河北省武邑2020届高三第四次模拟考试数学试题(文)有答案(已审阅)

河北武邑中学2016-2017学年下学期高三第四次模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2230A x x x =--≤，(){}ln 2B x y x ==-，则A B =I （ ） A ．()1,3 B ．(]1,3 C ．[)1,2- D ．()1,2- 2．已知集合{}02A x x =<<，{}210B x x =-<，则A B =U （ ） A ．()1,1- B ．()1,2- C ．()1,2 D ．()0,1 3．若1122aii i+=++，则a =（ ） A ．5i -- B ．5i -+ C ．5i - D ．5i +4．设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14-B ．12-C ．14D ．125．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3612π+B ．3616π+C ．4012π+D ．4016π+ 6．下列说法正确的是（ ）A ．x ∀，y R ∈若0x y +≠，则1x ≠且1y ≠-B ．a R ∈，“11a>”是“1a >”的必要不充分条件 C ．命题“x R ∃∈使得2230x x ++<”的否定是“x R ∀∈都有2230x x ++>” D ．“若22am bm <则a b <”的逆命题为真命题 7．某一算法框图如图所示，则输出的S 值为（ ）A B ． D ．0 8．《算术法》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h =，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似为3，那么近似公式27264V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为（ ） A ．227 B ．258 C ．237 D ．157509．已知某椎体的正视图和侧视图如图，则该椎体的俯视图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数()2cos2f x x x =-的图象在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和42,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则正数a 的取值范围是（ ）A ．5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知ln x x =，5log 2y =，0.5z e -=，则（ ）A ．x y z <<B ．x z y <<C ．z y x <<D ．y z x << 12．对任意的0x >，总有()lg 0f x a x x =--≤，则a 的取值范围是（ ） A ．()(,lg lg lg e e -∞-⎤⎦ B ．(],1-∞ C ．()1,lg lg lg e e -⎡⎤⎣⎦ D ．()lg lg lg ,e e -+∞⎡⎤⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知m 、n 为正实数，向量(),1a m =r ，()1,1b n =-r ，若a b ⋅r r ，则12m n+的最小值为 ． 14．已知函数()f x =()2log 2017,02,0x x f x x +>⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，则()2016f -= ．15．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=.若直线()1y k x =+上存在点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是 ． 16．已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -的体积最大时，其外接球的体积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{}n a 的各项均是正数，其前n 项和为n S ，满足4n n S a =-（*n N ∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设212log n n b a =-（*n N ∈），数列{}2n n b b +⋅的前n 项和为n T ，求证：34n T <18．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间实验.选取两大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙.（1）假设2n =，求第一大块地都种植品种甲的概率；（2）试验时每大块地分成8小块，即8n =，试验结束后得到的品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：2/kg hm ）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据实验结果，你认为应该种植哪一品种？19．如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C .（1）证明：1B C AB ⊥；（2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高.20．已知直线l ：x +=C ：221mx ny +=（0n m >>）有且只有一个公共点()M . （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，动点Q 满足QB AB ⊥，连接AQ 交椭圆于点P ，求OQ OP ⋅uuu r uu u r的值.21．设函数()1x e f x x-=，（1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）证明：对任意0a >，当()0ln 1x a <<+时，()1f x a -<.22．在极坐标系下，知圆O ：cos sin ρθθ=+和直线l：sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（0ρ≥，02θπ≤≤）.（1）求圆O 与直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标.文科数学参考答案一、选择题1-5:CBDCC 6-10:BDADB 11、12：DA二、填空题13．3+．2018- 15．⎡-⎣ 16．43π三、解答题17．解：（1）由4n n S a =-，得114S a =-，解得12a =而11n n n a S S ++=-=()()144n n a a +---1n n a a +=-，即12n n a a +=，112n n a a +∴=可见数列{}n a 是首项为2，公比为12的等比数列. 1211222n n n a --⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）212log n n b a ==-Q ()1122n n=--，()212n n b b n n +∴=+11122n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 故数列{}2n n b b +的前n 项和111112324n T ⎡⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣11113546⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 1111112n n n n ⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎥-++⎝⎭⎝⎭⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭13112212n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭ 3142=-113124n n ⎛⎫+< ⎪++⎝⎭18．解：（1）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A =“第一大块地都种品种甲”.从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个：()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4. 而事件A 包含1个基本事件：()1,2.所以()16P A =； （2）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：(14033973908x =++甲404388400+++)412406400++=， ()()(222133108S =+-+-+甲()2224120+-++)2212657.25+=，品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：(14194034128x =+++乙418408423+++)400413412+=， ()(222217908S =+-++乙()2226411+-++())2212156-+=，由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.19．解：（1）连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥.又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，故1B C ⊥平面ABO .由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥.（2）作OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD .作OH AD ⊥，垂足为H .由于BC AO ⊥，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥，又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC ， 因为160CBB ∠=︒，所以1CBB V 为等边三角形，又1BC =，可得OD =由于1AC AB ⊥，所以11122OA B C ==. 由OH AD OD OA ⋅=⋅，且4AD ==，得14OH =. 又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC的距离为7故三棱柱111ABC A B C -的距离为7. 20．解：（1）椭圆C 的方程为221168x y +=. （2）设()04,Q y ，()11,P x y ，又()4,0A -，()4,0B ，()11,OP x y ∴=uu u r ，()04,OQ y =uuu r.直线AQ 的方程为()048y y x =+. ()220116848x y y y x ⎧+=⎪⎪∴⇒⎨⎪=+⎪⎩()22200328y x y x ++⋅201632160y +-⨯=. ()201208432y x y ∴-+=-+20128432y x y ⇒=-+.1014OQ OP x y y ⋅=+uuu r uu u r ()010448yx y x =+⋅+=202084432y y ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭22002088832y y y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ 2020321632y y =-++420021632y y y -=+. 21．解：（1）()()21x x e x e f x x --'=，()11f '=，()11f e =-，()f x ∴在1x =处的切线方程为11y e x -+=-，即20x y e -+-=（2）证明：()11x e xf x x---=1x e x x --=设()1xx e x ϕ=--，()1xx e ϕ'=-，()0x ϕ'>⇔0x >，故()x ϕ'在(),0-∞内递减，在()0,+∞内递增()()00x ϕϕ∴≥=即10x e x --≥，当()0ln 1x a <<+时，()1f x a -<⇔()1x e x a x --<， 即当()0ln 1x a <<+时，()110xe a x --+<，（Ⅰ）当()ln 10a x -+<<时，()110xe a x ---<，（Ⅱ）令函数()()11xg x e a x =--+，()()11xh x e a x =---注意到()()000g h ==，故要证（Ⅰ）（Ⅱ），只需要证()g x 在()()0,ln 1a +内递减，()h x 在()()ln 1,0a -+递增 当()0ln 1x a <<+时，()()1x g x e a '=-+<()()ln 110a ea +-+=当()ln 10a x -+<<时，()()()ln 11a xh x e a e-+=-->()2101a a a--=>+综上，对任意0a >，当()0ln 1x a <<+时，()1f x a -<22．解：（1）圆O ：cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，直线l ：sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin cos 1ρθρθ-=，则直线的直角坐标方程为：10x y -+=.（2）由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得22010x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩解得1x y =⎧⎨=⎩. 即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为()0,1，转化为极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭.。

