人教新课标版数学高一B版必修4作业1.2.4-第2课时 诱导公式三、四

1.2.4 诱导公式(二)一、基础过关1． 已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12B.12C ．－32 D.32 2． 若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( ) A ．－12B.12C.32 D ．－32 3． 已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13B.13C ．－223D.2234． 若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m3C ．－3m2D.3m 2 5． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ等于( )A ．－33B.33C ．－ 3D. 3 6． 已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23C ．－13D ．－237． sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________. 8． 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.二、能力提升9． 已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.10．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．11．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．12．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， 求sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．三、探究与拓展13．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．答案1．A 2.A 3.A 4.C 5.C 6.D 7.8928． 证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立． 9． 210．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.11．sin α＝1213 cos α＝513 12.－133513．解 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④ 由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

1.2.4诱导公式(一)明目标、知重点 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.1.设α为任意角，则2kπ＋α(k∈Z)，－α，(2k＋1)π＋α(k∈Z)的终边与α的终边之间的对称关系2.诱导公式一～三(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.(2)公式二：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.(3)公式三：sin＝－sin α，cos＝－cos α，tan＝tan α，其中k∈Z.在初中，我们已经会求锐角的三角函数值.对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解.本节课将解决这一问题.探究点一诱导公式一思考1诱导公式一是什么？答由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等.由此得到诱导公式一：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，tan(2kπ＋α)＝tan α，其中k∈Z.思考2诱导公式一的作用是什么？答把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值.例1求下列各式的值.(1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°＝32×32＋12×12－1＝0. 反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－23π3＋tan 17π4； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.解 (1)原式＝cos ⎣⎡⎦⎤π3＋(－4)×2π＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2×2π ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°) ＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180°＝－1＋1＋1－1＝0.探究点二 诱导公式二思考1 设角α的终边与单位圆的交点为P 1(x ，y )，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P 2坐标如何？答 角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称.角－α与单位圆的交点为P 2(x ，－y ).思考2 根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ； sin(－α)＝－y ＝－sin α；cos(－α)＝x ＝cos α，tan(－α)＝－y x＝－tan α. 即诱导公式二sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α，tan (－α)＝－tan α.思考3 诱导公式二有何作用？答 将负角的三角函数转化为正角的三角函数.探究点三 诱导公式三思考1 设角α的终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？ 如图，设角α的终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，则角π＋α的终边与单位圆的交点P 2的坐标如何？答 角π＋α的终边与角α的终边关于原点O 对称.P 2(－x ，－y ).思考2 根据三角函数定义，sin(π＋α) 、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，(2k ＋1)π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答 sin(π＋α)＝－y ，cos(π＋α)＝－x ，tan(π＋α)＝－y －x ＝y x. 诱导公式三sin ＝－sin α，cos ＝－cos α，tan ＝tan α.思考3 公式三有何作用？答 第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数.小结 公式一～三都叫做诱导公式，他们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，－α，(2k ＋1)π＋α(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 简记为“函数名不变，符号看象限”！例2 利用公式求下列三角函数的值：(1)cos 225°；(2)sin 11π3；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－16π3；(4)cos(－2 040°). 解 (1)cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22； (2)sin 11π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4π－π3＝－sin π3＝－32； (3)sin ⎝⎛⎭⎫－16π3＝－sin 16π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫5π＋π3＝－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝32； (4)cos(－2 040°)＝cos 2 040°＝cos(6×360°－120°)＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12. 反思与感悟 利用诱导公式求三角函数值时，先将不是0,2π)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后再转化到⎣⎡⎦⎤0，π2范围内的角的三角函数值. 跟踪训练2 求下列三角函数值.(1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π；(2)cos 296π；(3)tan(－855°). 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π＝－sin 436π＝－sin(6π＋76π) ＝－sin 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12； (2)cos 296π＝cos(4π＋56π)＝cos 56π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6 ＝－cos π6＝－32； (3)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.例3 化简：cos (180°＋α)·sin (α＋360°)sin (－α－180°)·cos (－180°－α).解 sin(－α－180°)＝sin＝－sin(180°＋α)＝－(－sin α)＝sin α，cos(－180°－α)＝cos＝cos(180°＋α)＝－cos α，所以，原式＝－cos α·sin αsin α·(－cos α)＝1. 反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.跟踪训练3 化简：tan (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ). 解 原式＝tan (－θ)·sin (－θ)·cos (－θ)cos (π－θ)·sin (π＋θ)＝(－tan θ)·(－sin θ)·cos θ(－cos θ)·(－sin θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ. 例4 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值. 解 cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α－sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－⎣⎡⎦⎤1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－1 ＝⎝⎛⎭⎫332－33－1＝－2＋33. 反思与感悟 对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.跟踪训练4 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值. 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35， ∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＋35＝15.1.求下列三角函数的值.(1)sin 690°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π；(3)tan(－1 845°). 解 (1)sin 690°＝sin(360°＋330°)＝sin 330°＝sin(180°＋150°)＝－sin 150°＝－sin(180°－30°)＝－sin 30°＝－12. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π＝cos 203π＝cos(6π＋23π) ＝cos 23π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－cos π3＝－12. (3)tan(－1 845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.2.化简：1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解 原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 3.证明：2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z . 证明 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π)cos (α－2k π)sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α. 右边＝(－1)2k cos α＝cos α，∴左边＝右边.当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π－π)cos (α－2k π＋π)sin (α＋2k π－π)＋sin (α－2k π＋π)＝2sin (α－π)cos (α＋π)sin (α－π)＋sin (α＋π)＝2[－sin (π－α)](－cos α)(－sin α)＋(－sin α)＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α. 右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边.综上所述，2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立.1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.一、基础过关1.sin 585°的值为( )A.－22B.22C.－32D.32答案 A2.若n 为整数，则代数式sin (n π＋α)cos (n π＋α)的化简结果是( ) A.±tan α B.－tan α C.tan α D.12tan α 答案 C3.若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( ) A.12 B.±32 C.32 D.－32答案 D解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2 α＝－32(α为第四象限角).4.tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C.－1D.1 答案 A解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 5.记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2kB.－1－k 2kC.k 1－k 2D.－k 1－k 2 答案 B解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2.∴tan 80°＝1－k 2k .∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k .6.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝ .答案 －33解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－(π6＋θ)＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－33.7.化简：sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)，n ∈Z .解 当n 为偶数时，n ＝2k ，k ∈Z .原式＝sin(2k π－23π)·cos(2k π＋43π)＝sin ⎝⎛⎭⎫－23π·cos 43π＝(－sin 23π)·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π＝sin 23π·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34.当n 为奇数时，n ＝2k ＋1，k ∈Z .原式＝sin(2k π＋π－23π)·cos(2k π＋π＋43π)＝sin ⎝⎛⎭⎫π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫π＋43π＝sin π3·cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3＝sin π3×cos π3＝32×12＝34.∴sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)＝34，n ∈Z .二、能力提升8.若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为()A.53 B.－53C.±53 D.以上都不对答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 2 2－23＝－23， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2 α＝－ 1－49＝－53. 9.已知tan(4π＋α)＝m (m ≠±1)，则sin (α－2π)＋2cos (2π－α)2sin (－α)－cos (2π＋α)的值为 . 答案 －m ＋22m ＋110.设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数.若f (2 015)＝1，则f (2 016)＝ .答案 3解析 ∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2＝2－(a sin α＋b cos β)＝1，∴a sin α＋b cos β＝1，f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝3.11.若cos(α－π)＝－23，求 sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值. 解 原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α. ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角. 当α为第一象限角时，cos α＝23， sin α＝1－cos 2α＝53，∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52. 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52. 12.已知tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根，且3π<α<7π2，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值.解 因为tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根， 所以tan α·1tan α＝13×(3k 2－13)＝1， 可得k 2＝163. 因为3π<α<7π2，所以tan α>0，sin α<0，cos α<0， 又tan α＋1tan α＝－－3k 3＝k ， 所以k >0，故k ＝433， 所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝433， 所以sin αcos α＝34， 所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×34＝2＋32. 因为cos α＋sin α<0，所以cos α＋sin α＝－3＋12. 所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)＝cos α＋sin α＝－3＋12.三、探究与拓展13.在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角.解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，∴cos A ＝±22， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π. 当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去.∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，C ＝712π.。

