稳恒电流的磁场解读

大学物理稳恒磁场解读 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第十一章稳恒磁场磁场由运动电荷产生。

磁场与电场性质有对称性，学习中应注意对比。

§11－1 基本磁现象磁性，磁力，磁现象；磁极，磁极指向性，N极，S极，同极相斥，异极相吸。

磁极不可分与磁单极。

一、电流的磁效应1819年，丹麦科学家奥斯特发现电流的磁效应；1820年，法国科学家安培发现磁场对电流的作用。

二、物质磁性的电本质磁性来自于运动电荷，磁场是电流的场。

注：1932年，英国物理学家狄拉克预言存在“磁单极”，至今科学家一直在努力寻找其存在的证据。

§11－2 磁场磁感强度一、磁场磁力通过磁场传递，磁场是又一个以场的形式存在的物质。

二、磁感强度磁感强度B的定义：（1）规定小磁针在磁场中N极的指向为该点磁感强度B的方向。

若正电荷沿此方向运动，其所受磁力为零。

（2）正运动电荷沿与磁感强度B垂直的方向运动时，其所受最大磁力F max与电荷电量q和运动速度大小v的乘积的比值，规定为磁场中某点磁感强度的大小。

即：磁感强度B是描写磁场性质的基本物理量。

若空间各点B的大小和方向均相等，则该磁场为均匀磁场；若空间各点B的大小和方向均不随时间改变，称该磁场为稳恒磁场。

磁感强度B的单位：特斯拉（T）。

§11－3 毕奥－萨伐尔定律一、毕－萨定律电流元:电流在空间的磁场可看成是组成电流的所有电流元在空间产生元磁感强度的矢量和。

式中μ0：真空磁导率，μ0＝4π×10－7 NA 2dB的大小：d B的方向：d B总是垂直于Id l与r组成的平面，并服从右手定则。

一段有限长电流的磁场：二、应用1。

一段载流直导线的磁场说明：（1）导线“无限长”：（2）半“无限长”：2。

圆电流轴线上的磁场磁偶极矩讨论：（1）圆心处的磁场：x = 0 ；（2）半圆圆心处的磁场：（3）远场：x>>R，引进新概念磁偶极矩则：3。

稳恒电流的磁场教学目的要求1. 理解电流和电流密度，了解电流连续性方程和恒定条件；2. 理解磁场与磁感应强度的概念，掌握毕奥-萨伐尔定律及其应用；3. 理解磁通量的概念，理解恒定磁场的高斯定理，掌握安培环路定理及其应用；4. 理解磁场对运动电荷的作用，理解洛伦兹力的概念，了解带电粒子在磁场中的运动特点，了解霍尔效应；5. 理解磁场对载流导线和载流线圈的作用，理解安培定律、安培力和磁力矩.6. 了解物质的磁性，理解顺磁质与抗磁质的特点，理解磁化强度与磁化电流；7. 掌握磁场强度，理解有磁介质时的高斯定理，8. 掌握有磁介质时的安培环路定理及其应用；9. 了解铁磁质的磁化特点与磁滞回线.本章内容提要⒈ 恒定电流（1） 电流I 它是单位时间内通过某曲面的电荷量.d d q I t= （2）电流密度J 它的大小等于该点处垂直于电流方向的单位面积的电流，它的方向跟通过该点的电流方向相同。

