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常微分方程.第3版
1. 基本定义
常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是指一类
描述物理系统动态变化的数学方程，它们由一个或多个未知函数的一阶或多阶微分方程组成。
其中，未知函数是指满足方程组的未知函数，而微分方程是指描述物理系统动态变化的方程。
2. 分类
常微分方程可以分为一阶常微分方程、二阶常微分方程、高阶常微分方程、线性微分方程、非线性微分方程、常系数微分方程以及变系数微分方程等。
3. 应用
常微分方程在很多领域都有广泛应用，如物理学中的力学问题、电磁学问题、热力学问题等；数学中的概率论、优化理论、计算几何等；工程学中的控制系统设计、系统辨识等；生物学中的生物动力学、生态学等；经济学中的计量经济学、宏观经济学等。
高等数学概论易修教材目录第一章：导言1.1 数学的定义与发展1.2 高等数学的重要性第二章：函数与极限2.1 函数的概念与性质2.2 极限的定义与性质2.3 极限的运算法则与常用极限第三章：微分学3.1 导数的定义与性质3.2 高阶导数与导数的应用3.3 微分中值定理与泰勒展开第四章：积分学4.1 不定积分的定义与性质4.2 定积分的定义与性质4.3 牛顿-莱布尼茨公式与变限积分第五章：微分方程5.1 一阶常微分方程5.2 高阶常系数线性齐次微分方程 5.3 常系数线性非齐次微分方程解法第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的极限与连续性6.2 偏导数与全微分6.3 隐函数与参数方程第七章：多元函数积分学7.1 二重积分的定义与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分与曲线、曲面积分第八章：向量代数与空间解析几何 8.1 向量的定义与运算8.2 空间直线与平面的方程8.3 空间曲线与曲面的方程第九章：无穷级数9.1 数列的极限与性质9.2 级数的收敛与发散9.3 幂级数与泰勒级数第十章：常微分方程初步10.1 常微分方程的基本概念10.2 一阶线性常微分方程10.3 二阶线性常微分方程及应用第十一章：几何与解析几何基础11.1 矢量与线性变换11.2 直线与平面的位置关系11.3 空间曲线的参数方程与切线第十二章：多元函数微分学进阶12.1 多元函数的极值与条件极值12.2 隐函数与参数方程的微分学应用 12.3 多元函数的泰勒公式第十三章：多元函数积分学进阶13.1 重积分的计算方法与坐标变换 13.2 曲线、曲面积分的计算方法13.3 广义积分的收敛性与判定第十四章：曲线与曲面积分14.1 曲线的曲率与曲率半径14.2 曲线积分的计算方法与应用14.3 曲面积分的计算方法与应用第十五章：多元函数微分学综合应用 15.1 极值问题的应用15.2 曲线与曲面的参数化15.3 向量场与流量的应用第十六章：傅里叶级数与傅里叶变换 16.1 傅里叶级数的定义与性质16.2 傅里叶级数的计算与应用16.3 傅里叶变换与信号处理第十七章：线性代数初步17.1 行列式与矩阵的基本概念与性质 17.2 线性方程组与向量空间17.3 特征值与特征向量第十八章：数值计算方法初步18.1 数值计算的误差与有效数字 18.2 数值求解方程的方法18.3 矩阵运算与数值积分第十九章：概率论基础19.1 随机事件与概率的基本概念 19.2 条件概率与独立性19.3 随机变量与概率密度函数第二十章：数理统计基础20.1 统计量与样本分布20.2 参数估计与假设检验20.3 简单线性回归分析第二十一章：多元统计分析初步 21.1 样本相关与回归分析21.2 单因素方差分析21.3 多因素方差分析以上为《高等数学概论易修教材》的目录，希望本教材能够帮助学生快速掌握高等数学的基本概念与方法，提高数学素养和分析问题的能力。
大学高等数学基础教材目录第一章：导论1.1 数学的发展历程1.2 数学思维与数学语言1.3 数学的应用领域第二章：集合论与逻辑2.1 集合的基本概念与运算2.2 集合的性质与关系2.3 逻辑与命题2.4 命题的合取与析取2.5 谓词逻辑与量词第三章：数列与极限3.1 数列的定义与性质3.2 数列的极限概念3.3 极限的性质与运算3.4 数列的收敛与发散3.5 无穷大量与无穷小量第四章：连续性与一元函数4.1 函数的定义与性质4.2 一元函数的极限与连续性 4.3 初等函数与其性质4.4 反函数与复合函数4.5 函数的图像与性质第五章：全微分与微分运算5.1 全微分与偏导数5.2 多元函数的全微分5.3 隐函数与参数方程5.4 微分中值定理5.5 泰勒展开与高阶导数第六章：一元函数的微分学应用 6.1 函数的增减与极值6.2 函数的凹凸性与拐点6.3 泰勒展开的应用6.4 一元函数的曲线图形第七章：不定积分与定积分 7.1 不定积分的定义与性质 7.2 基本积分公式与换元法 7.3 定积分的定义与性质7.4 反常积分与广义积分7.5 积分中值定理与应用第八章：重积分与曲线积分 8.1 二重积分的定义与性质 8.2 二重积分的计算方法8.3 三重积分的定义与性质 8.4 三重积分的计算方法8.5 曲线积分与曲面积分第九章：无穷级数与函数级数 9.1 数项级数的收敛与发散 9.2 正项级数收敛的判定9.3 幂级数与常数项级数9.4 函数项级数的收敛性9.5 泰勒级数与函数逼近第十章：常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.2 一阶常微分方程10.3 高阶常微分方程10.4 欧拉方程与特解10.5 线性微分方程与变换第十一章：多元函数的微分学11.1 多元函数的偏导数11.2 多元函数的全微分11.3 隐函数与参数方程11.4 多元函数的极值与条件极值 11.5 多元函数的曲面图形第十二章：向量代数与线性代数12.1 向量的基本运算与性质12.2 向量的线性相关与线性无关 12.3 向量的内积与投影12.4 矩阵的基本运算与性质12.5 线性方程组与矩阵的秩第十三章：多元函数的积分学13.1 双重积分的定义与性质13.2 双重积分的计算方法13.3 三重积分的定义与性质13.4 三重积分的计算方法13.5 曲线积分与曲面积分的应用第十四章：级数与幂级数14.1 数项级数的审敛与发散14.2 正项级数的审敛法14.3 幂级数的收敛半径14.4 幂级数的求和运算14.5 幂级数的应用与展开第十五章：偏微分方程15.1 偏微分方程的基本概念15.2 一阶偏微分方程15.3 二阶线性偏微分方程15.4 常系数线性偏微分方程15.5 热方程与波动方程以上是《大学高等数学基础教材》目录的简要介绍，旨在为读者提供对该教材内容的整体把握和知识框架。
