第2讲 数的整除性

第2节数的整除知识梳理1、如果整数a 除以整数b (0b ≠)所得的商a b是整数，那么叫做a 被b 整除，或b 整除a ， 记作b a |，又称b 为a 的约数，而a 为b 的倍数。

0能被所有非零的整数整除。

2、数的整除性的常见特征.（1）若整数a 的个位数是偶数，则2a |；（2）若整数a 的个位数是0或5，则5a |；（3）若整数a 的末两位数是4或25的倍数，则4a |(或25a |)；（4）若整数a 的各位上的数字和是3或9的倍数，则a 3|(或9a |)；（5）若整数a 的末三位数是8或125的倍数，则8a |(或125a |)；（6）若整数a 的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减，其差是11的倍数，则11a |；（7）若整数a 从右向左每三位为一段，奇数段的各数和与偶数段的各数和相减，其差是7 或11或13的倍数，则7a |(或11a |或13a |).3、整除的常用性质.设a ，b ，c ，d 都是整数，有：（1）若 b a |，c b |则c a |；（2）若c a |，c b |，则 ()c a b |±；（3）若 b a |，c a |，则[b ，c ] | a ；（4）若 b a |，c a |，且 b 与c 互质，则 bc a |.典例精析考点1:运用数的整除特征解决简单的实际问题【例1】某班学生不到50人，一次数学考试中有17学生得优秀、13学生得良好，有12学 生及格，问该班有多少个学生在这次考试中不及格？分析：由题意，班级人数中有17学生得优秀、13学生得良好、12学生及格，这说明班级人数能被7，3，2整除，而7，3，2又是互质数，所以班级人数为2×3×7 = 42(人），则由此根据不 及格人数的比例不难求得不及格人数.解：班级人数为2×3×7==42(人），不及格人数为：41114211732⎛⎫⨯---= ⎪⎝⎭（人） 跟踪训练一次数学竞赛，比赛结果有17的学生获一等奖，有15的学生获二等奖，有12的学生获三等奖，其余获纪念奖，已知参加这次竞赛的人数超过50人但不满100人，问获纪念奖的有多 少人？跟踪训练11、学生人数应能被7，5，2整除，[7，5，2] = 70（人），又因为50<70<100，所以学生总数是70人，获纪念奖的人数为111701752⎛⎫⨯---⎪⎝⎭=11（人）考点2:运用数的整除特征解“数字谜”的问题【例2】已知五位数1234x能被12整除，求x的值.解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当l + 2 + 3+4+×能被3整除时，×=2，5，8，当末两位4x能被4整除时，× = 0，4，8，∴× = 8.跟踪训练2（1）已知五位数1234A能被15整除，试求A的值。

初中数学竞赛讲座-数论部分2（整数的整除性）第二讲整数的整除性一、基础知识：1．整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．定义：设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．也称b是a的约数，a是b的倍数。

如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作b｜a．关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1若a|b,b|c，则a|c证明：∵a|b,b|c，∴bap,cbq（p,q是整数），∴c(ap)q(pq)a，∴a|c性质2若a｜b，b｜a，则|a|=|b|．性质3若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)，且对任意整数m，n，有c｜(ma±nb)．证明：∵a|b,a|c，∴bap,caq(b,q是整数），∴bcapaqa(pq)，∴a|(bc)性质4若b｜a，d｜c，则bd｜ac．特别地，对于任意的非零整数m，有bm｜am性质5若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．性质6若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a【此处[b，c]为b，c的最小公倍数；(b，c)为b，c的最大公约数】．性质7若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．性质8n个连续整数中，必有一个能被n整除．【特别地：两个连续整数必有一偶数；三个连续整数必有一个被3整除，如11，12，13中有3|12；41，42，43，44中有4|44；77，78，79，80，81中5|80．】二．证明整除的基本方法证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法等．下面举例说明．例1若a｜n，b｜n，且存在整数某，y，使得a某+by=1，证明：ab|n．初中数学兴趣班系列讲座——数论部分唐一良数学工作室证明：由条件，可设n=au，n=bv，u，v为整数，于是n=n(a某+by)=na某+nby=abv某+abuy=ab(v某+uy)所以n|ab例2证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．证明：设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1=12(n2＋n＋1)．所以12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]．又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故24|[(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]．例3若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．证明因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．例4若某，y为整数，且2某+3y，9某＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．证明：设u=2某＋3y，v=9某＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得3v-5u=17某．①所以17｜3v．因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9某＋5y．若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2某＋3y．例5已知a，b是自然数，13a＋8b能被7整除，求证：9a+5b都能被7整除．分析：考虑13a＋8b的若干倍与9a+5b的若干倍的和能被7整除，证明13a＋8b+4（9a+5b）=7（7a+4b）是7的倍数，又已知13a+8b是7的倍数，所以4（9a+5b）是7的倍数，因为4与7互质，由性质7|（9a+5b）例6已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．初中数学兴趣班系列讲座——数论部分唐一良数学工作室证明用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1)a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a，3b．令a=3m，b=3n±1(m，n都是整数)，于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3(3m2＋3n2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．(2)a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则a2＋b2=(3m±1)2+(3n±1)2=9m2±6m+1+9n2±6n＋1=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．由此可知，a，b都是3的倍数．例7已知a，b是正整数，并且a2＋b2能被ab整除，求证：a=b．先考虑a，b互质的情况，再考虑一般情况。

