江苏省海安高级中学高三数学试题

江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1.已知集合{}{}20,1,2,3,log 1A B xx ==≤∣，则A B ⋂=（ ）A.{}0,1,2B.{}1,2C.{}0,1D.{}12.命题“20,10x x x ∀>-+>”的否定为（ ）A.20,10x x x ∀>-+≤B.20,10x x x ∀≤-+≤C.20,10x x x ∃>-+≤D.20,10x x x ∃≤-+≤3.已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 是偶函数B.()f x 是增函数C.()f x 是周期函数D.()f x 的值域为[)1,∞-+4.若a b >，则（ ）A.ln ln a b >B.0.30.3a b >C.330a b ->D.0a b ->5.已知函数()()1ln 1f x x x=+-，则()y f x =的图象大致是（ ）A. B.C. D.6.如图，矩形ABCD 的三个顶点A B C ､､分别在函数12,,xy y x y ===的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为（）A.11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B.11,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知()912160,0,log log log a b a b a b >>==+，则ab=（ ）C.128.已知()()5,15ln4ln3,16ln5ln4a b c ==-=-，则（ ）A.a c b <<B.c b a <<C.b a c <<D.a b c<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列函数中，在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的函数是（ ）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.cos y x x=-C.sin2y x =D.πcos 3y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭10.下面的结论中正确的是（ ）A.若22ac bc >，则a b >B.若0,0a b m >>>，则a m ab m b+>+C.若110,0,a b a b a b>>+=+，则2a b +≥D.若20a b >>，则()44322a b a b +≥-11.已知函数()cos sin2f x x x =，下列结论中正确的是（ ）A.()y f x =的图像关于()π,0中心对称B.()y f x =的图像关于π2x =对称C.()f xD.()f x 既是奇函数，又是周期函数三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()321f x g x x x -=+-，则()()11f g +=__________.13.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为__________.14.若存在实数t ，对任意的(]0,x s ∈，不等式()()ln 210x x t t x -+---≤成立，则整数s 的最大值为__________.（参考数据：ln3 1.099,ln4 1.386≈≈）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题13分）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90,6,A BC D E ∠== ､分别是,AC AB 上的点，CD BE O ==为BC 的中点.将ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中AO =（1）求证：A O '⊥平面BCDE ；（2）求点B 到平面A CD '的距离.16.（本题15分）设数列{}n a 的各项均为正整数.（1）数列{}n a 满足1121212222n n n n a a a a n --++++= ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 是等比数列，且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，求公比q .17.（本题15分）已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在2π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在2π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，设()0,0x 为曲线()y f x =的对称中心.（1）求0x 的值；（2）记ABC 的角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0cos cos ,6A x b c =+=，求BC 边上的高AD 长的最大值.18.（本题17分）已知函数()()e ln xf x x m =-+.（1）当0m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当2m ≤时，求证()0f x >.19.（本题17分）在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l 的距离之和相等，则称l 为多边形的一条“等线”，已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F E 的离心率为2，点P 为E 右支上一动点，直线m 与曲线E 相切于点P ，且与E 的渐近线交于,A B 两点，当2PF x ⊥轴时，直线1y =为12PF F 的等线.（1）求E 的方程；（2）若y =是四边形12AF BF 的等线，求四边形12AF BF 的面积；（3）设13OG OP =，点G 的轨迹为曲线Γ，证明：Γ在点G 处的切线n 为12AF F 的等线江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷答案解析人：福佑崇文阁一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678BCDCBADB二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011ACACDABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.11-14.2四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）解：（1）连接,,45,3OD OE B C CD BE CO BO ∠∠====== ，在COD 中，OD ==，同理得OE =，因为6BC =，所以AC AB ==所以AD A D A E AE ='==='因为AO =所以222222,A O OD A D A O OE A E '+=='+''所以,A O OD A O OE'⊥⊥'又因为0,OD OE OD ⋂=⊂平面,BCDE OE ⊂平面BCDE 所以A O '⊥平面BCDE ；（2）取DE 中点H ，则OH OB ⊥以O 为坐标原点，,,OH OB OA '所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系则()(()()0,0,0,,0,3,0,1,2,0O A C D --'，设平面A CD '的一个法向量为(),,n x y z =，又((),1,1,0CA CD ==' ，所以300n CA y n CD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪'⎩，令1x =，则1,y z =-=，则(1,n =-，又()()0,3,0,0,6,0B CB =，所以点B 到平面A CD '16.【详解】（1）因为1121212222n n n na a a a n --++++= ，①所以当2n ≥时，1121211222n n a a a n --+++=- ，②由①-②得，12nn a =，所以2nn a =，经检验，当1n =时，12a =，符合题意，所以2nn a =（2）由题设知0q >.若1q =，则1,n n a a a n n n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是递减数列，符合题意.若1q <，则当1log q n a >时，11nn a a q =<，不为正整数，不合题意.若1q >，则()()1111n n n qn n a a a n n n n +⎡⎤-+⎣⎦-=++，当1qn n >+，即11n q >-时，11n n a a n n +>+，这与n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列相矛盾，不合题意.故公比1q =.17.【详解】（1）因为()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在2π(0,}3上单调递增，在2π,π3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以2π13f ⎛⎫=⎪⎝⎭且4π3T ≥，所以2πππ2π,362k k ω⋅+=+∈Z ，可知13,2k k ω=+∈Z ，又由2π4π3ω≥，可知302ω<≤，所以12ω=，故()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1ππ,26x m m +=∈Z ，可得π2π3x m =-，即0π2π,3x m m =-∈Z .（2）22222201()2362cos cos 2222b c a b c bc a bc a A x bc bc bc+-+----=====，化简得2363a bc =-，因为11sin 22ABC S a AD bc A =⋅=，所以AD =，所以()22223()3()44363bc bc AD a bc ==-，又b c +≥，所以9bc ≤，当且仅当3b c ==时取等号，所以()22223()3327363436343634499()bc AD bc bc bc ==≤=-⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以AD ≤，故AD.18.【详解】（1）当()()10,e ln ,e xxm f x x f x x==--'=，所以()1e 1k f '==-，而()1e f =，切线方程为()()e e 11y x -=--，即所求切线方程为()e 110x y --+=；（2）()f x 得定义域为()()1,,e xm f x x m∞='-+-+，设()()1e xg x f x x m='=-+，则()21e 0()xg x x m '=+>+，故()f x '是增函数，当x m →-时，(),f x x ∞∞→-→+'时，()f x ∞'→+，所以存在()0,x m ∞∈-+，使得001e x x m=+①，且()0,x m x ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，()0,x x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，故()()0min 00()e ln xf x f x x m ==-+②，由①式得()00ln x x m =-+③，将①③两式代入②式，结合2m ≤得：min 000011()20f x x x m m m m x m x m =+=++-≥-=-≥++，当且仅当01x m =-时取等号，结合（2）式可知，此时()00e 0x f x =>，故()0f x >恒成立.19.【详解】（1）由题意知()()212,,,0,,0b P c F c F c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然点P 在直线1y =的上方，因为直线1y =为12PF F 的等线，所以222212,2,b ce c a b a a -====+，解得1a b ==，E 的方程为2213y x -=（2）设()00,P x y ，切线()00:m y y k x x -=-，代入2213y x -=得：()()()2222200000032230k xk kx y x k x y kx y -+--+-+=，故()()()22222000000243230k kx y kkx y kx y ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，该式可以看作关于k 的一元二次方程()22200001230x k x y k y --++=，所以000002200031113x y x y x k x y y ===-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即m 方程为()001*3y y x x -=当m 的斜率不存在时，也成立渐近线方程为y =，不妨设A 在B 上方，联立得A B x x ==，故02A B x x x +==，所以P 是线段AB 的中点，因为12,F F 到过O 的直线距离相等，则过O 点的等线必定满足：,A B 到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点P ，即OP的方程为y =，由2213y y x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P .所以03A A y ====，所以03B B y ====-，所以6A B y y -=，所以1212122ABCD A B A B S F F y y y y =⋅-=-=（3）设(),G x y ，由13OG OP =，所以003,3x x y y ==，故曲线Γ的方程为()229310x y x -=>由（*）知切线为n ，也为0093133x y y x -=，即00133y y x x -=，即00310x x y y --=易知A 与2F 在n 的右侧，1F 在n 的左侧，分别记12,,F F A 到n 的距离为123,,d d d ，由（2）知000011A A x y y y x x ===--，所以3d 由01x ≥得12d d ==因为231d d d +==，所以直线n 为12AF F .等线.。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各式中，绝对值最小的是（）A. |x-1|B. |x+1|C. |x-2|D. |x+2|2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的对称轴是（）A. x=1B. x=2C. x=3D. x=43. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S5=20，则a10=（）A. 10B. 11C. 12D. 134. 下列各函数中，有最大值的是（）A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x^55. 在三角形ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°6. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则b5=（）A. 54B. 162C. 243D. 4867. 若复数z满足|z-2i|=3，则复数z在复平面内的轨迹是（）A. 一条直线B. 一个圆C. 一条射线D. 无轨迹8. 已知函数f(x) = log2(x+1)，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 无意义9. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| > 1B. |x| ≥ 1C. |x| ≤ 1D. |x| < 110. 若直线l的斜率为k，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A. (0, π/2)B. (π/2, π)C. (-π/2, π/2)D. (-π/2, π]二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x)的图像关于y轴对称，则x的取值为______。

12. 等差数列{an}中，若a1=1，d=2，则第10项an=______。

13. 已知函数f(x) = (x-1)/(x+1)，则f(-1)的值为______。

14. 在三角形ABC中，若∠A=90°，∠B=30°，则AB的长度是AC的______倍。

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. -3/4D. 2.52. 函数f(x) = 2x - 1在区间[1, 3]上的最大值是（）A. 1B. 3C. 5D. 73. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 圆B. 线段C. 双曲线D. 双曲线的一部分4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 55，S15 = 120，则数列{an}的公差是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 下列命题中正确的是（）A. 函数y = log2(x + 1)在定义域内单调递增B. 函数y = x^2在定义域内单调递减C. 函数y = e^x在定义域内单调递增D. 函数y = sinx在定义域内单调递增6. 若平面α与直线l垂直，直线m在平面α内，且m垂直于l，则m与α的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 异面7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f'(x) = 0，则f(x)的极值点为（）A. x = -1B. x = 1C. x = -2D. x = 28. 若直线l的方程为x - 2y + 3 = 0，则直线l的斜率是（）A. 1/2B. 2C. -1/2D. -29. 已知等比数列{an}的首项a1 = 3，公比q = 2，则数列{an}的前n项和S_n是（）A. 3(2^n - 1)B. 3(2^n + 1)C. 3(2^n - 2)D. 3(2^n + 2)10. 若函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且a + b + c = 0，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 0二、填空题（每小题5分，共25分）11. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的实部是______。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2ax + 1，其中a为常数。

若f(x)在区间[1, 3]上单调递增，则a的取值范围为（）A. a ≤ 1B. 1 < a < 2C. a ≥ 2D. a > 22. 设复数z满足|z-1| = |z+1|，则z的取值范围是（）A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限3. 若log2x + log3x = 1，则x的取值范围是（）A. (0, 1)B. (1, 2)C. (2, +∞)D. (0, +∞)4. 已知函数f(x) = (x-1)^2 + k，其中k为常数。

若f(x)的图像关于直线x=2对称，则k的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a2 + a3 = 12，a1 + a2 +a3 + a4 = 20，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知椭圆的方程为x^2/4 + y^2/9 = 1，则该椭圆的离心率为（）A. 2/3B. 3/4C. 4/3D. 3/27. 若函数g(x) = |x-1| + |x+1| + |x-2| + |x+2|在区间[-2, 2]上的最小值为5，则g(x)在区间[-2, 2]上的最大值为（）A. 6B. 7C. 8D. 98. 已知函数h(x) = (x-1)(x+1)(x+2)(x+3)，则h(x)的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 8B. 10C. 12D. 1610. 已知公比为2的等比数列{an}中存在两项m, n，满足2^m 2^n = 2^(m+n)，则2^(m-n)的最小值为（）A. 2B. 4C. 8D. 1611. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6在区间[-1, 2]上存在两个不同的零点，则f(x)在该区间上的最大值和最小值之差为（）A. 1B. 2C. 3D. 412. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a2 + a3 + a4 = 24，a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 40，则a1的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2x - 3C. y = 3 - 2xD. y = √x2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 - 6xC. 3x^2 + 6xD. 3x^2 + 33. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 25，S10 = 75，则公差d = （）A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0，则圆C的半径r = （）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知向量a = (2, -3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/56. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 3|，则函数f(x)的值域为（）A. [-1, 5]B. [-5, 1]C. [1, 5]D. [5, 1]7. 已知数列{an}满足an = an-1 + 2n，且a1 = 1，则数列{an}的前n项和Sn = （）A. n^2 + nB. n^2 - nC. n^2 + 2nD. n^2 - 2n8. 已知直线l的方程为x + 2y - 3 = 0，点P(1, 2)到直线l的距离d = （）A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知等比数列{bn}的公比q = 2，且b1 + b2 + b3 = 12，则b1 = （）A. 2B. 4C. 6D. 810. 已知函数f(x) = e^x - x^2，则f'(x) = （）A. e^x - 2xB. e^x - 2C. e^x + 2xD. e^x + 2二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 + 2，则f(x)的最小值为______。