第十章 常微分方程第三十八讲 §10.1 可分离变量的微分方程方程教学目的：了解微分方程的概念；熟练掌握可分离变量微分方程方程的解法。
教学重点与难点：可分离变量的微分方程的解法。
教学过程：一、微分方程的基本概念定义 含有未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫做微分方程。
若未知函数是一元函数此方程叫做常微分方程,微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶;若某个函数代入微分方程能使该方程成为恒等式，这个函数就叫做该微分方程的解,微分方程的解中所含相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解, 确定常数后得到的解称为微分方程的特解。
把微分方程满足的条件(1)0000,,,,n x y y y -' 叫做初始条件。
例1 指出下列微分方程的阶数：x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 ,y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x ,y (n ) +1=0,例2 验证下列函数是否为所给微分方程的解：2210,55x y y y e -'+==+ ；解 2221010100x x y y e e --'+=-+＋＝因此255x y e -=+是微分方程210y y '+=的解。
例3一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 由2y x '＝ 有：2y x C =+x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. 得所求曲线方程 y =x 2+1.例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dtx d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0的特解.解 由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得C 1=A .再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , 得C 2=0.把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得x =A cos kt .二、可分离变量的微分方程方程：定义 形如d ()()d y f x g y x=的微分方程称为可分离变量的微分方程方程。
例5 求微分方程d 6d y xy x = 的通解。
解 分离变量有：d 6d y x x y= 两端积分：d 6d y x x y =⎰⎰可得：21ln 3y x C =+通解为：23x y Ce = （其中1CC e =±为任意常数）．例6 求下列微分方程的通解：d d 0y x x y -=． 解 由d d 0y x x y -=．有：d d y x y x= 积分，通解为：y Cx =例7 求微分方程221xy y x dx dy +++=的通解. 解 方程可化为)1)(1(2y x dxdy ++=, 分离变量得dx x dy y )1(112+=+, 两边积分得⎰⎰+=+dx x dy y )1(112, 即C x x y ++=221arctan . 于是原方程的通解为)21tan(2C x x y ++=.例8 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律.解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 的导数dtdM . 由于铀的衰变速度与其含量成正比, 故得微分方程M dtdM λ-=, 其中λ(λ>0)是常数, λ前的曲面号表示当t 增加时M 单调减少. 即0<dt dM . 初始条件为M |t =0=M 0.将方程分离变量得dt M dM λ-=. 两边积分, 得⎰⎰-=dt M dM )(λ, 即 ln M =-λt +ln C , 也即M =Ce -λt .由初始条件, 得M 0=Ce 0=C ,所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M =M 0e -λt .作业：习题10.1：1（3）（4）（5）第三十九讲 §10.2 一阶线性微分方程教学目的：1.了解齐次方程的概念，会解齐次方程，并从中领会用变量代换求解方程的思想。
2．了解一阶线性微分方程的概念，熟练掌握一阶线性方程的解法；3．会解伯努利方程并从中领会用变量代换求解方程的思想。
教学重点与难点：重点：齐次方程的求解;一阶非齐次线性微分方程的求解。
难点：伯努利(Bernoulli)方程的求解。