2020年河北省衡水市武邑中学高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|y＝ln（2﹣x）}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|1＜x＜2}2．（5分）若复数z满足z（1+i）2＝1﹣i，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是（）A．y＝cos x B．y＝﹣x2C．D．y＝|sin x|4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．若S4＝20，a5＝10，则a16＝（）A．﹣32B．12C．16D．325．（5分）已知向量＝（1，1），2+＝（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）在平面区域M＝{（x，y）|}内随机取一点P，则点P在圆x2+y2＝2内部的概率（）A．B．C．D．7．（5分）设，q：x2﹣（2m+1）x+m2+m≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，1]B．[﹣3，1]C．[﹣2，0）∪（0，1]D．[﹣2，﹣1）∪（0，1]8．（5分）已知曲线f（x）＝x3﹣2x2﹣x在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则tan2α的值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知偶函数，当时，，设a＝f（1），b＝f （2），c＝f（3），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b10．（5分）已知两点A（a，0），B（﹣a，0）（a＞0），若曲线上存在点P，使得∠APB＝90°，则正实数a的取值范围为（）A．（0，3]B．[1，3]C．[2，3]D．[1，2]11．（5分）已知函数，在[﹣3，3]的大致图象如图所示，则可取（）A．B．πC．2πD．4π12．（5分）已知，若f（x）＝m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（）A．（0，10）B．[0，10]C．（0，4）D．[0，4]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，且，则tan2θ＝．14．（5分）已知实数x，y满足，则2x﹣y的最大值为．15．（5分）若函数f（x）具备以下两个条件：（1）至少有一条对称轴或一个对称中心；（2）至少有两个零点，则称这样的函数为“多元素”函数，下列函数中为“多元素”函数的是．①y＝x2﹣2x﹣3；②y＝e2﹣x+e x﹣10；③y＝x3﹣3x2+2；④．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，b＝6，且，O为△ABC内一点，且满足，则＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知{a n}的前n项和S n＝4n﹣n2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．18．（12分）从某校高三的学生中随机抽取了100名学生，统计了某次数学模考考试成绩如表：分组频数频率[100，110）50.050[110，120）①0.200[120，130）35②[130，140）300.300[140，150]100.100（1）请在频率分布表中的①、②位置上填上相应的数据，并在给定的坐标系中作出这些数据的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这100名学生的平均成绩；（2）从这100名学生中，采用分层抽样的方法已抽取了20名同学参加“希望杯数学竞赛”，现需要选取其中3名同学代表高三年级到外校交流，记这3名学生中“期中考试成绩低于120分”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA＝DP，BA＝BP．（1）求证：PA⊥BD；（2）若DA⊥DP，∠ABP＝60°，BA＝BP＝BD＝2，求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．20．（12分）已知椭圆，F为左焦点，A为上顶点，B（2，0）为右顶点，若，抛物线C 2的顶点在坐标原点，焦点为F．（1）求C1的标准方程；（2）是否存在过F点的直线，与C1和C2交点分别是P，Q和M，N，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝2lnx+x2﹣mx（m∈R）．（1）若f（x）在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；（2）若有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求f（x1）﹣f（x2）的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为为参数，a＞0）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（1）设P是曲线C上的一个动点，当a＝2时，求点P到直线l的距离的最大值；（2）若曲线C上所有的点均在直线l的右下方，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣a|+|2x+1|（a＞0），g（x）＝x+2．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．2020年河北省衡水市武邑中学高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|y＝ln（2﹣x）}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|1＜x ＜2}【分析】解不等式求出集合A，求函数定义域得出B，再根据定义写出A∩B．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|y＝ln（2﹣x）}＝{x|2﹣x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．（5分）若复数z满足z（1+i）2＝1﹣i，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：∵z（1+i）2＝1﹣i，∴＝，∴z在复平面内所对应的点的坐标为（），位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是（）A．y＝cos x B．y＝﹣x2C．D．y＝|sin x|【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：A．y＝cos x是偶函数，在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．B．y＝﹣x2是偶函数，在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．C.是偶函数，当x≥0时＝（）x在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．D．y＝|sin x|是偶函数，在区间[0，1]上单调递增，满足条件．故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．若S4＝20，a5＝10，则a16＝（）A．﹣32B．12C．16D．32【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求出首项与公差，则答案可求．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4＝20，a5＝10，得，解得a1＝d＝2．∴a16＝a1+15d＝2+15×2＝32．故选：D．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．5．（5分）已知向量＝（1，1），2+＝（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】利用向量的坐标运算求出；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量模的坐标公式求出两个向量的模；利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦．【解答】解：∵∴∴∵∴两个向量的夹角余弦为故选：C．【点评】本题考查向量的数量积公式，利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、考查向量模的坐标公式．6．（5分）在平面区域M＝{（x，y）|}内随机取一点P，则点P在圆x2+y2＝2内部的概率（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【解答】解：如图示：作出不等式组对应的平面区域，对应区域为△OAB，则三角形的面积为S＝×1×2＝1，点P取自圆x2+y2＝2内部的面积为圆面积的，即×π×＝，则根据几何概型的概率公式可得，则点P取自圆x2+y2＝2内部的概率等于．故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．利用数形结合是解决此类问题的基本方法．7．（5分）设，q：x2﹣（2m+1）x+m2+m≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，1]B．[﹣3，1]C．[﹣2，0）∪（0，1]D．[﹣2，﹣1）∪（0，1]【分析】，⇔x2﹣4≤0，（x≠0），解得x范围．q：x2﹣（2m+1）x+m2+m ≤0，解得：m≤x≤m+1．根据p是q的必要不充分条件，即可得出．【解答】解：，⇔x2﹣4≤0，（x≠0），解得﹣2≤x≤2且x≠0，q：x2﹣（2m+1）x+m2+m≤0，解得：m≤x≤m+1．若p是q的必要不充分条件，则或，解得0＜m≤1或﹣2≤m＜﹣1．故选：D．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）已知曲线f（x）＝x3﹣2x2﹣x在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则tan2α的值为（）A．B．C．D．【分析】求出函数的导数，由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，代入x＝1可得切线的斜率，再由二倍角的正切公式计算可得所求值．【解答】解：f（x）＝x3﹣2x2﹣x的导数为f′（x）＝3x2﹣4x﹣1，可得在（1，f（1））处切线的斜率为3﹣4﹣1＝﹣2，即有tanα＝﹣2，tan2α＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义和二倍角的正切公式，正确求导是解题的关键，属于基础题．9．（5分）已知偶函数，当时，，设a＝f（1），b＝f （2），c＝f（3），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】根据函数的奇偶性和单调性，进行判断即可．【解答】解：∵当时，y＝sin x单调递增，y＝也为增函数，∴函数，也为增函数．∵函数为偶函数，∴，即函数的对称轴为x＝，即f（x）＝f（π﹣x）∴f（2）＝f（π﹣2），f（3）＝f（π﹣3），∵0＜π﹣3＜1＜π﹣2，∴f（π﹣3）＜f（1）＜f（π﹣2），即c＜a＜b，故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件确定函数的单调性是解决本题的关键．10．（5分）已知两点A（a，0），B（﹣a，0）（a＞0），若曲线上存在点P，使得∠APB＝90°，则正实数a的取值范围为（）A．（0，3]B．[1，3]C．[2，3]D．[1，2]【分析】由题意可知以AB为直径的圆与曲线有公共点，根据圆与圆的位置关系列不等式组求出a的范围．【解答】解：以AB为直径的圆的方程为x2+y2＝a2，∵曲线上存在点P，使得∠APB＝90°，∴圆x2+y2＝a2与（x﹣）2+（y﹣1）2＝1有公共点．∴|a﹣1|≤≤a+1，解得：1≤a≤3．故选：B．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，属于中档题．11．（5分）已知函数，在[﹣3，3]的大致图象如图所示，则可取（）A．B．πC．2πD．4π【分析】结合图象得f（0）＝＝2，sinφ＝2a，f（1）＝＝0，f（﹣1）＝＝0，f（3）＝＝0，f（﹣3）＝＝0，由此可取ω＝φ＝π，a＝，由此能求出的可能取值．【解答】解：函数，在[﹣3，3]的大致图象如图所示，结合图象得f（0）＝＝2，∴sinφ＝2a，f（1）＝＝0，f（﹣1）＝＝0，f（3）＝＝0，f（﹣3）＝＝0，由此可取ω＝φ＝π，a＝，∴可取π．故选：B．【点评】本题考查两数比值的可能取值的求法，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．12．（5分）已知，若f（x）＝m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（）A．（0，10）B．[0，10]C．（0，4）D．[0，4]【分析】画出f（x）的图象，由对称性可得x3+x4＝10，对数的运算性质可得x1x2＝x1+x2，代入要求的式子，结合图象可得所求范围．【解答】解：的图象如右：f（x）＝m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，可得x3+x4＝10，且|log2（x1﹣1）|＝|log2（x2﹣1）|，即为log2（x1﹣1）+log2（x2﹣1）＝0，即有（x1﹣1）（x2﹣1）＝1，即为x1x2＝x1+x2，可得（+）（x3+x4）＝10m•＝10m，由0＜m＜1，可得0＜10m＜10，故选：A．【点评】本题考查分段函数的图象和应用：求自变量的范围，考查图象的对称性和对数的运算性质，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，且，则tan2θ＝．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得tanθ的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2θ的值．【解答】解：∵，且，∴sinθ＝＝，∴tanθ＝＝﹣2，则tan2θ＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．14．（5分）已知实数x，y满足，则2x﹣y的最大值为3．【分析】作出平面区域，变形目标函数z＝2x﹣y平移直线y＝2x可得结论．【解答】解：作出对应的区域（如图阴影），设z＝2x﹣y，变形目标函数z＝2x﹣y可得y＝2x﹣z，平移直线y＝2x可得：当直线经过点A（2，1）时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得2×2﹣1＝3，故答案为：3【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．