江苏省海安高级中学高三数学试题江苏省海安高级中学高三数学试题必做题部分(本部分满分160分,考试时间120分钟)一、填空题: 本大题共14小题,每小题5分,共计70分1.为虚数单位,则的实部是▲ .2.已知集合,,若,则实数a ▲ .3.设是等差数列,若,,则数列的前10项和为▲ .4.三张卡片上分别写上字母E、E、B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE的概率为▲ .5.已知是三个互不重合的平面,是一条直线,给出下列四个命题:①若,则; ②若,则;③若上有两个点到的距离相等,则;④若,则.其中正确命题的序号是▲ .6.如图,在6×6方格纸中有向量,若满足,则▲ .7. 按如图所示的程序框图运行程序后,输出的结果是63,则判断框中的整数H的值是▲ .8.某校举行演讲比赛,9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91,复核员在复核时,发现有一个数字茎叶图中的无法看清,若统计员计算无误,则数字应该是▲ .9.已知实数满足,则的最大值是▲ .10.已知函数若数列满足,且是递增数列,则实数a的取值范围是▲ .11.已知A、B、C是直线l上的三点,向量满足,则函数y fx的表达式为▲ .12. 已知实数满足,则的取值范围是▲ .13.设圆:,直线:,点在直线上,若在圆上存在一点,使得(为坐标原点),则的取值范围为▲ .14.若数列满足:对任意的,只有有限个正整数m使得成立,记这样的m 的个数为,则得到一个新数列.例如,若数列是,则数列是.已知对任意的,,▲ .二、解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中,点A在轴的正半轴上,直线AB的倾斜角为,OB 2,设. (1)用表示点B的坐标及OA的长度; (2)若的值.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P?ABCD中,侧面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD60°,M为PC上一点,且PA?//?平面BDM. (1)求证:M为PC的中点; (2)求证:平面ADM⊥平面PBC.17.(本小题满分14分)某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处(如图),一条海岸线AO在城市O的正东方向,另一条海岸线OB在城市O北偏东方向,位于城市O北偏东方向15km 的P处有一个美丽的小岛.旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路:从城市O出发沿海岸线OA到达C处,再从海面直线航行,途经小岛P到达海岸线OB的D处,然后返回城市O.设OC t km,这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积为St. (1)写出St关于t的函数关系式及函数定义域;(2)要使面积最小,C应选址何处?并求出最小面积.18.(本题满分16分)已知圆:交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,直线l:为准线的椭圆.(1)求椭圆的标准方程;(2)若M是直线l上的任意一点,以OM为直径的圆K与圆O相交于P、Q两点,求证:直线PQ 必过定点E,并求出点E的坐标;(3)在(2)的条件下,直线PQ与椭圆C交于G、H两点,点G在x轴上方, ,求此时弦PQ的长.19.(本题满分16分)已知定义在上的三个函数,,,且在处取得极值.w_w w. k#s5_u.c o*m(1)求实数a的值及函数的单调区间;(2)求证:当时,恒有成立;(3)把对应的曲线C1向上平移6个单位后得曲线C2,求C2与对应曲线C3的交点个数,并说明理由.20. (本题满分16分)已知集合中的元素都是正整数,且,对任意的且,有≥.(1)求证:≥;(2)求证:;(3)对于,试给出一个满足条件的集合.附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)21.(本题满分10分)设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸压变换.(1)求矩阵M及其逆矩阵;(2)在平面xoy中,求在的作用下,椭圆变换后的曲线方程.22.(本题满分10分)求经过极点三点的圆的极坐标方程.23.(本题满分10分)某地区举办科技创新大赛,有50件科技作品参赛,大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分,每项评分均按等级采用5分制,若设“创新性”得分为,“实用性”得分为,统计结果如下表:作品数量实用性1分2分3分4分5分创新性 1分 1 3 1 0 12分 1 0 7 5 13分 2 1 0 9 34分16 05分0 0 1 1 3(1)求“创新性为4分且实用性为3分”的概率;(2)若“实用性”得分的数学期望为,求、的值.24.(本题满分10分),求证: .江苏省海安高级中学高三数学试题参考答案1. 2. 3.4. 5.②④ 6. 7. 5 8. 29.9 10. 2,3 11. 1213. 14.15.解:(1)由三角函数的定义,得点B的坐标为. ……………… 2分在由正弦定理得,得, ……………… 4分即.所以.……………… 6分注:若用直线AB方程求得也得分. (2)由(1)得.…………… 8分因为所以.……………… 10分又所以 . ………………14分16.解(1)证明:连AC,设AC与BD交于G.由于 PA//平面BDM,面PAC∩面BDMMG,所以, PA//MG ………………3分底面ABCD为菱形, G为AC的中点,则MG为△PAC的中位线.故M是PC的中点. ………………6分 (2)分别取AD、PB的中点O、N,连PO,BO,ON, MN.△PAD是正三角形,于是PO⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,所以,PO⊥平面ABCD.则 PO⊥BC. ………………8分底面ABCD是菱形,且∠BAD60°,有△ABD是正三角形,AD⊥OB.因BC//AD,所以BC⊥OB.PO∩OBO,于是BC⊥平面POB .ON平面POB .从而BC⊥ON. ………………10分而△PAD≌△BAD,POBO, N是PB的中点,于是,PB⊥ON.PB∩BCB,所以ON⊥平面PBC.………………12分又M、N分别是PC、PB的中点,MN//BC,且BC//AD,则MN//AD.所以ON平面ADM.故面ADM⊥面PBC. ………………14分17.解(1)以O为原点,直线OA为x轴建立平面直角坐标系据题意,直线OB的倾斜角为 ,从而直线OB的方程为y 3x. ………………3分由已知,OP15,,得点P的坐标为(9,12). ………6分直线PC的方程为 :, 联立y3x,得,,则 t >5.于是, t >5.………9分(2)120.上当且仅当,即t10时取等号. ……………12分而当时,.当t10时,S△OCD取最小值120.答:当C地处于城市O正东方向10km处时,能使三角形区域面积最小,其最小面积为120km2. ……………14分18.解(1)设椭圆的标准方程为.则从而故.椭圆的标准方程为. …………………4分(2)设,则圆方程为 .将圆方程与圆方程联立,消去得直线PQ的方程为,所以直线过定点. …………………8分(3)设G、H两点的坐标分别为、,则①……10分由于, ,即……………12分代入①解得:(由图舍去正值),,即. ……………………14分所以直线PQ的方程为 .圆心到直线PQ的距离, 于是...................16分19.解(1),,,∴. (2)分而,,令得;令得.∴函数单调递增区间是;单调递减区间是. ………………4分(2)∵,∴,∴,欲证,只需要证明,即证明,……7分记,∴,当时,,∴在上是增函数,∴,∴,即,∴,故结论成立. ………………10分(3)由(1)知,,∴C2对应的表达式为,问题转化为求函数与图象交点个数.即求方程,即根的个数.…………12分设,,.当时,,为减函数;当时,,为增函数.而,图象是开口向下的抛物线.作出函数与的图象,,而可知交点个数为2个,即曲线C2与C3的交点个数为2个. ………16分k#s5_u.c o*m20. 1 证明:依题意有,又,因此.可得.所以.即. …………………4分(2)证明:由1可得.又,可得,因此.同理,可知.又,可得,所以均成立.当时,取,则,可知又当时,.所以. …………… 10分(3)解:对于任意,,由可知,,即.因此,只需对,成立即可.因为;;;,因此可设;;;;.由,可得,取.由,可得,取.由,可得,取.由,可得,取.所以满足条件的一个集合.……………16分附加题部分21.解(1)由条件得矩阵, …………3分.…………6分(2)椭圆在的作用下的新曲线的方程为.………10分22.解将点的极坐标化为直角坐标,点的直角坐标分别为,故是以为斜边的等腰直角三角形,圆心为,半径为,圆的直角坐标方程为,即,…………5分将代入上述方程,得,即. ……………10分23.解(1)从表中可以看出,“创新性为4分且实用性为分”的作品数量为6件,∴“创新性为4分且实用性为3分”的概率为. …………3分(2)由表可知“实用性”得分有1分、2分、3分、4分、5分五个等级,且每个等级分别有5件,件,15件,15件,件. “实用性”得分的分布列为:1 2 3 4 5 ……………7分又∵“实用性”得分的数学期望为,∴.∵作品数量共有50件,∴解得,. ……………………10分24. 证明由于,,……………………4分所以.即. ……………………6分令,则有. ……………………8分即,即.因此原不等式成立.……………………10分。

阶段性测试（三）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．锥体的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若U A =ð{1，2，5}，则集合A = ▲ ． 2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．3. 已知样本数据1234a a a a ，，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ． 4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7. 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ▲ ．8. 设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ▲ ．9. 在锐角三角形ABC 中，若3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ▲ ．10. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且211a =，则S 20的值为 ▲ ． 11. 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ． 12. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F（第4题）CA 1分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ．13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②()4x ∃∈-∞-，，()()0f x g x ⋅<，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知△ABC的面积为()18AC AB CB ?=u u u r u u u ru u u r，向量(tan tan sin 2)A B C =+,m 和(1cos cos )A B =,n 是共线向量.（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分（第16题）AOBPQMN（第17题）钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，r =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（*n ∈N ）． （1）求b 1，b 2的值； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t ＋a )， f (x )＜a －1．数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 【答案】{3，5}2. 【答案】33. 【答案】84. 【答案】1011 5. 【答案】356. 【答案】y ＝±3x7. 【答案】48. 【答案】（1，2）9. 【答案】79 10. 【答案】1 24011. 【答案1 12. 【答案】9 13．【答案】4514．【答案】()42--，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量，所以()cos cos tan tan sin 20A B A B C +-=， ……2分 即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. ……4分 因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = ……6分（2）()()218AC AB CB AC BC BA AC =?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，于是AC =. ……8分因为△ABC 的面积为1sin 2CA CB C ?，即1πsin 23CB ，解得CB = …… 11分 在△ABC 中，由余弦定理得((2222212cos 254.2AB CA CB CA CB C=+-?+-创所以AB = …… 14分16．（本题满分14分）证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， 因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12C D ． ……2分又因为E 为AB 中点，所以AE //CD ，且AE ＝12C D ． ……4分所以AE //FG ，AE ＝FG ．故四边形AEFG 为平行四边形． 所以EF //AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF //平面PA D ． ……6分（2）设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点得AG CG ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以AC ＝3，AG ＝13AC ＝33． 所以AG AE ＝AB AC ＝23，又∠BAD 为公共角，所以△GAE ∽△BA C ．所以∠AGE ＝∠ABC ＝90︒，即DE ⊥A C ． ……10分 又DE ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ，所以DE ⊥平面PA C ． ……12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ……14分17．（本题满分14分）解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则由题设得：A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，．，解得03x =，所以()3 3Q ，． ……2分 故直线AQ 的方程为()6y x =--，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故AB == …… 5分答：水上旅游线AB 的长为． ……6分 （2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )．若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， ……10分 当t ＝0时，上式成立，当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t －6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号， 因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．……13分 答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ……14分18．解：（1）设椭圆焦距为2c，所以223121 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=； ……4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， ……8分所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，， ()22002200488488y y y y --=+=++． ……10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，()020200208822828PB y y k y y y +==----+，由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =， 所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． ……16分 19．（本题满分16分）解：（1）由已知得，41a k =+， 所以1312=2a a b a +=，2423121a a k k kb a k k ++++===． ……2分 （2）由条件可知：()1213n n n n a a k a a n +--=+≥，①所以()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥.② ……4分 ①－②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+．因此：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=， ……6分故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k+=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． ……8分（3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数． ……10分由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩L ，，③ 由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2， ……12分检验：当1k =时，312=+kk 为整数， 利用123Z a a a ∈，，结合③，{a n }各项均为整数； ……14分 当2k =时③变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩L ，， 消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥ 由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}12，. ……16分 20．（本题满分16分）解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析x (0，1) 1 (1，＋∞)f’(x ) － 0 ＋ f (x ) 单调递减单调递增故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……3分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －ax ，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g ’(x )＝ln x ＋1,令g ’(x )＝0，x ＝1e ，列表分析g (x )min ＝g (1e )＝－1e －a ， ……5分而f’(1e )＝ln 1e －a e ＝－1－a e ，()2e f -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f’(e 2)＝2－a e 2＝1e 2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0， 故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减， 当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0， f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点；综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e 2)． ……10分 （3）存在1t =：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． ……11分 证明如下：由（2）得g (x )在(1e ，＋∞)上单调递增， 且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． ……13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)， 所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)． 即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1． ……15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F ’(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增． 所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x ． 补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G ’(x )＝1x －1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．……16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4－2：矩阵与变换【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩， ……5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321， ， ， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ……10分B ．解：因为A ( 1，π3 )，B ( 9，π3)，所以线段AB 的中点坐标为(5，π3)， ……2分设点P (ρ，θ)为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，ρcos(θ－π3)＝5，所以，l 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝5， ……6分令θ＝0，得ρ＝10，即C (10，0)． …… 8分 所以，△ABC 的面积为：12×(9－1)×10×sin π3＝203． ……10分C ．证明：因为|a ＋b |≤2，所以|a 2＋2a －b 2＋2b |＝|a ＋b ||a －b ＋2| ＝|a ＋b ||2a －(a ＋b )＋2| ≤|a ＋b |(|2a |＋|a ＋b |＋2)≤4(|a |＋2)． ……10分22．解：依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz 则B (1，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，因为DC →＝λAB →，所以C (λ，2，0)， ……2分 （1）从而PC →＝(λ，2，－2)，BD →＝(－1，2， 0)， 则cos ＜PC →，BD →＞＝PC →·BD →|PC →|·|BD →|＝4－λλ2＋8×5＝1515，解得λ＝2；（第22题）（2）易得PC →＝(2，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)， 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·PC →＝0，且n ·PD →＝0， 即x ＋y －z ＝0，且y －z ＝0， 所以x ＝0，不妨取y ＝z ＝1，则平面PCD 的一个法向量n ＝(0，1，1)， …… 8分 又易得PB →＝(1，0，－2)，故cos ＜PB →，n ＞＝PB →·n |PB →|·|n |＝－22×5＝－105，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105． ……10分 23．(本小题满分10分)解：（1）S 1＝C 11a 1＝1，S 2＝C 12a 1＋C 22a 2＝3． ……2分（2）记α＝1＋52，β＝1－52．则S n ＝15∑n i ＝1C i n (αi －βi )＝15∑n i ＝0C i n (αi －βi )＝15(∑n i ＝0C i n αi －∑n i ＝0C i n βi)＝15[(1＋α)n －(1＋β)n ]＝15[(3＋52)n －(3－52)n ]． ……6分因为(3＋52)×(3－52)＝1．故S n ＋2＝15{[(3＋52)n ＋1－(3－52)n ＋1][ (3＋52)＋(3－52)]－[(3＋52)n － (3－52)n]}＝3S n ＋1－S n ．所以存在=3λ，使得213n n n S S S +++=恒成立． ……10分。

