高等代数第二讲 带余除法与整除性

第一章整数的可除性整除性理论是初等数论的基础。

本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的q，使得成立，则称a能被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数q使得a = bq成立，则称a不被b整除，记为显然每个非零整数a称这四个数为a的平凡约数，a下面的结论成立：∣a⇔±b∣±a；(ⅱ) c ∣b，b∣a⇒c∣a；(ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, …, n⇒b∣a1q1+a2q2+…+a n q n，此处q i（i = 1, 2, , n）是任意的整数；(ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒|b|≤|a|；b∣a且|a|<|b|⇒a = 0。

) 设a 与b 是两个整数，b > 0，则存在q 和r ，使得a = bq + r ，0 ≤ r <b (2) 成立且q 。

中的q 叫做a 被b 除所得的不完全商，r 叫做a 被例1 若1n >，且111n n -+ 求n222x y z +=的整数解能否全是奇数？为什300”位于哪个字母的下面A B C D E F G1 2 3 45 6 78 9 10 1112 13 1415 16 17 ……. 解：观察可以发现两行7个数组成一组故300=7×42+6与6同在字母D 的下面例4 a 除以b 商为c ，余数为r ，则am 除以bm 商为 ， 余数为 。

m N +∈某整数除以3余2，除以4余1，该整数除以12，余 ？三、整除的特征从正整数121n n N a a a a a a -=的末位a 起向左每k 个数码分为一节，最后剩下若有不足k 个数码的也为一节，记为()1()(),,,k k t k A A A并记()1()()()k k k t k S N A A A =+++----数节和1()1()2()()()(1)t kk k k t k S N A A A A -'=-++-----数节代数和 1、设d 是10k 的约数，则()k d N d A ⇔推论：能被2或5整除的数的特征是：这个数的末一位数能被2或5整除。

带余除法教学带余除法，也称长除法，是数学中经常使用的计算方法。

它可以将两个整数相除，并得出除法的商和余数。

在学习代数、高等数学、离散数学等领域时，都需要掌握带余除法。

本文将详细介绍带余除法的教学方法和技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的计算方法。

1. 带余除法的定义在整数除法中，给定被除数和除数，商和余数则可以表示为：被除数 = 除数 ×商 + 余数其中，余数是被除数除以除数所得到的余数，商是整除得到的商。