15．（5分）若函数f（x）具备以下两个条件：（1）至少有一条对称轴或一个对称中心；（2）至少有两个零点，则称这样的函数为“多元素”函数，下列函数中为“多元素”函数的是①②③．①y＝x2﹣2x﹣3；②y＝e2﹣x+e x﹣10；③y＝x3﹣3x2+2；④．【分析】由“多元素”函数的概念，即（1）至少有一条对称轴或一个对称中心；（2）至少有两个零点逐一核对四个命题得答案．【解答】解：对于①，函数y＝x2﹣2x﹣3的一条对称轴方程为x＝1，两个零点为﹣1，3，是“多元素”函数；对于②，函数y＝e2﹣x+e x﹣10满足f（2﹣x）＝e2﹣（2﹣x）+e2﹣x﹣10＝e x+e2﹣x﹣10＝f（x），可得x＝1为函数的一条对称轴，f（x），当且仅当x＝1时函数取得最小值，而2e﹣10＜0，而f（﹣1）＞0，f（3）＞0，∴函数至少有两个零点，是“多元素”函数；对于③，y＝x3﹣3x2+2＝（x﹣1）3﹣3（x﹣1）是把奇函数y＝x3﹣3x移1个单位得到，故函数图形关于点（1，0）对称，而函数y＝x3﹣3x有3个零点，则函数y＝x3﹣3x2+2有3个零点，是“多元素”函数；对于④，函数＞0，函数无零点，不是“多元素”函数．∴是“多元素”函数的是①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的性质，是中档题．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，b＝6，且，O为△ABC内一点，且满足，则＝3．【分析】运用余弦定理可得cos A，由同角平方关系可得sin A，再由题意可得O为△ABC 的重心，S△ABO＝S△ABC，由三角形的面积公式，解方程可得所求值．【解答】解：由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∵b＝6，且，∴2a2﹣2b2+bc＝a2+c2﹣b2，∴a2＝b2+c2﹣2bc•，∴cos A＝，∴sin A＝＝，满足，可得O为△ABC的重心，且S△ABO＝S△ABC，即为c•|AO|•sin30°＝×cb sin∠BAC，则|AO|＝×6××2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查三角形的重心的向量表示，以及重心的性质，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知{a n}的前n项和S n＝4n﹣n2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）根据数列的通项公式，利用错位相减法求出数列的和．【解答】（Ⅰ）解：已知{a n}的前n项和，则：当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝4n﹣n2﹣4（n﹣1）+（n﹣1）2＝5﹣2n．当n＝1时，a1＝S1＝3，适合上式∴a n＝5﹣2n．（Ⅱ）解：令＝，+…+①，所以：+…+②，①﹣②得：﹣，＝，＝．整理得：．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用．18．（12分）从某校高三的学生中随机抽取了100名学生，统计了某次数学模考考试成绩如表：分组频数频率[100，110）50.050[110，120）①0.200[120，130）35②[130，140）300.300[140，150]100.100（1）请在频率分布表中的①、②位置上填上相应的数据，并在给定的坐标系中作出这些数据的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这100名学生的平均成绩；（2）从这100名学生中，采用分层抽样的方法已抽取了20名同学参加“希望杯数学竞赛”，现需要选取其中3名同学代表高三年级到外校交流，记这3名学生中“期中考试成绩低于120分”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）根据频数之和为100，频率之和为1计算①②，作出频率分布直方图，利用组中值代替每小组的平均数计算平均数；（2）根据分层原理计算选出的20名学生中成绩低于120分的人数，利用超几何分布计算概率得出分布列，再计算数学期望．【解答】解：（1）100﹣（5+35+30+10）＝20，1﹣0.05﹣0.2﹣0.3﹣0.1＝0.35．频率分布表为：分组频数频率[100，110）50.05[110，120）200.2[120，130）350.35[130，140）300.3[140，150]100.1频率分布直方图为：平均成绩为105×0.05+115×0.2+125×0.35+135×0.3+145×0.1＝127分．（2）成绩低于120分的人数为20×（0.05+0.2）＝5人，不低于120分的人数为15人，∴ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝．∴ξ的分布列为：ξ0123P∴Eξ＝0×+1×+2×+3×＝．【点评】本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA＝DP，BA＝BP．（1）求证：PA⊥BD；（2）若DA⊥DP，∠ABP＝60°，BA＝BP＝BD＝2，求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．【分析】（1）取AP中点F，连接DM，BM，由已知可证PA⊥DM，PA⊥BM，又DM ∩BM＝M，可得PA⊥平面DMB，因为BD⊂平面DMB，可证PA⊥BD；（2）由已知可得△DAP是等腰三角形，△ABP是等边三角形，求出MD⊥MB，以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出平面DPC与平面PCB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角D﹣PC﹣B的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AP中点M，连接DM，BM，∵DA＝DP，BA＝BP，∴PA⊥DM，PA⊥BM，∵DM∩BM＝M，∴PA⊥平面DMB．又∵BD⊂平面DMB，∴PA⊥BD；（2）解：∵DA＝DP，BA＝BP．DA⊥DP，∠ABP＝60°，∴△DAP是等腰三角形，△ABP是等边三角形．∵BA＝BP＝BD＝2，∴DM＝1，BM＝．∴BD2＝MB2+MD2，∴MD⊥MB．以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（﹣1，0，0），B（0，，0），P（1，0，0），D（0，0，1），从而得＝（1，0，﹣1），＝（1，，0），＝（1，，0），＝（1，0，1），设平面DPC的法向量，则，即，令y 1＝1，得，∴＝（，1，），设平面PCB的法向量，由，得，令y 2＝1，得，，∴＝（，1，），∴cos＜＞＝．设二面角D﹣PC﹣B为α，∴．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．20．（12分）已知椭圆，F为左焦点，A为上顶点，B（2，0）为右顶点，若，抛物线C 2的顶点在坐标原点，焦点为F．（1）求C1的标准方程；（2）是否存在过F点的直线，与C1和C2交点分别是P，Q和M，N，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）通过，即，由右顶点为B（2，0），求出a，b即可得到椭圆方程．（2）依题意可知C2的方程为y2＝﹣4x，假设存在符合题意的直线，设直线方程为x＝ky﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），联立方程组，由韦达定理得到，联立方程组，得y2+4ky﹣4＝0，由韦达定理，通过，求出k，然后求解直线方程．【解答】解：（1）依题意可知，即，由右顶点为B（2，0），得a＝2，解得b2＝3，所以C1的标准方程为．（2）依题意可知C2的方程为y2＝﹣4x，假设存在符合题意的直线，设直线方程为x＝ky﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），联立方程组，得（3k2+4）y2﹣6ky﹣9＝0，由韦达定理得，，则，联立方程组，得y2+4ky﹣4＝0，由韦达定理得y3+y4＝﹣4k，y3y4＝﹣4，所以，若，则，即，解得，所以存在符合题意的直线方程为或．【点评】本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．21．（12分）已知函数f（x）＝2lnx+x2﹣mx（m∈R）．（1）若f（x）在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；（2）若有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求f（x1）﹣f（x2）的取值范围．【分析】（1）先求导，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出m的范围，（2）根据f（x）有两个极值点，得到x1+x2＝＞0，x1x2＝1，求出＜x1＜，再f（x1）﹣f（x2）＝﹣x12+4lnx1，构造函数，求导，判断函数的单调性，求出范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）＝2lnx+x2﹣mx的定义域为（0，+∞），且f（x）在其定义域内单调递增，∴f′（x）＝+2x﹣m≥0，即m≤2（+x）在区间（0，+∞）恒成立，∵2（+x）≥4＝4，当且仅当x＝1时取等号，∴m≤4，即实数m的范围（﹣∞，4]；（2）由（1）知f′（x）＝+2x﹣m＝，令2x2﹣mx+2＝0，∵5＜m＜时，f（x）有两个极值点，此时x1+x2＝＞0，x1x2＝1，∴0＜x1＜1＜x2，∵m＝2（+x1）∈（5，），解得＜x1＜，由于x2＝，于是f（x1）﹣f（x2）＝（x12﹣mx1+2lnx1）﹣（x22﹣mx2+2lnx2）＝（x12﹣x22）﹣m（x1﹣x2）+2（lnx1﹣lnx2）＝﹣x12+4lnx1，令h（x）＝﹣x2+4lnx，则h′（x）＝＜0，∴h（x）在区间（，）内单调递减，∵h（）＝16﹣﹣8ln2＝﹣8ln2，h（）＝4﹣﹣4ln2＝﹣4ln2，即﹣4ln2＜f（x1）﹣f（x2）＜﹣8ln2，故f（x1）﹣f（x2）的取值范围为（﹣4ln2，﹣8ln2）．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查转化思想，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为为参数，a＞0）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（1）设P是曲线C上的一个动点，当a＝2时，求点P到直线l的距离的最大值；（2）若曲线C上所有的点均在直线l的右下方，求a的取值范围．【分析】（1）将直线l极坐标方程转化成直角坐标，设P点坐标，利用点到直线的距离公式及辅助角公式，根据余弦函数的性质，即可求得点P到直线l的距离的最大值；（2）由题意可知：∀t∈R，a cos t﹣2sin t+4＞0恒成立，利用辅助角公式，只需＜4，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由，得（ρcosθ﹣ρsinθ）＝﹣2，化成直角坐标方程得（x﹣y）＝﹣2，∴直线l的方程为x﹣y+4＝0，依题意，设P（2cos t，2sin t），则P到直线l的距离d＝＝＝2+2cos（t+），当t+＝2kπ，即t＝2kπ﹣，k∈Z时，d max＝4，故点P到直线l的距离的最大值为4．（2）因为曲线C上的所有点均在直线l的右下方，∀t∈R，a cos t﹣2sin t+4＞0恒成立，即cos （t+φ）+4＞0（其中tanφ＝）恒成立，∴＜4，又a＞0，解得0＜a＜2，故a取值范围（0，2）．【点评】本题考查直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，余弦函数的性质，考查不等式恒成立，考查计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣a|+|2x+1|（a＞0），g（x）＝x+2．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝1时，不等式等价于3个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得，|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0 恒成立．令h（x）＝|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2，化简它的解析式，求得它的最小值，再令最小值大于或等于零，求得a的范围．【解答】解：（1）当a＝1时，不等式f（x）≤g（x）即|2x﹣1|+|2x+1|≤x+2，等价于①，或②，或③．解①求得x无解，解②求得0≤x＜，解③求得≤x≤，综上，不等式的解集为{x|0≤x≤}．（2）由题意可得|2x﹣a|+|2x+1|≥x+2恒成立，转化为|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0 恒成立．令h（x）＝|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2＝（a＞0），易得h（x）的最小值为﹣1，令﹣1≥0，求得a≥2．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

河北省武邑中学2020届高三上学期期末考试数学（文）试卷第Ⅰ卷一：选择题。

