2.3.1直线与平面垂直的判定(公开课)

则该直线与此平面垂直．
la l b a b a b A
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判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
l
l
b

A
a
作用： 判定直线与平面垂直． 思想： 直线与平面垂直 直线与直线垂直
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典型例题
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我 记作 l ． 们说直线 l 与平面 互相垂直，
平面 的垂线
垂足
l
P
直线 l 的垂面

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直线与平面垂直
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Байду номын сангаас
除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？
l

P
4
直线与平面垂直判定定理 金太阳教育网
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n

又因为 b // a 所以 b m, b n. 又 m , n , m, n 是两条相交直线， 所以 b .
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随堂练习
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如图，直四棱柱 ABCD ABCD （侧棱与底面垂直的 ABCD 棱柱成为直棱柱）中，底面四边形 满足什么条件 AC BD 时， ？
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2.3.1直线与平面垂直的判定
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实例引入
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生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几 个吗？
旗杆与底面垂直
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直线与平面垂直
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A E B
.K
F
C
思考:已知ＰＡ⊥⊙Ｏ所在的平面，AB是⊙Ｏ 的直径，Ｃ是⊙Ｏ上上异于A，B的任意一点， 过点A作ＡＥ⊥ＰＣ，垂足为E，如图所示: 求证：ＡＥ⊥平面ＰＢＣ Ｐ
E
A
O C
B
想一想
判断下列命题是否正确？
(1) 若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则 这条直线垂直于三角形所在的平面.( √ ) (2) 若一条直线与一个平行四边形的两条边垂 直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平 面.(×) (3) 若一条直线与一个梯形的两腰垂直， 则这条直线垂直于梯形所在的平面. ( √ )
B B
D
C （3）若保持折痕AD⊥BC，再翻折之后，AD与桌面 (4)你能归纳出线面垂直的判定定理吗？ 的垂直关系发生变化吗？
C
直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直． l 线不在多 相交则行
m n 符号语言： m I n=O l^ m l^ n
辨析1:
下列命题是否正确,为什么? （1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数
条直线，那么这条直线与这个平面垂
直。
（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这 条直线就垂直于这个平面内的任一直 线。
思考4:
判断直线与平面是否垂直,是否一定要判断 该直线和平面内的任意一条直线都要垂直 吗?
问题情景1:
在长方体ABCD－A1B1C1D1模型中，棱BB1与底 面ABCD垂直，观察BB1与底面ABCD内直线AB、 BC有怎样的位置关系？
a ^ m, a ^ n.
b
n

m
又因为 b // a 所以 b ^ m, b ^ n. 又 m , n , m, n 是两条相交直线， 所以 b ^ .

2.3.1直线与平面垂直的判定
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？
旗杆与底面垂直
思考.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子 有何位置关系. A 1.旗杆所在的直线始终与
影子所在的直线垂直.
2. 直线AB垂直于平面 内的任意一条直线．
B1
α
B
C1
C
直线与平面垂直
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
A
P
O
C
B
(2) C为圆 O上一点 ，AB 为直径 BC AC
1得BC PA, 又 PA AC A 由 BC 面PAC
例 3：如图 6，已知 PA ⊥⊙O 所在平面，AB 为 ⊙O 直径， C 是圆周上任一点，过 A 作 AE⊥PC 于 E，求证：AE⊥平面 PBC. 证明：∵PA ⊥⊙O 所在平面， BC⊂⊙O 所在平面，∴PA ⊥BC， ∵AB 为⊙O 直径， ∴AC⊥BC，
∵BC⊥PA ，∴BC⊥OA. 同理可证 AC⊥OB， ∴O是△ ABC 的垂心．
(4)如图 25，
图 25
P到△ ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF， 则 PD＝PE＝PF. ∵PO⊥平面 ABC，∴PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影 分别是 OD、OE、OF. ∴OD＝OE＝OF，且 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. ∴O是△ ABC 的内心．
又∵AE ∩DE =E，∴BC⊥平面AED.
2.如图，圆O所在一平面为 ， AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC

(1) 平面有两条直线 (2) 这两条直线要相交 (3) 平面外的直线要与这两条直线都垂直 你能根据刚才的分析归纳出直线与平面垂 直判定定理吗
二、 直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 一相交两垂直
m n m n lm ln
A
D
B
C
1.直线与平面垂直的定义，垂线、垂面、垂足的概念。
2.直线与平面垂直的判定：（三种方法）
（1）用定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，
就说直线 l 与平面α互相垂直。
（2）用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两相交直线都垂直，则该 直线与此平面垂直。
（3）利用例5的结论：
（是）
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探索新知： 利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基 本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.
l l m, 任意 m .
但是，直接考察直线与平面内所有直线都 垂直是不可能的，这就有必要去寻找比定义法 更简捷、更可行的直线与平面垂直的方法!
探索新知：
顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将 翻折后的纸片竖起放置在桌面上（ BD、DC与桌面接触） 1.折痕AD与桌面垂直吗？ 2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
A
C
做一 请同学们拿出一块三角形纸片， 做 想一 我们一起做一个试验：过三角形的 想
A
D
B
D
C

B
探索新知： 2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
A
C
A
D
B
D
C

B
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面 垂直．