3 稳恒电流的磁场习题详解

2b
µ0I µ Ia ⋅ adx = 0 ln 2 2π x 2π
4 ．电子 在磁感应 强度为 B 的均 匀磁场中 沿半径为 R 的圆 周运动， 电子运动 所形成 的等效圆 电流
�
I = ______________；等效圆电流的磁矩 Pm = ______________。(已知电子电量的大小为 e，电子的质量为
B = ∫ dB = ∫ µ0 f πσ dr = µ0 f πσ R =
0
R
方向沿轴线与电流成右手螺旋关系。 3．如图 3-9 所示，真空中一无限长圆柱形铜导体，磁导率为 µ 0 ，半径为 R， I 均匀分布，求通过 S（阴影 区）的磁通量。 答案： Φ =
µ0 I µ0 I + ln 2 。 4π 2π
图 3-2 图 3-1
x
]
R O r
�
]
（B ）若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的 H 必为零。 � （C）若闭合曲线上各点 H 均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零。 （D）以闭合曲线Ｌ为边缘的任意曲面的 H 通量均相等。 答案：C 解：若闭合曲线上各点 H 均为零，则沿着闭合曲线 H 环流也为零，根据安培环路定理，则该曲线所包围 传导电流的代数和为零。 4．一无限长直圆筒，半径为 R，表面带有一层均匀电荷，面密度为 σ ，在外力矩的作用下，这圆筒从 t=0 时刻开始以匀角加速度 α 绕轴转动，在 t 时刻圆筒内离轴为 r 处的磁感应强度 B 的大小为 [
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习题三 一、选择题 1．如图 3-1 所示，两根长直载流导线垂直纸面放置，电流 I1 =1A ，方向垂直纸面向外；电流 I2 =2A，方向 � � y 垂直纸面向内，则 P 点的磁感应强度 B 的方向与 x 轴的夹角为[ ] B1 � （A ）30˚； （B ）60˚； （C ）120˚； （D）210˚。 B d 答案：A I1 � P B2 解：如图，电流 I1，I2 在 P 点产生的磁场大小分别为
µ0 I 1 (1 − ) ；方向垂直纸面向内。 2R π
图 3-6
的矢量和。由图中电流方向可知，圆电流的磁场向内，而直线电流的磁场向外，所以，O 点的总磁感应强
B = B1 − B2 =
三、计算题
µ0 I µ0 I µ0 I 1 − = (1 − ) ，方向垂直纸面向内。 2 R 2 πR 2 R π
电流 acb 边在 O 点的磁感应强度为
B3 = 2 ⋅
方向垂直平面向外。
2
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所以，三角形线框在中心 O 点的合磁感应强度为 0。 则，总电流在 O 点的磁感应强度为
B =
3 µ0 I ，方向垂直平面向里。 4π
O
3．在一根通有电流 I 的长直导线旁，与之共面地放着一个长、宽各为 a 和 b 的矩形线框，线框的长边与载流长直导线平行，且二者相距为 b，如图 3-5 所 示。在此情形中，线框内的磁通量 Φ = ______________。 答案：
σ
r R
dq = σ 2π rdr
电流为 dI = fdq = f σ 2π rdr
q ） π R2
（其中 f =
ω ） 2π
图 3-8
在盘心所产生的磁感应强度的大小为
dB =
µ 0 dI = µ 0 nπσdr 2r
µ0ω q 2π R
每一载流圆环在盘心处的 dB 方向相同，故盘心处的合磁感应强度的大小为
Z
� Idl
I
o
R
90 �
r x
θ
dB⊥
� dB
P dB//
图 3-7
x
dB =
� 由对称性分析，各 dB 的垂直轴线的分量全部抵消，只剩下平行于轴线的分量：
µ Idl 4π r 2
dB // = dB sin θ = dB
所以
R r
B = ∫ dB// = ∫
2π R
0
µ IdlR µ R 2 I µ R 2I = = ，方向沿轴线。 3 3 2 4π r 2 r 2 (R + x 2 )3 / 2
