可得43a b ≤-，则413b b-≤-，解不等式即可的结果． 【详解】(1) 1b =-时，()21f x x ax =++，由函数()f x 有零点，可得240a ∆=-≥，即2a ≤-或2a ≥； (2) 1b a =-时，()21f x x ax a =++- ()()11x x a =++-，当11a -<-即2a <时，()0f x ≤的解集为[]11a --，， 当11a -=-即2a =时，()0f x ≤的解集为{}1-，当11a ->-即2a >时，()0f x ≤的解集为[]11a --，； (3)二次函数()f x 开口响上，对称轴2ax =-，由2a >可得()f x 在[)1+∞，单调递增， [)1x ∈+∞，时()0f x ≥恒成立，当且仅当()10f ≥，即10a b +-≥，即1a b ≥-，由43a b +≤，可得43a b≤-， 则413b b-≤-，由0>可得2440b b -+≤，即()220b -≤，则2b =，此时11a ≤≤，则1a =．【点睛】本题主要考查函数的零点、一元二次不等式的解法、二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题．分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中． 22.【答案】(1) 720000180032000y x x=++，定义域为(0,)+∞；(2) 20； 【解析】分析：(1) 隔栏与四周总面积为8603600601603x x x x⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭平方米,底部面积为20x 平方米,结合不同位置的价格即可的结果；(2)400180032000y x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由0x >可得40040x x+≥=,从而可得结果. 详解： (1)网箱的高为12006020x x=⨯米, 由三块区域面积相同可得隔栏与左右两边交点为三等分点, 隔栏与四周总面积为8603600601603x x x x⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭平方米, 底部面积为20x 平方米, 则360020016090y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭ 72000020180032000x x x ⨯=++，定义域为()0,+∞；(2) 400180032000y x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由0x >可得40040x x +≥=,当且仅当400x x =即20x =时等号成立, 答: 720000180032000y x x=++，定义域为()0,+∞；网箱上底面的另一边长x 为多少20米时,制作网箱的总费用最少.点睛：本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及几何概型概率公式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题题意的关键是：求出y 与x 之间的函数关系，进而利用基本不等式求解. 23.【答案】(1) 23n a n =-，22n n b -=.(2) 15(25)2+2n n S n -=-⨯ .(3) 3. 【解析】分析：(1) 根据221a b ==,331a b -=,441a b -=列出关于首项1a 、1b ,公差d 与公比q 的方程组，解方程组可得1a 、1b ,公差d 与公比q 的值，从而可得数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)由(1)可得()2232n n c n -=-⋅，利用错位相减法求和即可的结果；(3) 不等式128n m n n n a m b a b ++++<可化为248232n m m n -+<-，先判断{}n c 的增减性，可得则2n ≥时, {}n c 中最大的三项值为351,,8164，由2n ≥时满足2382n m n m -<+的n 共有两个,可得154816m m ≤<+，由0m >解得840311m ≤≤，则正整数3m =. 详解： (1)设{}n a 的公差为d , {}n b 的公比为q ，321a a d d =+=+，32b b q q ==；42212a a d d =+=+，2242b b q q ==；由331a b -=，441a b -=可得11d q +-=，2121d q +-=，由0,0d q ≠≠可得2d q ==， 则121a a d --=-，2112b b q ==， 则23n a n =-，22n n b -=；(2) ()2232n n c n -=-⋅，1012123n S -=-⨯+⨯+ ()122232n n -⨯++-⨯L0121212n S =-⨯+⨯++L ()()21252232n n n n ---⨯+-⨯作差可得101222n S -=-⨯-⨯- 122222n -⨯--⨯+L ()1232n n --⨯，则()()122232n n S n =--+- ()11522522n n n --⨯=-⨯+；(3) 不等式128n m n n n a m b a b ++++<可化为()12222382232n n n m m n --+-++<-， 即()2223223n m n +--- 128222n n m --++<-，即248232n m m n -+<-， 1n =，*m N ∈时一定成立,则2n ≥时,满足248232n m m n -+<-的n 共有两个,此时230n ->,80m +>， 即满足2382nm n m -<+的n 共有两个, 令232n nn c -=，2n ≥，11212322n n n n n n c c ++---=- 1121465222n n n n n++--+-==，则2n =时, 32c c <3n ≥时, 1n n c c +<，214c =，338c =，4516c =，571234c =<， 则2n ≥时, {}n c 中最大的三项值为351,,8164，由2n ≥时满足2382nm n m -<+的n 共有两个,可得154816m m ≤<+， 由0m >解得840311m ≤≤，则正整数3m =.点睛：本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b g的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式.。

