第三章 两个自由度系统振动

x [ M ]{ɺɺ} + [ K ]{ x} = {F }
（3）
式中： 分别叫作质量矩阵 式中：[M],[K]分别叫作质量矩阵、刚度矩阵，且都为实 分别叫作质量矩阵、刚度矩阵， T T 对称矩阵，即 [ 对称矩阵 即：M ] = [ M ] , [ K ] = [ K ]
x {ɺɺ} , { x} , {F }－分别为加速度列向量、位移列向量、 分别为加速度列向量 位移列向量、 加速度列向量、
激振力列向量
2.固有模态振动 固有模态振动 图示自由振动方程为： 图示自由振动方程为：
m1 0 x 0 ɺɺ1 k11 ɺɺ + k m2 x2 21 k12 x1 x = {0} k22 2
（4）
ɺ 受初始扰动 { x0 } , { x0 } 后，系统如何发生运动
k1a1 − k2b1 x1 0 = 2 2 k1a1 + k2b1 θ 0
（2）选 x2 , θ 为坐标描述系统运动，且k1a2 = k2b2 ）
x m − me ɺɺ2 k1 + k2 − me J θ + 0 ɺɺ 0 0 x2 0 = 2 2 k1a2 + k2b2 θ 0
第二节 无阻尼强迫振动
一、本节研究内容
x m11 m12 ɺɺ1 k11 k12 x1 F 研究 ɺɺ + k x = 0 sin ωt m21 m22 x2 21 k22 2
的解具有的一般性。 的解具有的一般性 根据线性叠加原理：
即含有动力 耦合 又含有静力 耦合
m − ma 1
− ma1 ɺɺ3 k1 + k 2 x θ + −k L J A ɺɺ 2
− k 2 L x3 0 = 2 k 2 L θ 0
结论： 结论：
k1 x1 m1 m1 ɺɺ1 x
k1
F1 ( t )
x1
m1
kc
F2 ( t )
x2
m2
k2
F1 ( t )
k c ( x2 − x1 )
F2 ( t )
m2
k 2 x2 m2 ɺɺ2 x
∑ F = 0 得:
x
m1ɺɺ1 + ( k1 + k2 ) x1 − kc x2 = F1 x m2 ɺɺ2 − kc x1 + ( kc + k2 ) x2 = F2 x
a1
m, J c
b1
m1ɺɺ1 + k11 x1 + k12 x2 = F1 x m2 ɺɺ2 + k21 x1 + k22 x2 = F2 x
（1）取质心C在垂直方向的运动 ）取质心 在垂直方向的运动 x1 ( t ) ，车身绕质心 的 车身绕质心C的 车身绕质心 转动θ ( t ) 作为描述系统转动的坐标。
4 n 2 n 2 12
方程的两个根，即特征值为
ω n21 , 2
1 m k + m 2 k 11 = [ 1 22 ∓ m1 m 2 2
2 m 1 k 22 + m 2 k 11 2 k 11 k 22 − k 12 ( ) −4 ] m1 m 2 m1 m 2
ω n1 〈ω n 2 , 分 别 叫 系 统 第 一 阶 固 频 、 第 二 阶 固 频
F1 sin ω1t F1 0 1. = sin ω1t + sin ω2t F2 sin ω2t 0 F2
（6）
A,B有非零解的条件为： 有非零解的条件为： 有非零解的条件为 2 k11 − m1ωn k12 = 0 （7） 2 k21 k22 − m2ωn
频率方程
2 k11 − m1ωn
k12 k22 − m2ω
2 n
k21
= 0 （7）
频率方程
展开后
m1m2ω − ( m1k22 + m2k11 )ω + k11k22 − k = 0
根据∑ Fx = 0, ∑ M c = 0可得：
k1
c
k2
2.坐标耦合产生的原因 以例说明： 坐标耦合产生的原因: 以例说明： 坐标耦合产生的原因
θ
x1
ɺɺ mx1
cJ θ ɺɺ
c
k1 ( x1 + a1θ )
k2 ( x1 − b1θ )
静力耦合 弹性耦合
m 0
0 ɺɺ1 k1 + k2 x θ + k a − k b J c ɺɺ 1 1 2 1
动力耦合 惯性耦合
a2
b2
e
a1
g
ℓ
c θ cJ θ ɺɺ
c
x2 c
( )
d
（3）选 x3 , θ ）
