2019届江苏省海安高级中学高三上学期第二次月考数学试题(解析版)

海安县第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 函数y=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．2． 长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB=2AD ，G 为CC 1中点，则直线A 1C 1与BG 所成角的大小是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°3． 已知集合A={x|x ≥0}，且A ∩B=B ，则集合B 可能是（ ）A ．{x|x ≥0}B ．{x|x ≤1}C ．{﹣1，0，1}D ．R 4． 已知在△ABC 中，a=，b=，B=60°，那么角C 等于（）A ．135°B ．90°C ．45°D ．75°5． 已知x ，y ∈R ，且，则存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立的P （x ，y ）构成的区域面积为（ ）A ．4﹣B ．4﹣C ．D ．+6． 抛物线x 2=4y 的焦点坐标是（ ）A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（）D ．（）7． 已知奇函数是上的增函数，且，则的取值范围是（ ）()f x [1,1]-1(3)()(0)3f t f t f +->t A 、 B 、 C 、 D 、1163t t ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭2433t t ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭16t t ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭2133t t ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭8． 设x ，y ∈R ，且x+y=4，则5x +5y 的最小值是（ ）A ．9B ．25C ．162D ．509． 函数f （x ）=﹣lnx 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________10．若点O 和点F （﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．11．已知双曲线，分别在其左、右焦点，点为双曲线的右支上2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F P 的一点，圆为三角形的内切圆，所在直线与轴的交点坐标为，与双曲线的一条渐M 12PF F PM (1,0)，则双曲线的离心率是（ ）CAB ．2CD 12．若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立是（ ）A ．＞B ．＞C ．|a|＞|b|D ．a 2＞b 2二、填空题13．台风“海马”以25km/h 的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A 点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B 点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C 点，这时观测站与台风中心的距离AC 等于 km ．14．设α为锐角，若sin （α﹣）=，则cos2α= ．15．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x+a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 ．（用区间表示）　16．已知线性回归方程=9，则b= ．17．若函数为奇函数，则___________．63e ()()32e x xbf x x a =-∈R ab =【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．18．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，且，双曲线：1C x y 42=F P 3||=PF 2C 12222=-by a x （，）的渐近线恰好过点，则双曲线的离心率为 .0>a 0>b P 2C 【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.三、解答题19．已知，其中e 是自然常数，a ∈R（Ⅰ）讨论a=1时，函数f （x ）的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f （x ）＞g （x ）+．20．（本小题满分12分）求下列函数的定义域：（1）；()f x =（2）()f x =21．若点（p ，q ），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．（1）点M （x ，y ）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M （x ，y ）落在上述区域的概率？（2）试求方程x 2+2px ﹣q 2+1=0有两个实数根的概率．22．（本题满分14分）在ABC ∆中，角，，所对的边分别为，已知cos (cos )cos 0C A A B +=．A B C c b a ,,（1）求角B 的大小；（2）若，求b 的取值范围．2=+c a 【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．23．设圆C满足三个条件①过原点；②圆心在y=x上；③截y轴所得的弦长为4，求圆C的方程．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切钱EP交CB 的延长线于P，己知∠PAB=25°．（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；（2）若∠DAE=25°，求证：DA2=DC•BP．海安县第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：令y=f（x）=，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数y=为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选D．2．【答案】C【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1=2AB=2AD=2，A1（1，0，2），C1（0，1，2），=（﹣1，1，0），B（1，1，0），G（0，1，1），=（﹣1，0，1），设直线A1C1与BG所成角为θ，cosθ===，∴θ=60°．故选：C．【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．3．【答案】A【解析】解：由A={x|x≥0}，且A∩B=B，所以B⊆A．A、{x|x≥0}={x|x≥0}=A，故本选项正确；B、{x|x≤1，x∈R}=（﹣∞，1]⊊[0，+∞），故本选项错误；C、若B={﹣1，0，1}，则A∩B={0，1}≠B，故本选项错误；D、给出的集合是R，不合题意，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了基本初等函数值域的求法，是基础题．　4．【答案】D【解析】解：由正弦定理知=，∴sinA==×=，∵a＜b，∴A＜B，∴A=45°，∴C=180°﹣A﹣B=75°，故选：D．5．【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，则（cosθ+sinθ）=﹣1，令sinα=，则cosθ=，则方程等价为sin（α+θ）=﹣1，即sin（α+θ）=﹣，∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，∴|﹣|≤1，即x2+y2≥1，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即B（2，2），A（4，0），则三角形OAB的面积S=×=4，直线y=x的倾斜角为，则∠AOB=，即扇形的面积为，则P（x，y）构成的区域面积为S=4﹣，故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．6．【答案】B【解析】解：∵抛物线x2=4y中，p=2，=1，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，1），故选：B．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线x2=2py的焦点坐标为（0，），属基础题．　7．【答案】A【解析】考点：函数的性质。

江苏省宿迁市海安实验中学2019年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对x∈R，“关于X的不等式f(x)>0有解”等价于(A) ，使得f(x0)>0成立（B) ，使得f(x0）≤<0成立(C) ，f(x)>0 成立（D) ，f(x)<0 成立参考答案：A略2. 如图，将直角三角板和直角三角板拼在一起，其中直角三角板的斜边与直角三角板的角所对的直角边重合．若，则等于（）A．B．C．D．参考答案：B3. 已知，若，则( )A．a+b=0 B．a﹣b=0 C．a+b=2 D．a﹣b=2参考答案：C【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】化简函数的解析式，利用函数的奇偶性求解即可．【解答】解：，则f（x）﹣1是奇函数，而，所以==2，所以a+b=2，故选：C．【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．4. 已知一等比数列的前三项依次为，那么是此数列的第（）项。

A 4B 5CD 7参考答案：B5. 程序框图如右图所示，则输出的值为( )A．15 B．21 C．22 D．28参考答案：B6. 函数在区间上的最大值是（）A． B． C． D．参考答案：C7. 设函数,则( )A.当k=2013时，在x=1处取得极小值B.当k=2013时，在x=1处取得极大值C.当k=2014时，在x=1处取得极小值D.当k=2014时，在x=1处取得极大值参考答案：8. 某产品近期销售情况如下表：根据上表可得回归方程为，据此估计，该公司8月份该产品的销售额为（）A. 19.05B. 19.25C. 19.5D. 19.8参考答案：D【分析】由已知表格中的数据求得,代入线性回归方程求得,再在回归方程中取求得值即可.【详解】,,得，，取，得，故选D.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，明确线性回归方程恒过样本中心点是关键，属于基础题.9. 定义在R上的函数，对任意不等的实数都有成立，又函数的图象关于点（1，0）对称，若不等式成立，则当1≤x<4时，的取值范围是A．B．C．D．参考答案：10. 在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：则y关于x的函数关系与下列最接近的函数(其中a、b、c为待定系数)是( )A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交，使弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，所取弦长不超过4的概率为___________.参考答案：略12. 如图是一个算法流程图，则输出的b的值为_______．参考答案：8【分析】根据程序框图，写出每次运行结果，利用循环结构计算并输出b的值．【详解】第1步：a＞10不成立，a＝a＋b＝2，b＝a－b＝1；第2步：a＞10不成立，a＝a＋b＝3，b＝a－b＝2；第3步：a＞10不成立，a＝a＋b＝5，b＝a－b＝3；第4步：a＞10不成立，a＝a＋b＝8，b＝a－b＝5；第5步：a＞10不成立，a＝a＋b＝13，b＝a－b＝8；第6步：a＞10成立，退出循环，输出b＝8.故答案为：8【点睛】本题考查循环结构的程序框图，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题．13. 阅读右侧的程序框图，输出的结果的值为 ;参考答案：14. 如图，正方体中，、分别为、的中点，则与所成角的大小为．参考答案：15. 设，，则的最小值为______.参考答案：【分析】利用乘“”法化简所求表达式，再利用基本不等式求得最小值.【详解】依题意，所以，当且仅当时等号成立.故填.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查“1”的代换，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16. 如图所示的流程图，输出的结果S是。

江苏省海安高级中学2019届高三上学期第二次月考数学试题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合 ， ，则 ______．2. 复数 的共轭复数在复平面内对应的点位于第______象限．3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间 中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间 内的汽车有______辆4. 袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______．5. 在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为______．6. 如图所示的算法流程图中，最后输出值为______．7. 已知m ，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面．若 ， ，则 ，若 ， ， ，则 ；若 ， ， ，则 ；若 ， ， ，则 ．上述命题中为真命题的是______ 填写所有真命题的序号 ．8. 公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何” 题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快 每天增加的数量相同 ，已知第一天织布5尺，一个月 天 共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为______尺匹 丈，1丈 尺9. 若 ，则 ______．10. 如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且 ，， ，则______． 11. 已知关于x 的方程 在 上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是______．12. 已知 ， ，且 ，则 的最小值等于______．13. 如图，已知 ，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点 不含端点A，B，，且，则的最大值为______．14.若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知内接于单位圆，且，求角C求面积的最大值．16.如图，在四面体ABCD中，，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且．若平面ABD，求实数的值；求证：平面平面AED．17.如图，长方形材料ABCD中，已知，点P为材料ABCD内部一点，于E，于F，且，现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足，点M，N分别在边AB，AD上．设，试将四边形材料AMPN的面积S表示为的函数，并指明的取值范围；试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值．18.已知椭圆E：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与E有两个交点A，B，线段AB的中点为M．若，点K在椭圆E上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；若l过点，射线OM与椭圆E交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线l斜率；若不能，说明理由．。

