重难点专题18 三角函数中w取值范围问题八大题型汇总(原卷版) 备战2024年高考数学重难点突破

2024高考复习·真题分类系列

2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形

微专题总述：三角恒等变换

【扎马步】2023 高考三角恒等变换部分考察相对基础，非常强调二倍角、半角公式的记忆与熟练运用

【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强三角恒等变换与其他内容的结合考察，

考察考生多知识点综合运用能力，将作为2024 高考备考集合部分的重要参考依据

2023

年新课标全国Ⅰ

卷数学

1

．已知()11

sin,cossin

36αβαβ

−==

，则()

cos22αβ

+=

（

）．

A

．7

9B

．1

9C

．1

9−

D

．7

9−

2023

年高考全国甲卷数学（理）

2

．设甲：22

sinsin1αβ

+=，乙：sincos0αβ

+=

，则（

）

A

．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B

．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C

．甲是乙的充要条件 D

．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2023

年新课标全国Ⅱ

卷数学

3

．已知α

为锐角，15

cos

4α+

=，则sin

2α

=

（

）．

A

．35

8−

B

．15

8−+

C

．35

4−

D

．15

4−+

2023

年北京高考数学

4

．已知命题:p

若,αβ

为第一象限角，且αβ

>

，则tantanαβ

>

．能说明p

为假命题的一组,αβ

的值为α

=

，

β

=

．

2023

年高考全国甲卷数学（文）

5

．若()()2π

1sin

2fxxaxx

=−+++



为偶函数，则=a

．

2023

年高考全国乙卷数学（文）

6

．若π1

0,,tan

22

∈=



θθ

，则sincosθθ

−=

．

微专题总述：三角函数的图像与性质

【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现

【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的

结合，对称思想的隐含2024高考复习·真题分类系列

2023

2023

年高考全国甲卷数学（文）

7

．函数()

专题18 三角恒等变换

【考点预测】

知识点一．两角和与差的正余弦与正切

①sin()sincoscossin；

②cos()coscossinsin；

③tantantan()1tantan；

知识点二．二倍角公式

①sin22sincos；

②2222cos2cossin2cos112sin；

③22tantan21tan；

知识点三：降次（幂）公式

2211cos21cos2sincossin2;sin;cos;222

知识点四：半角公式

1cos1cossin;cos;2222

sin1costan.21cossina

知识点五．辅助角公式

)sin(cossin22baba（其中abbaababtancossin2222，，）．

【方法技巧与总结】

1．两角和与差正切公式变形

)tantan1)(tan(tantan；

1)tan(tantan)tan(tantan1tantan．

2．降幂公式与升幂公式

2sin21cossin22cos1cos22cos1sin22；；；

2222)cos(sin2sin1)cos(sin2sin1sin22cos1cos22cos1；；；．

3．其他常用变式

sincos1cos1sin2tantan1tan1cossinsincos2costan1tan2cossincossin22sin222222222；；．

3. 拆分角问题：①=22；=(+)-；②()；③1[()()]2；

考向19 三角函数的图象和性质

【2022·全国·高考真题】记函数()sin(0)4fxxb的最小正周期为T．若23T，且()yfx的图象关于点3,22中心对称，则2f（ ）

A．1 B．32 C．52 D．3

【2022·全国·高考真题（理）】设函数π()sin3fxx在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）

A．513,36 B．519,36 C．138,63 D．1319,66

1．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）sin()yAwx或cos()yAwx，常见方法有：

（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函；

（2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角；

（3）用两角和、差公式或辅助角公式sincosawxbwx将已给函数化成同函．

2．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述sin()yAwx或cos()yAwx的形式，有时会化简为二次函数型：22sinsinyaxbxc或22coscosyaxbxc，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意sincosxx或的取值范围．

若将已给函数化简为更高次的函数，如22(1sin)cos(1sin)(1-sin)yxxxx，则换元后可通过导数求解．如：解析式中同时含有sincosxx和sincosxx，令tsincosxx，由

关系式22sincos12sincostxxxx（）得到sincosxx关于t的函数表达式．

专题09三角函数

1．【2022年全国甲卷】将函数𝐨𝐩=sin

𝐵

+π

3(>0)的图像向左平移π

2个单位长度后得

到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（）

A．1

6B．1

4C．1

3D．1

2

2．【2022年全国甲卷】设函数𝐨𝐩=sin𝐵+π3在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，