1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.设（为虚数单位），则（）A. B. C. D. 23.已知命题：N, ，命题：R , ，则下列命题中为真命题的是（）.A. B. C. D.4.若满足则的最小值为（）A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图，输入，那么输出的值为( )A. B. C. D.6.在中，为的中点，，则（）A. B. C. 3 D.7.函数（其中）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将的图象上所有点（）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度8.已知某几何体的正视图、侧视图和俯视图均为斜边为的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A. B. C. D.9.设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则A. B. C. D.10.设函数，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.11.在三棱锥中，,是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D.12.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.第II卷二、填空题.13.曲线恒过定点_______.14.已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若的保值区间是，则的值为_____．15.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且,则该三棱锥的外接球的体积为____．16.在正方体中, 分别为棱,的中点,则直线与所成角的余弦值为_____三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）17.已知向量，，函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）已知分别为内角的对边，其中为锐角，，且，求的面积．18.已知数列满足.（1）证明：数列是等比数列；（2）令，数列的前项和为，求.19.未了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，将这100人的年龄数据分成5组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中不支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（1）由频率分布直方图，估计这100人年龄的平均数；（2）由频率分布直方图，若在年龄，，的三组内用分层抽样的方法抽取12人做问卷调查，求年龄在组内抽取的人数；（3）根据以上统计数据填写下面的列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的不支持态度存在差异？附：，其中.参考数据：20.已知抛物线上一点的纵坐标为6，且点到焦点的距离为7.（1）求抛物线的方程；（2）设为过焦点且互相垂直的两条直线，直线与抛物线相交于两点，直线与抛物线相交于点两点，若直线的斜率为，且，试求的值.21.已知椭圆,左右焦点分别为,且，点在该椭圆上.（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线与椭圆C相交于两点，若的面积为, 求直线的方程.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线，的直角坐标方程；（2）判断曲线，是否相交，若相交，请求出交点间的距离；若不相交，请说明理由.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设，，且的最小值为.若，求的最小值.河北省武邑中学2020届高三上学期期末考试数学（文）试卷参考答案第Ⅰ卷一：选择题。

数学试题（文科） 命题人 闫秀香第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上． 1. 已知集合{}2A=4120x x x +-<，{}22x B x =>，则A B （ ）A ．{}6x x <B ．{}2x x <C ．{}62x x -<<D ．{}12x x <<2.双曲线2228x y -=的实轴长是（ ） A ．2B．C ．4D．3.下列命题的说法错误的是（ ） A ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题． B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.C ．对于命题:p x R ∀∈，210x x ++>，则2:,10p x R x x -∃∈++≤．D ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠” 4. 函数23y x =的图象大致形状是（ ）A B C D ．5.已知两个不同的平面a ，β和两条不重合的直线m ，n ，则下列四个命题中不正确的是（ ） A ．若//m n ，m a ⊥，则n a ⊥ B ．若m a ⊥，m β⊥，则//a β C ．若m a ⊥，//m n ，n β⊂，则a β⊥D ．若//m a ，an β=，则//m n6. 已知公差不为0的等差数列{}n a 满足1a ，3a ，4a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 和，则3253S S S S --的值为（ ）A ．2B ．3C ．2-D ．3-7. 若抛物线22y x =上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则MFO ∆的面积为（ ）A B C ．12D ．148. 以(),1a 为圆心，且与两条直线240x y -+=及260x y --=同时相切的圆的标准方程为（ ）A ．()2215x y +-= B ．()()22115x y +++= C ．()2215x y -+=D ．()()22115x y -+-=9. 向量()cos 25,sin 25a =︒︒，()sin 20,cos 20b =︒︒，若t 是实数，且u a tb =+，则u 的最小值为（ ）A B ．1C D ．1210. 将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，函数()1y f x =-的图像关于()1,0对称，若对任意x ，y R ∈，不等式()()2262180f x x f y y -++-<恒成立，则当3x >时，22x y +的取值范围是（ ）A ．()3,7B ．)C ．()9,49D ．()13,4912.已知函数()sin 1xf x x x π=+-在()0,1上的最大值为m ，在(]1,2上的最小值为n ，则m n +=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置． 13.已知函数ln xy x =在点()(),m f m 处的切线平行于x 轴，则实数m =______. 14.已知51sin 24a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么cos2a =______.15. .已知某棱锥的三视图如图（最左侧是正视图）所示，俯视图为正方形及一条对角线，根据图中所给的数据，该棱锥外接球的体积是_____.16.设()()2,01,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为_____. 三、解答题：大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2a B c b =-． (1)求A 的大小；(2)若2a =，4b c +=，求ABC ∆的面积． 18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()12n n S n λ=+-⋅,又数列{}n b 满足:n n a b n ⋅=． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)当λ为何值时,数列{}n b 是等比数列？并求此时数列{}n b 的前n 项和n T 的取值范围． 19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C —中，1A A -⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1A 3A =. （Ⅰ）过BC 的截面交1A A 于P 点，若PBC ∆为等边三角形，求出点P 的位置； （Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，求四棱锥11P BCC B -与三棱柱111ABC B C —A 的体积比.20.（本小题满分12分）如图，已知ABC ∆的边AB 所在直线的方程为360x y --=，()2,0M 满足BM MC =，点()1,1T -在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅=.（1）求AC 边所在直线的方程； （2）求ABC ∆外接圆的方程；（3）若动圆P 过点()2,0N -，且与ABC ∆的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程. 21.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=，()0a b >>且过点⎛ ⎝⎭. (Ⅰ）求椭圆C 的方程； (Ⅱ)设与圆223:4O x y +=相切的直线l 交椭圆C 与A ，B 两点，求OAB ∆面积的最大值及取得最大值时直线l 的方程. 22.（本小题满分12分）已知函数()()ln 1f x x ax ax =-+,其中0a ≥． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2) 若函数()f x 在(]0,1内至少有1个零点，求实数a 的取值范围；数学试题（文科）答案一、选择题：DCABD ABACA DD二、填空题：13. e 14.78-16.02a ≤≤三、17.解法一：2cos 2a B c b =-，由余弦定理得222222a c b a c b ac+-⋅=-即222b c a bc +-=根据余弦定理，有2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又O A π<<，故3A π=()234b c bc ∴+-=，又4b c +=，4bc ∴=1sin 2ABC S bc A ∆∴==18.解：解：（Ⅰ）由()12n n S n λ=+-⋅，当1n =时，11a S λ==；当2n ≥时，()()11112222n n n n n n a S S n n n ---=-=-⋅--⋅=⋅， 故数列{}n a 的通项公式为()()11,22n n n a n n λ-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩ (Ⅱ)由n n a b n ⋅=有()()111,122n n n b n λ-⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩则数列{}n b 为等比数列， 则首项为11b λ=满足2n ≥的情况，故1λ=，则()112111122111212nn n nb q b b q --⎛⎫++===- ⎪-⎝⎭-…+b 而1212n⎛⎫- ⎪⎝⎭是单调递增的，故[)121211,22n n b b ⎛⎫++=-∈ ⎪⎝⎭…+b 19.（1）由题意PC PB == 2分在三棱柱中，由1ABC AA ⊥平面且2AB AC ==可得，2PA =， 4分 故点P 的位置为1AA 的三等分点，且靠近1A 处 6分 （2）由（1）可知，111122362ABC A B C V -=⨯⨯⨯=，7分 111112221323p A B C V -=⨯⨯⨯⨯=8分 114222323p ABC V -=⨯⨯⨯⨯=，9分所以11*436432p BCC V -=--=，所以所求两个几何体的体20.试题解析：（1）0,AT AB AT AB ⋅=∴⊥，又T 在AC 上，AT AB ∴⊥，ABC ∴∆为Rt ABC ∆，又AB 边所在直线的方程为360x y --=，所以直线AC 的斜率为3-，又因为点()1,1T - 在直线AC 上，所以AC 边所在直线的方程为：()131y x -=-+，即320x y ++=. （2）AC 与AB 的交点为A ，所以由360,320,x y x y --=⎧⎨++=⎩解得点A 的坐标为()0,2-，BM MC =，()2,0M ∴为Rt ABC ∆斜边上的中点，即为Rt ABC ∆外接圆的圆心，又r AM ==，从而ABC ∆外接圆的方程为:()2228x y -+=.（3）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，所以PM PN =+PM PN -=故点P 的轨迹是以M ，N为焦点，实轴长为.因为实半轴长a ，半焦距2c =.所以虚半轴长b =从而动圆P的圆心的轨迹方程为(22122x y x -=≤.解（1）由题意可得：221213a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2分22223,1,13x a b y ==∴+=4分（2）①当k不存在时，x y =∴=1324OAB S ∆∴== 5分②当k 不存在时，设直线为y kx m =+，()11,A x y ,()22,B x y ,2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,()222136330k x km m +++-= 6分2121222633,1313km m x x x x k k --+==++ 7分 ()22431d r m k =⇒=+8分AB === 10分2=当且仅当2219kk =，即k =时等号成立 11分11222OAB S AB r ∆∴=⨯≤⨯=，OAB ∴∆，此时直线方程1y =±. 12分21.（1）依题意知函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()2'22111212ax ax a x ax f x a x a x x x-++-=--==--，………………2分 当0a =时，()ln f x x =，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；………………3分 当0a >时，由()'0f x >得102x a <<，由()'0f x <得12x a >，函数()f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减：………………4分当0a <时由()'0f x >得10x a <<-，由()'0f x <得1x a >-，函数()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减：………………5分（2）当0a =时，函数()f x 在10,2a ⎛⎤⎥⎝⎦内有1个零点01x =；………………6分当0a >时，由（1）知函数()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减：①若112a ≥，即102a <≤时，()f x 在(]0,1上单调递增，由于当0x →时，()f x →-∞且()210f a a =--<，知函数()f x 在(]0,1内无零点；………………7分②若1012a <<，即12a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，要使函数()f x 在(]0,1内至少有1个零点，只需满足102f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即431122a e <≤；………………9分当0a <时，由（1）知函数()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；③若11a-≥，即10a -≤<时，()f x 在(]0,1上单调递增，由于当0x →时，()f x →-∞，且()210f a a =-->，知函数()f x 在(]0,1内有1个零点；………………10分④若101a <-<，即1a <-时，函数()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减：由于当0x →时，()f x →-∞，且当1a <-时，11ln 0f a a ⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知函数()f x 在(]0,1内无零点：………………11分 综上可得：a 的取值范围是[]43111,0,22e ⎛⎤- ⎥⎝⎦.………………12分。