⊥=S I J d d （3）电流和电流密度之间的关系 d SI =⋅⎰J S⒉ 恒定磁场的几个基本概念（1） 恒定磁场 恒定电流所激发的磁场.磁场和电场一样也是一种特殊物质，具有物质的基本属性.（2） 磁感应强度 是描述磁场性质的物理量.磁场中某点的磁感应强度的大小等于电量为q 、速度为υ的运动试验电荷通过该点时所受到的最大作用力F m 与乘积q υ之比，即υq F B m = （3）磁感应线 为形象地描述磁场，可在磁场中画出磁感应线. 磁感应线的画法规定为：磁感应线上任一点的切线方向与该点的磁感应强度的方向相同；通过磁场中某点垂直于磁感应强度方向单位面积上的磁感应线的条数等于该点磁感应强度的大小.（4） 磁通量 在磁场中通过某一曲面的磁感应线的条数称为通过该面的磁通量.在磁场中任取一个面元S d ，设该面元处的磁感应强度为B ，则通过面元S d 的磁通量m d Φ定义为m d d d cos ΦB S θ=⋅=B S式中θ为B 与S d 的夹角.通过有限曲面的S 的磁通量m Φ为m d d cos S SΦB S θ=⋅=⎰⎰B S（5）磁介质 处在磁场作用下能被磁化并反过来影响磁场的物质.有四种磁介质：抗磁质（r μ﹤1），顺磁质（r μ﹥1），铁磁质（1>>r μ）, 完全抗磁体（r μ= 0）.前两种是弱磁性材料，铁磁质是强磁性材料.顺磁质的分子磁矩m 不为零，在外磁场中分子磁矩沿外磁场取向排列，磁介质中的磁场被加强；抗磁质的分子磁矩m 为零，在外磁场中分子出现附加分子磁矩m ∆，磁介质中的磁场被削弱.铁磁质的相对磁导率非常大，并且不是常数；磁化时存在磁滞现象，形成磁滞回线，具有剩磁效应；铁磁质都有一个特定的温度——居里点.铁磁质的特性可以由磁畴理论来解释.完全抗磁体在低于临界温度时电阻为零，具有完全抗磁性，即具有迈斯纳效应.（6） 磁化强度 实物物质在磁场的作用下内部运动状态的变化称为磁化.磁介质被磁化的程度用磁化强度M 来描述，定义为磁介质中某点附近单位体积内分子磁矩的矢量和，即V i ∆=∑mM（7） 磁化电流 磁介质磁化后宏观上等效为在磁介质的表面生成了一层磁化电流s I ，磁化电流在空间产生附加磁场.磁化强度M 沿着任一闭合回路的环路积分等于该闭合回路中穿过的磁化电流的代数和，即s L I =⋅⎰l M d（8） 磁场强度 为了能够方便地计算磁场分布而引入磁场的辅助物理量，M BH -=0μ⒊ 恒定磁场的两个基本规律① 毕奥-萨伐尔定律 电流元所激发的磁场为03d d 4πI r μ⨯=l r B② 磁场叠加原理 ⎰⎰⨯==30d 4d r I r l B B πμ∑==n i 1i B B⒋ 恒定磁场的两个重要定理① 恒定磁场的高斯定理0d =⋅⎰SS B说明磁场是“无源”场，即磁感线是无头无尾的闭合线，通过任一闭合曲面的总磁通量为零. ②②恒定磁场的安培环路定理∑⎰=⋅i i I 0d μL l B说明磁场是个涡旋场，即磁场是非保守力场. 利用安培环路定理可以计算出具有对称分布电流的磁场.例如：真空中无限长直载流导线的磁场 02πIB aμ=，真空中载流圆环圆心上的磁场 RI B 20μ=， 无限长直载流螺线管内（管内真空）的磁场 nI B 0μ=.有磁介质时的安培环路定理 磁场强度H 沿着任一闭合回路的环路积分等于该闭合回路中穿过的传导电流的代数和.即 ∑⎰=⋅i i L Il H d⒌ 磁场对运动电荷或载流导体的作用① 磁场对运动电荷的作用B υF ⨯=q② 磁场对载流导线的作用B l F ⨯=d d I电流的单位——安培的定义：在真空中通以流向相同、大小等量电流的两根截面积可略去的平行长直导线，若二者之间相距1m 时，两导线间每单位长度的相互吸引力为m N 1027-⨯，则每根导线中的电流为1安培.③ 磁场对载流线圈的作用B m M ⨯=6. 几个关系式B'B B +=0对于各向同性的磁介质： H M m χ=r m μχ=+1r μμμ0=H H B r 0μμμ==思考题答题要点1 电源的电动势和端电压有什么区别？两者在什么情况下才相等？答：电动势ε等于端电压加上电流乘以内阻之和，两者在电流为零时才相等.2 一电子以速度υ射入磁感应强度为 B 的均匀磁场中，电子沿什么方向射入受到的磁场力最大？沿什么方向射入不受磁场力的作用？答：垂直于磁场方向入射时所受磁场力最大，沿着磁场方向入射时不受磁场力. 