6.5 超静定结构在支座移动时的内力计算
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建筑力学教材课件第八章 超静定结构的内力分析
⑶求系数和自由项
11
1 1 2 256 4 4 4 4 4 4 EI 2 3 3EI 1 1 1280 80 4 4 EI 3 3EI
1P
⑷求解多余力
⑸绘制内力图 各杆端弯矩可按 M X 1 M 1 M P 计算，最后弯矩图如图8-7c所示。
图（a）所示刚架有两个刚结点，现在两个刚结点
都发生了角位移和线位移，但在忽略杆件的轴向变形
时，这两个线位移相等，即独立的结点线位移只有一 个，因此用位移法求解时，该结构的基本未知量是两 个角位移C和 D 以及一个线位移Δ。
(b)
同理，图（ b）所示排架有三个铰结点，其水 平线位移相同，故该结构的基本未知量是一个线位 移Δ。
M 1M P 1 1 ql 2 3l ql 4 dx l EI EI 3 2 4 8 EI
同理可用 M 1 图与 M P 图相图乘计算 1P ,得
1P
将11 和1P 之值代入力法基本方程由此求出：
X1 1P
11
ql 4 l 3 3ql / 8 EI 3EI 8
• 即：n次超静定结构力法的基本方程，通常称为力法典型方程。这一 方程组的物理意义为：基本结构在全部多余未知力和荷载共同作用下， 在去掉多余联系处沿各多余未知力方向的位移，应与原结构相等。 • 典型方程中，多余未知力系数主对角线上称为主系数，其物理意义为： 当单位力单独作用时，在其自身方向上所引起的位移，恒为正且不为 零。其它系数称为副系数，其物理意义为：当单位力单独作用时，所 引起方向的位移。各式最后一项称为自由项，它是荷载单独作用时所 引起的方向的位移。副系数和自由项的值可能为正、负或零。
高等工程力学1 超静定结构内力计算
M i 、Qi、N i ——任取的基本体系在单位力作用下的内力图，而单位力是加在 要求位移的截面上的；
—RK—基本体系支座k在单位力作用下的反力；
cK——k支座的实际位移。 公式（1-7）的前三项表示基本体系在荷载和多余未知力的作用下的位移，后
三项表示基本体系在温度变化和支座移动情况下引起的位移。
1 超静定结构内力计算
⑵ 有结点线位移的情况 计算这类结构时；原利用公式（1-11）考虑各结点的弯矩平衡外，还需考虑 相应杆端剪力的平衡。取适当的截面截出结构的一部分，通常是截断各柱的柱顶 端。取出横梁。考虑剪力平衡，建立剪力平衡方程，即
Qx 0
(1-12)
补充了剪力平衡方程后，方程式的数目仍然与未知数的数目相等，方程式总是 可以求解的。
1 超静定结构内力计算
§1.1.1力法的基本原理（续4）
由力法方程解出未知力X1、X2、…Xn后，超静定结构的内力可根据叠加原理 用下式计算：
M M1X1 M2X2 MnXn MP Q Q1 X 1 Q2 X 2 Qn X n QP N N1X1 N2 X 2 Nn X n NP
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力(续1)
同理附加链杆处的反力也为零，即
R2 R21 R22 R2P 0
或写成
r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
对于有n个基本未知数的结构，位移法典型方程式为：
r11Z1 r12 Z2 r1n Zn R1P 0 r21Z1 r22 Z2 r2n Zn R2P 0
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续1）
AB杆产生位移后，杆端的总弯矩为
M AB
M
/ AB
M
结构力学二5-超静定结构的内力与位移计算
X1=1
X2=1
M2
P
X3=1
M3
MP
另一解法
P X1 X2 X3
M1
13 31 0
2 P 3 P 0
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 0 X X 0 32 2 33 3
i 1X1+ i 2X2+
… …
+ 1iXi+
+ i iXi+
… …
+ 1nXn+△1P=0
+ i nXn+△iP=0
…………………………………………………………… n1X1+ n2X2+ … + niXi+ … + nnXn+△nP=0