ɺɺ m ɺɺ2 − eθ k ( x − b θ ) x 2 2 2 k1 ( x2 + a2θ )ຫໍສະໝຸດ θ ɺɺ Jcθx3
k1x3
ɺɺ m(ɺɺ3 − a1θ ) k ( x −ℓθ ) x 2 3
第三章 两个自由度系统振动 内容重点： 内容重点：
1.运动方程建立 运动方程建立 2.模态频率、模态振型 模态频率、 模态频率 3.广义座标与座标耦合 广义座标与座标耦合 4.动力减振 动力减振
第一节 无阻尼自由振动
内容重点： 内容重点： 1.固有模态及其振动 固有模态及其振动 2.对初始条件响应 对初始条件响应 3.广义坐标与坐标耦合 广义坐标与坐标耦合 一、固有模态振动 1.运动微分方程 运动微分方程 由
x1 = A sin (ωnt + ϕ ) 设： x2 = B sin (ωnt + ϕ )
2 k11 − m1ωn k21
（5）
（ 5）代入（4）得： ）代入（ ）
A 0 = 2 k22 − m2ωn B 0 k12
2 k11 − m1ωn 将ωn1，ωn 2分别代入（6）式 k 21
A 0 k12 = 2 k22 − m2ωn B 0
得：
k11 − ω n21 m1 B1 k12 u r1 = =− =− = 21 A1 k12 k 22 − ω n21 m 2 u11 （8）
1 A2 = r2 − r1
( r2 x10 − x20 )
2
ɺ ɺ ( r2 x10 − x20 ) +
ωn21
( −r1 x10 + x20 )
ɺ ɺ r2 x10 − x20
2
+
ɺ ɺ ( −r1 x10 + x20 )
2 ωn 2
2
tgϕ1 =
ωn1 ( r2 x10 − x20 )
tgϕ 2 =
方程通解（ ） 方程通解（12）中 A1 , A2 , ϕ1 , ϕ 2由初始条件确定： 设t＝0时：x1 ( 0 ) = x10 x2 ( 0 ) = x20
ɺ ɺ x1 ( 0 ) = x10
ɺ ɺ x2 ( 0 ) = x20
2
将初始条件代入方程（12）可得： 将初始条件代入方程（ ）可得
1 A1 = r2 − r1
（1）
写成矩阵方程： 写成矩阵方程：
m1 0 0 ɺɺ1 k1 + kc x ɺɺ + − k m2 x2 c −kc x1 F1 x = F （2） kc + k 2 2 2
一般形式： 一般形式：
k1
x1
m1
kc
x2
m2
k2
x m 0 ɺɺ1 2k − k x1 0 运动方程： 解：运动方程 ɺɺ + − k 3k x = 0 0 2m x2 2 2 2k − mωn −k =0 频率方程： 频率方程： 2 −k 3k − 2mωn x1 k1 2 4 2 2 kc 2m ωn − 7 mkωn + 5k = 0 m1
（1）描述系统运动坐标选择不唯一； ）描述系统运动坐标选择不唯一； （2）对同一系统，坐标不同，运动方程形式也不同； ）对同一系统，坐标不同，运动方程形式也不同； （3）坐标耦合决定于坐标选择，不是系统固有性质； ）坐标耦合决定于坐标选择，不是系统固有性质； 4）若方程存在耦合，则方程不能单独求解； （4）若方程存在耦合，则方程不能单独求解； （5）选取不同坐标，不会影响系统的性质，其固有特 ）选取不同坐标，不会影响系统的性质， 性不变。 性不变。 模态坐标可使方程解耦下章讨论
1 = r1
1 A1 sin (ω n1t + ϕ1 ) A sin ω t + ϕ r2 2 ( n2 2 )
（12）
分析：系统自由振动是系统两个固有模态振动的线性组合 只有 分析：系统自由振动是系统两个固有模态振动的线性组合，只有 在某些特定条件下，系统才会只作某个固有频率的自由振动。 在某些特定条件下，系统才会只作某个固有频率的自由振动 例：对于图示系统，设：m1 = m, m2 = 2m, k1 = kc = k , k2 = 2k 对于图示系统， 试求系统的固有模态。 试求系统的固有模态
ωn 2 ( r1 x10 − x20 )
ɺ ɺ r1 x10 − x20
三、广义坐标与坐标耦合 1.什么叫坐标耦合 什么叫坐标耦合
x m1 0 ɺɺ1 k11 k12 x1 F + = 1 0 m ɺɺ k k x F 2 x2 21 22 2 2