2023届高三年级阶段测试（二）数 学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}11236A =-，，，，，{}25B =，，{}13C x x =<≤，则()A C B =（ ）A ．{}12，B ．{}25，C ．{}125，， D ．{}1235，，， 2．i 为虚数单位，则32i -满足的方程是（ ） A ．26130x x --= B ．26130x x ++=C ．26130x x +-=D ．26130x x -+=3．8()()-+x y x y 的展开式中36x y 的系数为（ ）A ．28B ．28-C ．56D ．56- 4．设D 为△ABC 所在平面内一点，且满足3CD BD =，则（ ）A ．3122AD AB AC =- B ．3122AD AB AC =+C ．4133AD AB AC =- D ．4133AD AB AC =+ 5．已知数列{}n a ．若p ：数列{}n a 是等比数列；q ：()()22222212123-++++++=n n a a a a a a()212231-+++n n a a a a a a ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．关于函数()2022⎧-<=⎨-⎩x a x f x b x x ，，≥，≤其中∈a b R ，，给出下列四个结论：甲：6是该函数的零点； 乙：4是该函数的零点；丙：该函数的零点之积为0； 丁：方程()52=f x 有两个不等的实根．若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．设常数a 使方程sin 2+=x x a 在区间[]02π，上恰有五个解()12345=i x i ，，，，，则51==∑i i x（ ）A ．7π3 B ．25π6 C ．13π3 D ．14π38．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知函数()()()ππcos 22sin cos 22=--+f x x x x ，则（ ）A ．()f x 的最大值为3B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线π8=x 对称D ．()f x 在区间3ππ88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递减 10．已知实数a ，b ，c ，满足>>a b c 且0<abc ，则下列不等关系一定正确的是（ ） A ．>c c a b B ．2+c a a c ≥ C ．22>ac bc D ．22<c c a b11．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，则（ ）A ．02+≤≤a bB ．11-⋅≤≤a bC ．()2π103+>⇔∈，θa b D ．()ππ13∈⇒->，θa b 12．连接正方体每个面的中心构成一个正八面体．甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响， 则（ ）A ．甲选择的三个点构成正三角形的概率为25B ．甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为25C ．乙选择的三个点构成正三角形的概率为17D ．甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为1135三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()()2222e =+-+⋅x f x ax x x ．不论a 为何值，曲线()=y f x 均存在一条固定的切线，则这条切线的方程是_________．14．已知函数32()2f x x ax b =-+．若存在a ，b ，使得f (x )在区间[]01，的最小值为1-且最大值为1，则符合条件的一组a ，b 的值为_________．15．在数列{}n a 中，1212a a ==，．数列{}n b 满足()11N *nn n n b a a n +=+-∈，．若2210--=n n b b ，．16．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()2 0F ，．经过原点O 且斜率k 椭圆C 交于A ，B 两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ．若⊥OM ON ，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，前n 项和为S n ，且满足a 1+a 3=2q +1，S 3=3a 2+1． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n =⎩⎪⎨⎪⎧a n +1- a n，n 为奇数，3a n4a n 2-5a n +1，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．18．（本小题满分12分）在检测中为减少检测次数，我们常采取“n 合1检测法”，即将n 个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测．现有10k （k ∈N*）人，已知其中有2人感染病毒．（1）若k =5，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率；（2）设采取“5合1检测法”的总检测次数为X ，采取“10合1检测法”的总检测次数为Y ，若仅考虑总检测次数的期望值，当k 为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明理由．19．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，D 为边BC 上一点，若AB AC =DBDC ．（1）证明：（i ）AD 平分∠BAC ，（ii ）AD 2=AB ∙AC -DB∙DC ；（2）若(1+sin B )sin ∠BAC =cos B (1+cos ∠BAC )，求a+bc 的最大值．20．（本小题满分12分）在一张纸上有一圆C ：(x +5)2+y 2=4，定点M (5,0)，折叠纸片使圆C 上某一点M 1恰好与点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线M 1C 的交点为T ．（1）求证：||TC | -|TM ||为定值，并求出点T 的轨迹C ′方程； （2）设A (-1,0)，M 为曲线C ′上一点，N 为圆x 2+y 2=1上一点（M ，N 均不在x 轴上）．直线AM ，AN 的斜率分别记为k 1，k 2，且k 2=-14k 1．求证：直线MN 过定点，并求出此定点的坐标．21．（本小题满分12分）已知底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被平面AEFG 所截几何体如图所示，若AB = DG =2，CF =3，∠BAD =π3．（1）求点D 到平面BFG 的距离； （2）求锐二面角A －EC －B 的余弦值．22．（本小题满分12分）已知函数f (x )=2x ln x ，g (x )= x 2+ax -1，a ∈R ．（1）若F (x )= g (x )-f (x )在[1, +∞)存在极小值点，求a 的取值范围； （2）若函数h (x )= |f (x )|-2a 有3个零点x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，求证：（i ） x 3>1+2a ； （ii ）x 32x 22>e+2e -2．一、单项选择题．1．C 2．D 3．B 4．A 5．A 6．B 7．C 8． A 二、多项选择题．9．BC 10．AC 11．ABD 12．ACD 三、填空题．13．2=y 14．0=a ，1=-b 或4=a ，1=b15 16．1⎤⎥⎦四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（1）因为a 1+a 3=2q +1，S 3=3a 2+1，所以a 1=1，q =2，所以a n =2n -1；（2）因为 b n =⎩⎪⎨⎪⎧a n +1- a n，n 为奇数，3a n4a n 2-5a n +1，n 为偶数， n 为偶数时，b n =3a n 4a n 2-5a n +1=3×2n -1(2n -1-1) (2n +1-1)=12n -1-1 -12n +1-1 所以T 2n =a 2- a 1+b 2+ a 4- a 3+b 4+…+a 2n - a 2n -1+b 2n=( a 1+ a 3+ … + a 2n -1)+(121-1 -122-1+122-1 -123-1+…+12n -1-1 -12n +1-1) =1- 12n +1-1+ 22n -13．18．解：（1）对50个人采取“10合1检测法”需平均分为5组，先检测5次，因为共检测15次，即2个感染者分在同一组；只需考虑其中某位感染者所在的小组，原题等价于：从49人中任选9人与他组成一组，求选到的9人中有另一位感染者的概率，此概率为C 848C 949=949；（2）若2个感染者分在同一组，则X =2k +5，P =C 310k -2C 410k -1=410k -1，Y =k +10，P =C 810k -2C 910k -1=910k -1，若2个感染者分在不同小组，则X =2k +10，P =1- 410k -1，Y =k +40，P =1- 910k -1， E (X ) = 2k +10- 2010k -1，E (Y ) = k +20- 9010k -1，令E (X )> E (Y )，所以2k +10- 2010k -1> k +20- 9010k -1，则10k 2-101k +80>0（k ∈N*），所以k ≥10，综上，当k ≥10时，采取“10合1检测法”更适宜． 19．解：（1）（i ）设∠BAD ＝α，∠CAD ＝β，在△ABD 中，由正弦定理得，BD sin α=csin ∠BDA ①，在△ACD 中，由正弦定理得，CD sin β=bsin ∠CDA ②因为AB AC =DBDC ，sin ∠ADB =sin ∠ADC ，所以sin α=sin β，又因为0＜α、β＜π2，所以α=β，所以AD 平分∠BAC ，（i ）因为cos ∠ADB =cos ∠ADC ，所以AB 2+BD 2-AD 22AB ∙BD =AB 2+BC 2-AD 22AB ∙BC所以AD 2=AB 2+ BD 2-DB BC (AB 2+ BC 2-AC 2)=DC BC AB 2+DBBCAC 2-BD (BC -BD )因为AB AC =DBDC，所以AD 2=AC AB+AC AB 2+ABAB+ACAC 2-BD∙DC= AB∙A C (AB AB+AC +AC AB+AC )-BD∙DC= AB ∙AC -DB∙DC ；（2）因为(1+sin B )sin ∠BAC =cos B (1+cos ∠BAC )， 所以sin ∠BAC 1+cos ∠BAC =cos B1+sin B，所以tan α=tan B2，所以A +B =π2．所以a+b c 的最大值为22．20．解：（1）证明：如图，由点M 1与M 关于PQ 对称，则|M 1T | = |TM |，所以||TC | - |TM ||=||TC | - |TM 1||=|CM 1|=2，故为定值．由||TC | - |TM 1||=2<|CM |=25，由双曲线定义知，点T 的轨迹为以C (-5,0)，M (5,0)为焦点，实轴长为2的双曲线，设双曲线C ′方程为：x 2a 2- y 2b 2=1（a >0，b >0），所以a =1，c =5，b 2=c 2-a 2=4，所以双曲线方程为x 2-y 24=1；（2）因为A (-1,0)，所以设直线AM 的方程为x =m 1y -1，直线AN 的方程为x =m 2y -1， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x =m 1y -1，x 2-y 24=1，整理得(4m 12-1)y 2-8m 1y =0，解得y =0或y =8m 14m 12-1，所以M (4m 12+14m 12-1,8m 14m 12-1)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x =m 2y -1，x 2+y 2=1，整理得(m 22+1)y 2-2m 2y =0，解得y =0或y =2m 2m 22+1，N (m 22-1m 22+1,2m 2m 22+1)，因为k 2=-14k 1，所以m 2=-4m 1，所以N (16m 12-116m 12+1,-8m 116m 12+1)，所以k MN =8m 14m 12-1--8m 116m 12+14m 12+14m 12-1-16m 12-116m 12+1=4m 1，所以直线MN 的方程为y -8m 14m 12-1=4m 1(x -4m 12+14m 12-1)，即y=4m 1x -4m 1 y=4m 1(x -1)4m 1，此时直线过定点(1,0)， 即直线MN 恒过定点(1,0).21．解：（1）设D 到平面BFG 的距离为d ，连接BD ，交AC 于点O ，在直四棱柱中所以GD ⊥底面ABCD ，又AC ⊆平面ABCD ，所以GD ⊥AC ，GD ⊥BD ， 同理FC ⊥AC ，BE ⊥底面ABCD ，CF ∥GD ，GD ⊆平面BGD ，CF ⊈平面BGD ，所以CF ∥平面BGD ， 所以F 到平面BDG 的距离为=C 到平面BDG 的距离，菱形ABCD 中，BD ⊥AC ，所以V 三棱锥D －BFG =13S △BFG ∙d =V 三棱锥F －BDG =13S △BDG ∙OC ，因为AB = DG =2，CF =3，∠BAD =π3，菱形ABCD 中，所以BD =2，OC =3，S △BDG =2，Rt △BDG 中，BG =22，Rt △BCF 中，BF =13，直角梯形CDGF 中，GF =5， 所以BG 2+ FG 2= BF 2，所以∠BGF =π2，所以S △BFG =10所以d =305，所以D 到平面BFG 的距离为305．（2）因为平面ABE ∥平面CFGD ，平面AEFG ∩平面ABE =AE ， 平面AEFG ∩平面CFGD =GF ， 所以FG ∥AE ， 同理AG ∥BF ，所以四边形AEFG 为平行四边形，在平面ACF 内作Oz ∥CF ，又因为CF ⊥AC ，CF ⊥BD ，所以Oz ⊥AC ，Oz ⊥BD ，所以Oz ⊥底面ABCD ，又菱形ABCD 中，BD ⊥AC ，如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (3,0,0)，B (0,1,0)，C (-3,0,0)，G(0,-1,2)，F (-3,0,3)， OE →=OA →+AE →=OA →+GF →=(0,1,1)，CE →=(3,1,1)，CB →=(3,1,0)， 设平面BCE 的法向量为m =(x ,y ,z )，则m ∙CE →=0，m ∙CB →=0，则得其中一个m =(1,-3,0)，由（1）知BG ⊥GF ，FG ∥AE ，所以BG ⊥AE ，又BG ⊥AC ，所以BG ⊥平面ACE ， 所以平面ACE 的一个法向量为m =BG →=(0,-2,2)， 所以cos<m ，m >=64， 所以锐二面角A －EC －B 的余弦值为64．22．解：（1）F (x )= g (x )-f (x )= x 2+ax -1-2x ln x ，F ′(x )=2x +a -2-2ln x ，F ′′(x )=2-2x ≥0在[1，) 恒成立，F ′(x )在[1, +∞)，单调递增，又F ′(1)=a ，所以a ≥0时，F (x )在[1, +∞)单调递增，F (x )=在[1, +∞)不存在极小值点， a <0时，F ′(1)<0，F ′(x ) =2x +a -2-2ln x>2x +a -2-2x ，令2x +a -2-2x >0，x >1+5-2a2>1， 令t =(1+5-2a 2)2，所以存在x 0∈(1,t )，F ′(x 0) =0，且F (x )在(1, x 0)单调递减，F (x )在( x 0,t )单调递增，F (x )在[1, +∞)存在极小值点x 0．（2）（i ）f (x )=2x ln x ，令G (x )=x ln x ，G ′(x )=1+ln x =0，x =1e ，G (x )在(0,1e )单调递减，G (x )在(1e , +∞)单调递增，G (x )min = - 1e ，h (x )= |f (x )|-2a 有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，即|G (x )|-a =0有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，又G (1)=0，所以x 1<0<x 2<1<x 3，由（1）知a ≥0时，当x ≥1时，x ln x ≤x 2-12，所以x 3ln x 3=a ≤x 32-12，令x 2-12=a ，x =1+2a ，所以x 3>1+2a ；（ii ）同（i ）知|G (x )|-a =0有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，x 1<0<x 2<1<x 3，所以0<a <1e ，且0<x ≤1时，0≤x 2-12≤x ln x ，所以x 2<1-2a ，所以x 32x 22=1+2a 1-2a =-1+21-2a ，所以x 32x 22>e+2e -2．。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，其图像的对称轴是：A. x = 1B. x = 2C. y = 2D. y = 42. 下列各式中，能表示等差数列的是：A. 2, 4, 6, 8, ...B. 1, 3, 5, 7, ...C. 2, 6, 10, 14, ...D. 3, 6, 9, 12, ...3. 在三角形ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数是：A. 75°B. 105°C. 135°D. 150°4. 已知等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项an的表达式是：A. an = a1 q^(n-1)B. an = a1 / q^(n-1)C. an = a1 + q^(n-1)D. an = a1 - q^(n-1)5. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = 2^xC. f(x) = log2xD. f(x) = (1/2)^x6. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (1, 2)，则向量a和向量b的夹角θ的余弦值是：A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/57. 若log2(3x - 1) = 2，则x的值是：A. 1B. 3C. 7D. 98. 下列命题中，正确的是：A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则a + c > b + cC. 若a > b，则ac > bcD. 若a > b，则ac < bc9. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标是：A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, 3)D. (2, 2)10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(-1)的值是：A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

