人教版高中数学必修4课后强化作业 1-4-3 正切函数的性质与图象

1.4.3 正切函数的性质与图象课时目标 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．函数y ＝tan x 的性质与图象见下表：y ＝tan x图象定义域 __________________________值域______周期 最小正周期为______奇偶性 __________单调性在开区间______________________内递增一、选择题1．函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z }C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z }D ．{x |x ≠k2π，k ∈Z }2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )4．下列函数中，在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，且以π为周期的偶函数是( ) A ．y ＝tan|x | B ．y ＝|tan x | C ．y ＝|sin 2x |D ．y ＝cos 2x5．下列各式中正确的是( )A ．tan 735°>tan 800°B ．tan 1>－tan 2C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan 9π8<tan π76．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.π4题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7．函数y ＝tan x －1的定义域是____________． 8．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝____.9．已知a ＝tan 1，b ＝tan 2，c ＝tan 3，则a ，b ，c 按从小到大的排列是________________． 10．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心的坐标是_________________________________．三、解答题11．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．12．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的定义域、周期、单调区间和对称中心． 能力提升13．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )14．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－11．正切函数y ＝tan x 在每段区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )上是单调递增函数，但不能说正切函数在其定义域内是单调递增函数．并且每个单调区间均为开区间，而不能写成闭区间⎣⎡⎦⎤－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )．正切函数无单调减区间．2．正切函数是奇函数，图象关于原点对称，且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是(k π2，0) (k ∈Z )．正切函数的图象无对称轴，但图象以直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )为渐近线．1．4.3 正切函数的性质与图象答案知识梳理{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z } R π 奇函数 ⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z ) 作业设计1．C 2.C 3.A 4.B 5.D 6．A [由题意，T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.] 7．[k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z .8．±2解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2.9．b <c <a解析 ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0，∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0， 显然－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1. ∴b <c <a .10.⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0 (k ∈Z ) 解析 由x ＋π3＝k π2 (k ∈Z )，得x ＝k π2－π3(k ∈Z )．∴对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )． 11．解 由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.∴函数定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π－π4∪⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )关于原点对称．f (－x )＋f (x )＝lg tan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1＝lg 1＝0.∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．12．解 ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋53π，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠2k π＋53π，k ∈Z .②T ＝π12＝2π，∴函数的周期为2π.③由k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π3<x <2k π＋53π，k ∈Z .∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋23π，k ∈Z .∴函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋23π，0，k ∈Z . 13．D [当π2<x <π，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <32π时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故选D.]14．B [∵y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，∴ω<0且T ＝π|ω|≥π.∴|ω|≤1，即－1≤ω<0.]。

课后训练1．在(0,2π)内，使tan x>1成立的x的取值范围是()．A.ππ5π()(π)424，， B.π(,π)4C.π5π()44， D.ππ5π3π()()4242，，2．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tan ωx(ω是常数且ω>0)相交，则相邻两交点之间的距离是()．A.πωB.2πωC．πD．与a的值有关3．函数1π3tan()23y x=+的图象的一个对称中心是()．A.π(0)6， B.2π(3-， C.2π(0)3-，D．(0,0)4．πtan()4y x=+的定义域是()．A.π|,R4x x x⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭B.π|π,R,Z4x x k x k⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭C.π|,R4x x x⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭D.3π|2π,R,Z4x x k x k⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭5．函数y＝tan(cos x)的值域是__________．6．若函数π2tan(2)5y ax=-的最小正周期为π5，则a＝__________.7．求函数πtan(3)3y x=-的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．8．函数y＝A tan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点坐标为π(,0)2-，π(,0)6，且过点(0，－3)，求此函数的解析式．已知α、β都是锐角，且2tan3α=，9tan4β=，你能根据正切函数的增减性直接判断α＋β是否为锐角吗？参考答案1.答案：D解析：画出函数y＝tan x的图象，并作出直线y＝1，并观察其在直线上方的部分可知：x的取值范围是ππ5π3π()()4242，，，故选D.2.答案：A解析：直线y＝a与函数y＝tan x的图象的两相邻交点的距离实际上就是最小正周期的值．3.答案：C解析：∵y＝tan x的图象的对称中心为π(0)2k，，k∈Z，由1ππ232kx+=得2ππ3x k=-(k∈Z)，∴函数1π3tan()23y x=+的图象的对称中心为2π(π,0)3k-，k∈Z.令k＝0，得2π(0)3-，，故选C.4.答案：B解析：y＝tan x的定义域为π|π,Z2x x k k⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，由πππ42x k+≠+得ππ4x k≠+(k∈Z)．5.答案：[－tan 1，tan 1]解析：由cos x∈[－1,1]，结合y＝tan x的图象来求解．ππ1cos122x-<-≤≤<，∴－tan 1≤tan(cos x)≤tan 1.6.答案：5 2±解析：由ππ25a=得2a＝±5，∴52a=±.7.解：由ππ3π32x k-≠+，k∈Z，得π5π318kx≠+，k∈Z.∴所求定义域为π5π|R,,Z318kx x x k⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且，值域为R，周期π3T=，是非奇非偶函数．在区间πππ5π(,)318318k k-+(k∈Z)上是增函数．8. 解：∵ππ2π()623T=--=，∴π32Tω==.由图象过点π(,0)6，代入3tan()2y A x ϕ=+， 得3π0tan()26A ϕ=⨯+，得π4ϕ=-. 将(0，－3)代入3πtan()24y A x =-， 得A ＝3.∴3π3tan()24y x =-.解：能根据正切函数的增减性直接判断α＋β不是锐角．∵2πtan tan 36α=>=，又α为锐角，∴π6α>.同理，9πtan tan 43β=>=，又β为锐角， ∴π3β>，故πππ632αβ+>+=， ∴α＋β不可能为锐角．。