高三年级阶段测试（三）数学试卷一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.设全集．若集合，，则．【答案】【解析】因为，所以考点：集合运算2.已知复数满足，则_____________．【答案】【解析】分析：设，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案．详解：由，得，设，由得，即，解得，所以，则．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力．3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为_______.【答案】【解析】【分析】直接模拟运行程序即得解.【详解】s=1-,k=2,s=,k=3,输出s=.故答案为：【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 4.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______.【答案】【解析】【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P，故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【解析】试题分析：由题意，则，而双曲线的渐近线方程为，因此方法为．考点：双曲线的性质．6.在中，，，，则__________．【答案】【解析】试题分析：考点：正余弦定理解三角形7.方程的解为．【答案】【解析】设，则考点：解指对数不等式8.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为．【答案】【解析】由题意得：母线与轴的夹角为考点：圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.视频9.若，则【答案】【解析】试题分析：∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为．考点：三角恒更变化．视频10.已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则________【答案】2【解析】由，若对于任意的第项等于的第项，则，则所以，所以.11.设函数，若无最大值，则实数的取值范围是__．【答案】【解析】【分析】若f（x）无最大值，则，或，解得答案．【详解】f′（x），令f′（x）＝0，则x＝±1，若f（x）无最大值，则，或，解得：a∈（﹣∞，﹣1）．故答案为：【点睛】本题主要考查导数和分段函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12.在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则．【答案】【解析】由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此考点：向量数量积，解三角形13.已知圆O：，定点，过点A的直线l与圆O相较于B，C两点，两点B，C 均在x轴上方，若OC平分，则直线l的斜率为________.【答案】【解析】由角平分线的定义知，设出点B（x1，y1），由此求出点C的坐标，代入圆的方程求出x1，y1，得出点B的坐标，从而求出直线l的斜率k AB．【详解】由OC平分∠AOB知，，设点B（x1，y1），点C（x，y），则，即（x﹣x1，y﹣y1）（3﹣x，﹣y），由向量相等解得x，y y1；又1, ①x2+y21，∴,②；由①②解得x1，y1＝±，∴点B（，）；∴直线l的斜率为k AB．故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线定理与直线和圆的方程应用问题，是中档题．14.已知正实数a，b满足，则的最小值是_______．【答案】【解析】由=2a++，代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数a，b满足2a+b=3，∴2a+b+2=5，则=2a++=2a+b+2+﹣4=1+=1+（）[2a+（b+2）]=1+（4+）=，当且仅当且2a+b=3即a=，b=时取等号，即的最小值是．故答案为：【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，E，F 分别为AD，PB的中点.（1）求证：PE⊥BC；（2）求证：EF∥平面PCD.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】(1)先证明平面PE⊥BC即得证.(2) 取中点，连接.证明，再证明EF∥平面PCD.【详解】（1）∵，且为的中点，∴.∵平面平面，平面平面，∴平面.∵面，∴PE⊥BC.（2）如图，取中点，连接.∵分别为和的中点，∴，且.∵四边形为平行四边形，且为的中点，∴，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴.又平面，平面，∴平面.【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.16.已知函数="4tan" xsin（）cos（）.（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间[]上的单调性.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）在区间上单调递增, 在区间上单调递减.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数的性质求定义域、最小正周期；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，研究函数f（x）在区间[]上单调性.试题解析：（Ⅰ）的定义域为..所以,的最小正周期（Ⅱ）令函数的单调递增区间是由,得设，易知.所以, 当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.【考点】三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、辅助角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，开方时正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常是先化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．视频17.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南角方向，300 km的海面P处，并以20km / h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10km / h的速度不断增大．（1）问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；（2）城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？【答案】（1）否；（2）小时.【解析】【分析】建立直角坐标系，则城市A（0，0），当前台风中心，设t小时后台风中心P 的坐标为（x，y），由题意建立方程组，能求出10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A．（2）t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果．【详解】（1）如图建立直角坐标系，则城市，当前台风中心，设t小时后台风中心P的坐标为，则，此时台风的半径为，10小时后，km，台风的半径为160km，因为，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A.（2）因此，t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，为半径的圆，若城市A受到台风侵袭，则，即，解得答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时.【点睛】本题考查圆的性质在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意挖掘题意中的隐含条件，合理地建立方程．18.已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点共线，求k.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】分析：（1）根据题干可得的方程组，求解的值，代入可得椭圆方程；（2）设直线方程为，联立，消整理得，利用根与系数关系及弦长公式表示出，求其最值；（3）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率.详解：（Ⅰ）由题意得，所以，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设直线的方程为，由消去可得，则，即，设，，则，，则，易得当时，，故的最大值为．（Ⅲ）设，，，，则①，②，又，所以可设，直线的方程为，由消去可得，则，即，又，代入①式可得，所以，所以，同理可得．故，，因为三点共线，所以，将点的坐标代入化简可得，即．点睛：本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式变形为，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.19. （本小题满分14分）已知数列与满足：，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明：是等比数列；（Ⅲ）设证明：．【答案】（Ⅰ）【解析】参考标准答案.本小题主要等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.视频20.已知函数，．（1）求在点P(1，)处的切线方程；（2）若关于x的不等式有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；（3）若存在两个正实数，满足，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）求出P（1，0），x＞0，，f′（1）=1，利用导数的几何意义能求出f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程．（2）求出，x＞0，则f′（x）=0，得x=e，列表讨论能求出实数t的取值范围．（3）h（x）=x2﹣2x+4lnx，从而（x1+x2）2﹣2（x1+x2）﹣4lnx1x2，令t=x1x2，=t2+2t﹣4lnt，（t＞0），…（11分）则=2t+2﹣=，由此利用导数性质能证明x1+x2≥3．【详解】（1），，所以点坐标为；又，，则切线方程为，所以函数在点处的切线方程为．（2）由，得；时，或，满足条件的整数解有无数个，舍；时，，得且，满足条件的整数解有无数个，舍；时，或，当时，无整数解；当时，不等式有且仅有三个整数解，又，，因为在递增，在递减；所以，即，即；所以实数的取值范围为．（3），因为，所以，即，令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为3．因为存在两个正实数，满足，所以，即，所以或．因为为正实数，所以．【点睛】本题考查函数的切线方程的求法，考查实数取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数的几何意义、导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。