第二课时 诱导公式(2)点)1．角α与α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数间的关系 cos[α＋(2k ＋1)π]＝－cos_α， sin[α＋(2k ＋1)π]＝－sin_α， tan[α＋(2k ＋1)π]＝tan_α.通常，称上述公式为诱导公式(三)．归纳总结sin(α＋n π)＝⎩⎪⎨⎪⎧－sin α，当n 为奇数，sin α，当n 为偶数，cos(α＋n π)＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos α，当n 为奇数，cos α，当n 为偶数，tan(α＋n π)＝tan α，n ∈Z .【自主测试1－1】sin 19π6的值是( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案：A【自主测试1－2】化简1－sin 2460°为( ) A ．－cos 80° B．－sin 80° C ．cos 80° D ．sin 80° 答案：C2．角α与α＋π2的三角函数间的关系cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α. 通常，将上述公式称为诱导公式(四)．在诱导公式(四)中，以－α替代α，可得另一组公式cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝cos α. 由三角函数之间的关系又可得 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－cot α，cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－tan α； tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝cot α，cot ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝tan α.我们知道，任意一个角都可表示为k ·π2＋α⎝⎛⎭⎪⎫其中|α|≤π4的形式．这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到π4之间角的三角函数求值问题．【自主测试2－1】化简sin π＋αcos 2π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α所得的结果为( )A ．sin αB ．－sin αC ．cos αD ．－cos α答案：C【自主测试2－2】若|cos α|＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则角α的集合为__________． 解析：∵|cos α|＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α， ∴cos α≥0，∴2k π－π2≤α≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－π2≤α≤2k π＋π2，k ∈Z. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－π2≤α≤2k π＋π2，k ∈Z诱导公式的作用与规律性剖析：(1)诱导公式的作用是将任意角的三角函数转化为0°～90°角的三角函数值． (2)诱导公式存在的规律： ①α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，可以说成“函数名不变，符号看象限”．如sin(300°＋180°)＝－sin 300°，我们把300°看成一个锐角α，则sin(300°＋180°)的符号为负，即sin 300°前面所带的符号为负．②α＋π2，－α＋π2的三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．如cos(100°＋90°)＝－sin 100°，我们把100°看成锐角α，则cos(100°＋90°)的符号为负，即sin 100°前面所带的符号为负．③这两套公式可以归纳为α＋k ·π2(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的异名三角函数值．然后，在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”．值得注意的是，这里的奇和偶分别指的是π2的奇数倍和偶数倍；符号看象限指的是等式右边的正负号恰为把α看成锐角时，原函数值的符号．诱导公式有很多组，使用不同的组合都可以达到共同的效果，但是一般采用以下顺序： ①化负角为正角；②大于360°的角化为[0°，360°)之间的角； ③把90°～360°的角转化为0°～90°之间的角．题型一 利用诱导公式求值【例题1】求sin(－1 920°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值．分析：求三角函数值一般先将负角化为正角，再化为0°～360°的角，最后化为锐角求值．解：原式＝－sin(5×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°＝32×32＋12×12＋1＝2. 反思对于任意给定的角都要将其化成k ·360°＋α，180°±α，360°－α等形式进行求值，大体的求值思路可以用口诀描述为“负变正，大变小，化为锐角范围内错不了”．题型二 利用诱导公式化简【例题2】已知α是第三象限的角，f (α)＝sin π－αcos 2π－αtan ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cot －α－πsin －π－α，(1)化简f (α)；(2)若α＝－1 860°，求f (α)的值．分析：这是一道综合性题目，其实质就是化简求值，在化简求值的过程中，要正确运用十字诀(奇变偶不变，符号看象限)．解：(1)f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4·π2－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3·π2－αcot ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2·π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2·π2－α＝sin αcos αcot α－cot αsin α＝－cos α.(2)∵－1 860°＝－21×90°＋30°，∴f (－1 860°)＝－cos(－1 860°)＝－cos(－21×90°＋30°)＝－sin 30°＝－12.反思三角函数的化简问题要依据诱导公式进行，关键是诱导公式的选择，要把角进行合理的拆分，再者要与前面所学三角函数基本关系式相互配合使用，化简中应遵循“三个统一”，即统一角，统一函数名称，统一结构形式．题型三 利用诱导公式证明【例题3】已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证：sin π－α＋5cos 2π－α3cos π－α－sin －α＝－35.分析：首先将已知条件进行化简，得到一个结构比较简单的式子，然后再化简待求式的左边，最后将化简后的已知条件代入，进一步整理即可证得．证明：因为sin(α－π)＝2cos(2π－α)，所以－sin α＝2cos α，即sin α＝－2cos α.所以待求式的左边＝sin α＋5cos α－3cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－3cos α－2cos α＝3cos α－5cos α＝－35＝右边，所以sin π－α＋5cos 2π－α3cos π－α－sin －α＝－35.反思利用诱导公式证明等式，关键在于公式的灵活运用，就本题而言，主要就是运用诱导公式由左边推导到右边，并先对已知条件进行化简．1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫－16π3的值为( ) A ．－1＋32 B ．1－32 C ．3－12 D ．3＋12解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3＝cos 16π3－sin 16π3＝cos 4π3－sin 4π3＝－cos π3＋sin π3＝3－12.答案：C2．在△ABC 中，下列等式一定成立的是( )A ．sin A ＋B 2＝－cosC 2B ．sin(2A ＋2B )＝－cos 2CC ．sin(A ＋B )＝－sin CD ．sin(A ＋B )＝sin C解析：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ． sin A ＋B 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cos C 2. sin(2A ＋2B )＝sin(2π－2C )＝－sin 2C ． 答案：D3．已知cos(π＋α)＝－35，且α是第四象限的角，则sin(－2π＋α)的值是( )A ．45B ．－35C ．－45D ．35解析：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.又∵α是第四象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－45.答案：C4．下列三角函数：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π3(n ∈Z )．其中函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：对于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3，当n 为偶数时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3. 对于cos ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π－π6＝cos 5π6＝－cos π6＝－sin π3. 故①与④中的函数值不等于sin π3.可以验证②③⑤中的函数值均与sin π3的值相同．答案：C5．已知f (cos x )＝cos 3x ，则f (sin 150°)＝__________. 解析：∵sin 150°＝sin(60°＋90°)＝cos 60°， ∴f (sin 150°)＝f (cos 60°)＝cos 180°＝－1. 答案：－16．已知tan(π＋α)＝－2，求sin(3π－α)和sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解：∵tan(π＋α)＝－2，∴tan α＝－2. ∴sin αcos α＝－2， ∴sin α＝－2cos α.将sin α＝－2cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1，整理，得5cos 2α＝1.∴cos 2α＝15.∴cos α＝±55. 又∵tan α＝－2＜0，∴α为第二或第四象限的角．当α为第二象限的角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝cos α＝－55，sin(3π－α)＝sin α＝－2cos α＝255；当α为第四象限的角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝cos α＝55，sin(3π－α)＝sin α＝－2cos α＝－255.。