河北省衡水市武邑中学2020年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则“”是“是偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A略2. 已知集合或，，则等于（）．A．或B．C．D．或参考答案：B．故选．3. 点A、B、C、D均在同一球面上，其中是正三角形，，,则该球的体积为（）A．B．C．D．参考答案：A4. 已知，则“函数在上单调递增”是“数列是递增数列”的充分而不必要条件必要而不充分条件充要条件既不充分也不必要条件（）参考答案：A5. 已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay+2ab=0相切，则C的离心率为A．B．C．D．参考答案：A以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即，，故选A.6. 复数（i是虚数单位）的虚部为（）A．-1 B．0 C．1 D．2参考答案：C略7. 若集合，则实数a的取值范围是A．B．1<a<4 C．0<a<3 D．0<a<4参考答案：C8. 设函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．参考答案：C试题分析：因,故,应选C.考点：导数及运用．9. 已知单位向量和的夹角为,记, , 则向量与的夹角为(A) (B) (C) (D)参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．F3C 解析：由于单位向量和的夹角为，则，则，，，即有则由于0°≤＜，＞≤180°，则向量与的夹角为120°．故选C．【思路点拨】运用向量的数量积的定义，求得单位向量和的数量积，再求向量与的数量积和模，运用向量的夹角公式计算即可得到夹角．10. 已知向量与满足||=||=2，且⊥（2+），则向量与的夹角为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直得出2+2=0，从而得出=﹣2，利用向量的夹角公式计算夹角的余弦得出答案．【解答】解：∵||=||=2，∴=4，∵⊥（2+），∴2+2=0，∴=﹣2，∴cos＜，＞==﹣，∴＜，＞=．故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正实数满足，则的最小值为．参考答案：312. 已知等差数列的公差为，，前项和为，则的数值是．参考答案：213. 在△ABC中，D是BC的中点，AD＝8，BC＝20，则的值为．参考答案：－3614. 已知△ABC中，∠C=90°，，分别为边上的点，且，，则__________．参考答案：略15. 关于x的不等式的解集不为空集，则实数a的取值范围是；参考答案：16. 在等比数列中，，则数列的通项公式_____________，设，则数列的前项和_____________．参考答案：；略17. （5分）（2013?乐山二模）已知数列A：a1，a2，…，a n（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P；③若数列A具有性质P，则a1=0；④若数列a1，a2，a3（0≤a1＜a2＜a3）具有性质P，则a1+a3=2a2．其中真命题有．参考答案：②③④①中取1和3两个元素验证，发现不正确；②显然满足题意；③若数列A具有性质P，则a1=0，所以对任意i，j（1≤i≤j≤n），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个是该数列中的一项．④数列是等差数列，经验证满足题意；故答案为：②③④．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

河北武邑2019-2020学年下学期高三第四次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}2*70,A x x x x N =-<∈，则*6,B yN y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．已知集合(){}lg 1A x y x ==+，{}2B x x =<，则A B =I （ ） A ．()1,2- B ．()0,2 C ．()2,0- D ．()2,1--3．设向量()1,a x x =-r ，()2,4b x x =+-r，则“a b ⊥r r ”是“2x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布()2100,5N ，且()1100.96P ξ<=，则()90100P ξ<<的值为（ ）A ．0.49B ．0.48C ．0.47D ．0.46 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3612π+B ．3616π+C ．4012π+D ．4016π+ 6．设D 为ABC V 中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则（ ）A ．5166BO AB AC =-+uu u r uuu r uuu r B ．1162BO AB AC =-uu u r uu u r uuu rC ．5166BO AB AC =-uu u r uu u r uuu rD ．1162BO AB AC =-+uu u r uuu r uuu r7．执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ．2016B ．1024C ．12D ．1- 8．已知()00,P x y 是椭圆C ：2214x y +=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120PF PF ⋅<uuu r uuu r ，则0x 的取值范围是（ ）A ．33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭ B ．33⎛- ⎝⎭ C ．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭9．在平行四边形ABCD 中，3AD =uuu r ，5AB =uu u r ，23AE AD =uu u r uuu r ，13BF BC =uu u r uu u r ，3cos 5A =，则EF =uu u r （ ）A ．． D ．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．272B ．27C ．．11．已知点2F ，P 分别为双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若22OM OP OF =+u u u r u u u r u u u r ，22OF F M =uuur uuuu r ，且2222c OF F M ⋅=uuu r uuuu r ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．．32C12．设函数()322ln f x x ex mx x =-+-，记()()f xg x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（ ）A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．210,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦C ．21e ,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．2211e ,e e e ⎛⎤--+ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知正项等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S （*n N ∈），且123112a a a -=，则4S = ． 14．设0ω>，将函数sin 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 ．15．设a ，b ，{}1,2,3,4,5,6c ∈，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有 个．16．直线0ax by c ++=与圆O ：2216x y +=相交于两点M 、N .若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅uuu r uuu r的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n a S +=+对一切正整数n 恒成立. （1）试求当1a 为何值时，数列{}n a 是等比数列，并求出它的通项公式； （2）在（1）的条件下，当n 为何值时，数列400lgn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取得最大值. 18．某种药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为p ，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04.（1）求p 及基地的预期收益；（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由. 19．在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，AD AB ==112DC BC ==，E 是PC 的中点，面PAC ⊥面ABCD .（Ⅰ）证明：ED ∥面PAB ；（Ⅱ）若2PC =，PA =A PC D --的余弦值.20．已知圆1F ：()22116x y ++=，定点()21,0F ，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点.（Ⅰ）求P 点的轨迹C 的方程；（Ⅱ）四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上，且对角线EG ，FH 过原点O ，若34EG FH k k ⋅=-，求证：四边形EFGH 的面积为定值，并求出此定值. 21．已知函数()xf x x a =-（0a >，且1a ≠）.（1）当a e =，x 取一切非负实数时，若()212f x b x ≤-，求b 的范围； （2）若函数()f x 存在极大值()g a ，求()g a 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程 将圆2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C .（1）求出C 的普通方程；（2）设直线l ：220x y +-=与C 的交点为1P ，2P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x x =+-.（1）解关于x 的不等式()5f x x -≥；（2）设m ，(){}n y y f x ∈=，试比较4mn +与()2m n +的大小.数学（理）参考答案一、选择题1-5:DABDC 6-10:ADDBD 11、12：DA二、填空题13．180 14．3215．27个 16．[]6,10- 三、解答题17．解：（1）由11n n a S +=+得：当2n ≥时，11n n a S -=+， 两式相减得：12n n a a +=，因为数列{}n a 的是等比数列，所以212a a =， 又因为21111a S a =+=+，所以解得：11a =得：12n n a -=（2）易得数列1400lg 2n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个递减数列， 所以01400400lglg 22>>28400400lg lg 22>>L 94000lg 2>>>L 由此可知当9n =时，数列400lgn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和n T 取最大值. 18．（1）两天都下雨的概率为()210.04p -=，解得0.8p = 该基地收益X 的可能取值为10，8，5.（单位：万元）则：()100.64P X ==，()820.8P X ==⨯0.20.32⨯=，()50.04P X ==所以该基地收益X 的分布列为：则该基地的预期收益100.64EX =⨯+80.325⨯+0.049.16⨯=（万元） 所以，基地的预期收益为9.16万元（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益：110.86EY =⨯+0.20.59.5⨯-=（万元）此时EY EX >，所以该基地应该外聘工人.19．解：（Ⅰ）证明：取PB 的中点F ，连接AF ，EF . 因为EF 是PBC V 的中位线，所以12EF BC ∥.又12AD BC ∥，所以AD EF ∥，所以四边形ADEF 是平行四边形. 所以DE AF ∥，又DE ⊄面ABP ，AF ⊂面ABP ，所以ED ∥面ABP.（Ⅱ）取BC 的中点M ，连接AM ，则AD MC ∥，所以四边形ADCM 是平行四边形. 所以AM MC MB ==，所以A 在以BC 为直径的圆上. 所以AB AC ⊥，可得AC =过D 做DG AC ⊥于G ，因为面PAC ⊥面ABCD ，且面PAC I 面ABCD AC =， 所以DG ⊥面PAC ，所以DG PC ⊥.过G 做GH PC ⊥于H ，则PC ⊥面GHD ，连接DH ，则P C D H ⊥，所以GHD ∠是二面角A PC D--的平面角.