数字信号处理课后答案-史林版-科学出版社

第一章 作业题 答案############################################################################### 1.2一个采样周期为T 的采样器，开关导通时间为()0T ττ<<，若采样器的输入信号为()a x t ，求采样器的输出信号()()()a a x t x t p t ∧=的频谱结构。

式中()()01,()0,n p t r t n t r t ττ∞=-∞=-≤≤⎧=⎨⎩∑其他解：实际的采样脉冲信号为：()()n p t r t n τ∞=-∞=-∑其傅里叶级数表达式为：()000()jk tn p t Sa k T eTωωτω∞=-∞=∑采样后的信号可以表示为：()()()ˆa a xt x t p t δ= 因此，对采样后的信号频谱有如下推导：()()()()()()()()()()()()()0000000000000ˆˆsin 1j t a a jk t j t a n jk t j t a k j k ta k ak a k X j x t e dtx t Sa k T e e dtTSa k T x t e e dtTSa k T x t edtTSa k T X j jk Tk T X j jk T kωωωωωωωωτωωτωωτωωτωωωωωω∞--∞∞∞--∞=-∞∞∞--∞=-∞∞∞---∞=-∞∞=-∞∞=-∞Ω=====-=-⎰∑⎰∑⎰∑⎰∑∑%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1.5有一个理想采样系统，对连续时间信号()a x t 进行等间隔T 采样，采样频率8s πΩ=rad/s ，采样后所得采样信号()a x t ∧经理想低通滤波器()G j Ω进行恢复，已知()41/4,,4G j ππ⎧Ω≤⎪Ω=⎨Ω>⎪⎩今有两个输入信号12()cos(2)()cos(5)a a x t t x t t ππ==和，对应的输出信号分别为12()()a a y t y t 和，如题1.5图所示，问12()()a a y t y t 、有没有失真，为什么？题1.5图 理想采样系统与恢复理想低通滤波器解：因为是理想采样系统，因此采样后的信号频谱可以表示为：()()1ˆa a s k X j X j jk T ∞=-∞Ω=Ω-Ω∑8s πΩ=，12πΩ=，25πΩ=，折叠频率为2s Ω，而滤波器对4πΩ≤的信号通过，因此有如下图：结论：1）1()a y t 不失真、2()a y t 失真。

第一章 作业题 答案############################################################################### 1.2一个采样周期为T 的采样器，开关导通时间为()0T ττ<<，若采样器的输入信号为()a x t ，求采样器的输出信号()()()a a x t x t p t ∧=的频谱结构。

式中()()01,()0,n p t r t n t r t ττ∞=-∞=-≤≤⎧=⎨⎩∑其他解：实际的采样脉冲信号为：()()n p t r t n τ∞=-∞=-∑其傅里叶级数表达式为：()000()jk tn p t Sa k T eTωωτω∞=-∞=∑采样后的信号可以表示为：()()()ˆa a xt x t p t δ= 因此，对采样后的信号频谱有如下推导：()()()()()()()()()()()()()0000000000000ˆˆsin 1j t a a jk t j t a n jk t j t a k j k ta k ak a k X j x t e dtx t Sa k T e e dtTSa k T x t e e dtTSa k T x t edtTSa k T X j jk Tk T X j jk T kωωωωωωωωτωωτωωτωωτωωωωωω∞--∞∞∞--∞=-∞∞∞--∞=-∞∞∞---∞=-∞∞=-∞∞=-∞Ω=====-=-⎰∑⎰∑⎰∑⎰∑∑%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1.5有一个理想采样系统，对连续时间信号()a x t 进行等间隔T 采样，采样频率8s πΩ=rad/s ，采样后所得采样信号()a x t ∧经理想低通滤波器()G j Ω进行恢复，已知()41/4,,4G j ππ⎧Ω≤⎪Ω=⎨Ω>⎪⎩今有两个输入信号12()cos(2)()cos(5)a a x t t x t t ππ==和，对应的输出信号分别为12()()a a y t y t 和，如题1.5图所示，问12()()a a y t y t 、有没有失真，为什么？题1.5图 理想采样系统与恢复理想低通滤波器解：因为是理想采样系统，因此采样后的信号频谱可以表示为：()()1ˆa a s k X j X j jk T ∞=-∞Ω=Ω-Ω∑8s πΩ=，12πΩ=，25πΩ=，折叠频率为2s Ω，而滤波器对4πΩ≤的信号通过，因此有如下图：结论：1）1()a y t 不失真、2()a y t 失真。

部分练习题参考答案第二章2.1 )1(2)(3)1()2(2)(-+++-+=n n n n n x δδδδ)6()4(2)3()2(-+-+-+-+n n n n δδδδ2.2 其卷积过程如下图所示)5(5.0)4()3()2(5.2)1(5)(2)(-------+-+=n n n n n n n y δδδδδδ2.3 （1）3142,73==ωππω这是有理数，因此是周期序列。