课后训练1．函数1π3tan23y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个对称中心是()A．π,06⎛⎫⎪⎝⎭B．2π,3⎛-⎝C．2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭D．(0,0)2．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为π4．则ω的值是()A．1 B．2C．4 D．83．函数ππtan044y x x x⎛⎫=-≤≤≠⎪⎝⎭且的值域是()A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1] C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)4．已知函数y＝tan ωx在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，则()A．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0C．ω≥1 D．ω≤－15．函数f(x)的定义域是()A．πππ+,π42k k⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(k∈Z)B．πππ,π22k k⎛⎫-+⎪⎝⎭(k∈Z)C．ππ,π4k k⎛⎫+⎪⎝⎭(k∈Z)D．πππ,π42k k⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭(k∈Z)6．不等式tan x≥1的解集是__________．7．函数y＝tan(cos x)的值域是__________．8．已知函数f(x)＝A tan(ωx＋φ)π0,||2ωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭，y＝f(x)的部分图象如图，则π24f⎛⎫⎪⎝⎭等于__________．9．求函数y＝πtan33x⎛⎫-⎪⎝⎭的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．10．函数y＝A tan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为π,02⎛⎫-⎪⎝⎭，π,06⎛⎫⎪⎝⎭，且过点(0，－3)，求此函数的解析式．参考答案1答案：C解析：由ππ232x k+=得2ππ3x k=-(k∈Z)．令k＝0得2π3x=-，故选C．2答案：C解析：由题意可得f(x)的周期为π4，则ππ4ω=，∴ω＝4．3答案：B4答案：B解析：∵y＝tan ωx在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，∴ω＜0且T＝πω≥π，∴－1≤ω＜0．故选B．5答案：A解析：f(x)有意义时lg tan0tan0,xx≥⎧⎨>⎩∴tan x≥1，解得kπ＋π4≤x＜kπ＋π2(k∈Z)．∴f(x)的定义域为πππ,π42k k⎡⎫++⎪⎢⎣⎭(k∈Z)．6答案：πππ,π42k k⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，k∈Z解析：由正切函数图象可知，kπ＋π4≤x＜kπ＋π2(k∈Z)．7答案：[－tan 1，tan 1]解析：由cos x∈[－1,1]，结合y＝tan x的图象来求解．π2 -＜－1≤cos x≤1＜π2，∴－tan 1≤tan(cos x)≤tan 1．8解析：由图象知周期T＝πππ242ω⨯==，∴ω＝2，又图象过3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴3πtan208Aϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，∴3πtan04ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，而|φ|＜π2，∴3π4＋φ＝π，∴φ＝π4，∴f(x)＝πtan24A x⎛⎫+⎪⎝⎭，又过(0,1)点，∴πtan4A＝1，∴A＝1，即f(x)＝πtan24x⎛⎫+⎪⎝⎭，∴ππtan243f⎛⎫==⎪⎝⎭9答案：解：由ππ3π32x k-≠+，k∈Z，得π5π318kx≠+，k∈Z．∴所求定义域为π5π,,318kx x x k⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z且，值域为R，周期T＝π3，是非奇非偶函数，在区间πππ5π,318318k k⎛⎫-+⎪⎝⎭(k∈Z)上是增函数．10答案：解：∵ππ2π623T⎛⎫=--=⎪⎝⎭，∴π3 =2Tω=．将点π,06⎛⎫⎪⎝⎭代入y＝A tan32xϕ⎛⎫+⎪⎝⎭，得0＝A tan3π26ω⎛⎫⨯+⎪⎝⎭，得φ＝π4 -．将(0，－3)代入y＝A tan3π24x⎛⎫-⎪⎝⎭，得A＝3．∴y＝3tan3π24x⎛⎫-⎪⎝⎭．。

1-4-3正切函数的性质与图象一、选择题1．下列叙述正确的是( ) A ．函数y ＝cos x 在(0，π)上是增函数 B ．函数y ＝tan x 在(0，π)上是减函数 C ．函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数 D ．函数y ＝sin x 在(0，π)上是增函数 [答案] C2．函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π－3π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k 2π＋π8，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k2π，k ∈Z[答案] C[解析] 要使函数有意义，则2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，则x ≠k 2π＋π8(k ∈Z )．3．函数y ＝tan x ＋1tan x是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 [答案] A[解析] 定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ∩{x |x ≠k π，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z .又f (－x )＝tan(－x )＋1tan (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x ＝－f (x )，即函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数．4．下列直线中，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的是( ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8[答案] C[解析] 由2x ＋π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋π8 (k ∈Z )，令k ＝0得，x ＝π8.5．下列不等式中，正确的是( ) A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8 D ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5 [答案] D[解析] tan 4π7＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π7<tan 3π7； tan 3π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5<tan 2π5， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＝tan π7，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝tan π8， ∵tan π7>tan π8，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7>tan ⎝ ⎛⎭⎫－15π8，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－tan π4， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－2π5 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝－tan 2π5.又tan 2π5>tan π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4，故选D.6．(2011～2012·郑州高一检测)当－π2<x <π2时，函数y ＝tan|x |的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形[答案] C7．(2011～2012·荆州高一检测)在区间(－3π2，3π2)范围内，函数y＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] B8．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A ．[－π4，π4]B ．[－22，22]C ．[－tan1，tan1]D ．[－1,1][答案] C9．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1[答案] B[解析] 若ω使函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则有ω<0，并且周期T ＝π|ω|≥π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π.则－1≤ω<0.10．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )[答案] A[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－33，则f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－33，排除选项C ，D ； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π3＝tan0＝0，则f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，排除选项B.故选A.二、填空题11．函数y ＝tan x －3的定义域是________．[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π3＋k π≤x <π2＋k π，k ∈Z[解析] 要使函数有意义，自变量x 的取值应满足tan x －3≥0，即tan x ≥ 3.解得π3＋k π≤x <π2＋k π，k ∈Z .12．函数y ＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的单调递减区间是________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3＋π12(k ∈Z )[解析] 求此函数的递减区间，也就是求y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的递增区间，由k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z 得：k π3－π4<x <k π3＋π12，∴减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z .13．三个数cos10°，tan58°，sin168°的大小关系是________． [答案] sin168°<cos10°<tan58°[解析] ∵sin168°＝sin12°<sin80°＝cos10°<1＝tan45°<tan58°，∴sin168°<cos10°<tan58°.14．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是__________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋k π2，5π24＋k π2(k ∈Z )[解析] 令z ＝2x －π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足tan z ≤1的z 的值是－π2<z ≤π4，在整个定义域上有－π2＋k π<z ≤π4＋k π，解不等式－π2＋k π<2x－π6≤π4＋k π，得－π6＋k π2<x ≤5π24＋k π2，k ∈Z . 三、解答题15．求下列函数的单调区间：(1)y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4； (2)y ＝13tan2x ＋1；(3)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4.[解析] (1)由k π－π2<x －π4<k π＋π2得k π－π4<x <k π＋3π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z . (2)由k π－π2<2x <k π＋π2得k π2－π4<x <k π2＋π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，k π2＋π4(k ∈Z )．(3)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6，由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2得4k π－4π3<x <4k π＋8π3，所以函数的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )．16．求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3的值域．[解析] 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，得tan x ∈[]1，3，∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－(tan x －5)2＋24. 由于1≤tan x ≤3，∴8≤y ≤103－4，∴函数的值域是[8,103－4]．17．已知函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，求f (π4)的值．[解析] ∵ω>0，∴函数f (x )＝tan ωx 的周期为πω，且在每个独立区间内都是单调函数， ∴两交点之间的距离为πω＝π4，∴ω＝4，f (x )＝tan4x ， ∴f (π4)＝tanπ＝0.18．已知函数f (x )＝3tan(12x －π3)．(1)求f (x )的定义域、值域；(2)讨论f (x )的周期性，奇偶性和单调性． [解析] (1)由12x －π3≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠5π3＋2k π，k ∈Z .∴定义域为{x |x ≠5π3＋2k π，k ∈Z }，值域为R .(2)f (x )为周期函数，周期T ＝π12＝2π.f (x )为非奇非偶函数．由－π2＋k π<12x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为(－π3＋2k π，5π3＋2k π)(k ∈Z )．。