．．．．．．．．6)的最小正周期为8.若实数x,y满足⎨y≤3,则x2+y2的取值范围是▲．⎪3x+4y≥12,第一学期第二次月考试卷高三数学（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．若复数(a-2i)(1+3i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为▲．2．函数f(x)=sin(4x+π▲．3．已知等差数列{a}满足a+a+a+a+a=10，a2-a2=36，则a的值为▲．n1357982114．为了了解某学校男生的身体发育情况，随机抽查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图．根据此图估计该校2000名男生中体重在70～78(kg)的人数为▲．(第4题)(第5题)5.运行如图所示的流程图，输出的结果是▲．6．将一个半径为1的小铁球与一个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为▲．7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为▲．⎧x≤4,⎪⎩9．已知圆C与圆x2+y2+10x+10y=0相切于原点，且过点A(0,6)，则圆C的标准方程为▲．10．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2y2-a2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2-6y+5=0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是▲．▲ n }满足：ak 2k3B11. 如图，在由 5 个边长为1 ，一个顶角为 60 的菱形组成的图形中，CAB ⋅ CD = ▲ ．DA第 11 题12． 在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 a 不是最大边，已知a 2－b 2＝2bc sin A ，则 2tan A －3tan B 的最小值为________13． 已知数列 {a1= 3 ， a = 2an n -1- 3 (-1)n (n ≥ 2).若 a , a , a 成等差数列，1k , k ∈ N* ，k < k ，则 k - k =▲ .2 3233214． 已知 f (x ) = (x - 1)e x - e ln x , g (x ) = - x 3 +3 2x 2+ a ，若存在 x ∈ (0, +∞)及唯一正1整数 x ，使得 f (x ) = g (x 212) ，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．二、 解答题：本大题共 6 小题，计 90 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，D ，E 分别为 AB ，AC 的中点．(1) 证明：B 1C 1∥平面 A 1DE ；(2) 若平面 A 1DE ⊥平面 ABB 1A 1，证明：AB ⊥DE.16．（本小题满分14分）)cos B=b cos C；在∆ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a-c(1)求角B的大小；),n=(4k,1)(k>1),且m⋅n的最大值是5，求k的值．(2)设m=(sin A,cos2A317．（本小题满分 14 分）如图，某小区内有两条相互垂直的道路l 和 l ，以l 、 l 所在的直线为坐标轴建系，平面12 1 2直角坐标系 xOy 的第一象限有一块空地 O AB ，其边界OAB 是函数 y = f (x )的图像，前一段曲线 OA 是函数 y = k x 图像的一部分，后一段 AB 是一条线段.测得 A 到 l 的距离为 8 米，到 l 的12距离为 16 米，OB 长为 20 米. y(1) 求函数 y = f (x )的解析式；A(2) 现要在此地建一个社区活动中心，平面l2PQ图形为梯形 OPQB （其中 PQ , OB 为两x底边）.问：梯形的高为多少米时，该Ol1B社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积.18．（本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x 2 y 2 1+ = 1(a > b > 0) 的离心率为 ，且过a 2b 2 2点(1， ). F 为椭圆的右焦点， A , B 为椭圆上关于原点2对称的两点，连接 AF , BF 分别交椭圆于 C , D 两点.y(1) 求椭圆的标准方程；A(2) 若 AF = 2 F C ，求BF FD的值；OD(3) 设直线 AB ， CD 的斜率分别为 k ， k ，是否存在F12x实BC数m，使得k2mk，若存在，求出m的值；若不存1在，请说明理由.(2) 设 c = 2a n +2 -a n ，求数列的前 n 项和 S ；(2) 若存在 x ∈ , e ⎪ 使得不等式 f (x )>x 2＋m 成立，求实数 m 的取值范围；19.(本小题满分 16 分)在数列 {a }中，已知 a = a = 1, a + a n 1 2 nn +2= λ + 2a , n ∈ N*， λ 为常数.n +1(1) 证明: a , a a 成等差数列;1 4, 5n n(3) 当 λ ≠ 0 时，数列 {a n- 1}中是否存在三项 as +1- 1, a t +1- 1, ap +1- 1 成等比数列， 且 s , t , p 也成等比数列?若存在，求出 s , t , p 的值；若不存在，说明理由.20. （本小题满分 16 分）已知函数 f (x ) = e x , g (x ) = ax + b , a , b ∈ R.(1) 若 g (-1) = 0 ，且函数 g (x )的图象是函数 f (x )图象的一条切线，求实数 a 的值：⎛ 1 ⎫⎝ e ⎭(3) 若对任意实数 a ，函数 F (x )＝f (x )－g (x )在 (0, +∞) 上总有零点，求实数 b 的取值范围．⎧⎪x ＝m ＋ 2t ，xOy 中，直线 l 的参数方程是⎨(t 是参数，m 是常数)．以 O⎪⎩y ＝ 2t第一学期第二次月考试卷高三数学（理科）附加题(本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. (本小题满分 10 分)⎡ 2 x ⎤已知 x ，y ∈R ，若点 M (1，1)在矩阵 A ＝⎢ ⎥对应的变换作用下得到点 N(3，5)，求矩阵 A⎣ 3 y ⎦的逆矩阵 A －1.22 (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系22为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ ＝6cos θ .(1) 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2) 若直线 l 与曲线 C 相交于 P ，Q 两点，且 PQ ＝2，求实数 m 的值．23．（本题满分10分）如图，在三棱锥A-BCD中，已知∆ABD,∆BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记BFBA=λ．（1）当λ=13时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；（2）当CF与平面ACD所成角的正弦值为1510时，求λ的值.AF DE CB24．（本小题满分10分）某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A等级的概率都是14，该学生各学科等级成绩彼此独立，规定：有一门学科获A等级加1分，有两门学科获A等级加2分，有三门学科获A等级加3分，四门学科全获A等级加5分，记ξ1表示该生的加分数，ξ2表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值。

海安高级中学2019届高三阶段测试数学试卷一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．设全集U =R ，若集合{}{}1234|23A B x x ==，，，，≤≤，则U A B =ð .{}14， 2．已知复数z 满足30z z+=，则||z = .3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 .564．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 .1155．双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的离心率为线方程为. y =6．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．1 7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．28．若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 3π9．若12cos cos sin sin sin 2sin 223x y x y x y +=+=，，则()sin x y += .2310．已知数列{}n a 和{}n b ，其中2()n a n n *=∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，数列{}n b 中的第n a 项等于{}n a 中的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b = .211．设函数()332x x x af x x x a ⎧-=⎨->⎩，≤，，若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．1a <-12．在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD △与ACD △面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅= ．1615-13． 已知圆O ：221x y +=，定点()30A ，，过点A 的直线l 与圆O 相较于B ，C 两点，两点B ，C 均在x 轴上方，若OC 平分AOB ∠，则直线l 的斜率为.14．已知正实数a ，b 满足23a b +=，则222122a b a b +-++的最小值是 ．135二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.（1）求证：PE ⊥BC ； （2）求证：EF ∥平面PCD .【解析】（1）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =， ∴PE ⊥平面ABCD .∵BC ⊂面ABCD ，∴PE ⊥BC .（2）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =∥， ∴ED FG ∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， ∴EF GD ∥.又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ， ∴EF ∥平面PCD .16．已知函数f (x )=4tan sin cos 23x x x ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求f (x )的定义域与最小正周期；（2）讨论f (x )在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的单调性.【解析】（1）()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭)=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== （2）由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.17．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛= ⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； （2） 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？ 【解析】（1）如图建立直角坐标系，则城市()00A ，，当前台风中心(P -，设t 小时后台风中心P 的坐标为(),x y ，则302102x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，184.4PA ≈km ，台风的半径为=r 160km ，因为r PA <，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，则()6010t + 210800864000300t t -+⇒≤，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤ 答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时.18．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，求AB 的最大值；（3）设(20)P -，，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ，D 和点71()44Q -，共线，求k .【解析】（1）由题意得2c=，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-==易得当20m =时，max ||AB ，故||AB． （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =.19．已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)02nn n n n n n b a a b a b ++++-++==，，*n ∈N ，且 1224a a ==，．（1）求345a a a ，，的值；（2）设*2121n n n c a a n -+=+∈N ，，证明：{}n c 是等比数列； （3）设*242k k S a a a k =++⋅⋅⋅+∈N ，，证明：4*17()6nk k kS n a =<∈∑N ． 【解析】（1）解：由3(1)2nn b +-=，*n ∈N ，可得12n n b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数又1120n n n n n b a a b a +++++=，123123234434541202432205320 4.n a a a a a a n a a a a n a a a a =++====-=++==-=++==当时，，由，，可得；当时，，可得；当时，，可得（2）证明：对任意*,n N ∈2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++= ② 21222320,n n n a a a +++++=③ ②—③，得223.n n a a +=④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+ 即*1()n n c c n N +=-∈又1131,0,n c a a =+=-≠故c 因此11,{}n n nc c c +=-所以是等比数列. （3）证明：由（2）可得2121(1)kk k a a -++=-，于是，对任意*2k k ∈N 且≥，有 133********()11(1)() 1.k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-，，，将以上各式相加，得121(1)(1),kk a a k -+-=-- 即121(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k =1时也成立.由④式得12(1)(3).k k a k +=-+从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-2124 3.k k k S S a k -=-=+所以，对任意*2n n ∈N ，≥， 44342414114342414()nnk m m m mk m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑12221232()2222123nm m m m mm m m m =+-+=--++++∑ 123()2(21)(22)(22)nm m m m m ==++++∑2253232(21)(22)(23)nm m m n n ==++⨯+++∑ 21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++-+++∑ 151111113[()()()]3235572121(22)(23)n n n n =+⋅-+-++-+-+++ 1551336221(22)(23)7.6n n n =+-⋅++++<对于n =1，不等式显然成立. 所以，对任意*,n N ∈2121212212n nn nS S S S a a a a --++++ 32121241234212()()()n nn nS S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)n nn =--+--++----- 22211121()()()41244(41)44(41)n n n n n =-+-+--+-- 111().4123n n -+=-≤20．已知函数ln ()xf x x=，2()2g x x x =-． （1）求()f x 在点P (1，()1f )处的切线方程；（2）若关于x 的不等式2()()0f x tf x +>有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围； （3）若()()4()h x g x xf x =+存在两个正实数1x ，2x 满足221212()()0h x h x x x +-=，求证：123x x +≥．【解析】（1），，所以点坐标为； 又，，则切线方程为， 所以函数在点处的切线方程为．（2）由， 得；① 时，或，满足条件的整数解有无数个，舍；② 时，，得且，满足条件的整数解有无数个，舍； ③ 时，或，当时，无整数解； 当时，不等式有且仅有三个整数解，又，， 因为在递增，在递减；所以， 即，即；所以实数的取值范围为． （3），因为，所以， 即，令，， 则， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增． 所以函数在时，取得最小值，最小值为3．因为存在两个正实数，满足，所以，即，所以或． 因为为正实数，所以．ln ()xf x x=(1)0=f P (1,0)21ln '()xf x x -='(1)1=f 01-=-y x ()f x (1,(1))P f 10--=x y 21ln '()(0)-=>xf x x 2()()0f x tf x +>()[()]0+>f x f x t 0t >()0f x >()f x t <-0t =()0f x ≠0x >1x ≠0t <()0f x <()f x t >-()0f x <()f x t >-ln3(3)3f =ln 2(2)(4)2f f ==ln5(5)5f =()f x (0,)e (,)e +∞(5)(4)f t f ≤-<ln5ln 252t ≤-<ln 2ln525t -<≤-t ln 2ln525t -<≤-2()24ln =-+h x x x x 221212()()0+-=h x h x x x 22221112221224ln 24ln 0x x x x x x x x -++-+-=2221212121212()2()24ln x x x x x x x x x x +-+=+-12t x x =2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->2(1)(2)4()22(0)t t t t t ttϕ-+'=+-=>(0,1)t ∈()0t ϕ'<2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->(0,1)(1,)t ∈+∞()0t ϕ'>2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->(1,)+∞2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->1t =12,x x 221212()()0+-=h x h x x x 21212()2()3x x x x +-+≥21212()2()30x x x x +-+-≥123x x +≥121x x +-≤12,x x 123x x +≥（附加题）21．（B ）已知矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值λ1=-1及对应的特征向量11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，求矩阵M 的逆矩阵.【解析】由题知， - = -- =-1· - = - ⇒ - - ， - ，所以a=2，b=2，M=.det(M )==1×2-2×3=-4，所以M -1= --.21．（C ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(12)，，求l 的斜率．【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(12)，在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2c o s s i n 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-． 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点F (1，0)，直线x=-1与动直线y=n 的交点为M ，线段MF 的中垂线与动直线y=n 的交点为P . （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过动点M 作曲线E 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：∠AMB 的大小为定值.【解析】(1) 因为直线y=n 与x=-1垂直，所以MP 为点P 到直线x=-1的距离. 连接PF ，因为P 为线段MF 的中垂线与直线y=n 的交点，所以MP=PF . 所以点P 的轨迹是抛物线， 焦点为F (1，0)，准线为x=-1. 所以轨迹E 的方程为y 2=4x.(2) 由题意，过点M (-1，n )的切线斜率存在，设切线方程为y -n=k (x+1)， 联立， ，得ky 2-4y+4k+4n=0，所以Δ1=16-4k (4k+4n )=0， 即k 2+nk -1=0，(*)因为Δ2=n 2+4>0，所以方程(*)存在两个不相等的实数根，设为k 1，k 2， 因为k 1·k 2=-1，所以∠AMB=90°，为定值.23．设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N *，记M 1<M 2<…<M n 的概率为P n . （1）求P 2的值；（2）求证：P n >()211n C n ++！.【解析】(1) 由题意知P 2== ，即P 2的值为. (2) 先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为=;去掉第n 行已经排好的n 个数，则余下的 - n= -个数中最大数在第n -1行的概率为 - -= ;… 故P n = ··…·= - · ·…· =.由于2n =(1+1)n = + + +…+ ≥ + + > + = ，所以>，即P n >.。