周期N =14。

（2）k kp ππ168/12==，k 取任何整数时，p 都不为整数，因此为非周期序列。

（3）k kp k k p 45.02,5126/5221====ππππ，当p 1，p 2 同时为整数时k =5,x (n )为周期序列,周期N =60。

（4）k kp πππ25.16.12==，取k =4，得到p =6，因此是周期序列。

周期N =6。

2.4 （1） ∑∞-∞=-=*=m m n R m Rn h n x n y )()()()()(45(a) 当n <0 时，y (n )=0-0.5 -1 2.55h (m ) x (m ) 00 mm-121 0.51 2 h (0-m)m-121 h (-1-m)m-12 1h (1-m) 0m-121y (n )n-12(b) 当30≤≤n 时，11)(0+==∑=n n y nm(c) 当74≤≤n 时，n n y n m -==∑-=81)(34(d) 当n>7时，y (n )=0所以74307081)(≤≤≤≤><⎪⎩⎪⎨⎧-+=n n n n n n n y 或 （2）)2(2)(2)]2()([)(2)(444--=--*=n R n R n n n R n y δδ )]5()4()1()([2-----+=n n n n δδδδ（3）∑∞-∞=--=*=m mn m n u m Rn y n x n y )(5.0)()()()(5∑∞-∞=--=m mnm n u m R )(5.0)(5.05(a) 当n <0 时，y (n )=0(b) 当40≤≤n 时，nn nnm mnn y 5.0221215.05.05.0)(1-=--==+=-∑(c) 当5≥n 时，nnm mnn y 5.03121215.05.05.0)(54⨯=--==∑=-最后写成统一表达式：)5(5.031)()5.02()(5-⨯+-=n u n R n y nn（4）∑∞-∞=-=*=m mn m Rn h n x n y 5.0)()()()(3(a) 当n ≤0 时，y (n )=0(b) 当31≤≤n 时，nnnn m mnn y 5.0121215.05.05.0)(1-=--==∑-=- (c) 当54≤≤n 时，25.05.01621)21(25.05.05.0)(6232-⨯=--==---=-∑nnn nn m mnn y(d) 当n ≥6时，y (n )=0)5(25.0)4(75.0)3(875.0)2(75.0)1(5.0)(-+-+-+-+-=n n n n n n y δδδδδ2.6 （1）非线性、移不变系统（2）线性、移不变系统 （3）线性、移变系统 （4）非线性、移不变系统 （5）线性、移变系统2.7 （1）若∞<)(n g ，则稳定，因果，线性，时变（2）不稳定，0n n ≥时因果，0n n <时非因果，线性，时不变 （3）线性，时变，因果，不稳定 2.8 （1）因果，不稳定（2）因果，稳定（3）因果，稳定 （4）因果，稳定 （5）因果，不稳定 （6）非因果，稳定 （7）因果，稳定 （8）非因果，不稳定 （9）非因果，稳定 （10）因果，稳定2.9 因为系统是因果的，所以0)(,0=<n h n令)()(n n x δ=，)1(5.0)()1(5.0)()(-++-==n x n x n h n h n y 1)1(5.0)0()1(5.0)0(=-++-=x x h h15.05.0)0(5.0)1()0(5.0)1(=+=++=x x h h 5.0)1(5.0)2()1(5.0)2(=++=x x h h25.0)2(5.0)3()2(5.0)3(=++=x x h h 15.0)1(5.0)()1(5.0)(-=-++-=n n x n x n h n h所以系统的单位脉冲响应为)1(5.0)()(1-+=-n u n n h n δ 2.10 （1）初始条件为n <0时，y (n )=0设)()(n n x δ=，输出)(n y 就是)(n h 上式可变为)()1(5.0)(n n h n h δ+-=可得 11)1(5.0)0(=+-=h h 依次迭代求得5.00)0(5.0)1(=+=h h25.00)1(5.0)2(=+=h hnn h n h 5.00)1(5.0)(=+-=故系统的单位脉冲响应为)(5.0)(n u n h n= （2）初始条件为n ≥0时，y (n )=0)]()([2)1(n x n y n y -=-0,0)(≥=n n h2)]0()0([2)1(-=-=-x h h22)]1()1([2)2(-=---=-x h h 32)]2()2([2)3(-=---=-x h hnn h n h 2)1(2)(-=+=所以)1(2)(---=n u n h n2.11 证明（1）因为∑∞-∞=-=*m m n h m x n h n x )()()()(令m n m -='，则)()()'()'()()('n x n h m h m n x n h n x m *=-=*∑∞-∞=（2）利用（1）证明的结果有)]()([)()]()([)(1221n h n h n x n h n h n x **=**∑∞-∞=-*-=m m n h m n hm x )]()()[(12 ∑∑∞-∞=∞-∞=--=m k k m n h k hm x )()()(12交换求和的次序有∑∑∞-∞=∞-∞=--=**k m k m n hm x k h n h n h n x )()()()]()([)(1221∑∞-∞=-*-=k k n h k n x k h)]()()[(12)]()([)(12n h n x n h **=)()]()([21n h n h n x **=（3）∑∞-∞=-+-=+*m m n h m n hm x n h n h n x )]()()[()]()([)(2121∑∑∞-∞=∞-∞=-+-=m m m n hm x m n h m x )()()()(21)()()()(21n h n x n h n x *+*=2.12 ∑∞-∞=--=*=m mn Nm n u am Rn y n x n y )()()()()(∑∞-∞=--=m mNnm n u am Ra)()((a) 当n <0 时，y (n )=0(b) 当10-≤≤N n 时，11/11)/1(1)(11--=--==++=-∑a aa a aaan y n n nnm mn(c) 当N n ≥时，1)/1(1)/1(1)(111--=--==+-+-=-∑a aaa a aaan y N n n NnN m mn最后写成统一表达式：)(1)(11)(111N n u a aa n R a an y N n n N n ---+--=+-++2.13 )]4()([*)()()()(11--=*=n n n u n h n x n y δδ)()4()(4n R n u n u =--=)()()()()(421n u a n R n h n y n y n*=*= )4(1)(113141---+--=-++n u a aan R a an n n2.14 （1）采样间隔为005.0200/1==T)()82sin()(ˆ0nT t nT f t xn a -+=∑∞-∞=δππ)()8100sin(nT t nT n -+=∑∞-∞=δππ （2）)85.0sin()(ππ+=n n x数字频率πω5.0=，42=ωπ，周期N =42.15 （1）0)()(0n j n nj j eenn eX ωωωδ-∞-∞=-=-=∑（2）∑∑∞=-+-∞-∞=-==)(0)()(n nj n j n nj j eeen x eX ωωαωω∑∞=--=0)(0n nj eeωωα)(01ωωα---=j ee（3）∑∑∑∞=+-∞=--∞-∞=-===0)(0)()(n nj n nj nn nj j eeeen x eX ωαωαωω)(11ωαj e+--=（4）∑∑∞=--∞-∞=-==00cos )()(n nj nn nj j ne een x eX ωαωωω∑∑∞=----+---∞=-+=+=)()(0][21)(210000n nj j nj j nj nj nj n neeeeeeωωαωωαωωωααωαωαωωωαωωαωω2200)()(cos 21cos 111112100------+----+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=e e e e e e eeee j j j j j （5）nj N N n n nj j e n N en x eX ωωωπ--=∞-∞=-∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+==12cos 1)()( ∑∑-=---=-++=1212)(21N Nn nj nNjnNjN Nn nj eeeeωππω⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--+--=+-+-+-------)()()()()()(1)1(1)1(211)1(ωπωπωπωπωπωπωωωNj NNj NNj Nj NN j NNj j Nj Nj eeeeee eee-0.92-0.380.920.38x (n ) 0nωωωωωωππωωN jj j j N j eN e eNeN eN 232)123()2cos(cos21cos12sin)2sin(------+--+=2.16 （1）⎰⎰⎰-==--πωπωππωωωπωπωπ2121)(21)(d jed jed eeH n h nj nj nj j⎪⎩⎪⎨⎧=--=为奇数为偶数n n n n nππ20)1(1（2）)sin()()()(011n n h n x n y ω=*=)cos()()()(022n n h n x n y ω-=*=2.17 （1）)(ωj e X -*（2）)]()([21ωωj j eX eX -*+（3）)]()([2122ωωjje X eX -+（4）)(2ωj eX2.18采样间隔为25.0=T ，采样频率π8=Ωs)(1t y a 没有失真，因为输入信号的频率π21=Ω小于π42=Ωs)(2t y a 失真，因为输入信号频率π52=Ω大于π42=Ωs第三章3．1 设)(ωj eX 和)(ωj eY 分别是)(n x 和)(n y 的傅里叶变换，试求下列序列的傅里叶变换： （1）)(0n n x - （2） )(*n x （3） )(n x - （4） )(*)(n y n x （5） )()(n y n x ∙ （6） )(n nx（7） )2(n x （8）)(2n x（9）⎩⎨⎧===奇数，偶数n n n x n x 0),2()(9解：（1） FT[)(0n n x -]=∑∞-∞=--n nj enn x ω)(0令0n n n -='，0n n n +'=，则FT[)(0n n x -]=)()(00)(ωωωj n j n n n j eX een x -∞-∞=+''-='∑（2） FT[)(*n x ]=)(*])([)(**ωωωj n nj n nj eX en x en x-∞-∞=-∞-∞=-∑∑==（3） FT[)(n x -]=∑∞-∞=--n nj en x ω)(令n n -='，则FT[)(n x -]=∑∞-∞=''n n j en x ω)()(ωj eX -=（4） FT[)(*)(n y n x ]=)(ωj e X )(ωj e Y证明 )(*)(n y n x =∑∞-∞=-m m n y m x )()(FT[)(*)(n y n x ]=∑∑∞-∞=-∞-∞=-n nj m em n y m x ω)]()([令m n k -=，则FT[)(*)(n y n x ]=mj k kj m eek y m x ωω-∞-∞=-∞-∞=∑∑)]()([=mj k m kj em x ek y ωω-∞-∞=∞-∞=-∑∑)()(=)(ωj eX )(ωj eY（5） FT[)()(n y n x ∙] =∑∞-∞=-n nj en y n x ω)()(=∑⎰∞-∞=-'-''n nj nj j ed eeY n x ωωππωωπ])(21)[(=ωπωωππω'∑⎰∞-∞='---'d en x e Y n nj j )()()(21=ωπωωππω''--'⎰d eX eY j j )()(21)(或者 FT[)()(n y n x ]=)(*)(21ωωπj j e Y eX（6） 因为∑∞-∞=-=n nj j en x e X ωω)()(，对该式两边对ω求导，得到j en nx jd e dX n nj j -=-=∑∞-∞=-ωωω)()(FT[)(n nx ]因此 FT[)(n nx ]=ωωd e dX jj )(（7） FT[)2(n x ]=∑∞-∞=-n nj en x ω)2(令n n 2='，则FT[)2(n x ]=∑''-'取偶数n n j en x 2)(ω=nj nn en x n x ω21)]()1()([21-∞-∞=-+∑=])()([212121nj n nj nj n e n x een x ωπω-∞-∞=-∞-∞=∑∑+=)]()([21)21(21πωω-+j j eX eX或者FT[)2(n x ]=)()]()([21212121ωωωj j j eX eX eX =+（8） FT[)(2n x ]=∑∞-∞=-n nj en xω)(2利用（5）题结果，令)()(n y n x =，则FT[)(2n x ]=)(*)(21ωωπj j eX eX =ωπωωππω''--'⎰d eX eX j j )()(21)(（9） FT[)(9n x ]=∑∞-∞=-取偶数n n nj en x ω)2( 令∞≤'≤∞-='n n n ,2，则FT[)(9n x ]=)()(22ωωj n n n j eX en x ='∑∞-∞='-取偶数3．2 已知⎩⎨⎧≤<<=πωωωωω||,0||,1)(00j eX求)(ωj e X 的傅里叶反变换)(n x 。