第一章三角函数三角函数
．三角函数的图象与性质
．正切函数的性质与图象
．理解正切函数的性质，掌握正切函数的图象的作法．
．能利用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的基本问题．
一、正切函数的性质
．正切函数的定义域和值域：定义域为，值域为．
．正切函数的周期性：＝的周期是π(∈，≠)，最小正周期是π．
．正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是奇
函数，其图象关于原点中心对称．
．正切函数的单调性：正切函数在开区间(∈)内都是增函数．
练习：正切函数＝在区间上的值域为[－，]．
．能否说正切函数在整个定义域上是增函数？
解析：不能．正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数．举反例：＝，＝，<，＝这与单调性的定义矛盾．对每一个∈，在开区间内，函数单调递增．
二、正切函数的图象
．根据正切函数＝的定义和周期，通过平移单位圆中的正切线来作出它在区间上的图象．
．将正切函数＝
在区间上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函数＝
的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是被互相平行的直线＝π＋(∈)所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线＝π＋(∈)叫做正切曲线各支的渐近线．。

[解析] (1)∵定义域[－π4，π4)不关于原点对称， ∴它既不是奇函数也不是偶函数． (2)定义域为{x|x≠k2π＋4π，k∈Z}，关于原点对称， ∵f(－x)＝(－x)tan2(－x)＋(－x)4＝xtan2x＋x4＝f(x)，∴它 是偶函数．
(3)定义域为{x|x≠kπ＋2π，k∈Z}，关于原点对称， ∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，∴它 是奇函数．
规律总结：不在同一单调区间内的角应该先用诱导公式 化到同一个单调区间内．
不求值，比较下列每组中两个正切值的大小，用不等号 “<”、“>”连接起来．
(1)tan32°________tan215°. (2)tan185π________tan－298π.
[答案] (1)< (2)<
[解析] (1)∵tan215°＝tan(180°＋35°)＝tan35°， y＝tanx 在(－90°，90°)上单调增，－90°<32°<35°<90°， ∴tan32°<tan35°，即 tan32°<tan215°. (2)∵tan185π＝tan4π－25π＝tan－25π， tan－298π＝tan－3π－π9＝tan－9π， 而－π2<－25π<－π9<π2，
.
令 kπ－π2<3x－3π<kπ＋π2(k∈Z)，
即k3π－1π8<x<k3π＋51π8(k∈Z)．
∴函数的单调递增区间为k3π－1π8，k3π＋51π8(k∈Z)，不存在 单调递减区间．
规律总结：求函数 y＝Atan(ωx＋φ)，A≠0，ω>0 的单调 区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则是把 “ωx＋φ(ω>0)”看作一个整体．令 ωx＋φ≠kπ＋2π(k∈Z)可解得 该函数的定义域．

正切函数的性质与图象[提出问题问题：正切函数＝的定义域是什么？提示：错误!.问题：诱导公式(π＋)＝说明了正切函数的什么性质？(π＋)(∈)与的关系怎样？提示：周期性．(π＋)＝ (∈)．问题：诱导公式(－)＝－说明了正切函数的什么性质？提示：奇偶性．问题：从正切线上观察，正切函数值是有界的吗？提示：不是，正切函数没有最大值和最小值．问题：从正切线上观察，正切函数值在上是增大的吗？提示：是的．[导入新知]正切函数的性质细解正切函数的性质()正切函数＝的定义域是∈且≠＋π，∈，值域是全体实数．()正切函数＝的最小正周期是π.一般地，函数＝(ω＋φ)＋(>，ω>)的最小正周期是＝.若不知ω正负，则该函数的最小正周期为＝.()正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．[提出问题]问题：你还记得给定一个角在单位圆中的正切线怎样画吗？提示：过单位圆与正半轴的交点，作垂直于轴的直线，交角的终边或其反向延长线于点，则有向线段即为该角的正切线．问题：仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你能根据正切线作出正切曲线吗？提示：能．[导入新知]正切函数的图象()正切函数的图象：()正切函数的图象叫做正切曲线．()正切函数的图象特征：正切曲线是由被相互平行的直线＝＋π，∈所隔开的无穷多支曲线组成的．[化解疑难]正切函数是奇函数，图象关于原点对称，与轴有无数个交点，因此有无穷多个对称中心，对称中心坐标是，∈，正切函数的图象无对称轴.[例]()＝；()＝).[解] ()由＋≠π＋(∈)得，≠π＋，∈，所以函数＝的定义域为≠π＋，∈，其值域为(－∞，＋∞)．()由－≥得，≤.结合＝的图象可知，在上，满足≤的角应满足－<≤，所以函数＝)的定义域为。

课时作业(十四)1．函数y ＝2tan(3x ＋π4)的最小正周期是( )A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 B2．以下函数中，不是奇函数的是( ) A ．y ＝sinx ＋tanx B ．y ＝xtanx －1 C ．y ＝sinx －tanx1＋cosxD ．y ＝lg1－tanx1＋tanx答案 B3．函数y ＝tan(π4＋x)的定义域是( )A ．{x|x ≠π4，x ∈R }B ．{x|x ≠－π4，x ∈R }C ．{x|x ≠k π＋3π4，k ∈Z }D ．{x|x ≠k π＋π4，k ∈Z }答案 D解析 ∵π4＋x ≠π2＋k π，k ∈Z ，∴{x|x ≠π4＋k π，k ∈Z }．4．在下列函数中满足：①在(0，π2)上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A ．y ＝tanxB ．y ＝cosxC ．y ＝tan x2D ．y ＝－tanx答案 C5．若f(x)＝tan(x ＋π4)，则( )A ．f(－1)>f(0)>f(1)B ．f(0)>f(1)>f(－1)C ．f(1)>f(0)>f(－1)D ．f(1)<f(－1)<f(0) 答案 D解析 因为f(x)＝tan(x ＋π4)在区间(－34π，π4)上为单调递增函数，且－34π<－1<0<π4，所以f(－1)<f(0)，由于函数的周期为π，所以f(1)＝f(1－π)，又因为－34π<1－π<－1<0<π4，所以f(1)<f(－1)<f(0)．6．函数y ＝tan(12x －π3)在一个周期内的图像是( )答案 A解析 函数y ＝tan(12x －π3)的周期是2π，可排除B 、D ；对于答案C ，图像为(π3，0)点，代入解析式不成立，可排除C.7．若tan(2x －π3)≤1，则x 的取值范围是( )A.k π2－π12≤x ≤k π12＋724π(k ∈Z ) B ．k π－π12≤x ≤k π＋724π(k ∈Z )C.k 2π－π12<x ≤k π2＋724π(k ∈Z ) D ．k π＋π12<x ≤k π＋724π(k ∈Z )答案 C解析 ∵k π－π2<2x －π3≤k π＋π4，∴k π2－π12<x ≤k π2＋724π，k ∈Z .8．下列各式正确的是( ) A ．tan(－94π)<tan(－175π)B ．tan(－94π)>tan(－175π)C ．tan(－94π)＝tan(－175π)D ．大小关系不确定答案 B解析 tan(－94π)＝tan(－2π－π4)＝－tan π4，tan(－175π)＝tan(－3π－2π5)＝－tan(2π5)， ∴－tan π4>－tan 25π，∴tan(－94π)>tan(－175π)．9．直线y ＝m(m 为常数)与正切函数y ＝tan ωx (ω>0且为常数)的图像相交的相邻两点间的距离是( )A ．π B.2πωC.πω D ．与ω值无关答案 C 解析 T ＝πω.10．函数y ＝lgtan2x 的定义域为( ) A ．(k π，k π＋π2)(k ∈Z )B ．(2k π，2k π＋π2)(k ∈Z )C ．(12k π，12k π＋π2)(k ∈Z )D ．(12k π，12k π＋π4)(k ∈Z )答案 D解析 ∵tan2x>0，∴k π<2x<π2＋k π，k ∈Z .∴{x|k π2<x<π4＋k π2，k ∈Z }．11．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0 C ．ω≥1 D ．ω≤－1答案 B 12．函数y ＝3－tanx 的定义域为________，值域为________．答案 {x|－π2＋k π<x ≤π3＋k π，k ∈Z } [0，＋∞) 13．y ＝tan(x ＋π3)的对称中心为________． 答案 (k π2－π3，0)(k ∈Z )解析 x ＋π3＝k π2，∴x ＝k π2－π3(k ∈Z )．∴对称中心为(k π2－π3，0)(k ∈Z )．14．函数f(x)＝sinx ＋tanx ，x ∈[－π4，π4]的值域是________．答案 [－22－1，22＋1] 解析 f(x)在[－π4，π4]上单增，∴f(x)min ＝f(－π4)＝－22－1，f(x)max ＝f(π4)＝22＋1.15．求函数y ＝－2tan(3x ＋π3)的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性． 解析 (1)3x ＋π3≠π2＋k π，k ∈Z ，∴定义域{x|x ≠π18＋k π3，k ∈Z }．(2)值域为R (3)T ＝π3.(4)∵f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)， ∴非奇非偶．(5)－π2＋k π<3x ＋π3<π2＋k π，k ∈Z ，∴－518π＋k π3<x<π18＋k π3，k ∈Z .∴减区间为(－518π＋k π3，π18＋k π3)，k ∈Z .1．函数f(x)＝tan(x ＋π4)的单调增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．[k π，(k ＋1)π]，k ∈ZC ．(k π－34π，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋34π)，k ∈Z答案 C解析 k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，k π－3π4<x<k π＋π4，k ∈Z .2．当－π2<x<π2时，函数y ＝tan|x|的图像( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图像 答案 C。