海安县高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知函数关于直线对称 , 且,则的最小值为()sin f x a x x =-6x π=-12()()4f x f x ⋅=-12x x +A 、　B 、C 、D 、6π3π56π23π2． 设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ；③若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ；④若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α；其中正确命题的序号是（）A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．①③3． 极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ=1与曲线C 2：ρ=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ．24． 给出函数，如下表，则的值域为（）()f x ()g x (())f g xA ．B ．C ．D ．以上情况都有可能{}4,2{}1,3{}1,2,3,45． 某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ ）1111]A ．B ．C ．D ．105120306． 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）A ．y=x ﹣1B ．y=（）x C ．y=x+D ．y=ln （x+1）7． 设a ＞0，b ＞0，若是5a 与5b 的等比中项，则+的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．1D ．8． 在正方体中， 分别为的中点，则下列直线中与直线 EF相交1111ABCD A B C D -,E F 1,BC BB 的是（）A ．直线B ．直线C. 直线D ．直线1AA 11A B 11A D 11B C 9． 把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（）A ．40（8）B ．45（8）C ．50（8）D ．55（8）10．已知函数f （x ）=，则的值为（）A ．B ．C ．﹣2D ．3班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________11．以下四个命题中，真命题的是（ ）A ．2,2x R x x ∃∈≤- B ．“对任意的，”的否定是“存在，x R ∈210x x ++>0x R ∈20010x x ++< C ．，函数都不是偶函数R θ∀∈()sin(2)f x x θ=+ D ．已知，表示两条不同的直线，，表示不同的平面，并且，，则“”是m n αβm α⊥n β⊂αβ⊥ “”的必要不充分条件//m n 【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．12．已知α，β为锐角△ABC 的两个内角，x ∈R ，f （x ）=（）|x ﹣2|+（）|x ﹣2|，则关于x 的不等式f （2x ﹣1）﹣f （x+1）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）B ．（，2）C ．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）D ．（﹣，2）二、填空题13．定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：（1）f （2x ）=2f （x ）；（2）当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|，则集合S={x|f （x ）=f （34）}中的最小元素是 ． 14．若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意的正整数n ，都有a n+T =a n 成立，则称数列{a n }为周期为T 的周期数列．已知数列{a n }满足：a1＞=m （m ＞a ），a n+1=，现给出以下三个命题：①若 m=，则a 5=2；②若 a 3=3，则m 可以取3个不同的值；③若 m=，则数列{a n }是周期为5的周期数列．其中正确命题的序号是 ． 15．在中，有等式：①；②；③；④ABC ∆sin sin a A b B =sin sin a B b A =cos cos a B b A =.其中恒成立的等式序号为_________.sin sin sin a b cA B C+=+16．某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果. 已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为 .17．已知，，则的值为．1sin cos 3αα+=(0,)απ∈sin cos 7sin 12ααπ-18．如图：直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA ′和CC ′上，AP=C ′Q ，则四棱锥B ﹣APQC 的体积为 ．三、解答题19．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点, 极轴为轴正半轴，建立直角坐标系．C 4sin()3πρθ=-x xOy （1）求曲线的直角坐标方程；C（2）若点在曲线上，点的直角坐标是（其中P C Q (cos ,sin )ϕϕ)ϕ∈R 20．（本小题满分16分）在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套.（1） 求()h x 的表达式；（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）21．已知等差数列满足：=2，且，成等比数列。