数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。

解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。

解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。

（2）()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。

（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。

（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。

3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。

解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。

5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

第3章 离散时间信号与系统时域分析3．1画出下列序列的波形（2）1()0.5(1)n x n u n -=- n=0:8; x=(1/2).^n;n1=n+1; stem(n1,x);axis([-2,9,-0.5,3]); ylabel('x(n)'); xlabel('n');(3) ()0.5()nx n u n =-（）n=0:8; x=(-1/2).^n;stem(n,x);axis([-2,9,-0.5,3]); ylabel('x(n)'); xlabel('n');3.8 已知1,020,36(),2,780,..n n x n n other n≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪⎩,14()0..n n h n other n≤≤⎧=⎨⎩，求卷积()()*()y n x n h n =并用Matlab 检查结果。

解：竖式乘法计算线性卷积： 1 1 1 0 0 0 0 2 2）01 2 3 4）14 4 4 0 0 0 0 8 83 3 3 0 0 0 0 6 62 2 2 0 0 0 0 4 41 1 1 0 0 0 02 21 3 6 9 7 4 02 6 10 14 8）1x (n )nx (n )nMatlab 程序:x1=[1 1 1 0 0 0 0 2 2]; n1=0:8; x2=[1 2 3 4]; n2=1:4; n0=n1(1)+n2(1);N=length(n1)+length(n2)-1; n=n0:n0+N-1; x=conv(x1,x2); stem(n,x);ylabel('x(n)=x1(n)*x2(n)');xlabel('n'); 结果：x = 1 3 6 9 7 4 0 2 6 10 14 83.12 (1) 37πx （n ）=5sin(n) 解：2214337w πππ==，所以N=14 (2) 326n ππ-x （n ）=sin()-sin(n)解：22211213322212,2122612T N w T N w N ππππππ=========，所以(6) 3228n π-x （n ）=5sin()-cos(n) 解：22161116313822222()T N w T w x n ππππππ=======，为无理数，所以不是周期序列所以不是周期序列3.20 已知差分方程2()3(1)(2)2()y n y n y n x n --+-=，()4()nx n u n -=，(1)4y -=，(2)10,y -=用Mtalab 编程求系统的完全响应和零状态响应，并画出图形。

第三章作业题 答案作业：%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.2设()j X e ω是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义及性质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。

（4）()(2)g n x n =解：利用DFT 的定义进行求解。

()22()()(2)()j j nn j nn jmm j G eg n ex n ex m eX eωωωωω+∞-=-∞+∞-=-∞+∞-=-∞====∑∑∑（这是一种错误的解法，正确的如下所示。

）()()()()()()2222222()()2(2)()1()1()21()()211221122j j nn j nj m n m n j nn jn j n n j j j j G eg n em nx n e x m ex n x n e x n e x n e X e X eX eX eωωωωωπωωπωωω+∞-=-∞+∞+∞--=-∞=-∞+∞-=-∞+∞-=-∞+====⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦=+=+-∑∑∑∑∑（注意，此处n 为奇数的项为零。

）%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.3试求以下各序列的离散时间傅里叶变换。

501()()(3)4nm x n n m δ∞==-∑解：利用DTFT 的定义和性质进行求解。

()50030()1()(3)41()(3)41()41114j j nn nj nn m nj nm n j mm j X ex n en m en m eeeωωωωωωδδ+∞-=-∞+∞∞-=-∞=+∞+∞-==-∞+∞-=-==-=-==-∑∑∑∑∑∑%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3.4设()x n 是一有限长序列，已知0,1,2,3,4,51,2,0,3,2,1;()0,n x n =--⎧=⎨⎩其它它的离散时间傅里叶变换为()j X e ω。

第六章练习题答案%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6.3 设计一个满足下列指标要求的模拟低通巴特沃斯滤波器，并求出其系统函数的极点。

通带截止频率 2.1p f kHZ =，阻带截止频率8s f kHZ =，通带最大衰减0.5p dB α=，阻带最小衰减30s dB α=。

解：巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤为：（1）根据模拟滤波器的设计指标p α,p Ω和s α,s Ω，由()式确定滤波器的阶数N 。

（2）由()式确定滤波器的3dB 截止频率c Ω。

（3）按照()式，求出N 个极点(1,2,,)k p k N =，将极点k p 代入式得滤波器的系统函数()a H s 。

****************2p p f πΩ= 2s s f πΩ= 取4N =3dB 截止频率： 去归一化()()a n cs H s H =Ω %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6.10 利用二阶模拟低通巴特沃斯滤波器，设计一个中心频率为020/rad s Ω=，通带3dB 带宽为4/B rad s =的模拟带通滤波器。