3 在下面几种情况下，能否用安培环路定理来求磁感应强度？为什么？⑴ 有限长载流直导线产生的磁场；⑵ 圆电流产生的磁场；⑶ 两无限长同轴载流圆柱面之间的磁场.答：（1）和（2）不能，（3）能. 因为安培环路定理的使用必须具备一定的先决条件：在所取的回路上，各处的磁感应强度必须等值对称，能够作为常量从积分号中提出，即具有较高的特殊对称性.4 为什么两根通有大小相等方向相反电流的导线扭在一起能减小杂散磁场？答：因为两根导线的电流大小相等方向相反，扭在一起可以使它们磁场尽可能互相抵消，从而减小杂散磁场.5 如思考题5用图所示，假设图中两导线中的电流1I 、2I 相等，对图中所示的三个闭合线1L 、2L 、3L 的环路，分别讨论在每个闭合线上各点的磁感应强度B 是否相等？为什么？思考题5用图答：都不相等.由毕奥-萨伐尔定律可知，在1I 、2I 外侧各自产生的磁场相互加强，而在1I 、2I 内侧各自产生的磁场相互抵消.6 在均匀磁场中，载流线圈的取向与其所受磁力矩有何关系？在什么情况下，磁力矩最大？什么情况下磁力矩最小？载流线圈处于稳定平衡时，其取向又如何？答：磁力矩B m M ⨯=，m 方向即线圈取向.线圈的取向垂直磁场时磁力距最大，平行时最小.载流线圈处于稳定平衡时，线圈的取向与磁场方向一致.7为什么当磁铁靠近电视机的屏幕时会使图像变形？答：磁铁的磁场使扫描电子束受到磁场力作用，从而偏离原来的运动轨迹使图像变形、变色.8在一均匀磁场中，有两个面积相等、通有相同电流的线圈，一个是三角形，一个是圆形.这两个线圈所受的磁力矩是否相等？所受的最大磁力矩是否相等？所受的磁力的合力是否相等？两线圈的磁矩是否相等？答：载流线圈在磁场中所受的磁力矩为B m M ⨯=，S m I =为线圈的磁矩.由此不难判断，两个线圈的面积相等，通过的电流相同，因此磁矩m 的大小相同.至于两线圈所受的磁力矩M 是否相同，取决于磁矩m 与均匀磁场B 的方位是否相同——若两线圈的磁矩m 与均匀磁场B 的夹角均为π2ϕ=，则所受磁力矩最大且相等.而载流线圈在均匀磁场中所受磁力的合力恒为零.9如思考题9用图所示，在磁感应强度大小为B 的均匀磁场中，作一半径为r 的半球面S ，S 的边线所在平面的法线方向单位矢量n e 与磁感应强度B 的夹角为α，则通过半球面S 的磁通量为多少？答：根据恒定磁场的高斯定理 d 0S⋅=⎰B S 可知，通过半球面S 的磁通量与通过半球底面（即图中阴影所示平面）的磁通量大思考题9用图小相等而符号相反，即d πcos 0S r B α⋅=⎰2B S +，故通过半球面S 的磁通量d πcos S rB α⋅=-⎰2B S .10 一对正、负电子从同一位置同时射入一均匀磁场中，如思考题15用图所示，已知它们的速率分别为2υ和υ，且都和磁场垂直，试指出它们的偏转方向，并判断经磁场偏转后哪个电子先回到出发点？答：如思考题11用图所示，正、负电子的速度均满足B υ⊥，由洛伦兹力B υF ⨯=q 可知，速率为2υ的正电子将作逆时针匀速率圆周运动，而速率为υ的负电子则作顺时针匀速率圆周运动.两电子的轨道半径不同，速率大者、即正电子的轨道半径大，但两电子的运动周期相同，所以它们将同时回到出发点.11 两种磁介质的磁化与两种电介质的极化有何类似和不同之处？答：如下表所示：答：磁化电流激发附加磁场，而传导电流产生外磁场；磁化电流对磁场强度并无贡献，而传导电流决定磁场强度.不过，磁化电流与传导电流也有相同之处，那就是它们都能影响磁场的分布.13 试说明 B 与 H 的联系和区别.答：B 与 H 都可以用以描述磁场性质，但H 不仅和磁场有关，还与磁介质的磁化强度有关. B 是实际存在的物理量，H 是为了描述介质中的磁场而引入的辅助物理量.14 在恒定磁场中，若闭合曲线所包围的面积没有任何电流穿过，则该曲线上各点的磁感应强度必为零.在恒定磁场中，若闭合曲线上各点的磁场强度皆为零，则穿过该曲线所包围面积上的传导电流代数和必为零.这两种说法对不对？答：虽然闭合曲线所包围的面积没有任何电流穿过，但曲线外部的电流依然会对曲线上各点的磁感应强度产生影响，因此第一个论述不对.而当闭合曲线上各点的磁场强度皆为零时，磁场强度H 沿该闭合回路的环路积分为零，根据有磁介质时的安培环路定理可知穿过该曲线所包围面积上的传导电流代数和必为零，即第二个论述是对的.15 为什么装指南针的盒子不是用铁，而是用胶木等材料做成的？