第五章 非平稳序列的随机分析_11.15

本次课程主要内容
1、掌握GARCH模型的建模步骤； 、掌握 模型的建模步骤； 模型的建模步骤 2、掌握GARCH模型在金融时序中的应用及其 、掌握 模型在金融时序中的应用及其SAS过 模型在金融时序中的应用及其 过 程； 3、GARCH模型在沪深股市风险波动分析中的应用； 、 模型在沪深股市风险波动分析中的应用； 模型在沪深股市风险波动分析中的应用
t t
因为ε t ~ N (0, ht ), 则ε t
2
ht ~ N (0,1)
2、由于 E(εt ) = ht，可使用残差平方序列的自相关系数来考察 、 异方差函数的自相关性： 异方差函数的自相关性：
ρk =
Cov(εt2,εt2 k ) − Var(εt2 )
ARCH模型 自回归条件异方差模型 模型(自回归条件异方差模型 模型 自回归条件异方差模型)
ARCH模型的构造步骤： 模型的构造步骤： 模型的构造步骤 2 2、由于 E(εt ) = ht，可使用残差平方序列的自相关系数来考察 、
异方差函数的自相关性： 异方差函数的自相关性： 1) 自相关系数恒为零，即 ρ k = 0 ，说明异方差函数纯随机 自相关系数恒为零， 历史数据对未来异方差的估计一点作用没有， 性，历史数据对未来异方差的估计一点作用没有，这是至 今难解决的难题； 今难解决的难题； 2) 自相关系数不为零，即 ρk ≠ 0 ，说明异方差函数存在自 自相关系数不为零， 相关性， 相关性，从而可通过构造残差平方序列的自回归模型来拟 q 合异方差函数。 合异方差函数。
例5.12残差序列异方差检验 残差序列异方差检验
Portmantea Q和LM统计量 和 统计量 都显示出残差 序列具有显著 的异方差自相 关性。 关性。
GARCH模型定阶 模型定阶
存在低阶的ARCH效应，则可以拟合 效应， 如果检验表明时间序列 {xt } 存在低阶的 效应 相应阶数的ARCH模型；如果检验表明时间序列 {xt } 存在较高 模型； 相应阶数的 模型 阶的ARCH 效应，则说明原序列可能存在 效应，则说明原序列可能存在GARCH效应，考虑拟 效应， 阶的 效应 合低阶GARCH模型，如GARCH(1,1)、GARCH(1,2)、 模型， 合低阶 模型 、 、 GARCH(2,1)等； 等 关于GARCH模型的定阶，大量的应用研究表明，在大多数情况 模型的定阶，大量的应用研究表明， 关于 模型的定阶 就足够了， 下，GARCH(1,1)就足够了，如果 就足够了 如果GARCH(1,1)模型拟合不充 模型拟合不充 残差平方序列还存在自相关，可以考虑升高GARCH模型的 分，残差平方序列还存在自相关，可以考虑升高 模型的 阶数。 阶数。
ARCH模型 自回归条件异方差模型 模型(自回归条件异方差模型 模型 自回归条件异方差模型)
ARCH模型的构造步骤： 模型的构造步骤： 模型的构造步骤
1、假设在历史数据已知的情况下，零均值、纯随机残差序列 、假设在历史数据已知的情况下，零均值、 具有异方差性： 具有异方差性： Var(ε ) = h
GARCH模型拟合 模型拟合
定阶： 定阶：GARCH(1,1) 参数估计： 参数估计：极大似然估计 拟合模型口径： 拟合模型口径：AR(2)-GARCH(1,1)
xt ε t υ t h t = 1.0046 xt −1 + ε t = −0.1559ε t −1 − 0.407ε t − 2 + υ t = ht et = 0.0951 + 0.8999ht −1 + 0.1053υ t2−1
5.6 条件异方差模型
ARCH模型 模型 GARCH模型 模型 GARCH模型的变体 模型的变体
EGARCH模型 模型 IGARCH模型 模型 GARCH-M模型 模型 AR-GARCH模型 模型
ARCH模型 自回归条件异方差模型) 模型(自回归条件异方差模型 模型 自回归条件异方差模型
ARCH模型是由 模型是由Engle于1982年提出，最初被成功地应用 年提出， 模型是由 于 年提出 于英国通货膨胀指数的波动研究之中。随后， 于英国通货膨胀指数的波动研究之中。随后，金融学家发现该 模型运用于金融时序中， 模型运用于金融时序中，特别是业内关于描述金融资产的价格 行为时，它的解释能力和描述能力更好，于是ARCH 模型被逐 行为时，它的解释能力和描述能力更好，于是 渐引入金融领域并得到广泛应用， 也因此荣获2003年 渐引入金融领域并得到广泛应用，Engle也因此荣获 也因此荣获 年 度诺贝尔经济学奖。 度诺贝尔经济学奖。
假设条件 H 0 : ρ1 = ρ 2 = L = ρ q = 0 ↔ H 1 : ρ1 , ρ 2 , L , ρ q 不全为零 检验统计量 检验结果