则的取值范围是（）

A．5

3,13

6B．5

3,19

6C．136,83D．13

6,196

3．【2022年全国乙卷】函数=cos++1sin+1在区间0,2π的最小值、最大值分

别为（）

A．−π

2，π

2B．−3π

2，π

2C．−π

2，π

2+2D．−3π

2，π

2+2

4．【2022年新高考1卷】记函数𝐨𝐩=sin(𝐵+

4)+𝐨>0)的最小正周期为T．若2

3<

<，且=𝐨𝐩的图象关于点(3

2,2)中心对称，则𝐨

2)=（）

A．1B．3

2C．5

2D．3

5．【2022年新高考2卷】若sin(+𝐩+cos(+𝐩=22cos+

4sin，则（）

A．tan(−𝐩=1B．tan(+𝐩=1

C．tan(−𝐩=−1D．tan(+𝐩=−1

6．【2021年甲卷文科】若cos

0,,tan2

22sin









，则tan（）

A．1515B．5

5C．5

3D．15

3

7．【2021年乙卷文科】函数()sincos

33xx

fx的最小正周期和最大值分别是（）A．3π和2B．3π和2C．6π和2D．6π和2

8．【2021年乙卷文科】22π5π

coscos

1212（）

A．1

2B．3

3C．2

2D．3

2

9．【2021年乙卷理科】把函数()yfx图像上所有点的横坐标缩短到原来的1

2倍，纵坐标

不变，再把所得曲线向右平移

3

个单位长度，得到函数sin

4yx





的图像，则()fx

（）

A．7

sin

212x







B．sin

212x







C．7

sin2

12x







D．sin2

12x



押新高考卷7题

三角函数

考点3年考题考情分析三角函数2022年新高考Ⅰ卷第6题

2022年新高考Ⅱ卷第6题

2021年新高考Ⅰ卷第4、6题三角函数会以单选题、多选题、填空题、解答题4类题型进

行考查，单选题难度较易或一般，纵观近几年的新高考试题，

分别考查三角函数的图象与性质，三角恒等变换，也是高考

冲刺的重点复习内容。可以预测2023年新高考命题方向将

继续以三角函数的图象与性质，三角恒等变换等问题展开命

题．

1.特殊角的三角函数值

2.同角三角函数的基本关系

平方关系：1cossin22

商数关系：

cossintan3.正弦的和差公式

sincoscossinsin

，

sincoscossinsin

4.余弦的和差公式



sinsincoscoscos

，

sinsincoscoscos

5.正切的和差公式







tantan1tantan

tan





，





tantan1tantan

tan





6.正弦的倍角公式

cossin22sin2sin

21

cossin

7.余弦的倍角公式



sincossincossincos2cos22



升幂公式：2sin212cos

，1cos22cos2



降幂公式：

22cos1

sin2



，

22cos1

cos2





8.正切的倍角公式





2tan1tan2

2tan



9.推导公式

2)cos(sin)cos(sin22



10.辅助角公式

xbxaycossin，)0(a)sin(22

xbay，其中

ab

tan，)

2,

2(



1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题）记函数()sin(0)

4fxxb







的最小正周期为T．若2

3T

，且

()yfx

的图象关于点3

1专题三角函数

1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α-β)=()

A.-3mB.-m

3C.m

3D.3m

【答案】A

【分析】根据两角和的余弦可求cosαcosβ,sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ的值可求前者，故可求

cosα-β的值.

【详解】因为cosα+β=m，所以cosαcosβ-sinαsinβ=m，

而

tanαtanβ=2，所以=1

2×2b×kb×sinA

2+1

2×kb×b×sinA

2，

故cosαcosβ-2cosαcosβ=m即cosαcosβ=-m，

从而sinαsinβ=-2m，故cosα-β=-3m，故选：A.

2(新课标全国Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sin3x-π

6的交点个数为()

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解

【详解】因为函数y=sinx的的最小正周期为T=2π，

函数y=2sin3x-π6的最小正周期为T=2π

3，所以在x∈0,2π上函数y=2sin3x-π

6有三个周期的图象，

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：

由图可知，两函数图象有6个交点.

故选：C

3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cosx+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与

y=g(x)恰有一个交点，则a=()

A.-1B.1

2C.1D.2

2【答案】D

【分析】解法一：令Fx=ax2+a-1,Gx=cosx，分析可知曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，结

合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a=2，并代入检验即可；解法二：令hx=f(x)-

gx,x∈-1,1，可知hx为偶函数，根据偶函数的对称性可知hx的零点只能为0，即可得a=2，并代

入检验即可.