答：如果使用铁盒子装指南针，则由于铁盒子产生磁屏蔽，从而会使得指南针无法正常使用，因此装指南针的盒子要用胶木等不会产生磁屏蔽效应的材料.16 为什么一块磁铁能吸引一块原来并未磁化的铁块？答：当未磁化的铁块处于磁铁所激发的磁场中时，铁块会被磁化，从而也具有磁性，这样一来它就可以被磁铁所吸引了.17 有两根铁棒，不论把它们的哪两端相互靠近，发现它们总是相互吸引的.你能否得出结论，这两根铁棒中有一根一定是未被磁化的？答：不一定，这两根铁棒之间的吸引力未必来源于磁场力，例如它们有可能分别带有异种电荷.思考题11用图18 顺磁质和铁磁质的磁导率明显地依赖于温度，而抗磁质的磁导率则几乎与温度无关，为什么？答：因为分子磁矩和磁畴在磁化过程中受到分子热运动的影响，所以磁导率依赖温度；而抗磁质在磁场中的附加磁矩几乎不受温度的影响，所以其磁导率几乎与温度无关.19 在工厂里搬运烧到赤红的钢锭，为什么不能用电磁铁的起重机？答：电磁铁在高温下会产生退磁现象，容易对电磁铁的起重机造成损坏.20 试根据铁磁质的磁滞回线，说明铁磁质有些什么特性.答：由铁磁质的磁滞回线可知，铁磁质不但具有剩磁现象，同时还具有磁滞现象的特性. 21 你怎样才能使罗盘磁针的磁性反转过来？答：可以通过施加很强的反向磁场来使罗盘磁针的磁性反转过来.22 试解释为什么磁铁能吸引铁钉之类的铁制物体？答：铁钉之类的铁制物体是铁磁质，它们在磁场中会被磁化，而磁化后的铁磁质容易被磁铁所吸引.23 在强磁铁附近的光滑桌面上的一枚铁钉，由静止释放，铁钉被磁铁吸引，试问当铁钉撞击磁铁时，其动能从何而来？答：来源于磁场的能量，即磁场能，而且应当满足能量守恒定律.24 下面的几种说法是否正确，试说明理由（1）若闭合曲线内不包围传导电流，则曲线上各点的H 必为零；（2）若闭合曲线上各点的磁场强度为零，则该曲线所包围的传导电流的代数和为零；（3）不论抗磁质与顺磁质，磁感应强度B 总是和磁场强度H 同方向；（4）通过以闭合回路L 为边界的任意曲面的磁通量均相等；（5）通过以闭合回路L 为边界的任意曲面的磁场强度通量均相等.答：（1）错.在有磁介质时的安培环路定理中，环路上的磁场强度H 不但与环路内、外的传导电流有关，也与空间所有磁介质的磁化电流有关.环路不包围传导电流，只能说明磁场强度H 对此环路的环流为零，并不说明曲线上各点的磁场强度H 必为零.（2）正确.环路上各点的磁场强度H 为零，则整个环路磁场强度的环流必为零.根据有磁介质时的安培环路定理，可以确定该环路所包围的传导电流的代数和为零.（3）抗磁质与顺磁质都是弱磁质，MB .当抗磁质与顺磁质都是各向同性磁介质时，由0μ-BH =M 可以认为弱磁介质内部的磁感应强度B 和磁场强度H 同方向.（4）正确.以闭合回路L 为边界的任意两个曲面组成一个封闭面，根据恒定磁场的高斯定理可知，通过该封闭面的总磁通量为零，由此不难判断通过这两个以闭合回路L 为边界的任意曲面的磁通量相等.（5）错.由（4）已知通过以闭合回路L 为边界的任意曲面的磁通量均相等，但若两曲面处于不同磁介质环境，则根据磁感应强度与磁场强度的关系可知，通过这两个任意曲面的磁场强度通量不等.习题参考解答1 如习题1用图所示，有一半径为R 的圆柱形导体，设电流密度为：⑴ )/1(0R r J J -=；⑵ R r J J /0=．其中0J 为常量，r 为导体内任意点到轴线的距离，试分别计算通过此导体截面的电流（用0J 和横截面积2πS R =表示）．解：（1）在半径为r 处取宽为r d 的细圆环，细圆环面积d 2πd S r r =，其上通过的电流为0d d 2π1d r I J S rJ r R ⎛⎫==- ⎪⎝⎭导体截面的电流为2000011d 2π1d π33R r I I rJ r J R J S R ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭⎰⎰ （2）同理，R r J J /0=，导体截面的电流为 2000022d 2πd π33R r I I rJ r J R J S R ====⎰⎰ 2 一铜棒的横截面积为20×80 mm 2，长为2.0 m ，两端的电势差为50 mV .