第二讲 数的整除1

数的整除【知识点回顾】数的整除特征：1、能被9整出的书的特征：各个数位数字之和是9的倍数。

2、能被8（或125）整除的数的特征：末三位能被8（或125）整除。

3、能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

4、能被11整除的数的特征:这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除。

5、能被7（或11或13）整除的数的特征：这个整数的末三位与末三位之前的数字所组成的数的差（大减小）能被7、（或11或13）整除。

【例题讲解】例1 在□处填入适当的数字使四位数24□1是3的倍数。

□处有几种不同的填法？思路分析：要想使24□1是3的倍数，就要满足各数字之和是3的倍数。

2+4+1=7,7加上几是3的倍数呢？7+2=9,7+5=12,7+8=15. 解：□里可以填2,5,8. 这个四位数是2421,2451,2481. 所以有3种填法。

例2 最高位上的数字是1，并且能同时被2，3，5整除的最小四位数是多少？思路分析：能同时被2，5整除，个位数字只能是0，为使这四位数最小，百位数字取0，进而由3的倍数特征知十位数字为2,5,8，从而最小数字1020.解：最小四位数是1020.例3 在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4或25整除。

思路分析：43217□的个位数字不知是几，不妨记作x，那么43217□=432100+70+x。

而432100能被4和25整除，所以，只要70+x能被4或25整除，这个六位数就能被4或25整除。

70+ x要能被4整除，x只能是2或6。

70+x要能被25整除，x只能是5.解：所以432172和432176能被4整除，432175能被25整除。

例4 四位数3AA1能被9整除，求A。

思路分析：四位数3AA1要是9的倍数，它的各个数位之和就必须是9的倍数，3+A+A+1的和可能是9或18.当3+A+A+1=9时，A=2.5. 2.5不是自然数，不符合题目要求。

数的整除一一、整除得概念：a÷b=c，整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数（或者余数为零）就叫a能被b整数，或者说b能整除a，a是b的倍数，b是a的因数。

二、例题（1）如果数a是b的倍数，c是整数，那么积ac也是b的倍数。

例1；24是8的倍数，5是整数，5×24的积也是8的倍数。

（2）如果数a、b都是c的倍数，那么（a+b）与（a－b）也是c的倍数。

例2：24和30都是6的倍数，那么（24+30）与（30－24）也是6的倍数。

（3）如果a是b的倍数，b又是c的倍数，那么a也是c的倍数。

例3：24是12的倍数，12又是6的倍数，那么24也是6的倍数。

（4）如果a同时是b、c的倍数，而且b和c是互质数，那么a一定是bc的倍数。

例4：24是2、3的倍数，2、3互质，24也是2×3的倍数。

（5）如果数b是a的因数，或者a含有因数b，那么a就是b的倍数。

例5：60含有因数15，那么60就是15的倍数。

三、例题（1）4（或25）的倍数的特征：如果一个自然数的末两位是4（或25）的倍数，那么这个数就是4（或25）的倍数。

例1：58372的末两位是72，72是4的倍数，那么58372就是4的倍数。

57325得末两位是25，25是25的倍数，那么58325就是25的倍数。

（2）8（或125）的倍数的特征：如果一个自然数的末三位是8（或125）的倍数，那么这个数就是8（或125）的倍数。

例2：58272的末三位是272，272是8的倍数，那么58272就是8的倍数。

58375的末三位是375，375是125的倍数，那么58375就是125的倍数。

（3）7（或11，13）的倍数的特征如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小）是7（或11，13）的倍数，那么这个数就是7（或11，13）的倍数。

例3：1059282是否是7的倍数？把1059282分为1059和282两个数。

数的整除第二讲1 、如果41位数5555、、、、、、55（20个5）（）999999、、、99（20个9）能被7整除，那么中间方格内的数字是几？2、判断1059282是否是7的倍数？3、在（）内填上合适的数字，使六位数19（）88（）能被35整除。