这便是n次超静定结构的力法典型(正则)方程。式中 Xi为多余未知力， i i为主系数，i j(i≠j)为副系数, △iP 为常数项（又称自由项）。
4. 力法典型(正则)方程系数和自由项的计算
典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在已知力 作用下的位移，可以用计算位移的方法计算。对于平面结构 ，这些位移的计算公式为
对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后， 代入典型方程即可解出各多余未知力。
力法的计算步骤和示例 1. 示例 n=2(二次超静定) 选择基本结构如图示 C
3. 力法方程及系数的物理意义 （1）力法方程的物理意义为：基本结构在全部多余未知 力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向上的位移 ，应与原结构相应的位移相等。 （2）系数及其物理意义：下标相同的系数 i i 称为主系数( 主位移)，它是单位多余未知力 单独作用时所引起的沿 其自身方向上的位移，其值恒为正。 系数 i j(i≠j)称为副系数(副位移)，它是单位多余未知力 单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移，其值可能为 正、为负或为零。据位移互等定理，有 i j= j i △i P称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起的沿Xi 方向的位移。其值可能为正、为负或为零。 上述方程的组成具有规律性，故称为力法典型方程。
自考结构力学 超静定结构的内力和位移
3、力法基本方程－
D11 d 11 X 1 d 11 X 1 D1P 0
D11 X 1 D1 p 0
一、力法基本思路 有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，解决 多余约束中的多余约束力是解超静定的关键。
力法的基本体系
D1=0 D11=1
D11 + D1P =0 d11x1+ D1P =0
作单位和荷载弯矩图
FP F Pa
求系数、建立力法方程并求解
X2 5 FP X1 4 FP 0 仅与刚 X1 6 4 96 11 度相对 X1 5X2 FP 3F 值有关 P 0 X2 4 6 16 88
4 FP X1 11 X 2 3 FP 88
基本方程的物理意义？
X1
X2
a
b
l
a
b
基本结构在支座位移和基本未知力共同作用下，在基本 未知力作用方向上产生的位移与原结构的位移完全相等。
d11 X 1 d12 X 2 D1c 0 d 21 X 1 d 22 X 2 D 2 c
h
X1 1
1
1 l
X2 1
注意
q
1、基本体系有多种选择；
X1
q
q
X1
EI
1
q q
D1 p
q
X1 X1
D1 p
)d
d 11 X 1
11
X1
X1
（a） 2、系数和自由项的计算 3、采用叠加法绘制内力图
（b）
（c）
基本原理举例
例1. 求解图示单跨梁 原结构
待解的未知问题
D11 d 11 X 1 d 11 X 1 D1P 0
D11 X 1 D1 p 0
一、力法基本思路 有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，解决 多余约束中的多余约束力是解超静定的关键。
力法的基本体系
D1=0 D11=1
D11 + D1P =0 d11x1+ D1P =0
作单位和荷载弯矩图
FP F Pa
求系数、建立力法方程并求解
X2 5 FP X1 4 FP 0 仅与刚 X1 6 4 96 11 度相对 X1 5X2 FP 3F 值有关 P 0 X2 4 6 16 88
4 FP X1 11 X 2 3 FP 88
基本方程的物理意义？
X1
X2
a
b
l
a
b
基本结构在支座位移和基本未知力共同作用下，在基本 未知力作用方向上产生的位移与原结构的位移完全相等。
d11 X 1 d12 X 2 D1c 0 d 21 X 1 d 22 X 2 D 2 c
h
X1 1
1
1 l
X2 1
注意
q
1、基本体系有多种选择；
X1
q
q
X1
EI
1
q q
D1 p
q
X1 X1
D1 p
)d
d 11 X 1
11
X1
X1
（a） 2、系数和自由项的计算 3、采用叠加法绘制内力图