解: 根据滤波器的阶数N ，直接查表 6.3.1，得到归一化（1c Ω=）的极点(1,2,,)k p k N =和归一化的系统函数然后利用(6.3.9)式，得到3dB 截止频率为c Ω的巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数()a H s 。

()()a n c H s H s =Ω (6.3.9)*********************%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6.12 设模拟滤波器的系统函数为：用脉冲响应不变法将()a H s 转换成数字滤波器的系统函数()H z ，并确定数字滤波器在ωπ=处的频谱混叠失真幅度与采样间隔T 的关系。

第八章练习题答案%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 8.1 设线性时不变系统的输入序列为()x n ，输出序列为()y n ，其差分方程为 311()(1)(2)()(1)483y n y n y n x n x n =---++- 求其系统函数()H z ，并分别画出该系统的直接型、级联型和并联型算法结构。

解：移项 311()(1)(2)()(1)483y n y n y n x n x n --+-=+- Z 变换 121311()()()()()483y z y z z y z z x z x z z ----+=+112113()31148z H z z z---+=--+ （1） 直接型 112113()31148z H z z z---+=--+ （2） 级联型111113()11(1)(1)24z H z z z ---+=-- （3） 并联型，将()H z 进行部分分式展开1()31111()()()()2424z H z A Bz z z z z +==+---- 111103()11223()()24z A z z z z +=-==--11173()11443()()24z B z z z z +=-==---111071073333()1111()()112424z z H z z z z z ----=+=+----%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 8.6 题8.6图画出了10中不同的系统算法结构流图，试分别求出它们的系统函数()H z 。

()x n ()y n (a)11()1H z az -=- 直接1型 1110.5()10.3H z z --+=-直接2型1-1-()x n ()y n (c)12()H z a bz cz --=++ 直接1型 1111()11H z az bz--=+-- 并联型，内直接1型 ()x n ()y n (e)11220.24()10.250.2z H z z z ---+=-- 转置型 1111()10.510.75H z z z --=-+ 级联型 直接1型()x n ()y n (g)()x n ()y n (b)()x n ()yn (d)()x n ()y n(f)()x n ()y n (h)11210.25()10.250.4zH z z z ---+=-+直接2型 1123sin 4()312cos 4z H z z z---=-+直接分析图 ()x n ()y n 1a 1b 2a 2b 3a 1z-1z-1z -(i)120121211231()11b b z b z H z a z a z a z-----++=--- 级联型 直接2型，右边分子项 常数项不加负号 直接1型 右边分母项 常数项加负号12101234121123()11b b z b z b b z H z a z a z a z ------+++=+--- 并联型 直接2型 题8.6图 10种不同系统的算法结构%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 8.14 已知FIR 数字滤波器的系统函数为 12341()(10.9 2.10.9)10H z z z z z ----=++++ 试画出该滤波器的直接型算法结构和线性相位算法结构。

