数学建模数据包络分析(DEA)详细教程

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数据包络分析应用现状
• 最引人注目的研究是把DEA与其它评价方法进行比较。 例如将DEA应用于北卡罗来纳州各医院的有效性评价。 已有的按计量经济学方式给出的回归生产函数认为， 此例中不存在规模收益。DEA的研究发现，尽管使用 同样的数据，回归生产函数不能象DEA那样正确测定 规模收益．其关键在于： • DEA和回归方法虽然都使用给定的同样数据，但使用 方式不一样； • DEA致力于每个单个医院的优化，而不是对整个集合 的统计回归优化。 • 在其它的研究中，例如在评价医院经营有效性时，将 DEA与马萨诸塞州有效性评定委员会使用的比例方法 进行了比较，当使用模拟方法对DEA进行检验后认为， 尽管由回归函数产生的数据有利于回归方法的使用， 但是DEA方法显得更有效．
1 2 23 4 s1 1
1 , 2 , 3 , 4, s1 , s2 , s1 0
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• 最优解为
(1,0,0,0)
0
T
s
0 1 0
s
0 2
s
0 1
0
1
• 所以，DMU1为DEA有效。
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1800 1000 800 900
200 350 450 420
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相对有效性评价问题举例
例2：硕士点教育质量评价 某系统工程研究所对我国金属热处理专业的26个硕士 点的教育质量，进行了有效性评价。 评价采用的指标体系为： 输入：导师人数；实验设备；图书资料；学生入学情 况。 输出：科研成果；论文篇数；学生毕业时的情况。
相对有效性评价问题举例
例3：行风（行业作风）建设有效性评价 本项目研究人员选定江苏省 S 市交通客运系统作为对象，包括7家 交通客运汽车公司。 选定了输入指标 4 项，输出指标 4 项。分别是： 输入指标：1、年末职工总数（单位：人）； 2、单位成本（单位：元/千人公里）； 3、燃料单位消耗（单位：升/千人公里）； 4、行车责任事故率（单位：次/千人公里）。 输出指标：1、劳动生产率（单位：元/人）； 2、行车准点率（%）； 3、群众满意率（按问卷调查）（%） 4、车辆服务合格率（包括：服务态度、服务措施、车辆设施 等）（%）
数据包络分析概述
• 但当被衡量的同类型组织有多项投入和多项产出，且不能 折算成统一单位时，就无法算出投入产出比的数值。例如， 大部分机构的运营单位有多种投入要素，如员工规模、工 资数目、运作时间和广告投入，同时也有多种产出要素， 如利润、市场份额和成长率。在这些情况下，很难让经理 或董事会知道，当输入量转换为输出量时，哪个运营单位 效率高，哪个单位效率低。 • 因而，需采用一种全新的方法进行绩效比较。这种方法就 是二十世纪七十年代末产生的数据包络分析（DEA）。 DEA方法处理多输入，特别是多输出的问题的能力是具有 绝对优势的。
min s.t [ (e S eT S )]
^T n
X
j 1 n j 1
j
j S X 0 ,

Y S Y0 , j j
j 0, j 1, , n
S 0, S 0
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• 例1：考虑具有4个决策单元，2个输入和 1个输出，相应的输入数据和输出数据由 下表给出：
∑j yrj ≥ yrj0
j=1
（r = 1，2，…，s）
∑j xij ≤ E xij0
j=1
n
（i = 1，2，…，m，E＜1） （j = 1，2，…，n）
∑j = 1 ，j ≥0
j=1
n
这说明 j0 决策单元不处于生产前沿面上。
基于上述事实，可以写出如下线性规划的数学模型：
min E
∑j yrj ≥ yrj0
DEA有效性的判断
• 对具有非阿基米德无穷小量的C2R对偶输入模 型，可以根据以下规则判断DEA有效性： • 若θ<1,则DMUj0不为弱DEA有效； ^T • 若θ＝1, e S eT S 0 则DMUj0仅为弱DEA 有效； ^T • 若θ＝1, e S eT S 0 则DMUj0为DEA有效；
1 1 2 1 3 2 3 1 3 3 3 4 4 2 1
1
1
2
1
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考察DMU1，取ε＝10－5
min
[ ( s1 s2 s1 )]
s.t 1 32 33 44 s1
31 2 33 24 s2 3
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数据包络分析（DEA）模型简介
• DEA是使用数学规划（包括线性规划、多目标规划、 具有锥形结构的广义最优化、半无限规划、随机规划 等）模型，评价具有多个输入、特别是多个输出的 “部门”或“单位”（称为“决策单元”，简记DMU） 间的相对有效性（称为DEA有效）。 • 实际上“效率”或“相对有效性”的概念也是指产出 与投入之比，不过是加权意义之下的产出投入比。 • 根据对各DMU观察的数据判断DMU是否为DEA有效， 本质上是判断DMU是否位于可能集的“生产前沿面” 上。
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y
DMU3
DMU2 DMU4 DMU1 o x
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DMU1、 DMU2、 DMU3都处于技术有效状态；DMU1不为规模有效， 实际上它处于规模收益递增状态； DMU3不为规模有效，实际上它处于 规模收益递减状态； DMU2是规模有效的。如果用DEA模型来判断DEA 有效性，只有DMU2对应的最优值θ0＝1。可见，在C2R模型下的DEA有 效，其经济含义 是：既为“技术有效”，也为“规模有效”。
Y0 ,
j 0, j 1, , n
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C2R的对偶输出模型模型
max
n
z
s.t
X
j 1 n j 1 j
j
j X0,
j
Y
zY0 ,
j 0, j 1, , n
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BC2的对偶输入模型模型
Banker, Charnes and Cooper(1984)
相对有效性评价问题举例
例4：银行分理处相对有效性评价 振华银行的 4 个分理处的投入产出如下表。求各个分理处的 运行是否DEA有效。 （产出单位：处理笔数/月） 分理处 投入
职员数 营业面积（m2） 储蓄存取
产出
贷款 中间业务
分理处1 分理处2 分理处3 分理处4
15 20 21 20
140 130 120 135
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数据包络分析基本概念
在DEA中一般称被衡量绩效的组织为决策单元 （decision making unit——DMU）。 设：n 个决策单元（ j = 1，2，…，n ） 每个决策单元有相同的 m 项投入（输入）（i = 1，2，…，m ） 每个决策单元有相同的 s 项产出（输出） （r = 1 ， 2 ， …， s ） Xij ——第 j 决策单元的第 i 项投入 yrj ——第 j 决策单元的第 r 项产出 衡量第 j0 决策单元是否DEA有效
决策单元 投 入 项 目
1 2 … m
1
X11 X21 … Xm1
2
X12 X22 … Xm2
…
… … … …
n
X1n X2n … Xmn
1
y11 y21 … ys1
2
y12 y22 … ys2
…
… … … …
n
y1n y2n … ysn
决策单元
1 2 … s
产 出 项 目
输入型与输出型的DEA模型
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C2R模型
max s.t u Y0 T v X0 u Y0 1, j 1, , n, T v X0 u 0, v 0
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T
T
C2R的对偶输入模型模型
min s.t