江苏省南通市海安县海安高级中学2025届高三期中联考数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-12．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．3．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）． A ．50,3AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．10,3AB ⎛⎤= ⎥⎝⎦C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)A B =+∞4．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，5)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．已知平面向量a b ，满足21a b a ＝，＝,与b 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥+－，则实数λ的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．2D ．36．已知()4sin 5πα+=，且sin 20α<，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．7B ．7-C ．17D ．17-7．已知集合A ＝{x ∈N |x 2＜8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()AB C ⋃＝（ ）A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．{1，3，4，5，6，7}8．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+ D ．(],112ln 2-∞-+9．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交 10．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．34D ．2211．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y=+（ ）A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，有最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值12．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年度第一学期高三年级阶段检测数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知()f x 是R 上的奇函数，则函数()()12g x f x =+-的图像恒过点A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2-D ．()1,2--2.已知全集为U ，集合M ，N 满足M N U ⊆⊆，则下列运算结果一定为U 的是A ．M NB ．()()U UN M痧C ．()U M NðD ．()U N Mð3.已知α为第三象限角，则A ．sin02α>B ．cos02α>C ．sin 20α>D ．cos 20α>4.若复数23202220231i i i i i z =-+-++- ，则z =A ．0B C ．1D ．25.已知角θ的大小如图所示，则1sin 2cos 2θθ+=A ．53-B ．53C ．4-D ．46.2022年10月16日中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，这是全党全国各族人民在全面建设社会主义现代化新征程的一次盛会，其中《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长1a ，2a ，3a ，4a ，5a （单位：cm ）成等差数列，对应的宽为1b ，2b ，3b ，4b ，5b （单位：cm ）且每种规格的党旗长与宽之比都相等．已知1288a =，596a =，1192b =，则3b =A ．160B ．128C ．96D ．647.已知0x >，0y >，且270x y xy ++-=，则x y +的最小值为A ．3B 3-C ．4D ．68.已知函数()f x =，()sin g x x =，1a b >≥，0c d >>，若()()f a f b π-=，()()10g c g d π-=，则A ．910a d b c π+-->B ．910a d b c π+--<C ．1110a c b d π+-->D ．1110a cb d π+--<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．以下说法正确的有A ．“24x -<<”是“22150x x --<”的必要不充分条件B ．设a ，b R ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件C ．“ln ln a b >”是“22a b >”的充分不必要条件D ．命题“01x ∃>，()0ln 10x -≥”的否定是“1x ∀≤，()ln 10x -<”10.已知函数()cos 22sin cos 22f x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A ．()f x 的最大值为3B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．()f x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减11.已知3412ab==，则A ．a b ab +=B ．49a b +>C ．()()22112a b -+-<D ．228a b +>12.已知函数()()ln 1x e x f x =+，则A ．函数()y f x =的零点是()0,0B ．不等式()0f x >的解集是()0,+∞C ．设()()'g x x f =，则()g x 在[)0,+∞上不是单调函数D ．对任意的s ，()0,t ∈+∞，都有()()()f s t f s f t +>+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.求值：()2lg5lg 2lg50+⨯=.14.若关于x 的不等式0ax b -<的解集是()1,+∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集是.15.若函数()()22f x x a =+（其中0a <）在区间[]1,4上的最小值为8，则a =.16.若函数()()2ln 2xe txx x f x +=-+，当()0,x ∈+∞时，恒有()0f x >，则实数t 的取值范围.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且3cos c b A =-.（1）求tan tan AB的值；（2）若2c =，3tan 4C =，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）假定某篮球运动员每次投篮命中率均为()01p p <<.现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是2125.（1）求p 的值；（2）设该运动员投篮命中次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望()E ξ.19.（本小题满分12分）在长方体1111ABCD A B C D -中，112AD AA AB ==，点E 是棱AB 上一点，且AE EBλ=.（1）证明：11D E A D ⊥；（2）若二面角的1D -EC -D 的大小为4π，求λ的值.20.（本小题满分12分）在数列{}n a 中，10a =，且对任意*k N ∈，21k a -，2k a ，21k a +成等差数列，其公差为k d .（1）若对任意*k N ∈，2k a ，21k a +，22k a +成等比数列，其公比为k q .设11q ≠，证明：11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）若2k d k =，证明：2k a ，21k a +，22k a +成等比数列（*k N ∈）.21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，焦距为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+（k ，m R ∈）与椭圆C 相交于A ，B 两点，且34OA OB k k ⋅=-.①求证：AOB ∆的面积为定值；②椭圆C 上是否存在一点P ，使得四边形OAPB 为平行四边形？若存在，求出点P 横坐标的取值范围；若不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()sin x f x x =+.（1）设P ，Q 是函数()f x 图像上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于为；（2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos ax x f x ≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.阶段性测试二数学答案20231003一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.D2.D3.C4.A5.C6.B7.A8.B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．BC 10.BC 11.ABD12.BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.114.()1,2-15.10-16.1t e>四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）由正弦定理，得sin 3sin cos C B A =-，即()sin 3sin cos A B B A +=-.所以sin cos cos sin 3sin cos A B A B B A +=-.从而sin cos 4sin cos A B B A =-，因为cos cos 0A B ≠，所以tan 4tan AB=-.（2）因为()tan tan tan tan tan tan 1A BC A B A B +=-+=-，由（1）知，23tan 34tan 14B B =+，解得1tan 2B =，所以tan 2A =-.所以sinA =，cos A =.所以253cos 3c b A ==-.所以ABC ∆的面积为11254sin 22233bc A =⨯=.18.（本小题满分12分）解：（1）设事件A ：“恰用完3次投篮机会”，对其对立事件A ：“前两次投篮均不中”，依题意，()()()22111125P A P A p =-=--=，解得35p =；（2）依题意，ξ的所有可能值为0，1，2，3，且()()240125P p ξ==-=，()()()()2241111125P p p p p p ξ==-+--=，()3273125P p ξ===，故()()()()5421013125P P P P ξξξξ==-=-=-==，ξ的概率分布表为：ξ123P425241255412527125所以()24542721323125125125125E ξ=+⨯+⨯=（次）.19.（本小题满分12分）证：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系.不妨设11AD AA ==，2AB =，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0C ，()11,0,1A ，()11,2,1B ，()10,2,1C ，()10,0,1D .因为AE EB λ=，所以21,,01E λλ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，于是121,,11D E λλ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ ，()11,0,1A D =--.所以()1121,,11,0,101D E A D λλ⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪+⎝⎭.故11D E A D ⊥.（2）因为1D D ⊥平面ABCD ，所以平面DEC 的法向量为()10,0,1n =.又21,2,01CE λλ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ ，()10,2,1CD =-.设平面1D CE 的法向量为()2,,n x y z =，则22201n CE x y λλ⎛⎫⋅=+-= ⎪+⎝⎭，2120n CD y z ⋅=-+= ，所以向量2n 的一个解为2,1,21λ⎛⎫⎪+⎝⎭.因为二面角1D -EC -D 的大小为4π，22=，所以()2413λ+=，解得2313λ=±-.又因E 是棱AB 上的一点，所以0λ>，故所求λ的值为2313-.20.（本小题满分12分）证明：（1）因为21k a -，2k a ，21k a +成等差数列，所以221212k k k a a a -+=+.因为2n ≥，0n a ≠，所以2121222k k k ka a a a -+=+.因为2k a ，21k a +，22k a +成公比为k q 的等比数列，所以112k k q q -+=.所以1111111k k k k q q q q -----=-=，因为11q ≠，所以10k q -≠.所以111111111k k k k q q q q ---==+---，即111111k k q q --=--.所以11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列.（2）因为21k a -，2k a ，21k a +成公差为2k 的等差数列，所以21214k k a a k +--=.所以()()()2112121212331k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-++- ()()441421k k k k =+-++=+ ，即()2121k a k k +=+.故222122k k a a k k +=-=，()()222232121k k a a k k ++=-+=+，所以()2222122241k k k a kk a a ++=+=⋅，且当2n ≥，0n a >，故2k a ，21k a +，22k a +成等比数列.21.（本小题满分12分）解：（1）设椭圆焦距为2c ，故2212c c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩，所以12c a =⎧⎨=⎩，则2223b a c =-=，椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）①由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，化简得：()2223484120k x kmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，故()()()222212121212231234m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+，因为121234OA OB y y k k x x ⋅==-，所以22234m k =+，所以AB =，d =，所以111222S AB d =⋅=⨯⨯为定值.②若存在椭圆上的点P ，使得OAPB 为平行四边形，则OP OA OB =+，设()00,P x y ，则01220122834634km x x x k m y y y k ⎧=+=-⎪⎪+⎨⎪=+=⎪+⎩，又因为2200143x y +=，即()()2222222161213434k m m k k +=++，得22434m k =+，又因为22234m k =+，矛盾，故椭圆上不存在点P ，使得OAPB 为平行四边形.22.（本小题满分12分）解：（1）由题意，得()'1cos 0f x x =+≥.所以函数()sin f x x x =+在R 上单调递增.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则有12120y y x x ->-，即0PQ k >.（2）当0a ≤时，()sin 0cos f x x x ax x =+≥≥恒成立.当0a >时，令()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-，()()'1cos cos sin g x x a x x x =+--()11cos sin a x ax x =+-+.①当10a -≥，即01a <≤时，()()'11cos sin 0g x a x ax x =+-+>，所以()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单调增函数.所以()()00sin 00cos 00g x g a =+-⨯⨯=≥，符合题意.②当10a -<，即1a >时，令()()()'11cos sin h x g x a x ax x ==+-+，于是()()'21sin cos h x a x ax x =-+.因为1a >，所以210a ->，从而()'0h x ≥.所以()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上为单增函数.所以()()02h h x h π⎛⎫⎪⎝⎭≤≤，即()212a h x a π-+≤≤，亦即()2'12a g x a π-+≤≤.（ⅰ）当20a -≥，即12a <≤时，()'0g x ≥，所以()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单调增函数.于是()()00g x g =≥，符合；（ⅱ）当20a -<，即2a >时，存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得当()00,x x ∈时，有()'0g x <，此时()g x 在()00,x 上为单调减函数，从而()()00g x g <=，不能使()0g x >恒成立.综上所述，实数a 的取值范围为2a ≤.。