数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础有一个理想采样系统,其采样角频率Ωs =6π,采样后经理想低通滤波器H a j Ω还原,其中⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ30321)(，，j H a 现有两个输入,x 1t =cos2πt ,x 2t =cos5πt ;试问输出信号y 1t ,y 2t 有无失真为什么分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号,则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍,即满足Ωs ≥2Ωh ; 解：已知采样角频率Ωs =6π,则由香农采样定理,可得 因为x 1t =cos2πt ,而频谱中最高角频率πππ32621=<=Ωh ,所以y 1t 无失真；因为x 2t =cos5πt ,而频谱中最高角频率πππ32652=>=Ωh ,所以y 2t 失真;设模拟信号xt =3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ,求： （1） 该信号的最小采样频率；（2） 若采样频率f s =5000Hz,其采样后的输出信号； 分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解;错误!采样定理采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍,即f s ≥2f m错误!采样公式)()()(s nT t nT x t x n x s===解：1在模拟信号中含有的频率成分是f 1=1000Hz,f 2=3000Hz,f 3=6000Hz∴信号的最高频率f m =6000Hz由采样定理f s ≥2f m ,得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz 2由于采样频率f s =5kHz,则采样后的输出信号⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nTt s522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见,采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分,即kHzf f f kHzf f f ss 25000200052150001000512211======，，若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号,则恢复后的模拟信号()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=可见,恢复后的模拟信号yt 不同于原模拟信号xt ,存在失真,这是由于采样频率不满足采样定理的要求,而产生混叠的结果;第三章 傅里叶分析I. 傅里叶变换概述习题设序列xn=δn-m ,求其频谱Xe j ω,并讨论其幅频和相频响应 分析：求解序列的频谱有两种方法：错误!先求序列的z 变换Xz ,再求频谱ωωj e z j z X eX ==)()(,即Xe j ω为单位圆上的z 变换；错误!直接求序列的傅里叶变换∑∞-∞=-=n nj j en x e X ωω)()(解：对序列xn 先进行z 变换,再求频谱,得m z m n ZT n x ZT z X -=-==)]([)]([)(δ则ωωωjm e z j e z X e X j -===)()(若系统的单位采样响应hn=xn ,则系统的频率响应)}(exp{)(1)()(ωϕωωωωωj e H e e e X e H j jm jm j j ====--•故其幅频和相频响应如图分别为幅频响应 1)(=ωj e H 相频响应 ωωϕm -=)(由图可见,该系统的频率响应具有单位幅值以及线性相位的特点; 设xn 的傅里叶变换为Xe j ω,试利用Xe j ω表示下列序列的傅里叶变换：（1）)1()1()(1n x n x n x --+-= （2） )]()([21)(2n x n x n x -+=*分析：利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解,即)()(ωj e X n x ⇔,)()(ωj e X n x -⇔-)()(ωωj m j e X e n m x --⇔- 解：1由于)()]([ωj e X n x DTFT =,)()]([ωj e X n x DTFT -=-,则)()]1([ωωj j e X e n x DTFT --=- )()]1([ωωj j e X e n x DTFT -=--故ωωωωωcos )(2])[()]([1j j j j e X e e e X n x DTFT ---=+= 2由于)()]([ωj e X n x DTFT **=-故)](Re[2)()()]([2ωωωj j j e X e X e X n x DTFT =+=* 设Xe j ω是如图所示的信号xn 的傅里叶变换,不必求出Xe j ω,试完成下列计算：（1）)(0j e X（2） ⎰-ππωωd e X j )(（3） ωππωd e X j ⎰-2)(分析：利用序列傅里叶变换的定义以及帕塞瓦定理来求解; （1） 序列的傅里叶变换公式为：正变换 ∑∞-∞=-=n nj j en x e X ωω)()(反变换 ⎰-=ππωωωπd e e X n x n j j )(21)(（2） 帕塞瓦定理⎰∑-∞-∞==ππωωπd e X n x j n 22)(21)(解：1由傅里叶正变换公式可知ω=0,则6)()()(00===∑∑∞-∞=∞-∞=⋅-n n nj j n x en x e X2由于e j0=1,则由傅里叶反变换公式可知n=0,故πππωωππωππω422)(2)()(00====⋅=--⎰⎰n j j j n x d e e X d e X（3） 由帕塞瓦定理,得ππωππω28)(2)(22==∑⎰∞-∞=-n j n x d e XII. 周期序列的离散傅里叶级数DFS如图所示,序列xn 是周期为6的周期性序列,试求其傅里叶级数的系数;分析：利用DFS 的定义求解,即∑-===1)(~)](~[)(~N n kn N W n x n x DFS k X ,其中k = 0 ~ N-1解：已知N = 6,则由DFS 的定义得k jk jk j k j k j n nk j n kn eeee e en x W n x k X 5624623622626250625061068101214)(~)(~)(~ππππππ-----=-=+++++===∑∑对上式依次取k = 0 ~ 5,计算求得339)5(~33)4(~0)3(~33)2(~339)1(~60)0(~j X j X X j X j X X +=-==+=-==，，，， 设⎩⎨⎧≤≤+=n n n n x 其他，，0401)(,)2()(4-=n R n h令6))(()(~n x n x =,6))(()(~n h n h =,试求)(~n x 与)(~n h 的周期卷积;分析：可以利用列表法求解,直观方便;由于)(~)(~n x n y =错误!∑-=-=1)(~)(~)(~N m m n h m x n h 只要将列表中对应于某个n 的一行中的)(~m n h -值和第一行中与之对应的)(~m x 值相乘,然后再将所有乘积结果相加,就得到此n 的)(~n y 值 解：注意：本题需要利用下一节中有限序列与周期序列的关系以及序．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．列循环移位的概念．．．．．．．．;．在一个周期N =6内的计算卷积值)(~)(~n x n y =错误!∑-=-=1)(~)(~)(~N m m n h m x n h 则)(~n x 与)(~n h 的周期卷积)(~n y 值n =0~5如下表所示：III. 离散傅里叶变换DFT已知xn 如图所示,为{1,1,3,2},试画出序列x-n 5,x-n 6 R 6n,xn 3R 3n,xn 6, xn-35R 5n 和xn 7 R 7n 的略图;分析：此题需注意周期延拓的数值,也就是xn N 中N 的数值;如果N 比序列的点数多,则需补零；如果N 比序列的点数少,则需将序列按N 为周期进行周期延拓,造成混叠相加形成新的序列; 解：各序列的略图如图所示;试求下列有限长序列的N 点离散傅里叶变换闭合形式表达式：（1）)()(n R a n x N n = （2）N n n n n x <<-=000)()(，δ （3）)()(n nR n x N = （4）)()(2n R n n x N = 分析：利用有限长序列的DFT 的定义,即10)()(10-≤≤=∑-=N k W n x k X N n knN ，解：1因为)()(n R a n x N n =,所以k Nj N N n nk Njn N n knNn aea ea Wa k X ππ2121011)(--=--=--===∑∑2因为N n n n n x <<-=000)()(，δ,所以k n Njn n knNN n knNeW W n n k X 002100)()(πδ-=-===-=∑3由)()(n nR n x N =,得∑-==10)(N n knN nW k X注意：为了便于求解．．．．．．,．必须利用代数简化法消除．．．．．．．．．．．掉上式中的变量．．．．．．．n ．;．∑-=+=10)1()(N n n k N kNnW k X W NW W N WN W N W N W W W N W W W nW nWW k X kNk N N n knNkNN N k N k N k N N k N k N k N k N N n n k N N n kn Nk N-=--+--=+--=-+-+++--++++=-=-∑∑∑-=---=+-=11)1()1(])1()2(2[])1(32[)1)((11)1(32)1(321)1(1则所以kNW Nk X --=1)( 4注意：本题可利用上题的结论来进行化简．．．．．．．．．．．．．．．;．由)()(2n R n n x N =,则∑-==102)(N n knN W n k X根据第3小题的结论：若)()(1n nR n x N = 则kNN n kn N W NnW k X --==∑-=1)(11 与上题同理,得kNN n knNN n knNkNN N k N k N k N N k N k N k N k N N n n k N N n kn Nk NW NN N k X N N nW N N W n N W N W N W W W N W W W W n Wn W k X ----=+--=+--=-+--=-+-+++--++++=-=-∑∑∑∑-=-=---=+-=12)2()(2)2(2)2()12()1(])1()2(4[])1(94[)1)((1111122)1(232)1(23210)1(2102所以10)1()2()(22-≤≤---=N k W N W N N k X k N kN ， 试画出图示的两个有限长序列的六点循环卷积;分析：本题可以直接利用循环卷积的公式求解,也可以利用循环移位的概念来求解,即：有限长序列xn 左移mm 为正整数位的循环移位定义为)())(()(n R m n x n x N N m +=且移位时,在主值区间n =0~N-1内,当某序列值从区间的一端移出时,与它同值的序列值又从区间的另一端移入; 解：由循环卷积的定义,可知)()(1n x n y =错误!612))(([)(n x n x =错误!)(]))((662n R n x61))(([n x =错误!)