阶段性测试（三）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．锥体的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若U A =ð{1，2，5}，则集合A = ▲ ． 2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．3. 已知样本数据1234a a a a ，，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ． 4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7. 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ▲ ．8. 设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ▲ ．9. 在锐角三角形ABC 中，若3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ▲ ．10. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且211a =，则S 20的值为 ▲ ． 11. 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ． 12. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F（第4题）CA 1分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ．13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②()4x ∃∈-∞-，，()()0f x g x ⋅<，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知△ABC的面积为()18AC AB CB ?=u u u r u u u ru u u r，向量(tan tan sin 2)A B C =+,m 和(1cos cos )A B =,n 是共线向量.（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分（第16题）AOBPQMN（第17题）钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，r =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（*n ∈N ）． （1）求b 1，b 2的值； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t ＋a )， f (x )＜a －1．数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 【答案】{3，5}2. 【答案】33. 【答案】84. 【答案】1011 5. 【答案】356. 【答案】y ＝±3x7. 【答案】48. 【答案】（1，2）9. 【答案】79 10. 【答案】1 24011. 【答案1 12. 【答案】9 13．【答案】4514．【答案】()42--，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量，所以()cos cos tan tan sin 20A B A B C +-=， ……2分 即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. ……4分 因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = ……6分（2）()()218AC AB CB AC BC BA AC =?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，于是AC =. ……8分因为△ABC 的面积为1sin 2CA CB C ?，即1πsin 23CB ，解得CB = …… 11分 在△ABC 中，由余弦定理得((2222212cos 254.2AB CA CB CA CB C=+-?+-创所以AB = …… 14分16．（本题满分14分）证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， 因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12C D ． ……2分又因为E 为AB 中点，所以AE //CD ，且AE ＝12C D ． ……4分所以AE //FG ，AE ＝FG ．故四边形AEFG 为平行四边形． 所以EF //AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF //平面PA D ． ……6分（2）设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点得AG CG ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以AC ＝3，AG ＝13AC ＝33． 所以AG AE ＝AB AC ＝23，又∠BAD 为公共角，所以△GAE ∽△BA C ．所以∠AGE ＝∠ABC ＝90︒，即DE ⊥A C ． ……10分 又DE ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ，所以DE ⊥平面PA C ． ……12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ……14分17．（本题满分14分）解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则由题设得：A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，．，解得03x =，所以()3 3Q ，． ……2分 故直线AQ 的方程为()6y x =--，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故AB == …… 5分答：水上旅游线AB 的长为． ……6分 （2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )．若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， ……10分 当t ＝0时，上式成立，当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t －6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号， 因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．……13分 答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ……14分18．解：（1）设椭圆焦距为2c，所以223121 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=； ……4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， ……8分所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，， ()22002200488488y y y y --=+=++． ……10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，()020200208822828PB y y k y y y +==----+，由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =， 所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． ……16分 19．（本题满分16分）解：（1）由已知得，41a k =+， 所以1312=2a a b a +=，2423121a a k k kb a k k ++++===． ……2分 （2）由条件可知：()1213n n n n a a k a a n +--=+≥，①所以()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥.② ……4分 ①－②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+．因此：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=， ……6分故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k+=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． ……8分（3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数． ……10分由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩L ，，③ 由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2， ……12分检验：当1k =时，312=+kk 为整数， 利用123Z a a a ∈，，结合③，{a n }各项均为整数； ……14分 当2k =时③变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩L ，， 消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥ 由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}12，. ……16分 20．（本题满分16分）解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析x (0，1) 1 (1，＋∞)f’(x ) － 0 ＋ f (x ) 单调递减单调递增故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……3分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －ax ，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g ’(x )＝ln x ＋1,令g ’(x )＝0，x ＝1e ，列表分析g (x )min ＝g (1e )＝－1e －a ， ……5分而f’(1e )＝ln 1e －a e ＝－1－a e ，()2e f -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f’(e 2)＝2－a e 2＝1e 2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0， 故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减， 当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0， f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点；综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e 2)． ……10分 （3）存在1t =：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． ……11分 证明如下：由（2）得g (x )在(1e ，＋∞)上单调递增， 且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． ……13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)， 所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)． 即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1． ……15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F ’(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增． 所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x ． 补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G ’(x )＝1x －1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．……16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ． 选修4－2：矩阵与变换【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩， ……5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321， ， ， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ……10分B ．解：因为A ( 1，π3 )，B ( 9，π3)，所以线段AB 的中点坐标为(5，π3)， ……2分设点P (ρ，θ)为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，ρcos(θ－π3)＝5，所以，l 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝5， ……6分令θ＝0，得ρ＝10，即C (10，0)． …… 8分 所以，△ABC 的面积为：12×(9－1)×10×sin π3＝203． ……10分C ．证明：因为|a ＋b |≤2，所以|a 2＋2a －b 2＋2b |＝|a ＋b ||a －b ＋2| ＝|a ＋b ||2a －(a ＋b )＋2| ≤|a ＋b |(|2a |＋|a ＋b |＋2)≤4(|a |＋2)． ……10分22．解：依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz 则B (1，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，因为DC →＝λAB →，所以C (λ，2，0)， ……2分 （1）从而PC →＝(λ，2，－2)，BD →＝(－1，2， 0)， 则cos ＜PC →，BD →＞＝PC →·BD →|PC →|·|BD →|＝4－λλ2＋8×5＝1515，解得λ＝2；（第22题）（2）易得PC →＝(2，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)， 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·PC →＝0，且n ·PD →＝0， 即x ＋y －z ＝0，且y －z ＝0， 所以x ＝0，不妨取y ＝z ＝1，则平面PCD 的一个法向量n ＝(0，1，1)， …… 8分 又易得PB →＝(1，0，－2)，故cos ＜PB →，n ＞＝PB →·n |PB →|·|n |＝－22×5＝－105，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105． ……10分 23．(本小题满分10分)解：（1）S 1＝C 11a 1＝1，S 2＝C 12a 1＋C 22a 2＝3． ……2分（2）记α＝1＋52，β＝1－52．则S n ＝15∑n i ＝1C i n (αi －βi )＝15∑n i ＝0C i n (αi －βi )＝15(∑n i ＝0C i n αi －∑n i ＝0C i n βi)＝15[(1＋α)n －(1＋β)n ]＝15[(3＋52)n －(3－52)n ]． ……6分因为(3＋52)×(3－52)＝1．故S n ＋2＝15{[(3＋52)n ＋1－(3－52)n ＋1][ (3＋52)＋(3－52)]－[(3＋52)n － (3－52)n]}＝3S n ＋1－S n ．所以存在=3λ，使得213n n n S S S +++=恒成立． ……10分。

1.设全集 1/= {0,1,2,3,4},集合A = {1,2,3}, 8 ={2,4},则An (QB )=()A. {0,1,3}B. {1,3}C. {1,2,3}D. {0,1,2,3} 1. B2. 如下图所示，观察四个儿何体，其中判断正确的是()2. ［答案］C［解析］图①不是由棱锥截來的，所以①不是棱台；图②上.下两个面不平行，所以②不是所以④是棱柱；很明显③是棱锥.A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件D.既不充分也不必耍条件4. B5. 设(1 + 2Q(a + i)的实部与虚部相等，其中Q 为实数，贝归=()A. -3B. -2C. 2D. 3 5. 【答案】A6. 下列命题正确的个数是() ®AB + BA = 6；②0 伽=0；③代-AC = BC ；④0-AB = 0A. 1B. 2 C- 3 D. 4 6. A3.已知复数z= 1 ■ . + /,则复数Z 的模|z|=(1-1c. V104. “兀>2”是“〒_4>o”的( 圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形,且每相邻两个川边形的公共边平行,C.充要条件8. A9. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁〜18岁的根据上图可得这100名学生中体重在（56.5, 64. 5）的学生人数是（）. A. 20 B. 30 C. 40D. 509. C10. C7.有一个几何体的三视图及其尺寸如下图（单位：cm ）,体的表面积为（）则该几何A. 12n cm 2 侧视图B. 15 n cm 2C. 24 n cm 2D. 36JI cm 2 7.C8.己知九V 满足不等式x-y>0x+y-3>0,则函数z = x + 3y 取得最大值是() x<3A. 12(B) 9 (C) 6 (D) 310.在矩形ABCD 中，0为AC 的中点,A. — (3tz + 2/?)B. 扫亠）C. ^(3a-2b)5俯视冬•— 6-1止视冬男生体重（kg ）,得到频率分布直方图如下：体重（kg ）（第9题）BC = 3a 、CD = 2b 、则 AO =(11. 下列不等式正确的是（）A. %1 2 +1 > —2xB.+ —T =- > 4 (x > 0)C. x + 丄 n 2D. sin x 4 ----------- ' 2 (x H k7r)x sinx11. A12. 已知向量 a,b,满足 Q ・b=0,Q = b=l,贝 ij a-b =() A. 0 B. 1 C. 2 D. V2-12. D.22【解析】由己知有I ：-亦=(：-7)2 = ： —2打+/ =1 —0+1 = 2,所以\a-b\=y/2-. —2考点：|a|2=Q ,向量的数量积运算.13. 已知直线与平面则下列四个命题中假命题是()• • •14. C15. 答案：C13又••• SbAEF= 4 S, S%R= 4 SA-如果d 丄a"丄那么a//b B. 如果a 丄a.a!!b,那么/?丄a C. 如果d 丄％a 丄伏那么/?//&D. 如果a 丄a.b! !a ,那么a 丄b13. C14.己知样本的平均数为4,方差为 3,则 %] +9,花 +9,X 3 +9^X 4 +9,X 5 +9的平均数和方差分别为（A. 4 和 3B. 4 和 12C. 13 和 3D. 13 和 1215. 在面积为S 的△/!比的内部任収一点P,s则的面积小于㊁的概率为（）丄A. 41 B-23 C. 4解析：如图所示，矿为△初C 的中位线.S 当点P 位于四边形砂71内时，氐破的面枳小于N3 S4S 3:./\PBC 的面积小于㊁的概率为7?=~5=4-16、命题 0： VxeR,x 3 4+l>l,则初是 _____________________________________________ 16. Kx G R, %2 4-1 < 117. 设向量a 二（尢 对1）, b 二（1，2）,且a 丄/?，则尸 ________ ・【答案】3【解析】由题意’讥=0,兀+ 2（兀+1） = 0,・*-彳・18. 已知一个几何体的三视图如图3所示，正视图、俯视图为直角三角形，侧视图是直角梯形，则它的体积等于 _________40 18. —319、一个体枳为8",的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是________________________________________________________________________19. 12/rcm 2 :20. 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）(80,85) 185,90) 190,95) (95,100) 频数（个）51020153 根据频数分布表计算苹果的重量在［90,95）的频率；4 用分层抽样的方法从重量在［80,85：和［95,100）的苹果中共抽取4个，其中重量在［80,85）的有几个?正视图⑶ 在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在［80,85)和［95,100)中各有1个的概率・2020.(1)重量在[90,95)的频率=一=0.4 ；(2)若采用分层抽样的方法从重量在［80,85)和［95,100)的苹果中共抽取4个，则重量在[80,85)的个数=(3)设在［80,85)屮抽収的一个苹果为兀，在［95,100)屮抽取的三个苹果分别为a,b,c ,从抽出的4个苹果中,任取2个共有(x,a),(x,b),(x,c),a/?),(Q,c),0,c)6种情况，其中符合“重量在［80,85)和［95,100)中各有一个”的情况共有(兀卫),(兀“),(兀,c)种；设“抽出的4 个苹果中，任取2个，求重量在［80,85)和［95,100)中各有一个”为事件A,则事件A的概21.如图，在矩形血尬9中，〃〃丄平面力庞；AE=EB=BC二2,尸为必'上的点，且处丄平U ACE.(1)求证：九LL平面〃必；(2)求证：皿〃平而BFD.(3)求三棱锥E-ABF的体积.E21.证明：⑴・・•初丄平面肋E AD//BC・•・BCA_平面ABE,则AEL BC又•・•〃、丄平而彳6K :.AEIBF:.AEV平面磁(2)依题意可知：6■是化的中点，•: BFI平面彳传，:・CEA_BF.又BC=BE, :.F是应'的中点.在△力兀中，连接FG则FG//AE. 又/冈平面BFD, FGu平面BFD, :.AE//平面BED.A.723.D。