江苏省南通市海安高级中学2023届高三下学期阶段检测（五）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（）A．该平台女性主播占比的估计值为0.4B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.610．我国春秋时期便有了风筝，人们用折纸做成了风筝并称为“纸鸢”，我们把如图1的“纸鸢”抽象成如图2的四棱锥P ABCD-，如果AC BD^于点O，^，下列说法正确的是（）OA OC OD==，PC BD三、填空题13．定义在R上的非常数函数()f x满足：()()f x f x20-+=.请写-=，且()()f x f x出符合条件的一个函数的解析式()f x=______.14．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是____________（用数字作答）．()135992a a a a ++++L 的值，将()1359923a a a a ++++-L 构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数．【详解】在已知等式中，取1x =得1000121003a a a a ++++=L ，取=1x -得0121001a a a a -+-+=L ，两式相减得100135992()31a a a a +++=-L ，即()100135992334a a a a ++++-=-L ，因为()50100503494814-=-=+-0501495010505050505088884r r C C C C C -=×+×++×++×+-L L 0501495015050505088883r r C C C C -=×+×++×++×-L L 05014950150505050888885,N r r C C C C r -=×+×++×++×-+ÎL L 因为0501495015050505088888r r C C C C -×+×++×++×-L L 能被8整除，所以05014950150505050888885r r C C C C -×+×++×++×-+L L 被8整除的余数为5，即()1359923a a a a ++++-L 被8整除的余数为5，故选：B.6．C【分析】建立平面直角坐标系，求向量,,,AP AB AD BD uuu r uuu r uuu r uuu r 的坐标，根据数量积的坐标运算结合三角函数的性质判断AC ，由向量相等求,l m ，结合三角函数性质求l m +，l m -的最值.【详解】以A 为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，则()2,0B ，()0,2D ，则随机变量x的分布列为。