(]))3((366n R n -δ )())3((3661n R n x -=则根据循环移位的概念,将序列x 1n 循环右移3个单位后乘以3并取其主值序列n =0~5即可,其结果如图所示;如图所示的5点序列xn ,试画出： （1） x nxn （2） x n 错误!xn （3） x n 错误!xn分析：本题可由图解法来计算循环卷积,并利用循环卷积来求解线性卷积;同时应注意循环卷积代替线性卷积的条件：设两个有限长序列xn 、hn 的点数分别为N 和M ,其循环卷积的长度为L ,则要用循环卷积代替线性卷积的条件是：循环卷积的长度L 必须不小于线性卷积的长度N +M-1,即L ≥N +M-1否则,在循环卷积周期延拓时会产生混叠;解：由于xn 是5点序列,所以xn xn 是5+5-1=9点序列,因此,xn 错误!xn 的前9个点n =0,1,…,8就是xn xn 值,后一个点n =9为零,因为L点循环卷积等于线性卷积结果的L 点周期延拓、混叠相加后的主值区间内的序列L 可以是任意整数值;其运算结果分别如图a 、b 、c 所示;已知两个有限长序列为⎩⎨⎧≤≤≤≤-=⎩⎨⎧≤≤≤≤+=651401)(640301)(n n n y n n n n x ，，，，试作图表示xn ,yn 以及fn =xn 错误!yn ; 分析：直接利用循环卷积公式或图解法求解; 解：其结果如图所示;习题已知xn 是N 点有限长序列,且Xk = DFT xn ;现将它补零扩展成长度为rN 点的有限长序列yn ,即⎩⎨⎧-≤≤-≤≤=1010)()(rN n N N n n x n y ，， 试求rN 点DFT yn 与Xk 的关系; 分析：利用DFT 定义求解;yn 是rN 点序列,因而结果相当于在频域序列进行插值; 解：由10)()]([)(102-≤≤==∑-=-N k en x n x DFT k X N n nk Nj ，π可得110)()()()]([)(10211-==⎪⎭⎫⎝⎛=====∑∑∑-=--=-=N l lr k r k X en x W n x Wn y n y DFT k Y N n rk n N jnkrN N n rN n nk rN，，，，， π所以在一个周期内,Yk 的采样点数是Xk 的r 倍Yk 的周期为rN ,相当于在Xk 的每两个值之间插入r-1个其它的数值不一定为零,而当k 为r 的整数l 倍时,Yk 与⎪⎭⎫⎝⎛r k X 相等; 习题频谱分析的模拟信号以8kHz 被采样,计算了512个采样点的DFT,试确定频谱采样之间的间隔,并证明你的回答; 分析：利用频域采样间隔F 0和时域采样频率f s 以及采样点数N 的关系f s =N F 0;证：由ππ2200Ω=Ω=F f s s ， 得0ΩΩ=ss F f 其中Ωs 是以角频率为变量的频谱周期,Ω0是频谱采样之间的频谱间隔;又N F f ss =ΩΩ=00 则Nf F s=0 对于本题有f s =8kHz,N =512 所以 Hz F 625.1551280000==习题设有一个频谱分析用的信号处理器,采样点数必须为2的整数幂,假定没有采用任何特殊数据处理措施,要求频率分辨力≤10Hz,如果采用的采样时间间隔为,试确定： （1） 最小记录长度；（2） 所允许处理信号的最高频率； （3） 在一个记录中的最小点数; 分析：采样间隔T 和采样频率f s 满足f s =1/T ,记录长度T 0和频域分辨力F 0的关系为T 0=1/ F 0,采样定理为f s ≥2f h f h 为信号最高频率分量,一个记录中最少的采样总数N 满足002F f F f T T N hs ≥==解：1因为T 0=1/ F 0,而F 0≤10Hz,所以s T 1010≥即最小记录长度为; 2因为kHz T f s 10101.0113=⨯==,而f s ≥2f h 所以kHz f f s h 521=≤即允许处理信号的最高频率为5kHz; 31000101.01.030=⨯≥=T T N 又因N 必须为2的整数幂所以一个记录中的最少点数为N =210=1024; IV. 快速傅里叶变换FFT如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘5μs,每次复加μs,用它来计算512点的DFT xn ,问直接计算需要多少时间,用FFT 运算需要多少时间 分析：错误!直接利用DFT 计算：复乘次数为N 2,复加次数为NN-1；错误!利用FFT 计算：复乘次数为N N2log 2,复加次数为N N 2log ； 解： 1直接计算复乘所需时间s N T 31072.151210*********=⨯⨯=⨯⨯=-- 复加所需时间s N N T 130816.0)1512(512105.0)1(105.0662=-⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=--所以s T T T 441536.121=+=2用FFT 计算复乘所需时间s N N T 01152.0512log 2512105log 210526261=⨯⨯=⨯⨯=-- 复加所需时间s N N T 002304.0512log 512105.0log 105.026262=⨯⨯=⨯⨯=-- 所以s T T T 013824.021=+=已知Xk ,Yk 是两个N 点实序列xn ,yn 的DFT 值,今需要从Xk ,Yk 求xn ,yn 的值,为了提高运算效率,试用一个N 点IFFT 运算一次完成;分析：我们来组成一个新的序列Xk +j Yk 序列,则有)()()]([)]([)]()([n jy n x k Y jIDFT k X IDFT k jY k X IDFT +=+=+它的实部即为实序列xn ,虚部即为实序列yn ; 解：依据题意,可知)()()()(k Y n y k X n x ⇔⇔，取序列)()()(k jY k X k Z +=对Zk 作N 点IFFT 可得序列zn ;又根据DFT 线性性质)()()]([)]([)]()([n jy n x k Y jIDFT k X IDFT k jY k X IDFT +=+=+由原题意可知,xn ,yn 都是实序列; 再根据zn = xn +j yn ,可得)](Im[)()](Re[)(n z n y n z n x ==习题, N =16时,画出基-2按时间抽取法DIT 及按频率抽取法DIF 的FFT 流图时间抽取采用输入倒位序,输出自然数顺序,频率抽取采用输入自然顺序,输出倒位序; 分析：错误!DIF法与DIT 法的异同：不同点：DIT 与DIF 的基本蝶形图不同,DIF 的复数乘法出现在减法之后,DIT 的复数乘法出现在减法之前；相同点：DIT 与DIF 的运算量是相同的；错误!DIF法与DIT 法的关系：它们的基本蝶形是互为转置的;解：1按时间抽取DIT 如图所示2按频率抽取DIF 如图所示课堂思考题若)(),(21n x n x 是因果稳定序列,求证：⎰⎰⎰---=ππωππωππωωωπωπωπ})(21}{)(21{)()(212121d e X d e X d e X e X j j j j证：设)()()(21n x n x n y *= 则由时域卷积定理,得)()()(21ωωωj j j e X e X e Y =即⎰⎰--===*ππωωωππωωωπωπd e e X e X d e e Y n y n x n x n j j j n j j )()(21)(21)()()(2121令上式的左右两边n=0,得)0()0()()()()()()(2121002102121x x k n x k x n x n x d e X e Xn n k n j j ⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=*====-∑⎰ππωωωπ又傅里叶反变换公式,得⎰-=ππωωωπd e e X n x n j j )(21)(11,⎰-=ππωωωπd e e X n x n j j )(21)(22则⎰-=ππωωπd e X x j )(21)0(11,⎰-=ππωωπd e Xx j )(21)0(22所以⎰⎰⎰---=ππωππωππωωωπωπωπ})(21}{)(21{)()(212121d e X d e X d e X e X j j j j课堂思考题在N =16时按时间抽取的基-2FFT 算法中,若输入序列xn 采用倒位序,输出序列Xk 采用自然数顺序,试写出输入序列xn 的排列顺序,并简述理由;答：N =16的基-2FFT 算法中,输入序列xn 倒位序排列顺序为x 0、x 8、x 4、x 12、x 2、x 10、x 6、x 14、x 1、x 9、x 5、x 13、x 3、x 11、x 7、x 15;其倒位序排序规则如表所示：第五章 时域分析随机相位正弦波)sin()(0ϕω+=t x t x式中,x 0,ω均为常数,φ在0~2π内随机取值,试求其自相关函数并作图; 分析：利用自相关函数的定义求解,即⎰+=∞→TT xx dt t x t x T R 0)()(1lim)(ττ 解：由自相关函数的定义式,得[]()ωταωτααωταπτπωαωαϕωϕτωϕωττϕπϕπcos 2sin cos sin cos sin 2lim )(21)(sin )sin(1lim )()(1lim )(202202/2/200x d x R T d dt t dt t t x T dtt x t x T R T xx T T T TT xx =+====++++=+=⎰⎰⎰++-∞→-∞→∞→故且则令，可见,该随机相位正弦波的自相关函数只与角频率ω有关,而不含相．．．位信息．．．,这表明：正弦函数的自相关函数为失去了相位信息的同频率余弦函数;其自相关函数图形如图所示;两个随机相位正弦波)sin()()sin()(00ϕθωθω-+=+=t B t y t A t x式中,A 0, B 0,ω, φ均为常数,θ在0~2π内的取值概率相同,即满足R xx ττx 02/2⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，02021)(πθπθp 试求其互相关函数并作图; 分析：利用互相关函数的定义求解,即⎰+=∞→TT xy dt t y t x T R 0)()(1lim)(ττ 解：由互相关函数的定义式,得[])cos(21)(sin )sin(21)()(1lim)(0020000ϕωτθϕθτωθωπττπ-=-+++=+=⎰⎰∞→B A d t t B A dt t y t x T R TT xy 可见,两个正弦函数的互相关函数仍为同频率的余弦函数,其最大峰值出现在τ=φ/ω处;其互相关函数图形如图所示;第六章 数字滤波器设计已知模拟滤波器的模方函数R xyττφ/ω)16)(9()4(20)(22222Ω+Ω+Ω-=Ωj H 求模拟滤波器的传递函数;分析：利用模拟滤波器的模方函数|Hj Ω|2与其传递函数H s 之间的关系式求解,即Ω=Ω=-==Ωj s j s s H s H s H j H )()()()(22解：将s=j Ω,即Ω2 = s 2代入|Hj Ω|2,得())4)(4)(3)(3()2()2(52)16)(9()4(20)()()(22222222-+-+-+=--+=-=s s s s j s j s s s s s H s H s H 可见,系统有四个极点s 1, 2=±3,s 3, 4=±4和两对零点z 1, 2=±j2;为了得到一个稳定的滤波系统,则将左半平面的极点分配给H s ；并取虚轴上的一对共轭零点作为H s 的零点,以保证H s 收敛,故模拟滤波器的传递函数为)4)(3()2)(2(52)(++-+=s s j s j s s H试设计一个巴特沃思BW 低通模拟滤波器,使滤波器的幅度响应在通带截止频率105rad/s 处的衰减不大于3 dB,在阻带截止频率4×105 rad/s 处的衰减不小于35 dB;分析：按照§中所述的巴特沃思低通滤波器的设计过程来实现;错误!先确定滤波器的阶数N由于公式1()()()()()()λλααγααγλγ，求解令令⇒⎪⎭⎪⎬⎫+ΩΩ+=Ω=+ΩΩ+=Ω=ΩΩ=ΩΩ=22221lg 10]1lg[10)(1lg 10]1lg[10)(NNcscp Nc s s s N c p p p 则滤波器的阶数公式2()()s p N ΩΩ≥lg /lg λγ注意：N 为正整数 且截止频率公式3s N c pN c Ω=ΩΩ=Ω--/1/1λγ或错误!