教学过程：一、齐次方程形如 d ()d y y x xϕ= 的方程，称为齐次方程。
在齐次方程d ()d y y x x ϕ=中，令 y u x = ，化简并整理有d d ()u x u u x ϕ=-⎰⎰ 求出积分后，再以y x代替u ，即可求得齐次方程的通解。
例1解方程dx dy xy dx dy x y =+22. 解 原方程可写成 1)(222-=-=x y x y x xy y dx dy , 令u x y =, 则y =ux ,dxdu x u dx dy +=, 原方程变为 12-=+u u dx du x u , 即 1-=u u dx du x . 分离变量, 得xdx du u =-)11(. 两边积分, 得u -ln|u |+C =ln|x |, 例2 求下列微分方程得通解：d ln d y y x y x x= 例3 求微分方程2y x y x y '=+满足初始条件16x y ==的特解。
二、一阶线性微分方程定义 形如 d ()()d y P x y Q x x+= （1） 的方程称为一阶线性微分方程。
如果()0Q x ≡，则称为一阶线性齐次微分方程；如果()Q x 不恒等于零，则称为一阶线性非齐次微分方程。
首先，对一阶线性齐次微分方程： d ()0d y P x y x+= （2）可分离变量 有：d ()d y P x x y=- 解得： ()d P x x y Ce -⎰=此为方程（2）通解 令：()d P x x y ue -⎰= ， 代入（1）可解得：()d ()d P x x u Q x e x C ⎰=+⎰ 因此，非齐次微分方程d ()()d y P x y Q x x+=的通解为： ()d ()d (()d )P x x P x x y e Q x e x C -⎰⎰=+⎰例1 求微分方程2d 2d x y xy e x -+=的通解。
解 令：d 20d y xy x+= 解得：2x y Ce -=用常数变易法，令：2x y ue-= 带入2d 2d x y xy e x-+=，化简，有： 1u '=，即u x C =+通解为：2()x y x C e -=+．例2 求下列微分方程的通解：d 26d y x y x x+= 解 令 d 20d y x y x+= 解得：2x y Ce -= 令：2x y ue -= 代入d 26d y xy x x+=，化简后解得：23x u e C =+ 通解为：23x y Ce -=+例3 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解. 解：方程012=+-x y dx dy 分离变量得 12+=x dx y dy , 两边积分得 ln y =2ln (x +1)+ln C ,齐次线性方程的通解为 y =C (x +1)2.令y =u ⋅(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得2522)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u 21)1(+='x u ,两边积分, 得C x u ++=23)1(32. 所求方程的通解为 ])1(32[)1(232C x x y +++=.作业：习题10.2：2（5）（6）（8）第四十讲 §10.3 常见一些微分方程解法教学目的：会用降阶法解下列方程： (,)y f x y '''=, (,)y f y y '''=及二阶常系数齐次线性微分方程教学重点与难点：二阶微分方程(,)y f x y '''=及(,)y f y y '''=的求解；教学过程：先看一个例子：质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数:F =F (t ). 在开始时刻t =0时F (0)=F 0, 随着时间t 的增大, 此力F 均匀地减小, 直到t =T 时, F (T )=0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.解 设x =x (t )表示在时刻t 时质点的位置, 根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为)(22t F dtx d m =. 由题设, 力F (t )随t 增大而均匀地减小, 且t =0时, F (0)=F 0, 所以F (t )=F 0-kt ; 又当t =T 时, F (T )=0, 从而 )1()(0TtF t F -=.)1(022T t m F dtx d -=, 其初始条件为0|0==t x , 0|0==t dt dx . 把微分方程两边积分, 得120)2(C Tt t m F dt dx +-=. 再积分一次, 得21320)621(C t C Tt t m F x ++-=. 由初始条件x |t =0=0, 0|0==t dt dx , 得C 1=C 2=0.于是所求质点的运动规律为)621(320Tt t m F x -=, 0≤t ≤T . 有许多可降阶的微分方程，现在主要学两类：一 求解(,)y f x y '''=型的微分方程由于方程 (,)y f x y '''=得右端不显含未知函数y ，因此设y p '=，有：(,)p f x p '=设其通解为 1(,)p x C ϕ=，因 d d y p y x'==，因此方程 (,)y f x y '''=的通解为 12(,)d y x C x C ϕ=+⎰．例1 求方程 x y y''='满足初始条件 (1)1,(1)1y y '=-=的特解。
解 设y p '=，原方程化为d d p x x p= 则 221p x C =+ 由 (1)1y '=，知 10C =因此，有：d d y x x = 得 2212y x C =+ 由 (1)1y =- ，知 232C =- 因此，特解为：21(3)2y x =-。