2023-2024学年度第一学期高三年级阶段检测数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数()i 1i +在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合{}{}202,0A x x B x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为（）A {1x x ≤或}2x > B.{0x x <或}12x <<C.{}12x x ≤< D.{}12x x <≤3.命题p ：函数()y f x =的最大值为M ，函数()y g x =的最小值为m ；命题q ：()()y f x g x =-的最大值为M m -，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知e 是单位向量，向量a满足112a e ≤⋅≤ ，则a r 的取值范围是（）A.(0,)+∞ B.(0,1]C.1[,)2+∞ D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.加工爆米花时，爆开且不糊粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系p=at 2+bt+c （a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟.的6.若曲线ln y x =上恰有三个不同的点到直线y x a =+，则实数a 的值为（ ）A.-3B.-C.1D.-3或17.已知等差数列{}n a 的公差为2π3，集合{}*sin N n S a n =∈∣，若{,}S a b =，则ab =（ ） A.1- B. 12- C.0 D. 128.函数()ln 1f x x x =-零点为1x ，函数()()e 1e xg x x =--的零点为2x ，则下列结论正确的是（）A.221e ln exx ⋅= B.12ln 1x x -=C. 2111e2x x -+> D.21121ln x x +≤+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法错误的是（ ）A.在睡眠指数[)60,80的人群中，早睡人数多于晚睡人数B.早睡人群睡眠指数主要集中在[)80,90C.早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小D.晚睡人群睡眠指数主要集中在[)60,8010.已知π04βα<<<，且()1sin 3αβ-=，tan 5tan αβ=，则（ ） A.5sin cos 12αβ= B. 1sin cos 12βα=C.5sin 2sin 272αβ= D. π6αβ+=的11.已知353a b a b +=+=，则下列不等关系正确的是（ ）A.01a b <<< B.01b a <<<C.35a bb a +<+ D.ln ln b a a b>12.若函数()()sin f x A x =+ωϕ，()0,0,0πA ωϕ>><<的部分图象如图中实线所示，记其与x 轴在原点右侧的第一个交点为C ，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下说法正确的是（ ）A.函数()f x 的最小正周期是πB.函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减C.函数()f x 的图象向左平移π12个单位后关于π4x =对称D.若圆C 的半径为5π12，则(π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题“0x ∀>，210x x -+>”的否定为______．14. 复平面上两个点12,Z Z 分别对应两个复数12,z z ，它们满足下列两个条件：①212i z z =⋅；②两点12,Z Z 连线的中点对应的复数为34i +，若O 为坐标原点，则12Z OZ △的面积为______15.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且201010302013S S S S -=-，则数列{}n a 的公比为________．16.剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一，如图，一圆形纸片沿直径AB 对折，使圆上两点C 、1C 重合，D ，E 为直径AB 上两点，且45ECD ∠=︒，对折后沿直线DC ，EC 级剪，展开得到四边形1CEC D ，若12AC AB =，则当四边形1CEC D 的面积最小时，DEAC =______________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知向量()cos ,sin m x x =-，()cos ,sin n x x x =- ，x ∈R ．设()f x m n =⋅ ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()2413f x =，且ππ62x ≤≤，求sin 2x 的值．18.电视传媒公司为了了解南京市区电视观众对某部韩剧的收视情况，随机抽取容量为180人的样本，调查其对某部韩剧的态度，其结果如下：（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢韩剧”与“性别”有关?（2）经统计得，不喜欢该电视剧的14为老年人，从老年人中任取5人，随机变量X 表示所取男女老年人相差的个数．求X 的分布列和数学期望． 附表及公式：(2P K ≥0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0001k2.072 2.7063.8415.0246.6357.87910.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a=，且()()()*12211n n nS n S n n n +-+=+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式：.（2）已知等差数列{}n b 满足35b =，其前9项和为63．令n nn n na b c b a =+，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：23n T n <+．20.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD60BCD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，//EF AB ，FB FC =，EF =.（1）求证：OE ⊥平面ABCD ；（2）若FBC ∆为等边三角形，点Q 为AE 中点，求二面角Q BC A --的余弦值.21.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>过点()2,1，其左右焦点分别为1F ，2F ．（1）若点P 与1F ，2F 的距离之比为13，求直线0x =被点P 所在的曲线2C 截得的弦长； （2）设1A ，2A 分别为椭圆1C 的左、右顶点，Q 为1C 上异于1A ，2A 的任意一点，直线1AQ ，2A Q 分别与椭圆1C 的右准线交于点M ，N ，求证：以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点．22.已知函数()33f x ax ax =-，()2ln g x bx c x =+，且()g x 在点()()1,1g 处的切线方程为210y -=．（1）若103a -<<，求函数()()()F x f x g x =+的单调递增区间；（2）若0a ≠，设函数()()(),0,,0,f x x G xg x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩且方程()2G x a =恰四个不同的解，求实数a的取值范围．的2023-2024学年度第一学期高三年级阶段检测数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数()i 1i +在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】按照复数的定义展开即可. 【详解】()i 1i 1i +=-+，所以该复数在复平面内对应的点为()1,1-，在第二象限故选：B.2.已知集合{}{}202,0A x x B x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{1x x ≤或}2x >B.{0x x <或}12x <<C.{}12x x ≤< D.{}12x x <≤【答案】A 【解析】【分析】由题可知图中的阴影部分表示()A B A B ð，再根据交集，并集和补集的定义即可得解. 【详解】由题可知图中的阴影部分表示()A B A B ð，{}{201B x x x x x =->=>或}0x <，则{}R,12A B A B x x ⋃=⋂=<≤，所以()A B A B ⋃⋂=ð{1x x ≤或}2x >.故选：A.3.命题p ：函数()y f x =的最大值为M ，函数()y g x =的最小值为m ；命题q ：()()y f x g x =-的最大值为M m -，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】D 【解析】【分析】取特殊函数方法判断充分必要条件即可.【详解】设()2f x x =-，()24g x x x =-分别存在最大值0M =和最小值4m =-，则()()224f x g x x x -=-+的最大值为2M m ≠-，所以充分性不成立；设()22f x x =-，()22g x x x =--，()()22f x g x x x -=-+取得最大值为1，但()22g x x x =--不存在最小值，所以必要性不成立．故选:D ．4. 已知e 是单位向量，向量a满足112a e ≤⋅≤ ，则a r 的取值范围是（）A.(0,)+∞B.(0,1]C.1[,)2+∞ D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】利用向量数量积公式，结合夹角的范围建立不等式，求出a r的取值范围. 【详解】设,a e 的夹角为θ，由112a e ≤⋅≤及单位向量e ，得1||cos 12a θ≤≤ ，显然0a ≠ ，且π[0,2θ∈，于是11cos 2||||a a θ≤≤ ，而(]cos 0,1θ∈，因此112||a ≤ ，解得1||2a ≥ ，所以a r 的取值范围是1[,)2+∞.故选：C5.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系p=at 2+bt+c （a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟【答案】B 【解析】【详解】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2p at bt c =++的图象上，所以930.7{1640.82550.5a b c a b c a b c ++=++=++=，解得0.2, 1.5,2a b c =-==-，所以20.2 1.52p t t =-+-=215130.2()416t --+，因为0t >，所以当153.754t ==时，p 取最大值， 故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间，故选B.考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.6.若曲线ln y x =上恰有三个不同的点到直线y x a =+，则实数a 的值为（ ）A.-3B.-C.1D.-3或1【答案】A 【解析】【分析】根据题意可设直线l 与直线y x a =+平行，且与曲线ln y x =的图象相切于点(),P m n ，求导从而得出直线l 的斜率，进而求得直线l 的方程，然后结合题意可分析出直线l 与直线y x a =+之间的距离为，求得a 的值，再分析验证是否满足题意即可.【详解】依题意，设直线l 与直线y x a =+平行，且与曲线ln y x =的图象相切于点(),P m n ，对于ln y x =，定义域为()0,x ∈+∞，则1y x'=， 所以有1x my m ='=，直线l 的斜率1k m=，又因为直线l 与直线y x a =+平行，则有11m=，解得：1m =， 则ln10n ==，故点P 的坐标为()1,0，所以直线l 的方程为：1y x =-，若曲线ln y x =上恰有三个不同的点到直线y x a =+，必有直线l 到直线y x a =+，解得：1a =或3a =-，当1a =时，直线y x a =+即为1y x =+与曲线ln y x =没有交点，曲线ln y x =上只有1个点到直线y x a =+，不符合题意；当3a =-时，直线y x a =+即为3y x =-与曲线ln y x =有2个交点，曲线ln y x =上恰有三个不同的点到直线3y x =-，一个点为点P ，剩余的两个点则在直线3y x =-的右下方，符合题意； 故3a =-. 故选：A.7.已知等差数列{}n a 的公差为2π3，集合{}*sin N n S a n =∈∣，若{,}S a b =，则ab =（ ） A.1- B. 12- C.0 D. 12【答案】B 【解析】【分析】首先根据等差数列{}n a 的公差为2π3，得出3sin sin n n a a +=，即数列{sin }n a 是周期为3的数列，设1π6a =，得出2a 和3a ，即可得出集合S 中元素，进而得出答案．【详解】因为等差数列{}n a 的公差为2π3，所以32323n n n πa a a π+=+⨯=+， 所以3sin sin(2)sin n n n a a πa +=+=，所以数列{sin }n a 是周期为3数列，又{,}S a b =，所以123a a a =≠或123a a a ≠=或213a a a ≠=， 则1π6a =符合题意，此时12311,,122a a a ===-， 的所以1{,1}2S =-，所以12ab =-，排除A CD ,只有B 符合,故选：B .8.函数()ln 1f x x x =-的零点为1x ，函数()()e 1e xg x x =--的零点为2x ，则下列结论正确的是（）A.221e ln exx ⋅= B.12ln 1x x -=C. 2111e2x x -+> D.21121ln x x +≤+【答案】C 【解析】【分析】先通过条件，以及ln y x =与e x y =的图象关于y x =对称，1y x=的图象关于y x =对称得到()1211x x -=，然后利用等量代换以及基本不等式可分别判断各个选项.【详解】由已知()111ln 10f x x x =-=，即111ln x x =， ()()222e 1e 0x g x x =--=，即2121e1x x -=-，令21t x =-，则1e tt=，又因为ln y x =与e x y =的图象关于y x =对称，1y x=的图象关于y x =对称，所以ln y x =与e x y =分别与1y x=的交点关于y x =对称， 所以11x t =，即()1211x x -=，又因为(1)10f =-<，(2)2ln 21ln 4ln e 0f =-=->， 由零点存在性定理可知()11,2x ∈，又()1211x x -=，即2111x x =+，所以23,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对于A ：()2121121e ln e e 11e xx x x x x ⋅=⋅==--，A 错误；对于B ：()122221ln 111x x x x x x -=-=--=-，B 错误；对于C ：因为()1211x x -=，所以2111x x =-，()2121211e 121x x x x -⎛⎫∴+=+-≥= ⎪-⎝⎭，当且仅当22111x x =--，即22x =时等号成立，又23,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2111e 2x x -∴+>，C 正确；对于D：21111111211ln 1x x x x ⎛⎫+=++≥= ⎪+⎝⎭+，当且仅当1111111x x +=+，即110x =时等号成立，不可能， 所以21121x x +>+，D 错误. 故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法错误的是（）A.在睡眠指数[)60,80的人群中，早睡人数多于晚睡人数.B.早睡人群睡眠指数主要集中在[)80,90C.早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小D.晚睡人群睡眠指数主要集中在[)60,80【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表一一判断即可.【详解】由图知，每一组中的早睡人群占比与晚睡人群占比都是以早睡与晚睡各自的总人数为基数的，所以每一组中的早睡人数与晚睡人数不能从所占的百分比来判断，故选项A 错误；早睡人群睡眠指数主要集中在[)80,90，晚睡人群睡眠指数主要集中在[)50,60，选项B 正确，选项D 错误；早睡人群睡眠指数的极差和晚睡人群睡眠指数的极差的大小无法确定，故选项C 错误． 故选：ACD.10.已知π04βα<<<，且()1sin 3αβ-=，tan 5tan αβ=，则（ ） A.5sin cos 12αβ= B.1sin cos 12βα=C.5sin 2sin 272αβ= D. π6αβ+=【答案】ABD 【解析】【分析】三角展开求出sin cos αβ和sin cos βα，然后代入验证CD 即可.【详解】由()11sin sin cos sin cos 33αβαββα-=⇒-=， 由sin 5sin tan 5tan sin cos 5sin cos cos cos αβαβαββααβ=⇒=⇒=，由上两式解得5sin cos 121sin cos 12αββα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以A,B 正确；对于C ：155sin 2sin 22sin cos 2sin cos 4121236αβααββ=⨯=⨯⨯=，C 错误； 对于D ：()1sin sin cos sin cos 2αβαββα+=+=， 所以()π2πZ 6k k αβ+=+∈或者()5π2πZ 6k k αβ+=+∈，又因为π04βα<<<，所以π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π6αβ+=，D 正确，故选：ABD11.已知353a b a b +=+=，则下列不等关系正确的是（ ）A.01a b <<< B.01b a <<<C.35a b b a +<+ D.ln ln b a a b>【答案】BCD 【解析】【分析】将,a b 看作3,5x x y y ==的图象与直线3y x =-交点的横坐标，数形结合可判断A ，B ；结合题意可推出35a b <，利用不等式性质可判断C ；根据已知不等式的结构特征，构造函数ln (),(0)xf x x x=>，利用其单调性可判断D.【详解】由353a b a b +=+=可知，若0,0a b <<，则31,51a b <<，则353a b a b +=+=不成立，又1a b ==时，33,55a b ==，故01,01a b <<<<，又33,53a b a b =-=-，则,a b 可看作3,5x x y y ==的图象与直线3y x =-交点的横坐标，作出3,5x x y y ==与3y x =-的图象如图，结合图象可知01b a <<<，故A 错误，B 正确； 由01b a <<<，353a b a b +=+=，得35a b <， 故35a b b a +<+，C 正确； 令ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，()f x 在(1,e)上单调递增，当e x >时，()0f x '<，()f x 在(e,+)∞上单调递减，由于01b a <<<，故()()f b f a <，即ln ln b ab a<，故ln ln b a a b >，D 正确， 故选：BCD12.若函数()()sin f x A x =+ωϕ，()0,0,0πA ωϕ>><<的部分图象如图中实线所示，记其与x 轴在原点右侧的第一个交点为C ，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下说法正确的是（ ）A.函数()f x 的最小正周期是πB.函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减C.函数()f x 的图象向左平移π12个单位后关于π4x =对称D.若圆C 的半径为5π12，则(π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，由图象得到π3C x =，进而得到()f x 最小正周期；B 选项，求出2π2πω==，π3ϕ=，从而得到π5ππ2,363x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，判断出函数不单调；C 选项，求出平移后的解析式，得到当π4x =时，0cosπ2y A ==，故不关于π4x =对称；D 选项，由圆的半径求出π0,4M ⎛⎫⎪⎝⎭，进而代入解析式，求出A ，得到答案.【详解】A 选项，由图象可知，,M N 关于点C 中心对称，故2π0π323C x +==，设()f x 的最小正周期为T ，则1πππ2362T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得πT =，A 正确；的B 选项，因为0ω>，所以2π2πω==， 故()()sin 2f x A x ϕ=+，将π,03C ⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得，sin 02π3ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πϕ<<，所以2π2π5π333ϕ<+<，故2ππ3ϕ+=，解得π3ϕ=， 故()πsin 23f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当7ππ,123x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，π5ππ2,363x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，因为sin y z =在5ππ,36z ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上不单调，故()πsin 23f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在7ππ,123x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上不单调，B 错误； C 选项，函数()πsin 23f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向左平移π12个单位后，得到s πππ63sin 22in 2cos 2y A x A x A x ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当π4x =时，0cos π2y A ==，故不关于π4x =对称，C 错误； D 选项，圆C 的半径为5π12，由勾股定理得4πOM ==，故π0,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入()πsin 23f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，得4sin 0ππ3A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得A =，故()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，D 正确. 故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题“0x ∀>，210x x -+>”的否定为______．【答案】0x ∃>，210x x -+≤【解析】的【分析】根据全称命题的否定形式解决问题即可.【详解】由全称命题的否定形式可知命题“0x ∀>，210x x -+>”的否定为“0x ∃>，210x x -+≤”. 故答案为：0x ∃>，210x x -+≤.14. 复平面上两个点12,Z Z 分别对应两个复数12,z z ，它们满足下列两个条件：①212i z z =⋅；②两点12,Z Z 连线的中点对应的复数为34i +，若O 为坐标原点，则12Z OZ △的面积为______【答案】20 【解析】【分析】设1(,)z a bi a b =+∈R ，根据复数的运算及集合意义可得点12,Z Z 的坐标，再根据中点坐标公式列方程求得,a b 的值，从而可得向量12,OZ OZ的坐标，根据向量的坐标运算确定模长与角度，从而得12Z OZ △的面积.【详解】设1(,)z a bi a b =+∈R ， 则212i (i)2i 22i z z a b b a =⋅=+⋅=-+.所以点12,Z Z 的坐标分别为12(,),(2,2)Z a b Z b a - 又两点12,Z Z 连线的中点对应的复数为34i +，23,224,2a ba b -⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩解得22,54.5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩12OZ OZ ∴==== 又12(,),(2,2),OZ a b OZ b a==- 12120,OZ OZ OZ OZ ∴⋅=∴⊥12Z OZ ∴的面积为1202S =⨯=.故答案为：20.15.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且201010302013S S S S -=-，则数列{}n a 的公比为________．【答案】3【解析】【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，根据1200S S -和3020S S -的关系可得20101030201S S S S q-=-，结合题设条件从而求得q 的值.【详解】因为1121201020a a a S S =++-+ ，()102122301112302200a a a q a a S a S =+++-+=++ ， 故20101030201S S S S q -=-即1010113q =，因为等比数列{}n a 为正项数列，故0q >，所以3q =． 故答案为：3．【点睛】本题考查等比数列的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．16.剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一，如图，一圆形纸片沿直径AB 对折，使圆上两点C 、1C 重合，D ，E 为直径AB 上两点，且45ECD ∠=︒，对折后沿直线DC ，EC 级剪，展开得到四边形1CEC D ，若12AC AB =，则当四边形1CEC D 的面积最小时，DEAC =______________．-##-【解析】【分析】根据正弦定理，结合三角形面积公式，辅助角公式、二倍角的正弦公式进行求解即可.【详解】设圆的半径为r ，CDA θ∠=，∵12AC AB r ==，∴π3CAD ∠=，在CDA 中由正弦定理可得πsin sin3r CD θ=，∴πsin3sin r CD θ=，在CEA 中由正弦定理可得ππsin sin 34rCE θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴πsin 3πsin 4r CE θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，()22ππsinsin 1π1333sin π242sin 8sin sin cos sin 4CED r r r S CD CE θθθθθ=⋅⋅=⋅⋅==⎛⎫-- ⎪⎝⎭△()2344cos 2sin 2r θθ==-+，当5π8θ=时四边形1CEC D 的面积取得最小值2=，此时CD CE ==32cos,8DE CE r π=====∴DEAC=-【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角形面积公式、正弦定理得到面积的表达式，利用辅助角公式进行求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知向量()cos ,sin m x x =-，()cos ,sin n x x x =- ，x ∈R ．设()f x m n =⋅ ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()2413f x =，且ππ62x ≤≤，求sin 2x 的值．【答案】（1）π （2【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算求出()f x m n =⋅，然后利用三角公式整理为()sin y A ωx φ=+的形式，就可以求出周期了；（2）先通过πsin 26⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 求出πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再通过ππsin 2sin 266x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦展开计算即可. 【小问1详解】()()2cos sin sin f x x x x x=--22cos sin cos x x x x =-+2cos2x x =+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为π；【小问2详解】 由（1）得π12sin 2613x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由ππ62x ≤≤得ππ72π266x ≤+≤，所以π5cos 2613x ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，则ππππππsin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 666666x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦125113132=⨯=．18.电视传媒公司为了了解南京市区电视观众对某部韩剧的收视情况，随机抽取容量为180人的样本，调查其对某部韩剧的态度，其结果如下：态度城市男女合计喜欢60 60 不喜欢2040合计（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢韩剧”与“性别”有关?（2）经统计得，不喜欢该电视剧的14为老年人，从老年人中任取5人，随机变量X 表示所取男女老年人相差的个数．求X 的分布列和数学期望． 附表及公式：()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）没有97.5%以上的把握认为“喜欢韩剧”与“性别”有关； （2）分布列见解析，565273.【解析】【分析】（1）利用卡方计算并根据表格判断即可； （2）利用随机变量的分布列和期望公式计算即可.【小问1详解】 由表格数据得：()22180604060209 4.5 5.02412060801002K ⨯⨯-⨯===<⨯⨯⨯，没有97.5%以上的把握认为“喜欢韩剧”与“性别”有关； 【小问2详解】在不喜欢韩剧的60人中，老年人占15人，其中男的有10人，女的有5人． X 的可能取值为1，3，5，则()3223510510515C C C C 150501C 27391P X +====，()4114510510515C C C C 1003C 273P X +===，()5005510510510C C C C 235C 273P X +===，X 的分布列为分X13 5P509110027323273所以()501002356513591273273273E X =⨯+⨯+⨯=．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()()()*12211n n nS n S n n n +-+=+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）已知等差数列{}n b 满足35b =，其前9项和为63．令n nn n na b c b a =+，设数列{}n c 前n 项和为n T ，求证：23n T n <+． 【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，则有()12n n n S +=，再根据1,2n n n a S S n -=-≥求解即可；（2）根据已知条件可得2n b n =+，11222n n n n n b a c a b n n ⎛⎫=+=+- ⎪+⎝⎭，由裂项相消可得1123212n n n n T ⎛⎫=+-+ ⎪++⎝⎭，即可得证.【小问1详解】解：由()()12211n n nS n S n n +-+=+，得1112n n S S n n +-=+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，因此()11111222n S n n n =+-⨯=+，故()12n n n S +=．于是当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=． 满足11a =， 所以n a n =； 【小问2详解】证明：因为{}n b 是等差数列， 所以()()1937996322b b b b ++==， 又35b =，所以79b =，的所以{}n b 的公差满足7344d b b =-=，所以()3312n b b n n =+-⨯=+． 故222211122222n n n n n b a n n n c a b n n n n n n ++-⎛⎫=+=+=++=+- ⎪+++⎝⎭，所以1111111221324352n T n n n ⎛⎫=+-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭111221212n n n ⎛⎫=++-- ⎪++⎝⎭1123212n n n ⎛⎫=+-+ ⎪++⎝⎭，所以23n T n <+．20.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD60BCD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，//EF AB ，FB FC =，EF =.（1）求证：OE ⊥平面ABCD ；（2）若FBC ∆为等边三角形，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值.【答案】(1)见证明；【解析】【分析】（1）可证FH BC ⊥，再利用平面FBC ⊥平面ABCD 证得FH ⊥平面ABCD ，通过证明//OE FH ，可得要求证的线面垂直.（2）建立空间直角坐标系，求出平面BCQ 的法向量和平面ABC 的一个法向量后可求二面角Q BC A --的余弦值.【详解】（1）证明：取BC 的中点H ，连结OH 、FH 、OE ， 因为FB FC =，所以FH BC ⊥，因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC 平面ABCD BC =，FH ⊂平面FBC ，所以FH ⊥平面ABCD ，因为H 、O 分别为BC 、AC 的中点，所以//OH AB且12OH AB ==.又//EF AB，EF =，所以//EF OH ，所以四边形OEFH 为平行四边形，所以//OE FH ，所以OE ⊥平面ABCD .（2）解：因为菱形ABCD ，所以2OA OC OE FH ====.所以OA ，OB ，OE 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则(2,0,0)A，B ，(2,0,0)C -，(0,0,2)E ， 所以(1,0,1)Q ，所以(2,BC =-，(3,0,1)CQ = ，设平面BCQ 的法向量为(,,)m x y z =，由00BC m CQ m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得2030x y x z ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，取1x =，可得(1,3)m =-，平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，设二面角Q BC A --的平面角为θ，则cos m n m n θ⋅=== ，因为二面角Q BC A --的平面角为锐角，所以二面角Q BC A --【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.21.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>过点()2,1，其左右焦点分别为1F ，2F ．（1）若点P 与1F ，2F 的距离之比为13，求直线0x =被点P 所在的曲线2C 截得的弦长； （2）设1A ，2A 分别为椭圆1C 的左、右顶点，Q 为1C 上异于1A ，2A 的任意一点，直线1AQ ，2A Q 分别与椭圆1C 的右准线交于点M ，N ，求证：以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点．【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】根据题意，利用1C 上的点()2,1和离心率得222,,a b c 及12,F F ；（1）由点P 与1F ，2F 的距离之比化简整理得到点P 的轨迹方程是一个圆，利用利用勾股定理可得弦长；（2）根据题意，写出直线1AQ ，2A Q 的直线方程并求其右准线交于点M ，N 的坐标，假设x 轴上存在点(,0)R t 在以MN 为直径的圆上，利用0MR NR ⋅=求出t 的值，从而得证以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点.【小问1详解】因为椭圆1C ：()222210x ya b a b+=>>过点()2,1，所以22411a b +=．又因为离心率e =2212c a =，故222a c =，所以2222b a c c =-=，即224112c c+=，所以23c =，则()1F，)2F ．设(),P x y，则((222299x y x y ++=+，即222x y ⎛+= ⎝，所以点P的轨迹为圆心(，半径r =的圆．其圆心(到直线0x -+=的距离为14d ，所以弦长EG ===．故直线0x -+=被点P 所在的曲线2C. 【小问2详解】证明：由（1）知22163x y +=，所以()1A，)2A，右准线x ==．设()00,Q x y，0x ≠由1AQ：y x =，则M ⎛⎝，同理N ⎛⎝．假设x 轴上存在点(,0)R t 在以MN 为直径的圆上，则0MR NR ⋅=因为MR NR t t ⎛⎛ ⋅=-⋅- ⎝⎝222206((06y t t x =-+=-+=-，因为Q 点在椭圆上，所以2200163x y +=，即220062x y -=-，所以22026(02y MR NR t y ⋅=-+=-，即2(3t -=，解得t =或t =， 点)和()都满足题意.所以以MN为直径的圆经过x 轴上的定点)和().22.已知函数()33f x ax ax =-，()2ln g x bx c x =+，且()g x 在点()()1,1g 处的切线方程为210y -=．（1）若103a -<<，求函数()()()F x f x g x =+的单调递增区间；（2）若0a ≠，设函数()()(),0,,0,f x x G xg x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩且方程()2G x a =恰四个不同的解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）11,3a ⎛⎫-⎪⎝⎭（2）2⎫⎪⎪⎭．【解析】【分析】（1）先根据()g x 在点()()1,1g 处的切方程求出()g x ，在利用导数研究函数()F x 的单调区间，（2）利用导数先作出()G x 的大致图像，数形结合讨论求出a 的取值范围.【小问1详解】()2c g x bx x '=+，由条件，得()()10,11,2g g ⎧=⎪⎨='⎪⎩即20,1,2b c b +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得12b =，1c =-，所以()21ln 2x x g x =-．所以()()()3213ln 2F x f x g x ax ax x x =+=-+-，其定义域为()0,∞+，()()()()21131133x x ax F x ax a x x x+-+'=-+-=，令()0F x '>，得()()1310x ax -+>，因为103a -<<，则113x a <<-，即()F x 的单调递增区间为11,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【小问2详解】()323,01,02ax ax x G x x lnx x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，当0x >时，()()21ln 2G x g x x x ==-，()()()111x x g x x x x+-'=-=，令()0g x '=，得1x =，且当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上有极小值，即最小值为()112g =．当0x ≤时，()()33G x f x ax ax ==-，()()()233311f x ax a a x x '=-=+-，令()0f x '=，得=1x -，①若a<0，当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，当()1,0x ∈-时，()0f x ¢>，所以()f x 在(],0-∞上有极小值且是最小值为()12f a -=，又因为()00f =，所以方程()2G x a =不可能有四个解，舍去．②若0a >，当(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，当()1,0x ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在(],0-∞上有极大值且是最大值为()12f a -=，又()00f =，()G x 的大致图象如图所示，所以2122a a <<2a <<． 此时()248ln 44g a =->>，2481144e 2eg a ⎛⎫=+>>⎪⎝⎭，()(200f f a ==<，满足，所以实数a 的取值范围是2⎫⎪⎪⎭．【点睛】讨论函数单调性，根据导数正负即可判断；讨论方程的跟，可先分离常数，利用导数作出函数图像，然后数形结合，根据函数图像交点的个数判断方程跟的个数.。