求解位于左半S 平面上的极点公式4()N k es NN k j c k 2,,2,1212 =Ω=-+，π错误!确定N 阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数公式5()()()()N N cNk kN c s s s s s s s s s H ---Ω=-Ω=∏= 211)( 解：错误!先确定滤波器的阶数N由题意可知,Ωp =105rad/s 时,通带最大衰减αp =3 dBΩs =4×105rad/s 时,阻带最小衰减αs =35 dB则代入公式1,求得参数γ和λ()()()()⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=Ω=+=Ω=2.5611lg 10351lg 1031lg 10)(1lg 10)(2222λγλγλααγααs s p p 将参数γ、λ、Ωp 和Ωs 代入公式2,则滤波器的阶数()()39.2lg /lg =⇒=ΩΩ≥N N s p 取λγ将参数N 、γ和Ωp 代入公式3,可得截止频率s rad p p N c /105/1=Ω=Ω=Ω-γ错误!求解位于左半S 平面上的极点将参数Ωc 和N 代入公式4,得极点()3,2,13/)1(212=Ω=Ω=+-+k ee s k j c NN k j c k ，ππ即2/)31(2/)31(3/4323/21c j c cj c c j c j e s e s j e s Ω--=Ω=Ω-=Ω=Ω+-=Ω=πππ错误!确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H s将参数N 、Ωc 和s k 代入公式5,得巴特沃斯低通滤波器的传递函数式中Ωc =105rad/s()()()()322333213122)(cc c cc Nk kN c s s s s s s s s s s s s H Ω+Ω+Ω+Ω=---Ω=-Ω=∏= 试导出二阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数,设Ωc =3 rad/s; 分析：本题利用模方函数求出其左半S 平面极点,而求得系统函数;N 阶巴特沃斯低通滤波器的模方函数定义为()Nc j j j H 2211)(ΩΩ+=Ω在上式中代入j Ω= s,可得()Nc j s s H s H 211)()(Ω+=- 而HsH-s 在左半S 平面的极点即为Hs 的极点,因此()∏=-=Nk ks s k s H 1)(其中()N k es NN k j c k ,,2,1212 =Ω=-+，π,k 0由1)(0==s s H 来确定;注意：可以证明,系数k 0=Ωc N ;解：对于二阶N =2巴特沃斯低通滤波器,其模方函数为()()4221111)(c Nc j j j j j H ΩΩ+=ΩΩ+=Ω令j Ω= s,则有()411)()(c j s s H s H Ω+=- 各极点满足()()4,3,2,1412212=Ω=Ω=+-+k ees k j c NN k j c k ，ππ则k =1, 2时,所得的s k 位于左半S 平面,即为Hs 的极点223223223223452431jes j e s j c j c --=Ω=+-=Ω=ππ 由以上两个极点构成的系统函数为()()923)(20210++=--=s s k s s s s k s H代入条件1)(0==s s H ,可得k 0 =9 注：k 0 =Ωc 2,故二阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数9239)(2++=s s s H试导出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数,设Ωc =2 rad/s; 分析：与习题6. 3同理,利用模方函数求出其左半S 平面极点,而求得系统函数;解：对于三阶N =3巴特沃斯低通滤波器,其模方函数为()()6221111)(c Nc j j j j j H ΩΩ+=ΩΩ+=Ω 令j Ω= s,则有()611)()(c j s s H s H Ω+=-各极点满足()()6,,2,1231212 ==Ω=+-+k ees k j NN k j c k ，ππ不难得知,当k =1, 2, 3时,相应的极点s k 均位于左半S 平面;则滤波器的系统函数Hs 的极点312223123432321j es e s j es j j j --==-==+-==πππ因此,三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数为()()()8848)(233213+++=---Ω=s s s s s s s s s s H c设模拟滤波器的系统函数为22)()(ba s as s H +++=试利用冲激响应不变法,设计IIR 数字低通滤波器;示解：将H s 展开成部分分式,得jba s jb a s b a s a s s H -++++=+++=2/12/1)()(22对H s 取拉氏反变换,得tjb a t jb a ee t h )()(2121)(--+-+=对ht 作周期为T 的等间隔采样,得[]nT jb a nTjb a nT t e e t h n h )()(21)()(--+-=+== 对hn 取Z 变换,得IIR 数字低通滤波器的系统函数为22111)(1)(0)cos 2(1)cos (1111121)()(----------+-∞=-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-==∑z e z bT e zbT e z e z e z n h z H aT aT aTT jb a T jb a n n设有一模拟滤波器()11)(2++=s s s H采样周期T =2,试用双线性变换法将它转变为数字系统函数Hz ; 分析：双线性变换法是模拟系统函数的S 平面和数字系统函数的Z 平面之间是一一对应的关系,消除了频谱的混叠现象,其变换关系为11112--+-=z z T s 解：将T =2代入变换公式,可得1111--+-=zz s 则数字系统函数()121112111131111111)()(11------+-=++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==--z z z z z z s H z H z z s用双线性变换法设计一个数字低通滤波器,采样频率f s = ,截止频率f c = 400Hz;分析：按照§中所述的采用双线性变换法的设计过程来实现;错误!利用关系式ω=T Ω将给定的模拟域频率指标转化为数字域频率指标错误!利用如下的预畸变补偿公式将数字域频率指标变换为补偿．．后的．．模拟域频率指标 ⎪⎭⎫⎝⎛=Ω'2tan 2ωT 错误!按补偿后的．．．．模拟域频率指标设计三阶巴特沃斯模拟滤波器Hs 参见例6.2.4错误!利用双线性变换公式,将模拟滤波器Hs 变换为数字滤波器Hz ,即11112)()(--+-==z z T s s H z H T ．为采样周期．．．．．解：此数字滤波器的截止频率3212001400212πππω=⨯⨯==Ω=s cc c f f T 由预畸变补偿,得相应的模拟滤波器的截止频率s s c c f f T 323tan 22tan 2==⎪⎭⎫⎝⎛=Ω'πω 由习题6. 4可知,三阶巴特沃斯模拟滤波器的系统函数()()()3213)(s s s s s s s H c---Ω'=其中,滤波器的系统函数Hs 的极点πππ3432321j c j c j c es e s es Ω'=Ω'=Ω'=，，故有3223322)(cc c cs s s s H Ω'+Ω'+Ω'+Ω'= 将双线性变换公式和s c f 32=Ω'代入,可得三阶巴特沃斯数字滤波器的系统函数312111213131313211221212313313112112)1(33)1)(1(6)1()1(32)1()1(33)1()1)(1()2(2)1()1()2(2)1()2()1()()()(1111--------------+-=+-=+++-++-+-+=+Ω'++-Ω'++-Ω'+-+Ω'===----z z z z z z z z z z f z z f z f z s H s H z H c s c s c s c z z fs z z T s s请选择合适的窗函数及窗宽N 来设计一个线性相位低通滤波器⎩⎨⎧≤≤<≤=-πωωωωωαωc cj j d e e H ，，00)( 要求其阻带最小衰减为 45 dB,过渡带宽为8π/51,试求出hn 设截止频率ωc =π;分析：本题是真正实用的设计题,从中可以看到阻带衰减影响窗形状的选择当然用凯塞窗则可改变β来满足阻带衰减的要求,而窗宽N 的选择则影响过渡带宽;按照§中所述的线性相位FIR 数字低通滤波器的设计步骤来实现;错误!给定所要求的理想频率响应函数H d e j ω；错误!确定相应的理想脉冲响应序列[]⎰-==ππωωωωπd e e H e H IDTFT n h n j j d j d d )(21)()(错误!由阻带最小衰减及过渡带宽的要求,利用表6.4.1参见教材P156表,确定窗函数wn 的形状及其宽度N ；表6.4.1 常用窗函数及加窗后FIR 滤波器的特性结论：过渡带的宽度随窗宽．．．．．．．．．N ．的增加而减小．．．．．．,．而阻带最小衰减则仅由．．．．．．．．．．窗的形状决定．．．．．．,．不受．．N ．的影响．．．;．错误!求得所设计的FIR 滤波器的单位脉冲响应1,,1,0)()()(-==N n n w n h n h d ，错误!计算FIR 滤波器的频率响应[])()(21)()()(10ωωωωπj j d N n nj j e W e H e n h n h DTFT e H *===∑-=-检验是否满足设计要求,如不满足,则需重新设计;解：根据题目所给的低通滤波器频响的表达式H d e j ω,可得其脉冲响应序列[]()[]()αωαωπωωπωπωωωωαππωωω--====•⎰⎰---n n d e e d e e He H IDTFT n h c c c n j j n j j dj d d c csin 21)(21)()(因为题目要求设计的低通滤波器的阻带最小衰减为 45 dB,对照教材P156表可知,矩形窗、三角形窗、汉宁窗都不符合条件,所以应该选择哈明窗;由于加窗后滤波器的过渡带宽见表应小于所需的过渡带宽,即075.425186.6>∴<N N ππ 这里选窗宽N = 43,以满足要求;由于哈明窗函数)(12cos 46.054.0)(n w N n n w R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=π则所设计的FIR 滤波器的单位脉冲响应()[]()⎪⎩⎪⎨⎧=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-==•其它，，042,,1,021215.0sin 21cos 46.054.0)()()( n n n n n w n h n h d πππ 用矩形窗设计一个FIR 线性相位低通数字滤波器;已知ωc =π,N = 21,试求出hn ;分析：本题给定的是理想线性低通滤波器,故⎩⎨⎧-<<≤<≤≤-=-c c cc j jde e H ωωππωωωωωωαω，，，0)(解：因为理想线性低通滤波器的脉冲响应序列[]()[]()αωαωπωωπωπωωωωαππωωω--====•⎰⎰---n n d e e d e e H e H IDTFT n h c c c n j j n j j d j d d ccsin 21)(21)()(由于矩形窗函数⎩⎨⎧-≤≤=其它，，0101)(N n n w R 则所设计的FIR 滤波器的单位脉冲响应()[]()()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=--==其它，，020,,1,0102sin 10210sin )()()( n n n n n n w n h n h R d ππππ。