4、李老师共为学校买了28支价格一样的钢笔，共付了人民币9（）.2（）元。

已知（）数字相同，请问每支钢笔的价格是多少？5、一个三位数，能同时被2、5、7整除，这样的三位数按照由小到大的顺序排成一列，中间的一个数是几？6、将1、2、3………从左到右依次排列成一个51位数123456…2930，试问这个51位数除以11的余数。

7、用0到9这十个不同的数字可以组成许多的十位数，在这些数字中能被11整除的最大的十位数是多少？（每个数字只能用上一次）8、已知整数（1a2a3a4a5a）能被11整除，求所有满足这个条件的整数。

9、用6、7、8、9四个数字组成的，各个数字互不相同的四位数中，能被11整除的有多少个？10、在（）内填上合适的数字，使六位数（）1991（）能被66整除。

11、在28的前面连续写上若干个1993，得到19931993…1993199328。

如果这个数字能被11整除，那么它最小是几位数？12、判断3456725能否被13整除。

13、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中选出5个不同的数，组成一个5位数，使它可以被3、5、7、13整除，这个数字最大是多少？14、求能被26整除的六位数x1991y。

15、甲乙两个人进行下面的游戏。

两个人约定一个整数N，然后由甲开始，轮流地用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字之一组成一个六位数的一位，数字可以重复。

如果这个六位数能被N整除，就算是乙胜，如果这个六位数不能被N整除，就算是甲胜。

设N小于15，那么当N取哪个几个数时，乙才能取胜？16、把三位数3ab接连重复地写下去，共有1993个3ab，所得的这个多位数恰好是91的倍数。

257除以多少是整数篇一：四年级数学思维训练基础第2讲数的整除(一)四年级数学思维训练基础第二讲数的整除（一）姓名如果被除数除以除数，商是整数，我们就说这个被除数能被这个除数整除；否则，就是不能整除。

例如，84能被2，3，4整除，因为84÷2=42，84÷3=28，84÷4=21，42，28，21都是整数。

而84不能被5整除，因为84÷5=16……4，有余数4。

也不能被13整除，因为84÷13=6…6，有余数6。

问题一：怎样的数能被2整除？（2倍数的特点）偶数和奇数有如下运算性质：偶数±偶数＝偶数，奇数±奇数＝偶数，偶数±奇数＝奇数，奇数±偶数＝奇数，偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数。

例1在1～200中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？例2(1)不算出结果，判断数（524＋42－429）是偶数还是奇数？(2)数（42□＋30－147）能被2整除，那么，□里可填什么数？(3)右面的连乘积是偶数还是奇数？1×3×5×7×9×11×13×14×15。

问题二：怎样的数能被5整除？（5倍数的特点）例3由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被5整除？例4下面的连乘积中，末尾有多少个0？1×2×3×………×29×30。

问题三：怎样的数能被3整除？（3倍数的特点）例5判断下列各数是否能被3整除：2574，38974，587931。

例6六位数257a38能被3整除，数字a＝？练习二1、在1～100的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁大？大多少？2、不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：(1)1＋2＋3＋4＋5；(2)1＋2＋3＋4＋5＋6＋7；(3)1＋2＋3＋………＋9＋10；(4)1＋3＋5＋………＋21＋23；(5)13－12＋11－10＋………＋3－2＋1。

1第一章 数的整除一、知识框图：二、数的分类： 第一种： 树状图 韦恩图第二种：第三种：整数奇数偶数整数自然数负整数 零 正整数正奇数 正偶数整数正整数 素数 合数 12三、知识梳理第一节 整数和整除1.1整数和整除的意义1. 零和正整数统称为自然数。

正整数、零、负整数统称为整数。

2. 整除定义（概念）：整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁，这里的a 相当于被除数，b 相当于除数3. 整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽（如正方形是特殊的长方形一样），即a 能被b 整除,则a 一定能被b 除尽，反之则不一定（即a 能被b 除尽，则a 不一定能被b 整除）。