（b）
（c）
基本原理举例
例1. 求解图示单跨梁 原结构
待解的未知问题
建筑力学第六章超静定结构内力计算资料
n1Χ1 n2 Χ 2 ni X i nn Χ n ΔnF 0从左上方
至右下方的一条主对角线上的系数δii称为主系数， 它表示Xi=1时，引起的基本结构上沿Xi方向上的位 移，它可利用 图M自1 乘求得,其值恒为正值；主对 角线两侧的系数δij(i≠j)称为副系数，它表示Xj =1时， 引起的基本结构上沿Xi方向上的位移，它可利用 图与 图M互i 乘求M得j。
Δ1=0
上式称为基本结构应满足 的原结构的位移条件，设 Δ1F[图(c)]和Δ11[图(d)]分别表示 荷载q与多余末知力X1单独作 用于基本结构上时，引起的B 点沿X1方向上的位移。由叠加 原理，有
Δ1 =Δ11 +Δ1F =0
(b)基本结构
X1
=
(c)
+
(d)
X1
由于X1是末知力，若以δ11表示X1＝1单独作用 于基本结构时引起的B点沿X1方向上的位移，即 Δ11 = δ11·X1 ，则
6.3.1 位移法的基本概念
位移法是以结构的结点位移作为基本未知量， 由平衡条件建立位移法方程求解结点位移，利用 杆端位移和杆端内力之间的关系计算杆件和结构 的内力，从而把超静定结构的计算问题转化为单 跨超静定梁的计算问题。
为了说明位移法的基本概念，我们来研究图 （a）所示的等截面连续梁。
此梁在均布荷载作用下的变形情况如图虚线所 示。。 由于B点为刚性结点，所以，汇交于此点的各 杆在该端将发生相同的转角B 。
多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与 荷载q共同作用在基本结构上, 就可以按求解静定结
构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘
出原结构的弯矩图，如图（c）所示。
超静定结构的最后弯矩图
超静定结构内力计算
超静定结构内力计算首先，需要明确的是，超静定结构与静定结构的计算方法基本相同，都是通过力平衡和力矩平衡方程来计算结构内力。
下面以一简支梁为例，介绍超静定结构内力计算的方法。
假设有一简支梁，梁长为L，受到均布载荷q，支座A、B处有横向支撑。
我们需要计算梁上任意一点x处的弯矩和剪力。
首先，对于简支梁，力平衡方程可得：∑Fx=0=>RA+RB=0(1)∑Fy=0=>VA+VB-qL=0(2)力矩平衡方程可得：∑Mz=0=>-qLx+VBx=0(3)(x为横坐标)由以上方程可以得到：RA=-RB=-qL/2，VA=-VB=qL/2接下来，我们可以使用能量方法计算结构内力。
能量方法是利用结构所受外界实际工作等于内力做的虚功，通过对外界做功和结构内工作的平衡，求解得到内力。
我们将简支梁分解为多个力学小段，每一小段的长度为Δx。
考虑梁上一小段AB，以A点为起点，Δx位置为B点。
对这一小段，外界对结构所做的虚功为：δWext = -VAdy (4) (dy为小段长度)其中，结构内力V由能量方法得到。
结构内力杆件AB的内工作为：dU = VAdy (5)因为外界做的虚功等于内工作，可得：-δWext = dU将式(4)和式(5)代入上式，得：VAdy = -VAdy对上式进行积分，得：∫VAdy = -∫VAdy∫VAdy = -(∫VAdy)由于简支梁内力为常数，所以可以将其从积分符号中移出，得：V∫Ady = -V∫Ady即：VAΔy=-VAΔy可以看出，对于简支梁而言，外界虚功和结构内工作的积分是相等的。
通过上述分析，我们可以发现，能量方法实际上是在计算外界对结构做的虚功，而虚功就是外界力对结构的作用力乘以作用距离的积分。
所以能量方法的基本思想是通过积分计算外界对结构的虚功，然后根据虚功等于内工作的原理，推导出结构的内力。
总结起来，超静定结构的内力计算方法主要是使用力平衡和力矩平衡方程，利用能量方法计算结构内力。
最新建筑力学第六章超静定结构内力计算
δ11·X1 +Δ1F =0 上式称为力法方程，而δ11称为方程的系数， Δ1F称为方程的自由项。
因为δ11和Δ1F均为已知力作于静定结构时，引起 的B点沿X1方向上的位移，所以由静定结构的位移计 算方法可以求得。因此解力法方程可求出多余未知
力X1。
为了具体计算位移δ11和Δ1F，可分别绘出基本 结构在荷载q和X1＝1单独作用下的MF图和 M图1 [图(a， b)]，然后用图乘法计算。