2019届高三年级阶段测试（三）数学试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡 一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．设全集U =R ，若集合{}{}1234|23A B x x ==，，，，≤≤，则B C A U . 2．已知复数z 满足30z z+=，则||z = . 3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 .4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 .5．双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，则其渐近线方程为 .6．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ． 7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．8．若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 .9．若12cos cos sin sin sin 2sin 223x y x y x y +=+=，，则()sin x y += .10．已知数列{}n a 和{}n b ，其中2()n a n n *=∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，数列{}n b 中的第n a 项等于{}n a 中的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b = .11．设函数()332x x x af x x x a ⎧-=⎨->⎩，≤，，若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．12．在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD △与ACD △面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅= ．13． 已知圆O ：221x y +=，定点()30A ，，过点A 的直线l 与圆O 相较于B ，C 两点，两点B ，C 均在x 轴上方，若OC 平分AOB ∠，则直线l 的斜率为 .14．已知正实数a ，b 满足23a b +=，则222122a b a b +-++的最小值是 ． 二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.（1）求证：PE ⊥BC ； （2）求证：EF ∥平面PCD .16．已知函数f (x )=4tan sin cos 23x x x ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求f (x )的定义域与最小正周期； （2）讨论f (x )在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的单调性.17．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛= ⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； （2） 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？18．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，求AB 的最大值；（3）设(20)P -，，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ，D 和点71()44Q -，共线，求k .19．已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)02nn n n n n n b a a b a b ++++-++==，，*n ∈N ，且 1224a a ==，．（1）求345a a a ，，的值；（2）设*2121n n n c a a n -+=+∈N ，，证明：{}n c 是等比数列； （3）设*242k k S a a a k =++⋅⋅⋅+∈N ，，证明：4*17()6nk k kS n a =<∈∑N ．20．已知函数ln ()xf x x=，2()2g x x x =-． （1）求()f x 在点P (1，()1f )处的切线方程；（2）若关于x 的不等式2()()0f x tf x +>有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围；（3）若()()4()h x g x xf x =+存在两个正实数1x ，2x 满足221212()()0h x h x x x +-=，求证：123x x +≥．高三阶段测试数学试卷一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．.{}14，2．3． 564． 115 5． y = 6． 1 7． 28．3π9． 23 10． 2 11． 1a <- 12． 1615- 13． 14． 135 二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【解析】（1）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，∴PE ⊥平面ABCD .∵BC ⊂面ABCD ，∴PE ⊥BC .（2）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =∥， ∴ED FG ∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， ∴EF GD ∥.又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF ∥平面PCD .16． 【解析】（1）()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭)=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== （2）由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 17．【解析】（1）如图建立直角坐标系，则城市()00A ，，当前台风中心(P -，设t 小时后台风中心P 的坐标为(),x y ，则x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，184.4PA ≈km ，台风的半径为=r 160km ， 因为r PA <，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，则()6010t +210800864000300t t -+⇒≤，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤ 答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. 18．【解析】（1）由题意得2c =c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2AB x x =-==，易得当20m =时，max ||AB =||AB（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ， 则221133x y += ①，222233x y += ②， 又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =.19．【解析】（1）解：由3(1)2nn b +-=，*n ∈N ，可得12n n b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数又1120n n n n n b a a b a +++++=，123123234434541202432205320 4.n a a a a a a n a a a a n a a a a =++====-=++==-=++==当时，，由，，可得；当时，，可得；当时，，可得（2）证明：对任意*,n N ∈2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++= ② 21222320,n n n a a a +++++=③ ②—③，得223.n n a a +=④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+ 即*1()n n c c n N +=-∈ 又1131,0,n c a a =+=-≠故c 因此11,{}n n nc c c +=-所以是等比数列. （3）证明：由（2）可得2121(1)k k k a a -++=-， 于是，对任意*2k k ∈N 且≥，有133********()11(1)() 1.k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-，，，将以上各式相加，得121(1)(1),k k a a k -+-=-- 即121(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k =1时也成立.由④式得12(1)(3).k k a k +=-+ 从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-2124 3.k k k S S a k -=-=+所以，对任意*2n n ∈N ，≥， 44342414114342414()nnk m m m mk m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑ 12221232()2222123nm m m m mm m m m =+-+=--++++∑ 123()2(21)(22)(22)nm m m m m ==++++∑2253232(21)(22)(23)nm m m n n ==++⨯+++∑ 21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++-+++∑ 151111113[()()()]3235572121(22)(23)n n n n =+⋅-+-++-+-+++ 1551336221(22)(23)7.6n n n =+-⋅++++<对于n =1，不等式显然成立.所以，对任意*,n N ∈2121212212n nn nS S S S a a a a --++++32121241234212()()()n nn nS S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)n n n=--+--++----- 22211121()()()41244(41)44(41)n n nn n =-+-+--+-- 111().4123n n -+=-≤20．【解析】（1）ln ()xf x x=，(1)0=f ，所以P 点坐标为(1,0)； 又21ln '()xf x x-=，'(1)1=f ，则切线方程为01-=-y x ， 所以函数()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程为10--=x y ． （2）21ln '()(0)-=>xf x x x由2()()0f x tf x +>， 得()[()]0+>f x f x t ；① 0t >时，()0f x >或()f x t <-，满足条件的整数解有无数个，舍； ② 0t =时，()0f x ≠，得0x >且1x ≠，满足条件的整数解有无数个，舍； ③ 0t <时，()0f x <或()f x t >-，当()0f x <时，无整数解； 当()f x t >-时，不等式有且仅有三个整数解，又ln3(3)3f =，ln 2(2)(4)2f f ==，ln5(5)5f = 因为()f x 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减；所以(5)(4)f t f ≤-<，即ln5ln 252t ≤-<，即l n 2l n 525t -<≤-；所以实数t 的取值范围为ln 2ln525t -<≤-． （3）2()24ln =-+h x x x x ，因为221212()()0+-=h x h x x x ，所以22221112221224ln 24ln 0x x x x x x x x -++-+-=， 即2221212121212()2()24ln x x x x x x x x x x +-+=+-，令12t x x =，2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->， 则2(1)(2)4()22(0)t t t t t ttϕ-+'=+-=>， 当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'<，所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在(0,1)上单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在(1,)+∞上单调递增． 所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在1t =时，取得最小值，最小值为3．因为存在两个正实数12,x x ，满足221212()()0+-=h x h x x x ，所以21212()2()3x x x x +-+≥，即21212()2()30x x x x +-+-≥，所以123x x +≥或121x x +-≤． 因为12,x x 为正实数，所以123x x +≥．（附加题）21．（B ）【解析】由题知，==-1·=⇒所以a=2，b=2，M=.det(M )==1×2-2×3=-4，所以M -1=.21．（C ）【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①第 11 页 共 11 页 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(12)，在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-． 22．【解析】(1) 因为直线y=n 与x=-1垂直，所以MP 为点P 到直线x=-1的距离. 连接PF ，因为P 为线段MF 的中垂线与直线y=n 的交点，所以MP=PF . 所以点P 的轨迹是抛物线，焦点为F (1，0)，准线为x=-1.所以轨迹E 的方程为y 2=4x. (2) 由题意，过点M (-1，n )的切线斜率存在，设切线方程为y -n=k (x+1)， 联立 得ky 2-4y+4k+4n=0，所以Δ1=16-4k (4k+4n )=0，即k 2+nk -1=0，(*)因为Δ2=n 2+4>0，所以方程(*)存在两个不相等的实数根，设为k 1，k 2， 因为k 1·k 2=-1，所以∠AMB=90°，为定值.23． 【解析】(1) 由题意知P 2==，即P 2的值为.(2) 先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为=;去掉第n 行已经排好的n 个数， 则余下的 - n=个数中最大数在第n -1行的概率为=;…故P n =··…·==.由于2n =(1+1)n =+++…+≥++>+=， 所以>，即P n >.。

江苏海安高级中学2019高三12月检测试题-数学【一】填空题：〔本大题共14小题，每题5分，共70分、请将答案填在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．〕 1、 复数2i1iz =-〔i 为虚数单位〕的实部是 ▲ 、【答案】—1 2、 集合{}3,2a A =，{},B a b =，假设{}2AB =，那么AB = ▲ 、【答案】{1,2,3} 3、 等比数列{}n a 的各项都为正数，它的前三项依次为1，a +1，2a +5，那么数列{}n a 的通项公式n a = ▲ 、【答案】13n -4、 假设()ππ,42θ∈，且1sin 216θ=，那么cos sin θθ-的值是 ▲ 、【答案】5、 设,,a b c 是单位向量，且=+a b c ，那么向量a,b 的夹角等于 ▲ 、【答案】3π 6、 假设函数ln 26y x x =+-的零点为0x ，那么满足0k x ≤的最大整数k = ▲ 、【答案】27、 定义在R 上的可导函数()y f x =满足()()5f x f x +=-，()()250x f x '->、错误！未找到引用源。