【详解】解法一：令f(x)=gx，即a(x+1)2-1=cosx+2ax，可得ax2+a-1=cosx，

1三角函数、三角恒等变换与解三角形

根据近几年的高考情况，三角函数、三角恒变换与解三角形是高考必考点。虽然九省联考中调整了试题顺序，

但今年高考仍有可能在解答中考查这部分内容。在高考中，主要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三

角形的综合问题，转化为三角函数的图象及其性质进行求解。还考察把实际应用问题转化为解三角形的问

题，体现数学与实际问题的结合.

题型一：三角恒等变换与三角函数

1(2024·福建福州·统考模拟预测)已知函数fx=sinωx-

π

4(0

π

8是fx的零点．

(1)求ω的值；

(2)求函数y=fx-

π

8+f

1

2x+

π

8的值域．

【思路分析】

(1)根据函数的零点性质并结合范围求解ω；(2)利用余弦二倍角公式以及二次函数的性质求值域.

【规范解答】

(1)由已知可得fπ

8=sinπ

8ω-π

4=0，解得π

8ω-π

4=kπ,k∈Z，即ω=2+8k,k∈Z，

又0

(2)由fx=sin2x-π

4，

可得y=fx-π

8+f1

2x+

π

8=sin2x-π

2+sinx=-cos2x+sinx=-1-2sin2x+sinx=

2sinx+1

42-9

8，

其中-1≤sinx≤1，则当sinx=-1

4时，函数y=fx-π

8+f1

2x+π

8取得最小值-9

8，

当sinx=1时，取得最大值2，

故函数y=fx-π

8+f1

2x+π

8的值域为-9

8,2



．

2

此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。

1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：

(1)二倍角公式：sin2α=2sinαcosα(S

2α)；cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α(C

2α)

(2)降幂公式：cos2α=1+cos2α

2，sin2α=1-cos2α

2，

2、再通过辅助角公式“化一”，化为y=Asin(ωx+φ)+B

3、辅助角公式：asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ)，其中tanφ=b

解三角形解答题十大题型总结

【题型目录】

题型一：利用正余弦定理面积公式解题

题型二：解三角形与三角恒等变换结合

题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题

题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题

题型五：角平分线相关的定理

题型六：有关三角形中线问题

题型七：有关内切圆问题（等面积法）

题型八：与向量结合问题

题型九：几何图形问题

题型十：三角函数与解三角形结合

【典例例题】

题型一：利用正余弦定理面积公式解题

【例1】△ABC的内角、、ABC

的对边分别为abc、、

,已知△ABC的面积为2

3sina

A

(1)求sinsinBC

;

(2)若6coscos1,3,BCa

求△ABC的周长.

【答案】(1)2

sinsin

3BC

(2)333.

【详解】：

（1）由题设得21

sin

23sina

acB

A，即1

sin

23sina

cB

A

.由正弦定理得1sin

sinsin

23sinA

CB

A

.故2

sinsin

3BC

.

（2）由题设及（1）得1

coscossinsin,

2BCBC

，即1

cos

2BC

.所以2

3BC

，故

3A



.由题设得21

sin

23sina

bcA

A

，即8bc

.

由余弦定理得229bcbc

，即2

39bcbc

，得33bc.

故ABC

的周长为333.

【例2

】

的内角的对边分别为,,abc，已知2sin()8sin

2B

AC

．

（1）求cosB

；

（2）若6ac

，ABC

面积为2，求b

．

【答案】（1）15

17；（2）2．

【详解】：（1）2sin8sin

2B

AC

，∴

sin41cosBB

，∵22sincos1BB

，

∴2

2161coscos1BB

，∴

17cos15cos10BB，∴15

cos

17B

；

（2）由（1）可知8

sin

17B

，∵1

sin2

2ABCSacB

，∴17

2ac

，∴2

22222221715

2cos2152153617154

2025高考数学必刷题

1第34讲三角形中最值与范围

知识梳理

1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解

决这类问题，通常有下列五种解题技巧：

（1）利用基本不等式求范围或最值；

（2）利用三角函数求范围或最值；

（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；

（4）根据三角形解的个数求范围或最值；

（5）利用二次函数求范围或最值．

要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）

的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中

的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找

完善，避免结果的范围过大．

2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：

（1）求角的最值；

（2）求边和周长的最值及范围；

（3）求面积的最值和范围．

必考题型全归纳

题型一：周长问题

例1．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）记ABC

内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且



222coscosabcaBbAabc

．

(1)求C；

(2)若ABC

为锐角三角形，2c

，求ABC

周长范围．

例2．（2024·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）在锐角△ABC

中，

23a，2025高考数学必刷题

2(2)coscosbcAaC

，

（1）求角A；

（2）求△ABC的周长l的范围.