X
j 1 n j 1 j
n
j
j X 0 ,
j
Y
数据包络分析（DEA）
数据包络分析概述
• 数据包络分析是线性规划模型的应用之一，常被用来衡量 拥有相同目标的运营单位的相对效率。 • 数据包络分析是一种基于线性规划的用于评价同类型组织 （或项目）工作绩效相对有效性的特殊工具手段。这类组织 例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等， 各自具有相同（或相近）的投入和相同的产出。衡量这类组 织之间的绩效高低，通常采用投入产出比这个指标，当各自 的投入产出均可折算成同一单位计量时，容易计算出各自的 投入产出比并按其大小进行绩效排序。
j=1
n
（r = 1，2，…，s）
S.t.
∑j xij ≤ E xij0
j=1
n
（i = 1，2，…，m） （j = 1，2，…，n）
∑j = 1 ，j ≥0
j=1
n
结果分析： 1、当求解结果有 E ＜1 时，则 j0 决策单元非DEA有效； 2、否则，则 j0 决策单元DEA有效。
具有非阿基米德无穷小量的C2R对偶 输入模型
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生产前沿面
• 生产前沿面实际上是指由观察到的决策 单元的输入数据和输出数据的包络面的 有效部分，这也是称谓“数据包络分析” 的原因所在。 • 决策单元为DEA有效，也即相应于生产 可能集而言，以投入最小、产出最大为 目标的Pareto最优。因此，生产前沿面即 为Pareto面（Pareto最优点构成的面）。
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技术有效与规模有效
• 技术有效：输出相对输入而言已达最大，即该 决策单元位于生产函数的曲线上。（其实这就 是前面一直提到的相对有效性，注意，技术有 效于纯技术有效是不同的，有文献指出，技术 效率等于纯技术效率与规模效率的乘积） • 规模有效：指投入量既不偏大，也不过小，是 介于规模收入收益由递增到递减之间的状态， 即处于规模收益不变的状态。
min s.t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

X
j 1 n
n
j
j X 0 ,
Y
j 1 n
j
j Y0 ,
1

j 1
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j
j 0, j 1, , n
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构建DEA 模型的思路
衡量某一决策单元 j0是否DEA有效——是否处于由包 络线组成的生产前沿面上，先构造一个由 n 个决策单元组 成（线性组合成）的假想决策单元。如果该假想单元的各 项产出均不低于 j0 决策单元的各项产出，它的各项投入均 低于 j0 决策单元的各项的各项投入。 即有： n
• Input-DEA 模型：基于投入的技术效率，即在 一定产出下，以最小投入与实际投入之比来估 计。或者说，决策者追求的倾向是输入的减少， 即求θ的最小。 • Output-DEA 模型：基于产出的技术效率，即 在一定的投入组合下，以实际产出与最大产出 之比来估计。或者说，决策者追求的倾向是输 出的增大，即求z的最大。
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关于DEA模型的基本定理
• 存在性定理：至少存在一个决策单元， 它是DEA有效的。 • 有效性与量纲选取无关定理：决策单元 的DEA有效性与输入和输出量纲的选取 无关。 • 有效性与DMU同倍“增长”无关定理： 决策单元的DEA有效性与决策单元对应 的输入和输出同倍“增长”无关。
DEA模型是直接使用输入、输出数据建立非参数的经济数学模型。
数据包络分析应用现状
• DEA的优点吸引了众多的应用者，应用范围已扩 展到美国军用飞机的飞行、基地维修与保养，以 及陆军征兵、城市、银行等方面．目前，这一方 法应用的领域正在不断地扩大。它也可以用来研 究多种方案之间的相对有效性（例如投资项目评 价）；研究在做决策之前去预测一旦做出决策后 它的相对效果如何（例如建立新厂后，新厂相对 于已有的一些工厂是否为有效)。DEA模型甚至可 以用来进行政策评价。
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数据包络分析（DEA）源起
1978年，著名运筹学家、美国德克萨斯大学教授 A.Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes发表了一篇重要论 文：“Measuring the efficiency of decision making units”（决策单元的有效性度量），刊登在权威的“欧洲 运筹学杂志”上。正式提出了运筹学的一个新领域：数据 包络分析，其模型简称 C2R 模型。该模型用以评价部门间 的相对有效性（因此被称为DEA有效）。