2024届高三第二学期期初学业质量监测数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知样本数据1,2,2,3,7,9，则2.5是该组数据的（ ） A ．极差 B ．众数 C ．平均数D ．中位数2．3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．723．设a R ∈．若函数()(1)x f x a =−为指数函数，且(2)(3)f f >，则a 的取值范围是（ ） A ．12a <<B ．23a <<C ．2a <D ．2a <且1a ≠4．若,a b 为两条异面直线，,αβ为两个平面，,,a b l αβαβ⊂⊂=，则（ ） A ．l 至少与,a b 中的一条平行 B ．l 至少与,a b 中的一条相交C ．l 至多与,a b 中的一条相交D ．l 必与,a b 中的一条相交，与另一条平行5．设各项均不相等的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15399,42a a S ==，则公比q =（ ） A ．2− B ．1− C ．12−D ．126．记ABC 的内角,A B 的对边分别为,a b ，则“2a b >”是“sin sin 2A B >”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 的左支上，121260,PF F PF F ∠=°的周长为6a ，则C 的离心率为（ ）A ．2BCD 1−8．已知正五边形的边长为a ,内切圆的半径为，外接圆的半径为,2tan aR R r θ+=，则θ=（ ）A ．9°B ．18°C ．27°D ．36°二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知函数()cos 22sin f x x x =+,则（ ） A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 关于直线2x π=对称C ．()f x 关于点,02π中心对称 D ．()f x 的最小值为3−10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A ,点,M N 在C 上，且2FM FA FN += ,则（ ）A ．ON FM ∥B ．直线MN 的斜率为C ．||MN =D ．||AF AMAM ⋅= 11．已知函数()f x 及其导函数()g x 的定义域均为,(21)R f x +与(21)g x −均为偶函数，则（ ）A ．(1)0f −=B ．(8)()f x f x +=C ．(3)0g =D ．91()0k g k ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设,m R i ∈为虚数单位．若集合()(){}221,2,3156,{1,3}M m m m m i N =+−++−=−,且{3}M N = ，则m =______．13．一个三棱锥形木料P ABC −，其中ABC 是边长为2dm 的等边三角形，PA ⊥底面ABC ,二面角P BC A −−的大小为45°，则点A 到平面PBC 的距离为______dm ．若将木料削成以A 为顶点的圆锥，且圆锥的底面在侧面PBC 内，则圆锥体积的最大值为______3dm ．14．已知,,a b c 为某三角形的三边长，其中a b <，且,a b 为函数2()f x ax bx c −+的两个零点，若M a b c >+−恒成立，则M 的最小值为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）假定某同学每次投篮命中的概率为23． （1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；（2）该同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即停止投篮，否则投篮4次，求投篮次数X 的概率分布及数学期望．16．（15分）已知函数()ln 1f x a x x =−+，其中a R ∈． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a ； （2）求函数()f x 的单调区间．17．（15分）如图，己知三棱台111ABC A B C −的高为1,2,90,AB AC BAC O ==∠=°为BC 的中点，1111111,A B A C A AB A AC ==∠=∠，平面1A BC ⊥平面ABC ．（1）求证：1A O ⊥平面ABC ；（2）求1CC 与平面11ABB A 所成角的大小．18．（17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,直线:sin cos l x y b θθ+=(0)θπ<<与C 相交于,A B 两点．（1）求直线l 被圆222:O x y a +=所截的弦长； （2）当2πθ=时，24||5AB =． （i ）求C 的方程；（ii ）证明：对任意的(0,),ABF θπ∈ 的周长为定值．19．（17分） 设集合{}121,,,,n A a a a =− ，其中{}121,2,(,),,n a a a n B x x p q p A q A =<<<==∈∈ ．若对任意的向量1x B ∈ ，存在向量2x B ∈，使得12x x ⊥ ，则称A 是“T 集”．（1）设{1,1,2},{1,1,2,3}M N =−=−，判断,M N 是否为“T 集”．若不是，请说明理由； （2）已知A 是“T 集”．（i ）若A 中的元素由小到大排列成等差数列，求A ； （ii ）若23,n a c = （c 为常数），求有穷数列123,,,,n a a a a 的通项公式．高三数学参考答案与评分建议2024.02一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．DBAB CACB 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9．ABD10．ABC11．BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．113 141−四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）记事件A 表示“该同学投篮4次，恰好投中2次”，则222422()C 133P A=⋅⋅−……3分 41699=××827=． 答：恰好投中2次的概率为827．……5分 （2）依题意，X 的可能取值为2,3,4．……7分则224(2)39P X=== ； 2224(3)13327P X==−×=；222222211(4)11111333333327P X ==×−+−××−+−×−= ．……10分（或4411(4)192727P X ==−−=．） 所以X 的数学期望4411()23492727E X =×+×+×8027=．……13分 16．（15分）解：（1）依题意，函数()f x 的导函数()1a a x f x x x′−=−=．……1分 则(1)1f a ′=−，又(1)0f =，故曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：(1)(1)y a x =−−．……3分 因为切线在两坐标轴上的截距相等，所以11a −=．……5分 解得0a =．……7分另解：因为曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等，所以(1)1f ′=−，即11a −=−，所以0a =．……7分（2）函数()ln 1f x a x x =−+的定义域为(0,)+∞．……8分 当0a 时，()0f x ′<，所以函数()f x 的减区间为(0,)+∞；……11分 当0a >时，令()0f x ′>，得x a <，所以函数()f x 的增区间为(0,)a ； 令()0f x ′<，得x a >，所以函数()f x 的减区间为(,)a +∞．综上，当0a 时，函数()f x 的减区间为(0,)+∞；当0a >时，函数()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞．……15分17．（15分）证明：（1）因为1111,,A AB A AC AB AC A A A A ∠=∠==，所以11A AB A AC ≌，所以11A B A C =．又因为O 为BC 的中点，所以1OA BC ⊥．……3分又因为平面1A BC ⊥平面ABC ,平面1A BC 平面1,ABC BC OA =⊂平面1A BC ，所以1OA ⊥平面ABC ．……6分（2）连接,,OA AB AC O =为BC 的中点，所以OA BC ⊥． 分别以1,,OB OA OA 为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则1((0,0,1)A B C A ．所以AB = ，1(0,AA = ．因为1111(22AC AC == ，所以1C，所以1CC=．……9分 设平面11ABB A 的法向量(,,)n x y z =，则10,0.n AB n AA z ⋅=−= ⋅+=令1y =,则1,x z ==,所以n = ．……11分于是1111cos ,2||CC nCC n CC n ⋅==⋅，……13分 又因为10,180CC n °<<°，所以1,60CC n =° ．所以1CC 与平面11ABB A 所成角的大小为30°．……15分另解1：过O 作,Ox AC Oy AB ∥∥，建立如图所示空间直角坐标系．则11(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(0,0,1),(1,0,1)A B C A C −−−−，1(0,1,1)B ，所以1(0,1,1)CC =，1(0,2,0),(1,0,1)AB BB =．设平面11ABB A 的法向量(,,)n x y z =,则120,0,n AB y n BB x z ⋅== ⋅=+= 令1z =，则1,0x y =−=，所以(1,0,1)n −．……11分所以1111cos ,2||n CC n CC n CC ⋅<>==⋅，……13分 设直线1CC 与平面11ABB A 所成角为θ，则1sin 2θ=．因为0,2πθ∈，所以6πθ=． 所以1CC 与平面11ABB A 所成角的大小为30°．……15分另解2：取AC 的中点D ,连接1,,,OA A D OD BD ． 设D 到平面1A AB 的距离为,h D ′为D 在平面11ABB A 的射影，则DD h ′=．由（1）知，1A O OD ⊥，所以1A D =同理可得，11A B A A=由11D A AB A ABD V V −−=得，11133A ABABD S S AO ⋅=⋅ ，即111122113232h ××=××××，解得h =．……11分所以111sin 2DD DA D A D ′′∠==，……13分 故130DA D ′∠=°．又11CC A D ∥,故1CC 与平面11ABB A 所成角的大小为30°．……15分18．（17分）解：（1）依题意，圆心(0,0)O 到直线:sin cos l x y b θθ+=的距离为：b =．……2分则直线l 被圆222:O x y a +=所截的弦长为：236=×=．……4分 （2）（i ）当2πθ=时，直线l 的方程为：x b =．……5分将x b =代入椭圆2222:1x y C a b +=，得22222291b b y b a a=−= ，所以3b y a =±． 因为24||5AB =，右焦点为(3,0)F ,所以45b a =，且229a b −=．……7分 解得2225,16a b ==，所以C 的方程为2212516x y +=．……9分 （ii ）证明：当2πθ=时，由（i ）知，ABF的周长为24105+=；……10分 当2πθ≠时，设()()1122,,,A x y B x y ．联立2212516x y +=与sin cos x y b θθ+=并消去，得224sin cos 12516x x θθ−+=， 整理得()222225sin 16cos 200(sin )400sin 0x x θθθθ+−+=． 所以1222200sin 25sin 16cos x x θθθ+=+，1222120|sin cos |25sin 16cos x x θθθθ−+．所以212221120|sin ||||cos |25sin 16cos AB x x x θθθθ−=−=+． 又0θπ<<时，sin 0θ>,所以22120sin ||25sin 16cos AB θθθ=+．……13分又13||55AF x =−，因为155x − ，所以13||55AF x =−，同理23||55BF x =−． 所以()12223120sin ||||1010525sin 16cos AF BF x x θθθ+=−+=−+．……16分 所以ABF 的周长为||||||10AF BF AB ++=（定值）．……17分 另解：（ii ）设()()1122:,,,,l y kx t A x y B x y =+，因为0θπ<<，所以0kt <．由（14b =，即221616t k =+． 由2212516x y y kx t+= =+ 消去y 并整理得，()222162550254000k x ktx t +++−=， 所以122501625ktx x k +=−+，()2221222225161640025400400162516251625k t k x x k k k+−−===+++． 所以AB ===2120||1625k k =+．……13分又13||55AF x =−， 因为155x − ，所以13||55AF x =−，同理23||55BF x =−． 所以()1223350||||1010551625ktAF BF x x k+=−+=+⋅+．……16分所以22350120||||||||10516251625kt k AF BF AB k k ++=+⋅++ 2230||120||10162541625kt t k k k=++⋅++ 2230301016251625kt kt k k =+−++ 10=,即ABF 的周长为10（定值）．……17分19．（17分）解：（1）M 是“T 集”；N 不是“T 集”．……2分理由：对于向量1(2,3)x = ,若存在2(,)x m n B =∈ ,使得12x x ⊥ ．则230m n +=,故,m n 中必有一个为1−，此时另一个为32或23，显然不符合．……4分 （2）（i ）因为A 中的元素由小到大排列成等差数列，则该等差数列的首项为1−， 公差为2，故21,1ka k k n =− ．……5分 对于向量()11,(23,21)n n x a a n n −==−− ,若存在向量2x B ∈ ,使得12x x ⊥ ，则向量2x 的坐标中必含1−，设另一坐标为23(11)t t n −+ ，则2(1,23)x t =−− 或2(23,x t −− ．……7分所以(23)(1)(21)(23)0n n t −⋅−+−−=或(23)(23)(21)(1)0n t n −−+−⋅−=， 故2323121n t n −−=<−或212323n t n −−=−， 所以2t <或223123t n −=+−,所以1t =或1223t n −=−， 所以1t =或21,231t n −=−=即3,2t n ==． 此时12(23,21),(1,1)x n n x =−−=−− ，不满足12x x ⊥ ；或12(1,3),(3,1)x x ==− ，满足12x x ⊥ ； 所以A 只可能为{1,1,3}−．经检验{1,1,3}−是“T 集”，所以{1,1,3}A −．……9分（ii ）设()()121122,,,x p q x p q == ．由12x x ⊥ ，得12120p p q q +=，由条件可变形为1212p q q p =−． 设集合|,|,|p C p A q A p q q =∈∈>，则A 是“T 集”当且仅当C 关于原点对称．……11分 因为1−是A 中唯一负数，{}23(,0),,,n C a a a −∞=−−− 共1n −个数， 所以(0,)C +∞ 也只有1n −个数．……12分 由于1231n a a a a =<<<< ，所以1221n n n n n n a a a a a a a a −−<<<< ，已有1n −个数． 对以下三角数阵：1221n n n n n n a a a a a a a a −−<<<< 111231n n n n n a a a a a a −−−−−<<< ……3321a a a a < 21a a 注意到12111n n a a a a a a −>>> ，所以1321221n n n n a a a a a a a a −−−==== ．……15分 又121a a c =<=（c 为常数），故有穷数列123,,,,n a a a a 为等比数列，且通项公式1,1,2,,k k a c k n −== ．……17分。