例3．（2024·全国·

高三专题练习）在①23SABAC；②22cos1cos2

2BC

A

；③

3sincoscaCcA；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

在锐角ABC

中，内角A、

B、C

，的对边分别是a

、b

、c

，且______

(1)求角A的大小；

(2)若3a，求ABC

周长的范围．

变式1．（2024·全国·模拟预测）在锐角ABC

中，三个内角

A，

B，C

所对的边分别为a

，b

，

c

，且coscoscbaBbA

1三角函数

题型01任意角的三角函数

题型02两角和与差的三角函数

题型03三角函数的图象与性质

题型04解三角形

题型01任意角的三角函数

1(2024·辽宁沈阳·统考一模)sinx=1的一个充分不必要条件是.

2(2024·重庆·统考一模)英国著名数学家布鲁克·泰勒(TaylorBrook)以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，

如：sinx=x-x3

3!+x5

5!-x77!+⋯，其中n!=1×2×3×⋯×n．根据该展开式可知，与2-233!+25

5!-277!+

⋯的值最接近的是()

A.sin2°B.sin24.6°C.cos24.6°D.cos65.4°

3(2024·福建厦门·统考一模)若sinα+π

4=-3

5，则cosα-π

4=．

4(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)下列说法正确的是()

A.cos2sin3<0

B.若圆心角为π3的扇形的弧长为π，

则扇形的面积为3π

2

C.终边落在直线y=x上的角的集合是αα=π

4+2kπ,k∈Z





D.函数y=tan2x-π

6的定义域为xx≠π

3+kπ

2,k∈Z



，π为该函数的一个周期

5(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)已知函数f(x)=cosx

x，若A，B是锐角△ABC的两个内

角，则下列结论一定正确的是()

A.f(sinA)>f(sinB)B.f(cosA)>f(cosB)

C.f(sinA)>f(cosB)D.f(cosA)>f(sinB)

6(2024·河北·校联考一模)在△ABC中，若A=nBn∈N*，则()

A.对任意的n≥2，都有sinA

C.存在n，使sinA>nsinB成立D.存在n，使tanA>ntanB成立

题型02两角和与差的三角函数

7(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)若cosα+π

4=3

5，则sin2α=()

压轴题05三角函数与解三角形范围与最值问题

三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，

有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等

难度．

考向一：

取值与范围问题

考向二：面积与周长的最值与范围问题考向三：长度的范围与最值问题

1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为

角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知

元素的方程，通过解方程求得未知元素．

2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111

sinsinsin

222SabCacBbcA，一般是

已知哪一个角就使用哪个公式．

3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：

一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个

角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．

4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本

不等式、二次函数等知识．

5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握

并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，

再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最

值，再利用单调性求解．

7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件

中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．

一、单选题

1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数π

()sincos(0)

6fxxx





在[0,π]

上有

且仅有2个零点，则

的取值范围是（）

【最新】《三角函数与解三角形》专题解析(1)

一、选择题

1．已知函数πsin06fxx，若π02ff在π0,2上有且仅有三个零点，则 ( )

A．23 B．2 C．143 D．263

【答案】C

【解析】

∵函数sin06fxx，02ff

∴1sin()sin()6262

∴2266k或52,266kkZ

∴243k或42,kkZ

∵函数fx在0,2上有且仅有三个零点

∴(,)6626x

∴2326

∴131933

∴143或6

故选C.

2．已知ABCV的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x米后，仍组成一个钝角三角形，则x的取值范围是（ ）

A．102x B．112x C．12x D．01x

【答案】D

【解析】

【分析】

根据余弦定理和三角形三边关系可求得x的取值范围.