数的整除特征（二）新课引入：数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。

例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。

例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。

利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。

新课讲授：例1.在853后面补上3个数字组成一个六位数，使这个六位数能同时被3,4,5整除。

这样的六位数中最大的是多少？解题思路：因为3,4,5两两互质，所以853□□□末两位可以是20,40,60,80,00，再根据能被3整除的数的特征，8+5+3+9+8+0=33，这个数最大是853980。

解：这样的六位数中最大的是853980。

做练习题。

例2．判断34101能不能被7或11或13整除。

解题思路：根据能被7,11,13整除的数的特征，用末三位101减去末三位前面的数34，即101-34=67，看这个差能不能被7、11、13整除就可以判断出34101能不能被7、11、13整除。

解：101-34=6767不能被7整除，所以34101不能被7整除。

67不能被11整除，所以34101不能被11整除。

67不能被13整除，所以34101不能被13整除。

例3．由4，5，6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数？解题思路：卡片6可以看成9，所以能被2整除的有564，654，594，954，456，546。

解：6个。

做练习题和比一比的题目。

总结：我们要牢记能被n个特殊数整除的特征，归纳出一般性的规律。

（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

数的整除性训练目标：数的整除是数论中最初步的知识，是学习约分、通分和进行分数四则运算的基础。

我们在这一讲要学习掌握整除的数的特征，并能灵活的运用。

【能被3（或9）整除的数的特征】各位数字之和能被3（或9）整除。

【能被4（或25）整除的数的特征】末尾两位数能被4（或25）整除。

【能被8（或125）整除的数的特征】末尾三位数能被8（或125）整除。

【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。

【能被11整除的数的特征】，还可以这样叙述：一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差（大减小）能被11整除时，则这个数便能被11整除。

典型例题：例1：有一个四位数7A2B能被2,3,5整除，这个四位数是多少？例2：在一个五位数25□4□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除，又能被5整除？例3：有一个四位数7AA1能被9整除，A代表什么数字？这个四位数是几？例4：在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。

在符合这些条件的六位数中，最小是多少？例5：能被11整除，首位数字是4，其余各位数字都不相同的最大及最小的六位数分别是多少？基础练习：1、从0,1,2,4,5,7中，选出4个数，排列成能被2,3,5整除的四位数，其中最大的是多少？2.四位数8A1B能被2,3,5整除，这个四位数是多少？3.有一个四位数3AA1，它能被9整除，请问A代表几？4.已知五位数A192B能被18整除，其中A比大3，求出这样的五位数。