3
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1．如图 3-7 所示，载流圆线圈通有电流为 I，求载流圆线圈轴线上某点
Y
P 的磁感应强度。
µ R 2I 答案： B = ，方向沿轴线。 2 2 ( R + x 2 )3 2
� π π � 解：电流元 Idl 与对应处 r 的夹角均为 ， sin = 1 ，则 2 2
�
I
�
a
b a
P
µ0 I
2π a
ln
a +b 。 b
图 3-3
解：如图所示，建立水平的坐标 x 轴，平片电流分割成无限个宽度为 dx，电流强度为 dx 的无限长直线电 流，在 P 点处的磁感应强度为
I a
dB =
µ0 I dx 2π a ( a + b − x)
所以，平片电流在 P 点的磁感应强度为
b b
I dS a
图 3-5
µ 0 Ia ln 2 。 2π
X
解： 如图所示， 建立竖直向下的坐标轴 OX， 在矩形线框内取平行于长直导线的微元面积 dS， 磁通量为 d Φ ， 则
� � µI µI d Φ = B ⋅ dS = 0 ⋅dS = 0 ⋅adx 2π x 2π x
所以，线框内总的磁通量为 Φ = ∫ d Φ = ∫b
µ0 r 2 dI （见计算题 1） 2 R3 dI = σ dSf ，而 dS = 2π rdl = 2π R sin θ ⋅ Rd θ ω ，所以 2π dI = σ dSf = σ 2π R 2 sin θd θ ω 2π
图 3-10
又 r = R sin θ ， f =
B = ∫ dB =
0
µ0 I 3µ0 I = 4π Ob 4π
b
β2 β1
I
2
B2 =
µ0 I ab 3µ0 I (sin60° − sin (−60° ) ) = 6π d 4π d µ0 I ac 3µ0 I (sin60 ° − sin ( −60 °) ) = 6π d 4π d
方向垂直平面向里；
I 1
a
d
O e c
B1 =
I1 I2 ，又由题意知 B1 = B2 ； , B2 = 2π d 2π 2d
I2
2d
再由图中几何关系容易得出，B 与 x 轴的夹角为 30º。 2．如图 3-2 所示，一半径为 R 的载流圆柱体，电流 I 均匀流过截面。设柱体内 （r < R）的磁感应强度为 B 1，柱体外（r > R ）的磁感应强度为 B 2 ，则 [ （A ）B1 、B2 都与 r 成正比； （B ）B1 、B 2 都与 r 成反比； （C）B1 与 r 成反比，B2 与 r 成正比； （D）B1 与 r 成正比，B 2 与 r 成反比。 答案：D 解：无限长均匀载流圆柱体，其内部磁场与截面半径成正比，而外部场等效于电流集 中于其轴线上的直线电流磁场，所以外部磁场与半径成反比。 3．关于稳恒电流磁场的磁场强度 H ，下列几种说法中正确的是 [ � （A ） H 仅与传导电流有关。
b
I
源自文库
2
3µ 0 I 。 4π
1 方向垂直平
O I
a e
图 3-4
c
解：长直线电流 1a 在 O 点的磁感应强度为 0； 长直线电流 b2 在 O 点的磁感应强度为 B1 = 面向里； 电流 ab 边和 acb 边的电流强度分别为 I 和 I ； 3 3 电流 ab 边在 O 点的磁感应强度为（ β1 = −60°, β2 = 60 ° ） 2 1
Φ = Φ1 + Φ 2 =
µ0I µ0I + ln 2 4π 2π
4．如图 3-10 所示，一半径 R 的非导体球面均匀带电，面密度为 σ，若该球以通过球心的直径为轴用角速 度ω旋转，求球心处的磁感应强度的大小和方向。 答案： B = 2 µ0σω R ；方向沿轴向上。 3
解：利用圆形电流在轴线上产生的磁场公式 dB = 如图所示
I a b a P a
B =∫
a
0
µ0 I µ I a +b dx = 0 ln 2π a ( a + b − x) 2π a b
图 3-3