构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘
出原结构的弯矩图，如图（c）所示。
超静定结构的最后弯矩图
ql 2 8
ql 2
M，也可利用已经绘出的
M
图
1
和 MF 图 按 叠 加 原 理 绘 出 ， A
8
B
即MM1X1MF。
M图 （c）
综上所述，力法是以多余未知力作为基本未知 量，以去掉多余约束后的静定结构作为基本结构， 根据基本结构在多余约束处与原结构完全相同的位 移条件建立力法方程，求解多余未知力，从而把超 静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。
同理可用M 1 图乘MF图计算Δ1F
Δ 1F E 1 I1 3l1 2q2l4 3l8 qE 4lI
(a) MF 图
将δ11和Δ1F代入力法方程，可解得多余未知力
X1。
Χ1
1F 1 1
3ql 8
X1
(b)M1图
所得末知力X1为正号，表示反力X1的方向与所
设的方向相同。
多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与 荷载q共同作用在基本结构上, 就可以按求解静定结
X2 、X3方向上的位移[图(f)]。
对于n次超静定结构，用力法分析时，去掉n
个多余约束，代之以n个多余未知力，当原结构在
因为δ11和Δ1F均为已知力作于静定结构时，引起 的B点沿X1方向上的位移，所以由静定结构的位移计 算方法可以求得。因此解力法方程可求出多余未知
力X1。
为了具体计算位移δ11和Δ1F，可分别绘出基本 结构在荷载q和X1＝1单独作用下的MF图和 M图1 [图(a， b)]，然后用图乘法计算。
构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘
出原结构的弯矩图，如图（c）所示。
超静定结构的最后弯矩图
ql 2 8
ql 2
M，也可利用已经绘出的
M
图
1
和 MF 图 按 叠 加 原 理 绘 出 ， A
8
B
即MM1X1MF。
M图 （c）
综上所述，力法是以多余未知力作为基本未知 量，以去掉多余约束后的静定结构作为基本结构， 根据基本结构在多余约束处与原结构完全相同的位 移条件建立力法方程，求解多余未知力，从而把超 静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。
同理可用M 1 图乘MF图计算Δ1F
Δ 1F E 1 I1 3l1 2q2l4 3l8 qE 4lI
(a) MF 图
将δ11和Δ1F代入力法方程，可解得多余未知力
X1。
Χ1
1F 1 1
3ql 8
X1
(b)M1图
所得末知力X1为正号，表示反力X1的方向与所
设的方向相同。
多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与 荷载q共同作用在基本结构上, 就可以按求解静定结
X2 、X3方向上的位移[图(f)]。
对于n次超静定结构，用力法分析时，去掉n
个多余约束，代之以n个多余未知力，当原结构在
用力法计算超静定结构在支座移动和温变化时的内力
l
M1 图
X1=1
得
l3 3EI
X 1 q l a
由此求得
X1
3EI l2
(q
a) l
弯矩叠加公式为：
M M1X1
3EI (q a )
l
l
M图
X1
q
A
C q
B a
l/2
l/2
l
q
q
X1 a
基本体系之一
q
q
D1c
FRA 1
l
M1 图
X1=1
(2)第二种解法
取支座A的反力偶作为多余未知力X1， 其力法方程为
计算支座移动引起n次超静定结构的内力时，力法程中 第 i个方程的一般形式可写为
n
ij X j Δic Ci
j 1
ij为柔度系数
Ci，表示原结构在Xi方向的实际位移
Dic，表示基本结构在支座移动作用下在Xi方向的位移
【例7-9】图示单跨超静定梁AB，已知EI为常数，左端支座转动角度为q ，
右端支座下沉位移为a，试求在梁中引起的自内力。
)
10
(
1 2
1
l
)
2.5
(1 l
l)
10
(
2 l
l)
100 22.5 77.5
代入典型方程，可得
77.5EI/l
A
B
X1
Δ1t
11
77.5EI
l
()
最后弯矩图M M1 X1 ，如图所示。
77.5EI/l 77.5EI/l