1.2.4 诱导公式(二)明目标、知重点 1.掌握诱导公式四、五的推导，并能应用解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至五，能作综合归纳，体会出五组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.1.诱导公式四～五(1)公式四：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α， tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－cot α，cot ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－tan α. 以－α替代公式四中的α，可得公式五.(2)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cot α，cot ⎝⎛⎭⎫π2－α＝tan α. 2.诱导公式四～五的记忆π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”.对形如2k π－α、－α、π＋α的角的三角函数可以转化为α角的三角函数，对形如π2＋α，π2－α的角的三角函数与α角的三角函数，是否也存在着某种关系，需要我们作进一步的探究. 探究点一 诱导公式四 思考1 公式四的内容是什么？答 sin(π2＋α)＝cos α，cos(π2＋α)＝－sin α，tan(π2＋α)＝－cot α，cot(π2＋α)＝－tan α.思考2 如何推导公式四？答 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P ，则点P 的坐标为(cos α，sin α).点P 关于直线y ＝x 的对称点为M ，点M 也在单位圆上，且M 点坐标为(sin α，cos α).点M 关于y 轴的对称点为N ，点N 也在单位圆上，且N 点坐标为(－sin α，cos α).另一方面，点P 经过以上两次轴对称变换到达点N ，等同于点P 沿单位圆旋转到点N ，且旋转角的大小为∠PON ＝2(∠AOM ＋∠MOB )＝2×π4＝π2.因此点N 是角α＋π2与单位圆的交点，点N 坐标为⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2. 所以，有cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α， 从而，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－cot α，cot ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－tan α. 探究点二 诱导公式五 思考1 公式五的内容是什么？答 sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cot α，cot ⎝⎛⎭⎫π2－α＝tan α. 思考2 如何推导公式五？答 方法1：利用公式二和公式四可得： sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(－α)＝cos(－α)＝cos α， cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋(－α)＝－sin(－α)＝sin α， 从而：tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cot α，cot ⎝⎛⎭⎫π2－α＝tan α. 方法2：如图，设角α与π2－α的终边分别与单位圆交于点P 与P ′，因为角α与π2－α的终边关于直线y ＝x 对称，若设P (x ，y )，则P ′(y ，x ).根据任意角的三角函数的定义推导诱导公式五. ∵sin α＝y ，cos α＝x ， sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝x ，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝y ， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α.由同角三角函数基本关系式得 tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cot α，cot ⎝⎛⎭⎫π2－α＝tan α. 小结 公式一～三归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，α＋(2k ＋1)π的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.公式四～五归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.五组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.例1 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3 的值.解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2， ∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 反思与感悟 利用诱导公式四和诱导公式五求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用.跟踪训练1 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值. 解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33. 探究点三 诱导公式的应用思考 你能根据相关的诱导公式给出下列等式证明吗？ sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin α.证明 sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－cos α； cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α； sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－cos α； cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin α. 例2 化简：sin (2π－α)cos (π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫112π－αcos (π－α)sin (3π－α)sin (－π－α)sin ⎝⎛⎭⎫92π＋α.解 原式＝(－sin α)(－cos α)(－sin α)cos ⎣⎡⎦⎤5π＋⎝⎛⎭⎫π2－α(－cos α)sin (π－α)[－sin (π＋α)]sin ⎣⎡⎦⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin 2αcos α⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α(－cos α)sin α[－(－sin α)]sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin 2αcos αsin α－cos αsin 2αcos α＝－sin αcos α＝－tan α.反思与感悟 三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数. (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.跟踪训练2 求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－32πcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋32π＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1. 证明 ∵左边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫32π－θ()－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θ(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ(－sin θ)－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θcos θ＋1sin θcos θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.∴左边＝右边，故原等式成立.例3 已知sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ的值. 解 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θ＋cos θ＝72， ∴sin θcos θ＝12＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫722－1＝38， ∴sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.反思与感悟 解答本题时，应先利用诱导公式将已知式子和所求式分别化简，再利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值.解答这类给值求值的问题，首先应把所给的进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式. 跟踪训练3 在△ABC 中，sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C2，试判断△ABC 的形状. 解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B .又∵sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B2，∴sin(π2－C )＝sin(π2－B )，∴cos C ＝cos B .又B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B . ∴△ABC 为等腰三角形.1.已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A.－233 B.233 C.13 D.－13答案 D解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13. 2.已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α等于( ) A.－25 B.－15 C.15 D.25答案 C解析 sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝cos α＝15. 3.代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是 . 答案 1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1.4.已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)·sin (－α＋32π)cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－32π)＝15，求f (α)的值.解 (1)f (α)＝－sin αcos α·(－cos α)(－cos α)sin α＝－cos α.(2)∵cos(α－32π)＝cos ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－125＝－265， ∴f (α)＝－cos α＝265.1.学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.当k为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.一、基础过关1.已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A.－12 B.12 C.－32 D.32答案 A解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.2.若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( )A.－12B.12C.32D.－32答案 A解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝－sin α＝－12.3.已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A.－13B.13C.－223D.223答案 A解析 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 4.若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A.－2m3B.2m 3C.－3m 2D.3m 2 答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.∴cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .5.在△ABC 中，下列表达式为常数的是( ) A.sin(A ＋B )＋sin CB.cos(B ＋C )－cos AC.sinA ＋B 2cosC 2D.cosB ＋C 2cos A 2答案 C解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B 2＝π2－C2，∴sinA ＋B 2＝sin(π2－C 2)＝cos C2. ∴sin A ＋B 2cos C 2＝cosC 2cos C 2＝1，故选C .6.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝ . 答案892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 7.求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边.∴原等式成立. 二、能力提升8.已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23C.－13D.－23答案 D解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α) ＝sin ＋cos＝－sin －cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.9.化简cos (α＋π)·sin 2(α＋3π)tan (α＋4π)·tan (α－π)sin 3(π2＋α)的值为 .答案 －1解析 原式＝－cos α·sin 2αtan α·tan α·cos 3α＝－sin 2αtan 2α·cos 2α＝－tan 2αtan 2α＝－1.10.化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z ). 解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.11.已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值. 解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169， 即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 12.已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， 求sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值. 解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， ∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2.∴sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α ＝－sin 3α－cos α5sin α－3sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－(sin 3α＋cos α)5sin α－3cos α ＝sin 3α＋cos α3cos α－5sin α＝sin 2α·tan α＋13－5tan α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α·tan α＋13－5tan α＝tan 3α1＋tan 2α＋13－5tan α＝231＋22＋13－5×2＝－1335. 三、探究与拓展13.是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立. 若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由. 解 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32， 又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合.当α＝－π4时，代入②得cos β＝32， 又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合. 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件.。