课后训练1．函数1π3tan23y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个对称中心是( )A．π,06⎛⎫⎪⎝⎭B．2π,3⎛-⎝C．2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D．(0,0)2．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为π4．则ω的值是( )A．1B．2C．4D．83．函数ππtan044y x x x⎛⎫=-≤≤≠⎪⎝⎭且的值域是( )A．[－1,1]B．[－1,0)∪(0,1] C．(－∞，1]D．[－1，＋∞)4．已知函数y＝tanωx在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，则( )A．0＜ω≤1B．－1≤ω＜0C．ω≥1D．ω≤－15．函数f(x)的定义域是( )A．πππ+,π42k k⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(k∈Z)B．πππ,π22k k⎛⎫-+⎪⎝⎭(k∈Z)C．ππ,π4k k⎛⎫+⎪⎝⎭(k∈Z)D ．πππ,π42k k ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭(k ∈Z ) 6．不等式tan x ≥1的解集是__________．7．函数y ＝tan(cos x )的值域是__________．8．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)π0,||2ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，y ＝f (x )的部分图象如图，则π24f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于__________．9．求函数y ＝πtan 33x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性． 10．函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象与x 轴相交的两相邻点的坐标为π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭，且过点(0，－3)，求此函数的解析式．参考答案1答案：C 解析：由ππ232x k+=得2ππ3x k=-(k∈Z)．令k＝0得2π3x=-，故选C．2答案：C 解析：由题意可得f(x)的周期为π4，则ππ4ω=，∴ω＝4．3答案：B4答案：B 解析：∵y＝tanωx在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，∴ω＜0且T＝πω≥π，∴－1≤ω＜0．故选B．5答案：A 解析：f(x)有意义时lg tan0tan0,xx≥⎧⎨>⎩∴tan x≥1，解得kπ＋π4≤x＜kπ＋π2(k∈Z)．∴f(x)的定义域为πππ,π42k k⎡⎫++⎪⎢⎣⎭(k∈Z)．6答案：πππ,π42 k k⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，k∈Z解析：由正切函数图象可知，kπ＋π4≤x＜kπ＋π2(k∈Z)．7答案：[－tan1，tan1] 解析：由cos x∈[－1,1]，结合y＝tan x的图象来求解．π2-＜－1≤cos x≤1＜π2，∴－tan1≤tan(cos x)≤tan1．8解析：由图象知周期T＝πππ242ω⨯==，∴ω＝2，又图象过3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴3πtan208Aϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，∴3πtan04ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，而|φ|＜π2，∴3π4＋φ＝π，∴φ＝π4，∴f(x)＝πtan24A x⎛⎫+⎪⎝⎭，又过(0,1)点，∴πtan4A＝1，∴A＝1，即f(x)＝πtan24x⎛⎫+⎪⎝⎭，∴ππtan243f⎛⎫==⎪⎝⎭．9答案：解：由ππ3π32x k-≠+，k∈Z，得π5π318kx≠+，k∈Z．∴所求定义域为π5π,,318kx x x k⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z且，值域为R，周期T＝π3，是非奇非偶函数，在区间πππ5π,318318k k⎛⎫-+⎪⎝⎭(k∈Z)上是增函数．10答案：解：∵ππ2π623T⎛⎫=--=⎪⎝⎭，∴π3 =2Tω=．将点π,06⎛⎫⎪⎝⎭代入y＝A tan32xϕ⎛⎫+⎪⎝⎭，得0＝A tan3π26ω⎛⎫⨯+⎪⎝⎭，得φ＝π4 -．将(0，－3)代入y＝A tan3π24x⎛⎫-⎪⎝⎭，得A＝3．∴y＝3tan3π24x⎛⎫-⎪⎝⎭．。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）1.4.3正切函数的性质与图象班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．函数y=tan x(x≠kπ+,k∈Z)的单调性为 ()A.在整个定义域上为增函数B.在整个定义域上为减函数C.在每一个开区间(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上为增函数D.在每一个开区间(-+2kπ,+2kπ)(k∈Z)上为增函数2．函数的图象的对称中心是A. B.C. D.3．下列关于函数y=tan(x+)的说法正确的是()A.在区间(-,)上单调递增B.最小正周期是πC.图象关于点(,0)成中心对称D.图象关于直线x=成轴对称4．函数y=3tan(π+x),-<x≤的值域为.5．函数y=4tan(3x+)的周期为.6．函数y=tan(2x+)的定义域为.7．求函数的单调增区间.8．利用函数图象解不等式-1≤tan x≤.能力提升1．若函数 (ω<0)的最小周期为2π，求f(x)的单调区间. 2．若函数的最小值为−6，求实数a的值.1.4.3正切函数的性质与图象详细答案【基础过关】 1．C【解析】由正切函数的图象知C 正确. 2．D 3．B【解析】令kπ-<x+<kπ+,解得kπ-<x<kπ+,k ∈Z,显然(- ,)不满足上述关系式,故A 错误;易知该函数的最小正周期为π,故B 正确;令x+ =,解得x= -,k ∈Z,任取k 值不能得到x=,故C 错误;正切曲线没有对称轴,因此函数y=tan(x+ )的图象也没有对称轴,故D 错误.故选B. 4．(-3, ]【解析】函数y=3tan(π+x)=3tan x,且在(- ,]上是增函数,所以-3<y≤ ,故所求值域为(-3, ].5．【解析】T= =. 6．{x|x ≠+,k ∈Z}【解析】由于函数y=tan z 的定义域为{z|z ≠k π+,k ∈Z },故2x+≠k π+,k ∈Z,解得x ≠+,k ∈Z ,即所求定义域为{x|x ≠+,k ∈Z }.7．由2()242k x k k πππππ-<+<+∈Z ，解得3()2828k k x k ππππ-<<+∈Z ， 所以函数tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间是3,()2828k k k ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭Z . 8．作出函数y=tan x,x ∈(- ,)的图象,如图所示.观察图象可得,在(- ,)内,自变量x 应满足-≤x≤,由正切函数的周期性可知,不等式的解集为{x|-+kπ≤x≤+kπ,k ∈Z}.【能力提升】1．因为()2tan (0)3f x x πωω⎛⎫=-< ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，所以2ππω=，所以12ω=.又因为0ω<，所以12ω=-. 即1()2tan 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12tan 23x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.由1()2232k x k k πππππ-<+<+∈Z ，得.所以函数()f x 的单调减区间为.2．解：设t=t a nx.∵4x π≤，∴t ∈[−1，1]，∴原函数可化为22224a ay t at t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，函数图象的对称轴为直线2a t =. ①若112a -≤≤，则当2a t =时，264min a y =-=-，∴224a =(舍)； ②若12a<-，即a ＜−2，则二次函数在[−1，1]上递增， ∴2211624min a a y a ⎛⎫=---=+=- ⎪⎝⎭，a =−7；③若12a>-，即a ＞2，则二次函数在[−1，1]上递减， ∴16min y a =--=-，∵a =7. 综上所述，a =−7或a =7.。