C
D
77.5EI/l
M图
由计算结果可知，在温度变化时，超静定结构的内力与反力与各 杆件刚度的绝对值成正比。因此，加大截面尺寸并不是改善自内 力状态的有效途径。另外，对于钢筋混凝土梁，要特别注意因降 温可能出现裂缝的情况（对超静定梁而言，其低温一侧受拉而高 温一侧受压）。
超静定结构的计算
一. 用力法计算超静定结构（一）复习重点1. 理解超静定结构及多余约束的概念，学会确定超静定次数2. 理解力法原理3. 掌握用力法计算超静定梁和刚架（一次及二次超静定结构）4. 掌握用力法计算超静定桁架和组合结构（一次及二次超静定结构）5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的计算（一次超静定结构）（二）小结1. 超静定结构、多余约束、超静定次数（1）超静定结构从几何组成角度，结构分为静定结构和超静定结构。
静定结构：几何不变，无多余约束。
超静定结构：几何不变，有多余约束。
（2）多余约束多余约束的选取方案不唯一，但是多余约束的总数目是不变的。
（3）超静定次数多余约束的个数是超静定次数。
判断方法：去掉多余约束使原结构变成静定结构。
2. 力法原理力法是计算超静定结构最基本的方法（1）将原结构变为基本结构（2）位移条件：（3）建立力法方程3．用力法求解超静定梁和刚架例：二次超静定结构（1）原结构变为基本结构（2）位移条件（3）力法方程（3）绘弯矩图4. 用力法计算超静定桁架和组合结构注意各杆的受力特点：二力杆只有轴力，受弯杆的内力有弯矩、剪力和轴力。
例：超静定组合结构（1）原结构变为基本结构（2）位移条件（3）力法方程（4）绘弯矩图5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的内力计算（1）温度变化时，超静定结构的内力计算原结构变为基本结构位移条件力法方程（2）支座移动时，超静定结构的内力计算原结构变为基本结构位移条件二. 用位移法计算超静定结构（一）复习重点1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别2. 掌握用位移法计算超静定结构（具有一个及两个结点位移）3. 掌握计算对称结构的简化方法（二）小结1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别位移法是求解超静定结构的又一基本方法，适用于求解超静定次数较高的连续梁和刚架。
位移法的前提假设：对于受弯的杆件，可略去轴向变形和剪切变形的影响，2. 掌握用位移法求解超静定结构（具有一个及两个结点位移的结构）例：求连续梁的内力解：（1）确定基本未知量及基本体系基本未知量是结点B的角位移。
支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
11X1 12 X 2 1c 0 21X1 22 X 2 2c 0
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算 从以上分析可以看到，选不同形式的基本结构，建立的力法方
程的形式不同。但各种形式的力法方程表达的物理意义的实质是相 同的。在力法方程的等号左边表示的是：基本结构上在各种因素作 用下引起的某一多余力方向上的位移；而等号右边表示的是：原结 构在此方向上的位移。
度升图高a所t2 示C，为用两力次法超计静算定其刚内架力，的设方各法杆与外支侧座温移度动升时高的t1情C，况内相侧类温似。 首先选取基本结构，设去掉支座C处的两个多余约束，代之以多余 未知力X1、X2，得到基本结构如图b所示。列出力法方程为
11X1 12 X 2 1t 0 21X1 22 X 2 2t 0
式中系数计算和前面相同。
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
自由项 it（i = 1，2）表示基本结构上C点处由温度改变所引起 的Xi方向上的位移，可按十三章中介绍的位移计算公式求得，即
it
() l FNilt0ds
() Mil tds
lh
(a)
当t0、t 、h、 l 为常数时，则上式可写成
侧截温面度形降心低轴5为C对，称各轴杆，材截料面的高线度膨h胀= 0系.4数m。为试用l ，力弯法曲计刚算度，E并I为绘常制数，
内力图。
【解】 此刚架为一次超静定结构，取基本结构如图b所示。建