江苏省海安高级中学2019届高三数学上学期第二次月考试题说明：1． 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上； 2． 本卷总分160分，考试时间120分钟．方差公式2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-L ，其中121()n x x x x n=+++L ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{02}A x x =<<，{1}B x x =>，则A B =I ▲ ． 2．复数(1)z i i =-的共轭复数在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限． 3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况,现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60]内的汽车有 ▲ 辆．4．袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 ▲ ．5．在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如下表，则这组样本的方差为 ▲ ．6．如右图所示的算法流程图中，最后输出值为 ▲ ．7．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面． ①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥； ②若m α⊂，n αβ=，αβ⊥，则m n ⊥；③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ； ④若//αm ，m β⊂，n αβ=，则//m n ． 上述命题中为真命题的是 ▲ ．（填写所有真命题的序号）．8.公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，第6题图(第3题图)则该女子每天织尺布的增加量为 ▲ 尺．（1匹=4丈，1丈=10尺） 9．若cos 2cos()4ααπ=+，则tan()8απ+= ▲ ．10．如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且2OA =，4OC =，5AC =，则OB OD ⋅=uu u r uuu r▲ ．11．已知关于x 的方程()1x x a -=在(2,)-+∞上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 12．已知0,0a b >>，且111a b +=，则32ba b a++的最小值等于 ▲． 13．如图，已知8=AC ，B 为AC 的中点，分别以 AB,AC 为直径在AC 的同侧作半圆， M,N 分别为两半圆上的动点（不含端点A B C ，，），且BM BN ⊥，则⋅AM CN 的最大值为 ▲ ．14．若关于x 的不等式323+0x x ax b -+<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数[2,4]b ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC 内接于单位圆（半径为1个单位长度的圆），且(1tan )(1tan )2A B ++=．（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 面积的最大值．16．如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AF ACλ=．（1）若EF //平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．（第16题图）EABDF(第10题图)17． 如图，长方形材料ABCD中，已知AB =4AD =．点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ,PF AD ⊥于F ，且1PE =，PF ．现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M ，N 分别在边AB ，AD 上．（1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．18．已知椭圆E ：2229+=x y m （0m >），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ．（1）若3=m ，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求21KF KF ⋅的范围； （2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．19．已知函数()e =xf x a ，()ln ln =-g x x a ，其中a 为常数，且曲线()y =f x 在其与y 轴DN F (第17题图)的交点处的切线记为1l ，曲线()y =g x 在其与x 轴的交点处的切线记为2l ，且12l // l ．（1）求12，l l 之间的距离； （2）若存在x使不等式()->x mf x m 的取值范围； （3）对于函数()f x 和()g x 的公共定义域中的任意实数0x ，称00|()()|-f x g x 的值为两函数在0x 处的偏差．求证：函数()f x 和()g x 在其公共定义域内的所有偏差都大于2．20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，2+3=n n S a ，*∈N n ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：对于任意的*∈N n ，都有11213211=333---⎛⎫+++++- ⎪⎝⎭n n n n n a b a b a b a b n 成立．