第六章练习题答案%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 设计一个满足下列指标要求的模拟低通巴特沃斯滤波器，并求出其系统函数的极点。

通带截止频率 2.1p f kHZ =，阻带截止频率8s f kHZ =，通带最大衰减0.5p dB α=，阻带最小衰减30s dB α=。

解：巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤为：（1）根据模拟滤波器的设计指标p α,p Ω和s α,s Ω，由(6.3.16)式确定滤波器的阶数N 。

（2）由(6.3.17)式确定滤波器的3dB 截止频率c Ω。

（3）按照(6.3.13)式，求出N 个极点(1,2,,)k p k N =L ，将极点k p 代入式得滤波器的系统函数()a H s 。

****************0.110.11(10)lg (10) 3.36832lg(/)p s a a p s N --⎡⎤⎢⎥⎣⎦==ΩΩ2p p f πΩ= 2s s f πΩ= 取4N =3dB 截止频率：cp ΩΩ== 212,1,2,,k N j Nk c p ek N π+-=Ω=L11()()n Nnkk H s s p==-C去归一化()()a n cs H s H =Ω %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%利用二阶模拟低通巴特沃斯滤波器，设计一个中心频率为020/rad s Ω=，通带3dB 带宽为4/B rad s =的模拟带通滤波器。

解: 根据滤波器的阶数N ，直接查表 6.3.1，得到归一化（1c Ω=）的极点(1,2,,)k p k N =L 和归一化的系统函数11()()n Nnkk H s s p==-∏2101211N NN a a s a s a s s--=+++++K 然后利用式，得到3dB 截止频率为c Ω的巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数()a H s 。