已知铜的电导率75.710γ=⨯s/m ，铜内自由电子的电荷体密度为1.36×1010 C/m 3.求：⑴ 它的电阻；⑵ 电流；⑶ 电流密度；⑷ 棒内的电场强度；（5） 棒内电子的迁移速度. 解：（1）Ω⨯=Ω⨯⨯⨯⨯==--567102.2108020107.50.21S l R γ （2）A 102.3A 102.21050353⨯=⨯⨯==--R U I （3）26263A/m 104.1A/m 108020103.2⨯=⨯⨯⨯==-S I J （4）V/m 105.2V/m 107.5104.1276-⨯=⨯⨯==γJ E （5）m/s 1011080201036.1103.246103--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==neS I υ 3 在均匀磁场中有一直电流，当电流沿x 正方向时受力指向y 正方向；当电流沿y 负方向时受力指向x 正方向.若电流中电荷的定向运动速度为m/s 1074-⨯=υ，单位电荷所受的磁场力为N 108.24-⨯=F ，求磁感应强度的大小和方向.解：当正电荷速度i υυ=1时，j F F =1和当j υυ-=2时，i F F =1，而且1υ和2υ相互垂直，F ==21F F ，可以确定F 为磁场作用力的最大值，而且B 的方向沿11⨯υF 或22⨯υF 的方向，即z 轴负向．按照定义，B 的大小为442.810T 0.4T 1710F B q υ--⨯===⨯⨯ 4如习题4用图所示，从无限远来的直电流从A 点流入正方形导线框，又从B 点沿直线流向无限远．若正方形边长为l ，且导线粗细均匀，流入的总电流为I ．求正方形中心O 处的磁感应强度．解：电流I 在A 点分流为1I 、2I ，因导线粗细均匀，正方形每一条边上的电阻值相同，设为R ，AB 点间电压恒定，则R I RI 123=在A 点有 I 1 + I 2 = I由以上两式可解得42I I =， 431I I = 利用载流直导线磁感强度表示式计算O 点的磁感应强度，并以垂直图面向里为正向，O 点与各段电流距离为2l d =，对于半无限长电流EA ，01=θ，︒=452θ，方向垂直图面向里，得 ()00012cos cos (cos 0cos 45)(12π2π4π2EA II I B ll l μμμθθ=-=+︒=- 对于半无限长电流BF ，︒=1351θ,︒=902θ，方向垂直图面向里，得0012(cos cos )(1)2π4π2BF I I B l lμμθθ=-=+ 对导线AB ，︒=451θ，︒=1352θ，方向垂直图面向里，得 ()0103cos 45cos1352π4224π2AB I I B l l μμ⎛=-=+= ⎝⎭ 对导线A D 、DC 和CB ，︒=451θ，︒=1352θ，在O 点产生的磁感强度大小相等，方向垂直图面向外，得()01cos 45cos1354π2AD DC CB I B B B l μ===-︒-︒=应用叠加原理，O 点的磁感强度为01πEA BF AB AD DC CB I B B B B B B B l μ⎛=+++++=- ⎝⎭方向垂直图面向里．5 如习题5用图所示，一个半径为R 的无限长半圆柱面导体，沿长度方向的电流I 在柱面上均匀分布．求半圆柱面轴线'OO 上的磁感应强度．解：将半圆柱面分割成宽度为θd d R l =的细线，长细线中的电流d d /(π)I I l R =．细电流与轴线'OO 平行，它在轴线上激发的磁感应强度大小为d d 2πB I R μ=其方向在Oxy 平面内，且与指向的半径垂直，如习题5用图b 所示，由对称性可知，半圆柱面上细电流在轴线'OO 上产生的磁感应强度叠加后，得 0cos d ==⎰θB B yππ00200d sin sin d 2πππx I I B B R R R Rμμθθθ===⎰⎰ 则轴线'OO 上总的磁感应强度大小为 习题5用图02πx IB B R μ==方向指向Ox 轴的负方向．6 如习题6用图所示，宽为l 的薄长金属板，处于xy 平面内，设板上电流为I ，试求: ⑴ x 轴上P 点的磁感应强度的大小和方向；⑵ 当l d >>时，结果又如何？