【详解】 将ABCV的三条边的边长均增加x米形成ABCV，

设ABCV的最大角为A，则A所对的边的长为4x米，且A为钝角，则cos0A，

所以2222342340xxxxxxx，解得01x.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a﹣ccosB）sinA＝ccosAsinB，则△ABC的形状一定是（ ）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形

【答案】C

【解析】

1

专题18 三角函数综合

【母题来源一】【2019年高考浙江卷】设函数()sin,fxxxR．

（1）已知[0,2),函数()fx是偶函数，求的值；

（2）求函数22[()][()]124yfxfx的值域．

【答案】（1）π2或3π2；（2）33[1,1]22．

【解析】（1）因为()sin()fxx是偶函数，

所以对任意实数x都有sin()sin()xx，

即sincoscossinsincoscossinxxxx，

故2sincos0x，所以cos0．

又[0,2π)，因此π2或3π2．

（2）由题可得2222[()][()]124ππsin()sin()124yfxxxfx

ππ1cos(2)1cos(2)133621(cos2sin2)22222xxxx

3π1cos(2)23x．

因此，函数22[()][()]124yfxfx的值域是33[1,1]22．

【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力．

【母题来源二】【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455，-）．

（1）求sin（α+π）的值；

2 （2）若角β满足sin（α+β）=513，求cosβ的值．

【答案】（1）45；（2）56cos65或16cos65．

【解析】（1）由角的终边过点34(,)55P得4sin5，

所以4sin(π)sin5．

（2）由角的终边过点34(,)55P得3cos5，

由5sin()13得12cos()13．

由()得coscos()cossin()sin，

2018-2020年高考全国卷数学之三角函数专题训练

一．选择题（共25小题）

1．（2018•全国）要得到y＝cosx，则要将y＝sinx（ ）

A．向左平移π个单位 B．向右平移π个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

2．（2018•全国）已知α为第二象限的角，且tanα＝﹣，则sinα+cosα＝（ ）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．

3．（2020•新课标Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（ ）

A． B． C． D．

4．（2020•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（ ）

A． B． C． D．

5．（2020•新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（ ）

A．cos2α＞0 B．cos2α＜0 C．sin2α＞0 D．sin2α＜0

6．（2020•新课标Ⅲ）已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7，则tanθ＝（ ）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 7．（2020•新课标Ⅲ）在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB＝（ ）

A． B． C． D．

8．（2020•新课标Ⅲ）在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则tanB＝（ ）

A． B．2 C．4 D．8

9．（2020•新课标Ⅲ）已知sinθ+sin（θ+）＝1，则sin（θ+）＝（ ）

A． B． C． D．

10．（2019•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣，则＝（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3

11．（2019•新课标Ⅰ）tan255°＝（ ）

A．﹣2﹣ B．﹣2+ C．2﹣ D．2+

12．（2019•新课标Ⅱ）下列函数中，以为最小正周期且在区间（，）单调递增的是（ ）

A．f（x）＝|cos2x| B．f（x）＝|sin2x| C．f（x）＝cos|x| D．f（x）＝sin|x|

重难点10三角函数定义与三角函数恒等变换

1.三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法

(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值．

方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．

(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函

数值．

方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方

程，求出未知数，从而求解问题．

(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．

方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a

分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．

2.对sinα，cosα，tanα的知一求二问题

(1)利用sin2α＋cos

2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sinα

cosα＝tanα可以实现角α的弦

切互化．

(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平

方关系”公式求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确

时，要进行分类讨论．

3.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤

任意负角

的三角函

数――――――

→利用诱导公式

三或一任意正角

的三角函

数――――

――――→利用诱导公式一0～2π的

角的三角

函数――――――――→利用诱导公式二

或四或五

锐角三

角函数

也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．

4．三角函数式化简的原则和方向

(1)切化弦，统一名．

(2)用诱导公式，统一角．

(3)用因式分解将式子变形，化为最简．

也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．

5.三角函数式求值的三种题型

(1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为

特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．

(2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关

压轴题05三角函数与解三角形范围与最值问题

三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，

有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等

难度．

考向一：取值与范围问题

考向二：面积与周长的最值与范围问题考向三：长度的范围与最值问题

1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为

角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知

元素的方程，通过解方程求得未知元素．

2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111

sinsinsin

222SabCacBbcA，一般是

已知哪一个角就使用哪个公式．

3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：

一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个

角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．

4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本

不等式、二次函数等知识．

5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握

并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，

再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最

值，再利用单调性求解．

7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件

中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．

一、单选题

1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数π

()sincos(0)

6fxxx

在[0,π]上有

且仅有2个零点，则的取值范围是（）