一、选择题1．sin 600°＋tan(－300°)的值是( )A ．－32 B.32C ．－12＋ 3 D.12＋3【解析】 原式＝sin(360°＋240°)＋tan(－360°＋60°)＝sin 240°＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝32.【答案】 B2．(2019·杭州高一检测)cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( )A ．－1＋32 B.1－32 C.3－12 D.3＋12 【解析】 原式＝cos 16π3－sin 16π3＝cos 4π3－sin 4π3＝－cos π3＋sin π3＝3－12.【答案】 C3．(2019·广东高考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25B ．－15 C.15 D.25【解析】 sin(5π2＋α)＝cos α，故cos α＝15，故选C.【答案】 C4．若f (cos x )＝2－sin 2x ，则f (sin x )＝( )A ．2－cos 2xB ．2＋sin 2xC ．2－sin 2xD ．2＋cos 2x【解析】 ∵f (cos x )＝2－sin 2x ，∴f (sin x )＝f [cos(π2－x )]＝2－sin[2(π2－x )]＝2－sin(π－2x )＝2－sin 2x .【答案】 C5．(2019·吉安高一检测)若α∈(π2，32π)，tan(α－7π)＝－34，则sin α＋cos α的值为( )A ．±15B ．－15 C.15 D ．－75【解析】 tan(α－7π)＝tan(α－π)＝tan[－(π－α)]＝tan α，∴tan α＝－34，∴sin αcos α＝－34，∵cos 2α＋sin 2α＝1，α∈(π2，3π2)且tan α＝－34，∴α为第二象限角．∴cos α＝－45，sin α＝35，∴sin α＋cos α＝－15.【答案】 B二、填空题6．已知tan(π＋2α)＝－43，则tan 2α＝__________.【解析】 tan(π＋2α)＝tan 2α＝－43.【答案】 －437.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值等于________． 【解析】 原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (360°＋210°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝－cos 45°sin (90°＋45°)－sin (180°＋30°)＝－2222＋12＝2－2. 【答案】 2－28．若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 009)＝2，则f (2 010)＝__________.【解析】 ∵f (2 009)＝a sin(2 009π＋α)＋b cos(2 009π＋β)＝2.∴f (2 010)＝a sin(2 010π＋α)＋b cos(2 010π＋β)＝a sin[π＋(2 009π＋α)]＋b cos[π＋(2 009π＋β)]＝－[a sin(2 009π＋α)＋b cos(2 009π＋β)]＝－2.【答案】 －2三、解答题9．求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值．【解】 原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝32×32＋12×12＋1＝2.10．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值； (2)求sin 3(π－α)＋5cos 3 (α－3π)3sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋sin 2(π－α)cos (α－2π)的值． 【解】 (1)∵r ＝|OP |＝ (45)2＋(－35)2＝1，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)＝cos α－sin α·tan α－cos α＝1cos α＝54. (2)∵tan α＝－34，∴sin 3(π－α)＋5cos 3(α－3π)3sin 3(32π－α)＋sin 2(π－α)cos (α－2π)＝sin 3 α－5cos 3 α－3cos 3α＋sin 2 α·cos α＝tan 3 α－5－3＋tan 2 α＝347156.11．(2019·湛江高一检测)已知π6<α<2π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝m (m ≠0)，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值．【解】 因为2π3－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－m . 由于π6<α<2π3，所以0<2π3－α<π2.于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α ＝1－m 2.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－1－m 2m .。

课时分层作业(七) 诱导公式(三)、(四)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝35，则sin x 的值为( )A.35 B ．－35 C.45D ．－45B [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin x ＝35，∴sin x ＝－35.]2．在△ABC 中，cos(A ＋B )的值等于( ) A ．cos C B ．－cos C C ．sin CD ．－sin CB [cos(A ＋B )＝cos(180°－C )＝－cos C ．]3．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0B [∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0，∴sin θ>0. ∵cos(θ－π)＝－cos θ>0，∴cos θ<0.] 4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A ．－13 B.13 C.223D ．－223A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选A.]5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1C ．－1D ．1A [由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ， 所以sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1.] 二、填空题6．若sin(π－α)＝log 8 14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝________.23 [由已知得sin(π－α)＝sin α＝log 32 2－2＝－23. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝23.]7．若a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134π，b ＝tan 113π，则a ，b 的大小关系是________.a >b [a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋34π＝tan 34π＝－tan π4，b ＝tan 113π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋23π＝tan 23π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－tan π3，∵0<π4<π3<π2， ∴tan π4<tan π3， ∴a >b .]8．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.2 [由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2， 则原式＝sin (α－π)－cos α＋cos α＋2sin αsin α－cos α＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.] 三、解答题9．求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值． [解] 原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2.10．已知f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，求tan α.[解] (1)f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (－α－π)＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35，又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2α＝45，则tan α＝sin αcos α＝－43.[等级过关练]1．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin (6π－α)的值为( )A ．－23m B ．－32mC.23mD.32mB [∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ， 从而sin α＝m2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α ＝－32m .]2．计算：sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A ．89 B ．90 C.892D ．45 C [原式＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋sin 2(90°－44°)＋…＋sin 2(90°－3°)＋sin 2(90°－2°)＋sin 2(90°－1°)＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋(sin 23°＋cos 23°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＝44＋12＝892.]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝________.14 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12×12＝14.]4．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是________．31010 [由条件知⎩⎨⎧－2tan α＋3sin β＝－5，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又α为锐角，tan α＝sin αcos α＝sin α1－sin 2α＝3，解得sin α＝31010.]5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，求下列各式的值：(1)sin α－cos α； (2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α. [解] 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23，①将①两边平方，得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79. 又π2＜α＜π， ∴sin α＞0，cos α＜0.(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝169，∴sin α－cos α＝43. (2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α) ＝－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－718＝－2227.。