5.一个五位数能被72整除，首尾两个数字不知道，千、百、十位上的数字分别是6、7、9，这个五位数是多少提高练习：1.有五筐苹果，质量分别为12kg,15kg,10kg,8kg和13kg,从中选出四张给小红和小张，小红的苹果的质量是小张的2倍，剩下的是哪一筐？2.已知整数5a6b7c8d9e能被11整除，那么a+b+c+d+e=?3.在358后面补上3个数字来组成一个六位数，使它能被4，5,9整除，这个六位数最小是多少？5.从1，2 ，3 ，4，5中选出4个数字组成一个四位数，使其能被3,5,7整除，这个数是多少？6.两个整数，他们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70和30，那么在1,2,3……16，这16个整数中，有几对“好数”？7.超市里有六箱货物，分别重16,19,20,18,15,31千克，两顾客买走其中5箱货物，其中一个顾客买的货物的重量是另一个顾客的两倍，超市里剩下的那箱货物是多少千克？一、填空题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6. 所有能被3整除的两位数的和是______.7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.二 数的整除性(B)年级 班 姓名 得分一、填空题1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____. 2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____. 3. 下面一个1983位数99199133 (3)44...4个个中间漏写了一个数字(方框),已知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.5. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.6. 一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是___.7. 任取一个四位数乘3456,用A 表示其积的各位数字之和,用B 表示A 的各位数字之和,C 表示B 的各位数字之和,那么C 是_____.8. 有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____.9. 从0、1、2、4、5、7中，选出四个数，排列成能被2、3、5整除的四位数，其中最大的是_____. 10. 所有数字都是2且能被10066...6个整除的最小自然数是_____位数.二、解答题11. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？12．只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？13．500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6的士兵有多少名？14．试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明.———————————————答案——————————————————————1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上, 3771÷9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3. 990 要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一:能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二:或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367 先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)÷2⨯100-(3+99)÷2⨯33=5050-1683=33676. 1665 能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:12,15,18,21,…，96，99 这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99)⨯30÷2=16657. 96910或46915A691能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以B=0或5.当B=0五位数BA能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除,因此A=9；当B=5时,同样可求出时,6910A=4.所以,所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3⨯5⨯7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整除。

第二讲整除特征（2）【知识提要】1. 被3（或9）整除的数的特征：这个数的各位上数字之和是3（或9）的倍数。

2. 被7、11、13整除的数的特征：这个数的末三位与末三位以前的数字的差（以大减小）是7、11、13的倍数。

（割尾法）3. 能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差（以大减小）是11的倍数。

4、整除的性质：（1）如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除。

（传递性）如：8|40，40|120，则。

（2）如果a和b（a>b）都能被c整除，那么a与b的和（a+b）及差（a-b）也能被c整除。

如：3|18,3|12，则，。

（3）如果数a能被数b整除，那么a和c的积（a×c）也能被b整除。

如：5|25,3为整数，则。

【基础训练】1、在□中填入适当的数字，使所组成的数既能被9整除，又有因数5。

23□5□ 57□3□ 7□832□2、判断102030405060708090能否被9整除。

3、判断。

（1）4932796与4392976分别除以11，它们能被11整除么？（2）把192992与192929分别除以11，它们能被11整除吗？4、判断。

（1）试判断20592，25092能否被99整除？（2）试判断2385，3825能否被45整除？（3）试判断12346578，12356784能否被44整除？【拓展提高】【例1】填空。

（1）有一个四位数13AA是9的倍数，A是。

（2）要使□3478□能被9整除，□是。

（3）已知自然数2*3*4*5*1能被11整除，问*是。

（4）一个六位数□8919□能被11整除，那么这个六位数是。

【例2】在□内填上合适的数字，使五位数□679□能同时被8和9整除。

【例3】在□内填入适当的数字，使□8□52能被72整除？【例4】要使六位数15□□□6能被36整除，这样的数中最小的是多少？【例5】在□内填上适当的数，使五位数29□7□能被12整除。

第二讲数的整除性整除的数特征1.一个数的个位数字如果是0,2,4,6,8中的一个，那么这个数就能被2整除。

2.一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

3.一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

4.一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

5.一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

6.一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

7.一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大数减小数)如果能被11整除, 那么这个数就能被11整除.一个数除以4，8，9的余数：一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。