如4÷2=2, 4既能被2除尽，也能被2整除；4÷5=0.8, 4能被5除尽，却不能说4能被5整除【基础巩固】1. 在8，－10，0，0.25，－50，73，100，－8.5中，正整数有 ，自然数有 ，整数有 。

2.最小的自然数是 。

3、提高（非负整数）----小于3的非负整数有。

4．除0以外的数都是自然数。

( )5. 在下列各组数中，如果第一个数能被第二数整除，请在（）内打勾。

72和36； 17和34； 3.5和0.5； 51和17；（）（）（）（）6. 判断：（1）1能被任何正整数整除. ( )（2）因为15÷4=3.75，所以4能被15整除。

( )（3）能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除。

( )7. 填空:（1）45÷5= 9， ( ) 能被( )整除，( )能整除( )；( )是( ) 的因数，( ) 是( ) 的倍数。

（2）一个正整数a的因数的个数是( ) ，其中最小的一个是( )，最大的一个是( )；正整数a的倍数的个数是( )，其中最小的一个是( ) 。

第二讲 数的整除知识点：﹤1﹥整除概念： 表示：﹤2﹥整除的性质：﹤3﹥整除的特征：（1）解法：○1 ○2 我要上名校示例﹤1﹥有一个四位数b a 62，它能同时被2、3、5整除，这样的四位数有多少个？练一练：有一个四位数Ο2Ο2，它能同时被2、3、5整除，这样的四位数有多少个？示例﹤2﹥有一个六位数b a 4273,它能被72整除，则a 、b 分别为多少？练一练：若四位数b a 89能被15整除，则a 、b 分别为多少？示例﹤3﹥有一个十位数59911995xy 能被99整除，则χ、y 分别为多少？练一练：有一个六位数Ο2004Ο，能被99整除，则○中分别填多少？示例﹤4﹥六位数ΟΟ1992能被95整除，这个六位数是多少？练一练 能被4、5、6整除的最大的三位数是多少？示例﹤5﹥1~200中，有多少个数能被2或5整除？练一练：1~300中，有多少个数不能被3或5整除？示例﹤6﹥一个整数乘17，积的末三位是999，这个数最小是多少？练一练：一个整数乘19，积的末三位是321，这样的整数中最小是多少？示例﹤7﹥五年级有72名学生，乘车春游，共交车费Ο7.52Ο元（○为污损数字，看不清）平均每个学生交了多少元钱？练一练：一本老账本上记着：老王买了72只桶，共用去Ο9.67Ο元，其中○处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上。

示例﹤8﹥ 一个两位数能被2整除，且两个数位上的数字之和是8，这样的两位数有多少个？练一练：能被11整除，并且各个数位上数字之和等于43的五位数一共有多少个？示例﹤9﹥在28的前面连续写上若干个1993，得到一个多位数 1993199319931993若干个28如果这个多位数能被11整除，那么它最少是多少位？练一练：如果 2005200520052005个n 01能被11整除，那么n 的最小值是多少？示例﹤10﹥ 商店里有六箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走其中的五箱，已知一个顾客买的货物是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物有多重？练一练：五年级同学分成四个小组集邮，第一组集了127张，第二组集了149张，第三组集了238张，第四小组只集了95张。

奥数第二讲数的整除如果整数a除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a能被b整除，或叫b能整除如果a能被b整除，那么，b叫做a的因数，a叫做b的倍数。

数的整除的特征：（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0, 那么这个整数一定能被2整除。

（2）能被3 （或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3 （或9）整除，那么这个整数一定能被3 （或9）整除。

（3）能被 4 （或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被 4 （或25）整除，那么这个数就一定能被4 （或25）整除。

（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除。

（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除, 那么这个数就一定能被6整除。

（6）能被7 （或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是。

或是7 （或11或13）的倍数，这个数就能被7 （或11或13）整除。

（7）能被8 （或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8 （或125）整除，那么这个数就一定能被8 （或125）整除。