12x x <，那么“()()12f x f x >”是“125x x +<”错误！未找到引用源。

的 ▲ 条件. 【答案】充分必要8、 函数()32f x x ax bx c =+++的图象过点A 〔2，1〕，且在点A 处的切线方程2x —y + a = 0，那么a + b + c = ▲ 、【答案】09、 在平面直角坐标系中，两条平行直线的横截距相差20，纵截距相差15，那么这两条平行直线间的距离为 ▲ 、【答案】1210、半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四点，且满足AB ⊥AC ，AC ⊥AD ，AD ⊥AB ，那么ABC S ∆+ACD ADB S S ∆∆+的最大值为〔S 为三角形的面积〕 ▲ 、【答案】32 11、(A ，O 是原点，点P 的坐标为〔x ，y 〕满足条件0200y x y -≤-+≥⎨⎪≥⎪⎩，那么||OA OP z OP ⋅=的取值范围是 ▲ 、【答案】[]3,3-12、假设对任意[],1,2x y ∈，x y =2，总有不等式2—x ≥4a y -成立，那么实数a 的取值范围是▲ 、【答案】a ≤0①“k =1”是“函数22cos sin y kx kx =-的最小正周期为π”的充要条件；②函数()πsin 26y x =-的图像沿x 轴向右平移π6个单位所得的图像的函数表达式是cos2y x =；③函数()2lg 21y ax ax =-+的定义域为R ，那么实数a 的取值范围是〔0，1〕；④设O 是△ABC 内部一点，且2OA OB OC ++=0，那么△AOB 和△AOC 的面积之比为1：2； 其中真命题的序号是▲、〔写出所有真命题的序号〕【答案】④14、定义在R 上的函数满足()()()1(0)0,11,()52x f f x f x f f x =+-==，且当1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，那么1()2012f =▲、【答案】132 【二】解答题：〔本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕 15、〔本大题总分值14分〕如图，A 、B 是海面上位于东西方向相距(53+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45，B 点北偏西60的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60且与B 点相距C 点救援船马上前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？ 【答案】由题意知AB =(53+海里，906030DBA ∠=-=，904545DAB ∠=-=，∴()1804530105ADB ∠=-+=、在ABD ∆中，由正弦定理得：sin sin DB AB DAB ADB =∠∠，∴(53sin 45sin sin sin105AB DAB DB ADB⋅⋅∠===∠又()30906060DBC DBA ABC ∠=∠+∠=+-=，BC = 在DBC ∆中，由余弦定理得：22212cos 300120029002CD BD BC BD BC DBC =+-⋅⋅∠=+-⨯=∴30CD =〔海里〕∴需要的时间30130t ==〔小时〕故救援船到达D 点需要1小时、16、〔本大题总分值14分〕如图，,,M N K 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱11,,AB CD C D 的中点、 〔1〕求证：AN //平面1A MK ； 〔2〕求证：平面11A B C ⊥平面1A MK 、 【答案】〔1〕证明：连结NK . 在正方体1111ABCD A B C D -中， 四边形1111,AA D D DD C C 都为正方形，1111//,,AA DD AA DD ∴= 1111//,.C D CD C D CD =,N K 分别为11,CD C D 的中点，11//,.DN D K DN D K ∴=1DD KN ∴为平行四边形. 11/,.KN DD KN DD ∴= 11//,.AA KN AA KN ∴=1AA KN ∴为平行四边形.1//.AN A K ∴ 1A K ⊂平面1,A MK AN ⊄平面1A MK ，//AN ∴平面1.A MK〔2〕连结1.BC在正方体1111ABCD A B C D -中，1111//,.AB C D AB C D =,M K 分别11,AB C D 中点，11//,.BM C K BM C K ∴=∴四边形1BC KM 为平行四边形.1//.MK BC ∴在正方体1111ABCD A B C D -中，11A B ⊥平面111,BB C C BC ⊂平面11,BB C C111.A B BC ∴⊥D 1A 1B 1C 1KNCBA M DD 1A 1B 1KND111//,.MK BC A B MK ∴⊥11BB C C 为正方形，11.BC B C ∴1.MK B C ⊥ 11A B ⊂平面111,A B C B C ⊂平面111111,,A B C A B B C B =MK ∴⊥平面11.A B CMK ⊂平面1,A MK ∴平面1A MK ⊥平面11.A B C17、〔本大题总分值14分〕如图：在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A 、B 两点、 〔1〕假设A 、B 两点的纵坐标分别为45、1213，求()cos βα-的值；〔2〕点(C -，求函数()f OA OC α=⋅的值域、 【答案】〔1〕依照三角函数的定义，得4sin 5α=，12sin 13β=、 又α是锐角，因此3cos 5α=、由12sin 13β=；因为β是钝角，因此5cos 13β=-、因此5312433c o s ()c o s c o ss i n s i n ()13513565βαβαβα-=+=-⨯+⨯=、 〔2〕由题意可知，(c o s s i n)O A αα=，，(O C 、 因此()3s i nc o s 2s i n ()6f O A O C παααα=⋅=-=-， 因为02πα<<，因此663πππα-<-<，1s i n ()26a π-<-从而1()f α-<，因此函数()f O A O C α=⋅的值域为(1-、 18、〔本大题总分值16分〕O 为平面直角坐标系的原点，过点()2,0M -的直线l 与圆221x y +=交于P 、Q 两点、〔1〕假设12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程；〔2〕假设OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，求直线l 的斜率、 【答案】〔1〕依题意，直线l 的斜率存在，因为直线l 过点(2,0)M -，可设直线l ：(2)y k x =+、因为Q P ,两点在圆221x y +=上，因此1OP OQ ==，因为12OP OQ ⋅=-，因此1cos 2OP OQ OP OQ POQ ⋅=⋅⋅∠=-. 因此120POQ ︒∠=因此O 到直线l的距离等于12、12=，得15k =±.因此直线l 的方程为20x +=或20x ++=、 〔2〕因为OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，因此2MQ MP =，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因此22(2,)MQ x y =+，11(2,)MP x y =+、 因此⎩⎨⎧=+=+,12122),2(22y y x x 即⎩⎨⎧=+=.12122),1(2y y x x 〔*〕因为P ，Q 两点在圆上，因此⎩⎨⎧=+=+.1,122222121y x y x 把〔*〕代入得⎩⎨⎧=++=+.14)1(4,121212121y x y x 因此11788x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩， 故直线l 的斜率9MP k k ==±，即9k =±、 19、〔本大题总分值16分〕函数()()322152f x x k k x x =--++-，()221g x k x kx =++，其中k ∈R 、 〔1〕设函数()()()p x f x g x =+，假设()p x 在区间〔0,3〕是单调函数，求k 的取值范围；〔2〕设函数()()(),0,0g x x q x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，是否存在实数k ，对任意给定的非零实数1x ，存在惟一的非零实数()221x x x ≠，使得()()21q x q x ''=成立？假设存在，求k 的值；假设不存在，请说明理由、【答案】〔1〕因32()()()(1)(5)1P x f x g x x k x k =+=+-++- ()232(1)(5)p x x k x k '=+-++，∵()p x 在区间(0,3)上单调．．恒成立或00≤'≥'∴)()(x P x P)523()12()523()12(22+--≤++--≥+x x x k x x x k 或即恒成立01230>+∴∈x x ),( ∴125231252322++--≤++--≥x x x k x x x k 或恒成立 设()()2325391*********x x F x x x x -+⎡⎤=-=-++-⎢⎥++⎣⎦ 令21,t x =+有()1,7t ∈，记9(),h t t t=+由函数()h t 的图像可知，()h t 在(]1,3上单调递减，在[)3,7上单调递增，∴()[)6,10h t ∈，因此],()(25--∈x F ∴5,2-≤-≥k k 或 〔2〕当0x <时有()()2232(1)5q x f x x k k x ''==--++；当0x >时有()()22q x g x k x k''==+，因为当0k =时不合题意，因此0k ≠，……8分下面讨论0k ≠的情形，记}|)({},|)({00<'=>'=x x f B x x g A 求得A (,)k =+∞，B=()5,+∞〔ⅰ〕当10x >时，()q x '在()0,+∞上单调递增，因此要使()()21q x q x ''=成立，只能20x <且A B ⊆，因此有5k ≥〔ⅱ〕当10x <时，()q x '在()0,+∞上单调递减，因此要使()()21q x q x ''=成立，只能20x >且A B ⊆，因此5k ≤综合〔ⅰ〕〔ⅱ〕5k =当5k =时A=B ，那么()110,x q x B A'∀<∈=，即20,x ∃>使得()()21q x q x ''=成立，因为()q x '在()0,+∞上单调递增，因此2x 的值是唯一的；…13分同理，10x ∀<，即存在唯一的非零实数221()x x x ≠，要使()()21q x q x ''=成立，因此5k =满足题意.20、〔本大题总分值16分〕设集合W 由满足以下两个条件的数列{}n a 构成：①212n n n a a a +++<；②存在实数M ，使n a M ≤〔n 为正整数〕、 〔1〕在只有5项的有限数列{}n a ，{}n b 中，其中123451,2,3,4,5a a a a a =====； 123451,4,5,4,1b b b b b =====；试判断数列{}n a ，{}n b 是否为集合W 的元素；〔2〕设{}n c 是各项为正的等比数列，n S 是其前n 项和，314c =，374S =，证明：数列{}n S W ∈；并写出M 的取值范围；〔3〕设数列{}n d W ∈，且对满足条件的M 的最小值0M ，都有()*0n d M n ≠∈N 、求证：数列{}n d 单调递增、 【答案】〔1〕关于数列{}n a ，取13222a a a +==，显然不满足集合W 的条件，① 故{}n a 不是集合W 中的元素， 关于数列{}nb ，当{1,2,3,4,5}n ∈时，不仅有13232b b b +=<，24342b bb +=<，33432b b b +=<，而且有5n b ≤，显然满足集合W 的条件①②， 故{}n b 是集合W 中的元素、〔2〕∵{}n c 是各项为正数的等比数列，n S 是其前n 项和，3317,,44c S ==设其公比为0q >， ∴333274c c c q q ++=，整理得2610q q --=、 ∴12q =，∴1111,2n n c c -==，1122n n S -=-关于*n ∀∈N ，有222111222222n n n n n n S S S ++++=--<-=，且2n S <，故{}n S W ∈，且[)2,M ∈+∞〔3〕证明：〔反证〕假设数列{}n d 非单调递增，那么一定存在正整数k ， 使1k k d d +≥，易证于任意的n k ≥，都有1k k d d +≥，证明如下： 假设()n m m k =≥时，1k k d d +≥当1n m =+时，由212m m m d d d +++<，212m m m d d d ++<-、而12111(2)0m m m m m m m d d d d d d d +++++->--=-≥ 因此12,m m d d ++>因此关于任意的n k ≥，都有1m m d d +≥、 显然12,,,k d d d 这k 项中有一定存在一个最大值，不妨记为0n d ；因此0*()n n d d n ∈N ≥，从而00n d M =与这题矛盾、 因此假设不成立，故命题得证、。