在ADC V 中，12GD =，连接AE，122GH AE ==.在Rt GDH V中，HD =. cos GH GHD HD ∠==，即二面角A PC D --20．解：（Ⅰ）因为P 在线段2F A 的中垂线上，所以2PF PA =. 所以21PF PF +=1PA PF +=1124AF F F =>，所以轨迹C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆，且1c =，2a =，所以b =故轨迹C 的方程22143x y +=. （Ⅱ）证明：不妨设点E 、H 位于x 轴的上方，则直线EH 的斜率存在，设EH 的方程为y kx m =+，()11,E x y ，()22,H x y .联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22348k x kmx ++24120m +-=，则122834kmx x k+=-+，212241234m x x k -=+.①由121234EG FH y y k k x x ⋅==-， 得()()1212kx m kx m x x ++=()2212121234k x x km x x m x x +++=-.②由①、②，得222430m k --=.③ 设原点到直线EH的距离为d =，12EH x =-=，4EOH EFGH S S ==四边形V 2EH d ⋅=④由③、④，得EFGH S =四边形EFGH 的面积为定值，且定值为21．解：（1）当a e =时，()xf x x e =-，原题分离参数得212x b x x e ≥+-恒成立，右边求导分析即可，问题背景实际是泰勒展开的前三项.答案：1b ≥ （2）()1ln xf x a a '=-，①当01a <<时，0x a >，ln 0a <，所以()0f x '>，所以()f x 在R 上为单增函数，无极大值；②当1a >时，设方程()0f x '=的根为t ，则有1ln t a a=，即1l o g ln at a ==1ln ln ln a a，所以()f x 在(),t -∞上为增函数，在(),t +∞上为减函数，所以()f x 的极大值为()t f t t a =-=1ln1ln ln ln a a a -，即()1ln1ln ln ln a g a a a =-，因为1a >，所以10ln a >，令1ln x a =则1ln1ln ln ln a a a-=ln x x x -，设()ln h x x x x =-，0x >，则()1l n 1l n h x x x x x'=+⋅-=，令()0h x '=，得1x =，所以()h x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，所以()h x 得最小值为()11h =-，即()g a 的最小值为1-，此时a e =. 22．解：（1）设()11,x y 为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C 上的点(),x y ，则有1112x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩112cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩Q （θ为参数）2cos sin x y θθ=⎧∴⎨=⎩（θ为参数）2214x y ∴+= （2）2214220x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：20x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩所以()12,0p ，()20,1p ，则线段12p p 的中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，所求直线的斜率2k =，于是所求直线方程为()1212y x -=-，即4230x y --=. 化为极坐标方程得：4cos 2sin 30ρθρθ--=，即34cos 2sin ρθθ=-23．()3f x x x =+-=32,03,0323,3x x x x x -<⎧⎪≤≤⎨⎪->⎩得0325x x x <⎧⎨-≥+⎩或0335x x ≤≤⎧⎨≥+⎩或3235x x x >⎧⎨-≥+⎩，解得23x ≤-或x ∈∅或8x ≥，所以不等式的解集为2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦U [)8,+∞.（2）由（1）易知()3f x ≥，所以3m ≥，3n ≥.由于()()24m n mn +-+=224m mn n -+-=()()22m n --.且3m ≥，3n ≥，所以20m ->，20n -<，即()()220m n --<， 所以()24m n mn +<+.。

2020届河北衡水武邑中学高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．有下列说法：①若某商品的销售量y （件）关于销售价格x （元/件）的线性回归方程为$5350y x =-+，当销售价格为10元时，销售量一定为300件；②线性回归直线y bx a =+$$$一定过样本点中心(,)x y ；③若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1；④在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，与带状区域的宽度无关；⑤在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，2R 越接近于1，表示回归的效果越好；其中正确的结论有几个（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2x ∈-，2，则输出的y 值的取值范围是A ．52y ≤-或0y ≥ B ．223y -≤≤C ．2y ≤-或203y ≤≤D ．2y ≤-或23y ≥3．设A ，B ，U 是三个集合，且“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若向量,,a b c r r r ，满足//a b r r 且a c ⊥r r，则()2c a b ⋅+=r r r （ ）A ．4B ．3C ．2D ．05．设，满足约束条件，若目标函数（）的最大值为，则的图象向右平移后的表达式为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，且23BP BC =u u u v u u u v ，则AD AP u u u v u u u v⋅=（ ）A ．32 B ． 1C ．3D ．37．已知随机变量服从正态分布，若，则为（ ）A ．0.7B ．0.5C ．0.4D ．0.35 8．以下命题为真命题的个数为（ ）①若命题P 的否命题是真命题，则命题P 的逆命题是真命题 ②若a b 5+≠，则a 2≠或b 3≠③若p q ∨为真命题，p ￢为真命题，则()p q ∨￢是真命题 ④若[]1,4x ∃∈，220x x m ++>，则m 的取值范围是24m >-A ． 1B ． 2C ．3D ．49．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F B E G H 、、、、为过B EF 、、三点的面BMN 与正方体1111ABCD A B C D -的棱的交点，则下列说法错误的是（ ）A ．//HF BEB ．三棱锥的体积 14B BMN V -=C ．直线MN 与面11A B BA 的夹角是45oD ．11:1:3D G GC =11．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若,,m n αα‖‖则m n ‖B ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ‖ C ．若,,mm αβ‖‖则αβ‖ D ．若,,m n αα⊥⊥则mn ‖ 12．函数()2(1)cos 1xf x x e=-+（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年河北高考数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知抛物线C ：212y x = ，则C 的准线方程为 A ． 18x =B ．1-8x =C ．18y =D ．1-8y = 2．已知复数121z i=+ ，复数22z i =，则21z z -=A ．1BC ．．10 3．已知命题:(0,)ln xp x e x ∀∈+∞>，，则 A ．p 是假命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，B ．p 是假命题， :(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，C ．p 是真命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，D ．p 是真命题，:(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，4．已知圆台1O O 上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为 A ．8πB ．16πC ．26πD ．32π5．下列不等式成立的是A.66log 0.5log 0.7>B. 0.50.60.6log 0.5>C.65log 0.6log 0.5>D. 0.60.50.60.6>6.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：由上表制作成如图所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l 的方程为11ˆˆˆy b x a =+，其相关系数为1r ；经过残差分析，点（167，90）对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r .则下列选项正确的是 A ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <>< B ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <<> C ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r ><> D ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r >>< 7．函数()y f x =的导数()y f x '=仍是x 的函数，通常把导函数()y f x '=的导数叫做函数的二阶导数，记作()y f x ''=，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数一般地，n-1阶导数的导数叫做 n 阶导数，函数()y f x =的n 阶导数记为()n y fx =（），例如xy e =的n 阶导数()()n xx ee =．若()cos 2xf x xe x =+，则()500f =（）A ．49492+B ．49C ．50D ．50502-8．已知函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如下，12y =与其交于A ，B 两点. 若3AB π=，则ω=A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2020高考仿真模拟卷(四)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝3－x 2}，则M ∩N ＝( ) A ．[－3，3]B ．[－1，3] C ．∅D ．(－1，3] 答案 B解析 因为集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}，N ＝{x |y ＝3－x 2}＝{x |－3≤x ≤3}，则M ∩N ＝[－1，3]．2．设命题p ：∃x ∈Q,2x－ln x <2，则綈p 为( ) A ．∃x ∈Q,2x－ln x ≥2 B．∀x ∈Q,2x－ln x <2 C ．∀x ∈Q,2x－ln x ≥2 D．∀x ∈Q,2x－ln x ＝2 答案 C解析 綈p 为∀x ∈Q,2x－ln x ≥2. 3．若函数f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 设f (x )＝x α(α为常数)，∵满足f 4f 2＝3，∴4α2α＝3，∴α＝log 23.∴f (x )＝x log23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－log23＝13.4．已知下列四个命题：①存在a ∈R ，使得z ＝(1－i)(a ＋i)为纯虚数；②对于任意的z ∈C ，均有z ＋z －∈R ，z ·z －∈R ；③对于复数z 1，z 2，若z 1－z 2>0，则z 1>z 2；④对于复数z ，若|z |＝1，则z ＋1z∈R .其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，若z 为纯虚数，则a ＋1＝0，1－a ≠0，得a ＝－1，故①正确；②设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，那么z ＋z －＝2a ∈R ，z ·z －＝a 2＋b 2∈R ，故②正确；③令z 1＝3＋i ，z 2＝－2＋i ，满足z 1－z 2>0，但不满足z 1>z 2，故③不正确；④设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a ，b 不同时为0，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1，则z ＋1z＝a＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b ia 2＋b2＝2a ∈R ，故④正确． 5．关于直线a ，b 及平面α，β，下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥α，α∩β＝b ，则a ∥b B ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β C ．若a ⊥α，α∥β，则α⊥β D ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥α 答案 C解析 A 错误，因为a 不一定在平面β内，所以a ，b 有可能是异面直线；B 错误，若α⊥β，m ∥α，则m 与β可能平行，可能相交，也可能m 在β内；由直线与平面垂直的判断定理能得到C 正确；D 错误，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2＝( )A ．