基 础 巩 固一、选择题1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( ) A ．α一定是锐角 B ．0≤α<2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角[答案] D2．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β) [答案] B 3．cos(－20π3)等于( ) A.12B.32 C ．－12D ．－32[答案] C [解析] cos(－20π3)＝cos 20π3＝cos(6π＋2π3)＝cos 2π3＝cos(π－π3)＝－cos π3＝－12.4．(广东揭阳第一中学2012－2013期中)tan300°＝( ) A.3B ．－3C.33D．－33[答案] B[解析]tan300°＝tan(360°－60°)＝tan(－60°) ＝－tan60°＝－ 3.5．sin600°＋tan240°的值是()A．－32 B.32C．－12＋ 3 D.12＋ 3[答案] B[解析]sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－3 2＋3＝3 2.6．已知tan5°＝t，则tan(－365°)＝()A．t B．360°＋tC．－t D．与t无关[答案] C[解析]tan(－365°)＝－tan365°＝－tan(360°＋5°)＝－tan5°＝－t.二、填空题7．(2013杭州调研)若sin(π＋α)＝12，α∈(－π2，0)，则tanα＝________.[答案]－3 3[解析] ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12，∴sin α＝－12，又α∈(－π2，0)，∴α＝－π6，tan α＝tan(－π6)＝－33.8．已知α∈(0，π2)，tan(π－α)＝－34，则sin α＝______.[答案] 35[解析] 由于tan(π－α)＝－tan α＝－34，则tan α＝34，解方程组⎩⎨⎧sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±35，又α∈(0，π2)，所以sin α>0.所以sin α＝35.三、解答题9．求值：(1)sin1320°；(2)cos(－316π)． [解析] (1)sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32；(2)cos(－316π)＝cos(－6π＋5π6)＝cos 5π6＝cos(π－π6)＝－cos π6＝－32.10．已知cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (540°＋α)sin (－α－180°)cos (－180°－α)＝lg 1310，求cos (π＋α)cos α[cos (π－α)－1]＋cos (α－2π)cos αcos (π－α)＋cos (α－2π)的值．[解析] ∵cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (540°＋α)sin (－α－180°)cos (－180°－α)＝(－cos α)sin αsin (180°＋α)－sin (180°＋α)cos (180°＋α)＝(－cos α)sin α(－sin α)sin α(－cos α)＝－sin α＝lg 1310，∴sin α＝－lg 1310＝lg 310＝13.∴cos (π＋α)cos α[cos (π－α)－1]＋cos (α－2π)cos αcos (π－α)＋cos (α－2π) ＝－cos αcos α(－cos α－1)＋cos αcos α(－cos α)＋cos α ＝1cos α＋1＋11－cos α＝(1－cos α)＋(1＋cos α)1－cos 2α ＝2sin 2α＝18.。

1．2．4 诱导公式(一) 课时目标 1．借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程．2．运用所学三组公式进行求值、化简与证明．1．设α为任意角，则2k π＋α (k ∈Z )，－α，(2k ＋1)π ＋α (k ∈Z )的终边与α的终边之间相关角终边之间的关系 2k π＋α与α终边______ －α与α关于______对称 (2k ＋1)π＋α与α 关于______对称2．诱导公式一～三(1)公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，tan(α＋2k π)＝tan α，其中k ∈Z ．(2)公式二：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α．(3)公式三：sin ＝－sin α，cos ＝－cos α．tan ＝tan α．一、选择题1．sin 585°的值为( )A ．－22B ．22C ．－32D ．322．若n 为整数，则代数式sin (n π＋α)cos (n π＋α)的化简结果是( ) A ．±tan α B ．－tan αC ．tan αD ．12tan α 3．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( ) A ．12 B ．±32 C ．32 D ．－324．tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( ) A ．m ＋1m －1 B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1 5．若cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A ．1－k 2kB ．－1－k 2kC ．k 1－k 2 D ．－k 1－k 26．若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) A ．53 B ．－53C ．±53D ．以上都不对二、填空题7．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π6－θ)＝________． 8．三角函数式cos (α＋π)sin 2(α＋3π)tan (α＋π)cos 3(－α－π)的化简结果是______． 9．代数式1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°的化简结果是______． 10．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 009)＝1，则f (2 010)＝______．三、解答题11．若cos(α－π)＝－23， 求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0．能力提升13．化简：sin[(k＋1)π＋θ]·cos[(k＋1)π－θ](其中k∈Z)．sin(kπ－θ)·cos(kπ＋θ)14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．1．明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将角转化为0～2π求值公式二将负角转化为正角求值公式三与公式二结合将角转化为0～π求值2．诱导公式的记忆这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．1．2．4 诱导公式(一) 答案知识梳理1．相同 x 轴 原点作业设计1．A 2．C3．D4．A5．B6．B7．－338．tan α解析 原式＝－cos α·sin 2αtan α·cos 3(α＋π)＝－cos α·sin 2α－tan α·cos 3α ＝cos α·sin 2αsin α·cos 2α＝sin αcos α＝tan α． 9．－1解析 原式＝1＋2sin (180°＋110°)·cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin 110°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝1－2sin 70°cos 70°cos 70°－sin 70° ＝|sin 70°－cos 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1． 10．3解析 f (2 009)＝a sin(2 009π＋α)＋b cos(2 009π＋β)＋2 ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2＝2－(a sin α＋b cos β)＝1，∴a sin α＋b cos β＝1，f (2 010)＝a sin(2 010π＋α)＋b cos(2 010π＋β)＋2 ＝a sin α＋b cos β＋2＝3．11．解 原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α) ＝－tan α．∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23，∴cos α＝23．∴α为第一象限角或第四象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝23， sin α＝1－cos 2α＝53， ∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52． 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52． 综上，原式＝±52． 12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∴α＝2k π＋π2－β (k ∈Z )． tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0，∴原式成立．13．解 当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋1)π＋θ]·cos[(2n ＋1)π－θ]sin (2n π－θ)·cos (2n π＋θ)＝sin (π＋θ)·cos (π－θ)－sin θ·cos θ＝－sin θ·(－cos θ)－sin θ·cos θ＝－1．当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋2)π＋θ]·cos[(2n ＋2)π－θ]sin[(2n ＋1)π－θ]·cos[(2n ＋1)π＋θ]＝sin[2(n ＋1)π＋θ]·cos[2(n ＋1)π－θ]sin (π－θ)·cos (π＋θ)＝sin θ·cos θsin θ·(－cos θ)＝－1． ∴原式的值为－1．14．解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π． 当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π．。