江苏省海安高级中学2019届高三数学上学期第二次月考试题说明：1． 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上； 2． 本卷总分160分，考试时间120分钟． 方差公式2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-，其中121()n x x x x n=+++．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{02}A x x =<<，{1}B x x =>，则A B = ▲ ． 2．复数(1)z i i =-的共轭复数在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限． 3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况,现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60]内的汽车有 ▲ 辆．4．袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 ▲ ．5．在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如下表，则这组样本的方差为 ▲ ．6．如右图所示的算法流程图中，最后输出值为 ▲ ．7．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面． ①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥； ②若m α⊂，n αβ=，αβ⊥，则m n ⊥；③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ； ④若//αm ，m β⊂，n αβ=，则//m n ． 上述命题中为真命题的是 ▲ ．（填写所有真命题的序号）．8.公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，答对题数 4 8 9 10 人数分布1121第6题图(第3题图)(第5题表)则该女子每天织尺布的增加量为 ▲ 尺．（1匹=4丈，1丈=10尺） 9．若cos 2cos()4ααπ=+，则tan()8απ+= ▲ ．10．如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且2OA =，4OC =，5AC =，则OB OD ⋅= ▲ ．11．已知关于x 的方程()1x x a -=在(2,)-+∞上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 12．已知0,0a b >>，且111a b +=，则32ba b a++的最小值等于 ▲ ． 13．如图，已知8=AC ，B 为AC 的中点，分别以 AB,AC 为直径在AC 的同侧作半圆， M,N 分别为两半圆上的动点（不含端点A B C ，，），且BM BN ⊥，则⋅AM CN 的最大值为 ▲ ．14．若关于x 的不等式323+0x x ax b -+<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数[2,4]b ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC 内接于单位圆（半径为1个单位长度的圆），且(1tan )(1tan )2A B ++=．（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 面积的最大值．16．如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AF ACλ=．（1）若EF //平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．EABCDFBAOCD(第10题图)17． 如图，长方形材料ABCD中，已知AB =4AD =．点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ,PF AD ⊥于F ，且1PE =，PF =．现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M ，N 分别在边AB ，AD 上．（1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．18．已知椭圆E ：2229+=x y m （0m >），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ．（1）若3=m ，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求21KF ⋅的范围； （2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．19．已知函数()e =xf x a ，()ln ln =-g x x a ，其中a 为常数，且曲线()y =f x 在其与y 轴DN F (第17题图)的交点处的切线记为1l ，曲线()y =g x 在其与x 轴的交点处的切线记为2l ，且12l // l ．（1）求12，l l 之间的距离； （2）若存在x使不等式()->x mf x m 的取值范围； （3）对于函数()f x 和()g x 的公共定义域中的任意实数0x ，称00|()()|-f x g x 的值为两函数在0x 处的偏差．求证：函数()f x 和()g x 在其公共定义域内的所有偏差都大于2．20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，2+3=n n S a ，*∈N n ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：对于任意的*∈N n ，都有11213211=333---⎛⎫+++++- ⎪⎝⎭n n n n n a b a b a b a b n 成立．①求数列{}n b 的通项公式；②设数列⋅n n n c =a b ，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．数 学 试 卷说明：1． 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上； 2． 本卷总分160分，考试时间120分钟． 方差公式2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-，其中121()n x x x x n=+++．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. (1,2) 2．四； 3．804． 35 5． 2256．25 7．①④ 8.1629 9．13； 10．52- 11． 5(,2)2--12．11 13．4 14．(,2)-∞-二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题立意：本题主要考查两角和与差的正切公式与正、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．（1）由(1tan )(1tan )2A B ++=得tan tan 1tan tan A B A B +=-，所以tan tan tan()11tan tan A B A B A B ++==-，（4分）故△ABC 中，A B π+=4，C 3π=4（6分）（2）由正弦定理得2sin c =3π4，即c =（8分）由余弦定理得2222cos a b ab 3π=+-4，即222a b =+，（10分）由2222a b ab =+≥得2ab ≤（当且仅当a b =时取等号）（12分）所以13sin 2S ab π=4.（14分）16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力．解：（1）因为EF ∥平面ABD ，易得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC平面ABD AB =，所以//EF AB ，（5分）又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点， 由AF AC λ=得12λ=；（7分） （2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，（9分） 又AEDE E =，AE DE ⊂、平面AED ，所以BC ⊥平面AED ，（12分） 而BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AED ．（14分）17．解：（1）在直角△NFP 中，因为PF FPN θ∠=，所以NF θ=，所以11(1)22NAP S NA PF θ∆=⋅=+ ……………………………2分 在直角△MEP 中，因为1PE =，π3EPM θ∠=-，所以πtan()3ME θ=-，所以11πtan()]1223AMP S AM PE θ∆=⋅=-⨯． ………………………………4分所以31πtan tan()223NAP AMP S S S θθ∆∆=+=+-，π[0,]3θ∈． ……………………………………………………………………………………6分 （注：定义域错误扣1分） （2）因为31πtan tan()223S θθ=+-3tan 2θ=+…8分令1t θ=，由π[0,]3θ∈，得[1,4]t ∈，所以24)233S t t =++22=+． ………………12分当且仅当t =时，即tan θ=时等号成立． ………………13分此时，AN =min 2S =+．答：当AN =AMPN 的面积S最小，最小值为2 ……………………………………………………………………………………14分18．解：（Ⅰ）3m =，椭圆E ：2219+=x y，两个焦点1(-F，2F设(,)K x y，1()=+F K x y，2()=-F K x y ，2221212=()()8=81⋅=⋅+⋅-=+--+KF KF FK F K x y x y x y y ，∵11-≤≤y ，∴21KF ⋅的范围是[7,1]-（4分）（2）设,A B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则222112222299.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，x y m x y m 两式相减，得12121212()()9()()0+-++-=x x x x y y y y ，12121212()()190()()+-+=+-y y y y x x x x ，即190+⋅=OM l k k ，故19⋅=-OM l k k ；（8分） （3）∵直线l 过点(,)3mm ，∴直线l 不过原点且与椭圆E 有两个交点的充要条件是0>k 且13≠k ． 设(,)P P P x y ，设直线:()3=-+m l y k x m （0,0m k ≠≠），即:3=-+m l y kx km ， 由（2）的结论可知1:9=-OM y x k ，代入椭圆方程得，2222991=+P m k x k ， （10分） 由()3=-+m y k x m 与19=-y x k ，联立得222933,9191⎛⎫- ⎪-- ⎪++ ⎪⎝⎭m km k m km M k k ．（12分） 若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以02P x x =，即22222293949191⎛⎫-= ⎪++⎝⎭k m km m k k k ，整理得29810-+=k k解得，k ．所以当k 时，四边形OAPB 为平行四边形．（16分）19． 解：（1）()x f x ae '=，()1g x x'=，()y f x =的图像与坐标轴的交点为()0,a ，()y g x =的图像与坐标轴的交点为()a ,0，由题意得()()f 0g a ''=，即1a a= 又∵a 0>，∴a 1=. （2分）∴()x f x e =，()g x ln x =，∴函数()y f x =和()y g x =的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：x y 10-+=,x y 10--=（4分） （2）由()x m f x ->x x me->，故x m x <在[)x 0,∈+∞有解， 令()x h x x =-，则()max m h x <。