3B ．9C ．10D ．13 答案 C解析 因为a 6,3a 4，－a 5成等差数列，所以6a 4＝a 6－a 5，设等比数列{a n }的公比为q ，则6a 4＝a 4q 2－a 4q ，解得q ＝3或q ＝－2(舍去)，所以S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝10.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－2,0)，过点F 1作倾斜角为30°的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ，则椭圆的标准方程为( )A.y 28＋x 24＝1B.x 28＋y 24＝1C.y 216＋x 212＝1 D.x 216＋y 212＝1 答案 B解析 由左焦点为F 1(－2,0)，可得c ＝2，即a 2－b 2＝4，过点F 1作倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x ＋2)，圆心(0,0)到直线的距离d ＝233＋9＝1， 由直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ， 可得2b 2－1＝3b ，解得b ＝2，a ＝22， 则椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.8．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动．甲说：“乙去我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去．”以下推论可能正确的是( )A ．乙、丙两个人去了B ．甲一个人去了C ．甲、丙、丁三个人去了D ．四个人都去了 答案 C解析 因为乙说“丙去我就不去”，且丙一定去，所以A ，D 不可能正确．因为丁说“甲、乙中只要有一人去，我就去”，所以B 不可能正确．选C.9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的n ＝( )A ．50B ．53C ．59D ．62 答案 B解析 模拟程序运行，变量n 值依次为1229,1061,893,725,557,389,221,53，此时不符合循环条件，输出n ＝53.10．(2019·某某高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2 答案 C解析 ∵函数f (x )为奇函数，且|φ|<π，∴φ＝0. 又f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，解得ω＝2.∴f (x )＝A sin2x .由题意可得g (x )＝A sin x ，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2， 即A sin π4＝2，解得A ＝2.故f (x )＝2sin2x .∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.故选C.11．已知数列{a n }，定义数列{a n ＋1－2a n }为数列{a n }的“2倍差数列”，若{a n }的“2倍差数列”的通项公式为a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，且a 1＝2，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 33＝( )A ．238＋1 B ．239＋2 C ．238＋2 D ．239答案 B解析 根据题意，得a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，a 1＝2，∴a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差d ＝1的等差数列，∴a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n， ∴S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， ∴2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，∴－S n ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝－2＋2n ＋1－n ·2n ＋1＝－2＋(1－n )2n ＋1，∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2，S 33＝(33－1)×233＋1＋2＝239＋2.12．(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32 )>f (2－23 )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23 )>f (2－32 )C ．f (2－32 )>f (2－23 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D ．f (2－23 )>f (2－32 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314答案 C解析 因为f (x )是定义域为R 的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)．又因为log 34>1>2－23 >2－32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以f (log 34)<f (2－23 )<f (2－32)．故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校高一学生有720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项，且高二年级抽取65人，则该校高三年级学生人数是________．答案 660解析 根据题意，设高三年级抽取x 人， 则高一抽取(180－x －65)人， 由题意可得2(180－x －65)＝x ＋65， 解得x ＝55.高一学生有720人，则高三年级学生人数为720×55180－65－55＝660.14．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0，且z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)的最大值为4，则1m ＋1n的最小值为________．答案 2解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)过直线x ＝y 与直线2x －y ＝2的交点(2,2)时， 目标函数z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)取得最大值4， 即2m ＋2n ＝4，即m ＋n ＝2， 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，故1m ＋1n的最小值为2.15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9，且a ＋b ＝7，则该双曲线的离心率为________．答案 54解析 设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ， ∵PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9， ∴12mn ＝9，即mn ＝18， ∵在Rt △PF 1F 2中，根据勾股定理，得m 2＋n 2＝4c 2， ∴(m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝4c 2－36，结合双曲线的定义，得(m －n )2＝4a 2，∴4c 2－36＝4a 2，化简整理，得c 2－a 2＝9，即b 2＝9， 可得b ＝3.结合a ＋b ＝7得a ＝4，∴c ＝a 2＋b 2＝5，∴该双曲线的离心率为e ＝c a ＝54.16．已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ．若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为________．答案 2－4ln 2解析 因为f (x )<0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，f (x )>0恒成立，即对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a >2－2ln x x －1恒成立． 令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则l ′(x )＝2ln x ＋2x－2x －12，再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－21－xx 2<0，故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )>m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2>0， 从而l ′(x )>0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，所以l (x )<l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln 2，故要使a >2－2ln xx －1恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·某某某某模拟二)(本小题满分12分)交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基本保费)是a 元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：将这100险条例》汽车交强险价格为a ＝950元．(1)求m 的值，并估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数； (2)试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率． 解 (1)m ＝100－50－10－10－3－2＝25，3分估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数为5000×5100＝250.6分(2)解法一：保费不超过950元的类型有A 1，A 2，A 3，A 4，所求概率为50＋10＋10＋25100＝0.95.12分解法二：保费超过950元的类型有A 5，A 6，概率为3＋2100＝0.05，因此保费不超过950元的概率为1－0.05＝0.95.12分18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos x ，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．解 f (x )＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).4分所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).5分 (2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12可得，2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )，所以A ＝π3，7分又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，而AB →·AC →＝bc cos A ＝12bc ＝9，所以bc ＝18，9分所以cos A ＝12＝b ＋c 2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1，所以a ＝3 2.12分19．(2019·某某模拟)(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BCC 1B 1，∠BCC 1＝π3，AB ＝BB 1＝2，BC ＝1，D 为CC 1的中点．(1)求证：DB 1⊥平面ABD ； (2)求点A 1到平面ADB 1的距离． 解 (1)证明：在平面四边形BCC 1B 1中，因为BC ＝CD ＝DC 1＝1，∠BCD ＝π3，所以BD ＝1，又易知B 1D ＝3，BB 1＝2，所以∠BDB 1＝90°， 所以B 1D ⊥BD ，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥DB 1，3分所以B 1D 与平面ABD 内两相交直线AB 和BD 同时垂直， 所以DB 1⊥平面ABD .5分(2)对于四面体A 1－ADB 1，A 1到直线DB 1的距离，即A 1到平面BB 1C 1C 的距离，A 1到B 1D 的距离为2，设A 1到平面AB 1D 的距离为h ，因为△ADB 1为直角三角形，所以S △ADB 1＝12AD ·DB 1＝12×5×3＝152，所以V A 1－ADB 1＝13×152×h ＝156h ，7分因为S △AA 1B 1＝12×2×2＝2，D 到平面AA 1B 1的距离为32， 所以V D －AA 1B 1＝13×2×32＝33，9分因为V A 1－ADB 1＝V D －AA 1B 1，所以15h 6＝33， 解得h ＝255.所以点A 1到平面ADB 1的距离为255.12分20．(2019·某某师大附中模拟三)(本小题满分12分)已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋b 与轨迹C 交于两点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且|y 1－y 2|＝a (a ＞0，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD ，BD .