立力法方程为
11Χ 11t 0
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
绘出 M1 、FN1 图，分别如图c、d所示。
it
lt0 ANi
l
t h
AMi
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算 从以上分析可以看到，选不同形式的基本结构，建立的力法方
程的形式不同。但各种形式的力法方程表达的物理意义的实质是相 同的。在力法方程的等号左边表示的是：基本结构上在各种因素作 用下引起的某一多余力方向上的位移；而等号右边表示的是：原结 构在此方向上的位移。
度升图高a所t2 示C，为用两力次法超计静算定其刚内架力，的设方各法杆与外支侧座温移度动升时高的t1情C，况内相侧类温似。 首先选取基本结构，设去掉支座C处的两个多余约束，代之以多余 未知力X1、X2，得到基本结构如图b所示。列出力法方程为
11X1 12 X 2 1t 0 21X1 22 X 2 2t 0
式中系数计算和前面相同。
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
自由项 it（i = 1，2）表示基本结构上C点处由温度改变所引起 的Xi方向上的位移，可按十三章中介绍的位移计算公式求得，即
it
() l FNilt0ds
() Mil tds
lh
(a)
当t0、t 、h、 l 为常数时，则上式可写成
侧截温面度形降心低轴5为C对，称各轴杆，材截料面的高线度膨h胀= 0系.4数m。为试用l ，力弯法曲计刚算度，E并I为绘常制数，
内力图。
【解】 此刚架为一次超静定结构，取基本结构如图b所示。建
立力法方程为
11Χ 11t 0
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
绘出 M1 、FN1 图，分别如图c、d所示。
it
lt0 ANi
l
t h
AMi
1. 超静定结构在支座移动作用下产生的内力与刚度
1. 超静定结构在支座移动作用下产生的内力与刚度A. 无关B. 相对值有关C. 绝对值有关D. 相对值绝对值都有关2. 用力法计算超静定结构时，其基本未知量为A. 杆端弯矩B. 结点角位移C. 结点线位移D. 多余未知力3. 力法典型方程是根据以下哪个条件得到的A. 结构的平衡条件B.多余约束处的位移协调条件C. 结构的变形条件D. 同时满足A、B两个条件4.用力法计算图示结构时，不能作为基本结构的是图A.B.C.D.5. 在力法方程的系数和自由项中A. 恒大于零B. 恒大于零C. 恒大于零D. 恒大于零图示结构的超静定次数是A. 12B. 10C. 9D. 67.图示结构的超静定次数是A. 2B. 4C. 5D. 6下图所示对称结构的等代结构为A.B.C.D.9.关于下图所示对称结构，下列论述正确的是A. A点线位移为零B. AB杆无弯矩C. AB杆无剪力D. AB杆无轴力10.下图所示对称结构的等代结构为A.B.C.D.1. 用力法计算超静定结构，选取的基本结构不同，所得到的最后弯矩图也不同。
A. 错误B. 正确2.图示超静定结构去掉杆件①、②、③后为一静定梁，故它是三次超静定结构。
A. 错误B. 正确3. 超静定结构的内力与材料的性质无关。
A. 错误B. 正确4. 同一结构的力法基本体系不是唯一的。
A. 错误B. 正确5. 求超静定结构的位移时，可将虚拟单位荷载加在任意静定的基本体系上。
A. 错误B. 正确6. 超静定次数一般不等于多余约束的个数。
A. 错误B. 正确7.图示两个单跨梁，同跨度同荷载。
但横截面形状不同，故其内力也不相同。
A. 错误B. 正确8.在下图所示结构中若增大柱子的EI值，则梁跨中点截面弯矩值减少。
A. 错误B. 正确9. 超静定结构的内力状态与刚度有关。
A. 错误B. 正确10. 力法典型方程是根据平衡条件得到的。
A. 错误B. 正确1.下载计算题，完成后将正确答案（A、B、C或D）写在答题框中。
超静定结构内力计算
六超静定结构內力计算1．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。
从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。