Q(q) = n(n + 2)∑
i =1
⋅
q
ρi2
n −i
~ χ 2 (q −1)
Q (q ) ≥ χ 12−α ( q − 1) 拒绝原假设 ⋅ 接受原假设 Q ( q ) < χ12−α (q − 1)
ht = E (ε t2 ) = ω +
∑
j =1
λ j ε t2− j
ARCH模型 自回归条件异方差模型 模型(自回归条件异方差模型 模型 自回归条件异方差模型)
原理
通过构造残差平方序列的自回归模型来拟合异方差函数 ARCH(q)模型结构 模型结构 xt = f (t , xt −1 , xt − 2 , L) + ε t ε t = ht et q λ j ε t2− j ht = ω + j =1 式中，f (t , xt −1 , xt − 2 , L)为{xt }的Auto − Re gression模型；
例5.13正态性检验结果 正态性检验结果
Tn = 1.1585
P值＝0.5603 值
AR(2)-GARCH(1,1)模型显著成立 模型显著成立
拟合效果图
例5.12的SAS过程 的 过程
/*画时序图 画时序图*/ 画时序图 data a; input a@@; laga=lag(a); t=_n_; cards; 原始数据 ; proc gplot; plot a*T; symbol v=none i=join c=black;
∑
i.i.d
et ~ N (0,1)
E(εt xt ) = 0
Var(εt xt ) = h
i.i.d
2 t
εt xt ~ N(0, h )
2 t
序列的条件方差是一个随时间变化的量(即条件异方差 ， 序列的条件方差是一个随时间变化的量 即条件异方差)， 即条件异方差 这个随时间变化的条件方差是序列的过去有限项平方的线性 组合(即自回归 因此，该模型称为自回归条件异方差模型。 即自回归)， 组合 即自回归 ，因此，该模型称为自回归条件异方差模型。
模型检验
检验方法： 检验方法：正态性检验 not 假设条件： 假设条件：H 0 : ut ~ N (0,1) ↔ H 0 : ut ~ N (0,1)
ε t 其中，ut = ν t ht , ht , GARCH AR − GARCH
检验统计量： 检验统计量： n 2 n Tn = b1 + (b2 − 3) 2 ~ χ 2 ( 2) 6 24 检验结果： 检验结果： Tn ≥ χ 12−α ( 2) 拒绝原假设： 拒绝原假设： 接受原假设： 接受原假设： n < χ12−α ( 2) T
GARCH 模型结构 广义自回归条件异方差 模型结构(广义自回归条件异方差 模型) 模型
使用场合
ARCH模型实际上适 模型实际上适 用于异方差函数短期 自相关过程 GARCH模型实际上 模型实际上 适用于异方差函数长 期自相பைடு நூலகம்过程
x = f (t , x , x ,L) + ε t −1 t −2 t t ε t = ht et p q h = ω + ∑η h + ∑ λ ε 2 i t −i j t− j t i =1 j =1
LM检验 检验
假设条件
H 0 : ρ1 = ρ 2 = L = ρ q = 0 ↔ H 1 : ρ1 , ρ 2 , L , ρ q不全为零
检验统计量 检验结果
2 ρ12 ρ 2 ρ q2 LM ( q ) = W ′W , W = 2 , 2 , L , 2 σ σ ˆ ˆ ˆ σ
Durbin h=-2.6011 Pr( Dh < −2.6011) < 0.0046
拟合残差自回归模型
方法： 方法：逐步回归 模型口径
ε t = −0.1559ε t −1 − 0.407ε t − 2 + υ t
异方差自相关检验
Portmantea Q检验 检验 拉格朗日乘子(LM)检验 拉格朗日乘子 检验 假设条件： 假设条件：
GARCH模型的约束条件 模型的约束条件
参数非负
ω > 0,η i ≥ 0, λ j ≥ 0
参数有界
p q
∑η + ∑ λ
i =1 i j =1
j
<1
GARCH模型拟合步骤 模型拟合步骤
回归拟合 残差自相关性检验 异方差自相关性检验 GARCH模型定阶 模型定阶 参数估计 正态性检验
例5.12
⋅
拒绝原假设 Q(q ) ≥ χ 12−α (q − 1) ⋅ 接受原假设 Q(q) < χ12−α (q − 1)
异方差自相关检验
如果Portmantea Q检验和 检验表明： 检验和LM检验表明 如果 检验和 检验表明： 时间序列 xt 存在较高阶的 存在较高阶的ARCH效应，则意味着时间序 效应， 效应 存在着GARCH效应，可以考虑拟合 效应， 模型。 列 xt 存在着 效应 可以考虑拟合GARCH模型。 模型