解：(1)在距原点O 为x 处取宽为d x 的细长直导线条带，所载电流为x lI I d d =，应用无限长载流直导线的磁感应强度表达式，作代换I I d →，B B d →，则在P 点产生的磁感强度方向垂直图面向里，大小为： ()0d d 2πI B d l x μ=+- 整个薄长金属板在P 点产生的磁感强度大小为 000d d ln 12π2πll I I x l B B l d l x l d μμ⎛⎫===+ ⎪+-⎝⎭⎰⎰ 方向垂直图面向里． （2）将对数函数作幂级数展开，即 +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2211ln d l d l d l 当l d >>时略去高次项，得： 002π2πI I l B l d dμμ≈= 结果表明在与薄长金属板距离足够远处的磁场近似于长直电流的磁场．7 有一圆环形导体，内外半径分别为1R 和2R ，如习题7用图所示，在圆环面内有稳定的电流沿半径方向均匀分布，总电流为I ．求圆心O 点处的磁感应强度．解：在圆环形导体上距O 点为r 处取宽为d r 的细圆环，所载电流为12d d R R r I I -=，在圆心O 点处的磁感强度方向垂直图面向里，大小为： r I B 2d d 0μ= 整个圆环形导体在O 点产生的磁感强度大小为()()12120120ln 2d 2d 21R R R R I r r R R I B B R R -=-==⎰⎰μμ 方向垂直图面向里．8 电流I 均匀地流过半径为R 的圆柱形长直导线，试计算单位长度导线内的磁场通过如习题8用图所示剖面的磁通量．解：导线内部距轴线为r 处的磁感应强度02()2πIr B r Rμ= 沿轴线方向在剖面上取面元r l S d d =，穿过面元的磁通量d d m B S Φ=．单位长度导线内的磁通量习题8用图002S 0d d 4π2πR m Ir I B r r R μμΦ===⎰⎰ 9 如习题9用图所示，在内外半径分别为1R 和2R 长直圆柱筒形导体轴线上有一长直导线．若长直导线上的电流与导体圆柱筒内的电流等大反向，电流为I ，且电流在圆柱筒截面上均匀分布．求圆柱筒导体内部区域中的磁感应强度.解：圆柱筒导体单位截面积通过的电流，即电流密度为2221π()I R R -，取半径为r （21R r R <<）的圆为安培回路，如图所示，其所包围的电流为()()()22221222222121ππI r R I R r I I R R R R --=-=--∑根据磁场分布的轴对称性，应用安培环路定理，得222002221()d 2πI R r B r I R R μμ-⋅=⋅==-∑⎰B l 则： ()()220222212πI R r B r R R μ-=-10 如习题10用图所示，两根平行长直导线载有电流A 2021==I I ，试求：⑴ 两导线所在平面内与两导线等距的一点A 处的磁感应强度；⑵ 通过图中矩形面积的磁通量．其中cm 101=r 、cm 202=r 、cm 303=r 、cm 25=l ．解：（1）A 处的磁感强度为7-5034π10202T 2.6710 T 2ππ0.3A IB r μ-⨯⨯===⨯⨯ 方向垂直纸面向外．(2)在距矩形面左边线为x 处取宽为d x 长为l 的细长条，面积为d S = l d x ，其中各点磁感强度的大小为：()()01021232π2πx I I B r x r r x μμ=+++-该细长条的磁通量为 012311d d d 2πm x Il B l x x r x r r x μΦ⎛⎫==+ ⎪++-⎝⎭ 矩形面的磁通量为 20012311d d 2πr m m Il x r x r r x μΦΦ⎛⎫==+⎪++-⎝⎭⎰⎰=0312132(ln ln )2πIl r r r r r r μ+-+ 764π10200.25(ln 3ln 0.6) Wb 1.6210Wb 2π--⨯⨯⨯=⨯-=⨯ 11 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如习题11用图所示，其上均匀绕有N 匝线圈，线圈中有电流I ，试求：⑴ 环内距轴线为r 远处的磁感应强度； ⑵ 通过螺线管截面的磁通量．习题9用图习题10用图解：（1）由对称性可知，在环内与螺绕环共轴的圆周上磁感应强度的大小相等，方向沿圆周的切线方向．