若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。
也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。
对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。
2．什么是超静定结构的超静定次数？答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。
3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。
4．如何确定超静定结构的超静定次数？答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。
5．撤除多余约束的方法有哪几种？答：撤除多余约束常用方法如下：（1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。
（2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。
（3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。
6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？答：用力法计算超静定结构的基本思路是：去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。
7．什么是力法的基本结构和基本未知量？答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。
力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。
8．简述n次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。
答：（1）n次超静定结构的力法方程对于n次超静定结构，撤去n个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n个多余约束处代以相应的多余未知力。
结构力学(超静定结构内力与位移计算)
A C
∑M
B
=0
P1=1
B
RA ⋅ l − P（l − x） 0 = l−x RA = l x = 0 RA = 1 RA = 0 x = l
l ＲＡ＝(l-x)/l 1 RA影响线 1 RＢ影响线 ＲB＝x/l
∑M
A
=0
RB ⋅ l − P ⋅ x = 0
RB = x l
x = 0 x = l
练习：试绘制图示结构 影响线。 练习：试绘制图示结构ME、QE影响线。
15/8 5/4 3/2
5/4
3/4
ME影响线
5/8 1/4
1/2
QE影响线
1/4 1/4 3/8
第四节 用机动法作单跨超静定梁的影响线 一、基本原理 机动法是以虚位移原理为依据把作影响线的问题转化为作位移图的 几何问题。 几何问题。 二、优点 不需要计算就能绘出影响线的轮廓。 不需要计算就能绘出影响线的轮廓。
x A a 1 d/l 1 (l+d)/l ab/l b/l a/l MC影响线 ad/l d/l c l QC影响线 MD影响线 QD影响线 RB影响线 RA影响线 B C l b d D c x1
影响线时， 作RA、RB、MC、QC影响线时，可 点为坐标原点， 取A点为坐标原点，方法同简支梁；作 点为坐标原点 方法同简支梁； QD、MD影响线时，可取 为坐标原点。 影响线时，可取D为坐标原点 为坐标原点。
A p1 C a l b/l y1 y1 a/l QC影响线 y1 b p2 p3 B
S=p1y1+ p2y2+…+ pnyn=∑ piyi （1）
QC=P1Y1+ P2Y2+ P3Y3
y
∑M
B
=0
P1=1
B
RA ⋅ l − P（l − x） 0 = l−x RA = l x = 0 RA = 1 RA = 0 x = l
l ＲＡ＝(l-x)/l 1 RA影响线 1 RＢ影响线 ＲB＝x/l
∑M
A
=0
RB ⋅ l − P ⋅ x = 0
RB = x l
x = 0 x = l
练习：试绘制图示结构 影响线。 练习：试绘制图示结构ME、QE影响线。
15/8 5/4 3/2
5/4
3/4