试判断△ABD的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，则Q (－1，y )，∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，即2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，即y 2＝4x ，所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .4分(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，依题意，知k ≠0，且y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝4bk，由|y 1－y 2|＝a ，得(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝a 2， 即16k 2－16b k＝a 2，整理，得16－16kb ＝a 2k 2， 所以a 2k 2＝16(1－kb )，①7分 因为AB 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－bk k 2，2k ，所以点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k2，2k ，则S △ABD ＝12|DM |·|y 1－y 2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－bk k 2a ，9分由方程ky 2－4y ＋4b ＝0的判别式Δ＝16－16kb ＞0，得1－kb ＞0，所以S △ABD ＝12·1－bkk2·a ， 由①，知1－kb ＝a 2k 216，所以S △ABD ＝12·a 216·a ＝a332，又a 为常数，故S △ABD 的面积为定值.12分21．(2019·某某某某二模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋ln x －ax 2. (1)讨论函数f (x )的单调区间； (2)证明：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3.解 (1)f (x )＝1＋ln x －ax 2(x ＞0)， f ′(x )＝1－2ax2x，当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；2分 当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，f ′(x )＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，f ′(x )＜0，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.4分 (2)证法一：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3，即证2e 2·e xx －ln x ＞0，令φ(x )＝2e 2·e xx －ln x (x＞0)，φ′(x )＝2x －1e x －e 2x e 2x2，令r (x )＝2(x －1)e x －e 2x ，r ′(x )＝2x e x －e 2，7分 r ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，r ′(1)＜0，r ′(2)＞0，故存在唯一的x 0∈(1,2)使得r ′(x )＝0，∴r (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，∵r (0)＜0，r (2)＝0， ∴当x ∈(0,2)时，r (x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，r (x )＞0； ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝1－ln 2＞0，得证.12分证法二：要证xf (x )＜2e 2·e x －ax 3，即证2e 2·e xx 2＞ln x x ，令φ(x )＝2e 2·e xx 2(x ＞0)，φ′(x )＝2x －2exe 2x3，7分∴当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0. ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝12.令r (x )＝ln x x ，则r ′(x )＝1－ln xx2， 当x ∈(0，e)时，r ′(x )>0，当x ∈(e ，＋∞)时，r ′(x )＜0. ∴r (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴r (x )≤r (e)＝1e，∴φ(x )≥12＞1e ≥r (x )，∴2e 2·e xx 2>ln xx，得证.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，M 为曲线C 1上的动点，动点P 满足OP →＝aOM →(a >0且a ≠1)，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求曲线C 2的方程，并说明C 2是什么曲线；(2)在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，射线θ＝α与C 2的异于极点的交点为B ，已知△AOB 面积的最大值为4＋23，求a 的值．解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，由OP →＝aOM →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0，y ＝ay 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝xa ，y 0＝ya .∵M 在C 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧xa＝2＋2cos θ，ya ＝2sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋2a cos θ，y ＝2a sin θ(θ为参数)，消去参数θ得(x －2a )2＋y 2＝4a 2(a ≠1)，∴曲线C 2是以(2a,0)为圆心，以2a 为半径的圆.5分 (2)解法一：A 点的直角坐标为(1，3)， ∴直线OA 的普通方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0，设B 点的坐标为(2a ＋2a cos α，2a sin α)，则B 点到直线3x －y ＝0的距离d ＝a |23cos α－2sin α＋23|2＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋3，∴当α＝－π6时，d max ＝(3＋2)a ，∴S △AOB 的最大值为12×2×(3＋2)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分解法二：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2a )2＋y 2＝4a 2并整理得，ρ＝4a cos θ，令θ＝α得ρ＝4a cos α，∴B (4a cos α，α)，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB＝4a cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝a |2sin αcos α－23cos 2α|＝a |sin2α－3cos2α－3|＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－3.∴当α＝－π12时，S △AOB 取得最大值(2＋3)a ，依题意有(2＋3)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|3x －1|＋|3x ＋k |，g (x )＝x ＋4. (1)当k ＝－3时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)设k >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，都有f (x )≤g (x )，求k 的取值X 围． 解 (1)当k ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋4，x <13，2，13≤x ≤1，6x －4，x >1，故不等式f (x )≥4可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，6x －4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧13≤x ≤1，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x <13，－6x ＋4≥4.解得x ≤0或x ≥43，∴所求解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥43.5分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，由k >－1有，3x －1<0,3x ＋k ≥0，∴f (x )＝1＋k ，不等式f (x )≤g (x )可变形为1＋k ≤x ＋4，故k ≤x ＋3对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13恒成立， 即k ≤－k 3＋3，解得k ≤94，而k >－1，故－1<k ≤94.∴k 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，94.10分。

河北省武邑中学2020届高三下学期线上期中考试（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 4 页．考试结束后，将答题纸和机读卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，请认真核准准考证号、姓名和科目．2．每小题选出[答案]后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的[答案]标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他[答案]标号，在试题卷上作答无效．第Ⅰ卷：选择题（60分）一. 选择题：（本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{}1,2A =，{}|,,B x x a b a A b A ==+∈∈，则集合=B A Y （ ） A ．{1，2} B ．{1，2,3}C ．{1，2,4}D ．{1，2,3,4}2.设复数z 满足11=+z ii，则||z =（） A ．1B ．5C D ．2 3．已知等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，则公比q 的值为（） A ．1 B ．12-C ．1或12-D ．112-或 4．如图是一位发烧病人的体温记录折线图，下列说法不正确的是（）A ．病人在5月13日12时的体温是38℃B ．从体温上看，这个病人的病情在逐渐好转C ．病人体温在5月14日0时到6时下降最快D ．病人体温在5月15日18时开始逐渐稳定5．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题：①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥②若//m α，βn//，且//m n ，则//αβ ③若m α⊥，βn//，且m n ⊥，则αβ⊥④若m α⊥，βn//，且//m n ，则//αβ 其中正确的命题是（） A ．①③ B ．②④C ．③④D ．①6．定义21a a 122121b a b a b b -=，已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1110a x b y c ++=与直线2220a x b y c ++=平行”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．下列格式中正确的是（） A ．43tan77ππ> B ．1317tan tan 45ππ-<⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- C ．tan281tan665︒>︒ D ．tan4tan3>8．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从（）年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） A ．2020B ．2021C ．2022D ．20139．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（） A ．20i <，1S S i=-，2i i = B ．20i ≤，1S S i=-，2i i = C ．20i <，2SS =，1i i =+ D ．20i ≤，2SS =，1i i =+ 10．已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的两条渐近线分别与抛物线24y x =交于第一、四象限的A ，B 两点，设抛物线焦点为F ，若7cos 9AFB ∠=-，则双曲线的离心率为（） A 2B 3C 5D ．2211．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na n nb S =，则数列{}n b 的最小项为（） A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项12．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（） A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷：非选择题（90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若α，β为锐角，且4παβ+=，则()()1tan 1tan αβ++=__________；()()()()1tan11tan 21tan31tan 45++++=ooooL __________.14.若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，且()3,6-∈m ，则m x y z +=仅在点1(1,)2A -处取得最大值的概率为．15．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年.16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.三、解答题：共70分。