第一章三角函数1.4 三角函数的图象与性质1.4.3 正切函数的性质与图象课后篇巩固探究1.函数f(x)=tan2xtanx的定义域为( )A.{x|x∈R,且x≠kπ4,k∈Z}B.{x|x∈R,且x≠kπ+π2,k∈Z}C.{x|x∈R,且x≠kπ+π4,k∈Z}D.{x|x∈R,且x≠kπ-π4,k∈Z}{x≠kπ,x≠kπ+π2,k∈Z,2x≠kπ+π2,即{x≠kπ2,x≠kπ2+π4,k∈Z,所以x≠kπ4(k∈Z),选A.2.若函数f(x)=tan(ωx-π4)与函数g(x)=sin(π4-2x)的最小正周期相同,则ω=()A.±1B.1C.±2D.2g(x)的周期为2π2=π,∴π|ω|=π,∴ω=±1.3.函数y=tan (x +π5)的一个对称中心是( )A.(0,0)B.(π5,0)C.(4π5,0)D.(π,0)x+π5=kπ2,k ∈Z,得x=kπ2−π5,k ∈Z,所以函数y=tan (x +π5)的对称中心是(kπ2-π5,0).令k=2,可得函数的一个对称中心为(4π5,0).4.函数f(x)=tan (π4-x)的单调递减区间为( )A.(kπ-3π4,kπ+π4),k ∈ZB.(kπ-π4,kπ+3π4),k ∈ZC.(kπ-π2,kπ+π2),k ∈ZD.(kπ,(k+1)π),k∈Zf(x)=tan (π4-x)=-tan (x -π4),所以原函数的单调递减区间就是函数y=tan (x -π4)的单调递增区间.所以kπ-π2≤x -π4≤kπ+π2,k ∈Z,即kπ-π4≤x≤kπ+3π4,k ∈Z.故原函数的单调递减区间是(kπ-π4,kπ+3π4),k ∈Z.5.在区间(-3π2,3π2)范围内,函数y=tan x 与函数y=sin x 图象交点的个数为( ) A.1B.2C.3D.4,首先作出y=sinx 与y=tanx 在(-π2,π2)内的图象,需明确x ∈(0,π2)时,有sinx<x<tanx(利用单位圆中的正弦线、正切线就可证明),然后利用对称性作出x ∈(-3π2,3π2)的两函数的图象(注意正切函数的定义域),如图所示,由图象可知它们有三个交点.6.函数y=tan (π2-x)(x ∈[-π4,π4],且x ≠0)的值域为 .-π4≤x≤π4,且x≠0,∴π4≤π2-x≤3π4,且π2-x≠π2.∴由y=tanx 的图象知y=tan (π2-x)的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞).∞,-1]∪[1,+∞)7.若函数f(x)=2tan (kx +π3)的最小正周期T 满足1<T<2,则自然数k 的值为 .1<πk <2,即k<π<2k.又k ∈N,所以k=2或k=3.或38.已知函数y=tan ωx 在(-π2,π2)内是减函数,则ω的取值范围为 .ω<0,又(π2ω,-π2ω)⊆(-π2,π2),故-1≤ω<0.9.关于x 的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法: ①对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数; ②f(x)的图象关于(π2-φ,0)对称;③f(x)的图象关于(π-φ,0)对称; ④f(x)是以π为最小正周期的周期函数. 其中不正确的说法的序号是 .φ=kπ(k∈Z),则f(x)=tanx,此时,f(x)为奇函数,所以①错;观察正切函数y=tanx 的图象,可知y=tanx 关于(kπ2,0)(k ∈Z)对称,令x+φ=kπ2,k ∈Z,得x=kπ2-φ,分别令k=1,2知②,③正确,④显然正确.10.方程(12)x-tan x=0在x ∈(-π2,π2)∪(π2,3π2)内的根的个数为 .y=(12)x与y=tanx 在x ∈(-π2,π2)∪(π2,3π2)内的图象,如图.易知y=(12)x与y=tanx 在相应区间内有2个交点,原方程有2个根.11.求函数y=-tan 2x+4tan x+1,x ∈[-π4,π4]的值域.-π4≤x≤π4,∴-1≤tanx≤1. 令tanx=t,则t ∈[-1,1]. ∴y=-t 2+4t+1=-(t-2)2+5. ∴当t=-1,即in =-4, 当t=1,即ax =4.故所求函数的值域为[-4,4].12.是否存在实数a,且a ∈Z,使得函数y=tanπ4-ax 在区间π8,5π8上单调递增?若存在,求出a 的一个值;若不存在,请说明理由. 解y=tanπ4-ax =tan -ax+π4,∵y=tanx 在区间kπ-π2,kπ+π2(k ∈Z)上为增函数,∴a<0, 又x ∈π8,5π8,∴-ax ∈-aπ8,-5aπ8,∴π4-ax ∈π4−aπ8,π4−5aπ8,∴{kπ-π2≤π4-aπ8(k ∈Z ),kπ+π2≥π4-5aπ8(k ∈Z ).解得-25−8k 5≤a≤6-8k(k ∈Z).由-25−8k 5=6-8k 得k=1,此时-2≤a≤-2.∴a=-2<0,∴存在a=-2∈Z,满足题意. 13.设函数f(x)=asin kx+π3和φ(x)=btan kx-π3,k>0,若它们的最小正周期之和为3π2,且fπ2=φπ2,fπ4=-√3φπ4+1,求f(x),φ(x)的解析式.解f(x)=asin kx+π3的最小正周期T=2πk.φ(x)=btan kx-π3的最小正周期T=πk.∵2πk+πk=3π2,∴k=2.∴f(x)=asin 2x+π3,φ(x)=btan 2x-π3,∴f π2=asin π+π3=-asin π3=-√32a.φπ2=btan π-π3=-btan π3=-√3b.f π4=asin π2+π3=acos π3=12a.φπ4=btanπ2−π3=√33b.∴{-√32a =-√3b ,12a =-√3×(√33b)+1.化简得{a =2b ,12a =-b +1,解得{a =1,b =12.∴f(x)=sin 2x+π3,φ(x)=12tan 2x-π3.。