ME影响线
5/8 1/4
1/2
QE影响线
1/4 1/4 3/8
第四节 用机动法作单跨超静定梁的影响线 一、基本原理 机动法是以虚位移原理为依据把作影响线的问题转化为作位移图的 几何问题。 几何问题。 二、优点 不需要计算就能绘出影响线的轮廓。 不需要计算就能绘出影响线的轮廓。
x A a 1 d/l 1 (l+d)/l ab/l b/l a/l MC影响线 ad/l d/l c l QC影响线 MD影响线 QD影响线 RB影响线 RA影响线 B C l b d D c x1
影响线时， 作RA、RB、MC、QC影响线时，可 点为坐标原点， 取A点为坐标原点，方法同简支梁；作 点为坐标原点 方法同简支梁； QD、MD影响线时，可取 为坐标原点。 影响线时，可取D为坐标原点 为坐标原点。
A p1 C a l b/l y1 y1 a/l QC影响线 y1 b p2 p3 B
S=p1y1+ p2y2+…+ pnyn=∑ piyi （1）
QC=P1Y1+ P2Y2+ P3Y3
y
超静定结构的位移计算及最后内力图的校核
移为零的条件，得典型方程式： 11 X 1 1P 0
3）分别求基本结构在X1=1和荷载作用下各杆内力， 其结果标于两图（c）、（d）各杆。
§7.6 超静定结构的位移计算
4）求系数及自由项
Structural Mechanics
0
0
10kN -14.14 0
10
0
+1
X1=1 +1
√2 √2
+1
§7.6 超静定结构的位移计算
代入典型方程得：X 1
1P
11
5(kN)
5）各杆的轴力可按下式计算：
N N 1X1 NP
计算结果如图（e），“拉”为正，“压”为负。
0
0
10kN -14.14 0
10
0
10 NP
(c)
+1 X1=1 +1
√2 √2
+1
+1
+1
N1 (d)
-5
10kN -7.07 7.07
M DJ 8 (2.965) 64 40.28(kN m)
MHB MHC 2 (2.965) 0 5.93(kN m)
MCH 8(2.965) 0 23.72(kN m)
X1=1
A
B
2
M1图
8
(c)
2
4
8 64
MP图 kN·m)
(d)
16
J1.93 M图
5.93
H
D C 40.28
1、作超静定结构的内力图
2、在与超静定结构对应的基本结构上虚加单位力。 3、按图乘法计算超静定结构的位移。
§7.6 超静定结构的位移计算
例1 求图示超静定结构跨中的挠度VC 。
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M1
B
B
X1
B 1C
B 11
X1
B
X1 1
方法二：
4.求X1：
X1
1C δ11
l θ l3 3EI
3EIθ l2
δ11 X1 1C 0
δ11
l3 3EI
1C l θ
即：
X1
3iθ l
线刚度：i
EI l
5.按静定结构分析方法求作内力图：
θ
A
EI
B
l
X1 方法一
A
B
3iθ
M图(kN m)
B
3iθ M图 (kN m)
基本结构为 悬臂梁时的 解法…
θ
A
B
X1
方法二： 解： 1.选基本结构：
2.列力法基本方程：
θ
A
EI
l
不够准确 θ A
δ1111XX11 11PC0 0
物理意义！
3.求11和Δ1C：
δ11
1 EI
(12ll32li l θ
θ
A
A
A
l
第六章 用力法计算超静定结构
6.5 超静定结构在支座移动时的计算
建筑工程系
6.5 超静定结构在支座移动时的计算
已知结构A端发生转角q，作M图。
θ
A
EI
B
解： 方法一:
l
1.选基本结构： X1
A
B
2.列力法基本方程： 11X1 1P 0
δ11 X1 θ
物理意义！
6.5 超静定结构在支座移动时的计算
X1 3iθ
方法二
θ
A
B
3iθ
X1
M图(kN m)
3iθ X1 l
重温点馨提小示 结
1. 力法方程右端项可以不为零；
δ11 X1 θ
2.选择基本结构时，宜撤去有支座移动的约束。
已知结构A端发生转角q，求作M图：
3.求11：
X11
δ11
11 2
l
EI (21l31) 3EI
4.求X1：
3EIθ X1 l
令
i
EI l
X1 3iθ
A
B
1
M1
i——杆件的线刚度 （单位杆长的抗弯刚度）
6.5 超静定结构在支座移动时的计算
X1 3iθ
5.按静定结构分析方法求作内力图：
A θ EI