一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。

一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。

一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位的数字之和所得的差除以11的余数相同.数的整除具有如下性质：1.如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数一定能被丙数整除.2.如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除.3.如果一个数能分别被两个互质的自然数整除了,那么这个数一定能被这两个互质自然数的乘积整除.例1:在下面的数中,哪些能被4整除?哪些能被8整除?哪些能被9整除?234,789,7756,8865,3728,8064.解:能被4整除的数有能被8整除的数有能被9整除的数有例2:在四位56□2中,被套盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9,8,4整除?解:十位数是时,这个四位数能被9整除.十位数是时,这个四位数能被8整除.十位数是时,这个四位数能被4整除.例3:从0,2,5,7四个数字中任选三个,组成能同时被2,3,5整除的数,并将这些数从小到大排列. 例4:五位数A329B能被72整除.A与B各代表什么数字?例5:六位数3ABABA是6的倍数,这样的六位共有多少个?例6:要使六位数15ABC6能被36整除,而且所得的商最小,A,B,C各代表什么数字?例7:判断七位数1839673能否被11整除.例8:求下列各数除以11的余数.(1)41873 (20296738185例9:求1919…191除以11的余数.100个19例10:用3,3,7,7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数?例11:用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数.例12:六位数A2875B能被99整除,求A和B.练习1.6539724能被4,8,9,24,36,72,中的哪几个数整除?2.个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少个?3.一些四位数,百位上的数字都是3,十位上的数字都是6,并且它们既能被2整除又能被3整除,在这样的四数中,最大的和最小的各是多少?4.五位数4A97A能被12整除,求这个五位数.5.有一个能被24整除的四位数□23□,这个四位数最大是几?最小是几?6.从0,2,3,6,7这五个数码中选出四个,可组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数?7.在123的左右各添一个数码,使得到的五位数能被72整除.8.学校买了72只小足球,发票上的总价有两个数字已经辨认不清,只看到是□67.9□无,你知道每只小足球多少钱吗?9.为使五位数6□295能被11整除,□内应当填几?10.用1,2,3,4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数.11.求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数.12.求下列各数除以11的余数.(1)2485 (2)63582 (3)98765432113.求3838…38除以11的余数.40个3814.六位数5A634B能被33整除,求A+B15.七位数3A8629B是88的倍数,求A+B。

第二讲整除的特征和性质㈡〈精讲〉【知识要点】本讲我们继续讨论有关数的整除特征，掌握能被7、11、13这三个数整除的数的特征，深化对用字母代表数的理解。

1、被7、11、13整除的数的特征：如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除，否则就不能。

2、由于1001=7×11×13，只1001能被7、11或13整除。

并熟记77=7×11；91=7×13；143=11×13【例题】例1．根据被7、11、13整除的数的特征，判断25102能否被7、11、13整除？例2．如果六位数1993□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？例3．小马买了52支同样的钢笔，可是发票不慎落水，单价无法辨认，总数字也不齐，只能认出□86.0□元。

请你帮助他找出不明数字□= 。

（两个□值相同）例4．下面这个41位数：55……5□99……9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是（）．例5．一个六位数71□34□能被88整除，这个数除以8所得的商是多少？例6. 某个七位数1993口口口能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?整除的特征和性质㈡〈精练〉1．根据被7、11、13整除的数的特征，判断下列哪些数能同时被7、11、13这三个数整除？3792789 24024 3783782．五位数A691B 能被55整除，所有符合题意的五位数是___________________________．3．某小学六年级学生张明做数学题时发现“任意一个三位数，连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定同时能被7、11、13整除”。

这个结论你会证明吗？4．应当在如下的□中填上哪一个数码，才能使得到的数能被13整除？619666个□71277个5．一个六位数12□34□是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？6．有这样的两个五位数，一个能被11整除，一个能被7整除．它们的前四位都是9876，而末位数字不同．求这两个五位数的和．7、李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□ 元。

第二讲数的整除特性讲义（一）整除的定义：所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整数”就是说“商a/b是一个整数”；或者换句话说：存在这第三个自然数c，使得a=b×c，这时候我们就说“b整除a”或者“a能被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记做“b︱a”（二）整除的性质：（传递性）若c︱b，b︱a，则c︱a（可加性）若c︱a，c︱b，则c︱（a+b）（可乘性）若c︱a，d︱b，则cd︱ab（三）常见的整除特征：尾数系：一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；数字和系：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；分段做差系：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.课后习题基础篇：【闯关1】493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。

【闯关2】如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？提高篇：【闯关3】如果四位数x=6□□8能被236整除，那x除以236所得的商为________。

【闯关4】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？巅峰篇：【闯关5】试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．)第二讲数的整除特性课后习题：基础篇：【闯关1】493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。

解析：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；4+9+3=16，所以至少增加2就是3的倍数。