在环内取半径为r 的环路，应用安培环路定理，得d 2πB r I μ⋅==∑⎰B l因∑=NI I ，代入上式得： 02πNIB rμ=(2)在半径r 处取宽为d r 高为h 的面元，面积为d S = h d r ，通过此面元的磁通量为： 0d d d 2πm NIB S h r rμΦ==通过矩形截面的磁通量为12/2001/22d d ln 2π2πd m m d NIhNIh d r r d μμΦΦ===⎰⎰12 如习题12用图所示，一直导线通以电流1I ，其下有一矩形框与导线在同一铅直面内，线框中通有电流2I .若要使线框不致下落，2I 的方向应如何？线框的最大重量是多少？解：设电流2I 为顺时针方向，根据安培定律，线框各边所受磁场力如习题12用图所示，其中3F 和4F 等大反向，相互抵消，1F 和2F 的大小分别为： 01212πI I bF dμ=， 01222π2I I b F d μ=⨯线框所受合力为：0120122π4πI I b I I b F d dμμ=-0124πI I bd μ= 方向向上，与向下的重力平衡，因而假设2I 取顺时针方向是正确的．线框的最大重量即线框对直导线的最大作用力，其量值应等于线框所受的安培力，即0124πI I bG F d μ==13一矩形线圈载有电流0.10A ，线圈边长分别为m 05.0=d 、m 10.0=b ，线圈平面与xy 平面成角︒=30θ，线圈可绕y 轴转动，如习题13用图所示.今加上B = 0.50 T 的均匀磁场，磁场方向沿x 轴,求线圈所受到的磁力矩.解：载流线圈在均匀磁场中所受磁力矩为ααsin sin IBdb IBS M ==其中α为线圈平面法线与磁感应强度B 之间的夹角．由题意可得θαcos sin =，则mN 10165.2 m N 30cos 1.005.050.01.0 cos sin 4⋅⨯=⋅︒⨯⨯⨯⨯===-θαIBdb IBdb M 方向沿y 轴负向.14 如习题14用图所示的载流线圈中的电流为I ，放在磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，求线圈的磁矩和所受到的磁力矩.解：载流线圈面积为()22213π4S R R =-，磁矩方向垂直纸面向外，大小为： 22213π()4m IS I R R ==-习题13用图习题14用图习题11用图线圈所受到的磁力矩为B m M ⨯=，根据右手螺旋法则可以确定其方向为竖直向上，大小为：()22213π4M BI R R =- 15 一平面线圈电流为I ，匝数为N 、面积为S ，将其放在磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁感应强度的方向与线圈磁矩的方向一致．若将线圈翻转180，问外力需要做多少功？解：作用于载流线圈的磁力矩为： θθsin sin NISB mB M ==线圈转过d θ角度时，磁力矩所作的元功为θθθd sin d d NISB M A -=-= ①磁通量为 θΦcos m BS =线圈转过d θ角度时，磁通量的改变为θθΦd sin d m BS -=，与式①比较,得m d d A NI Φ=当线圈磁矩与B 的夹角由1θ增至2θ，穿过线圈的磁通量从Φm1变为Φm2时，其间磁力矩所作的功A 为m2m1m m2m1d d ()2A A NI NI NIBS ΦΦΦΦΦ===-=⎰⎰16两平行放置的长直流导线相距为d ，分别通有同向的电流I 和2I ，坐标系的选择如习题16用图所示.（1）求2/d x =处磁感应强度的大小和方向； （2）磁感应强度为零的位置.解：（1）根据恒定磁场的安培环路定理不难求得，电流I 在2/d x =处产生的磁感应强度大小为0()2π(/2)I d μ，方向垂直纸面向内，而电流2I 在2/d x =处产生的磁感应强度大小为：0(2)2π(/2)I d μ，方向垂直纸面向外，故2/d x =处的磁感应强度大小为0002π2π2π22IIIB d d dμμμ=-=方向垂直纸面向外.（2）设磁感应强度为零的位置坐标为x ，则有00202π()2πIIB d x xμμ=-=-解得 3dx =17 如习题17用图所示，在截面均匀圆环上任意两点用两根长直导线沿半径方向引到很远的电源上，求环中心O 点的磁感应强度。