双基达标 (限时20分钟)1．计算sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的值为( )．A ．－12 B.12 C.32D ．－32解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3＝－32.答案 D2．计算sin 2(π－α)－cos (π＋α)cos (－α)＋1的值是 ( )．A ．1B ．2C ．0D ．2sin 2α解析 sin 2(π－α)－cos (π＋α)cos (－α)＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 答案 B3．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)等于( )．A ．2B ．－2C ．0D.23解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝－2.故选B.答案 B4．化简sin (－α)cos (π＋α)tan (2π＋α)＝________. 解析 原式＝(－sin α)(－cos α)tan α ＝sin αcos αsin αcos α＝sin 2α. 答案 sin 2α5．若sin (π＋α)＝－12，则cos α＝________. 解析 由sin (π＋α)＝－12，得sin α＝12， ∴cos α＝±1－sin 2α＝±32. 答案 ±326．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值． 解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33. 综合提高 (限时25分钟)7．若角α和β的终边关于y 轴对称，则下列各式中正确的是 ( )．A ．sin α＝sin βB ．cos α＝cos βC ．tan α＝tan βD ．cos (2π－α)＝cos β解析 ∵α和β的终边关于y 轴对称，∴不妨取α＝π－β，∴sin α＝sin (π－β)＝sin β.答案 A8．计算sin 2150°＋sin 2135°＋2sin 210°＋cos 2225°的值是 ( )．A.14B.34C.114D.94解析 原式＝sin 230°＋sin 245°－2sin 30°＋cos 245°＝14＋12－1＋12＝14.答案 A9．若tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为________．解析 由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m . 于是原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.答案 m ＋1m －110．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝________.解析 ∵5π6－θ＋π6＋θ＝π，∴5π6－θ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝－33. 答案 －3311．已知sin (α＋π)＝45，且sin αcos α<0， 求2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)的值．解 ∵sin (α＋π)＝45，∴sin α＝－45，又∵sin αcos α<0，∴cos α>0，cos α＝1－sin 2α＝35，∴tan α＝－43.∴原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73. 12．(创新拓展)是否存在角α和β，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)时，等式⎩⎨⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解 存在α＝π4，β＝π6使等式同时成立．理由如下：由⎩⎨⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)得，{ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β，两式平方相加得，sin 2α＋3cos 2α＝2，得到sin 2α＝12，即sin α＝±22.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4.将α＝π4代入3cos α＝2cos β，得cos β＝32，由于β∈(0，π)，所以β＝π6.将α＝－π4代入sin α＝2sin β，得sin β＝－12，由于β∈(0，π)，这样的角β不存在．综上可知，存在α＝π4，β＝π6使等式同时成立．。

【成才之路】2015-2016 学年高中数学 1.2.4 第 2 课时 诱导公式(二) 课时作业 新人教 B 版必修 4一、选择题1．已知 2sin(x＋π2 )＝1，则 cos(x＋π)＝()A．12B．－12C．3 2D．－3 2[答案] B [解析] ∵2sin(x＋π2 )＝2cosx＝1，∴cosx＝12.∴cos(x＋π)＝－cosx＝－12.2．已知 cos(75°＋α)＝13，则 cos(105°－α)－sin(15°－α)的值为()1 A．31 B．－3C．23D．－23[答案] D [解析] ∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(15°－α)＝sin[90°－(75°＋α)]＝cos(75°＋α)＝13，∴cos(105°－α)－sin(15°－α)＝－13－13＝－23.3．已知 sin110°＝a，则 cos20°的值为( )A．aB．－aC． 1－a2D．－ 1－a2[答案] A[解析] sin110°＝sin(90°＋20°)＝cos20°＝a.4．计算 sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )A．89B．90C．829D．45[答案] C[解析] ∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…… ∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋sin246°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°1 89 ＝44＋2＝ 2 .5．已知点 P(sin(π＋θ)，sin(32π－θ))在第三象限，则角 θ 所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] A[解析] sin(π＋θ)＝－sinθ，sin(32π－θ)＝sin[π＋(π2 －θ)]＝－sin(π2 －θ)＝－cosθ，∵点 P 在第三象限，∴－sinθ<0，－cosθ<0，∴sinθ>0，cosθ>0，∴θ 是第一象限角．6．已知 tanθ＝2，则ssiinnπ π22 ＋ －θθ－ －csoisnπ－θ π－θ＝()A．2B．－2C．02 D．3[答案] Bcosθ＋cosθ2[解析] 原式＝cosθ－sinθ＝1－tanθ∵tanθ＝2，∴原式＝1－2 2＝－2，故选 B．二、填空题7．已知 cos(π2 ＋φ)＝ 23，且|φ|<π2 ，则 tanφ＝________.[答案] － 3 [解析] ∵cos(π2 ＋φ)＝－sinφ，∴－sinφ＝ 23，∴sinφ＝－ 23.又∵|φ|<π2 ，∴φ＝－π3 .∴tanφ＝tan(－π3 )＝－ 3.8．设 φ(x)＝sin2π2 －x＋cos2x－π2 ＋cot(19π－x)，则 φπ3 ＝________.[答案]1－3 3[解析] ∵φ(x)＝cos2x＋sin2x＋cot(－x)＝1－cotx，∴φπ3 ＝1－cotπ3 ＝1－3 3.三、解答题9．已知角 α 终边上一点 P(－4,3)，cos 求cosπ2 ＋α sin －π－α 112π－α sin 9π2 ＋α的值．cos π2 ＋α sin －π－α [解析] cos 112π－α sin 9π2 ＋αcos π2 ＋α sin[－ π＋α ]＝ cos[5π＋π2 －α]sin[4π＋π2 ＋α]－cos π2 ＋α sin π＋α＝ －cosπ2 －αsinπ2 ＋α＝－－sinα －sinα －sinαcosα＝tanα，由题意得 tanα＝－34.cos ∴cosπ2 ＋α sin －π－α 112π－α sin 9π2 ＋α＝－34.10．(2015·河北邯郸市高一期末测试)化简下列各式：(1)coscos α＋π －3π－αsin sin－α －α－4π；cos α－π2(2) sin5π 2 ＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)．[解析](1)coscos α＋π －3π－αsin sin－α －α－4π＝－－ccoossαα· ·－sinα －sinα＝1.cos α－π2(2) sin5π 2 ＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝scionsαα·sinα·cosα＝sin2α.一、选择题1．若 cos(π2 ＋θ)＋sin(π＋θ)＝－m，则 cos(32π－θ)＋2sin(6π－θ)的值为()A．23mB．－32m2m C．－ 33m D． 2[答案] B[解析] ∵cos(π2 ＋θ)＋sin(π＋θ)＝－sinθ－sinθ＝－m，∴sinθ＝m2.∴cos(3π 2 －θ)＋2sin(6π－θ)＝cos[π＋(π2 －θ)]＋2sin(－θ)＝－cos(π2 －θ)－2sinθ＝－sinθ－2sinθ＝－3sinθ＝－32m.2．已知 sin(3π－α)＝－2sin(π2 ＋α)，则 sinαcosα 等于()A．－25B．25C．25或－25D．－15[答案] A[解析] ∵sin(3π－α)＝－2sin(π2 ＋α)，∴sinα＝－2cosα，∴tanα＝－2.∴sinαcosα＝sisni2nαα＋cocsoαs2αtanα －2 2 ＝tan2α＋1＝ 5 ＝－5.3．已知 a＝tan－76π，b＝cos234π，c＝sin－334π，则 a、b、c 的大小关系是()A．b>a>cB．a>b>cC．b>c>aD．a>c>b[答案] A[解析] a＝tan－7π 6 ＝－tanπ＋π6 ＝－tanπ6 ＝－ 33，b＝cos234π＝cos6π－π4 ＝cosπ4 ＝2 2，c＝sin－334π＝－sin8π＋π4 ＝－sinπ4 ＝－2 2，∴b>a>c.4．如果 f(sinx)＝cos2x，那么 f(cosx)等于( )A．－sin2xB．sin2xC．－cos2xD．cos2x[答案] C[解析] f(cosx)＝fsinπ2 －x ＝cos2π2 －x＝cos(π－2x)＝－cos2x.二、填空题5．化简scions480500°°stiann－230° －50°的结果为________．[答案] cos40°[解析]sin400°sin －230° cos850°tan －50°sin 360°＋40° [－sin 180°＋50° ] ＝ cos 720°＋90°＋40° －tan50°＝cossi4n04°0°·tsainn5500°°＝ccooss4500° °··scsioinsn555000° °°＝cos40°. 6．已知函数 f(x)满足 f(cosx)＝1－cos2x，则 f(sin15°)＝________.[答案]1＋3 2[解析] ∵f(cosx)＝1－cos2x， ∴f(sin15°)＝f(cos75°)＝1－cos150°＝1－cos(180°－30°)＝1＋cos30°＝1＋ 23.三、解答题 7．已知 sinα 是方程 5x2－7x－6＝0 的根，且 α 为第三象限角，求sin α＋32π ·sin 3π2 －α ·tan2 2π－α ·tan π－αcos π2 －α ·cos π2 ＋α的值．[解析] 方程 5x2－7x－6＝0 的两根为 x1＝2 或 x2＝－35.又∵－1≤sinα≤1，∴sinα＝－35.又∵α 为第三象限角，∴cosα＝－ 1－sin2α＝－45，tanα＝34，∴原式＝－cosα· －cosα ·tan2α· sinα· －sinα－tanα＝tanα＝34.8．化简：scionsθ－5π 3π－θ·sicnosθπ2－－3θπ·scions8π－θ －θ－4π＋sin(－θ)．[解析]sin cosθ－5π 3π－θ·sicnosθπ2－－3θπ·sicnos8π－θ －θ－4π＋sin(－θ)－sin 5π－θ ＝ cos π－θsinθ ·－sin 3π－θcosθ ·－sin 4π＋θ＋sin(－θ)＝－sin[4π－＋cosθπ－θ ] .－sin[2πs＋inθπ－θ ]·－cossiθnθ－sinθ＝－si－n coπs－ θθ ·－sinsiπnθ－θ ·－cossiθnθ－sinθ＝－－scionsθθ·－sisninθθ·－cossiθnθ－sinθ＝1－sinθ.cos θ－32π ·sin 7π2 ＋θ9. 已知 f(θ)＝sin －θ－π.(1)化简 f(θ)；(2)若 f(θ)＝13，求 tanθ 的值；(3)若 f(π6 －θ)＝13，求 f(56π＋θ)的值．cos 32π－θ ·sin 3π2 ＋θ[解析] (1)f(θ)＝－sin π＋θ＝－sinθ · －cosθ sinθ＝cosθ.(2)由题意得 f(θ)＝cosθ＝13>0，故 θ 为第一或第四象限角．当 θ 为第一象限角时，sinθ＝1－cos2θ＝232 ，tanθ＝scionsθθ＝2 2；当 θ 为第四象限角时，sinθ＝－1－cos2θ＝－232 ，tanθ＝scionsθθ＝－2 2. (3)由题意得 f(π6 －θ)＝cos(π6 －θ)＝13， ∴f(56π＋θ)＝cos(56π＋θ)＝cos[π－(π6 －θ)] ＝－cos(π6 －θ)＝－13.。