2．在真空中，电流 I 由长直导线 1 沿垂直 bc 边方向经 a 点流入一电阻均匀分布 的正三角形线框，再由 b 点沿平行 ac 边方向流出，经长直导线 2 返回电 源，如图 3-4 所示。三角形框每边长为 l ，则在该正三角框中心 O 点处磁 感应强度的大小 B = ______________。 答案： B =
I R dr
1m
解：取平行于无限长圆柱形铜导体轴线的面元 dS = 1dr ， 无限长圆柱形铜导体周围空间磁场强度分布为
⎧ µ0 Ir 2 ⎪ ⎪ B = ⎨ 2π R ⎪ µ0 I ⎪ ⎩ 2π r
在导体内阴影部分的磁通量为
r <R r≥R
2R
3-9
4
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�
�
�
�
�
]
R （A ）0； （B） µ0σ Rα t ； （C ） µ0 σ αt ； r
答案：B 解：圆筒转动时形成电流，单位长度圆筒的电流强度为 在 t 时刻圆筒转动的角速度为
r （D） µ0 σ αt 。 R
I = σ ⋅ 2πR ⋅
ω = σR ω 2π
ω = αt I = σ Rαt
所以，t 时刻单位长度圆筒的电流强度为
m)。
答案： I =
� 解：电子在磁感应强度为 B 的均匀磁场中沿半径为 R 的圆周运动，电子所受的磁场力为电子做圆周运动 的向心力，即
e 2B e2 BR2 ； Pm = 。 2π m 2m
mv 2 eBR = evB ，所以 v = m R
电子运动所形成的等效圆电流为 等效圆电流的磁矩为
I = e ⋅ f = e⋅
2．一个塑料圆盘，半径为 R ，电荷 q 均匀分布于表面，圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为ω。 求圆盘中心处的磁感应强度。
ω
dr
µ ωq 答案： B = 0 ，方向沿轴线与电流成右手螺旋关系。 2π R
解：如图所示，在圆盘上取半径为 r 、宽为 dr 的细圆环，环上所带电荷量为 （其中 σ =
则，圆筒转动形成圆电流在内部的磁感应强度为（类似于无限长直螺线管） B = µ 0 I = µ 0σ Rα t
1
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5．能否用安培环路定律，直接求出下列各种截面的长直载流导线各自所产生的磁感应强度 B 。 （1）圆形 截面； （2）半圆形截面； （3）正方形截面 [ （A ）第（1）种可以，第（2） （3）种不行； （B ）第（1） （2）种可以，第（3）种不行； （C）第（1） （3）种可以，第（2）种不行； （D）第（1） （2） （3）种都可以。 答案：A 解：利用安培环路定理时，必须要求所选环路上磁感应强度具有对称性，B 可作为常数提出积分号外，否 则就无法利用该定律来计算 B 。 二、填空题 1．如图 3-3 所示，一无限长扁平铜片，宽度为 a，厚度不计，电流 I 在铜片上均匀 分布。求铜片外与铜片共面、离铜片右边缘为 b 处的 P 点的磁感应强度 B 的大 小 答案： 。 ]
� � R µ I µ I 0 Φ1 = ∫ B1 ⋅ ds =∫ B1 ds = ∫ rdr = 0 0 2π R2 4π
在导体外阴影部分的磁通量为
� � 2R µ I µ I 0 Φ 2 = ∫ B2 ⋅ ds =∫ B2 ds = ∫ dr = 0 ln 2 R 2π r 2π 所以，通过 S（阴影区）的总磁通量为
π
µ0 π r 2σω R 2 sin θ dθ µ0 σω R π 3 = sin θ d θ 2 ∫0 R3 2 ∫0
π
=
µ0σω R ⎡ sin 2 θ cos θ ⎤ µ0σω R 2 2 µ σω R [− cos θ ]π0 = 0 ⎢− ⎥ + 2 ⎣ 3 2 3 3 ⎦0
5
v e2 B = 2π R 2π m
Pm = IS =
e2 B e2 BR 2 ⋅ π R2 = 2π m 2m
5．如图 3-6 所示，无限长直导线在 P 处弯成半径为 R 的圆，当通以电流 I 时，则在圆 心 O 点的磁感强度大小等于 答案： ；方向 。
I P
R O I
� � 解：圆心 O 处的磁场是圆电流在圆心处产生的磁场 B1 与场无限长直线电流的磁场 B 2 度大小为