基础达标1．下列函数中，同时满足：①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( )． A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝|sin x |解析 经验证，选项B 、D 中所给函数都是偶函数，不符合；选项C 中所给的函数的周期为2π. 答案 A2．与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( )．A ．x ＝π2 B ．x ＝－π2 C ．x ＝π4D ．x ＝π8解析 当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，而π2的正切值不存在，所以直线x ＝π8与函数的图象不相交．故选D. 答案 D3．方程tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( )．A ．5B ．4C ．3D ．2解析 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3解得2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2(k ∈Z )，又x ∈[0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.故选B. 答案 B4．若函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3ax －π3(a ≠0)的最小正周期为π2，则a ＝________.解析 ∵π|3a |＝π2，∴|a |＝23，∴a ＝±23. 答案 ±235．比较大小：tan 222°________tan 223°.解析 因为tan 222°＝tan(180°＋42°)＝tan 42°，tan 223°＝tan(180°＋43°)＝tan 43°，而tan 42°<tan 43°，所以tan 222°<tan 223°. 答案 <6．函数y ＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性是________．解析由题意，得函数的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，tan x ＋1tan x －1>0，即tan x >1或tan x <－1.解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，－π4＋k π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，π2＋k π(k ∈Z )．∵定义域关于原点对称，且f (－x )＋f (x )＝0，∴f (x )是奇函数． 答案 奇函数7．已知函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.(1)作此函数在一个周期开区间上的简图； (2)求出此函数的定义域、周期和单调区间． 解 (1)列表：(2)因为12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，所以x ≠43π＋2k π，从而函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠43π＋2k π，k ∈Z. 函数的周期是T ＝π12＝2π.又因为－π2＋k π<12x －π6<π2＋k π，k ∈Z ， 所以－23π＋2k π<x <43π＋2k π.故函数的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＋2k π，43π＋2k π，k ∈Z ；无减区间． 能力提升8．(2012·银川二模)下列关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法正确的是( )．A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称解析 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选B. 答案 B9．已知函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 解析 ∵f (x )的图象的相邻两支与y ＝π4所截得线段的长度即为f (x )＝tan ωx 的一个周期，∴πω＝π4，ω＝4，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π4＝tan π＝0. 答案 010．已知关于实数x 的不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －(tan θ＋1)22≤(tan θ－1)22，x 2－3(tan θ＋1)x ＋2(3tan θ＋1)≤0的解集分别为M ，N ，且M ∩N ＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围．解 假设θ存在．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －(tan θ＋1)22≤(tan θ－1)22，得2tan θ≤x ≤tan 2θ＋1， ∴M ＝{x |2tan θ≤x ≤tan 2θ＋1}． ∵x 2－3(tan θ＋1)x ＋2(3tan θ＋1)≤0， ∴当tan θ≥13时，2≤x ≤3tan θ＋1. 当tan θ<13时，3tan θ＋1≤x ≤2. ∵M ∩N ＝∅，∴当tan θ≥13时，有3tan θ＋1<2tan θ或tan 2θ＋1<2， 即tan θ<－1或－1<tan θ<1，∴13≤tan θ<1.① 当tan θ<13时，有2<2tan θ或3tan θ＋1>tan 2θ＋1， 即tan θ>1或0<tan θ<3，∴θ<tan θ<13.② 由①②得0<tan θ<1，∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π4k ∈Z .。

基 础 巩 固一、选择题1．函数y ＝tan(x ＋π)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数[答案] A2．函数y ＝tan(x ＋π4)的定义域是( )A ．{x |x ≠－π4}B ．{x |x ≠π4}C ．{x |x ≠k π－π4，k ∈Z }D ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }[答案] D3．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的最小正周期是( ) A.π6B.π3C.π2D.2π3[答案] B4．下列叙述正确的是( ) A ．函数y ＝cos x 在(0，π)上是增函数B ．函数y ＝tan x 在(0，π)上是减函数C ．函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数D ．函数y ＝sin x 在(0，π)上是增函数[答案] C5．下列不等式中，正确的是( )A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8 D ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5 [答案] D[解析] tan 4π7＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π7<tan 3π7； tan 3π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5<tan 2π5， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＝tan π7，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝tan π8， ∵tan π7>tan π8，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－tan π4， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－2π5 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝－tan 2π5. 又tan 2π5>tan π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4，故选D. 6．(2011～2012·郑州高一检测)当－π2<x <π2时，函数y ＝tan|x |的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形[答案] C二、填空题 7．若函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax －π5的最小正周期为π5，则a ＝________. [答案] ±528．给出下列命题：(1)函数y ＝tan|x |不是周期函数；(2)函数y ＝tan x 在定义域内是增函数；(3)函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan (2x ＋π3)的周期是π2； (4)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋x 是偶函数． 其中正确命题的序号是________．[答案] (1)(3)(4)[解析] y ＝tan|x |是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y ＝tan x 在每一个区间－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan (2x ＋π3)的周期是π2.∴(3)对；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋x ＝cos x 是偶函数，∴(4)对． 因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．三、解答题9．比较tan1、tan2、tan3的大小．[解析] ∵tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)，又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0.∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0，∴－π2<2－π<3－π<1<π2，又y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan1，即tan2<tan3<tan1.10．画出函数y ＝|tan x |＋tan x 的图象，并根据图象求出函数的主要性质．[解析] 由y ＝|tan x |＋tan x 知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，x ∈(k π－π2，k π]，2tan x ，x ∈(k π，k π＋π2)(k ∈Z )．其图象如图所示．函数的主要性质为：①定义域：{x |x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z }；②值域：[0，＋∞)；③周期性：T ＝π；④奇偶性：非奇非偶函数；π⑤单调性：单调增区间为[kπ，kπ＋2)，k∈Z.。

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课后提升作业 十一正切函数的性质与图象(分钟 分)一、选择题(每小题分,共分).(·遵义高一检测)函数()∈的最小正周期为( ).πππ【解析】选.由正切函数的周期公式,得函数()∈的最小正周期为π..函数∈且≠ππ∈的一个对称中心是( ).() .(π)【解析】选.由,得∈.令,得π,故一个对称中心为..(·赤峰高一检测)若(),则( )()>()>() ()>()>()()>()>() ()>()>()【解析】选()在上是增函数()(π),又π<π<<<,所以(π)<()<().【补偿训练】(·合肥高一检测)(°) °°的大小关系是( ) (°)> °> °°>(°)> °°> °>(°)°>(°)> °【解析】选.因为°<°<°,所以°>°>(°).故选..(·吉林高一检测)在下列函数中,同时满足以下三个条件的是( )()在上单调递减.()最小正周期为π.()是奇函数.(π)【解析】选在上单调递增,不满足条件()..函数是偶函数,不满足条件()..函数(π),满足三个条件.。