①求数列{}n b 的通项公式；②设数列⋅n n n c =a b ，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．数 学 试 卷说明：1． 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上； 2． 本卷总分160分，考试时间120分钟．方差公式2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-L ，其中121()n x x x x n=+++L ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. (1,2) 2．四； 3．804． 35 5． 2256．25 7．①④ 8.1629 9．13； 10．52- 11． 5(,2)2--12．11 13．4 14．(,2)-∞-二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题立意：本题主要考查两角和与差的正切公式与正、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．（1）由(1tan )(1tan )2A B ++=得tan tan 1tan tan A B A B +=-，所以tan tan tan()11tan tan A B A B A B ++==-，（4分）故△ABC 中，A B π+=4，C 3π=4（6分）（2）由正弦定理得2sin c =3π4，即c =（8分）由余弦定理得2222cos a b ab 3π=+-4，即222a b =++，（10分）由2222a b ab =+≥得2ab ≤（当且仅当a b =时取等号）（12分）所以13sin 2S ab π=4.（14分）16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力．解：（1）因为EF ∥平面ABD ，易得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC平面ABD AB =，所以//EF AB ，（5分）又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点， 由AF AC λ=得12λ=；（7分） （2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，（9分） 又AEDE E =，AE DE ⊂、平面AED ，所以BC ⊥平面AED ，（12分） 而BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AED ．（14分）17．解：（1）在直角△NFP 中，因为PF FPN θ∠=，所以NF θ=，所以11(1)22NAP S NA PF θ∆=⋅=+ ……………………………2分 在直角△MEP 中，因为1PE =，π3EPM θ∠=-，所以πtan()3ME θ=-，所以11πtan()]1223AMP S AM PE θ∆=⋅=-⨯． ………………………………4分所以31πtan tan()223NAP AMP S S S θθ∆∆=+=+-，π[0,]3θ∈． ……………………………………………………………………………………6分 （注：定义域错误扣1分） （2）因为31πtan tan()223S θθ=+-3tan 2θ=+…8分令1t θ=，由π[0,]3θ∈，得[1,4]t ∈，所以24)233S t t =++22=+． ………………12分当且仅当t =时，即tan θ=时等号成立． ………………13分此时，AN =min 2S =+．答：当AN =AMPN 的面积S最小，最小值为2 ……………………………………………………………………………………14分18．解：（Ⅰ）3m =，椭圆E ：2219+=x y，两个焦点1(-F，2F设(,)K x y，1()=+F K x y，2()=-F K x y ，2221212=()()8=81⋅=⋅+⋅-=+--+KF KF FK F K x y x y x y y ，∵11-≤≤y ，∴21KF ⋅的范围是[7,1]-（4分）（2）设,A B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则222112222299.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，x y m x y m 两式相减，得12121212()()9()()0+-++-=x x x x y y y y ，12121212()()190()()+-+=+-y y y y x x x x ，即190+⋅=O M l k k ，故19⋅=-OM l k k ；（8分） （3）∵直线l 过点(,)3mm ，∴直线l 不过原点且与椭圆E 有两个交点的充要条件是0>k 且13≠k ． 设(,)P P P x y ，设直线:()3=-+m l y k x m （0,0m k ≠≠），即:3=-+m l y kx km ， 由（2）的结论可知1:9=-OM y x k ，代入椭圆方程得，2222991=+P m k x k ， （10分） 由()3=-+m y k x m 与19=-y x k ，联立得222933,9191⎛⎫- ⎪-- ⎪++ ⎪⎝⎭m km k m km M k k ．（12分） 若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以02P x x =，即22222293949191⎛⎫-= ⎪++⎝⎭k m km m k k k ，整理得29810-+=k k解得，k ．所以当k 时，四边形OAPB 为平行四边形．（16分）19． 解：（1）()x f x ae '=，()1g x x'=，()y f x =的图像与坐标轴的交点为()0,a ，()y g x =的图像与坐标轴的交点为()a ,0，由题意得()()f 0g a ''=，即1a a= 又∵a 0>，∴a 1=. （2分）∴()x f x e =，()g x ln x =，∴函数()y f x =和()y g x =的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：x y 10-+=,x y 10--=（4分） （2）由()x m f x ->x x me->，故x m x <在[)x 0,∈+∞有解， 令()x h x x =-，则()max m h x <。