第三课时【选题明细表】1.tan 300°+sin 450°的值是( B )(C)-1-解析:tan 300°+sin 450°=tan(360°-60°)+sin(360°+90°)=-tan 60°+sin 90°故选B.2.(2017·济宁一中高一检测)已知cos(α则sin(α的值为( A )(B)-解析:sin(αα)=-sin[α=-cos(α)=故选A.3.如果α+β=π,那么下列等式中成立的是( B )(A)tan α=tan β (B)cos α=-cos β(C)sin α=-sin β (D)以上都不对解析:cos α=cos(π-β)=-cos β.故选B.4.已知f(sin x)=cos 3x,则f(cos 10°)的值为( A )(A)-(C)-解析:f(cos 10°)=f(sin 80°)=cos 240°=-cos 60°5.已知sin β则cos(ββ-π)的值为.解析:cos(ββ-π)=sin β(-sin β)=-sin2β=-答案6.(2017·江西上饶中学周练)θ为锐角,则cos θθ的大小关系为cos θθ(填“>”“<”或“=”).解析:cos θθ),因为θ为锐角,所以θ为锐角,所以sin(θθ,即cos θθ.答案:<7.设A,B,C(C是一个三角形的三个内角,则下列式子中值为常数的有( C )①sin(A+B)-sin C; ②cos(A+B)+cos C;③tan(A+B)+tan C; ④cos(A+B)-cos C.(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:因为A+B+C=π,所以A+B=π-C,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C.所以①②③式的结果都是常数0,故选C.8.(2017·临沂第二次月考)若θ则θ)等于( C )(A)-解析θθθ选C.9.已则cos2(π-α)+2sin2(α-π)的值为.解析:所以tan α所以cos2(π-α)+2sin2(α-π)=cos2α+2sin2α答案:10.化简解:原式++=1.11.已知tan αx的方程3x2-3kx+3k2-13=0的两个实根,且3π<α求cos(3π+α)+sin(π+α)的值.解:因为tan α3x2-3kx+3k2-13=0的两个实根,所以tan α·所以k2(当k2,Δ=9k2-4×3(3k2-13)>0).因为3π<α即α为第三象限的角.所以tan α>0,sin α<0,cos α<0.又由韦达定理知,tan α所以k>0.故由k2知k=又因为tan α,所以sin αcos α所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+2×又因为sin α+cos α<0,所以sin α+cos α=-于是cos(3π+α)+sin(π+α)=-cos α-sin α=-(cos α+ sin α)=。

1.2.4 诱导公式（三）一、学习目标1．通过本节内容的教学，使学生进一步理解和掌握四组正弦、余弦和正切的诱导公式，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；二、教学重点、难点重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.三、教学方法复习课。

通过由浅入深的例题，讲练结合。

四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习提问：四组诱导公式的内容老师提问，学生回答。

温故知新例题讲授例1．求下列三角函数的值(1) sin240º；(2)45cosπ；(3) cos(-252º)；(4) sin（-67π）解：（1）sin240º=sin(180º+60º)＝－sin60º=23-(2)45cosπ=cos⎪⎭⎫⎝⎛+4ππ=4cosπ-=22-；(3) cos(-252º)=cos252º= cos(180º+72º)=－说明：本题是诱导公式二、三的直接应用．通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本例中的（3）可使用计算器或查三角函数表．说明：cos72º=－03090；(4) sin （-67π）=－sin 67π=－sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6ππ=sin6π=21例2．求下列三角函数的值(1)sin(-119º45′)；(2)cos35π；(3)cos(-150º)；(4)sin 4解：(1)sin(－119º45′)=－sin119º45′=－sin(180º-60º15′)= －sin60º15′=－8682(2)cos35π=cos(32ππ-)=cos 3π=21 (3)cos(-150º)=cos150º=cos(180º-30º) =－cos30º=23-； (4)sin47π=sin(42ππ-)=－sin 4π=22-例3．求值：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-631π－cos ⎪⎭⎫⎝⎛-310π－sin1011π略解：原式学生先做，老师对答案。