一、单选题1. 为了得到函数的图像,可以将函数的图像A．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度2. 《跳舞的线》是一款音乐类游戏，要求玩家用双眼观察障碍物与陷阱，用双耳聆听节奏，根据音乐引线条通过多重地形，最终抵达终点．玩家每点击一次屏幕，线条将会旋转，且为顺时针、逆时针交替转向．如图是游戏中“沙漠”一关的截图，线条从点前进到点有两条路径：①和②．假设转弯不改变线条的速度，则两条路径所需时间一定相同，这一点可以由某定理保证．这个定理是（）A ．平面向量基本定理B ．共线向量基本定理C ．有一内角为直角的平行四边形是矩形D ．两直线平行，同旁内角互补3. 设原命题：若，则中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（ ）A ．原命题与逆命题均为真命题B ．原命题真，逆命题假C ．原命题假，逆命题真D ．原命题与逆命题均为假命题4. 已知函数满足：对任意，．当时，，则（ ）A．B．C．D．5. 已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系是（ ）A．B．C．D．6. 函数的定义域为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（2，+∞）C ．（2，3）∪（3，+∞）D ．（2，4）∪（4，+∞）7.下列函数中，在上为减函数的是A．B．C．D．8. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ）A ．函数在上单调递增B ．函数为偶函数C ．若，则的最小值为D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象江苏省南通市海安高级中学2023届高三下学期一模数学试题(1)江苏省南通市海安高级中学2023届高三下学期一模数学试题(1)二、多选题三、填空题四、解答题9.是两条不同的直线，是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（ ）A．B．C．D．10. 已知α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α∥β11. 已知向量，，下列说法正确的有（ ）A ．若，则B ．若，则与夹角的正弦值为C ．若，则D ．若，则或1612. 如图(a )，边长为2的正方形 AP ₁P ₂P ₃中，B ，C 分别是P ₁P ₂，P ₂P ₃的中点，AP ₂交BC 于D ，现沿AB ，AC 及BC 把这个正方形折成一个四面体，如图(b )，使P ₁，P ₂，P ₃三点重合，重合后的点记为P ，则有（）A ．平面PAD ⊥平面PBCB ．四面体 P -ABC的体积为C ．点P 到平面ABC 的距离为D ．四面体 P -ABC 的外接球的体积为13. 供电公司为了分析某小区的用电量y （单位:kw·h ）与气温x （单位:℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表:气温x 181310-1用电y2434m64利用最小二乘法得到的回归方程为，则____________.14. 若的展开式中的系数为9，则a 的值为______．15. 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A 为C 上一点，且|AF |＝5，O为坐标原点，则的面积为___________.16. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的上、下焦点分别为、，过点作斜率为的直线交椭圆于A ，B两点，直线，分别交椭圆于M ，N 两点，设直线MN 的斜率为.求证：为定值.17. 已知实数，，．(1)求；(2)若对一切成立，求的最小值；(3)证明：当正整数时，．18. 已知双曲线，其左、右顶点分别为，其离心率为，且虚轴长为.(1)求双曲线的标准方程；(2)一动点与的连线分别与双曲线的右支交于，两点，且恒过双曲线的右焦点，求证：点在定直线上.19. 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：立定跳远单项等高三男生高三女生级优秀及以上及以上良好~~及格~~不及格及以下及以下从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）：男生女生假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；(2)从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望；(3)从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）20. 已知函数．（1）求的值；（2）求的最大值．21. 已知圆C：，直线l：.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程.。

江苏省南通市海安高级中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象大致是（）参考答案：C2. 已知平面向量，满足，，则与的夹角为A．B．C．D．参考答案：B3. 已知是虚数单位，复数＝A．B．C．D．参考答案：A略4. 已知变量，满足约束条件，则的最小值为A. B. C. D. 参考答案：C不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，可化为直线，则当该直线过点时，取得最小值，.5. 等比数列中，，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：B6. 在中，角所对的边为.若，则A. B. C. D.（）参考答案：B7. 已知集合，则（）A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)参考答案：C8. 设、表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，下列命题中真命题是 ( ) ．A．若，则B．若C．若D．若参考答案：C9. 设，则A. B. C. D.参考答案：B本题考查指数与对数的比较大小。

，，，所以；选B。

10. 已知正项等比数列的前项和为，若，则的值为( )A. B.C. D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，且AD=，则BC 等于．参考答案：2考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD 与BC成角60°，则∠BCE=60°，即可求出BC．解答：解：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，∵AD=，∴CE=，∴BC=2．故答案为：2．点评：本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确构造图形是关键．12. 已知直线，则直线斜率的取值范围________。

江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试数学试题一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数1212i,2i z z a =-=+(其中i 为虚数单位,a ∈R ).若12z z ⋅是纯虚数,则a =（ ） A.-4B.-1C.1D.42.直线tan205x y π+-=的倾斜角为( )A.5πB.310π C.710π D.45π 3.有6名男教师和5名女教师,从中选出2名男教师、1名女教师组成一个支教小组,则不同的选法共有( ) A.60种B.70种C.75种D.150种4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且51115,46a a S =+=,则310a a ⋅是{}n a 中的( ) A.第28项B.第29项C.第30项D.第32项5.在ABC 中,已知30,2B c ︒∠==,则“b =是“45C ︒∠=”成立的( )条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要6.已知双曲线22:14x C y -=,直线:10l x y -+=.双曲线C 上的点P 到直线l 的距离最小,则点P 的横坐标为( )C.D. 7.若命题:“,R a b ∃∈,使得cos cos a b b a --”为假命题,则a ,b 的大小关系为（ ） A.a b <B.a b >C.a bD.a b8.设实数,,a b c 满足221a b c +,则a b c ++的最小值为（ ）A.12-B.12-C.2-D.-1二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.9.下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为( ) A.方差B.平均数C.中位数D.众数10.已知不等式()2(3)0ax x b +-对任意(0,)x ∈+∞恒成立,其中,a b 是整数,则a b +的取值可以为( )A.-4B.-2C.0D.811.直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>相交于,A B 两点,过,A B 两点分别作该抛物线的切线,与直线y p =-均交于点P ,则下列选项正确的是( )A.直线l 过定点(0,)pB.,A B 两点的纵坐标之和的最小值为2pC.存在某一条直线l ,使得APB ∠为直角D.设点(0,2)Q p 在直线l 上的射影为H ,则直线FH 斜率的取值范围是(,)-∞⋃+∞三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知集合{}21560,cos 2M x x x N x x ⎧⎫=-+=<-⎨⎬⎩⎭∣,则M N ⋂=___________.13.设1,()2(1),1x f x x x <<=-⎪⎩若()(1)f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________. 14.在长方体1111ABCD A B C D -中,14,2,,AB BC BB E F ===分别是棱11,AB A D 的中点,则平面CEF 截该长方体所得的截面为___________边形,截面面积为___________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,已知棱AB ,AD ,AP 两两垂直,长度分别为1,2,2,若DC AB λ=,且向量PC 与BD (1)求实数λ的值;(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.16.（15分）已知向量cos (cos ,sin ),(,)sin ,os m x x n x x x x =-=-∈R .设()f x m n =⋅. (1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)在ABC 中,若()1,2,f BAC AB BC BAC ∠===∠的平分线交BC 于点D ,求AD 长.17.(15分)在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,2F F 分别是椭圆的左、右焦点,过2F 作两条互相垂直的直线12,l l ,直线1l 与C 交于A ,B 两点,直线2l 与C 交于D ,E 两点,且12AF F 的周长是4+(1)求椭圆C 的方程; (2)当32AB DE =时,求ODE 的面积. 18.(17分)设函数()()ln ,f x x a x x a a =--+∈R . (1)若0a =,求函数()f x 的单调区间; (2)若220ea -<<,试判断函数()f x 在区间()22e ,e -内的极值点的个数,并说明理由; (3)求证:对任意的正数a ,都存在实数t ,满足:对任意的(,),()1x t t a f x a ∈+<-.19.(17分)“踩高跷,猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统,发展“地推经济”,在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.(1)某商户借“灯谜”活动促销,将灯谜按难易度分为B 、C 两类,抽到较易的B 类并答对购物打八折优惠,抽到稍难的C 类并答对购物打七折优惠.抽取灯谜规则如下:在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片,其中3张写有A 字母,3张写有B 字母,2张写有C 字母,顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片,若抽到写有A 的卡片,则再抽1次,直至取到写有B 或C 卡片为止.求该顾客取到写有B 卡片的概率.(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜,规定只能取一次,并且只可以向前走,不能回头,他在街道上一共会遇到n 条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同）,最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等,小明准备采用如下策略:不摘前(1)k k n <条灯谜,自第1k +条开始,只要发现比他前面见过的灯谜适合的,就摘这条灯谜,否则就摘最后一条.设k tn =,记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为P . ①若4,2n k ==,求P ;②当n 趋向于无穷大时,从理论的角度,求P 的最大值及P 取最大值时t 的值. (取111ln 11n k k n k+++=+-)2023-2024学年度第二学期高三年级模拟考试数学一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。