能 力 提 升一、选择题1．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k2π－3π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k2π＋π8，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k2π，k ∈Z[答案] C[解析] 要使函数有意义，则2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，则x ≠k2π＋π8(k ∈Z )． 2．函数y ＝tan x ＋1tan x是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 [答案] A[解析] 定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ∩{x |x ≠k π，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z .又f (－x )＝tan(－x )＋1tan (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x ＝－f (x )，即函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数．3．(福建福州模拟)函数f (x )＝sin x|cos x |在区间[－π，π]内的大致图象是下列图中的( )[答案] C[解析] 在(－π2，π2)上cos x >0，f (x )＝tan x ，所以在(－π2，π2)上其图象y ＝tan x 的图象相同，在(－π，－π2)和(π2，π)上，cos x <0, f (x )＝－tan x ，所以在这两段上其图象是y ＝tan x 的图象关于x 轴的对称图形．4．(2011～2012·荆州高一检测)在区间(－3π2，3π2)范围内，函数y＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] B5．函数y ＝tan xa 的最小正周期是( ) A ．a π B ．|a |π C.πa D.π|a |[答案] B[解析] 根据公式T ＝π|ω|＝π|1a |＝|a |π.6．下列函数中，同时满足：①在(0，π2)上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x2D ．y ＝|sin x |[答案] A[解析] 经验证，选项B 、D 中所给函数都是偶函数，不符合；选项C 中所给的函数的周期为2π.二、填空题7．函数y ＝3tan(2x ＋π3)的对称中心的坐标为________________．[答案] (k π4－π6，0)(k ∈Z )[解析] 令2x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－π6(k ∈Z )，∴对称中心的坐标为(k π4－π6，0)(k ∈Z )．8．(辽宁沈阳实中模拟)求函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调区间是________________．[答案] (2k π－π2，2k π＋32π)(k ∈Z )[解析] y ＝tan(－12x ＋π4)＝－tan(12x －π4)，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调递减区间是(2k π－π2，2k π＋32π)，k ∈Z .9．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是__________． [答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋k π2，5π24＋k π2(k ∈Z )[解析] 令z ＝2x －π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足tan z ≤1的z 的值是－π2<z ≤π4，在整个定义域上有－π2＋k π<z ≤π4＋k π，解不等式－π2＋k π<2x－π6≤π4＋k π，得－π6＋k π2<x ≤5π24＋k π2，k ∈Z . 三、解答题10．若函数y ＝tan 2x －a tan x (|x |≤π4)的最小值为－6，求实数a 的值．[解析] 设tan x ＝t ，∵|x |≤π4，∴－1≤tan x ≤1.∴－1≤t ≤1.原函数可化为y ＝t 2－at ＝(t －a2)2－a 24，对称轴为t＝a 2.若－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2，则当t ＝a2时，y min ＝－a 24＝－6，∴a 2＝24(舍去)．若a 2<－1，即a <－2时，二次函数在[－1,1]上递增，y min＝(－1－a 2)2－a 24＝1＋a ＝－6，∴a ＝－7.若a2>1，即a >2时，二次函数在[－1,1]上递减，y min ＝(1－a 2)2－a 24＝1－a ＝－6，∴a ＝7.综上所述，a ＝7或a ＝－7.11．已知函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，求f (π4)的值．[解析] ∵ω>0，∴函数f (x )＝tan ωx 的周期为πω， 且在每个独立区间内都是单调函数， ∴两交点之间的距离为πω＝π4，∴ω＝4，f (x )＝tan4x ， ∴f (π4)＝tanπ＝0.12．已知函数f (x )＝3tan(12x －π3)．(1)求f (x )的定义域、值域；(2)讨论f (x )的周期性，奇偶性和单调性． [解析] (1)由12x －π3≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠5π3＋2k π，k ∈Z .∴定义域为{x |x ≠5π3＋2k π，k ∈Z }，值域为R . (2)f (x )为周期函数，周期T ＝π12＝2π.f (x )为非奇非偶函数．由－π2＋k π<12x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为(－π3＋2k π，5π3＋2k π)(k ∈Z )．。

[A.基础达标]1．函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是( ) A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z } B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z } C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z } D ．{x |x ≠k 2π，k ∈Z } 解析：选C.由2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠12k π＋π8(k ∈Z )． 2．f (x )＝－tan(x ＋π4)的单调区间是( ) A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈Z D ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z 解析：选C.令－π2＋k π＜x ＋π4＜π2＋k π，k ∈Z ， 解得－3π4＋k π＜x ＜π4＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调减区间为(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈Z . 3．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得的线段长为π4，则ω的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C.由题意可得f (x )的周期为π4，则πω＝π4， ∴ω＝4.4．在下列给出的函数中，以π为周期且在(0，π2)内是增函数的是( ) A ．y ＝sin x 2B ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin(2x ＋π4)D ．y ＝tan(x －π4) 解析：选D.由函数周期为π可排除A.当x ∈(0，π2)时，2x ∈(0，π)，2x ＋π4∈(π4，54π)，此时B 、C 中函数均不是增函数．故选D.5．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫π6，0B.⎝⎛⎭⎫2π3，－33 C.⎝⎛⎭⎫－2π3，0 D ．(0,0)解析：选C.因为y ＝tan x 的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z .由12x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π－2π3，k ∈Z ，所以函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π－2π3，0，k ∈Z ，令k ＝0，得⎝⎛⎭⎫－2π3，0. 6．在(0,2π)内，使tan x >1成立的x 的取值范围为__________．解析：利用图象y ＝tan x 位于y ＝1上方的部分对应的x 的取值范围可知．答案：(π4，π2)∪(54π，32π) 7．－tan 6π5与tan(－13π5)的大小关系是________． 解析：－tan 6π5＝－tan π5， tan(－13π5)＝－tan 13π5＝－tan 3π5. ∵0＜π5＜π2＜3π5＜π， ∴tan π5＞0，tan 3π5＜0， ∴－tan π5<－tan 3π5， 即－tan 6π5＜tan(－13π5)． 答案：－tan 6π5＜tan(－13π5) 8．y ＝tan x 2满足下列哪些条件________(填序号)． ①在(0，π2)上单调递增； ②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为{x |x ≠π4＋k π2，k ∈Z }． 解析：令x ∈(0，π2)，则x 2∈(0，π4)，所以y ＝tan x 2在(0，π2)上单调递增正确；tan(－x 2)＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数；T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋k π，k ∈Z ，得{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z }，所以④不正确．答案：①②9．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．解：定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R x ≠π4＋k π2，k ∈Z ； 值域为(－∞，＋∞)；周期为π2； 对应图象如图所示：10．若函数f (x )＝2tan(ωx －π3)(ω＜0)的最小正周期为2π，求f (x )的单调区间． 解：因为f (x )＝2tan(ωx －π3)(ω＜0)的最小正周期为2π，所以π|ω|＝2π，所以|ω|＝12. 又因为ω＜0，所以ω＝－12. 即f (x )＝2tan(－12x －π3)＝－2tan(12x ＋π3)． 由k π－π2＜12x ＋π3＜k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－53π＜x ＜2k π＋π3(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调减区间为(2k π－53π，2k π＋π3)(k ∈Z )． [B.能力提升]1．函数f (x )＝lg tan x 的定义域是( )A.⎣⎡⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π4(k ∈Z ) D.⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π2(k ∈Z ) 解析：选A.f (x )有意义时，⎩⎪⎨⎪⎧lg tan x ≥0tan x ＞0， ∴tan x ≥1，解得k π＋π4≤x ＜k π＋π2(k ∈Z )， ∴f (x )的定义域为⎣⎡⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )． 2．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( ) A ．0＜ω≤1 B ．－1≤ω＜0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：选B.∵y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数， ∴ω＜0且T ＝π|ω|≥π. ∴|ω|≤1，即－1≤ω＜0.3．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时单调递增的区间是________．解析：由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象(图略)知，同时单调递增的区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π(k ∈Z )和⎝⎛⎭⎫2k π＋π，2k π＋3π2(k ∈Z )． 答案：⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π(k ∈Z )和⎝⎛⎭⎫2k π＋π，2k π＋3π2(k ∈Z ) 4．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2，3π2)内的图象是如图中的________．解析：函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎨⎧2tan x ，π2＜x ≤π，2sin x ，π＜x ＜32π. 答案：④5．函数f (x )＝tan(3x ＋φ)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π4，0，其中0＜φ＜π2，试求函数f (x )的单调区间．解：由于函数y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0，其中k ∈Z .故令3x ＋φ＝k π2(k ∈Z )， 其中x ＝π4， 即φ＝k π2－3π4(k ∈Z )． 由于0＜φ＜π2， 所以当k ＝2时，φ＝π4. 故函数解析式为f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. 由于正切函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上为增函数． 则令k π－π2＜3x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π3－π4＜x ＜k π3＋π12，k ∈Z ， 故函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z .6．(选做题)已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈(－π2，π2)． (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值； (2)求θ的取值范围，且使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1 ＝(x －33)2－43，x ∈[－1，3]，所以当x ＝33时，f (x )的最小值为－43， 当x ＝－1时，f (x )的最大值为233. (2)因为f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ， 所以原函数的图象的对称轴方程为x ＝－tan θ. 因为y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数，所以－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－3，所以π4＋k π≤θ＜π2＋k π或－π2＋k π＜θ≤－π3＋k π，k ∈Z . 又θ∈(－π2，π2)， 所以θ的取值范围是(－π2，－π3]∪[π4，π2)．。