1.2.4 诱导公式(一)1.了解三角函数的诱导公式一～三的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．1．对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？答 所有与α终边相同的角，连同α在内，可以构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间有什么对称关系？ 答1．(1)角α与α＋k ·2π(k ∈Z )的三角函数间的关系 cos(α＋k ·2π)＝cos_α，sin(α＋k ·2π)＝sin_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α.(一)(2)角α与－α的三角函数间的关系 cos(－α)＝cos_α，sin(－α)＝－sin_α，tan(－α)＝－tan_α.(二)(3)角α与α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数间的关系cos ＝－cos_α，sin ＝－sin_α，tan ＝tan_α.(三)2．2k π＋α(k ∈Z )，α＋(2k ＋1)π，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 简记为“函数名不变，符号看象限”！要点一 给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值：(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6； (3)tan(－945°)． 解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)方法一 cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6 ＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32. 方法二 cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.规律方法 此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数．跟踪演练1 求sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋2π3·cos ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3的值(n ∈Z )． 解 ①当n 为奇数时，原式＝sin 2π3·⎝⎛⎭⎫－cos 4π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3·⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3 ＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. ②当n 为偶数时，原式＝sin2π3·cos 4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3·cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3 ＝sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π3＝－34. 要点二 给值求值问题例2 已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．解 ∵cos(α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角， ∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°) ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223. ∴sin(105°＋α)＝sin []180°＋(α－75°)＝－sin(α－75°)＝223. 规律方法 解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式．跟踪演练2 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值． 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35， ∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45. ∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＋35＝15. 要点三 三角函数式的化简例3 化简下列各式：(1)sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)(k ∈Z )； (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1. 综上，原式＝－1.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 规律方法 三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2 α＋cos 2α＝tan π4. 跟踪演练3 化简下列各式：(1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)； (2)cos 190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°). 解 (1)原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos αsin αsin α·cos α＝1. (2)原式＝cos (180°＋10°)[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)[－tan (360°＋225°)]＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan (180°＋45°)]＝－12－tan 45°＝121．求下列三角函数的值：(1)sin 690°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π；(3)tan(－1 845°)． 解 (1)sin 690°＝sin(360°＋330°)＝sin 330°＝sin(180°＋150°)＝－sin 150°＝－sin(180°－30°)＝－sin 30°＝－12. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π＝cos 203π＝cos(6π＋23π) ＝cos 23π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－cos π3＝－12. (3)tan(－1 845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.2．化简：cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (－α－180°)cos (－180°－α). 解 原式＝(－cos α)·sin α[－sin (α＋180°)]·cos (180°＋α)＝sin αcos αsin (α＋180°)cos (180°＋α)＝sin αcos α(－sin α)(－cos α)＝1. 3．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (－α＋π)－tan (－α－π)sin (－π－α)，求f ⎝⎛⎭⎫π3. 解 f (α)＝sin α·cos α·(－tan α)tan α·sin α＝－cos α， ∴f ⎝⎛⎭⎫π3＝－cos π3＝－12. 4．证明：2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z . 证明 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π)cos (α－2k π)sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α. 右边＝(－1)2k cos α＝cos α，∴左边＝右边．当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π－π)cos (α－2k π＋π)sin (α＋2k π－π)＋sin (α－2k π＋π)＝2sin (α－π)cos (α＋π)sin (α－π)＋sin (α＋π)＝2[－sin (π－α)](－cos α)(－sin α)＋(－sin α)＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α. 右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边．综上所述，2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立．1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.一、基础达标1．sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.32答案 A2．若n 为整数，则代数式sin (n π＋α)cos (n π＋α)的化简结果是( ) A ．±tan α B ．－tan αC ．tan α D.12tan α 答案 C3．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( ) A.12 B ．±32 C.32 D ．－32答案 D解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2 α＝－32(α为第四象限角)．4．tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C ．－1D ．1 答案 A解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 5．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2k B ．－1－k 2kC.k 1－k 2 D ．－k 1－k 2 答案 B解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2.∴tan 80°＝1－k 2k .∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k .6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝________.答案 －33解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－33.7．化简：sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)，n ∈Z .解 当n 为偶数时，n ＝2k ，k ∈Z .原式＝sin(2k π－23π)·cos(2k π＋43π)＝sin ⎝⎛⎭⎫－23π·cos 43π＝(－sin 23π)·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π＝sin 23π·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34.当n 为奇数时，n ＝2k ＋1，k ∈Z .原式＝sin(2k π＋π－23π)·cos(2k π＋π＋43π)＝sin ⎝⎛⎭⎫π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫π＋43π＝sin π3·cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3＝sin π3×cos π3＝32×12＝34.∴sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)＝34，n ∈Z .二、能力提升8．若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为() A.53 B ．－53C ．±53D ．以上都不对 答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 232－2＝－23， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2 α ＝－1－49＝－53. 9．已知tan(4π＋α)＝m (m ≠±1)，则sin (α－2π)＋2cos (2π－α)2sin (－α)－cos (2π＋α)的值为________． 答案 －m ＋22m ＋110．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 015)＝1，则f (2 016)＝________.答案 3解析 f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2＝2－(a sin α＋b cos β)＝1，∴a sin α＋b cos β＝1，f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝3.11．若cos(α－π)＝－23，求 sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值． 解 原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23， sin α＝1－cos 2α＝53， ∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52. 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52. 12．已知tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根，且3π<α<7π2，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．解 因为tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根， 所以tan α·1tan α＝13×(3k 2－13)＝1， 可得k 2＝163. 因为3π<α<7π2，所以tan α>0，sin α<0，cos α<0， 又tan α＋1tan α＝－－3k 3＝k ， 所以k >0，故k ＝433， 所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝433， 所以sin αcos α＝34， 所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×34＝2＋32. 因为cos α＋sin α<0，所以cos α＋sin α＝－3＋12. 所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)＝cos α＋sin α＝－3＋12. 三、探究与创新13．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π. 当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去． ∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.。

一、学习目标1．通过本节内容的教学，使学生进一步理解和掌握四组正弦、余弦和正切的诱导公式，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；二、教学重点、难点重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.三、教学方法复习课。

通过由浅入深的例题，讲练结合。

四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习提问：四组诱导公式的内容老师提问，学生回答。

温故知新例题讲授例1．求下列三角函数的值(1) sin240º；(2)45cosπ；(3) cos(-252º)；(4) sin（-67π）解：（1）sin240º=sin(180º+60º)＝－sin60º=23-说明：本题是诱导公式二、三的直接应用．通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本(2) 45cos π=cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4ππ=4cos π-=22-；(3) cos(-252º)=cos252º= cos(180º+72º)=－cos72º=－03090；(4) sin （-67π）=－sin 67π=－sin ⎪⎭⎫⎝⎛+6ππ=sin 6π=21 例2．求下列三角函数的值(1)sin(-119º45′)；(2)cos 35π；(3)cos(-150º)；4解：(1)sin(－119º45′)=－sin119º45′=－sin(180º-60º15′)= －sin60º15′=－08682(2)cos35π=cos(32ππ-)=cos 3π=21 (3)cos(-150º)=cos150º=cos(180º-30º) =－cos30º=23-；(4)sin 47π=sin(42ππ-)=－sin 4π=22-例3．求值：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-631π－cos ⎪⎭⎫⎝⎛-310π－sin1011π学生先做，老师对答案。