（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。

一、例题与方法指导例1、下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？（数的整除特征）88205, 167128, 250894, 396500,675696, 796842, 805532, 75778885。

例2、一个六位数23Q56口是88的倍数，这个数除以88所得的商是或思路导航:一个数如果是88的倍数，这个数必然既是8的倍数，又是11的倍数.根据8 的倍数，它的末三位数肯定也是8的倍数，从而可知这个六位数个位上的数是0 或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是。

第二讲 整数的整除性一、基础知识：1．整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．定义： 设a ，b 是整数，b ≠0．如果有一个整数q ，使得a=bq ，那么称a 能被b 整除，或称b 整除a ，并记作b ｜a ．也称b 是a 的约数，a 是b 的倍数。

如果不存在这样的整数q ，使得a=bq ，则称a 不能被b 整除，或称b 不整除a ，记作b ｜a ．关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1若c b b a |,|，则c a |证明：∵c b b a |,|，∴bq c ap b ==,（q p ,是整数），∴a pq q ap c )()(==，∴c a |性质2 若a ｜b ，b ｜a ，则 |a |=|b |．性质3 若c ｜a ，c ｜b ，则c ｜(a ±b )，且对任意整数m ，n ，有c ｜(m a ±n b )．证明：∵c a b a |,|，∴aq c ap b ==,q b ,(是整数），∴)(q p a aq ap c b ±=±=±，∴|()a b c ±性质4 若b ｜a ，d ｜c ，则bd ｜ac ．特别地，对于任意的非零整数m ，有b m ｜a m性质5 若a =b ＋c ，且m ｜a ，m ｜b ，则m ｜c ．性质6 若b ｜a ，c ｜a ，则[b ，c ]｜a ．特别地，当(b ，c )=1时，bc ｜a【此处[b ，c ]为b ，c 的最小公倍数；(b ，c )为b ，c 的最大公约数】．性质7 若c ｜ab ，且(c ，a )=1，则c ｜b ．特别地，若p 是质数，且p ｜ab ，则p ｜a 或p ｜b ．性质8 n 个连续整数中，必有一个能被n 整除．【特别地：两个连续整数必有一偶数；三个连续整数必有一个被3整除，如11，12，13中有3 | 12；41，42，43，44中有4 |44；77，78，79，80，81中5 | 80．】二．证明整除的基本方法证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法等．下面举例说明．例1若a ｜n ，b ｜n ，且存在整数x ，y ，使得ax +b y=1，证明：ab |n ．证明：由条件，可设n=au，n=b v，u，v为整数，于是n=n(ax+b y)= nax+nb y=abvx+abu y= ab(vx+u y)所以n|ab例2证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．证明：设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1=12(n2＋n＋1)．所以12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]．又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故24 |[(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]．例3若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k ＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．证明因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．例4若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．证明：设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得3v-5u=17x．①所以17｜3v．因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y．若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x＋3y．例5已知a，b是自然数，13a＋8b能被7整除，求证：9a+5b都能被7整除．分析：考虑13a＋8b的若干倍与9a+5b的若干倍的和能被7整除，证明13a＋8b+4（9a+5b）=7（7a+4b）是7的倍数，又已知13a+8b是7的倍数，所以4（9a+5b）是7的倍数，因为4与7互质，由性质7|（9a+5b）例6已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．证明 用反证法．如果a ，b 不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1) a ，b 两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a ，3b ．令a =3m ，b =3n±1(m ，n 都是整数)，于是a 2+b 2=9m 2+9n 2±6n+1=3(3m 2＋3n 2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．(2) a ，b 两数都不能被3整除．令a =3m±1，b =3n±1，则a 2＋b 2=(3m±1)2+(3n±1)2=9m 2±6m+1+9n 2±6n ＋1=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．由此可知，a ，b 都是3的倍数．例7 已知a ，b 是正整数，并且a 2＋b 2能被ab 整除，求证：a =b ．先考虑a ，b 互质的情况，再考虑一般情况。