当余数为0时，被除数可以被除数整除。

2. 带余除法的原理对于任意两个整数a和b（其中b≠0），它们的带余除法可以表示为：a = bq + r其中，q是a÷b的商，r是a÷b的余数。

我们可以通过整数除法的性质来证明这个原理。

首先，b可以表示为：b = b×1 + 0根据带余除法的定义，我们可以得到：a = b×q + r其中，r是与a除b所得到的余数，b×q是被a除以b所得到的商。

通过余数的定义，我们可以得到：0 ≤ r < |b|也就是说，r的值应该在0和|b|-1之间。

3. 带余除法的步骤带余除法通常分为以下步骤：（1）在竖式中写下被除数和除数。

（2）计算第一位商，将它写在竖式上。

（3）将除数与第一位商相乘，得出一个中间结果。

（4）从被除数中减去中间结果，得出余数。

（5）将下一位被除数与余数写在一起，得出新的被除数。

（6）将新的被除数除以除数，得出第二位商，将其写在上面。

（7）重复步骤3到6，直到被除数的位数都被处理完毕。

（8）最后，商就是所有商的积，余数就是最后一次除法的余数。

4. 带余除法的注意事项在使用带余除法时，需要注意以下几个方面：（1）当余数为0时，被除数可以被除数整除。

（2）当除数为1时，商和被除数相等。

（3）当除数等于被除数时，商为1，余数为0。

（4）当被除数为0时，商和余数都为0。

（5）当除数和被除数的正负号相同时，商为正数；否则，商为负数。

第2讲 整除、带余除法1、定义：对于整数a 和不为零的整数b ，总存在整数,m n 使得(0)a bm n n b =+≤<,其中m 称为商，n 称为余数，特别地，当0n =时，即a bm =，便称a 被b 整除（也称a 是b 的倍数或b 是a 的约数），记为|.b a2、性质（1）若|,|a b b c ，则|a c ；（2）若|b a ，则|b ka ，其中k 是任意整数；（3）若|,|a b a c ，则|();a b c ±（4）若|a bc 且(),1a c =，则|a b .特别地，若质数|,p bc 则必有|p b 或|p c ；（5）若|,|b a c a 且(),1b c =，则|;bc a（6）若|,|,b a c a 则[],|b c a .其中(),b c 表示,b c 两数的最大公约数，[],b c 表示,b c 两数的最小公倍数，若(),b c =1，则称,b c 两个数互质.3.具有整除性的数的特征.（1）被2整除的数：个位数字是偶数；（2）被3整除的数：数字和被3整除；（3）被4（25）整除的数：末两位数字组成的两位数能被4（或25）整除；（4）被5整除的数：个位数字是0或5；（5）被7（或11或13）整除的数：奇数位的数字和与偶数位的数字和的差（偶数位的数字和与奇数位的数字和的差）能被7（或11或13）整除；（6）被8（或125）整除的数：末三位数字组成的三位数能被8（或125）整除；（7）被9整除的数：数字和被9整除.典例分析例题 1 如果五位数1234a 是3的倍数，那么a 是_______________.能力冲浪数．n n+除所得的商数q及余数r都是正值，则r的最大值与最例题 2 n为正整数，302被()1小值的和是（）A. 148B.247C.93D.1222-1. 整数A除以3余2，除以4余1，那么A除以12的余数是_________________.n+被4除余数是___________________.2-2. 如果2n被4除余数为1，则()252-3.（第14届“五羊杯”）五羊足球学校有3位教练带着学员一起跑步，如果学员每2人一行，那么最后一行只有1人；如果学员每3人一行，那么最后一行只有2人；如果教练和学员合起来每5人一行，那么刚好可以跑成一个方阵，已知学员人数约为250左右，那么跑步的人数为（ ）A.230B. 250C. 260D.280例题 3 （第十九届江苏省初中数学竞赛）在0,1,2,3,4，…,100这101个整数中,能被2或3整除的数一共有( )A. 85个B. 68C. 34个D. 17个3-1．（第14届“希望杯”）在1,2,3，…，100中，不能被2整除也不能被5整除的所有整数的乘积的个位数字是（ ）A. 7B. 1C. 3D.例题 4 （第十五届江苏省初中数学竞赛）今天是星期天，从今天起第20001111天是星期_____.4-1. (第14届“五羊杯”) 2002年10月1日是星期二，2008年10月1日是星期__________ 4-2. （第十六届江苏省初中数学竞赛）给出一列数1237,7,7， ，20017，其中末位数是3的有_________个.4-3. （第十八届江苏省初中数学竞赛）设2222=1+2+3++2003,m 今天是星期一，若算为第一天，则第m 天是星期几？。

第4章 多项式4.1整数的一些整除性质教学内容：4.1整数的一些整除性质教学目标：掌握整除的性质及带余除法，掌握最大公因数与互素的概念及互素的一些简单性质授课时数：2学时教学重点：整除的性质、带余除法、最大公因数存在定理教学难点：带余除法定理及最大公因数存在定理的证明（定理4.1.1与定理4.1.2的证明）教学过程：一、整数的整除1、整除的定义定义1 设,a b 是两个整数。

如果存在一个整数q 使得b aq =，则称a 整除b ，或称b 被a 整除，记作|a b ，也说a 是b 的因数，b 是a 的倍数。

如果对任意整数q ，都有b aq ≠,则称 a 不整除，记作|a b 。

注：用乘积的等式来定义整除，给后面的讨论带来方便，这是研究方法上的一个进步。

例1 3|6,3|6,5|11,0|0,0|(0),|0.b b a -≠2、整除与除法的区别除法中不能用0作除数；由于整除是由乘积的等式来定义的，有0|0。

二．整除的基本性质根据定义，容易推出整除的基本性质：1）若|,|,a b b c ,则|a c 。

2）若|,|a b a c ,则.|()a b c +。

3）若|,a b c Z ∈,则|a bc 。

4）若|,1,2,,i a b i n = ，,对任意12,,,n c c c Z ∈ ,则有1122|()n n a b c b c b c +++ 。

* 4）是2、3）的推广5）对于任意整数a 有，|0,1|,|a a a a ±±。

6）若|a b 且|b a ，则|b a ±。

6）的证明：按定义，存在整数,c d ，使得,b ac =且a bd =。

将b ac =代入a bd =，有()()a bd ac d a cd ===。

若0a =，则0b ac a ===；若0a ≠，则由消去律得1ad =，因此1c d ==±，于是|b a ±。

例2 若3|n ，且7|n ，则21|n 。