技能提升作业(十)1．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，函数y ＝tan|x |的图像( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．没有对称轴答案 B2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋3π8，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋3π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋3π8，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z解析 由2x －π4≠k π＋π2，得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z . 答案 A3．若tan x ≤0，则( ) A ．2k π－π2<x <2k π，k ∈Z B ．2k π＋π2≤x <(2k ＋1)π，k ∈Z C ．k π－π2<x ≤k π，k ∈Z D ．k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z解析 tan x ≤0，∴k π－π2<x ≤k π，k ∈Z .答案 C4．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(π＋x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(π＋x )＝sin x ＋tan x . ∵y ＝sin x ，y ＝tan x 均为奇函数，∴原函数为奇函数． 答案 A5．设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos25°，则有( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <c <b解析 ∵tan70°>tan45°＝1，∴a ＝log 12tan70°<0.又0<sin25°<sin30°＝12，∴b ＝log 12sin25°>log 1212＝1，而c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos25°∈(0,1)，∴b >c >a .答案 D6．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期为π2，则ω＝________. 解析 由T ＝π|ω|，知|ω|＝πT ＝2. ∴ω＝±2. 答案 ±27．若函数f (x )＝a sin2x ＋b tan x ＋1，且f (－3)＝5，则f (π＋3)＝________.解析 由f (－3)＝5，得f (－3)＝－a sin6－b tan3＋1， 又f (3)＝a sin6＋b tan3＋1. ∴f (3)＋f (－3)＝2.∵f (3)＝2－f (－3)＝2－5＝－3， 而f (π＋3)＝a sin(2π＋6)＋b tan(π＋3)＋1 ＝a sin6＋b tan3＋1 ＝f (3)＝－3. 答案 －3 8．给出下列命题：①函数y ＝cos x 在第三、四象限都是增函数； ②函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为πω； ③函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋52π是偶函数； ④函数y ＝tan 23x 的图像关于原点对称．其中正确命题的序号是__________．解析 ①的说法是错误的．②中最小正周期应为π|ω|，所以②也错．③中y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋5π2＝cos 23x ，是偶函数，所以③正确．对于④易知y ＝tan 23x 为奇函数，所以图像关于原点对称，故④正确．答案 ③④9．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．解 由3x －π3≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π3＋5π18(k ∈Z )，∴函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π3＋5π18，k ∈Z }．值域为R ，最小正周期T ＝π3，是非奇非偶函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z )上是增函数． 10．求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3的最值及相应的x的值．解 y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－(tan x －5)2＋24. ∵π4≤x ≤π3，∴1≤tan x ≤ 3.∴当tan x ＝3时，y 有最大值103－4，此时x ＝π3. 当tan x ＝1时，y 有最小值8，此时x ＝π4.教师备课资源1.y ＝tan x (x ≠k π＋π2，k ∈Z )在定义域上的单调性为( ) A ．在整个定义域上为增函数 B ．在整个定义域上为减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上为增函数 D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上为减函数 解析 ∵f (x )＝tan x 的定义域是{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }， ∴选项A 是不对的，例如取x 1＝π3，x 2＝5π6，x 1<x 2，但tan π3＝3，tan 5π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－33.∴tan x 1>tan x 2，选项B 、D 与f (x )＝tan x 的性质相悖，也是错的．故选C.答案 C2．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5(x ∈R ，且x ≠310π＋k π，k ∈Z )的一个对称中心是( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫45π，0 D ．(π，0) 解析 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5的图像与x 轴的交点及渐近线与x 轴的交点都是对称中心，当x ＝4π5时，y ＝tanπ＝0，∴一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫4π5，0. 答案 C3．若tan(2x －π3)≤1，则x 的取值范围是( ) A.k π2－π12≤x ≤k π2＋7π24(k ∈Z ) B ．k π－π12≤x <k π＋7π24(k ∈Z ) C.k π2－π12<x ≤k π2＋7π24(k ∈Z ) D ．k π＋π12<x ≤k π＋7π24(k ∈Z )解析 依题意得k π－π2<2x －π3≤k π＋π4(k ∈Z )．∴k π2－π12<x ≤k π2＋7π24(k ∈Z )． 答案 C4．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 B.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，⇒⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.又α∈[0,2π)，∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4.答案 B5．若y ＝tan(2x ＋θ)图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫π3，0，若－π2<θ<π2，求θ的值．解 ∵函数y ＝tan x 图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，其中k ∈Z ，∴2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3.∴θ＝k π2－2π3，k ∈Z ，又－π2<θ<π2. ∴当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3. 故θ的值为－π6或π3.。