第九章稳恒电流的磁场稳恒电流：导体中电流不随时间变化（也叫直流电）。

§9-1基本磁现象安培假说人们对磁现象的研究是很早的，而且开始时是与电现象分开研究的。

发现电、磁现象之间存在着相互联系的事实，首先应归功于丹麦物理学家奥斯特。

他在实验中发现，通有电流的导线（也叫载流导线）附近的磁针，会受力而偏转。

1820年7月21日，他在题为《电流对磁针作用的实验》小册子里，宣布了这个发现。

这个事实表明电流对磁铁有作用力，电流和磁铁一样，也产生磁现象。

1820年8月，奥斯特又发表了第二篇论文，他指出：放在马蹄形磁铁两极间的载流导线也会受力而运动。

这个实验说明了磁铁对运动的电荷有作用力。

1820年9月，法国人安培报告了通有电流的直导线间有相互作用的发现，并在1820年底从数字上给出了两平行导线相互作用力公式。

这说明了二者的作用是通过它们产生的磁现象进行的。

综上可知，电流是一切磁现象的根源。

为了说明物质的磁性，1822年安培提出了有关物质磁性的本性的假说，他认为一切磁现象的根源是电流，即电荷的运动，任何物体的分子中都存在着回路电流，成为分子电流。

分子电流相当于基元磁铁，由此产生磁效应。

安培假说与现代物质的电结构理论是符合的，分子中的电子除绕原子核运动外，电子本身还有自旋运动，分子中电子的这些运动相当于回路电流，即分子电流。

磁场的应用十分广泛。

如：电子射线、回旋加速器、质谱仪、真空开关等都利用了磁场。

§9-2 磁场磁感应强度磁力线磁通量一、磁场1、磁场：运动电荷或电流周围也有一种场，称为磁场。

2、磁场的主要表现（1）力的表现：磁场对运动电荷或载流导体有作用力。

（2）功的表现：磁场对载流导体能做功。

3、实验表明：磁场与电场一样，既有强弱，又有方向。

二、磁感应强度为了描述磁场的性质，如同在描述电场性质时引进电场 强度时一样，也引进一个描述磁场性质的物理量。

下面从磁场对运动电荷的作用力角度来定义磁感应强度。